О тождествах разрешимых индекса 2 алгебр типа (γ, δ) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Платонова, Светлана Валентиновна

• Платонова, Светлана Валентиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Платонова, Светлана Валентиновна

Введение.

Глава 1. О некоторых многообразиях правосиметричных метабелевых алгебр

§ 1. Алгебры Новикова.

§ 2. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1). п. 1. Простейшие следствия из определяющих соотношений. п. 2 Переработка операторных слов длины 3 и 4. п. 3. Вспомогательные тождества. п. 4. Базис свободной метабелевой (1, 1)-алгебры.

Глава 2. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (/,3)

§1. Простейшие следствия из определяющих соотношений.

§2. Переработка слов небольшой длины.

§3 Вспомогательные тождества.

§ 4 Базис свободной метабелевой алгебры типа {у, 5).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О тождествах разрешимых индекса 2 алгебр типа (γ, δ)»

Хорошо известно, что в теории неассоциативных алгебр важную роль играют понятия разрешимости и нильпотентности. Напомним, что алгебра называется нилъпотентной, если для некоторого натурального числа п произведение любых ее п элементов равно нулю. Алгебра называется разрешимой индекса п, если в ней выполняется полилинейное тождество вида: где

•••» Х2" >У\>""> У 2" ) = S" Х2" ^ ' Sft У 2" ^ •

Примером нильпотентной индекса п алгебры может служить алгебра матриц вида

Г0 ап . аил О 0 . а2п с обычными операциями сложения и

О 0 0 0 ^ умножения матриц.

Легко проверить, что понятия разрешимости и нильпотентности совпадают в классе ассоциативных алгебр. Для алгебр Ли эти понятия различны - двухмерная неабелева алгебра Ли, то есть алгебра с базисом е, / и умножением [e,J\ = е является разрешимой, но не нильпотентной.

Напомним, что алгебра называется правоальтернативной, если в ней выполняется соотношение (х, у, у) = 0, где (х, у, z):= (xy)z — x(yz) — ассоциатор элементов х, у, z. Алгебра называется альтернативной, если в ней наряду с тождеством правой альтернативности выполняется тождество {х,х,у) = 0.

В классе конечномерных альтернативных или йордановых алгебр понятия разрешимости и нильпотентности эквивалентны. Хотя в классе правоальтернативных алгебр понятия разрешимости и нильпотентности различны, однако, в некотором смысле близки. Так, например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности.

Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (-1,1) построил Г.В.Дорофеев [3, 4]. Он же привел пример конечномерной правоальтернативной правонильпотентной алгебры, которая не является нильпотентной [5, с.408]. А. А. Никитин [13] привел пример разрешимой, но не нильпотентной алгебры типа (у, 5). Эти примеры показали, что теорема Нагата-Хигмана о нильпотентности ассоциативных алгебр ограниченного индекса, вообще говоря, неверна для альтернативных алгебр, (-1, 1)-алгебр и алгебр типа {у, S). Тем не менее, как показал К. А. Жевлаков [5] альтернативные ниль-алгебры ограниченного индекса являются разрешимыми. В 1957 г. А. И. Ширшов [18] обобщил на альтернативные алгебры теорему Левицкого о нильпотентности ассоциативной ниль-алгебры ограниченного индекса с конечным числом образующих. Аналогичная теорема для (-1, 1)-алгебр была получена И. П. Шестаковым [7]. Она следует из того, что (-1, 1)-ниль-алгебры с существенными тождественными соотношениями являются локально-нильпотентными.

Данная работа посвящена изучению некоторых многообразий разрешимых индекса 2 (или, в другой терминологии, метабелевых) алгебр. Согласно определению, алгебра называется разрешимой индекса 2, если в ней выполняется тождество: ab)(cd) = О

Многообразия метабелевых альтернативных, йордановых, мальцевских и алгебр типа (-1,1) достаточно активно изучались на протяжении последних 30 лет. Так, А. М. Слинько в Днестровской тетради [10, вопрос 129] поставил вопрос: будет ли конечнобазируемым всякое разрешимое многообразие альтернативных (йордановых) алгебр? В 1976 г. В.П. Белкин [2] указал существование многообразия метабелевых правоальтернативных алгебр, которое не может быть задано никакой конечной системой тождеств.

Ю.А. Медведевым [12] был получен следующий результат. Пусть 772 является подмногообразием одного из следующих многообразий алгебр над нетеровым ассоциативно-коммутативным кольцом Ф с единицей: 1) альтернативных алгебр; 2) алгебр типа (-1, 1); 3) левонильпотентных правоальтернативных алгебр; 4) алгебр Мальцева над кольцом Ф с ХА\ 5) йордановых алгебр над кольцом Ф с Уг. Тогда, если квадрат свободной алгебры из 771 аннулирует некоторую степень этой алгебры, то многообразие

771 шпехтово. В частности, многообразия метабелевых альтернативных, йордановых, мальцевских алгебр и алгебр типа (-1, 1) шпехтовы.

С. В. Пчелинцевым [14] был предложен новый подход к изучению шпехтовых многообразий. На множестве подмногообразий шпехтова многообразия можно ввести топологию и с каждым таким многообразием связать две его числовые характеристики: размерность и топологический ранг. Эти числовые характеристики являются мерой отклонения разрешимости от нильпотентности. Основные результаты настоящей диссертации связаны именно с описанием тождеств, выполняющихся в разрешимых индекса 2 алгебрах. В качестве следствия могут быть вычислены топологические ранги соответствующих многообразий. Поэтому приведем основные определения.

Пусть X - конечнобазируемое многообразие, X с= 777. Размерностью dim/// X многообразия X относительно 771 называется наименьшее число п, обладающее свойством: существует конечная система тождеств //, ., fs, выделяющая с^из 771ъ т.е. </ь .,/s> + T(77l) = Т(Х), такая, что ни одно из тождеств этой системы не выполняется в 771 и п = max fdegfu.,degfs}.

Под размерностью dim <£ многообразия /мы понимаем размерность /относительно многообразия всех алгебр.

Пусть 771 — шпехтово многообразие, то есть всякое его подмногообразие конечнобазируемо; а (77Т) - множество всех подмногообразий многообразия 771. Пусть Ж а. а (777); множество называется конечномерным, если размерности всех многообразий из множества ограничены в совокупности. Перейдем теперь к определению топологического ранга множества являющегося естественным обобщением конечномерности.

Для любого сЯ из а{/71) введем множества йп (<%)={ dim я £ >п}, Un(<ft)=Un (Ж) и {Ж}.

Считая множество 2> {Un (Ж)\Л еа(777), п eN} базой окрестностей (необходимые условия проверяются непосредственно), а (711) наделяется некоторой топологией; ffl является топологическим подпространством пространства а(Щ. Поскольку 771- шпехтово, любая убывающая цепочка многообразий 77l\ z> 771г zd . и 77ln zd. . из Ж стабилизируется, следовательно, всякий минимальный элемент множества /Я? является изолированной точкой в пространстве Ж. Обозначая через множество предельных точек пространства ffl, имеем

Топологическим рангом rt(c9f) пространства называется число г такое, что c/f(r~!) ^ 0 и = 0. Топологическим рангом многообразия называется топологический ранг пространства <т(771), т.е. rt(777) = r,(cr(77t)).

Известно строение множества ненильпотентных многообразий различных многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным. Так, указанное множество в случае альтернативных алгебр конечно; в случае алгебр типа (-1, 1) бесконечно, но имеет конечную размерность; в случае алгебр Мальцева оно бесконечномерно, но имеет конечный топологический ранг; наконец, в случае йордановых алгебр указанное множество имеет бесконечный топологический ранг [14]. B.C. Дренски и Т. Рачкова в 1989 г. доказали, что каждое собственное многообразие метабелевых йордановых алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный топологический ранг.

Настоящая диссертация состоит из двух глав.

Первая глава посвящена изучению некоторых многообразий метабелевых правосимметричных алгебр, а именно, алгебр типа (1, 1) и алгебр Новикова.

Структура первой главы такова. Глава состоит из двух параграфов. Нумерация формул и теорем в каждом параграфе своя.

Первый параграф посвящен изучению многообразия разрешимых индекса 2 алгебр Новикова. Получение результатов этого параграфа не требует серьезных вычислений, и они приводятся автором в основном потому, что позволяют наглядно продемонстрировать метод решения подобных задач.

Параграф состоит из двух пунктов. В первом пункте выводятся следствия из определяющих соотношений и строится аддитивный базис ненильпотентной метабелевой алгебры Новикова. Во втором пункте построена ненильпотентная свободная метабелева алгебра Новикова от счетного числа порождающих.

Сформулируем основные результаты этого параграфа.

Построен пример ненильпотентной разрешимой индекса 2 алгебры Новикова. Доказаны следующие утверждения.

JIEMMA 5. Всякое тождество f степени degf> 5 ненильпотентного многообразия метабелевых алгебр Новикова является следствием определяющих тождеств.

ТЕОРЕМА 7. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр Новикова равен 2.

Второй параграф посвящен изучению многообразия разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1).

Напомним, что алгебра над полем Ф характеристики * 2, 3 называется (1, \)-алгеброй, если в ней выполнены тождества: х, х, х) = О, х, у, z) + (у, х, z) + (z, х, у) = О, (х, y,z)-(x, z, у) = 0.

Второй параграф состоит из четырех пунктов. В п.1 доказываются простейшие следствия из определяющих соотношений. П. 2 посвящен переработке операторных слов длины 3 и 4.

Пусть М - произвольное многообразие метабелевых алгебр типа (/, <5); А - свободная алгебра многообразия М с множеством свободных порождающих X = {х\,х2,.}. Для элементов х, у е А будем писать х = у (п), если для любых а\, а2, апе А справедливо равенство х-у)Т(а])Т(а2).Т(ап) = 0, где Т(а) - оператор умножения на элемент а.

В п. 3 исследуются свойства функции {х, у, z}:= (yx)z + (zx)y и отношения В п. 4 построен аддитивный базис свободной ненильпотентной метабелевой алгебры типа (1, 1) и доказан основной результат первой главы:

ТЕОРЕМА 1. Всякое тождество степени > б не нилъпотентного подмногообразия многообразия М метабелевых (1, 1)—алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождеств многообразия М.

СЛЕДСТВИЕ 1. Множество не нильпотентных многообразий (1,1)— алгебр конечномерно. Если поле Ф конечно, то указанное множество многообразий также конечно.

СЛЕДСТВИЕ 2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр типа (1,1) равен 2.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена изучению многообразий метабелевых алгебр типа (у; 8). Алгебры типа {у, 8) были введены А.А.Албертом [1] в 1949 г. и представляют собой важный класс 2— многообразий, (многообразие называется 2-многообразием, если в алгебрах этого класса выполнено свойство «квадрат идеала - идеал»). Напомним, что алгебра над полем Ф характеристики 2, 3 называется алгеброй типа (у, 8), если она удовлетворяет тождествам: х, х, х) = О, х, у, z) + у(у, х, z) + 8{z, х, у) = О, (х, у, z) - у{х, Z, у) + (1 - S)(y, z, х) = О, где у, 8 g Ф, / - $ + 5- 1 = 0.

Начиная с 1960 г. алгебры типа (у; 5) изучались разными авторами. Так, Р. Э. Рооомельди в 1973 г. [17] доказал, что (-1, 1)-ниль-кольцо индекса п п(п + 3) характеристики > п+1 разрешимо индекса ^ . А.С. Марковичев [10] перенес этот результат на алгебру типа (у; S) при некоторых ограничениях на параметры у и 8. Им же [10] доказано, что ниль-кольца типа (/, 8) с существенным тождественными соотношением являются локально-нильпотентными и поэтому алгебра типа (у; 8) ниль-ограниченного индекса с конечным числом образующих нильпотентна при некоторых ограничениях на параметры у и 8. А. А, Никитин [13] показал, что алгебры типа (у; 8) над полем характеристики Ф 2, 3 без ниль-элементов ассоциативны. А.С. Марковичевым [10] показано, что доказательство последнего факта в [13] остается справедливым и для алгебр типа (у, 3) )• Более того, им доказано, что при некоторых ограничениях на параметры /и 3 алгебры типа (у, 3) без локально нильпотентных идеалов ассоциативны.

Вторая глава посвящена изучению алгебр типа (/, 3), где уф± 1, 3 Ф 0,1. Ограничение на параметры у; 3 обусловлено следующими причинами. При у = ± 1 соотношение, связывающее у и S, принимает вид: + 3= 0. Оно выполняется при 5 = 0,1. Таким образом, получаем четыре типа: (-1, 1), (-1, 0), (1, 1), (1, 0). Строение множества ненильпотентных подмногообразий многообразия метабелевых алгебр типа (-1, 1) было описано С. В. Пчелинцевым [14], такая же задача для многообразия разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1) решена автором во первой главе. Так как алгебра типа (-у, 1- 3) антиизоморфна алгебре типа (у, 3), получаем решение этой задачи для многообразий метабелевых алгебр типа (-1, 0) и (1,0). Рассмотрению оставшихся случаев посвящена вторая глава.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. Нумерация формул и теорем в этой главе сквозная, так как соотношения, полученные в одном параграфе, используются в следующих. В §1 доказываются простейшие следствия из определяющих соотношений. §2 посвящен рассмотрению операторных слов длины 3 и 4. Его основным результатом является доказательство кососимметричности операторных слов длины >3. В §3 аналогично п. 3 первого параграфа первой главы вводится отношение = и доказываются вспомогательные утверждения, необходимые для построения аддитивного базиса ненильпотентной свободной алгебры. Сформулируем основные результаты этого параграфа.

ЛЕММА 8. В алгебре А справедливо соотношение а,Ь],с] = 0(3).

ЛЕММА 9. Если в алгебре А верно соотношение [А , А] = 0 (п) при некотором п>2,то алгебра А нильпотентна.

В §4 строится аддитивный базис свободной ненильпотентной метабелевой алгебры типа (у, 8).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Правильными словами алгебры А от переменных из множестваХ„:={х\,х2, .,хп}(п>6) называются полилинейные одночлены а) {х,хЩкхШг).--Щ*-г)> б) [хьхдеоад.^-!),

B)(x2xj)L(3)R(4).R(n), где Т(к):= Т(хк) и к{<к2<.<кп„2.

Основными результатами этого параграфа являются следующие утверждения.

ТЕОРЕМА 1. Пространство Рп(А) полилинейных одночленов над Хп (п>6) линейно порождается правильными словами алгебры А.

ТЕОРЕМА 2. В ненильпотентной алгебре А множество правильных слов линейно независимо.

ТЕОРЕМА 3. Всякое тождество степени > 6 не нильпотентного подмногообразия многообразия М метабелевых (у, 5)-алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождеств многообразия М.

Отсюда получаем следствия:

СЛЕДСТВИЕ 1. Множество не нильпотентных многообразий (у, 8)-алгебр конечномерно. Если поле Ф конечно, то указанное множество многообразий также конечно.

СЛЕДСТВИЕ 2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр типа (у, S) равен 2.

Результаты диссертации докладывались на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения.", а также на семинаре "Избранные вопросы алгебры" в МГУ. Список публикаций по теме диссертации приводится в конце работы.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С. В. Пчелинцеву за постановку задач и полезные обсуждения в процессе работы.

13

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Платонова, Светлана Валентиновна, 2005 год

1. Albert A.A. Almost alternative algebras // Portug. Math. J. 1949. V.8. P. 23-36.

2. Белкин В.П. О многообразиях правоальтернативных алгебр // Алгебра и логика. 1976. Т. 15. № 5. С. 491-508.

3. Дорофеев Г.В. Пример разрешимого, но не нильпотентного альтернативного кольца//УМН. 1960. Т. 15. № 3. С. 147-150.

4. Дорофеев Г.В. Пример разрешимого, но не нильпотентного (-1, 1)-кольца// Алгебра и логика, 1973, Т. 12. № 2. С. 162-166.

5. Жевлаков К.А. Разрешимость альтернативных ниль-колец// Сиб. мат. журнал, 1962, Т.З. № 3. С.368-377.

6. Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным, М.: Наука, 1978.

7. Жевлаков К.А., Шестаков И.П. О локальной конечности в смысле Ширшова//Алгебра и логика, 1973, Т. 12. №1. С. 41-73.

8. Ильтяков А.В. Решетка подмногообразий многообразия двухступенчато разрешимых альтернативных алгебр // Алгебра и логика, 1982, Т. 21. №2. С. 170-177.

9. Марковичев С.А. О наследственности радикалов колец типа (у, 8)Н Алгебра и логика, 1978, Т. 17. №1. С. 33-55.

10. Марковичев С.А. Ниль-кольца типа (у, 8)1 I Алгебра и логика, 1978, Т. 17. №2. С. 181-200.

11. Марковичев С.А. Нижний ниль-радикал колец типа (у, 8)П Алгебра и логика, 1978, Т. 17. № 3. С. 287-302.

12. Медведев Ю.А. Конечная базируемость многообразий с двучленным тождеством // Алгебра и логика. 1978. Т. 17. № 6. С. 705-726.

13. Никитин А.А. Почти альтернативные алгебры // Алгебра и логика. 1974. Т.13. № 5. С. 501-533.

14. Пчелинцев С.В. Разрешимые индекса 2 многообразия алгебр // Матем. сб. 1981. Т. 115. №2. С. 179-203.

15. Пчелинцев С.В. Многообразия разрешимых индекса 2 альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 4 . С. 556-566.

16. Рооомельди Р.Э. Нижний ниль-радикал (-1, 1)-колец// Алгебра и логика, 1973, Т. 12. №3. С. 323-332.

17. Рооомельди Р.Э. Разрешимость (-1, 1)-колец// Алгебра и логика, 1973, Т. 12. №4 С. 478-489.

18. Ширшов А.И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах// Матем. сб. 1957. Т. 41. № 3. С. 381-394.ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

19. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр Новикова//Чебышевский сборник. Т. IV. Выпуск 1 (5). Тула, 2003 г. С. 106 111.

20. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (1. 1)//Матем. заметки. 2004. Т. 76. №3. С. 409-419.

21. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1)//Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тезисы докладов V Международной конференции. Тула, 2003. С. 180 181.

22. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (у, 8)// Фундаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10. Выпуск 3. С. 157- 180.