О шпехтовости разрешимых многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Бадеев, Александр Валерьевич

• Бадеев, Александр Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бадеев, Александр Валерьевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ШПЕХТОВОСТЬ МНОГООБРАЗИЯ Л^пА^Л КОММУТАТИВНЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР НАД ПОЛЕМ ХАРАКТЕРИСТИКИ 3

§1.1. Шпехтовость многообразия А^пАзЛ^

§1.2. Бесконечнобазируемое многообразие коммутативных альтернативных алгебр

ГЛАВА II. МНОГООБРАЗИЕ N^2 КОММУТАТИВНЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ НИЛЬ-АЛГЕБР ИНДЕКСА 3 НАД ПОЛЕМ

ХАРАКТЕРИСТИКИ 3

§2.1. Вспомогательные алгебры

§2.2. Многообразия центрально-метабелевых алгебр

§2.3. Многообразие N$N2

ГЛАВА III. БЕСКОНЕЧНЫЕ НЕПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВ КОММУТАТИВНЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР НАД ПОЛЕМ ХАРАКТЕРИСТИКИ 3 И КОММУТАТИВНЫХ ЛУП МУ-

ФАНГ

§3.1. Бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных

альтернативных алгебр

§3.2. Бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных

луп Муфанг

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О шпехтовости разрешимых многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3»

ВВЕДЕНИЕ

Одним из аспектов изучения тождеств неассоциативных алгебр, в частности, алгебр близких к ассоциативным, является конечнобазируе-мость многообразий. Если каждая алгебра из многообразия М обладает конечным базисом тождеств, то такое многообразие называется шпехто-вым (по имени немецкого математика). Сама проблема, является ли данное многообразие шпехтовым, известна как проблема Шпехта. Шпехт [40] сформулировал свой вариант проблемы, ставший ныне классическим, в 1950 году для ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль. На пути решения классического варианта проблемы Шпехта значительные результаты были получены во многих конкретных многообразиях и классах ассоциативных алгебр. Так, В.Н.Латышев [14-16], а также Г.К.Генов [5], А.П.Попов [20] показали локальную шпехтовость нематричных многообразий над полем нулевой характеристики. Исследовались тождества матричных многообразий. См., например, [3, 4, 13, 17, 26] .

Классический вариант проблемы Шпехта получил окончательное решение А.Р.Кемером [10] в восьмидесятые годы. Оказывается, что конечным базисом тождеств обладает любое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль. Им же [11] положительно решен локальный случай для бесконечного поля простой характеристики.

В глобальном случае для поля простой характеристики проблема оставалась нерешенной. Но недавно автору стало известно, что А.В.Гришиным, А.Я.Беловым и В.В.Щиголевым независимо получены некоторые результаты по этой проблеме.

В первое время проблема Шпехта рассматривалась исключительно

как проблема теории ассоциативных алгебр. В середине 60-ых годов некоторые математики начали распространять эту проблему на многообразия неассоциативных алгебр и в первую очередь на многообразия алгебр, близких к ассоциативным.

Исследования вопросов конечной базируемости в многообразиях алгебр, близких к ассоциативным, показали, что в некоторых многообразиях существуют нешпехтовы подмногообразия. А коль скоро это установлено, возникает потребность в нахождении различных условий для выделения в многообразии как шпехтовых подмногообразий, так и не-шпехтовых подмногообразий. Далее, следует отметить, что в силу специфики неассоциативных многообразий, тождества там всегда играли особую роль, а общая задача описания тождеств, в частности, вопросов конечной базируемости, занимает в теории неассоциативных многообразий одно из центральных мест. Таким образом изучение структуры многообразий алгебр с точки зрения проблемы Шпехта совершенно естественно, более того, как показывают результаты, весьма плодотворно.

Настоящая диссертация состоит из трех глав и посвящена изучению вопросов конечной базируемости и установлению некоторых свойств шпехтовых многообразий разрешимых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3.

Одним из первых, кого заинтересовали вопросы конечной базируемости многообразий алгебр, близких к ассоциативным, был А.И. Мальцев. В 1966 году на Втором Всесоюзном симпозиуме по теории групп в городе Батуми им [12] были сформулированы вопросы о шпехтовости многообразий алгебр Ли и многообразий, порожденных конечными алгебрами Ли.

Одним из наиболее значительных результатов в этой области является доказательство А.В.Ильтяковым [38] шпехтовости многообразия, порожденного конечномерной алгеброй Ли.

Далее, легко показать шпехтовость произвольного неассоциативного нильпотентного многообразия алгебр над полем. В 1968 году Воон - Ли [41] показал шпехтовость многообразия разрешимых индекса 2 алгебр Ли над любым полем, а затем им [42] был построен пример нешпехтова многообразия алгебр Ли над произвольным полем характеристики 2, удовлетворяющего тождеству (х\х2 • Х3Х4) Х5 = 0. Позднее B.C. Дренски [7] показал нешпехтовость многообразия разрешимых индекса 3 алгебр Ли над произвольным полем характеристики р > 0. Вопрос о шпехтово-сти многообразий разрешимых алгебр Ли над полем характеристики нуль до сих пор остается открытым и в настоящее время является одним из основных в этой области.

В многообразии алгебр Ли понятия нильпотентности и разрешимости довольно далеки друг от друга, в то время как в многообразии правоаль-тернативных алгебр они, в некотором смысле, близки. Так, например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности. В связи с этим следует отметить результат В.П. Белкина [1] о том, что многообразие разрешимых индекса 2 правоальтернативных алгебр над произвольным полем не является шпехтовым.

В многообразиях альтернативных и йордановых алгебр понятие нильпотентности и разрешимости еще ближе друг к другу, например, в конечнопорожденном случае эти понятия просто совпадают. Далее, многообразие альтернативных алгебр одно из самых близких к многообразию ассоциативных алгебр. Эта близость проясняется теоремой Артина, утверждающей, что во всякой альтернативной алгебре подалгебры, порожденные двумя элементами, ассоциативны. В связи с этим интересен следующий вопрос: не будут ли многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр шпехтовы? Этот вопрос был сформулирован A.M. Слинько в "Днестровской тетради" [6]. Проблема получила положительное решение в случае поля характеристики не равной 2,3.

Для разрешимых индекса 2 алгебр это следует из результатов работы Ю.А. Медведева [18] . Кроме того, им [19] указано многообразие разрешимых (более точно, центрально-метабелевых, т. е. удовлетворяющих тождеству (х\х2 ■ х3х4) х$ = 0 ) альтернативных алгебр над полем характеристики 2, не имеющее конечного базиса тождеств. С.В.Пчелинцевым [25] построен соответствующий пример многообразия центрально-метабелевых (некоммутативных) альтернативных алгебр над полем характеристики 3.

Как показывают результаты работ [9, 23, 24, 31, 32] характеристика поля 3 в случае альтернативных алгебр играет особую роль:

а) свободное альтернативное кольцо содержит ненулевые элементы, аддитивный порядок которых равен 3 [23, 24];

б) над полем характеристики 3 существуют исключительные первичные алгебры [9, 23, 31];

в) недавно И.П. Шестаков [32] получил описание простых альтернативных супералгебр: в характеристике 3 возникли очень интересные супералгебры, среди которых имеются и бесконечномерные.

Кроме того, заметим, что в силу тождества

[ху> А + [уг, *] + [гх, у] = 3(х, у, г) справедливого во всякой альтернативной алгебре [8], неассоциативные коммутативные альтернативные алгебры существуют только над полем характеристики 3.

Первая глава посвящена доказательству шпехтовости некоторых разрешимых многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 и построению бесконечнобазируемого многообразия.

Хорошо известно, что в любой конечномерной разрешимой алгебре Ли Ь над полем характеристики 0 подалгебра Ь2 нильпотентна. В

1984 г. C.B. Пчелинцев [22] доказал, что аналогичный результат справедлив для произвольных (не обязательно конечномерных) альтернативных алгебр характеристики ^2,3. Как показано позднее И.П. Шестаковым [30], ограничение на характеристику можно снять. Кроме того, им получена явная оценка индекса нильпотентности. Аналог теоремы Пчелинцева был доказан также и для йордановых алгебр [39].

Пусть Nk и А - соответственно, многообразия альтернативных алгебр класса нильпотентности не выше к и алгебр с нулевым умножением. В своей работе C.B. Пчелинцев доказал, что всякая разрешимая альтернативная алгебра А над полем характеристики не равной 2,3 принадлежит многообразию NkAnN3Nm, т.е.

{A2f = (Amf = 0

для некоторых к, m , зависящих только от индекса разрешимости алгебры А.

Затем У.У. Умирбаевым [28] была показана шпехтовость этого многообразия, что является аналогом результатов Брайнта, Воон-Ли

[34], Г.В. Шейной [29] для алгебр Ли. Отсюда следует шпехтовость многообразий разрешимых альтернативных алгебр над полем характеристики не равной 2,3. Доказательство шпехтовости в указанных работах основано на применении метода вполне частично упорядоченных множеств. Этот метод восходит к Г.Хигману [37] и впервые для решения проблемы конечной базируемости тождеств был употреблен Д.Коэном

[35], доказавшим шпехтовость многообразия^2 в случае групп.

В первом параграфе главы I доказана следующая Теорема 1. Многообразие NkAr^N3Nm коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 шпехтово.

В частности, при k=3, т=2 шпехтовым является многообразие коммутативных альтернативных алгебр с тождеством

[(вд)(ХзХ4Ж*5Хб)=0.

Доказательство шпехтовости проводится методом вполне частично упорядоченных множеств.

Во втором параграфе решается отрицательно проблема A.M. Слинько для разрешимого (коммутативного) многообразия. Более подробно, в многообразии коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 с тождествами

х3 = 0, [[(вдХад)] Оз*б)] х7=0. указана бесконечная неприводимая система тождеств степени 4 по переменной х :

(рСХJ X2и ' ... JC^fjj^' jCJCjffj^i ... Хбп-}Х '

Этот результат сформулирован в теореме 2 .

Для доказательства этой теоремы сначала строится вспомогательная супералгебра, грассманова оболочка которой есть коммутативная альтернативная алгебра. Затем непосредственно в доказательстве теоремы показывается, что приведенная в условии система тождеств нетривиальна в грассмановой оболочке и не имеет следствий высших степеней.

C.B. Пчелинцев в [21] ввел понятие топологического ранга шпехто-ва многообразия, которое является естественным обобщением понятия конечномерности. Напомним необходимые определения.

Пусть V - конечнобазируемое многообразие, VczW. Размерностью

dimw У многообразия V относительно W называется наименьшее число л, обладающее свойством: существует конечная система тождеств

/ь ...,/,, выделяющая Vm W., т.е. (fx____,fs)T+ TiW) = TiV), такая,

что ни одно из тождеств этой системы не выполняется в Wn

п = max{deg/i, . . . , deg/5}-

Но Л размерностью dim F многообразия V понимается размерность V относительно многообразия всех алгебр.

Пусть M - шпехтово многообразие, т.е. всякое его подмногообразие конечнобазируемо; р(М) - множество всех подмногообразий много-

образия М. Пусть О с р(М); множество О называется конечномерным, если размерности всех многообразий из множества С2 ограничены в совокупности.

Для любого IV т р(М) введем множества

ип(ГГ)={У^ цг\ дшц,у >п}, ип{Щ = и„(1¥)и{1У}.

Считая систему множеств I = {II„ (IV) | р{М), п е N } базой окрестностей, р (М) наделяется некоторой топологией; П является топологическим подпространством пространства р{М). Поскольку М шпех-тово, любая убывающая цепочка многообразий М\ з М2 и>. . . з Мп =>. . . из О. стабилизируется, следовательно, всякий минимальный элемент множества П является изолированной точкой в пространстве О.. Обозначая через О! множество предельных точек пространства имеем О'с О. Топологическим рангом гг(С1) пространства £2 называется число г

такое, что ~1] ф 0 и = 0. Топологическим рангом гг(М) многообразия М называется топологический ранг пространства р(М), т.е.

Легко видеть, что если многообразие М нильпотентно индекса п, то &\тМ < п и г((М)=1; если же однородное многообразие М не является нильпотентным, то множество р(М) бесконечномерно. В работе [21] С.В.Пчелинцевым был найден топологический ранг многообразий Ак2 , (-1,1)2, Ма1с2, .ТогсЬ, т.е метабелевых ( другое название разрешимых индекса 2) альтернативных, (-1,1) - , мальцевских, йордановых алгебр над полем характеристики ф 2, 3:

гг(А112) = гг((-1,1)2) = 2, гг(Ма1с2) = 3, фогс12) = К0.

В работе [36] В.Дренски и Т.Рашковой доказывается конечность топологического ранга собственных подмногообразий многообразия Логё2.

Вторая глава посвящена нахождению топологического ранга некоторых разрешимых многообразий.

Положим, В - многообразие ЛУУг коммутативных альтернативных ниль-алгебр индекса 3 над полем Ф характеристики 3 , т.е. многообразие коммутативных альтернативных алгебр с тождествами

х3=0,

[Свд)(ХзХ4)](>5Хб)=0. В главе II диссертации построен базис пространства полилинейных многочленов свободной алгебры ДХ>) и найден топологический ранг г((Вп) многообразий

Д = /) п Уаг((ху - 21)х\. . . хп).

Доказана следующая

Теорема 4. Топологический ранг г^рп)=п +2.

Отсюда следует бесконечность топологического ранга многообразия Д.

Структура главы II такова. В параграфе 2.1 строятся вспомогательные примеры алгебр порождающих различные подмногообразия Д. В параграфе 2.2 построен базис свободной алгебры центрально-метабелевого многообразия, т.е. многообразия заданного соотношением [(х1х2)(х3х4)]х5 = 0, и описана решетка его подмногообразий (теорема 3). В параграфе 2.3 построен базис полилинейной части свободной алгебры многообразия Д (лемма 5) и найден топологический ранг многообразий Д„ (теорема 4).

Целью третьей главы диссертации является построение бесконечного базиса тождеств в многообразии коммутативных луп Муфанг (КЛМ). Напомним основные определения из теории КЛМ, которые можно найти, например, в [2, 33].

Лупа, в которой выполняется тождество х2 • уг = ху ■ хг , называется коммутативной лупой Муфанг. Ассоциатор [хх, х2, элементов х\, х2, Хз

КЛМ определяется равенством

Х\Х2 ■ Хз = Х\[Х\ , Х2 , Хз] ■ Х2Хз .

Индуктивно определяется ассоциатор

[X] ,х2, ...,х2„+1] = [[х} , Х2 , ■ ■., X2п- Л, *2п , %2п+1] •

В работе Н.И.Санду [27] указывается бесконечная независимая система тождеств в многообразии КЛМ. Эта система имеет следующий вид

[[|>1 ,У2,Уз,У4,У5 ], [г\ , ¿2 , 23], [г4 , , г6], ..., , , г12к ]],

[\У\ , У2 , Уз ,У4,У5 ], [¿12к+1 , %12к+2 , ],..., [г24к-2 , *24к-1 , г24к ]],

[У1 ,У2,Уз,У4,Уз]] = 1.

Пример бесконечной независимой системы тождеств, построенный в настоящей диссертации, выглядит несколько проще, чем пример Н.И.Санду. Кроме того, метод построения заключается в том, что основные вычисления проводятся в коммутативной альтернативной алгебре, а окончательный результат переносится затем на КЛМ.

В первом параграфе главы III снова строится вспомогательная супералгебра над полем характеристики 3, несколько более сложная, чем в первой главе. Грассманова оболочка С{А) этих супералгебр является коммутативной альтернативной алгеброй над полем характеристики 3 со следующими тождествами (теорема 5)

X3 = О, [(Х\Х2 ■ ХзХ4){Х$Х6)]Х1 = О,

(.хх]... х2п ■ ху1 ... у2п) • Х2\ ... г2п.]Х = 0.

Затем строится бесконечная система тождеств, нетривиальная в грассмановой оболочке и не имеющая нетривиальных следствий в этой оболочке.

Во втором параграфе главы III строится бесконечная неприводимая система тождеств КЛМ. Переход от коммутативной альтернативной алгебры к КЛМ осуществляется следующим образом. Легко показать, что множество обратимых элементов коммутативной альтернативной ал-

гебры с единицей образует КЛМ относительно операции умножения. Тогда вспомогательная КЛМ может быть представлена как множество обратимых элементов алгебры G(A)# , где G(Af получена из G(A) внешним присоединением единицы.

Результаты сформулированы в следующих теоремах.

Теорема 6. Пусть М - многообразие коммутативных альтернативных алгебр над полем Ф характеристики 3 с тож:дествами

хъ = О, [{Х\Х2 ■ ХзХ4)(Х5Х6)]Х7 = 0.

Система одночленов

JlSn+3 " (ХХ1 ■■■ хбп-2 ' ХУ1 ■■■ Убп-2 ) ' XZj ... Z6n + 3X неприводима в многообразии М.

л

Теорема 7. В многообразии КЛМ с тождеством x = 1 следующая система тождеств

hl8n+3 := , ...,Хбп+2], [х,У! , Убп-2], Zj , ...,Z6n.! , х]]

является неприводимой.

Результаты диссертации докладывались на международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения" памяти Л.А.Скорнякова в Волгограде в 1999 г.; семинаре по алгебре в МГУ под руководством профессоров В.НЛатышева, А.В.Михалева.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [43-46].

Нумерация формул и лемм в диссертации в каждой главе своя. Нумерация теорем сквозная.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С.В.Пчелинцеву за постановку задач, постоянное внимание и большую помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бадеев, Александр Валерьевич, 1999 год

Литература.

1. Белкин В.П. О многообразиях правоальтернативных алгебр // Алгебра и логика, 1976, т. 15, №5, с.491-508.

2. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Наука, 1972.

3. Генов Г.К. Базис тождеств алгебры матриц третьего порядка над конечным полем // Алгебра и логика, 1981, т.20, №4, с.365-388.

4. Генов Г.К., Сидеров П.Н. Базис тождеств алгебры матриц четвертого порядка над конечным полем. I, II. // Сердика, 1982, №8, с.313-323, с.351-366.

5. Генов Г.К. Некоторые шпехтовы многообразия ассоциативных алгебр // Плиска, 1981, №2, с.30-40.

6. Днестровская тетрадь. Новосибирск, 1982.

7. Дренски B.C. О тождествах в алгебрах Ли // Алгебра и логика, 1974, т.13, №3, с.265-290.

8. Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным, М.: Наука, 1978.

9. Зельманов Е.И., Шестаков И.П. Первичные альтернативные супералгебры и нильпотентность радикала свободной альтернативной алгебры // Изв. АН СССР, сер. мат., 1990, т.54, №4, с.676-693.

10. Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и логика, 1987, т.26, №5, с.597-641.

11. Кемер А.Р. Тождества конечно порожденных алгебр над бесконечным полем // Изв. АН СССР, сер. мат., 1990, т.54, №4, с.726-753.

12. Коуровская тетрадь. Новосибирск, 1976.

13. Красильников А.Н. О тождествах алгебр Ли треугольных матриц над полем положительной характеристики // VI симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы. - Львов, 11-13 сентября 1990. - С. 76.

14. Латышев В.H. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр // Изв. АН СССР, сер. мат., 1973, т.37, №5, с.1010-1037.

15. Латышев В.Н. Конечная базируемость некоторых колец // Успехи мат. наук, 1977, т.32, №4, с.259-262.

16. Латышев В.Н. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр // Дисс. на соиск. уч.ст. докт.физ.-мат. наук, М., 1977, 150.

17. Мальцев Ю.Н., Кузьмин Е.Н. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над конечным полем // Алгебра и логика, 1978, т.17, №1, с.28-32.

18. Медведев Ю.А. Конечная базируемость многообразий с двучленным тождеством // Алгебра и логика, 1978, т.17, №6, с.705-726.

19. Медведев Ю.А. Пример многообразия разрешимых альтернативных алгебр над полем характеристики 2, не имеющего конечного базиса тождеств // Алгебра и логика, 1980, т.19, №3, с.300-313.

20. Попов А.П. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Плиска, 1981, №2, с.41-53.

21. Пчелинцев C.B. Разрешимые индекса 2 многообразия алгебр // Матем. сб., 1981, т.115, с.179-203.

22. Пчелинцев C.B. Разрешимость и нильпотентность альтернативных алгебр и алгебр типа (-1,1) // В книге «Группы и другие алгебраические системы с условиями конечности»,- Новосибирск: Наука, 1984, с.81-101.

23. Пчелинцев C.B. О нильпотентных элементах и ниль-радикалах альтернативных алгебр // Алгебра и логика, 1985, т.24, №6, с.674-695.

24. Пчелинцев C.B. О кручении свободного альтернативного кольца // Сиб. матем. ж., 1991, т.32, №6, с. 142-149.

25. Пчелинцев C.B. Структура слабых тождеств на грассмановых

оболочках центрально-метабелевых альтернативных супералгебр суперранга 1 над полем характеристики 3 // Фундаментальная и прикладная математика (в печати).

26. Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем харктеристики нуль // Алгебра и логика, 1973, т.12, №1, с.83-113.

27. Санду Н.И. Бесконечные неприводимые системы тождеств коммутативных луп Муфанг и дистрибутивных квазигрупп Штейне-ра // Изв. АН СССР, сер.мат., 1987, т.51, №1, с.171-188.

28. Умирбаев У.У. Шпехтовость многообразия разрешимых альтернативных алгебр // Алгебра и логика, 1985, т.24, №2, с.226-239.

29. Шеина Г.В. О некоторых многообразиях лиевых алгебр // Сиб. матем. ж., 1976, т.17, №1, с.194-199.

30. Шестаков И.П. О разрешимых альтернативных алгебрах // Сиб. матем. ж., 1989, т.ЗО, №6, с.219-222.

31. Шестаков И.П. Супералгебры и контрпримеры // Сиб. матем. ж., 1991, т.32, №6, с.187-196.

32. Шестаков И.П. Первичные альтернативные супералгебры произвольной характеристики (в печати).

33. Bruck R.H. A survey of binary systems. Berlin: Springer Verlag, 1958.

34. Bryant R.M., Vaughan-Lee M.R. Soluble varieties of Lie algebras // Quart. J. Math., Oxford, 1972, v.23, №89, p. 107-112.

35. Cohen D.E. On the laws of a metabelian variety // J.Algebra, 1967, v.5, p.267-273.

36. Drensky V.S., Rashkova T.G. Varieties of metabelian Jordan algebras // Serdica, Bulgarical mathematical publicationes, 1989, v. 15, p.293-301.

37. Higman G. Ordering by divisibility in abstract algebras // Proc.

London Math. Soc., 1952, v.2, №7, p.326-336.

38. Iltiakov A.V. On finite basis of identities of lie algebra representations // Nova Jonrn. Algebra Geometry, 1992, №3.

39. Medvedev Ju. A., Zel'manov E.I. Solvable Jourdan Algebras // Comm. Algebra, 1985, v. 13, №6, p. 1389-1414.

40. Specht W. Gezetze in Ringen // Math.Z., 1950, 52, p.557-589.

41. Vaughan-Lee M.R. Some varieties of Lie algebras // D.Phil.thesis, Oxford,1968.

42. Vaughan-Lee M.R. Varieties of Lie algebras // The Quart. J. Math., 1970, v.21, №83, p.297-308.

Публикации автора по теме диссертации.

43. Бесконечные неприводимые системы тождеств коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 и коммутативных луп Муфанг // Международный семинар "Универсальная алгебра и ее приложения" памяти Л.А.Скорнякова. Тез. докл. Волгоград. 1999. С. 15.

44. Многообразие центрально-метабелевых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Ред. Сиб. мат. журн. Новосибирск. 1998. Деп. в ВИНИТИ. №3209-В98.

45. Многообразие N3N2 коммутативных альтернативных ниль-алгебр индекса 3 над полем характеристики 3 // Фундаментальная и прикладная математика (в печати).

46. Шпехтовость многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // МПГУ. Москва. 1998. Деп. в ВИНИТИ. №1952-В98.