Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Ваулин, Андрей Николаевич

• Ваулин, Андрей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ваулин, Андрей Николаевич

ВВЕДЕНИЕ. ф

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ.

СЛЕДСТВИЯ ТОЖДЕСТВА [ж^,.,^] = 0.

§ 1. Основные понятия и обозначения.

§ 2. Тривиальность грассманова идеала.

ГЛАВА 2. СТРОЕНИЕ РЕШЕТОК МНОГООБРАЗИЙ

АЛГЕБР С ТОЖДЕСТВОМ [xvx2,xz,xA] = 0.

§1.0 многообразии ассоциативных алгебр.

§ 2. О решетке многообразий альтернативных алгебр с тождеством энгелевости [х,у,у] = 0 индекса 2.

• ГЛАВА 3. ШПЕХТОВОСТЬ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР

С ТОЖДЕСТВОМ [ж1,ж2,.,ж5] = 0.

§ 1. Многообразие альтернативных алгебр с тождеством Тэди [(ж,y,z),t] = 0.

§ 2. Функции J,ga,g* и их основные свойства.

§ 3. Шпехтовость многообразия £91(5).

ГЛАВА 4. БАЗИС ТОЖДЕСТВ АЛГЕБРЫ ГРАССМАНА

• МНОГООБРАЗИЯ Ш1П£9Т(5).

§ 1. Вспомогательная супералгебра.

§ 2. Ассоциативная алгебра с тождествами x,yUz,t]} = 0 и [я, у ].[*,*] = О.

§ 3. Основные тождества алгебры Грассмана.

§ 4. Базис тождеств алгебры Грассмана.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0»

Теория многообразий алгебр в настоящее время представляет собой довольно обширный и активно развивающийся раздел теории колец. Ядром этого раздела является значительно развитая теория многообразий ассоциативных алгебр, в рамках которой получено много глубоких результатов. Среди большого круга вопросов теории многообразий важное место занимает изучение строения идеалов тождеств различных многообразий, нахождение и исследование систем порождающих этих идеалов (базисов тождеств). Так в 1950 г. возникла проблема Шпехта: верно ли, что всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 задается конечным набором тождеств?

В связи с этой проблемой появилось важное понятие шпехтовости: многообразие называется шпехтовым, если оно само и любое его собственное подмногообразие имеет конечный базис тождеств. Формально более слабым условием является понятие унитарной шпехтовости, которое означает, что всякое подмногообразие, порожденное алгеброй с единицей, имеет конечный базис тождеств. На языке решеток шпехтовость означает, что любая убывающая цепь подмногообразий стабилизируется на конечном шаге.

Вопросам шпехтовости и унитарной шпехтовости различных многообразий, таких как многообразия ассоциативных, лиевых, альтернативных и йорда-новых алгебр, посвящена обширная литература: В.А. Артамонов [2,3], А.Р.Кемер [1, 16-18], В.Н.Латышев [21-26], Ю.А.Медведев [28,29], С.В. Пчелинцев [32-35], Ю.П. Размыслов [37, 38] и др.

Серьезный интерес к проблеме конечной базируемости многообразий алгебр Ли проявлял академик А.И. Мальцев. Эта проблема представляет несомненный интерес и для других многообразий алгебр, прежде всего, альтернативных и йордановых.

Одним из первых в нашей стране начал заниматься проблемой Шпехта профессор В.Н. Латышев. В частности, в 1972 году он доказал, что многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики О, удовлетворяющих тождеству [[ж1,ж2,.,жп2],[ж7г1,а;п]] = 0, является конечно-базируемым [23]. В 1987 проблему Шпехта решил А.Р. Кемер [18], доказав, что всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный базис тождеств. Однако, над полями конечной характеристики, существуют бесконечно базируемые многообразия [8, 9, 41].

В 1976 г. A.M. Слинько в Днестровской тетради [10] сформулировал проблему о конечной базируемости произвольного многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр. В том же 1976 г. В.П. Белкин [7] доказал существование бесконечно базируемых многообразий правоальтернативных алгебр - это первый пример бесконечно базируемого многообразия в теории колец, близких к ассоциативным.

Примерно в это же время С.В. Полин доказал существование многообразия, порожденного некоторой конечной алгеброй над произвольным конечным полем, имеющее бесконечный базис тождеств. Немного позже И.В. Львов [27] построил 6-мерную неассоциативную алгебру, обладающую указанными свойствами. Кроме того, оказалось, что решетка подмногообразий многообразия, порожденного этой конечной алгеброй, бесконечна.

Для конечных ассоциативных, лиевых, альтернативных, йордановых и мальцевских колец ситуация в корне иная: любое конечное кольцо в каждом из указанных многообразий порождает кроссово многообразие (И.В. Львов; Ю.А. Бахтурин и А.Ю. Ольшанский; Ю.А. Медведев [6]).

Ряд глубоких результатов о решетках многообразий алгебр и цепных многообразиях получили Г.В. Дорофеев [11, 12] и В.А. Артамонов [2, 3].

В 1978 году Ю.А. Медведев [28] доказал конечную базируемость произвольного многообразия с двучленным тождеством, в частности, многообразий разрешимых индекса 2 альтернативных, йордановых и других алгебр, близких к ассоциативным. В 1980 г. Ю.А. Медведев [29] доказал, что многообразие альтернативных алгебр над полем характеристики 2, определенное тождествами:

1Х2){?Ъ Хк) ХЬ ~ ХЬ (Х1Х2 ) (Х3Х4) = 0 J (""((Ж Xl)X2 )-"Xri)X = не имеет конечного базиса тождеств.

В 1981 году С.В. Пчелинцевым были введены понятия конечномерности и топологического ранга многообразия и изучены решетки многообразий метабе-левых алгебр, близких к ассоциативным [30]. Строение решетки подмногообразий многообразия альтернативных метабелевых алгебр над полем характеристики 0, при некотором дополнительном ограничении, описано А.В. Ильтяковым [14]. Им же в 1991 году была доказана шпехтовость конечно-порожденной альтернативной PI-алгебры над полем характеристики нуль [15].

В 1985 году У.У. Умирбаев [39] положительно решил отмеченную проблему A.M. Слинько для произвольного многообразия альтернативных алгебр над полем характеристики, отличной от 2 и 3.

С.В. Пчелинцев в [30-32] указал бесконечно базируемые многообразия алгебр над полем характеристики 3, удовлетворяющие тождествам [[ж,г/],z\ = 0, iK{xy){zt)^v — v((xy)(zt)) = 0, а в [35] привел первый пример почти шпехтова многообразия линейных алгебр над полем.

Отметим также, что А.В. Бадеев [5] доказал существование бесконечно базируемых многообразий коммутативных альтернативных алгебр и коммутативных луп Муфанг.

В этих работах при доказательстве основных результатов существенно использовались грассмановы оболочки вспомогательных супералгебр. Возможность применения супералгебр для построения контрпримеров была впервые указана И.П. Шестаковым [40].

В целом, изучение супералгебр и алгебр Грассмана, в последнее время, привлекает все чаще внимание специалистов [34, 36, 40, 47]. И это не случайно, ведь такой подход является достаточно мощным аппаратом при изучении тех или иных структурных свойств.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ваулин, Андрей Николаевич, 2005 год

1. Ананьин А.З., Кемер А.Р. Многообразия ассоциативных алгебр, решетки подмногообразий которых дистрибутивны//Сибирский математический журнал. 1976. Т. 17, № 4. С. 723-730.

2. Артамонов В А. Цепные многообразия линейных алгебр//Труды ММО. 1973. Т. 29. С. 51-78.

3. Артамонов В А Решетки многообразий линейных алгебр//УМН. 1978. Т. 33, №2. С. 135-167.

4. Бадеев А.В. Многообразия центрально-метабелевых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3//Деп. в ВИНИТИ 04.11.98. №3209 В-98 ред. Сиб. мат. ж.- 16 с.

5. Бадеев А.В. О шпехтовости многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 и коммутативных луп Му-фанг//Сибирский математический журнал. 2000. Т. 41, № 6. С. 1252-1268.

6. Бахтурин ЮА. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

7. Белкин В.П. О многообразиях правоальтернативных алгебр//Алгебра и логика. 1976. Т. 15, № 5. С. 491-508.

8. Белов А.Я. Контрпримеры к проблеме Шпехта//Математический сборник. 2000. Т. 191, №3. С. 13-24.

9. Гришин А.В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т— идеалов в характеристике 2 // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т.1, № 3. С. 669-700.

10. Днестровская тетрадь. Нерешенные задачи теории колец и модулей. Новосибирск: ИМ СО АН РАН, 1993.

11. Дорофеев Г. В. Объединение многообразий алгебр//Алгебра и логика. 1976. Т. 15, №3. С. 267-291.

12. Дорофеев Г. В. О некоторых свойствах объединения многообразий алгебр//Алгебра и логика. 1977. Т. 16, №1. С. 24-39.

13. Жевлаков К.А., Слинъко A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

14. Илътяков А.В. Решетка подмногообразий многообразия двухступенчато разрешимых альтернативных алгебр//Алгебра и логика. 1982. Т. 21, №2. С. 170-177.

15. Илътяков А.В. Конечность базиса тождеств конечно-порожденной альтернативной PI-алгебры над полем характеристики нуль//Сибирский математический журнал. 1991. Т. 32, № 6. С. 61-75.

16. Кемер А.Р. Шпехтовость Г-идеалов со степенным ростом коразмерностей/Сибирский математический журнал. 1978. Т. 19, № 1. С. 54-69.

17. Кемер А.Р. О нематричных многообразиях//Алгебра и логика. 1980. Т. 19, № 3. С. 255-283.

18. Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных ал-гебр//Алгебра и логика, 1987. Т. 26, № 5. С. 597 641.

19. Кон П. Универсальная алгебра. М.Издательство «Мир», 1968.

20. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.

21. Латышев В.Н. О конечной порожденности Г-идеала с элементом ж^ж^жд,^.//Сибирский математический журнал. 1965. Т. 6, №6. С. 1432 -1434.

22. Латышев В.И. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных ал-гебр//Алгебра и логика. 1969. Т. 8, №6. С. 660-673.

23. Латышев В.Н. Шпехтовость Г-идеала [ж15 ж2,.,ж712.,[жп1,жп]]Т//ДАН 1972. Т. 207, №4, С. 777-780.

24. Латышев В.Н. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр//Изв. АН СССР. Серия математика. 1973. Т. 37, №5. С. 1010-1037.

25. Латышев В.Н. Конечная базируемость тождеств некоторых колец // УМН. 1977. Т. 32, № 4. С. 259-260.

26. Латышев В.Н. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр (Автореферат диссертации на соискание степени доктора математических на-ук)//Математические заметки. 1980. Т. 27, № 1. С. 147-156.

27. Львов И.В. Конечномерные алгебры с бесконечными базисами тож-деств//Сибирский математический журнал. 1978. Т. 19, № 1. С. 91-99.

28. Медведев Ю.А. Конечная базируемость многообразий с двучленным тожде-ством//Алгебра и логика. 1978. Т. 17, № 6. С. 705-726.

29. Медведев Ю.А. Пример многообразия разрешимых альтернативных алгебр над полем характеристики 2, не имеющего конечного базиса тож-деств//Алгебра и логика. 1980. Т. 19, № 3. С. 3 00-313.

30. Пчелинцев С.В. Разрешимые индекса 2 многообразия алгебр/Математический сборник 1981. Т. 115. С. 179-203.

31. Пчелинцев С.В. О многообразиях, порожденных свободными алгебрами типа (-1,1) конечного ранга//Сибирский математический журнал. 1987. Т.28, №2. С. 149-158.

32. Пчелинцев С.В. Многообразия разрешимых индекса 2 альтернативных алгебр над полем характеристики 3//Математические заметки. 1999. Т. 66, № 4. С. 556-566.

33. Пчелинцев С.В. Структура слабых тождеств на грассмановых оболочках центрально метабелевых альтернативных супералгебр супер-ранга 1 над полем характеристики 3//Фундаментальная и прикладная математика. 2001. Т.7, № 3. С.849-871.

34. Пчелинцев С.В. Об одном почти шпехтовом многообразии центрально-метабелевых альтернативных алгебр над полем характеристики 3//Математический сборник. 2000. Т. 191, № 6. С. 127-144.

35. Пчелинцев С.В. Правоальтернативные метабелевы алгебры Грассмана//ХШ Международная конференция «Математика. Экономика. Образование.». III Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Тезисы докладов. Ростов н/Д, 2005-195с. С-87.

36. Розмыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль//Алгебра и логика. 1973. Т. 12, № 1.С. 83-113.

37. Розмыслов ЮЛ. Конечная базируемость некоторых многообразий ал-гебр//Алгебра и логика. 1974. Т. 13, № 6. С. 685-693.

38. Умирбаев У.У. Шпехтовость многообразия разрешимых альтернативных алгебр//Алгебра и логика. 1985. Т. 24, № 2. С. 226-239.

39. Шестаков И.П. Супералгебры и контрпримеры//Сибирский математический журнал. 1991. Т.32, №6. С. 187-196.

40. Щиголев В.В. Примеры бесконечнобазируемых Т-идеалов//Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 6, № 1. С. 307-312.

41. Amitsur A. S. The T-ideals of free rings//Jour. London Math. Soc. 1955. V. 30. p. 470-475.

42. Drensky V.S., Rashkova T.G. Varieties of metabelian Jordan algebras//Serdica Bulgarical mathematical publications. 1989. V.15, N 4. P. 293-301.

43. G. Higman Ordering by divisibility in abstract algebras//Proc. London Math. Soc. 1952. V. 3, N 2. P. 326-336.

44. M. Humm, E. Kleinfeld On free alternative rings//! Combin theory. 1967. V.2, N 2. 140-144.

45. A. Sagle Malcev algebras//Tranc, Amer Math. Soc. 1961. V.l01, N 3. P. 426458.

46. Shestakov I.P. Free Malcev Superalgebra on One Odd Generator//Journal of Algebra and Its Applications. 2003. Vol. 2, № 4. P. 451-461.

47. A. Thedy On rings satisfysing (a,&,c),d. = 0//Proc. Amer. Math. Soc. 1971. Vol 29. P. 250-254.Работы автора по теме диссертации

48. Ваулин А.Н. Свободная альтернативная алгебра с тождествомж,y.,z],t = 0: Тезисы докладов V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения»//Тула. 2003. С. 65-66.

49. Ваулин А.Н. Свободная альтернативная алгебра с тождествомx,y.,z],t — 0//Чебышевский сборник. 2003. вып.1, Т. 4. С. 54-60.

50. Ваулин АЛ. Об одном многообразии альтернативных ал-гебр//Фундаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10, № 4. С. 2334.

51. Ваулин А.Н. Базис тождеств алгебры Грассмана многообразия альтернативных алгебр с тождеством лиевой нильпотентности индекса 5, Тезисы докладов V Международной алгебраической конференции на Украине/Юдесса. 2005. С. 223.