Свойства многообразий ассоциативных алгебр, задаваемые на языке производных объектов: индикаторные и эквациональные характеризации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор наук Финогенова Ольга Борисовна

• Финогенова Ольга Борисовна
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Финогенова Ольга Борисовна

Общие подходы

Обсуждение проблематики. Постановка задач

Основные результаты диссертации

Список обозначений и терминов

1 Свойства экстремальных многообразий

1 Лемма Львова и ее приложения

2 Многообразия, удовлетворяющие свойству

3 Экстремальность многообразий колец и аддитивное кручение

2 Свойства производных полугрупп

4 Почти перестановочные многообразия

алгебр над бесконечным полем

4.1 Вспомогательные результаты

4.2 Доказательство теоремы 4.1: необходимость

4.3 Доказательство теоремы 4.1: достаточность

4.4 Доказательство теоремы 4.1. Следствия

5 Почти перестановочные многообразия,

не порождаемые конечной алгеброй

5.1 Однородные почти перестановочные многообразия

5.2 Неоднородные почти перестановочные многообразия

5.3 Неоднородные почти перестановочные многообразия: случай конечного поля

5.4 Доказательство теоремы

6 Кроссовы почти перестановочные

многообразия алгебр над конечным полем

7 Почти перестановочные многообразия колец

8 Полугрупповые тождества многообразий

алгебр над конечным полем

8.1 Многообразия с полугрупповыми тождествами специального вида

8.2 Многообразия с "прыгающими степенями"

8.3 Доказательство теорем

9 Полугрупповые тождества многообразий

колец

10 Присоединенная регулярность

кольца матриц

3 Тождества ассоциированной алгебры Ли

11 Почти энгелевы многообразия

11.1 Элементарные свойства почти энгелевых многообразий

11.2 Доказательство теорем 11.1, 11.2 и

11.3 Некоторые следствия

12 Почти лиево нильпотентные многообразия

12.1 Алгебры над произвольным коммутативным

кольцом операторов

12.2 Алгебры над полем положительной характеристики

12.3 Кольца. Следствие

13 Почти разрешимые многообразия

4 Примеры некоторых классов

алгебр и колец

14 Псевдомногообразия

14.1 О неявных операциях

14.2 Базисы псевдотождеств некоторых псевдомногообразий

15 Базисы тождеств и порождающие алгебры некоторых многообразий

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойства многообразий ассоциативных алгебр, задаваемые на языке производных объектов: индикаторные и эквациональные характеризации»

Введение

Общие подходы

Теория многообразий ассоциативных колец и алгебр является одним из глубоко развитых направлений современной алгебры. Зародившись в 20-х годах прошлого столетия в работах, посвященных основаниям проективной геометрии, и пройдя этап уточнения строения Р1-алгебр, связанный с работами М. Холла, И. Капланского, С. Амицура, Я. Левицкого, Н. Джекобсона, А. И. Мальцева, А. Г. Куроша, А.И. Ширшова, теория многообразий сформировалась к началу 60-х годов в отдельную отрасль алгебраических исследований, обладающую специфической тематикой, кругом проблем и инструментарием.

При решении задач теории многообразий ассоциативных алгебр традиционно возникает три естественных случая: алгебр над полем нулевой характеристики, алгебр над бесконечным полем положительной характеристики и случай алгебр над конечным полем. Ответы, найденные в указанных ситуациях, как правило, позволяют разрешить проблему для многообразий колец и даже для многообразий алгебр над произвольным разумно устроенным коммутативным кольцом операторов (например, над кольцом Джекобсона).

Наиболее развитая теория и отточенная техника сформирована для случая многообразий алгебр над полем нулевой характеристики. Как показано еще в работе А. И. Мальцева [34], каждое такое многообразие может быть задано полилинейными тождествами. Это, в частности, позволяет в качестве мощного и тонкого инструмента использовать теорию представлений симметрических групп. Еще одно огромное преимущество данного случая — развитая структурная теория, напоминающая структурную теорию конечномерных алгебр. Так, полностью классифицированы первичные многообразия и доказаны теоремы о сборке произвольного многообразия из первичных и нильпотентных многообразий. Решающий вклад в создание этой теории внес А. Р. Кемер [18,19,62].

Следующий по сложности этап — многообразия алгебр над бесконечным полем положительной характеристики. Далеко не все из них задаются полилинейными тождествами. Среди таких многообразий есть бесконечно базируемые [4,11,50]. Первичные многообразия описаны лишь в некоторых специальных случаях, структура многообразия пока не прояснена в полной мере. Тем не менее, многообразия алгебр над бесконечным

полем задаются полиоднородными тождествами, на которых опять-таки естественным образом действует симметрическая группа. Из структурных результатов остается верным утверждение о локальной представимости, т.е. о совпадении идеала тождеств произвольной конечнопорож-денной алгебры с идеалом тождеств некоторой конечномерной так называемой классической алгебры. Иными словами, произвольное многообразие аппроксимируется конечномерными классическими алгебрами, причем указанные алгебры можно выбрать так, что размерности их полупростых частей будут ограничены в совокупности [20].

Наиболее трудоемкий случай касается многообразий алгебр над конечным полем. Здесь, помимо сложностей предыдущего этапа, появляются свои. В частности, не все многообразия задаются полиоднородными тождествами, что приводит к необходимости кропотливого анализа сложно устроенных тождеств. Свойство локальной представимости выполняется в таких многообразиях в гораздо более слабой форме, чем в предыдущем случае (см. [3]). В целом, несколько упрощая ситуацию, можно отметить, что разработанные в теории многообразий общие подходы применимы к данному случаю лишь отчасти и чаще всего тогда, когда многообразие близко по своим свойствам к многообразиям алгебр над бесконечным полем. Из сказанного становится ясно, что даже решенная в обоих "бесконечных" случаях задача при переходе к алгебрам над конечным полем может поставить перед исследователем ряд принципиально новых вопросов. Ни о каком прямом переносе доказательств речи, как правило, не идет. Более того, зачастую возникает обратный эффект, когда рассуждения, касающиеся многообразий алгебр над конечными полями, в почти не измененном виде оказываются верными и для многообразий алгебр над бесконечными полями.

Настоящая диссертация в целом посвящена изучению тех свойств многообразий, которые задаются определенными сериями тождеств. Прежде всего, речь идет о тождествах, возникающих при изучении производных объектов. Традиционным примером такого объекта может служить алгебра Ли, элементами которой являются элементы исходной алгебры, а операциями — обычное сложение и коммутирование [х,у] = ху — ух. Тождества такой алгебры Ли, рассматриваемые как полиномиальные тождества исходной ассоциативной алгебры, интенсивно изучаются в теории многообразий колец. К ним относятся, например, тождества энгелевости, лиевой нильпотентности, разрешимости. Естественными и давно исследуемыми производными объектами являются

также две полугруппы, ассоциированные с исходной алгеброй или кольцом: это обычная мультипликативная и так называемая присоединенная полугруппы. Их тождества, т.е. равенства вида и = V, где и и V — различные слова, записанные с помощью своего сигнатурного умножения, образуют класс специфических полиномиальных тождеств ассоциативных алгебр. В настоящей диссертации мы исследуем свойства многообразий, удовлетворяющих некоторым тождествам упомянутых выше производных объектов (круг интересующих нас свойств мы подробно опишем в следующем разделе). Отметим, что каждый из типов тождеств, рассматриваемых в данной работе, исследуется нами в том числе и в самых тяжелых случаях: для алгебр над конечным полем и для колец. Как уже отмечалось выше, в этой ситуации традиционные методы теории многообразий алгебр оказываются не слишком эффективными. Таким образом, на первый план выходит задача формирования общих техник и методов исследования. В данной работе комбинируется три тесно связанных между собой подхода: индикаторный — описание экстремальных для изучаемого свойства многообразий, синтаксический — анализ возможных преобразований идеала тождеств таких многообразий, и структурный — изучение строения алгебр, удовлетворяющих исследуемому свойству. Опишем эти подходы подробнее.

Первый из них образно и емко сформулирован в известном обзоре Ю.А. Бахтурина и А.Ю. Ольшанского "Тождества" (с.234 [2]):

"Картина безбрежного моря многообразий алгебр с отдельными островами важных примеров заставляет думать, что правильно поставленные задачи о свойствах многообразий и тождествах алгебр чаще должны вести к поиску многообразий и тождеств, экстремальных относительно естественных алгебраических свойств, нежели к описанию решеток всех подмногообразий."

Поиск таких экстремальных многообразий и контрпримеров в свою очередь весьма часто приводит к появлению индикаторных характери-заций. Под индикаторной характеризацией многообразий, удовлетворяющих некоторому свойству в, мы, следуя Л. Н. Шеврину (см. §0 обзора [48]), понимаем утверждения типа:

Многообразие обладает свойством в тогда и только тогда, когда не содержит ни одной из алгебр Л\,Л2,....

Конечно же, нас интересуют только нетривиальные описания подобного сорта. Естественно, например, стремиться к отысканию индикаторных характеризаций, в которых ни одна из "запрещенных" алгебр А\, Л2,... не может быть отброшена или заменена алгеброй меньшей мощности. Подобные характеризации будем называть минимальными.

Плюсы индикаторных описаний ярко проявляются, например, при алгоритмическом подходе, влияние которого на теоретическую алгебру, и в частности, теорию многообразий, заметно возросло с конца прошлого столетия (см. известный обзор Л. А. Бокутя [5], совместный обзор Л. А. Бокутя и Г. П. Кукина [6], обзор М. В. Сапира и О. Г. Харлампо-вич [61]). Алгоритмический подтекст заставляет интересоваться не только описаниями изучаемого свойства, но и возможностью эффективно проверять, удовлетворяет ли произвольное многообразие этому свойству. Предположим, что для свойства в найдена минимальная индикаторная характеризация. В этом случае убедиться, что многообразие, заданное конечным набором тождеств Е, удовлетворяет свойству в, достаточно легко: нужно проверить, что ни одна алгебра Л\, А2,... не удовлетворяет системе тождеств Е. Как правило, такая проверка может быть выполнена эффективно. Отметим, что в отсутствие индикаторной характери-зации алгоритмическое решение данной задачи по меньшей мере непрозрачно. Действительно, свойство в — это, как правило, выполнение хотя бы одного тождества бесконечной серии. Таким образом, для проверки в в многообразии, заданном конечным набором тождеств Е, нужно решить бесконечное число задач выводимости. Такой подход не обеспечивает нас алгоритмом даже при условии разрешимости индивидуальной задачи выводимости, установленной в [3, теорема 3].

Одна из наиболее естественных стратегий, приводящая к появлению индикаторных характеризаций, связана с поиском почти в-многообра-зий. Многообразие V будем называть почти в-многообразием, если оно само не удовлетворяет свойству в, в то время как любое его собственное подмногообразие этим свойством обладает. Другими словами, такие многообразия — в точности минимальные (относительно включения) элементы в множестве не-в-многообразий.

Пусть в — наследственное свойство, т.е. такое, что все подмногообразия любого в-многообразия — также в-многообразия. Тогда решетку всех многообразий можно изобразить следующим образом:

В данной работе все изучаемые свойства задаются тождествами. Это означает, что для свойства в указано семейство таких многочленов {}, 8 Е А, что многообразие V удовлетворяет в в том и только в том случае, когда для некоторого 8 Е А равенство Нь = 0 есть тождество многообразия V. В этом случае из коалгебраичности решетки многообразий немедленно следует, что полурешетка N0 удовлетворяет лемме Цорна вниз, а значит, каждое не-в-многообразие содержит почти в-многообразие. В этой ситуации наше свойство обладает индикаторной характеризацией — достаточно в качестве запрещенных алгебр взять порождающие алгебры почти в-многообразий. Легко видеть, что такая характеризация будет минимальной. Нетрудно убедиться и в обратном: если Л1, Л2,... — запрещенные алгебры из минимального индикаторного описания, то многообразия уэг А1, уэг Л2,... и только они, являются почти в-многообразиями.

Индикаторный подход был реализован для многих естественных структурных, решеточных и эквациональных свойств многообразий колец. Более подробно некоторые результаты такого плана будут обсуждаться в следующем разделе. Важно подчеркнуть, что нахождение индикаторных характеризаций в настоящей диссертации является не только способом изучения различных свойств многообразий, но и целью данной работы.

Второй, синтаксический метод исследования, относится к комбинаторным разделам теории многообразий алгебр. В рамках этого подхода для каждого в вычленяется набор преобразований, позволяющих в разных смыслах упрощать тождества почти в-многообразий. Экстремаль-

ность этих многообразий позволяет, помимо традиционной линеаризации и работы с полиоднородными компонентами, оказывать на идеал тождеств гораздо более специфические воздействия. Ярко такой подход удается продемонстрировать в классе нематричных условий, т.е. таких свойств в, для которых в-многообразия не содержат полных матричных алгебр второго порядка над полем. Нематричность, в частности, гарантирует коммутативность полупростых алгебр многообразия, обеспечивая выполнение сильных коммутаторных тождеств, которые могут быть упрощены согласно найденным правилам преобразования.

Третий, структурный, метод, реализуемый в данной диссертации, опирается на анализ строения алгебр почти в-многообразий. Зачастую такой анализ достаточно проводить лишь для конечномерных критических алгебр многообразия. Напомним, что алгебра называется критической, если ее собственные подалгебры и гомоморфные образы порождают подмногообразие, строго меньшее, чем многообразие, порожденное самой алгеброй. Отмечая внешнюю похожесть понятий критичности и почти в-многообразий, стоит обратить внимание и на внутреннюю связь, проявляющуюся в следующем очевидном факте: если множество в-многообразий является верхней полурешеткой в решетке всех многообразий, а некоторое почти в-многообразие порождено конечномерной алгеброй, то в качестве порождающей алгебры этого многообразия можно выбрать критическую алгебру. Но и в случае, когда экстремальное многообразие не может быть порождено конечным объектом, критические алгебры играют весьма важную роль в исследовании.

Комбинация синтаксического и структурного подходов демонстрирует один из наиболее естественных внутренних источников развития теории многообразий: огромный пласт важных проблем этой теории можно формулировать в форме задач прямого или обратного перевода с эква-ционального языка задания многообразий на язык носителей, порождающих многообразие. Интеграция же трех вышеперечисленных подходов позволяет не только глубоко изучить интересующие нас свойства, но и в частности решить несколько конкретных задач перевода, т.е. найти базисы тождеств и порождающие алгебры экстремальных многообразий. Схема решения таких задач в настоящей работе одна и та же. На роль почти в-многообразия выбирается правдоподобный кандидат V, заданный некоторым набором тождеством. Синтаксически доказывается, что каждое собственное его подмногообразие удовлетворяет в. После этого предъявляется алгебра Л из многообразия V, которая не может лежать

ни в каком в-многообразии. Последнее означает, что уэг Л = V, и V является почти в-многообразием. Указанным методом мы находим базисы тождеств и порождающие алгебры для нескольких серий многообразий (см. §15). Отметим, что накопление таких примеров имеет и большую самостоятельную ценность, поскольку поиск базиса тождеств конкретных алгебр, как правило, весьма нетривиален даже в случае алгебр над бесконечным полем.

Обсуждение проблематики. Постановка задач

Свойства производных полугрупп

Всюду в диссертации мы считаем, если не сказано иное, что Г — произвольное ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, а слово "алгебра" есть сокращение фразы "унитарная ассоциативная алгебра над кольцом Г". При этом в самой алгебре наличия единицы мы не требуем.

С каждой алгеброй (Л, + , •), можно связать две полугруппы: мультипликативную {Л, •) и присоединенную (Л, о), где присоединенное умножение о задается формулой а о Ь = а + Ь — аЬ для всех а,Ь Е Л. В некоторых работах под присоединенным умножением понимается операция о', задаваемая правилом а о' Ь = а + Ь + аЬ. Между этими операциями нет существенной разницы, поскольку отображение а М —а задает изоморфизм полугрупп (Л, о') и (Л, о). Понятие присоединенной полугруппы возникло в теории колец в конце 1940-х гг. в работах Джекобсона и сыграло важную роль в построении теории радикалов. Для удобства мы будем называть мультипликативную и присоединенную полугруппы производными полугруппами алгебры. Если алгебра Л содержит единицу, то ее производные полугруппы изоморфны: требуемым изоморфизмом, как нетрудно проверить, в этом случае является отображение а М- 1 — а. В алгебрах без единицы производные полугруппы изоморфными быть не могут, так как присоединенная полугруппа является моноидом, где роль нейтрального элемента играет 0 алгебры. Более того, в этом случае полугруппы могут существенно отличаться, как структурно, так и эква-ционально: например, если алгебра (Л, + , •) нильпотентна, то полугруппа (Л, •) нильпотентна, а полугруппа (Л, о) является группой.

Нас интересуют индикаторные описания свойств многообразий алгебр, формулируемых в терминах тождеств производных полугрупп. Тождества полугрупп естественно распадаются на два класса: I — тождества, у которых состав переменных в левой и правой частях не совпадает, и II — тождества с одинаковым составом левой и правой части. Нетрудно проверить, что в нашем случае любое тождество из первого класса независимо от того, какая из производных полугрупп ему удовлетворяет, обеспечивает нильность алгебры, т.е. выполнение в ней тождества х ^ X = 0. Почти ниль-многообразия исчерпываются многооб-

п

разием всех коммутативных алгебр в случае бесконечного поля, и атомами решетки многообразий, порождаемыми конечным полем, в случае

колец или алгебр над конечным полем. Сформулированный результат, по-видимому, является фольклорным. Важный подкласс более сильных полугрупповых тождеств составляют тождества нильпотентности вида XI • • • хп = 0. Это свойство имеет смысл рассматривать лишь для мультипликативной полугруппы, поскольку, как уже было сказано, присоединенная полугруппа всегда является моноидом. Почти нильпотентные многообразия алгебр описаны И. В. Львовым в [31] в случае произвольного нетерова кольца операторов. Отметим, что указанное описание является, по-видимому, одной из первых нетривиальных индикаторных ха-рактеризаций свойств многообразий алгебр.

Тождества из класса II, зависящие от одной переменной, имеют вид хк = х1 при к = I. Они играют значительную роль в теории многообразий колец и полугрупп. Многообразия, удовлетворяющие тождествам указанного типа, называются периодическими. М. В. Волков в [7] всесторонне изучил периодические многообразия колец, указав в в том числе и все почти периодические многообразия. Из полученного описания легко извлекается характеризация таких многообразий в случае алгебр на конечным полем. В случае бесконечного поля любое периодическое многообразие алгебр является ниль-многообразием в силу однородности идеала тождеств. Найденное для обычного умножения описание является характеризацией периодичности и для присоединенного умножения, поскольку, как нетрудно показать, производные полугруппы могут удовлетворять или не удовлетворять тождеству периодичности лишь одновременно.

Важным и в некотором смысле минимальным примером тождества класса II от двух букв является тождество коммутативности. Так же, как и периодичность, коммутативность одной из производных полугрупп эквивалентна коммутативности другой. Почти коммутативные многообразия колец подробно изучались Ю. Н. Мальцевым. В частности, оказалось, что каждое такое многообразие порождено конечным кольцом. В [36] получено полное описание ненильпотентных почти коммутативных многообразий колец. Позже оно было перенесено на случай алгебр над произвольным нетеровым коммутативным кольцом Джекобсона с единицей (см. [66]). Нильпотентные же почти коммутативные многообразия, как выяснилось, достаточно сложно устроены. Их специфика была выявлена и исследовалась в [13,36,37,42,44,66,71]. Найдено множество примеров, накоплена содержательная информация о строении алгебр, их

порождающих. Несмотря на это, задача полного описания таких многообразий открыта до сих пор и представляется весьма трудной.

Естественным обобщением тождества коммутативности являются тождества, в которых каждая переменная входит и в левую, и в правую часть ровно по одному разу. Они имеют следующий вид

х1х2 • • • хп х1 ах2а ' ' • хпа, (°.1)

где п — произвольное натуральное число, а а — нетривиальная перестановка множества {1, 2,...,п}, и называются перестановочными. (Легко заметить, что любой моноид, удовлетворяющий такому тождеству, является коммутативным, поэтому под тождеством перестановочности мы будем понимать только тождество, записанное с помощью обычного умножения.) Тождества такого вида начали изучаться в теории полугрупп в конце пятидесятых годов [77]; в теории колец их впервые рассмотрел, по-видимому, В. Н. Латышев в [28]. Им доказана шпехтовость любого перестановочного многообразия алгебр над полем характеристики 0. Позже этот результат был обобщен на случай алгебр над произвольным нетеровым коммутативным кольцом с единицей [23]. Помимо комбинаторных рассмотрений, перестановочные тождества играют заметную роль и при изучении структурных аспектов теории колец (см., например, [69]). Индикаторных же характеризаций свойства перестановочности не было найдено ни в случае алгебр над полем, ни в случае колец. Для удобства будем называть многообразия, алгебры или кольца, удовлетворяющие тождеству (0.1), перестановочными.

Задача 1 Описать почти перестановочные многообразия алгебр над различными полями.

Задача 2 Описать почти перестановочные многообразия колец.

Разрешив переменным входить в тождество больше одного раза, мы столкнемся с полугрупповыми тождествами произвольного вида. Очевидно, что каждое такое нетривиальное полугрупповое тождество, выполняемое в производной полугруппе, является для самой алгебры полиномиальным тождеством специального типа. Таким образом, любая алгебра, чья производная полугруппа удовлетворяет нетривиальному тождеству, является Р1-алгеброй. Обратное в общем случае не верно: например, легко проверить, что алгебра верхнетреугольных целочисленных

матриц второго порядка удовлетворяет тождеству [х,у][г,£] = 0. Эта алгебра имеет единицу, поэтому ее производные полугруппы изоморфны. Кроме того, известно, что для любого положительного к матрицы к г

0 1 ,, 0,... ,к — 1, порождают свободную полугруппу ранга к

(см. [52]). Это означает, в частности, что производные полугруппы данной алгебры не удовлетворяют никаким нетривиальным тождествам.

Полиномиальное тождество и = V будем называть полугрупповым, если и, V — различные слова, записанные с помощью операции •, и присоединенным полугрупповым, если и, V — различные слова, записанные с помощью операции о. Если и и V начинаются с разных букв и заканчиваются разными буквами, тождество и = V будем называть приведенным.

Многообразия алгебр, чья мультипликативные полугруппы удовлетворяют каким-либо нетривиальным тождествам, начали изучаться в случае поля нулевой характеристики И. З. Голубчиком и А В. Михалевым в [10]. В этой работе, в частности, доказано, что единственной запрещенной алгеброй для свойства "удовлетворять полугрупповому тождеству" является алгебра верхнетреугольных матриц ЦТ2 (Г) над основным полем Г. Данный результат был обобщен на случай бесконечного поля произвольной характеристики Л. М. Самойловым в [46]. Присоединенные полугрупповые тождества для алгебр над бесконечным полем изучались М. Вилсоном и Д. М. Райли в работе [73]. В ней, в частности, было доказано, что в случае бесконечного поля наличие полугруппового тождества любого из трех типов (приведенного, присоединенного или приведенного присоединенного) эквивалентно выполнимости в алгебре тождества вида [[... [х,у],у,.. .],у] = 0. Многообразия и алгебры, удовлетворяющие таким тождествам, называются энгелевыми. Подробнее мы обсудим их в следующем разделе. Отметим только, что описание почти энгелевых многообразий алгебр над полем характеристики 0 найдено Ю. Н. Мальцевым в [35]. Таким образом, индикаторную характеризацию многообразий, удовлетворяющих тождеству любого из трех перечисленных выше типов, можно считать в этом случае известной. Для бесконечного поля положительной характеристики такого описания получено не было.

Задача 3 В случае алгебр над бесконечным полем положительной характеристики найти индикаторную характеризацию многообразий, удовлетворяющих приведенному полугрупповому тождеству.

Ситуация колец и алгебр над конечным полем оставалась практически не изученной. Непонятно было даже, всегда ли среди кольцевых следствий присоединенных тождеств обязаны находиться обычные полугрупповые тождества и наоборот. Открытым оставался вопрос и об эквивалентности энгелевости алгебры и наличия нетривиального тождества в одной из производных полугрупп этой алгебры.

Задача 4 В случае алгебр над конечным полем найти индикаторную характеризацию многообразий:

• удовлетворяющих полугрупповому тождеству;

• удовлетворяющих присоединенному полугрупповому тождеству;

• удовлетворяющих приведенному полугрупповому тождеству;

• удовлетворяющих приведенному присоединенному полугрупповому тождеству.

Задача 5 Найти индикаторные описания многообразий колец каждого из четырех перечисленных в задаче 4 типов.

Завершая данный раздел, обсудим еще один вопрос, связанный с производными полугруппами. Напомним, что полугруппа называется регулярной, если для любого ее элемента a найдется элемент b, для которого aba = a. Кольца, обладающие такой мультипликативной полугруппой, были введены Дж. фон Нейманом в работе [68] и названы регулярными кольцами. Они играют важнейшую роль в теории колец и интенсивно изучаются с разных позиций (см., например, [56,75]). Кольца, в которых регулярна присоединенная полугруппа, называются присоединенно регулярными. Класс таких колец весьма широк, он включает в себя как все регулярные кольца [55, теорема 1], так и в некотором смысле антиподы регулярных колец — кольца, совпадающие со своим радикалом Джекоб-сона. Последнее происходит из-за того, что присоединенная полугруппа радикального кольца есть группа. Важным и используемым в приложениях фактом является утверждение о том, что свойство "быть регулярным кольцом" наследуется полными матричными кольцами. Впервые этот факт без доказательства был сформулирован в упомянутой пионерской работе фон Неймана [68], доказательство появилось несколько позже, в статье [53]. Аналогичную гипотезу о наследуемости свойства присоединенной регулярности кольцами матриц высказал Ду Ксиянкун [55]

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Финогенова Ольга Борисовна, 2016 год

Список литературы

[1] Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.:Наука, 1985, 448с.

[2] Бахтурин Ю.А., Ольшанский А.Ю. Тождества// Алгебра - 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 18, ВИНИТИ, М., 1988, 117-240

[3] Белов А.Я. Локальная конечная базируемость и локальная представимость многообразий ассоциативных колец// Изв. РАН. Сер. матем. 2010. Т.74. N1. С.3-134.

[4] Белов А.Я. О нешпехтовых многообразиях // Фундам. прикл. матем. 1999. Т.5. С.47-66.

[5] Бокуть Л.А. Алгоритмические проблемы и теоремы вложения: некоторые открытые вопросы для колец, групп и полугрупп// Изв. вузов. Матем. 1982. N 11. С.3-11.

[6] Бокуть Л.А., Кукин Г.П. Неразрешимые алгоритмические проблемы для полугрупп, групп и колец// Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 25, ВИНИТИ, М. 1987. С.3-66

[7] Волков М.В. Периодические многообразия ассоциативных колец//Изв. вузов. Математика. 1979. N 8. С.1-13.

[8] Волков М.В. Многообразия ассоциативных колец со свойством вло-жимости амальгам//Мат. заметки. 1983. Т.33, N1, С.3-13.

[9] Волков М.В., Танана Г.В.О суммах радикальных и регулярных колец// Фундамент. и прикл. матем. 2003. Т.9, N1, С.71-75

[10] Голубчик И.З., Михалев А.В. О многообразиях алгебр с полугрупповыми тождествами// Вестник МГУ. 1982. Т.1. N 6. С.8-11.

[11] Гришин А.В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2, Фундамент. и прикл. матем., 5:1 (1999), 101-118

[12] Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей. 4-е изд. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1993.

[13] Захарова Е.Н. Почти коммутативные нильпотентные многообразия алгебр// Изв. АН Молд ССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук. 1982. N 1. С.3-10.

[14] Зельманов Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли// Сиб. матем. ж. 1988. Т.29. N 5. С.112-117.

[15] Зельманов Е.И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для групп нечетного показателя// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54. N 1. С.42-59.

[16] Зельманов Е.И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп// Матем. сб. 1991. Т. 182. N 4. С.568-592

[17] Кемер А.Р. О нематричных многообразиях// Алгебра и логика. 1980. Т.19. N3. С.255-283.

[18] Кемер А.Р. Многообразия и Z2-градуированные алгебры// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48. N 5. С.1042-1059.

[19] Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и логика. 1987. Т. 26. N 5. С.597-641.

[20] Кемер А.Р. Тождества конечнопорожденных алгебр над бесконечным полем// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54. N 4. С.726-753.

[21] Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. М.:Наука, 1986. 232 с.

[22] Кузьмин Е.Н., Мальцев Ю.Н. Базис тождеств алгебры матриц второго порядка над конечным полем// Алгебра и логика. 1978. Т.17. N1. С.28-32.

[23] Красильников А.Н. О конечности базиса тождеств некоторых многообразий ассоциативных колец// Алгебраические системы (межвуз. сб. научных трудов). Иваново. 1991. С.18-26.

[24] Кублановский С.И. Локально финитно аппроксимируемые и локально представимые многообразия ассоциативных алгебр// Деп. ВИНИТИ. 6143-82ДЕП. 1982.

[25] Кублановский С.И. О многообразиях ассоциативных алгебр с локальными условиями конечности// Алгебра и анализ. 1997. Т.9. N4. С.119-174.

[26] Латышев В.Н. О конечной порожденности Т-идеала с элементом [хъх2,х3,х4]// Сиб. матем. ж. 1965. Т.6. N6. С.1432-1434.

[27] Латышев В.Н. Обобщение теоремы Гильберта о конечности базисов// Сиб. матем. ж. 1966. Т.7. N6. С.1422-1424.

[28] Латышев В.Н. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр//Алгебра и логика. 1969. Т.8. N6. С.660-673.

[29] Львов И.В. Условия максимальности в алгебрах с тождественными соотношениями// Алгебра и логика. 1969. Т.8. N4. С.449-459.

[30] Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец.1// Алгебра и логика. 1973. Т.12. N3. С.269-297.

[31] Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец.11// Алгебра и логика, 1973. Т.12. N6. С.667-688.

[32] Львов И.В. Теорема Брауна о радикале конечнопорожденной Р1-алгебры/ Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР. 1984. препринт N63.

[33] Мальцев А.И. О гомоморфизмах на конечные группы// Учен. зап. Ивановск. пед. ин-та. 1958. Т.18. N5. С.49-60.

[34] Мальцев А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями// Матем. сб. 1950. Т.26(68). N 1. С.19-33.

[35] Мальцев Ю.Н. О многообразиях ассоциативных алгебр://Алгебра и логика. 1976. Т.15. N5. С.579-584.

[36] Мальцев Ю.Н. Почти коммутативные многообразия ассоциативных колец// Сиб. матем. ж. 1976. Т.17. N5. С.1086-1096.

[37] Мальцев Ю.Н. Некоторые примеры многообразий ассоциативных колец// Алгебра и логика. 1976. Т.19. N6. С.669-676.

[38] Мальцев Ю.Н. Почти энгелевы локально конечные многообразия ассоциативных колец// Изв. вузов. Математика. 1982. Т.26. N 11. С.41-42.

[39] Мальцев Ю.Н. О строении критических колец// Сиб. матем. ж. 1982. Т.23. N 1. С.65-69.

[40] Мальцев Ю.Н. Строение некоторых специальных критических алгебр //Сиб. матем. ж. 1984. Т.25. N 1. С.91-100.

[41] Марков В.Т. О системах порождающих Т-идеалов конечнопорож-денных свободных алгебр://Алгебра и логика. 1979. Т.18. N 5. С.587-598.

[42] Олексенко А.Н. Почти коммутативные нильпотентные индекса 4 многообразия колец// Изв. Алтай. универ. Сер. Мат. Инф. Физ. 2001. N 1. С.30-33.

[43] Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986. 543 с.

[44] Петров Е.П. О почти коммутативных многообразиях ассоциативных колец// Деп. в ВИНИТИ, 21.05.96. Ш506-Б96, С.1-30.

[45] Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.:Наука, 1989, 432 с.

[46] Самойлов Л.М. Замечания о трехчленных тождествах в ассоциативных алгебрах// Матем. заметки. 1999. Т. 65. N 2. С.254-260.

[47] Сапир М.В., Харлампович О.Г. Проблема равенства слов в многообразиях ассоциативных алгебр и алгебр Ли// Изв. вузов. Математика. 1992. N6. С.76-84.

[48] Шеврин Л.Н., Суханов Е.В. Стуктурные аспекты теории многообразий полугрупп//Изв. вузов. Математика. 1989. N 6. С.3-39.

[49] Шур А.М. Комбинаторика слов. Екатеринбург: Изд-во Уральского унив., 2003, 96 с.

[50] Щиголев В.В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов// Фундамент. и прикл. матем. 1999. Т. 5. N 1. С.307-312.

[51] Almeida J. Finite Semigroups and Universal Algebra. Singapore: World Scientific, 1995. 511 p.

[52] Blondel, V. D.; Cassaigne, J.; Karhumaki, J. Freeness of multiplicative matrix semigroups Problem 10.3 in: Blondel, V. D. and Megretski, A. (eds.), Unsolved Problems in Mathematical Systems and Control Theory, Princeton University Press. 2004. 309-314.

[53] Brown, B., McCoy, N.H. The maximal regular ideal of a ring// Proc. Amer. Math. Soc. 1950. V.1 N 2. P.165-171

[54] Dean R. A., Evans T. A remark on varieties of lattices and semigroups// Proceedings of the American Mathematical Society. 1969. N 21. P.394-396.

[55] Du Xiankun The rings with regular adjoint semigroups// Northeast. Math. J. 1988. 4(4). 463-468.

[56] Goodearl K.R. Von Neumann regular rings. 2nd ed. Robert E. Krieger, Malabar, FL, 1991. 412 p.

[57] Higgins P.J. Lie rings satisfying the Engel condition// Proc. Cambr. Philos. Soc. 1954. V. 50. N 1. P.8-15.

[58] Jacobson N. PI-algebras.Berlin: Springer, 1975. 66 p.

[59] Jennings S.A. On rings whose associated Lie rings are nilpotent//Bull. Amer. Math. Soc. 1947. V.53. P.593-597.

[60] Jennings S.A. Radical rings with nilpotent associated rings//Trans. Roy. Soc. Canada. 1955. Sect.3. N49. P.31-38.

[61] Kharlampovich O.G., Sapir M.V. Algorithmic problems in varieties// Int. J. Algebra and Computation. 1995. V.5, N4-5. P.379-602.

[62] Kemer A.R. Ideals of Identities of Associative Algebras. Amer. Math. Soc., Providence, 1991. 81 p.

[63] Kemer A.R. Remarks on the prime varieties// Israel J. Math. 1996. N 96. P.341-356.

[64] Kemer A.R. Multilinear components of the prime subvarieties of the variety VarM2(F)// Algebras and Representation Theory. 2001. V.4. N

1. P.87-104.

[65] Kruse R. Identities satisfied by a finite ring// J. Algebra. 1973. V.26. N

2. P.298-318.

[66] Mal'cev Yu.N. Just non commutative varieties of operator algebras and rings with some conditions on nilpotent elements// Tamkang J. Math. 1996. V.27. N 1. P.59-65.

[67] McKenzie R. Residually small varieties of K-rings// Algebra Universalis. 1981. N 14. P.181-196.

[68] von Neumann J. On regular rings// Proc. Nat. Acad. Sci. 1936. V.22. N 12. P.707-713.

[69] Nordahl T. On permutative semigroup algebras// Algebra Univers. 1988. V.25. N 3. P.322-333.

[70] Perkins, P. Bases for equational theories of semigroups// J. Algebra. 1969. V.11. N 2. P.298-314.

[71] Petrov E. On properties of just-noncommutative varieties of algebras//Int. Conf. on Algebra. Abstracts. St Petersburg, 1997. P.97-98.

[72] Reiterman J. The Birkhoff theorem for finite algebras// Alg. Univer. 1982. V.14. N 1. P.1-10.

[73] Riley D.M., Wilson M.C. Associative algebras satisfying a semigroup identity// Glasgow Math. J. 1999. N 41. P.453-462.

[74] Riley D.M., Wilson M.C. Associative rings satisfying the Engel condition,// Proc. Amer. Math. Soc. 1999. N 127. P.973-976

[75] Tuganbaev A.A. Rings Close to Regular, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2002. 362 p.

[76] Volkov M.V. Identities in lattices of ring varieties// Algebra Universalis. 1986. V.14. N 1. P.32-43.

[77] Yamada M., Kimura N. Note on idempotent semigroups.II//Pioc. Japan. Acad. 1958. V.34. N 2. P.110-112

Работы автора по теме диссертации

[78] Финогенова О.Б. (Пайсон), Волков М.В., Сапир М.В. Финитная отделимость в многообразиях ассоциативных колец// Алгебра и логика. 1999. Т. 38, N 2. C.201-227.

[79] Финогенова О.Б. Многообразия ассоциативных алгебр, удовлетворяющие тождествам Энгеля// Алгебра и логика. 2004. T. 43. N 4. C.482-505.

[80] Финогенова О.Б. Почти перестановочные многообразия ассоциативных алгебр над бесконечным полем// Алгебра и логика. 2012. Т. 51. N 6. C.783-804.

[81] Финогенова О.Б. Почти перестановочные многообразия ассоциативных колец и алгебр над конечным полем// Алгебра и логика. 2013. Т. 52, N 6. C.731-768.

[82] Финогенова О.Б. Почти лиево разрешимые многообразия ассоциативных алгебр конечного базисного ранга// Сиб. электр. матем. изв. 2015. Т. 12. C.1-6.

[83] Финогенова О.Б. Характеризация локально нётеровых многообразий в терминах идемпотентов// Матем. заметки. 2015. Т. 97. N 6. С.925-929.

[84] Финогенова О.Б. Почти лиево нильпотентные непервичные многообразия ассоциативных алгебр// Тр. Ин-та матем. и механ. УрО РАН. 2015. Т. 21, N 4. С.282-291.

[85] Финогенова О.Б. Почти лиево нильпотентные многообразия ассоциативных колец// Сиб. электр. матем. изв. 2015. Т. 12. C.901-909.

[86] Finogenova O.B. The complete matrix ring over an adjoint regular ring is adjoint regular// Semigroup Forum. 2010. V. 80. N 1. P.79-84.

[87] Finogenova O.B. Characterizing non-matrix properties of varieties of algebras in the language of forbidden objects// Serdica Math. J. 2012. V.38. P.473-496.

[88] Финогенова О.Б. (Пайсон) Перестановочные псевдомногообразия ассоциативных алгебр над конечным полем/III Международная конф. по алгебре: Тез. докладов. Красноярск, 1993. С.252.

[89] Финогенова О.Б. (Пайсон) Многообразия ассоциативных колец, все критические кольца которых арифметические/ Международная конф. "Алгебра и анализ": Тез. докладов. Казань, 1994. C.72.

[90] Финогенова О.Б. (Пайсон) Базис псевдотождеств псевдомногообразия перестановочных алгебр/ III Суслинская конференция: Тез. докладов. Саратов, 1994. C.65.

[91] Finogenova O.B. (Paison) On finite separability in associative ring varieties// Ring Theory Conf., Abstracts, Miskolc. 1996. P.44.

[92] Finogenova O.B. (Paison) Minimal non-permutative varieties of associative algebras// Int. Conf. on Algebra, Abstracts, St Petersburg. 1997. P.94-95.

[93] Финогенова О.Б. (Пайсон) Индикаторные характеризации некоторых свойств многообразий ассоциативных колец/ диссертация на соиск. канд физ-мат. н., Екатеринбург, 1998

[94] Finogenova O.B. (Paison) Minimal non-Engel varieties of associative algebras. Междун. семинар "Универсальная алгебра и ее применения": Тез. докладов. Волгоград, 1999. C. 85.

[95] Finogenova O.B. Minimal non Lie-nilpotent varieties of associative algebras Международная алгебр. конф., посвященная 250-летию Московского университета: Тез. докладов. М.: МГУ, 2004. С.187.

[96] Finogenova O.B. Locally idempotent-finite varieties of associative rings // В кн. Международная алгебраическая конференция: Тез. докладов. Изд-во Урал. гос. ун-та, Екатеринбург, 2005. С.123-124

[97] Finogenova O.B. The rings of all matrices over adjoint regular rings are adjoint regular, Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша: Тез. докладов. М.: МГУ, 2008. С.187.

[98] Finogenova O.B. Indicator descriptions of some properties of associative ring varieties, Intern. Workshop "Polynomial Identities in Algebras. II". Absracts. St.-John's, NL, Canada, 2011. P.12.

[99] Финогенова О.Б. Об эйлеровых тождествах матричных колец, Междунар. конф. по теории колец, посвящ. 90-летию со дня рожд. А. И. Ширшова: Тез. докл. Новосибирск, 2011. С. 23.

[100] Финогенова О.Б. Лиево разрешимые псевдомногообразия ассоциативных колец, Междунар. конф. Алгебра и линейная оптимизация, посвящ. 100-летию со дня рожд. С.Н.Черникова: Тез. докладов. Екатеринбург, 2012, с.164.

[101] Финогенова О.Б. Почти перестановочные многообразия ассоциативных колец и алгебр над полем. Междунар. конф. "Мальцевские чтения": Тез. докл. Новосибирск, 2012. С.118.

[102] Finogenova O.B. Varieties of associative algebras satisfying a reduced semigroup identity, Internat. Conf. "Classical Aspects of Ring Theory and Module Theory". Abstracts. Bedlewo, Poland, 2013. P.41.

[103] Финогенова О.Б., Свиридова И.Ю. Коммутативность четных компонент Z2-градуированных алгебр и ее неградуированные следствия. XII междунар. конф. "Алгебра и теория чисел: соврем. проблемы и приложения", посвящ. 80-летию проф. В.Н. Латышева: тез. докладов. Тула, 2014. С.181-182.

[104] Финогенова О.Б. Свойства многообразия, порожденного матричной супералгеброй M1>1(G). Междунар. конф. "Мальцевские чтения", посвящ. 75-летию Ю.Л. Ершова: Тез. докл. Новосибирск, 2015. С.171.

[105] Finogenova O.B. Tensor product theorems for different types of fields. Intern. Conf. "Groups and Rings - Theory and Applications". Abstracts. Sofia, Bulgaria, 2015. P.50-51.

[106] Finogenova O.B. Algebra variety properties given by identities of derived objects. Intern. Conf. "Groups and Graphs, Algorithms and Automata": Тез. докладов. Екатеринбург, 2015. P.48.