О нелинейных абстрактных параболических дифференциальных включениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гудович, Анастасия Николаевна

• Гудович, Анастасия Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гудович, Анастасия Николаевна

ВВЕДЕНИЕ

1 Сингулярно возмущенные включения параболического типа

1.1 Задача Коши для сингулярно возмущенных квазилинейных включений в банаховом пространстве

1.2 Задача о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных квазилинейных включений в гильбертовом пространстве

2 Принцип усреднения для сингулярно возмущенных абстрактных параболических включений, содержащих гистерезисные нелинейности

2.1 Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических уравнений с гистерезисными нелинейностями

2.2 Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических включений с гистерезисными нелинейностями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О нелинейных абстрактных параболических дифференциальных включениях»

В последнее время интенсивно развивается теория полулинейных систем дифференциальных уравнений и включений в банаховом пространстве. Дифференциальные уравнения и включения такого вида естественным образом возникают в общей теории управляемых систем (см. [25], [26], [27], [28], [30], [4], [43], [44], [18], [46], [47], [48], [24]), в задачах управления переносом тепла ([30], [4], [34], [46]), теории препятствий ([33]), при изучении гибридных систем с проскальзыванием ([31]), в теории управления передаточными линиями ([32]), в общей теории уравнений в частных производных ([49]) и других областях.

Поскольку решения различных задач для систем, описываемых дифференциальными уравнениями и включениями, зачастую полностью определяются неподвижными точками некоторого однозначного или многозначного отображения, вопрос о существовании решений таких задач эквивалентен вопросу о разрешимости нелинейных операторных уравнений или включений. В зависимости от свойств соответствующего отображения, для доказательства теорем существования могут быть применены различные принципы неподвижной точки. Так, для случая операторных уравнений, самыми известными являются восходящий к С. Банаху принцип сжатых отображений, различные обобщения принципа Шаудера, А.Н. Тихонова и принцип ненулевого вращения, опирающийся на построенную Ж. Лере и Ю. Шаудером и развитую М.А. Красносельским (см.[21],[20]) теорию вращения (теорию топологической степени) . Эти методы могут быть использованы также для исследования зависимости решений операторных уравнений от параметра (см. [21],[20]).

Различные обобщения теории вращения на многозначный случай (теория вращения многозначных вполне непрерывных векторных полей с выпуклыми образами , теория относительной топологической степени многозначных векторных полей, теория вращения многозначных векторных полей с обобщенными Д;-образами ) были получены М.А. Красносельским [21], Ю.Г. Борисовичем, Б.Д. Гельманом, В.В. Обуховским, А.Д. Мышкисом [2](см. также [45]).

Топологические методы применялись при исследовании операторных ч уравнений и включений с параметрами в работах М.А. Красносельского, В.В. Обуховского, М.И. Каменского, П. Нистри, P. Zecca. Так, М.А. Красносельским был сформулирован следующий общий принцип непрерывной зависимости решений операторных уравнений от параметра.

Пусть Е — банахово пространство, F : Е X [0,1] —¥ Е — вполне непрерывный оператор. Предположим, что существует единственное решение х* уравнения x = F(x, 0), (1) причем ind(F(-,Q),x*) ф 0. Тогда при достаточно малых е > 0 множество решений Хе уравнения х = F(xy е) непусто, причем многозначное отображение £ Хе непрерывно при е = 0.

Данный принцип переносится на случай, когда решения уравнения (1) принадлежат некоторому открытому (или относительно открытому ) в Е ограниченному множеству U, такому что отображение I — F(-, 0) имеет на границе U отличное от нуля вращение (относительное вращение) (см. [2]), а также на случай, когда F — многозначное вполне непрерывное вы-пуклозначное отображение (см.[21]) и на случай, когда F — многозначный уплотняющий оператор с обобщенными -образами (см. [45]). При этом имеет место полу непрерывность сверху отображения е (-»• Х£. Аналогичные теоремы для слабо вполне непрерывных операторов были получены Ю.Г. Борисовичем.

Естественной областью для приложений данного принципа являются различные интегральные и дифференциальные уравнения (или включения) с параметрами. Однако, в некоторых случаях вхождения параметра, после перехода к операторному уравнению (соответственно, включению), непрерывность (соответственно, полунепрерывность сверху) соответствующего оператора по параметру не имеет места и потому непустозначность и непрерывность ( соответственно, полунепрерывность сверху) отображения е н-> Хе не может быть получена как следствие одной из таких теорем.

Основными примерами таких уравнений (включений) являются так называемые сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения (дифференциальные включения). В диссертации рассматриваются два вида систем дифференциальных уравнений (включений), в которые параметр е входит таким образом, что соответствующие интегральные операторы не будут непрерывными (полунепрерывными сверху) по этому параметру.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы существования и зависимости от малого параметра е решений начальной и периодической задач сингулярно возмущенных систем полулинейных абстрактных параболических включений с многозначными нелинейностями и однозначной линейной частью, порождающей аналитическую полугруппу. Предположение о подчиненности неограниченных однозначных и многозначных нелинейно-стей дробным степеням линейной части позволяет применить для построения соответствующих операторов метод дробных степеней, изложенный, например, в [22], [20].

В п. 1.1 рассматривается задача Коши для сингулярно возмущенной системы полулинейных дифференциальных включений в банаховом пространстве x'{t) + Ax{t) e ipi{t,x{t)) + bl2{x{t))y{t) < (2) ь ey'(t) +By(t) e Mt,x{t)) + b2l{x{t))y{t) + b22y(t) , t e , z(0) = s0, 2/(0) = 2/0, (3) где e — малый положительный параметр, —А и —В — производящие операторы аналитических полугрупп е~м и e~Bt, действующих в сепарабель-ных банаховых пространствах Е\ и Е2, пространство удовлетворяет свойству Радона-Никодима (см. [35]). Операторы А~1 и В~1 предполагаются вполне непрерывными. Такие условия на операторы Л и В позволяют установить компактность (при каждом фиксированном е) соответствующих интегральных операторов.

В системе (2)-(3) хо 6 D(A), уо € D(B), = 1,2, — многозначные отображения, bi2,b2i,b22— однозначные операторы. Операторы bij действуют из Ех в L(E2,Ei), i,j = 1,2, i ф j} b22 £ L(E2,E2). Через L(E2,Ei) обозначено пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Е2 в Е{.

Предполагается, что многозначные отображения ф^, i = 1,2, подчинены дробным степеням оператора А, т.е. при некотором а G (0,1) отображения ф^Ь,А~а-) полунепрерывны сверху при почти всех t G [0, d\. При е = 0 рассматривается включение смешанного типа x'{t) + Ax(t) G x(t)) + b12{x(t))y(t)

4)

By(t) G ф2&x(t)) + b2i(x(t))y(t) + b22y(t) , х(0) - ж0 - (5)

Под решением задачи (2)-(3) на отрезке [0, d\, следуя [29], понимаются обобщенные решения (х£,у£), которые являются непрерывными функциями, заданными на [0, d\ со значениями, соответственно в Е\ и Е2, удовлетворяющими включениям

Xe(t)e{9l{t) : gi(t) = e-Atx0+ f e-A^-s\h(s) + bl2{x£{s))y£{s)] ds}, (6)

Jo

Ve(t)e { g2(t) : 52Й = е-^о+;Ге-'В(Н[/2(5) + Jo bn{x£(s))y£(s) + b22y£(s)] ds}, (7) где fi g L°°(Ei) fi{t) пе' Ф^,х£(ь)), t g [o,d\.

Под решением вырожденной задачи (4)-(5) на отрезке [0, d\, понимаются обобщенные решения которые являются непрерывными функциями, заданными на [0, d\ со значениями, соответственно в Е\ и Е2, удовлетворяющими включениям 9i(t) = e~At%o + f + M*°M)l/°M] ds ,

Jo h G L°°(£?i)f fi(s) G Для п.в. s G [0,<f]} , (8)

2/°W € toW : 9o(t) = B-'lMt) + b21(x°(t))y°(t) + W(f)] , /о G L°°(E2), f0{t) G Для п-в-« G M} , f € M . (9)

Обозначим через Z{e), е > 0, множество решений системы (б)-(7), а через Z{0) — множество решений системы (8)-(9).

В работе указаны условия, при которых для системы (2)-(3) мы можем получить аналог классической теоремы А.Н.Тихонова о предельном переходе (см., например, [7]). А.Н. Тихоновым было установлено существование и единственность при малых е решения сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений вида< dx р. ч л- = /{х'уЛ =. F(x,y,t), te[o,d]. (10) x{0) = x0, 2/(0) = г/о (11)

Кроме того, было показано, что для любого 5 € (0, с?] решение (х£, уе) системы (Ю)-(И) равномерно на [0, d\x[S,d\ сходится при е 0 к решению вырожденной системы.

Проблема получения аналогичных теорем для сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений исследовалась в целом ряде работ (см. [10], [29], [40], [36], [37], [38]). В [38] для сингулярно возмущенных линейных управляемых систем с правой частью вида F(z,t) = A(t)z + B(t)Ur где A(t) и B{t) — матрицы, a t/ — компактное множество, был получен следующий интересный результат. При каждом фиксированном t Е (0, d\ существует множество Vt, такое что хаусдорфово расстояние между множествами {у = z(t),z 6 Z(e)} и Vt стремится к нулю при >е —> 0, причем множество Vt, как правило, шире множества {у = z(t),z £ Z{0)}. Данный результат показывает, что отображение е Z(e), вообще говоря, не является полунепрерывным сверху при е = 0 в метрике C[0,d\ х C[5,d\ : даже в линейном и конечномерном случае, т.е. полный аналог теоремы Тихонова для включений не может быть получен. Эта трудность может быть, однако, преодолена за счет удачного выбора топологии. В [37] была рассмотрена сходимость в С([0, d\, Rn) попеременной х и слабая сходимость в L2([0, d\i Rm) по переменной у. В [29] для случая бесконечномерных банаховых пространств рассматривалась равномерная сходимость по переменной х и слабая сходимость в L1([0,c(]) по переменной у.

А. Дончевым, Ц. Дончевым и И. Славовым [36] был предложен другой вариант теорем о предельном переходе для сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений. В работе [36] было приведено подмножество Zl{s) множества Z(e), такое что отображение е —> Zl{s) непу-стозначно и полунепрерывно сверху при е = 0+ в метрике теорем А.Н. Тихонова.

В диссертационной работе найдено подмножество Zi,(e) для случая бесконечномерных банаховых пространств. Это множество определяется следующим образом: при е > О

Zl{s) = {(ж,у) 6 Z(e) : х,у удовлетворяют условию Гельдера на [0,d] и d\, соответственно, с показателем 0(1 — а) и константой L} , где 6(e) — некоторая функция, удовлетворяющая условиям:

6(e) Оприе Ои 6(e) > О а — степень оператора А, которой подчинены нелинейности, О — произвольное число из интервала (0,1), а С — некоторая константа, определяемая свойствами правой части системы (2)-(3); при £ = 0

Zl(0) = {(х, у) 6 Z(0) : х,у удовлетворяет условию Гельдера на [0, d\ с показателем 0(1 — а) и константой L} .

Сформулированы условия, при которых для достаточно больших L отображение е —> Zi(e) непустозначно и полунепрерывно сверху при е = 0 в C([0,d\,Ei) х C([8,d\, Е2)> где 5 — любое число из интервала (0, d\.

В п. 1.2 диссертации рассматривается задача о периодических по времени решениях для сингулярно возмущенной системы полулинейных дифференциальных включений в гильбертовом пространстве x'(t) + AlX(t) е фi(t, x(t)) + b12(x(t))y(t) k ey'(t) + A2y(t) £ x(t)) + b21(x(t))y(t) + b22y(t) , t £ [0, T] . где —А\ и —А2 - производящие операторы аналитических полугрупп e~Alt и e~A2t, действующих в гильбертовых пространствах Е\ и Е2, А\— самосопряженный оператор, е— малый положительный параметр. Операторы Aj"1 и А21 предполагаются вполне непрерывными, многозначные отображения фг (г = 1,2) являются Т-периодическими по времени, 612,621,622— однозначные операторы. Предполагается, что операторы Ъц действуют из Ег в L(E2,Ei), ij = 1,2, ъфз, 622 G Ь(ЕЪЕ2).

Предполагается, что при некотором /3 G (0,1/2) многозначные отображения фг , г = 1,2, подчинены дробным степеням .

При е = 0 рассматривается включение смешанного типа x'(t) + Aix(jt) G Ф1(г,х{1)) + b12(x(t))y(t)

A2y(t) G ф2(1, x(t)) + b21(x(t))y(t) + b22y(t) .

Под Т-периодическими решениями системы (12), следуя [41], понимаются обобщенные решения (х£, у£), которые являются непрерывными периодическими функциями, заданными на [0, оо) со значениями соответственно в Ei и Е2, удовлетворяющими включениям е {91 : 9i(t) = f e-A«~s\h{s) + bl2(x£(s))y£{s)]ds, t > 0,

J—00

1 G LqT(Ex), h(s) G Vi(s, x£(s)) для п.в. s G [0, Г]}, (14) y£e { 92: g2(t) = - f e--<A^-s\h(s) + b2l{x£(s))y£{s) + J-00 b22ye{s)]ds, t > 0,/2 G LlT(E2), f2(s) G ф2(з,х£(з)) для п.в. s G [0,T]}. (15)

Под T- периодическими решениями системы (13) понимаются обобщенные решения (х°,у°), которые являются непрерывными периодическими функциями, заданными на [0,оо) со значениями соответственно в Е\ и Е2, удовлетворяющими включениям

6 {дг : gi(t) = f e~A^[Ms) + 6i2(z0(s))<,°(s)]ds, t > 0,

J—00

1 e L\(Ei), fi(s) G для п.в. s G [0,T]}, (16)

У° е {до : 9o(t) = ^[/o W + b2i(x°(t))y°(t) + b22y°(t)], t > 0, о e LlT(E2), fo(s) £ ф2{s,x°(s)) для п.в. s € [0,T]}. (17)

Обозначим через Z(e) множество Т-периодических решений системы (12), а через Z(0) — множество Т-периодических решений системы (13).

В диссертации для полулинейных дифференциальных включений в бесконечномерных пространствах получен аналог теоремы о сходимости периодических по времени решений сингулярно возмущенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, установленной в классической работе Л.Флэтто и Н. Левинсона ([39]). В этой работе были сформулированы условия, при которых периодическое решение системы вида dx . .

Ж = е^ = F(x,V,t), t> 0 (18) существует, единственно и равномерно на [0,Т] х [0, Т\ сходится к решению вырожденной задачи ( конечномерный случай). Аналогичный результат для бесконечномерных банаховых пространств был получен Ю.Г. Борисовичем (см. [1]). В [41] для сингулярно возмущенных систем полулинейных дифференциальных включений в банаховых пространствах была доказана полунепрерывность сверху отображения е ь-У в метрике Ст{Е\) х Lj*(E2). В настоящей работе прием, предложенный Ц. Дончевым для исследования зависимости решений начальной задачи от параметра, используется для установления сходимости решений периодической задачи в равномерной топологии. А именно, выделяется подмножество Zl{c) множества Z(e), такое что при достаточно больших L отображение е »-» Zl{e) полунепрерывно сверху в Ct(Ei) X Ст(Е2). Множество Zl(s) определяется следующим образом: при е > 0

Zl(s) = {(х,у) Е Z{e) : х} у удовлетворяют условию Гельдера на [0, Т] с показателем /3 и константой L}; при £ = О

Zl{0) = {(я>2/) €.'Z(0) : х,у удовлетворяют условию Гельдера на [О,Т] с показателем (3 и константой L}, где — /? — степень оператора Ai, которой подчинены нелинейности.

Во второй главе диссертации исследуется задача о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных систем абстрактных параболических включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью и обратной связью, реализуемой с помощью гистерезисного оператора. Для таких систем проводится обоснование принципа усреднения, аналогичного второй теореме Н.Н. Боголюбова - Н.М. Крылова. Для случая конечномерного пространства принцип усреднения был установлен М.А Красносельским и А.В. Покровским в [24] при исследовании поведения решений начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими по времени правыми частями и гистерезисными нелиней-ностями. Обоснование принципа усреднения в задаче о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных систем абстрактных параболических включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью -в банаховых пространствах было проведено в [42]. Все результаты настоящей работы устанавливаются для случая бесконечномерных банаховых пространств.

Рассматриваемая в п.2.1 главы 2 сингулярно возмущенная система полулинейных дифференциальных уравнений после замены переменных принимает вид xf(t) + eAiz(t) = £fi(t,x(t),y(t),w(t)) , w{t) = r[to,A{Px{to),w(t0))]g{x(t0)Mto),x)(t) , (Si) + A2y(t) = f2(t, x(t), y(t), w{t)) , где £— малый положительный параметр, —А\ и —А2 — производящие операторы аналитических полугрупп e~Alt и е~А2t, действующих в банаховых пространствах Е\ и Е2 соответственно, f\ и f2 - Т-периодические по времени отображения, Р : Е\ Eq - линейный оператор, Г - гистерезисная нелинейность, A(Px(to), w(to)) — состояние гистерона в момент времени t = to, принадлежащее декартовому произведению банаховых пространств Eq и Предполагается также, что операторы А±1 и А^1 вполне непрерывны.

Оператор Красносельского - Покровского Г (см. [23]) описывает взаимодействие физической системы, математическая модель которой представляет собой сингулярно возмущенную систему дифференциальных уравнений, и внешнего устройства, управляющее воздействие которого на систему зависит от изменения "медленной"переменой х.

Следуя [45], под Т-периодическим решением системы («Si) понимается обобщенное Т-периодическое решение (x£i w£, у£), компоненты которого являются непрерывными Т-периодическими функциями, заданными на полуинтервале [0, оо), со значениями, соответственно в Е\, Е$ и Е2, такими что fi(s,x£(s),y£(s),w£(s)) £ L^(Ei) и удовлетворяющими уравнениям x£(t) = е-£А^х£(0) + ■ /'e-^^e/i^^Wty.W^eWJde,. (19)

Jo w£{t) = r[0,A(P®e(0)lti;e(0))b(xe(0)lti;e(0)l®e)W, (20) y£(t) = е~л>*у£(0) + f e-A^f2(s,x£(s),y£(s),w£(s))ds, t > 0. (21)

Jo

В диссертации указаны условия, обеспечивающие при малых £ > 0 существование Т-периодических решений системы (Si). Проведено исследование сходимости этих решений при е —У 0. Построенный в [23] операторный подход описания: входо-выходных соответствий гистерезисных нели-нейностей позволил применить в задаче о периодических решениях предложенные в [21], [20] топологические методы исследования, связанные с понятием вращения вполне непрерывных векторных полей. Предположения о свойствах правой части системы позволяют при каждом £ > 0 определить операторы квазисдвига по траекториям системы (Si) за время Т Щ, неподвижные точки которых задают начальное условие Т- периодических решений системы (Si). Применение теории дробных степеней операторов (см. [22]) позволяет доказать полную непрерывность этих операторов. При £ = 0 вводится вполне непрерывный усредняющий оператор Ф. Предположение о существовании некоторого открытого множества G, такого что вращение поля I — Ф на границе G отлично от нуля, позволяет, используя гомотопическую инвариантность вращения и принцип сужения отображения, при малых е > 0 доказать отличие от нуля вращения поля I — t/f., а, следовательно, и существование неподвижных точек оператора Uj>.

Результаты, полученные в п.2.1 обобщаются в п.2.2 главы 2 диссертационной работы на случай сингулярно возмущенных систем полулинейных дифференциальных включений. После замены переменных рассматриваемая система принимает вид

Ix'(t) +£Alx(t) е £fl{t,x{t),y{t),w{t)) , w(t) = Г[*о, Рхо, w0]Px(t) , (Si) y'{t) + A2y{t) e f2(t,x(t),y{t),w(t) ,

В п.2.2 указаны условия, обеспечивающие при малых £ > 0 существование обобщенных Т-периодических решений системы (5{). Доказана полунепрерывность сверху в равномерной топологии отображения е н->• ставящего в соответствие каждому малому параметру возмущения £ > 0 множество обобщенных Т-периодических решений системы (£{). (Под Z(0) понимается множество обобщенных решений усредненной системы.)

В п.2.1 второй главы диссертации показано, что теоремы о существовании и зависимости от параметра периодических решений системы (SJ) могут быть получены путем исследования многозначных операторов квазисдвига. Поскольку, в условиях п.2.1 операторы квазисдвига оказываются компактными, полунепрерывными сверху, но не выпуклозначными, такой подход требует применения теории вращения вполне непрерывных многозначных векторных полей с обобщенными -образами (см. [45]). Кроме того, для корректной определенности операторов квазисдвига требуется выполнение технического условия об априорной оценке, которое обычно реализуется в виде подлинейной оценки на нелинейность. В п.2.2 теоремы о существовании и зависимости от параметра периодических решений системы (S[) получены путем исследования многозначного интегрального оператора, для доказательства существования неподвижных точек которого применяется теория относительного вращения вполне непрерывных многозначных векторных полей с выпуклыми образами. Такой подход, в отличие от приведенного в п.2.1, позволяет рассматривать системы дифференциальных включений с правой частью, удовлетворяющей более слабым условиям. В частности, удается опустить требование о наличии подлинейной оценки на многозначную нелинейность правой части системы

Приведем теперь некоторые примеры уравнений и включений, о которых речь шла выше.

В качестве первого примера рассмотрим сингулярно возмущенную систему квазилинейных параболических включений вида: dz d^z -Щ2 + <у - *). * е М, £ е [о, /], (22) z(t,0) = z(t,l) = и0, (23) ey'(t) = v(t) - y(t), (24) v(t)e S(z(t, 0)), (25)

0,O = y(O, (26)

2/(0) = 2/o, (27) где e — малый параметр, a — постоянная, щ G yo G R1, функции z и у определены на [0, d\ х [0,/] и [0, </j, соответственно, <р —заданная функция, принадлежащая пространству W|[0,/] и удовлетворяющая условию 9?(0) = <р(1) = щ.

Многозначное отображение S : R1 R1 задано следующим образом (см. Рис.1)

10 При Z > S2 , [0,1] при zG[sbs2], 1 при Z < Si , si, s2 — некоторые параметры.

Доказанная в п. 1.1 первой главы диссертации теорема 1.1 позволяет установить существование решений задачи (22)-(27), удовлетворяющих условию Гельдера по переменной t и исследовать поведение этих решений при стремлении параметра е к нулю. (Данный пример подробно рассмотрен в п. 1.1 главы 1.)

В качестве второго примера рассмотрим сингулярно возмущенную систему квазилинейных параболических уравнений следующего вида: dz d^z t

-^■ = -^-zf-z1zl-bbsm-) t> 0, £ £ [0,Z], (28) dz2 d2Z2 4 2 , . t /Л . dt=W~ 2~ lZ2 + 6sin? (29) с граничными условиями dzi dd t, 0) = 0, i = 1,2, (30) i^(M) + *i(M) ==</(*), (31)

М) + г2(М) = 0, (32) где 2/ определено следующим образом

VW = v(t)-y(t), (33) v(t) = r[0>Ai(z1(0,0)>«(0))>A2(«i(0l0),t;(0))]^i(.>0)-zi(0,0) +

A1(*1(0,0),<;(0)))(*), (34)

V > 0, > 0, b — некоторые константы. В этом примере Г — гистерезис-ная нелинейность, отвечающая гистерону W с областью возможных состояний, изображенной на рис. 2

W) = A U h U /2, где А = {(и,г;) G [-р, р] х [-р + h, р]\и < v < и + h}, li = {(w,v) : v = p,u > p — h}, I2 = {(w,i>) : v = —p + h,u < —p + h}.

S(z) 1 si 2

Отображение Л : R X R —> А определено следующим образом:

A(u,v) = <

Р> р) щр) p-h,p) V, v) u,v) v — h, v) -p, -p + h) 11, -p + h) при v > p, u> p, при v>p,p — h<u<p, при v> p, и < p — h, при — p + h < v < p, u> v, при — p + h < v < p, и < v < и + h, при — p + h < v < p, и <v — h, при v < —p + h, и < —p, при v < — p + h, — p < и < — p + h, p + h, —p + h) при v < —p +h, и > —p + h.

Доказанная в п.2.1 второй главы диссертации теорема 2.1 позволяет установить существование периодических решений системы (28)-(34) и исследовать поведение этих решений при стремлении параметра е к нулю. (Данный пример подробно рассмотрен в п.2.1 главы 2.)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гудович, Анастасия Николаевна, 2004 год

1. Борисович, Ю.Г. О периодических решениях дифференциально операторных уравнений с малым параметром при производной / Ю.Г. Борисович // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 148, No 2. - С. 255-258.

2. Введение в теорию многозначных отображений / Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский. Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 1986. - 104 с.

3. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений / Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский // Успехи мат. наук. 1980. - Т. 35, No 1. - С. 59-126.

4. Булгаков, А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений / А.И. Булгаков // Мат. сб. 1992. - Т. 183, No 10. - С. 63-86.

5. Булгаков, А.И. Усреднение функционально-дифференциальных включений / А.И. Булгаков // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, No 10. - С. 1678-1690.

6. Васильева, А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений /А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. М.: Наука, 1973. - 272 с.

7. Гельман, Б.Д. О новых результатах в теории многозначных отображений. II. Анализ и приложения / БД. Гельман, В.В. Обуховский // Математический анализ. М., 1991. - С. 107-159. - (Итоги науки и техники / ВИНИТИ ; т. 29).

8. Глушко, В.П. Об операторах типа потенциала и некоторых теоремах вложения / В.П. Глушко // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 122, No 3. - С. 56-62.

9. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. М.: Мир, 1967. -624с.

10. Каменский, М.И, Об операторе сдвига по траекториям полулинейных управляемых систем / М.И. Каменский, В.В. Обуховский // Дифферент уравнения. 1996. - Т. 32, No 6. - С. 747-754.

11. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. М.: Наука, 1967. - 464 с.

12. Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966. - 332 с.

13. Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 512 с.

14. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский , П.П. Забрейко , Е.И. Пустыльник , П.Е. Соболевский . М.: Наука, 1966. -500с.

15. Красносельский, М.А. Системы с гистерезисом / М.А. Красносельский, А.В. Покровский. М.: Наука, 1983. -272с.

16. Красносельский, М.А. Принцип усреднения в системах с гистерезис-ными нелинейностями / М.А. Красносельский, А.В. Покровский // Асимптотические методы в математической физике. Киев, 1988. - С. 126-133.

17. Afanasiev, V. N. Mathematical theory of control systems design / V.N. Afanasiev, V.B. Kolmanovskii, V.R. Nosov // Math, and its Appl, Kluver Acad. Publ. 1995. - Vol. 341. - P. 341-347.

18. Ahmed, N.U. Optimisation and identification of systems governed by evolution equations on Banach spaces / N.U. Ahmed // Pitman Researh Notes in Math. Series. 1988. - Vol. 184. - P. 230-239.

19. Ahmed, N. Optimal control of distributed parameter systems / N. Ahmed, K. Teo. New York: North Holland, 1981. - 344 p.

20. Alegretto, W. Periodic solutions and optimisation problems for a class of semilinear parabolic control systems / W. Allegretto, P. Nistry // Topological Meth. in Nonlin. Anal. 1995. - Vol. 5. - P. 345-356.

21. Andreini, A. A result on the singular perturbation theory for differential inclusions in Banach spaces /А. Andreini, M. Kamenski, P. Nistri // Topol. Methods of Nonlinear Analysis. 2000. - Vol. 15. - P. 15-32.

22. Anichini, G. Multivalued differential equations in Banach spaces. An application to control theory / G. Anichini, P. Zecca // J. Optimiz. Theory and Appl. 1977. - Vol. 21. - P. 477 - 486.

23. Bothe, D. Semilinear differential inclusions with application to hybrid system / D. Bothe // Siam J. Math. Anal. 1998. Vol. 140. - P. 34-42.

24. Ceron, S.S. a-Contractions and attractors for dissipative semilinear hyperbolic equations and systems / S.S. Ceron // Ann. Math. Рига ed Appl. 1991. - Vol. 160. - P. 193-206.

25. Chang, K.C. Free boundary problems and the set-valued mappings / K.C. Chang // J. Diff. Equat. 1983. - Vol. 49. - P. 1-28.

26. Conti, G. On the topological structure of the solution set for a semilinear functional-differential inclusion in a Banach space / G. Conti // Topology in Nonlinear Analysis, Banach Center Publ. Warschawa, 1996. - Vol. 35. - P. 159-169.

27. Distel, J. Vector measures / J. Distel, Jr. Uhl // Mathematical Surveys American Mathematical Society. 1977. - No 15. - P. 137-145.

28. Dontchev, A. A Tikhonov-type theorem for singularly perturbed differential inclusions / A. Dontchev, T. Donchev, I. Slavov // Nonlinear Analysis TMA. 1996. - Vol. 26. - P. 1547-1554.

29. Dontchev, A. Singular perturbation in Mayer's problem for linear systems / A. Dontchev, V.M. Veliov // SIAM J Control Optim. 1983. - Vol. 21. -P. 566-581.

30. Flatto, L. Periodic solutions of singularly perturbed systems / L. Flatto, N. Levinson // J. Rat. Mech. and Analysis. 1955. - Vol. 4. - P. 943-950.

31. Kamenski, M. An averaging method for singularly perturbed systems of semilinear differential inclusions with analytic semigroups / M. Kamenski, P. Nistri // Nonlinear Analysis. 2003. - Vol. 37. - P. 274-282.

32. Kamenskii, M.I. Optimal feedback control for a semilinear evolution equation / M.I. Kamenskii, P. Nistri, V.V. Obukhovskii, P. Zecca //J. Optim. Theory Appl. 1984. - Vol. 82. - P. 503-517.

33. Kamenskii, M.I. On perionic solutions of differential inclusions with unbouded operators in Banach spaces / M.I. Kamenskii, V.V. Obukhovskii // Zb. Rad. Prirod.-Mat. Fak. ser Mat. 1991. - Vol. 29. - P. 173-191.

34. Kamenskii, M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. -S.I.] : Walter de Gruyter, 2001. 345 p.

35. Obukhovskii, V.V. Semilinear functional-differantial inclusions in a Banach space and controlled parabolic systems / V.V. Obukhovskii // Soviet J. Automat. Inform. 1991. - Vol. 24. - P. 71-79.

36. Papageorgiou, N.S. Optimal control of nonlinear evolution inclusions. / N.S. Papageorgiou //J. Optim. Theory Appl. 1990. - Vol. 67. - P. 321-354.

37. Papageorgiou, N.S. A minimax optimal control problem for evolution inclusions / N.S. Papageorgiou // Yokohama Math. J. 1991. - Vol. 39. - P. 1-19.

38. Pavel, N.H. Differential equations, flow invariance and applications / N.H. Pavel // Res. Notes Math. 1984. - Vol. 113. - P. 1-256.

39. Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / A. Pazy // Applied Mathematical Sciences. New York, 1983. - Vol. 44. - P. 76-83.