Об операторных уравнениях с сюръективными квазиобратимыми операторами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Губина, Светлана Сергеевна

• Губина, Светлана Сергеевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Губина, Светлана Сергеевна

Содержание

Введение

Основные обозначения

§1. Вспомогательные сведения

1 1 Некоторые свойства многозначных отображений 23 1 2 Некоторые свойства сюръекаивных операторов 2G 1 3 Топологическая степень вполне непрерывных вскюрпых полей

1 4 Топологическая размерность dim

§2. Квазиобратимые операторы

2 1 Определение квазиобратимых операторов Примеры

2 2 Квазизамкнутые операторы

§3. Уравнения с квазиобратимыми операторами

3 1 (Л р)-вполне непрерывные возмущения квазиобратимых сюръ-

ективных операторов Теорема существования 44 3 2 Некоторые следствия из теоремы 3 1 10 53 3 2 1 Устойчивость свойства сюръективности оператора относительно малых компактных возмущений 56 3 2 2 О локальных решениях вырожденных дифференциальных уравнений (случай 1) 58 3 2 3 О локальных решениях вырожденных дифференциальных уравнений (случай 2)

§4. Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операто-

ров

4.1. Уравнения с Л-вполне непрерывными отображениями

4.2. Теорема Борсука-Улама

4.3. Некоторые приложения теоремы Борсука-Улама

4.3.1. Об устойчивости ядра квазиобратимого оператора относительно вполне непрерывных возмущений

4.3.2. Теорема об антиподах в бесконечномерных банахо-

вых пространствах

4.3.3. Об одной задаче для дифференциальных уравнений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об операторных уравнениях с сюръективными квазиобратимыми операторами»

Введение

В современной математике широко используются методы исследования операторных уравнений, основанные на геометрических идеях. Одним из них является метод неподвижных точек. Этот метод имеет давнюю историю, существенное влияние на развитие этого метода оказали работы Д. Биркгофа и О. Келлога, С. Банаха, Р. Каччиополи, Ю. Шаудера, А. Н. Тихонова, Ж. Лере, М. А. Красносельского и других.

Наиболее простым и наиболее важным является принцип существования неподвижной точки, принадлежащий Шаудеру |40|. Этот принцип явился четким оформлением методов доказательства теорем существования, разработанных в статье Биркгофа и Келлога [38].

Принцип Шаудера применяется при доказательстве как локальных, так и нелокальных теорем существования в теории дифференциальных уравнений и других задачах современной математики. Принцип Шаудера был обобщен А.Н. Тихоновым [36] на некоторые классы операторов, действующих в линейных топологических пространствах. Роль топологии в проблеме существования неподвижных точек х = /(х) (и операторных уравнений /(х) — д(х)) отчетливо выявлена еще в классических работах А. Пуанкаре. Л. Кронекера, Л. Брауэра, С. Лефшеца, X. Хопфа. С 30-х годов понятие степени для вполне непрерывных отображений (Ж. Лере, Ю. Шаудер) получило важные приложения в краевых задачах и гидромеханике. Теория топологической степени (вращения) вполне непрерывных векторных полей Лере-Шаудера интенсивно развивалась в Воронеже М.А. Красносельским и его школой (см. [25|).

В последние годы начались исследования операторных уравнений с

сюръективными операторами. Такие уравнения естественно возникают в различных разделах математики. Первой работой, в которой изучались операторные уравнения вида

А(х) = /(*),

где А — линейный непрерывный сюръективный оператор, а / — компактное отображение, была работа [44]. В ней не только доказывалось существование решений, но и изучалась топологическая размерность множества решений этого уравнения. В работе [6] были продолжены эти исследования, там была предложена новая схема изучений таких уравнений и ослаблены условия на отображение /.

В дальнейшем в работах |9], ¡12], ]13|, |14] изучались операторные уравнения такого вида в случае, когда А является замкнутым сюръек-тивным оператором.

Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении.

Целью работы является исследование операторных уравнений А(х) = /(х) с сюръективными, но не обязательно замкнутыми операторами.

В качестве основных результатов диссертации можно выделить следующие:

1. Дано определение, приведены примеры и изучены свойства квази-обратимьтх операторов.

2. Доказаны теоремы существования решений операторных уравнений с квазиобратимыми операторами и получены оценки на топологическую размерность множества решений этих уравнений.

3. Рассмотрены приложения доказанных теорем к проблеме существования локальных решений вырожденных дифференциальных урав-

нений.

4. Доказан новый вариант бесконечномерной теоремы Борсука-Улама, в которой сюръективный оператор А является квазиобратимым.

5. Рассмотрены некоторые приложения теоремы Борсука-Улама в анализе и теории дифференциальных уравнений.

В диссертационной работе используются методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для изучения новых классов операторных и дифференциальных уравнений.

Результаты диссертации опубликованы в работах [15J, [16|. [18], [19], [20], [21], [22], [29], [30], [31], [32], [33]. Из совместных опубликованных работ |15|, [10| в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Работы [16|, [22], [29] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мипобр-науки РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех параграфов, разбитых на 17 пунктов. Объем работы 96 страниц. Библиография содержит 46 наименований.

Содержание работы.

В первом параграфе приведены вспомогательные сведения из [1], |3|, |5], |8], [14], [25], [37], он содержит необходимые в дальнейшем сведения.

В первом пункте первого параграфа приводятся определения полу-

непрерывного снизу многозначного отооражения, непрерывного сечения многозначного отображения, графика многозначного отображения. Сформулированы основные свойства полунепрерывных снизу многозначных отображений и теорема Майкла о сечении.

Во втором пункте первого параграфа дается определение замкнутого оператора и сформулированы основные свойства.

Пусть Ei, Ei — банаховы пространства, D(A) — линейное многообразие в Ei, А : D(A) С Е\ —> E<¿ — линейный замкнутый сюръективный оператор, Al : D(Ai) с е Еъ где D{A{) = P(D(A)) и A^fx]) = а{х). По определению нормы линейного оператора имеем:

г ,гп/{||х|| \ хе D{A),A{x)=y}^ \\А1 II = sup(-77-J-).

yeE2 ||Z/||

1.2.2. Определение. Число Ц-Д^Ц будем называть нормой многозначного отображения А'1 : E<¿ —г Cv{E\) и обозначать ||Л_1||.

Рассматривается пример вычисления нормы многозначного обратного отображения.

Далее продолжается изучение многозначного отображения А_1.

Пусть Е1.Е2 — банаховы пространства, А : D(A) С Е\ —> E'¿ — замкнутый сюръективный линейный оператор Если Кег(А) не является конечномерным, то у пего может не существовать правого обратного линейного оператора. Имеет место следующее утверждение.

1.2.5. Лемма. Пусть уо — произвольная точка из пространства Е2; xq — произвольная точка из мноэ/сества тогда для любого

числа к, ||Л-1|| < к. существует непрерывное отображение р : Е2 —> Ei такое, что выполнены следуют,ие условия: 1) А(р(у)) = у для любого у 6 £2/

2) ||а;0 - р(у)|| < к\\у{) - у|| для любого у е Е2.

В третьем пункте первого параграфа даются определения вполне непрерывного отображения и топологической степени вполне непрерывных векторных полей. Рассматриваются некоторые теоремы о неподвижных точках вполне непрерывных отображений.

В четвертом пункте первого параграфа, следуя [1|, дано определение и приведены основные свойства топологической размерности с1ггп.

Во втором параграфе дается определение и изучаются свойства квазиобратимых операторов. Основные результаты этого параграфа опубликованы в работе [33].

Пусть Е1.Е2 — банаховы пространства, А : В (А) С Е\ —> Е2 — линейный сюръективный оператор.

2.1.1. Определение. Будем говорить, что оператор А является квазиобратимым, если у оператора А существует правое обратное непрерывное отображение р, т.е. такое отображение р, что А(р(у)) = у для любого у е Е2. В этом случае отображение р будем называть квазиобратным к оператору А.

Очевидно, что в силу леммы 1.2.5 замкнутый оператор является квазиобратимым. В работе рассмотрен другой пример.

Пусть Е\. Е-2,..., Еп+1 — банаховы пространства, Аь : 0{Аг) С Ег —> Е{+1 — замкнутый сюръективный линейный оператор, где г = 1.2, ....п.

Рассмотрим оператор С = Ап о Ап_\ о ... о А\. Областью определения этого оператора является множество

Очевидно, что С также является сюръективным оператором.

Справедлива следующая лемма.

2.1.2. Лемма. Пусть — 'произвольная точка из 'пространства Еп+1, xq — произвольная точка из множества тогда для любого числа к,

\\Л-1\\.\\А^\\....-\\А-1\\<к,

существует непрерывное отображение рс ■ Еп+\ —> Е\ такое, что выполнены следующие условия:

V С(рс{х^п+^)) = для любой точки е Е„+ь-

2) \\хЪ-рс(х{п+1))\\ < /с||х1п+1)-ж("+1)|| для любой точки x{n+l^ е Еп+1. Таким образом. С является квазиобратимым оператором. В этом параграфе также дается определение квазизамкнутого оператора.

2.2.1. Определение. Будем говорить, что оператор А является квазизамкиутым. если существует банахово пространство Е и непрерывный линейный оператор В : Е —> Е\ такие, что:

(1) 1т,{В) = D(A);

(2) композиция А о В : Е —> Е2 является непрерывным линейным оператором.

В работе доказывается критерий квазизамкнутости оператора А и доказывается следующее свойство квазизамкнутых операторов.

2.2.3. Предложение. Если оператор А является квазизамкнутым и сюръективиым, то А — квазиобратимый оператор.

Третий параграф посвящен изучению разрешимости и топологической размерности множества решений операторных уравнений вида

А(х) = f(x), (3.1)

где А — квазиобратимый оператор, а / — нелинейное отображение. Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах [15], [16], [20], [29], [30], [31].

В пункте 3.1 дается определение (Д р)-виолне непрерывных возмущений квазиобратимых сюръективных операторов.

Пусть Е\,Е2 — банаховы пространства, А : Е(А) С Е\ —> Е2 — линейный сюръективный оператор, / : !)(/) С Е\ —» Е2 — непрерывное отображение, р : Е2 —> Е\ — квазиобратное отображение к оператору А.

3.1.1. Определение. Будем говорить, что отобрао/сение / является (А, р)-вполне непрерывным, если композиция р о / является вполне непрерывным отображением.

Справедлива следующая теорема, характеризующая (Др)-вполне непрерывные отображения.

Введем норму графика для любого х из множества Е{А):

1М|12 = \\x\li + ||Л(ж)||2,

обозначим Е = (0(А). || • Ц1.2). Пусть у : Е —> Е± — отображение вложения.

3.1.5. Теорема. Пусть А : О(А) с Е\ —> Е2, отображение р — квазиобратное к оператору А. Если отображение р переводит ограниченные мноэ/сества в ограниченные, и выполнено одно из следующих условий:

(1) отображение / вполне непрерывно;

(2) отображение / непрерывно и ограниченные множества переводит в ограниченные, а отобрао/сение ] : Е Е\ — вполне непрерывно.

Тогда отобрао/сепие / является (Л р)-вполне непрерывным

Пусть V — ограниченное открытое множество в Е\ Имеет место следующая основная георема

3.1.10. Теорема. Пусть существует такое ъвазиобрагпное к оператору А отображение р, что отображение [ является (А,р)-вполне непрерывным отображением иц — ро / У Е\ не имеет неподвижных точек: на дУ

Если топологическая степень 7(7 — д дУ) ф 0 то А/"(Л /) Ф 0

Ест же кроме этого сЬт(Кег(А)) > 0 то М(А /) П дУ Ф 0 и &т{М{А /)) > ¿ьт{Кег{А))

Рассматривается следующее следствие из теоремы 3 1 10

Пусть р Е2 —► Е] — непрерывное отображение правое обратное к оператору Л Пусть существует число т > 0 такое что для любого у 6 Е-2 выполняется неравенство

11р(у)11 < гп\\у\|

Обозначим ||р|| = гп/ {т | у е Е2 \\р{у)\\ < гп\\у\\}

3.1.11. Теорема. Пусть f Е\ —> Е2 является (Л р)-вполне непрерывным отображением Если существуют такие числа с > 0 и <1 > 0 что

1) \\1(х)\\ — с\\х\ \ + <1 для любого х € Е\

< 1 то М(А, /) ф 0 Если с1ът(Ке1 (Л)) > 0 то множество А''(Л /) — неограниченно и

с1гт(1\(А. /")) > Жт{Кег(А))

Во втором пункте третьего параграфа доказаны некоторые другие следствия из теоремы 3.1.10.

Пусть Е\, Е-2, ■■■, Еп+1 — банаховы пространства, Аь : D(At) с Ег —> Е1+i, для г = 1,2,.... п — замкнутые сюръективные линейные операторы,

С = Ап о Л„_1 о ... о А\.

Пусть хо Е D{C) — некоторая точка, Вр[.го] — замкнутый шар радиуса R с центром в хо, отображение / : Вд[хо] —> Е2 является вполне непрерывным.

Изучается уравнение:

С(х) = /(*), (3.5)

Ar(C,f) множество решений этого уравнения.

3.2.1. Теорема. Если существует такое число

что для любой тючки х Е Вц{хц\ справедливо неравенство

||С(хо)-/(х)||<р

то А (С, /) ф 0.

Если oice кроме этого dim(Ker(C)) > 0. то N(C, /) С\дВц[хо] ф 0 и dim(N(C, /)) > dim(Ker(C)).

Из теоремы 3.2.1 вытекает следующее утверждение.

3.2.2. Следствие. Пусть С : D(C) С Е\ —> Еп+\ — линейный сюръективный оператор, удовлетворяющий условиям теоремы 3.2.1, и

/ : Е\ —> ¿£„+i вполне непрерывное отображение. Если существуют числа а > 0 и ¡3 > О такие, что:

V 11/(ж)11 — а11х11 + Р для любого х £ Е\;

2)а-\\А;1\\.\\А~1\\.....\\А^\\<1.

Тогда:

1) уравнение С(х) = f(x) имеет решение;

2) если dim{Ker{C)) > О, то clvm(N{C,f)) > dvm{Ker(C));

3) если dim(Ker(C)) > О и

1 — к ■ а'

где

\\А^\\ ■ WA^W ■... • ид;1!! < /с <

а

то существует точка х £ N(C,f) такая, что ||ж|| = R.

В пункте 3.2.1 рассматривается устойчивость свойства сюръективно-сти оператора относительно малых компактных возмущений.

Пусть Е1.Е2 — банаховы пространства, А : D{A) С Е\ —> Е2 — квазиобратимый сюръективный оператор, р : Е2 —> Ei — непрерывное отображение, правое обратное к отображению А.

3.2.3. Теорема. Пусть Ц59Ц > 0; если В : Ei —Е2 — вполне непрерывный линейный оператор и ||£|| • ||р|| < 1, то оператор

L — А + В : D(A) С Ех Е2

является сюръективпым и

dim{L~\0)) > dim{I<er{A)).

Из теоремы 3.2.1 также вытекает следующее следствие. 3.2.4. Следствие. Пусть С : D(C) С Ех Еп+1,

С = Ап о Ап-1 о ... о Ai

линейный сюръективный оператор, удовлетворяющий условиям теоремы 3.2.1, В \ Е\ —> Еп+1 — линейный и вполне непрерывный оператор. Пусть оператор L = С + В. Если

цац •1Иг111-1И2]11---нл;111<1;

то оператор L является сюръективпым и

dim{L~l{0)) > dvm{Ker{C)).

В пункте 3.2.2 рассматривается применение теорем, доказанных в предыдущем разделе, к изучению вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Пусть

С - Ап О лп_! о ... о А, : D{C) С Ех -> En+i

является композицией замкнутых линейных сюръективных операторов.

Пусть _Вд[:со] С Е\ — замкнутый шар с центром в точке xq Е D(C), / : [0,Т] х Вл[хо] En+i — вполне непрерывное отображение. Рассмотрим следующую задачу:

{Сх)' = f(t, х), (3.6)

С(а;(0)) = С(х0). (3.7)

Решением задачи (3 6), (3 7) на промежутке [0. Н], 0 < Н < Т, называется непрерывная функция ж* : [0, Н] —> -О(С) С Е1] такая, что

для любого £ 6 [0, Н] и С(:г*(0)) = С(хо).

Пусть ЛГ(хо, [0. /г]) — множество решений задачи (3.0), (3.7) на промежутке [0, Н)

3.2.5. Теорема. Дргг сделанных предположениях существует такое Н0 > 0, что Ы{хо, [0, /г0]) ф 0.

Если с1гт(Кег(С)) > 0; то дпп(Ы(хо, [0. /го])) = оо. В пункте 3.2.3 рассматривается вырожденное дифференциальное уравнение, у которого сюръсктивный оператор стоит после дифференцирования. Пусть оператор С такой же, как и в пункте 3 2.1.

Пусть а;о € Е(С) — некоторая точка, Вд[хо] — замкнутый шар радиуса Я с центром в хо, отображение / : [0.Т] х Вц[хо] —> Еп+\ является вполне непрерывным

Изучается следующая задача.

С{х') = №,х), (3.9)

х(0) = х0. (3.10)

Решением задачи (3 9), (3 10) на промежутке [0, И], 0 < Н < Т, называется непрерывно дифференцируемая функция х* : [0, Н] —> И (С) С Е\ такая, что

с(хШ = №х.Ю)

для любого £ € [О, Н] и £+(0) = Хо.

Пусть N(xo, [О, /г]) — множество решений задачи (3.9) и (3 10) на промежутке [0./г].

Имеет место следующая теорема.

3.2.6. Теорема. При сделанных предположениях существует число hо > 0 такое, что задача (3.9), (3.10) имеет решение на промежутке

Если с1гт(Кег(С)) > 0. то топологическая размерность

dim(N(xo, [0, /го])) = оо.

Четвертый параграф диссертации посвящен изучению нового варианта бесконечномерной теоремы Борсука-Улама. В работах [7], [9] теорема была доказана в случае, когда оператор А являлся непрерывным (замкнутым). В данном параграфе рассматривается случай, когда сюръ-ективный оператор А является квазиобратимым. Основные результаты этого параграфа опубликованы в работах [18], [19], [21], [22], [32].

В первом пункте дается определение, и изучаются уравнения с А-вполне непрерывными отображениями.

Пусть Е\,Ео — банаховы пространства, А : D{A) С Е\ —> Е2 — линейный сюръективный оператор и / : X С Е\ —> Е2 — некоторое непрерывное отображение.

4.1.1. Определение. Будем говорить, что отображение / вполне непрерывно по модулю оператора А (или А-вполне непрерывно), если оно непрерывно для любого ограниченного множества V с Е2 и любого ограниченного мноэ/сества В С X, мпоэ/сество f(BnA~l(V)) является компактным. Пустое мпоэ/сество по определению считается

компактным.

Пусть А : D(A) С Е\ —► Е2 — квазиобратимый оператор, q : Е2 —+ Е] является непрерывным правым обратным отображением к оператору А. Рассмотрим отображение а : Е2 х Кег(А) —> Е\ такое, что

<х{у-.и) = Я{у) + и.

Пусть Rn С Кег(А) — произвольное конечномерное подпространство. Если / : X С Ei —;> Kv(E2) — некоторое отображение, то определено отображение д : Y —» Е2,

д{у,и) = f{a(y,u)),

где множество Y — П (Е2 х Rn).

4.1.4. Предложение. Если отображение q любое ограниченное мно-э/сество переводит в ограниченное и f является А-вполне непрерывным отображением, rno g является вполне непрерывным отображением.

Пусть Br[xо] с Ei — шар радиуса R с центром в xq 6 D(A). Справедлива следующая теорема.

4.1.5. Теорема. Пусть / : Вц[хо] —> Е2 является А-вполне непрерывным отобраэ/сением. Если существует такое число к > 0 и такое непрерывное отображение q : Е2 —> Е\, что

1) A(q(y)) = у для любого у 6 Е2;

2) \\x0-q(y)\\ < к\\уо-у\\;

3) ||уо - f{x)|| < f для любого х е BR[x0], тогда N(A,f) ф 0. Пусть ei.e2 — банаховы пространства, А : d(a) с ei Е2 —

квазиобратимый оператор.

4.2.1. Лемма. Если А является, квазиобратимым оператором, то у него существует нечетное правое обратное отобраэ/сение.

Пусть SV(O) — сфера радиуса г с центром в нуле пространства Е\, отображение / : SV(0) —» Е2 является Л-вполне непрерывным и нечетным.

Справедлива следующая теорема.

4.2.4. Теорема. Если

с1гпг(Кег(А)) > 1,

то уравнение

А{х) = f(x)

на сфере Sr(0) имеет непустое множество решений и

dim(N{A,f)) > dim{Ker(A)) - 1.

В работе рассматриваются некоторые следствия из теоремы 4.2.4. Пусть С — Ап о v4n_i о .. . о А\ — композиция замкнутых линейных сюръективных операторов, 5Г(0) — сфера радиуса г с центром в нуле пространства Еi, отображение / : ,Sr (0) —> Еп+\ является С-вполне непрерывным нечетным отображением. Справедливо следующее утверждение.

4.2.5. Следствие. Если dim(Ker(C)) > 1, то уравнение

. С(х) = f(x) на сфере 5,-(0) имеет непустое множество решений и

dim(N{C,f)) > dim{Ker{C)) - 1.

Во втором пункте четвертого параграфа рассмотрены некоторые приложения теоремы 4.2.4.

4.3.1. К устойчивости размерности ядра квазиобратимого оператора.

Пусть Ei,Eo — банаховы пространства, А : D(A) С Е\ —> Е2 — квазиобратимый оператор. Пусть к : Е-\ —> Е2 — вполне непрерывный линейный оператор.

Эта теорема уточняет следствие 3.2.3.

4.3.1. Теорема. Если dim(Ker(A)) > 1. то оператор А + к имеет непулевое ядро и

dim{Ker{A + к)) > dim{Ker{A)).

4.3.2. К теореме об антиподах в бесконечномерных банаховых пространствах.

Пусть Е\,Е2 — банаховы пространства, А : D{A) С Е\ —» Е2 — квазиобратимый оператор. Пусть 5V(0) — сфера радиуса г с центром в нуле пространства Е\ и g : SV(0) —> Е2 — вполне непрерывное отображение.

Рассмотрим отображение tp : 5V(0) —> Е2,

ip(x) = А(х) + д(х).

4.3.3. Теорема. Если dim(Ker(A)) > 1, то существует точка хо Е Sv{0) такая, что ф(хо) = ip(—хо) и топологическая размерность множества таких точек больше или равна dirn(Ker(A)) — 1.

4.3.3. Об одной задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть [0. Т} — произвольный отрезок числовой прямой Я, С[о,г] пространство непрерывных векторнозначных функций, определенных на отрезке [0,Т], со значениями в Я'1

Пусть заданы линейные непрерывные функционалы

Ь, : С [от] —» В. г = 1,. .., к.

причем 0 < к < 2п.

Рассмотрим отображение

£ ' С[о,т\

¿(я(0) = (1а (*(■)),■■ ,Ьк{х(-))).

Пусть Р2[£] = {!ЗЬ+7 | £ € [0.Т]. ¡3, 7 € Л"} — множество линейных вектор-функций на отрезке [0. 7Л] Будем предполагать, что отображение Ь удовлетворяет следующему условию

(I) сужение оператора Ь на подпространство Р2Щ является сюръ-ективным оператором

Рассматривается следующее дифференциальное уравнение

х" = Д^х.У). (4.6)

где / : Я1 х Яп х Яп —> /2П — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующему условию

/(¿, -х, -у) = ~/{Ь,х,у)

Изучается задача существования решений уравнения (4 6). определенных на отрезке [0.Т]. удовлетворяющих следующим условиям-

Ьг(х(-)) = 0, ъ = 1,2,..., к (4.7)

20

и

max ||x(í)|| = N, (4.8)

te[o,T]

где N некоторое фиксированное положительное число.

Пусть £([0,Т], N, L) множество решений задачи (4.6, 4.7, 4.8).

4.3.9. Теорема. При сделанных предположениях множество решений

]Г([0 ,T},N,L)^0

и

dim{Y^[0,T],N, L)) >2п-к-\.

В работе также рассматривается частный случай этой задачи. Рассматривается следствие из теоремы 4.3.9. Пусть У1, V2 — подпространства в Rn, где dim{V{) = /сь dimiV= к2 и к = к\ + к2 удовлетворяет неравенству 0 < к < 2п. Нас будет интересовать задача существования решений уравнения (4.6), определенных на отрезке [0,Т], удовлетворяющих условию (4.8) и таких, что

х(0) е V1, х(Т) <Е V2. (4.9)

Обозначим через ^{Vi, V2, [0, Т]. Аг) множество решений задачи (4.6), (4.8), (4.9).

4.3.10. Следствие. При сделанных п/редтюлоэ/сениях задача (4-6), (4-8), (4-9) имеет непустое мноэ/сество решений и

dim{Y^{V},V2, [0,Т], АО) > к - 1.

Основные обозначения

Буквами X. У будем обозначать метрические пространства; Е будем обозначать банахово или нормированное пространство.

Пусть У — подмножество нормированного пространства Е, обозначим тогда:

Р(У) — множество всех непустых подмножеств в У; С (У) — множество всех непустых замкнутых подмножеств в У; Су (У) — множество всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств в У]

К и (У) — множество непустых компактных подмножеств в У. Буквами А, В, С будем обозначать линейные операторы; О (А) — область определения оператора А; 1т(А) — область значения оператора А; Кег(А) обозначим ядро оператора А:

А~г обозначим оператор (однозначный или многозначный) обратный к оператору А.

Буквами Еу Ф. С будем обозначать многозначные отображения;

Гл"(Е) — график многозначного отображения. Обозначим сИт(Х) топологическую размерность пространства X. Если хо — точка в нормированном пространстве Е, то Вд[хо] будем обозначать шар радиуса Я с центром в точке

7(Ф. и) — топологическая степень вполне непрерывного векторного поля Ф на границе области II.

АГ(А./) — множество решений уравнения А{х) = /(х).

1. Вспомогательные сведения

В первом параграфе приведены вспомогательные сведения из [1], [3|, [5], [8], [14], [25], [37], он содержит необходимые в дальнейшем сведения.

1.1. Некоторые свойства многозначных отображений

Пусть У — подмножество нормированного пространства Е.

Многозначное отображение метрического пространства X в метрическое пространство У — это соответствие, сопоставляющее каждой точке х £ X непустое подмножество F(x) С У, называемое образом точки х. В дальнейшем если образы многозначного отображения F являются замкнутыми, то будем записывать это следующим образом: F : X —> С (У). Аналогично обозначение F : X —» Си(У) (F : X —> К (У)) означает, что образы F(x) являются выпуклыми, замкнутыми (компактными) множествами .

Графиком многозначного отображения F : X —> Р(У) называется множество

ГX(F) = {(x,z) | г G F{x),x£ X} С X x У Пусть X и У метрические пространства.

1.1.1. Определение. Многозначное отображение F : X —> Р(У) называется полунепрерывным снизу в точке xq G X, если для любого открытого множества V с У такого, что F(xo) П V ф 0, найдется открытая окрестность U точки xq такая, что F(x) п у / 0 для любого х G U.

Если отобраэюение F полунепрерывное снизу в каждой точке х Е X, то оно называется полунепрерывным снизу.

1.1.2. Предложение, (г) Для того чтобы отображение F : X —> Р{У) было полунепрерывным снизу в точке xq, необходимо и достаточно, чтобы для любого компакта К С F(xо) и любого t > 0 существовало 8 = ¿(xQjfi.e) > 0 такое, что как только р{хq,x) < 8, то К С Ut(F(x)).

(гг) Следующие условия эквивалентности:

1) F — полунепрерывное снизу;

2) для любого открытого множества V с У полный прообраз этого мноэ/сесгпва

F~\V) = {х Е X | F{x) flV /0}

является открытым миоэюеетвом в X.

Доказательство этого утверждения содержится в [3], [8].

Пусть X и У — метрические пространства, F : X —> Р(У) — некоторое многозначное отображение.

1.1.3. Определение. Непрерывное однозначное отображение f : X —> У называется непрерывным сечением многозначного отобраоюе-ния F, если для любой точки х Е X выполнено включение f{x) Е Е(х).

Пусть X — метрическое пространство, У — нормированное пространство, F : X —» Р(У) — некоторое многозначное отображение.

Дадим следующие определения (см. [5|).

1.1.4. Определение. Графиком многозначного огпобраэ/сения F : X —> Р(У) называется множество

Гх{Е) = {(х,у): хеХ, уеЕ(х)}.

Естественно определены проекции

¿:ГЬ{х,у) = х

и

т:Гх(Р)-^у, т{х,у)=у.

Следуя [10] дадим следующее определение.

1.1.5. Определение. Будем говорить, что F является

и-отображением, если оно удовлетворяет двум условиям:

a) график Тх{Е) является открытым миож:еством в X х У ;

b) для, любой точки х Е X образ Е(х) является, выпуклым множеством.

Обозначим множество всех [/-отображений из X в У символом и(X, У). Многозначные отображения, принадлежащие II{X, У), обладают следующими свойствами:

1. Если Е Е и(Х,У), то оно является полунепрерывным снизу.

2. Если Р : X —> У (У) — полунепрерывное снизу многозначное отображение, г по для любого е > 0 многозначное отображение Ес : X —> У (У), Ес(х) — ие(Е(х)) является II-отображением.

3. Пусть многозначные отобраэ/сения .... Е и(Х,У), если для любой точки х £ X пересечение

п г=1

7по многозначное о7пображение

п

р| Е1еи{х.У).

1=I

Доказательство этих свойств очевидно.

Рассмотрим некоторые теоремы о непрерывных сечениях многозначных отображений.

1.1.6. Теорема (Майкл). Пусть Е — банахово пространство, Е : X —> Су(Е) — полунепрерывное снизу многозначное отображение, К — замкнутое подмпоэ/сество в X. Если / : К —> Е непрерывное сечение И\к; то у И существует непрерывное сечение д \ X Е такое, что д\к = /•

Доказательство этой теоремы см., например, [3]. Пусть X — метрическое пространство, Е — банахово пространство, Е : X —> Сь(Е) — полунепрерывное снизу многозначное отображение, С : X —У(Е) является [/-отображением. Пусть для любого х € X пересечение Е(х)Г\С(х) Ф 0. Обозначим многозначное отображение, определенное условием (И П С)(х) = Е(х) П С(х).

1.1.7. Теорема. Пусть К — замкнутое подмноэ/сество в X. Если / : К —* Е непрерывное сечение (ЕГ)С)\к, то у многозначного ото бра-Ксения Е П (7 существует непрерывное сечение д : X —> Е такое, что

д\к = /•

Доказательство этой теоремы см., например, [10|.

1.2. Некоторые свойства сюръективных операторов

Пусть Е\, Е2 — банаховы пространства, И (А) — линейное многообразие в Е\, А : Е(А) С Е\ —> Е2 — линейный оператор.

1.2.1. Определение. Оператор А называется замкнутым, если из того, что хп ->iti А(хп) —» у следует, что х £ D(A) и А{х) — у. Следуя [37] приведем основные свойства замкнутых операторов:

1. Если область определения D(A) совпадает с множеством Е\ и оператор А ограничен, то он замкнут.

2. Если оператор А замкнут и существует оператор то оператор А'1 также замкнут.

3. (Теорема Банаха о замкнутом графике) Пусть А является замкнутым линейным оператором, определенным на всем банаховом пространстве Ei, со значениями в банаховом пространстве Е2. Тогда оператор А ограничен.

Оператор А называется сюръективным, если область значений этого оператора 1т(А) = {у £ Е2 | у = А(х), х £ Е>(А)} совпадает со всем

е2.

Если оператор А является сюръективным, то определено отображение А~] : Е2 Ег,

A-l(y) = {xeEi | А(х) = у}.

Это отображение А'1 в общем случае является многозначным.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Губина, Светлана Сергеевна, 2013 год

Список литературы

[1] Александров П С , Пасынков Б А Введение в теорию размерности Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности /ПС Александров, Б А Пасынков // М Наука - 1973 - 575 с

[2] Борисович Ю Г , Гельман Б Д Мышкис А Д . Обуховский В В Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений /ЮГ Борисович Б Д Гельман, А Д Мышкис, В В Обуховский // Успехи мат наук - 1980 - Т 35, вып 1 - С 59-126

[3] Борисович Ю Г , Гельман Б Д , Мынткис А Д , Обуховский В В Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений /ЮГ Борисович Б Д Гельман А Д Мышкис, В В Обуховский // М КомКнига - 2005 - 216 с

[4] Баскаков А Г , Чернышов К И Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А Г Баскаков К И Чернышов //Мат сборник - 2002 -Т 193, №11 -С 3-42

[5] Гельман Б Д Топологические свойства множества неподвижных точек многозначных отображений /БД Гельман // Мат сборник - 1997 - Т 188, №12 - С 33-56

[Ь] Гельман Б Д Об одном классе операторных уравнений /БД Гельман //Мат заметки - 2001 -Т 70, вып 4 - С 544-552

[7] Гельман Б.Д. Теорема Бореука-Улама в бесконечномерных банаховых пространствах / Б.Д. Гельман // Мат. сборник. - 2002.

- Т. 193, № 1. - С. 83-92.

[8] Гельман Б.Д. Введение в теорию многозначных отображений. Однозначные аппроксимации и сечения: Учеб.-метод, пособие по спец. "Математика" 010100 для студентов 4 курса / Сост. Б.Д. Гельман. - Воронеж, 2003. - 4.1. - 28 с.

[9] Гельман Б.Д. Бесконечномерная версия теоремы Борсука-Улама / Б.Д. Гельман // Функциональный анализ и его приложения.

- 2004. - Т.38, вып. 4. - С. 1-5.

[10] Гельман Б.Д. Непрерывные аппроксимации многозначных отображений и неподвижных точек / Б.Д. Гельман // Мат. заметки.

- 2005. - Т. 78, вып. 2. - С. 212-222.

[11] Гельман Б.Д. Многозначные сжимающие отображения и уравнения с сюръективными операторами / Б.Д. Гельман // Труды математического факультета. - Воронеж, 2006. - Вып. 10. - С. 49-56.

[12] Гельман Б.Д. Операторные уравнения и задача Коши для вырожденных дифференциальных уравнений / Б.Д. Гельман // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. - Воронеж, 2007. - № 2. - С.86-91.

[13] Гельман Б.Д. О задаче Коши для одного класса вырожденных дифференциальных уравнений с липшицевой правой частью /

Б Д Гельман // Функциональный анализ и его приложения -М, 2008 - Т 42, N° 3 - С 78-81

[14] Гельман Б Д Многозначные сжимающие отображения и их приложения /БД Гельман // Вестник Воронежского государственного университета Сер Физика Математика - Воронеж, 2009 - № 1 - С 74-86

[15] Гельман Б Д , Рыдапова С С Об одном классе операюрных уравнений с сюръективньтми операторами /БД Гельман, С С Рыданова // Современные проблемы математики и ее приложения материалы международной науч конф , посвящ 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Э М Маха-мадиева - Душанбе 2011 - С 26-27

[16] Гельман Б Д Рыданова С С Об операторных уравнениях с сюръективными операторами /БД Гельман, С С Рыданова // Вестник Воронежского государственного университета Сер Физика Математика - Воронеж 2012 - № 1 - С 93-98

[17] Гохберг И Ц Крейн М Г Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов / И Ц Гохберг М Г Крейн // Успехи мат наук - 1957 - С 43-118

[18] Губина С С Об одном приложении теоремы Борсука-Улама / С С Губина // Воронежская зимняя математическая школа Современные методы теории функций и смежные проблемы - Воронеж 2013 - С 66-67

[19] Губина С С Уравнения с А-вполне непрерывными отображениями / С С Губина // Материалы международной научно-методической конференции "Некоторые вопросы анализа, алгебра, геометрии и математического образования" - Воронеж НАУКА-ЮНИПРЕСС -2013 - С 117-121

[20] Губина С С О разрешимости задачи Копти для вырожденных дифференциальных уравнений / С С Губина // Воронежская весенняя математическая школа Современные методы теории краевых задач - Воронеж, 2013 - С 02-63

[21] Губина С С Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операторов / С С Губина // Известия Воронежского государственного педагогического университета Сер " Педагогические науки" "Гуманитарные науки" "Естественные науки" - Воронеж, 2013 - С 223-225

[22] Губина С С Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операторов Некоторые приложения / С С Губина // Вестник Тамбовского университета Сер • Естественные и технические науки иауч-теор и иракг жури - Тамбов, 2013 - Т 18, выи 5 - С 2496-2498

[23] Зубова С П , Черныиюв К И О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной /СП Зубова К И Черныиюв // Решение начальных и краевых задач для определенных классов дифференциальных уравнений материалы к семинару при Ин-те физики и математики АН Ли-

товской ССР "Дифференциальные уравнения и их применение". - Вильнюс, 1976. - Вып. 14. - С. 21-39.

[24] Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экспериментальных задач / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров / М: Наука. - 1974. - 481 с.

[25] Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко // М: Наука. - 1975. - 510 с.

[26] Красносельский М.А. Некоторые задачи нелинейного анализа / М.А. Красносельский // М: Наука. - 1975. - 510 с.

[27| Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн // Успехи мат. наук. - 1954. - С. 57-114.

[28] Немыцкий В.В. Метод неподвижных точек / В.В. Немыцкий // Успехи мат. наук. - 1936. - №1. - С. 141-174.

[29| Рыданова С.С. Об одном классе операторных уравнений / С.С. Рыданова // Вестник Тамбовского университета. Сер.: Естественные и технические науки: науч.-теор. и практ. журн. - Тамбов, 2011. - Т. 16, вып. 4. - С. 1173-1174.

[30] Рыданова С.С. Об одном операторном уравнении / С.С. Рыданова // Воронежская весенняя математическая школа: Современные методы теории краевых задач. - Воронеж, 2011. - С. 155-156.

[31] Рыданова С.С. Об операторных уравнениях с сюръективными операторами / С.С. Рыданова // Воронежская зимняя математи-

ческая школа: Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Воронеж, 2011. - С. 289-290.

[32] Рыданова С.С. Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операторов / С.С. Рыданова // Воронежская зимняя математическая школа: Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2012. - Воронеж, 2012. - С. 193-195.

[33] Рыданова С.С. Уравнения с квазиобратимыми операторами / С.С. Рыданова // Теория и численные методы обратных и некорректных задач: материалы международной молодежной научной школы. - Воронеж, 2012. - С. 52-56.

1341 Соболев С.Б. Об одной новой задаче математической физики / С.Б. Соболев // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. - 1954. - Т. 18. - С. 3-50.

|35| Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Линейные уравнения соболевского типа: Учебное пособие для мат. направлений и специальностей ун-тов / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Челяб. гос. ун-т. - Челябинск, 2002. - 179 с.

[36] Тихонов А.Н. Ein Fixpunktsatz. / А.Н. Тихонов - Math. Ann. -1935. - № 3. - P. 762-766.

[37| Треногим В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин - М: Физмат. - 2002. - 488 с.

[38] Birkhof G. and Kellog 0. Invariant points in function space / G. Birkhof, O. Kellog // Trans. Amer. Math. Soc. 23. - 1922. - P. 96115.

[39] Baskakov A., Obukhovskii V., Zecca P. Multivalued Linear Operators and Differential Inclusions Banach Spaces / A. Baskakov, V. Obukhovskii, P. Zecca // Discussiones Mathematical Differential Inclusions, Control and Optimization. - 2003. - № 23. - P. 53-74.

[40] Dzedzej Z. Equivariant. selections and approximations / Z. Dzedzej // Topological methods in nonlinear analysis, Gdansk. - 1997. - P. 25-31.

[41] Favini A., Yagi A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yagi // Marcel Dekker, Inc. New York. -1999. - 336 p.

1421 Izydorek M. The Bourgin-Yang theorem for multi-valued maps in the nonsymmetric case / M. Izydorek // Zeszyty Nauk. Wydz. Mat. Fiz. Chem., Mat,., Gdansk. - 1987. - V. 6. - P. 37-41.

[43] Fitzpatrick P., Massabo I., Pejsachowicz I. On the covering dimension of the set of solutions of some nonlinear equations / P. Fitzpatrick, I. Massabo, I. Pejsachowicz // Trans, of the American Math. Society, v.296. - N 2,- 1986 - P. 777-798.

[44] Ricceri B. On the topological dimension of the solution set of a class of nonlinear equations / B. Ricceri // C.R. Acad. Sci. - Paris, 1997. - T. 325. - P. 65-70.

[45] Obukhovskn V , Zecca P On boundaiy value problems foi degenerate differential inclusions m Banach spaces / V Obukhovskn P Zecca // Absti Appl Anal - 2003 - № 13 -P 769-784

[46] Shauder I Der Fixpunksatz m Fonktionnal raumen / I Shauder // Studia Mathematica - 1930 - T 2 - P 170-179