Об операторах, возникающих в задаче о периодических решениях абстрактных включений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гедда Лахсен

• Гедда Лахсен
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гедда Лахсен

Введение

1 Основные понятия и определения

1.1 Многозначные отображения.

1.2 Селекторы и аппроксимации.

1.3 Измеримые многозначные отображения и многозначный оператор суперпозиции.

1.3.1 Условия Каратеодори и лемма Филиппова о неявной функции.

1.3.2 Многозначный оператор суперпозиции.

1.4 Меры некомпактности и уплотняющие многозначные операторы.

1.5 Относительная топологическая степень и неподвижные точки компактных многозначных отображений.

2 Оператор сдвига и эквивалентные операторы

2.1 Структура множества решений абстрактного включения х е 5 о 8е1р(ж) и оператор сдвига.

2.2 Оператор сдвига по траекториям нелинейного дифференциального включения.

2.3 Построение оператора, соответствующего задаче о периодических решениях нелинейного дифференциального включения, через оператор Коши и его свойства.

2.4 Оператор, соответствующий задаче о периодических решениях нелинейного дифференциального включения в гильбертовом пространстве, и его свойства.

2.5 Принцип усреднения.

3 Принцип родственности в задачах о периодических решениях полулинейных дифференциальных включений

3.1 Теорема родственности в абстрактном виде.

3.2 Принцип родственности в задачах о периодических решениях для квазидифференциальных включений.

3.3 Одна теорема о существовании периодических решений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об операторах, возникающих в задаче о периодических решениях абстрактных включений»

В последние годы абстрактные включения в банаховом пространстве стали объектом интенсивного изучения многих исследователей. Такие включения естественно возникают в общей теории управления системами, описывающими различные задачи передачи тепла, о препятствиях, гибридные системы с сухим трением, линии передач и в общей теории уравнений с частными производными. Основные усилия исследователей в последние годы были сосредоточены на полулинейных дифференциальных включениях (ПДВ), для которых эквивалентные рассматриваемым задачам операторы имеют явное интегральное представление (см., например, [1], [5], [7], [Э]—[13], [15], [16], [20], [23], [31], [32]). Случай же сильно нелинейных включений, где такое представление отсутствует, исследован весьма слабо. В случае включений в бесконечномерных пространствах эквивалентный многозначный интегральный оператор как правило некомпактен. Условия, при которых многозначный интегральный. оператор для задачи Коши для ПДВ в банаховом пространстве является уплотняющим, а следовательно, для его исследования может быть применена теория вращения уплотняющих (в смысле Б.Н. Садовского) векторных полей, были получены В.В. Обуховским [9] и N.S. Papageorgiou [29], [30].

Этот результат также позволил исследовать топологические свойства множества решений дифференциальных включений. Для ПДВ в банаховых пространствах эта задача была изучена в работах N.S. Papageorgiou [29], М.И Каменского и В.В. Обуховского [7], G.Gonti, B.B. Обуховского и Р. Zecca [20].

В частности было установлено, что множество решений задачи Коши для ПДВ является ./^-множеством. Последнее позволило применить для изучения оператора сдвига по траекториям ПДВ теорию операторов с обобщенно ациклическими образами. В случае бесконечномерного пространства условия, при которых оператор сдвига будет уплотняющим, были получены в работах М.И Каменского, В.В. Обуховского и Р. Zecca (см., [22], [25]-[27]). Вопрос о том, в какой мере такой подход может быть перенесен на сильно нелинейные включения оставался открытым.

Другим оператором, неподвижные точки которого дают периодические решения ПДВ является интегральный оператор, в однозначном случае предложенный в работах М.А. Красносельского (см., [8], [28]). В бесконечномерном случае условия, при которых такой многозначный оператор является уплотняющим были указаны в статьях М.И Каменского и В.В. Обуховского (см. [5], [6], [24]). Отметим, что традиционный вопрос о принципе родственности для этого оператора и оператора сдвига по траекториям ПДВ не был изучен. Построение аналога оператора М.А. Красносельского в сильно нелинейном случае также было неясным.

Таким образом, несмотря на большой интерес и большое количество работ, связанных с ПДВ, многие вопросы в задаче о периодических решениях для сильно нелинейного включения требуют специального исследования.

Цель данной работы - изучить операторы, неподвижные точки которых дают периодические решения для абстрактных включений.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Доказано, что множество решений абстрактного включения вида х £ Б о зе\р{х) является ./^-множеством.

2. Изучен многозначный оператор сдвига по траекториям обобщенных решений сильно нелинейного дифференциального включения х'(г) е Асф + ^жВД), ¿>0, (1) где А - нелинейный оператор.

3. Построен и изучен новый оператор, соответствующий задаче о периодических решениях включения (1) в банаховом пространстве.

4. Изучен оператор, соответствующий задаче о периодических решениях включения (1) в гильбертовом пространстве.

5. Доказан принцип усреднения для сильно нелинейного включения е Ах(г) + Р(г/е,х(г)).

6. Доказан принцип родственности в задаче о периодических решениях для оператора сдвига и интегрального оператора для полулинейных дифференциальных включений в банаховом пространстве.

7. Получены достаточные условия существования периодических решений полулинейного дифференциального включения в сепарабель-ном банаховом пространстве с полунепрерывной снизу нелинейностью.

Перейдем к описанию результатов работы по главам.

В первой главе приводятся основные понятия и определения из теории уплотняющих многозначных отображений.

Вторая глава посвящена исследованию периодических решений дифференциального включения х'(1)+Ах(Ь) Е Основная цель этой главы - изучить структуру множества решений задачи Коши и эквивалентные операторы для задачи о периодических решених.

В пункте 2.1 доказывается, что множество решений Е^О, й] абстрактного включения х Е где Б - однозначный, а Р - многозначный оператор, является Д5-множеством, т.е. является пересечением убывающей последовательности стягиваемых множеств. Относительно оператора <5 : —С([0,с1],Е) предполагается, что

5х) существует константа М > О такая, что для д, Н Е Х/1 ([0, с?], £7) выполнено следующее неравенство:

И - 5(Л)0011 < м Г IIд(г) - Л(г)||<*г, где 0 < * <

У о

52) для любого компактного выпуклого подмножества К пространства Е, S отображает £¿/[0, d], К) в относительно компактное подмножество пространства C([0,d\,E);

53) для всех gh д2 G ^([0, d\,E), если S(gi) = S(g2), то o^i + l-M^o) = 5(1[О>0]^2 + l[e,d\9o)i при всех в е [0,d] и д0 G Z/1 ([0, d],E). Относительно оператора F предполагается, что

Fq) оператор F действует из [0, d]x Е в KV(E), где KV(E) обозначает множество всех компактных выпуклых подмножеств пространства

Е\

F\) для любого х £ Е многозначное отображение F(., х) : [0, с?] —у KV(E) имеет измеримый селектор;

Fq) почти для всех t 6 [0, d] отображение F(t, .) : Е —у KV(E) полунепрерывно сверху;

F3) для любого непустого ограниченного множества £1 С Е: существует функция Uq G L+([0, c/],R) такая, что ж)|| < Unit) для всех х Е и почти всех t G [0, d]\

F4) существует функция к € Х1([0, с?], М) такая, что для любого ограниченного множества А С Е выполнено неравенство

X(F(t, Д)) < k(t) ■ х(Д) для п.в. t е [0, d}.

Здесь х ~ мера некомпактности Хаусдорфа в пространстве Е. Напомним, что если i2 - ограниченное подмножество пространства Е: то inf{бг > 0; fi имеет конечную е — сеть в Е}. Основная теорема этого пункта:

Теорема 1 Пусть выполнены предположения S\)-S3) и условия F{)-F<í). Пусть, кроме того, выполнено условие продолженности решений, записываемое в следующем виде:

Р) ЕЧ0,г] = ЕЧ0,<А .

О,г]

Тогда, если множество EF[0,d] не пусто и ограничено в пространстве С([0, d], Е), это множество является Rs подмножеством пространства C([0,d\,E).

В пункте 2.2 определяется многозначный оператор сдвига по траекториям обобщенных решений нелинейного включения (1) за время Т. Установлены условия, при которых этот оператор является квази-Д? оператором, уплотняющим относительно меры некомпактности Хаусдорфа. Предполагается, что оператор F удовлетворяет условиям Fi), F2) и

F$) существует функция 7(-) Е L\[0,T] такая, что ||F(¿,х)|| < у(t) для п.в. t Е [О, Т] и любого х Е Е;

F^g) для любого ограниченного множества Í1 С Е имеем

X(F(t,Ü))<g(t,Xm, где функция g : [О, Г] х Е+ —> R+ измерима по первому аргументу для любого х Е М+, непрерывна и не убывает по второму аргументу для п.в. t е [о, Г], g(t, 0) = 0 для п.в. t Е [0,Т] и g(t,ví)-g{t,v2)\<L(t)\v1-v2\ для всех vi, V2 Е М+ и п.в. t Е [0,Т], где L Е Т]).

Оператор-решение S(xо, /) задачи x'(t)eAx(t) + f(t), t Е [о, т], ж(0) =хо Е Е. удовлетворяет условиям S?) для любых reo, yoeE,f,ge L\[0, Т], Е)

S{xoJ)(t)-S(yo,g)(t)\\ < С ||/(s) — g{s)\\ ds + e~pt\\xo — 2/0(1,

Jo где р > 0 - константа и52).

Будем говорить, что многозначный оператор сдвига по траекториям обобщенных решений включения (1) за время Т определен в точке х G Е, если множество Sf[0,T] С С([0,Т],Е) обобщенных решений включения (1) с начальным условием ж(0) = xq непусто, ограничено и удовлетворяет условию Р) теоремы 1 при d = Т. В этом случае многозначный оператор Рт задается формулой:

PT{x) = {z = y{T),yeT,Fx%T]}.

Предполагается также, что

Н\) нулевое решение скалярного дифференциального уравнения r'{t) = -pr(t)+g{t,r{t)), t> О экспоненциально устойчиво в следующем смысле: r{t) < Ce~atr{0), t > 0 для любого неотрицательного решения r(i), где С > 0, а > 0;

Н2) Т>-\пС. а

Теорема 2 Пусть выполнены условия F\), F2), F^), F^g), Sj), 52), P) и предположения H\) и Н2). Тогда Рт - квази-Rs оператор, уплотняющий относительно меры некомпактности х

В пункте 2.3 строится оператор Т, соответствующий задаче о периодических решениях нелинейного дифференциального включения x'(t) eAx(t) + F{t,x(t)) (3) в сепарабельном банаховом пространстве, через оператор Коши. Точнее Т строится следующим образом: для любого х G С([0, Т], Е)

F{x) = {S(S(x0J)(T)J) : / G selH*)}, где / € зе1^(я?) означает, что / 6 Т], и /(¿) е F(t,x(t)) для п.в. I Е [0,Т], а Б - однозначный оператор такой, что для любого хо £ Е и любого / Е оператор Б(хо,/) является решением задачи

2). Предполагается, что оператор 5 удовлетворяет двум условиям и ¿>2), а оператор ^ условиям существует константа к > О такая, что для любого ограниченного множества А С Е выполнено равентво: для почти всех t Е [0,Т]. Здесь х - мера некомпактности Хаусдорфа в пространстве Е;

Рг) оператор ^ - Т-периодический относительно первого аргумента, т.е. ж) = Р(Ь + Т, х) для п.в. £ и любого х <Е Е.

В пространстве С([0, Т], определяется мера некомпактности следующим образом где Q - произвольное ограниченное подмножество С([0,Т], Е), а modc (Q) = lim sup max \\x(ti) — x(t2)\\

S^XEfl 1*1-«2|<*

Теорема 3 Пусть выполнены условия F^j-F^, Ft), S±) S2). Тогда многозначный оператор Т полунепрерывен сверху и, кроме того, если Tk + е~рТ < 1. Тогда оператор Т является Я?-уплотняющим.

В пункте 2.4 изучается оператор G, соответствующий задаче о периодических решениях нелинейного дифференциального включения (1) в гильбертовом пространстве Е.

Оператор G строится следующим образом: сначала рассматривается оператор S, сопоставляющий непрерывной Т-периодической функции / Т-периодическое решение дифференциального включения x(F(t,A))<kx(A) x'(t) = Ax(t) + f(t) а затем G определяется равенством G = S о selр, где selF = {g : g G L\(E), g(t) G F(t, x(t)) для п.в. t}.

Предполагается, что оператор А удовлетворяет условию А\) (Ах ~ Ау, х — у) < —р\\х — у||2 для любых х, у £ Е. В этом пункте доказывается следующая теорема

Теорема 4 Пусть выполнены условия А\), F\)-F±), Fj) и пусть к/р < 1. Тогда многозначный оператор G имеет стягиваемые образы, полунепрерывен сверху и уплотняет относительно меры некомпактности определенной следующим образом:

Ф(П)= max supx(AW), Де£)(П) t для любого ограниченного подмножества Q из Ст{Е), где D(Q) - множество всех счетных подмнооюеств множества А. Более того V

В пункте 2.5 устанавливается принцип усреднения для нелинейного дифференциального включения x'(t) е Ax(t) + F{t/e, x(t)) п.в. t G [0, +oo), (4) в гильбертовом пространстве Е, где А - однозначный нелинейный оператор. После замены переменной t = es получается новое уравнение x'(t) е eAx(t) + eF(t, x{t)) п.в. t Е [О, +оо). (5)

Через £е(Д F) обозначается множество решений включения (4) из пространства абсолютно непрерывных Т-периодических функций и через Sq = So (Л, F) множество неподвижных точек, состоящее из постоянных функций многозначного оператора

Г0 = А'Ч, где Fq определен следующим образом: для любой х G С([0, Т],Е)

F0(x) = -±J*F(s,x(s))ds = т {-fjo 9(s)ds, д Е F(t,x(t)), для п.в. t £ [0,Т]}. Показывается, что при подходящих условиях limE, = Е0

->0 в следующем смысле: для любого 5 > 0 и любого г > 0 такого, что Sq С гВ, существует £о > 0 такое, что Е£{ЛгВ ф 0 для любого е € [0,ео] и

Ее П гВ С Е0 + SB, где В - открытый единичный шар в C([Q,T], Е). Предполагается, что оператор F удовлетворяет условиям Fi), F2), Ft) и условию

F5) существует множество в нулевой меры из [0, Т] и константа к Е R+ такие, что для любого ограниченного подмножества Q из Е, множество F([0,T] \ в х Q) ограничено и

Предполагается, что оператор А удовлетворяет условиям Ai) А2) 0 6 АО;

Аз) оператор А удовлетворяет условию Липшица с константой L, т.е.

ДЛЯ ЛЮбыХ Xi, Х2 Е Е

Axi ~ Ах2\\ < L\\xi -х2\\; Также предполагается, что

Г1) множество Еo(A,F) ограничено в С([0,Т],Е) и ind(r0, U) ф 0 для любого ограниченного открытого множества, содержащего Ео(Д F).

Теорема 5 Пусть выполнены предположения Е\) — ^5), Ер) Ах) — Аз); Гх). Тогда для любого 8 > 0 и г > 0 таких, что Ео(А,Е) С гВ, существует е > 0 такое, что

0 ф Е е(А, П г В с Е0(А, Г) + 5В для любого е £ (0, его] ■

В главе 3 устанавливается принцип родственности в задачах о периодических решениях полулинейных дифференциальных включений в случае интегрального оператора и оператора сдвига, а также доказывается теорема о существовании периодических решений для полунепрерывной снизу нелинейности.

В пункте 3.1 устанавливается принцип родственности в абстрактном виде. Для однозначных уплотняющих операторов доказывается, что если ограниченные области ^ и из банаховых пространств Е\ и Е2 соответственно имеют одинаковую сердцевину относительно пары полей I — В А и I — АВ, где Ли В два однозначных (к, х)-уплотняющих оператора, первый из которых действует из Е\ в Е2, а второй - из Е2 в Е\, то справедливо следующее равенство

7(1 - В А, П1; Ег) = 7(1 - АВ, Е2).

В пункте 3.2 устанавливается принцип родственности в задачах о периодических решениях полулинейных включений в банаховом пространстве в случае интегрального оператора и оператора сдвига. Для последнего результата применяется теория вращения уплотняющих векторных полей, строятся специальные е-аппроксимации, для которых и сравниваются вращения.

Предполагается, что

А) А : А(А) С Е —)- Е — линейный оператор, порождающий Со~ полугруппу со свойством 1 ^ бр(ехр{АТ}); кроме того: це^ц(х) < 14 где || • — х-норма линейного оператора.

Предполагается, что сужение оператора Р на [О, Т] X Е, которое будем обозначать той же буквой, удовлетворяет условиям Р\) - ^4), Рт). Доказывается следующая теорема

Теорема 6 Пусть выполнены условия Рг), Р\)-Ра), А) и пусть ^ — два ограниченных множества из Е и С([0,Т], Е) соответственно и имеют одинаковую сердцевину по отношению к оператору сдвига Рт и интегральному оператору г. Тогда

Здесь Рт - оператор сдвига по траекториям полулинейного включения, & J - его интегральный оператор для Т-периодических решений, определенный следующим образом для любого х 6 С ([О, Т], Е)

Зх = {у : у Е С([0, Т], Е), у{1) = ем{1 - ем)~1 £ еА^д(з) 1о 9^ € Для п-в- 6 6 [°'Г]}

В пункте 3.3 с использованием теоремы о существовании селектора для многозначного оператора с разложимыми значениями устанавливаются достаточные условия для существования периодических решений линейного дифференциального включения х'(г) 6 Ах(г) + t > 0. (6)

Предполагается, что выполнены следующие условия А), Рг), Рт), -£4) и существует последовательность компактных попарно непересекающихся множеств {/п}, /п С [0,Т] таких, что теаз([0,Т] \ I) = 0, где I = у/п, и сужение Р на каждое из множеств Зп = 1п х Е п полунепрерывно снизу; существует константа Ь > 0 такая, что ||.Р(£, х{1))|| < Ь( 1 + ||а?й||);

При этих условиях доказывается следующая теорема:

Теорема 7 Пусть выполнены предположения А) и Е\), и

Рт)- Если тах{£;/7,сЬ/р} < 1. Тогда включение (3) имеет по крайней мере одно периодическое решение.

Основные результаты диссертации опубликованы в [2]-[4], [21] и являются новыми. Они докладывались и обсуждались на московской международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям в 1998 г, на воронежской международной научной конференции, посвященной 80-летию А.Д. Мышкиса, в 2000 г, на воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач "в 2002 г.

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих в общей сложности 13 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 102 стр. Библиография содержит 33 наименования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гедда Лахсен, 2003 год

1. Борисович Ю.Г. и Обуховский В.В. О задаче оптимизации для кон-троллируемой системы параболического типа / Ю.Г. Борисович, В.В. Обуховский // Труды Инст.Матем. им. Стеклова. - 1995. - 2116. - С. 85-91.

2. Гедда Л. К задаче о периодических решениях для нелинейных дифференциальных включений в гильбертовом пространстве / Л. Гедда // Современные методы в теории краевых задач: Материалы Воронеж. весен, мат. шк., 3-9 мая 2002 г. Воронеж, 2002. - С. 36

3. Гедда Л. Принцип родственности в задачах о периодических решениях для квазидифференциальных включений / Л. Гедда // Труды математического факультета ВГУ. Воронеж, 2001. - Вып. 5. - С. 33-42.

4. Каменский М.И., Обуховский В.В. О периодических решений дифференциальных включений с неограниченными операторами в банаховых пространствах / М.И. Каменский, В.В. Обуховский // Сб. Рад. Прир.- Мат. Фак.

5. Каменский М.И., Обуховский В.В. Уплотняющие операторы и периодические решения параболических функционально-дифференциальных включений в банаховых пространствах / М.И. Каменский, В.В. Обуховский // Нелинейный анализ. 1993. -20. - С. 781-792.

6. Каменский М.И., Обуховский B.B. Оператор сдвига по траекториям полулинейных контроллируемых систем / М.И. Каменский, В.В. Обуховский // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32. - С. 755-762.

7. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966.

8. Обуховский В.В. Квазилинейные функционально-дифференциальные включения в банаховом пространстве и контроллируемые параболические системы / В.В. Обуховский // Сов. Жур. Автомат. Информ. Наук. 1991. - 24. - С. 71-79.

9. Толстоногов A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве / A.A. Толстоногов Новосибирск: Наука, 1986.

10. Afanasiev V.N., Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Mathematical Theory of Control Systems Design / V.N. Afanasiev, V.B. Kolmanovskii, V.R. Nosov // Math, and Its Appl. 1995. - 341.

11. Ahmed N.U. Optimization and Identification of Systems Governed by Evolution Equations on Banach Spaces / N.U. Ahmed // Pitman Research Notes in Math. Series 184. 1988.

12. Ahmed N.U., Teo K. Optimal Control of Distributed Parameter Systems / Ahmed N.U, K. Teo. North Holland, New York, 1981.

13. Akhmerov R.R., Kamenskii M.I., Potapov A.S., Rodkina A.E., Sadovskii B.N. Measures of Non-compactness and Condensing Operators / R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii. Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 1992.

14. Allegretto W., Nistri P. Periodic solutions and optimization problems for a class of semilinear parabolic control systems / W. Allegretto, P. Nistri // Topological Meth. in Nonlin. Anal. 1995. - 5. - P. 345-356.

15. Anchini G., Zecca P. Multivalued differential equations in Banach spaces. An application to control theory / G. Anchini, P. Zecca //J. Optimiz. Theory and Applications. 1977. - 21. P. 477-486.

16. Couchouron J.F., Kamenskii M. An absract topological point of view and a general averaging principle in the theory of diferential inclusions / J.F. Couchouron, M. Kamenskii // Nonlinear Anal. 2000. - 42. P. 1101-1129.

17. Deimling K. Nonlinear functional analysis / K. Deimling. SpringerVerlag, Berlin-heidelberg-New-York-Tokyo, 1985.

18. Fryszkowski A. A priori estimates for a class of non-convexs miltivalud maps / A Frryszkowski // Studia Math. 76, 1983, P. 163-174.

19. Guedda L., Kamenski M.I. On the structure of the solution set for abstract superposition inclusions / L. Guedda , M.I. Kamenski // International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, 1998. P. 53-54.

20. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing mullivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. Berlin, 2000.

21. Kamenskii M.I., Nistri P., Obukhovskii V.V., Zecca P. Optimal feedback control for semilinear evolution equation / M.I. Kamenskii, P. Nistri, V.V. Obukhovskii // J.Optim. Theory Appl. 1994. - 82. - P. 503-517.

22. Kamenskii M.I., Nistri P., Zecca P. On periodic solutions problem for a parabolic inclusions with a large parameter / M.I. Kamenskii, P. Nistri, P. Zecca // Topological Meth. Nonlin. Anal. 1996. - 8. - P. 57-77.

23. Kamenskii M.I., Obukhovskii V.V., Zecca P. Method of the solutions sets for a quasilinear functional-differential inclusion in a Banach space / M.I. Kamenskii, V.V. Obukhovskii, P. Zecca // Different. Equat. and Dynam. Syst. 1996. - 4. - P. 339-350.

24. Kamenskii M.I., Obukhovskii V.V., Zecca P. On the translation multioperator along the solutions of semilinear differential inclusions in Banach spaces/ M.I. Kamenskii, V.V. Obukhovskii, P. Zecca // Canadian Appl. Math. Quart. 1998. - 6. - P. 139-155.

25. Kamenskii M.I., Obukhovskii V.V., Zecca P. On semilinear differential inclusions with lower semicontinuous nonlinearities / M.I. Kamenskii, V.V. Obukhovskii, P. Zecca // Ann. Math, pura ed appl. (IV) CLXXV, 1999.

26. Krasnoselski M.A., Zabreiko P.P. Geometrical Methods of Nonlinear Analysis / M.A. Krasnoselski, P.P. Zabreiko. Springer: Berlin, 1984.

27. Papageorgiou N.S. On multivalued evolutions equations and differential inclusions in Banach spaces / N.S. Papageorgiou // Comment. Math. Univ. San. Pauli. 1987. - 36. - P. 21-39.

28. Papageorgiou N.S. On multivalued semilinear evoution eqiations / N.S. Papageorgiou // Boll. U.M.I. 1989. - 7, 3-B. - P. 1-16.

29. Papageorgiou N.S. Optimal control of nonlinear evolution equations / N.S. Papageorgiou //J. Optim. Theory Appl. 1990. - 67. P. 321-354.

30. Papageorgiou N.S. A minimax optimal control problem for evolution inclusions / N.S. Papageorgiou // Yokohama Math. J. 1991. - 39. -P. 1-19.

31. Zecca P., Zezza P. Nonlinear boundary value problems in Banaeh spaces for multivalued differential equations on a non-compact interval / P. Zecca, P. Zezza // Nonlinear Anal. 1979. - 3. P. 347-352.росс^пс^я rocyjiA^'VL:.;