Методы топологической степени в некоторых задачах нелинейного анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук АЛЬ ОБАИДИ Джамхур Махмуд Исмаил

• АЛЬ ОБАИДИ Джамхур Махмуд Исмаил
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук АЛЬ ОБАИДИ Джамхур Махмуд Исмаил

Содержание

Введение

Глава 1. Топологическая степень для псевдоациклических многозначных векторных полей

1 Основные понятия и определения

2 Относительная топологическая степень псевдоациклических мультиполей в локально выпуклом пространстве

3 Вычисление относительной топологической степени и теоремы о неподвижной точке и совпадении

3.1 Некоторые теоремы о неподвижной точке

3.2 Теорема о совпадении типа Пуанкаре

3.3 Эквивариантные и нечетные мультиполя

Глава 2. Топологическая степень для одного класса некомпактных мультиполей в локально выпуклых пространствах

1 Основные понятия и определения

2 Топологическая степень и теоремы о неподвижной точке для фундаментально сужаемых мультиотображений

Глава 3. Топологическая степень совпадения фредгольмо-вых операторов и псевдоациклических многозначных отображений

1 Основные понятия и определения

2 Степень совпадения

3 Основные свойства степени совпадения

Глава 4. О полулинейных дифференциальных включениях

с нелокальными граничными условиями

1 Постановка задачи

2 Существование решений 88 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы топологической степени в некоторых задачах нелинейного анализа»

Введение

Геометрические методы нелинейного анализа, основанные на понятии топологической степени отображения имеют давнюю историю и восходят к именам А. Пуанкаре, Л. Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Лере, Ю. Шаудера. В дальнейшем эти методы были развиты и продемонстрировали свою высокую эффективность в трудах. М.А. Красносельского, С.Г. Крейна, Н.А. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, П.П. За-брейко, В.Г. Звягина, В.С. Климова, А.И. Петрова, А.И. Половоцко-го, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, Ф. Браудера (F. Browder), К. Даймлинга (K. Deimling), М. Фури (M. Furi), Л. Ниренберга (L. Nirenberg), Ж. Мавена (J. Mawhin) и других ученых.

Начиная с сороковых годов прошлого века эти методы распространяются на многозначные отображения. Первые работы этого направления, начавшиеся с исследования С. Какутани (S. Kakutani), оперировавшие с выпуклозначными отображениями, нашли свои приложения в теории игр и математической экономике, в теории дифференциальных включений и управляемых систем, в ряде задач нелинейного функционального анализа. Разработке теории топологической степени для многозначных отображений компактного типа с выпуклыми значениями были посвящены труды Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обу-ховского, А. Челлины (A. Cellina), А. Гранаса (A. Granas), А. Лясоты (A. Lasota) и других (см. [8]-[11], [35] и имеющуюся там библиографию).

Однако исследование целого ряда аспектов нелинейного функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и включений, теории управляемых систем требует распространения этой теории на более

широкие классы многозначных отображений.

Достаточно отметить, что ряд важных задач теории управления и динамических систем приводят к необходимости исследовать многозначные отображения с невыпуклыми значениями. В частности, укажем в качестве такого отображения оператор, сопоставляющий начальным данным интегральную воронку дифференциального включения или оператор сдвига по траекториям обобщенной динамической системы.

Изучение многозначных отображений с невыпуклыми (ацикличными) значениями и их неподвижных точек было в работе С. Эйленберга (S. Eilenberg) и Д. Монтгомери(Э. Montgomery) [29], где на базе теоремы Л. Виеториса (L. Vietoris) об изоморфизме [40] была доказана теорема Лефшеца о неподвижной точке. В дальнейшем для различных классов отображений такого типа были предложены конструкции топологической степени, получены приложения к теоремам о неподвижной точке и применения к теории дифференциальных уравнений и включений (см., например, [8], [10], [29], [31] и имеющуюся там библиографию).

C другой стороны, для изучения дифференциальных включений в банаховых пространствах весьма эффективным орудием является теория топологической степени некомпактных (уплотняющего типа) многозначных отображений (см., например, [35]).

В настоящей диссертационной работе изучаются различные варианты теории топологической степени для класса псевдоациклических многозначных векторных полей и их приложения к различным теоремам о неподвижной точке, о точке совпадения и к нелокальным краевым задачам нелинейного типа. Отметим, что данный класс включает в себя поля,

соответствующие композициям мультиотображений почти ациклического типа с непрерывными однозначными отображениями. Мультиотобра-жения подобного вида возникают при изучении операторов сдвига по траекториям дифференциальных включений и управляемых систем.

В работе определяется топологическая степень для псевдоациклических многозначных векторных полей относительно выпуклого замкнутого множества в локально выпуклом пространстве. Описываются свойства введенной характеристики и даются приложения к теоремам о неподвижной точке и совпадении. Отметим, что понятие относительной топологической степени (вращения) было введено Ю.Г. Борисовичем ([11], [12]) и с тех пор развивалось и применялось во многих работах.

Полученные результаты используются для обоснования конструкции топологической степени псевдоациклических многозначных векторных полей некомпактного типа в локально выпуклом пространстве. Рассматривается класс фундаментально сужаемых полей, включающий в себя многозначные векторные поля, уплотняющие относительно мер некомпактности различных видов. Обосновывается корректность определения степени, описываются ее основные свойства и даются применения к теоремам о неподвижной точке для фундаментально сужаемых и уплотняющих мультиотображений.

Задача о точках совпадения фредгольмовых операторов с многозначными отображениями различных классов возникает при исследовании большого круга задач нелинейного анализа, теории дифференциальных уравнений, теории управляемых систем и других ветвях современной математики. Весьма эффективным средством решения задач такого ро-

да является использование топологических характеристик типа степени совпадения. Для случая однозначных отображений теория степени совпадения восходит к работам [32], [36]. Для включений с линейными фредгольмовыми операторами и различными типами многозначных отображений топологические характеристики такого рода исследовались и применялись в работах [18], [31], [38], [39] и др. Конструкции степени совпадения для многозначных возмущений нелинейных фредгольмовых операторов также предлагались в ряде работ (см., например, монографию [37] и имеющуюся там библиографию).

В настоящей работе, опираясь на полученные результаты определяется топологическая степень совпадения для пары отображений банаховых пространств, состоящей из линейного фредгольмова оператора Ь нулевого индекса и псевдоациклического многозначного отображения Т, уплотняющего относительно Ь. Обосновывается корректность степени, описываются ее основные свойства и даются приложения к существованию точек совпадения.

В заключительной части работы рассматривается нелокальная граничная задача для полулинейного дифференциального включения в банаховом пространстве. Показано, что эта задача может быть сведена к нахождению точки совпадения линейного фредгольмова оператора и многозначного отображения. Описываются условия, позволяющие применить к этой задаче разработанную степень совпадения. В качестве примера рассматривается разрешимость обобщенной периодической задачи.

Проведем обзор содержания диссертации по главам.

В первой главе диссертации приводятся основные сведения из функционального анализа, теории многозначных отображений и топологических методов. Дано определение класса псевдоациклических многозначных отображений (мультиотображений) следующим образом.

Пусть Н обозначает функтор когомологий Александера-Спеньера с целыми коэффициентами (см., напр., [26]).

Непустое пространство X называется 0-ацикличным, если Н0(Х) = Ъ, к-ацикличным (к > 1), если Нк(X) =0 и ацикличным, если оно к-ациклично для любого к > 0.

Пусть X, У - топологические пространства, К (У) обозначает совокупность всех непустых компактных подмножеств У, Р : X ^ К (У) мультиотображение. Для % > 0 обозначим

Ыр = {х| х € X, Р(х) не является % — ацикличным}.

Полунепрерывное сверху мультиотображение Р : X ^ К (У) называется почти ациклическим, если:

(a) Ыр = 0 для всех %, начиная с некоторого %0 > 0;

(b) ^ = тах Ыр) < то, где обозначает относительную раз-

0<г<«о

мерность множества в пространстве X.

Если для всех % > 0 Ыр = 0, то мультиотображение Р называется ациклическим.

Мультиотображение Р : X ^ К (У) называется псевдоациклическим, если существует топологическое пространство Z и непрерывное отображение в : Z ^ У такое, что Р представимо в виде композиции

Р = в О Р,

где Р : X ^ К) почти ациклическое мультиотображение. Пара (в, Р) называется разложением псевдоациклического мультиотображения Р.

Второй параграф первой главы посвящен конструкции относительной топологической степени псевдоациклических многозначных векторных полей (мультиполей) в следующей ситуации.

Пусть Е - хаусдорфово локально выпуклое пространство, и С Е -выпуклая конечно ограниченная открытая окрестность нуля.

Пусть Т - выпуклое замкнутое подмножество Е. Обозначим и =

и П Т.

Рассмотрим Р = в о Р : ди ^ К(Е) - псевдоациклическое мультиотображение такое, что:

a) Р(ди П Т) С Т;

b) Р|зиПт вполне непрерывно;

c) РгхР П ди П Т = 0, где РгхР = {х : х Е Р(х)} - множество неподвижных точек.

С помощью обобщения Е.Г. Скляренко теоремы Виеториса и теоремы В.В. Обуховского и А.Г. Скалецкого о квазиретракции определяется топологическая степень 7т(Ф) псевдоациклического мультиполя Ф = % — Р относительно множества Т.

Устанавливается корректность данного определения, то есть его независимость от выбора квазиретракции и аппроксимирующего конечномерного пространства, участвующих в данной конструкции.

Далее вводится понятие гомотопии псевдоациклических мультиполей относительно множества Т.

Пусть Р0 = во о Ро, Р1 = в1 о Ё\ : ди ^ К(Е) - псевдоациклические

мультиотображения такие, что

(a) Fi(dU П T) с T;

(b) FilouПТ вполне непрерывно;

(c) FixF П dU П T = 0; i = 0,1.

Мультиполя Ф0 = i — F0, Ф1 = i — Fi называются гомотопными относительно T, если существуют почти ациклическое мультиотображение F : dU х [0,1] ^ K(Z) и непрерывное отображение G : Z х [0,1] ^ E такие, что:

(i) F(-,0) = Fo, 1) = F1;

(ii) G(-,0) = Go, G(^, 1) = Gi;

(iii) для псевдоациклического мультиотображения F : dU х [0,1] ^ K(E), заданного как

F(x,A) = G(F(x,A),A)

выполнено:

(1) F((dU П T ) х [0,1]) Ç T ;

(2) F| (duпт)x[o,i] вполне непрерывно;

(3) x G F(x, A) для всех (x, A) G (dU П T) x [0,1].

Ясно, что можно отождествить F(^, 0) = F0, F(^, 1) = F1. Гомотопные относительно T мультиполя обозначаются символом фо ~ ф1.

Важным свойством введенной степени является ее гомотопическая инвариантность:

Если псевдоациклические мультиполя Ф0 и Ф1 гомотопны относительно T, то

Yt (Фо ) = Yt (Ф1).

Третий раздел первой главы посвящен вычислению топологической

степени в некоторых конкретных ситуациях и получению на этой основе некоторых утверждений о неподвижной точке и точке совпадения. Базу подобного рода результатов образует следующая теорема.

(1.3.1) Теорема. Пусть F : U ^ K(E) - псевдоациклическое муль-тиотображение такое, что

(a) F(U П T) С T;

(b) FljjnT - вполне непрерывно;

(c) FixF П dU П T = 0. Если

Yт(i - F 1ди) = 0,

то существует точка xo Е U П T такая, что xo Е F(x0).

Этот общий принцип открывает возможности для формулировки различных теорем о неподвижной точке. Справедливо следующее утверждение.

(1.3.2) Теорема. Пусть UT = 0, p = i — f : U ^ E - однозначное поле такое, что:

(a) f (Ut) С T;

(b) f |ит - вполне непрерывно;

(c) Fixf П dU П T = 0;

(d) yt(i — f Idu) = 0.

Пусть Ф = i — F - псевдоациклическое мультиполе такое, что:

(i) F(Ut) С T;

(ii) F|uT - вполне непрерывно;

(iii) Fix F П dU П T = 0.

Предположим далее, что

(1.3.3) Mi(x) G ФМ для всех д < 0, x G dU П T.

Тогда найдется точка x G UT такая, что x G F(x).

Следствиями этого утверждения являются аналогии классических теорем о неподвижной точке Шефера о Роте.

Те же методы позволяют доказать следующую теорему о совпадении типа Пуанкаре.

(1.3.6) Теорема. Пусть T С E - конус с вершиной в нуле. Пусть p = i — f : U ^ E - однозначное поле такое, что условия (a), (b), (c), (d) теоремы 1.3.2 выполнены. Пусть Ф = i — F : U ^ K(E) -псевдоациклическое мультиполе, удовлетворяющее условиям (i), (ii), (iii) той же теоремы.

(1.3.7) Предположим далее, что ^p(x) G F(x) для всех д > 1, x G dU П T. Тогда найдется точка x G UT такая, что p(x) G F(x).

Завершает первую главу рассмотрение эквивалентных и нечетных муль-типолей.

Пусть d : E ^ E - непрерывный линейный оператор, удовлетворяющий следующим условиям:

dk = idE,k > 2;

если L = Fix d, то

d*(y) = У, У G L, i ^ 0(modk),

то есть d является полусвободным периодическим оператором порядка k.

Пусть U, как и прежде, выпуклая конечно ограниченная окрестность нуля, S = dU и пусть d(S) = S.

Мультиотображение F : S ^ K(E) называется эквивариантным относительно d, если

F о d = d о F.

При некоторых дополнительных предположениях справедливо следующее утверждение.

(1.3.9) Теорема. Пусть F : S ^ K(E) - псевдоациклическое мультиотображение, эквивариантное относительно периодического оператора d периода k. Пусть T - выпуклое замкнутое подмножество E такое, что d(T) = T и T П L = 0 в случае, если L = 0 и T П U7 = 0.

Пусть F(dU П T) С T, F|dUПТ - вполне непрерывно, FixF П dU П T = 0. Тогда

7T (i — F) = 7TnL(i — FL)(modk), если L = 0, 7T (i — F) = 1(modk), если L = 0.

Следствием этого результата является теорема о нечетном поле для псевдоациклического мультиотображения.

Вторая глава диссертации посвящена введению топологической степени и изучению ее приложений для некоторых классов некомпактных псевдоациклических мультиотображений.

Пусть X С E. Выпуклое замкнутое множество T С E называется фундаментальным для мультиотображения F : X ^ K(E) (или соответствующего ему мультиполя Ф = i — F), если:

1) Р (X П Т) С Т;

2) из х0 Е со(Р(х0) и Т) следует х0 Е Т.

Фундаментальное множество Т мультиотображения Р : X ^ К(Е) или семейства мультиотображений О : X х Л ^ К(Е) такое, что X ПТ = 0 и сужение Р на X П Т (соответственно, О на (X П Т) х Л) компактно, называется существенным.

Если мультиотображение Р : X ^ К(Е) или семейство мультиотображений О : X х Л ^ К(Е) обладает существенным фундаментальным множеством, то Р или, соответственно, О называется вполне фундаментально сужаемым (на Т). Этим же термином называется и соответствующее мультиполе Ф(х) = х — Р(х) или семейство мультиполей Ф(х, Л) = х — О(х, Л).

Примерами вполне фундаментально сужаемых мультиотображений являются компактные и уплотняющие относительно монотонных несингулярных мер некомпактности мультиотображения.

Пусть и - открытое выпуклое конечно ограниченное подмножество локально выпуклого пространства Е; Р = в о Р : и ^ К(Е) - вполне фундаментально сужаемое псевдоациклическое мультиотображение такое, что

х Е Р(х)

для всех х ди.

Топологической степенью мультиполя Ф = % — Р, соответствующего Р, называется топологическая степень мультиполя Ф относительно произвольного существенного фундаментального множества Т:

7(Ф,и) := 7т(Ф, ¿7).

Доказывается корректность этого определения, то есть его независимость от выбора существенного фундаментального множества Т. Описываются основные свойства введенной характеристики, включая ее инвариантность. Связь топологической степени с неподвижными точками раскрывает следующее утверждение.

(2.2.7) Теорема. Пусть для вполне фундаментально сужаемого псевдоациклического мультиотображения Р : и ^ К(Е) такого, что х Е Р(х) для всех х Е ди выполнено

7(% — Р, и) = 0.

Тогда 0 = Р%хР С и.

Из этого общего утверждения вытекает следующая теорема о неподвижной точке.

(2.2.8) Теорема. Пусть однозначное отображение / : й ^ Е и псевдоациклическое мультиотображение Р : и ^ К(Е) вполне фундаментально сужаемы на существенное фундаментальное множество Т и не имеют неподвижных точек на ди. Пусть, далее

1) 7т(% — /,и) = 0;

2) др(х) Е Ф(х) для всех д < 0, х Е ди, где Ф = % — Р, р = % — ]. Тогда 0 = Р%хР С и.

Приведем ее аналог для уплотняющих мультиотображений. Пусть Е - нормированное пространство и и ограничено.

(2.2.9) Теорема. Пусть непрерывное однозначное отображение / : и ^ Е и псевдоациклическое мультиотображение Р : и ^ К(Е) являются (к, в)-уплотняющими относительно вещественной, монотонной, несингулярной, правильной и полуаддитивной МНК в и не имеют непо-

15

движных точек на ди. Если 7 (% — /, Ц7) =0 и выполнено условие (2) предыдущей теоремы, то 0 = Р%хР С и.

В качестве следствия отметим следующие утверждения.

(2.2.10) Следствие (Теорема Шефера). Пусть псевдоациклическое мультиотображение Р : и ^ К(Р) является (к, в)-уплотняющим относительно вещественной, монотонной, несингулярной, правильной и полуаддитивной МНК в. Пусть

дх Р(х) для всех д > 1, х € ди.

Тогда 0 = Р%хР С и.

(2.2.11) Следствие (Теорема Роте). Пусть мультиотображение Р : и ^ К(Р) - такое же как в (2.2.10). Если

Р(ди) С и,

то 0 = Р%хР С и.

Третья глава работы посвящена конструкции топологической степени совпадения линейного фредгольмова оператора Р нулевого индекса и псевдоациклического мультиотображения, которое является уплотняющим относительно Р.

Пусть Е1, Р2 - банаховы пространства. Линейный оператор Р : РошР С Р1 ^ Р2 называется линейным фредгольмовым оператором нулевого индекса, если 1тР - замкнутое подмножество Р2, пространства КегР и СокегР = Р2//шР конечномерны и

¿%шКегР = ¿%шСокегР.

Для линейного фредгольмова оператора Ь нулевого индекса:

а) существуют линейные непрерывные операторы проектирования Р : Е1 ^ Е1 и Q : Е2 ^ Е2 такие, что /шР = КегЬ и Кег^ = /шЬ;

б) оператор ЬР : ЛошЬ П КегР ^ /шЬ,

Ьр(х) = Ь(х) для х Е ЛошЬ П КегР

является линейным изоморфизмом;

в) оператор КР : /шЬ ^ ЛошЬ П КегР,

Кр(х) = Ь—

непрерывен;

г) каноническая проекция П : Е2 ^ СокегЬ, заданная как

Пу = у + /шЬ, является непрерывным оператором;

д) существует линейный непрерывный изоморфизм Л : СокегЬ ^ КегЬ;

е) уравнение

Ьх = у, у Е2

эквивалентно уравнению

(% — Р )х =(ЛП + Кр,д)(у),

где % - тождественный оператор на Е1, а оператор КР,д : Е2 ^ Е1 задан как

КР,д(у) = КР (У — ад.

Пара (Р, Q) называется точной парой проекций, отвечающих оператору Ь.

Пусть и С Р1 - открытое выпуклое ограниченное множество; в -мера некомпактности в Р1.

Псевдоациклическое мультиотображение Т : и ^ К(Р2) называется (Р, в)-уплотняющим, если:

(1) множество Т(7) ограничено в Р2; (п) мультиотображение

КР,д оТ : 7 ^ К(Р1)

является в-уплотняющим.

Точка х € РошРП7 называется точкой совпадения пары (Р, Т), если

Рх € Т(х).

Множество всех точек совпадения пары (Р, Т) обозначается Сот(Р, Т, и). Рассматривается мультиотображение £ : 7 ^ К(Р1) вида

£(х) = Рх + (ЛП + КРД) о Т(х).

Основные свойства мультиотображения £ заключаются в следующем:

а) Мультиотображение £ является в-уплотняющим псевдоациклическим мультиотображением.

б) Р^х£ = Сот(Р, Т,й).

Обозначим , Р2) совокупность всех (Р, в)-уплотняющих псевдоациклических мультиотображений Т : 7 ^ К(Р2).

Выделим в SL(и,Р2) подкласс SJ/u(и, Р2), состоящий из всех таких мультиотображений Т, для которых

Сот(Р, Т, 7) П (ди П РошР) = 0.

Степенью совпадения

¿е#(Ь, Т, и)

пары (Ь,Т), где Т Е SQU(и,Е2), называется топологическая степень ¿ед (% — ^, и) мультиполя % — ^.

Устанавливается корректность данного определения, то есть его независимость от выбора точной пары проекций (Р, Q) и изоморфизма Л (с точностью до его ориентации).

Непосредственно из определения вытекает следующий общий принцип существования точки совпадения. (3.3.1) Теорема. Если

¿е#(Ь, Т, и) = 0,

то

0 = Со%п(Ь, Т,и) С и.

Вводится понятие гомотопии (Ь, в)-уплотняющих мультиотображе-ний и устанавливается свойство гомотопической инвариантности степени совпадения.

Рассматриваются некоторые применения введенной характеристики к задаче о точках совпадения пары (Ь, Т).

Справедлив следующий вариант теоремы о нечетном поле. (3.3.4) Теорема. Пусть область и симметрична относительно нуля, мультиотображение Т нечетно на ди, то есть

Т(—х) = —Т(х) для всех х Е ди.

Тогда степень совпадения

¿е#(Ь, Т, и)

19

нечетна и, следовательно,

0 = Со%п(Ь, Т, и) С и П ЛошЬ.

Доказывается также следующая теорема о продолжении.

(3.3.5) Теорема. Пусть Т : и ^ К(Е2) - (Ь,в)-уплотняющее псевдоациклическое мультиотображение такое, что

(1) Ьх Е ЛТ(х) для всех х Е ЛошЬ П ди, Л Е (0,1];

(п) 0 Е ПТ(х) для всех х Е КегЬ П ди;

(ш) ¿е^кегь(ЛПТ|икегь, и^вть) = 0.

Тогда

0 = Со%п(Ь, Т,и) С (и П ЛошЬ).

В завершении главы рассматривается теорема о точке совпадения, являющаяся аналогом теоремы Б.Н. Садовского о неподвижной точке. Это утверждение доказывается для несколько более узкого класса мультио-тображений.

(3.3.9) Теорема. Пусть пространство Е1 сепарабельно, множество и симметрично относительно нуля, Т : и ^ К(Е2) - (Ь, в)-уплотняющее псевдо-Я-мультиотображение, удовлетворяющее следующему граничному условию:

(Ь — Т)(—х) П д(Ь — Т)(х) = 0

для всех х Е ди, д > 0.

Тогда степень ¿ед(Ь, Т, и) нечетна и, следовательно,

0 = Со%п(Ь, Т, и) С и П ЛошЬ.

В четвертой главе обсуждаются возможности применения построенной в предыдущей главе теории к изучению следующей задачи.

Рассматриваются полулинейное дифференциальное включение в се-парабельном банаховом пространстве Р

(4.1.1) у'(£) € Ау(£) + Р(£,у(£)), £ € [0, Т]

вместе с нелокальным граничным условием следующего вида

(4.1.2) Ру(0) = р(у),

где Р : РошР С Р ^ Р - линейный фредгольмов оператор нулевого индекса, ^ : С([0, Т]; Р) ^ Р - непрерывное отображение.

Предполагается, что линейная часть включения (4.1.1) удовлетворяет условию

А) А : РошА С Р ^ Р - замкнутый линейный оператор, порождающий Со-полугруппу е^, £ > 0.

Для многозначной нелинейности Р : [0,Т] х Р ^ К-и(Р) выполнены условия:

Р1) мультифункция Р(-,х) : [0,Т] ^ К-и(Р) обладает измеримым сечением для каждого х € Р;

Р2) мультиотображение Р(£, •) : Р ^ К^(Р) полунепрерывно сверху для п.в. £ € [0, Т];

Р3) существует функция а € Р+([0,Т]) такая, что

||Р(£,х)|| := вирЩг|| : г € Р(£,х)} < а(£)(1 + ||х||) для п.в. £ € [0, Т].

Следующее предположение называется условием х-регулярности:

^4) существует функция &(•) Е Ь+([0,Т]) такая, что

(*,£)) < ВД • х(Л) а.е. ¿Е [0,Т]

для любого ограниченного множества Л С Е, где х - мера некомпактности Хаусдорфа в Е.

Отметим, что частными случаями граничного условия (4.1.2) являются обобщенные периодические задачи

(4.1.3) Ьу(0) = ^(у(Т)),

где ^ : Е ^ Е - некоторое непрерывное отображение и

(4.1.4) Ьу(0) = у(Т).

Рассматриваются интегральные решения включения (4.1.1), т.е. непрерывные функции у : [0,Т] ^ Е вида

у(¿) = еАу(0) + / (з)^,

Л

где /(й) Е ^(й,у(й)) п.в. й Е [0,Т] - суммируемое сечение.

Задача (4.1.1) - (4.1.2) сводится к нахождению решения х Е Е включения

Ьх Е р(2(х)),

или, иначе говоря, отысканию точки совпадения оператора Ь и муль-тиотображения р о Здесь 2(х) - мультиотображение, сопоставляющее каждому х Е Е множество всех интегральных решений у(-) включения (4.1.1), удовлетворяющих условию у(0) = х.

Справедлив следующий общий принцип разрешимости задачи (4.1.1) - (4.1.2).

(4.2.5) Теорема. Пусть мультиотображение ^ о 2 : и ^ К(Р) является (Р,в)-уплотняющим и ¿ед(Р, ^ о и) = 0. Тогда нелокальная граничная задача (4.1.1) - (4.1.2) имеет решение. Н

Описываются достаточные условия того, чтобы мультиотображение ^ о 2 было (Р,в)-уплотняющим. При выполнении такого рода условий справедливо, например, следующее утверждение.

(4.2.7) Теорема. Пусть и С Р - выпуклое открытое ограниченное множество; Рт : Р ^ К(Р) - мультиоператор сдвига по траекториям включения (4.1.1), удовлетворяющий следующим условиям:

Р1) для любого х € РошР П ди:

Рт(х) П {дРх : д > 1} = 0;

Р2) 0 € ПРт (х) для всех х € КегР П ди; Р3) ¿едквгь(ЛПРт|

иКегГ , иКвгЬ) = 0 где последнее выражение представляет собой топологическую степень мультиполя, вычисляемую в конечномерном пространстве КегР.

Тогда существует решение у(•) обобщенной периодической задачи (4.1.1), (4.1.4) такое, что у(0) € и П РошР.

Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертационной работе получены следующие новые результаты.

1. Построена и изучена топологическая степень для класса псевдоациклических многозначных мультиотображений относительно выпуклого замкнутого подмножества в локально выпуклом пространстве.

2. С помощью вычисления топологической степени доказаны теоремы о неподвижной точке и совпадении для псевдоациклических многозначных отображений, обобщающих классические результаты Шефера, Роте и Пуанкаре.

3. Вычислена топологическая степень эквивариантных и нечетных псевдоациклических многозначных векторных полей.

4. Построена и изучена топологическая степень для класса фундаментально сужаемых псевдоациклических многозначных отображений в локально выпуклом пространстве.

5. С помощью метода топологической степени доказаны теоремы о неподвижной точке для фундаментально сужаемых и уплотняющих псевдоациклических многозначных отображений.

6. Построена и изучена топологическая степень совпадения для пары, состоящей из линейного фредгольмова оператора Р нулевого индекса и псевдоациклического многозначного отображения, уплотняющего относительно Р.

7. Топологическая степень совпадения использована для доказательства теорем о совпадении линейного фредгольмова и псевдоациклического многозначного отображения.

8. Исследованы возможности применения степени совпадения к нелокальной граничной задаче для полулинейного дифференциального включения в банаховом пространстве.

Материалы диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения XXIV" - Воронеж, 2013; Международной конференции " Воронежская зимняя математическая шко-

ла С.Г. Крейна" - Воронеж, 2014; Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения XXV" - Воронеж, 2014; Международной открытой конференции " Современные проблемы анализа динамических систем, приложения в технике и технологиях" - ВГЛТА 18-19 июня Воронеж, 2014; Международном молодежном симпозиуме " Современные проблемы математики. Методы, модели, приложения" - ВГЛТА 18-19 ноября Воронеж, 2014; на международных научно-методических конференциях студентов, аспирантов и преподавателей кафедры высшей математики ВГПУ (Воронеж, 2013, 2014), а также на семинаре проф. Обу-ховского В.В.

Результаты диссертации опубликованы в работах [2]-[9]. Из совместно опубликованных работ [3], [4], [9] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Работы [2]-[4] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Автор глубоко признателен профессору В.В. Обуховскому за научное руководство и постоянное внимание.

Глава 1. Топологическая степень для псевдоациклических многозначных векторных полей

1 Основные понятия и определения

Пусть H обозначает функтор когомологий Александера-Спеньера с целыми коэффициентами (см., напр., [26]).

Непустое пространство X называется 0-ацикличным, если H0(X) = Z, k-ацикличным (k > 1), если Hk(X) =0 и ацикличным, если оно k-ациклично для любого k > 0.

Пусть A - подпространство топологического пространства X.

(1.1.1) Определение. (см. [1]) Относительной размерностью A в X

(dimX A) называется величина sup dim C, где C - замкнуто в X и dim C

C cA

обозначает топологическую размерность C.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук АЛЬ ОБАИДИ Джамхур Махмуд Исмаил, 2015 год

Список литературы

[1] Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности/ - М: Наука, 1973.

[2] Аль Обаиди Дж. Топологическая степень для псевдоациклических многозначных векторных полей, Вестник ВГУ. Сер. физика, математика, Воронеж. - 2014. - № 2. - С. 95-110.

[3] Дж. Аль Обаиди, В.В. Обуховский, Топологическая степень для одного класса некомпактных мультиполей в локально выпуклых пространствах, Вестник ВГУ. Сер. физика, математика, 2014, N 3, 8898.

[4] Дж. Аль Обаиди, В.В. Обуховский, Топологическая степень совпадения фредгольмовых операторов и псевдоациклических многозначных отображений, Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2014. Т.19. Вып. 6, 51-68.

[5] Дж. Аль Обаиди, Об индексе совпадения фредгольмовых возмущений квазиациклических мультиотображений, Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы " Понтрягинские чтения XXIV", - Воронеж: ВГУ, -2013. - С. 68-69.

[6] Дж. Аль Обаиди, Топологическая степень некомпактных мультиполей в локально выпуклых пространствах, Материалы международной конференции " Воронежская зимняя математическая шко-

ла С.Г. Крейна", - Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга", - 2014. - С. 26-27.

[7] Дж. Аль Обаиди, Некоторые теоремы о неподвижной точке для многозначных отображений, Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XXV", - Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга", - 2014. - С. 55-56.

[8] Дж. Аль Обаиди, О степени совпадения для фредгольмовых возмущений псевдоациклических мультиотображений, Актуальные направления научных исследований XXI века: Теория и практика. Сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции, - 2014. N 4 часть 2 (9-2), - С. 431-434.

[9] Дж. Аль Обаиди, В.В. Обуховский, О нелокальных граничных задачах для полулинейных дифференциальных включений, Сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции " Актуальные направления научных исследований XXI века: Теория и практика", - 2014. N 5 часть 2 , - С. 243-244.

[10] Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н., Меры некомпактности и уплотняющие операторы, Новосибирск, Наука, 1986.

[11] Борисович Ю.Г. Об одном применении понятия вращения векторного поля/ ДАН 153:1. - 1963. - С. 12-15.

[12] Борисович Ю.Г. Об относительном вращении компактных векторных полей в линейных пространствах/ Труды сем. по функц. анализу, Воронеж. - 1969. - Вып.12. - С. 3-27.

[13] Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений/ УМН 35:1. - 1980. - С. 59-126.

[14] Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Многозначный анализ и операторные включения, Итоги науки и техники. Соврем. пробл. мат. Новейшие достижения. Т. 29, ВИНИТИ, М., 1986, 151-211.

[15] Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Многозначные отображения/ Итоги науки и математики. Матем. анализ. Т.19 ВИНИТИ, -М: - 1982.- С. 127-231.

[16] Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Изд. 2е, испр. и до-полн., М., Либроком, 2011.

[17] Дольд А. Лекции по алгебраической топологии/ -М: Мир, -1976.

[18] С.В. Корнев, В.В. Обуховский, О некоторых вариантах теории топологической степени для невыпуклозначных мультиотображений, Труды матем. ф-та (новая серия), Воронеж, ВорГУ, 8(2004), 56-74.

[19] Израилевич Я.А. О понятии относительного вращения многозначного векторного поля/ Труды сем. по функц. анализу, Воронеж. -1969. - Вып.12. - С. 111-115.

[20] Израилевич Я.А., Обуховский В.В. Об эквивариантных многозначных отображений/ ДАН СССР 205, 1. - 1972. - С. 16-18.

[21] Израилевич Я.А., Обуховский В.В. О некоторых топологических характеристиках эквивариантных многозначных отображений/ Труды матем. ф-та ВГУ, Воронеж. - 1973. - Вып.10. - С. 52-61.

[22] Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа, М., Наука, 1975.

[23] Обуховский В.В., Скалецкий А.Г. Некоторые теоремы о продолжении непрерывных отображений/ Сиб. мат. ж. - 1982. - 23. №4 - С. 137-141.

[24] Робертсон А., Робертсон В., Топологические векторные пространства, М., Мир, 1967.

[25] Скляренко Е.Г. О некоторых приложениях теории пучков в общей топологии/ УМН 19:6. - 1964. - С. 47-70.

[26] Спеньер Э. Алгебраическая топология/ - М: Мир, - 1971.

[27] Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии/ -М: Физматгиз, - 1968.

[28] Begle E.G. The Vietoris mapping theorem for bicompact spaces/ Ann. of Math. 51:2 - 1950. - P. 534-543.

[29] Eilenberg S., Montgomery D. Fixed point theorems for multi-valued transformations/ Amer. J. Math. 68 - 1946. - P. 214-222.

[30] K.-J. Engel, R. Nagel, A Short Course on Operator Semigroups, Berlin, Springer, 2006.

[31] D. Gabor, W. Kryszewski, A coincidence theory involving Fredholm operators of nonnegative index. Topol. Methods Nonlinear Anal. 15 (2000), no. 1, 43-59.

[32] R.E. Gaines, J.L. Mawhin, Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics, no. 568, SpringerVerlag, Berlin-New York, 1977.

[33] Gorniewicz L. Topological fixed point theory of multivalued mappings/ Second Edition. Springer, Dordrecht - 2006.

[34] D. M. Hyman, On decreasing sequences of compact absolute retracts. Fund Math. 64 (1969), 91-97.

[35] Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces/ Walter de Gruyter, Berlin New York - 2001.

[36] J. Mawhin, Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems. Expository lectures from the CBMS Regional Conference held at Harvey Mudd College, Claremont, Calif., June 9-15, 1977. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 40. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1977.

[37] V. Obukhovskii, P. Zecca, N.V. Loi, S. Kornev, Method of Guiding Functions in Problems of Nonlinear Analysis. Lecture Notes in Math. V. 2076.- Berlin: Springer, 2013.- 177 p.

[38] T. Pruszko, A coincidence degree for L-compact convex-valued mappings and its application to the Picard problem of orientors fields. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. 27 (1979), no. 11-12, 895-902 (1981).

[39] E. Tarafdar, S.K. Teo, On the existence of solutions of the equation Lx G Nx and a coincidence degree theory. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 28 (1979), no. 2, 139-173.

[40] Vietoris L. Uber den hogeren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen/ Math. Ann. 97 -1927. - P. 454-472.