Методы топологической степени в некоторых задачах нелинейного анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Джамхур Махмуд Исмаил Аль Обаиди

• Джамхур Махмуд Исмаил Аль Обаиди
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Джамхур Махмуд Исмаил Аль Обаиди

Содержание

Введение

Глава 1. Топологическая степень для псевдоациклических многозначных векторных полей

1 Основные понятия и определения

2 Относительная топологическая степень псевдоациклических мультиполей в локально выпуклом пространстве

3 Вычисление относительной топологической степени и теоремы о неподвижной точке и совпадении

3.1 Некоторые теоремы о неподвижной точке

3.2 Теорема о совпадении типа Пуанкаре

3.3 Эквивариантпые и нечетные мультиполя

Глава 2. Топологическая степень для одного класса некомпактных мультиполей в локально выпуклых пространствах

1 Основные понятия и определения

2 Топологическая степень и теоремы о неподвижной точке для фундаментально сужаемых мультиотображений

Глава 3. Топологическая степень совпадения фредгольмо-вых операторов и псевдоациклических многозначных отображений

2

1 Основные понятия и определения

2 Степень совпадения

3 Основные свойства степени совпадения

Глава 4. О полулинейных дифференциальных включениях

с нелокальными граничными условиями

1 Постановка задачи

2 Существование решений 88 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы топологической степени в некоторых задачах нелинейного анализа»

Введение

Геометрические методы нелинейного анализа, основанные на понятии топологической степени отображения имеют давнюю историю и восходят к именам А. Пуанкаре, JI. Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Jlepe, Ю. Шаудера. В дальнейшем эти методы были развиты и продемонстрировали свою высокую эффективность в трудах. М.А. Красносельского, С.Г. Крейна, H.A. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, B.C. Климова, А.И. Перова, А.И. Половоцкого, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, Ф. Браудера (F. Browder), К. Даймлинга (К. Deimling), М. Фури (М. Furi), Л. Ниренберга (L. Nirenberg), Ж. Мавена (J. Mawhin) и других ученых.

Начиная с сороковых годов прошлого века эти методы распространяются на многозначные отображения. Первые работы этого направления, начавшиеся с исследования С. Какутани (S. Kakutani), оперировавшие с выпуклозначными отображениями, нашли свои приложения в теории игр и математической экономике, в теории дифференциальных включений и управляемых систем, в ряде задач нелинейного функционального анализа. Разработке теории топологической степени для многозначных отображений компактного типа с выпуклыми значениями были посвящены труды Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обу-ховского, А. Челлины (A. Cellina), А. Гранаса (A. Granas), А. Лясоты (А. Lasota) и других (см. [13]-[16], [35] и имеющуюся там библиографию).

Однако исследование целого ряда аспектов нелинейного функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и включений, теории управляемых систем требует распространения этой теории на более

широкие классы многозначных отображений.

Достаточно отметить, что ряд важных задач теории управления и динамических систем приводят к необходимости исследовать многозначные отображения с невыпуклыми значениями. В частности, укажем в качестве такого отображения оператор, сопоставляющий начальным данным интегральную воронку дифференциального включения или оператор сдвига по траекториям обобщенной динамической системы.

Изучение многозначных отображений с невыпуклыми (ацикличными) значениями и их неподвижных точек было начато в работе С. Эйленберга (S. Eilenberg) и Д. Монтгомери(Б. Montgomery) [29], где на базе теоремы Л. Виеториса (L. Vietoris) об изоморфизме [40] была доказана теорема Лефшеца о неподвижной точке. В дальнейшем для различных классов отображений такого типа были предложены конструкции топологической степени, получены приложения к теоремам о неподвижной точке и применения к теории дифференциальных уравнений и включений (см., например, [13], [15], [33], [35] и имеющуюся там библиографию).

С другой стороны, для изучения дифференциальных включений в банаховых пространствах весьма эффективным орудием является теория топологической степени некомпактных (уплотняющего типа) многозначных отображений (см., например, [35]).

В настоящей диссертационной работе изучаются различные варианты теории топологической степени для класса псевдоациклических многозначных векторных полей и их приложения к различным теоремам о неподвижной точке, о точке совпадения и к нелокальным краевым задачам нелинейного типа. Отметим, что данный класс включает в себя поля,

соответствующие композициям мультиотображений почти ациклического типа с непрерывными однозначными отображениями. Мультиотобра-жения подобного вида возникают при изучении операторов сдвига по траекториям дифференциальных включений и управляемых систем.

В работе определяется топологическая степень для псевдоациклических многозначных векторных полей относительно выпуклого замкнутого множества в локально выпуклом пространстве. Описываются свойства введенной характеристики и даются приложения к теоремам о неподвижной точке и совпадении. Отметим, что понятие относительной топологической степени (вращения) было введено Ю.Г. Борисовичем ([11], [12]) и с тех пор развивалось и применялось во многих работах.

Полученные результаты используются для обоснования конструкции топологической степени псевдоациклических многозначных векторных полей некомпактного типа в локально выпуклом пространстве. Рассматривается класс фундаментально сужаемых полей, включающий в себя многозначные векторные поля, уплотняющие относительно мер некомпактности различных видов. Обосновывается корректность определения степени, описываются ее основные свойства и даются применения к теоремам о неподвижной точке для фундаментально сужаемых и уплотняющих мультиотображений.

Задача о точках совпадения фредгольмовых операторов с многозначными отображениями различных классов возникает при исследовании большого круга задач нелинейного анализа, теории дифференциальных уравнений, теории управляемых систем и в других ветвях современной математики. Весьма эффективным средством решения задач такого ро-

да является использование топологических характеристик типа степени совпадения. Для случая однозначных отображений теория степени совпадения восходит к работам [32], [36]. Для включений с линейными фредгольмовыми операторами и различными типами многозначных отображений топологические характеристики такого рода исследовались и применялись в работах [18], [31], [38], [39] и др. Конструкции степени совпадения для многозначных возмущений нелинейных фредгольмовых операторов также предлагались в ряде работ (см., например, монографию [37] и имеющуюся там библиографию).

В настоящей работе, опираясь на полученные результаты, определяется топологическая степень совпадения для пары отображений банаховых пространств, состоящей из линейного фредгольмова оператора Ь нулевого индекса и псевдоациклического многозначного отображения Т, уплотняющего относительно Ь. Обосновывается корректность определения степени, описываются ее основные свойства и даются приложения к существованию точек совпадения.

В заключительной части работы рассматривается нелокальная граничная задача для полулинейного дифференциального включения в банаховом пространстве. Показано, что эта задача может быть сведена к нахождению точки совпадения линейного фредгольмова оператора и многозначного отображения. Описываются условия, позволяющие применить к этой задаче разработанную степень совпадения. В качестве примера рассматривается разрешимость обобщенной периодической задачи.

Проведем обзор содержания диссертации по главам.

В первой главе диссертации приводятся основные сведения из функционального анализа, теории многозначных отображений и топологических методов. Дано определение класса псевдоациклических многозначных отображений (мультиотображений) следующим образом.

Пусть Н обозначает функтор когомологий Александера-Спеньера с целыми коэффициентами (см., напр., [26]).

Непустое пространство X называется О-ацикличным, если Н°(Х) — /с-ацикличным (к > 1), если Нк(Х) = 0 и ацикличным, если оно к-ациклично для любого к > 0.

Пусть X, У - топологические пространства, К (У) обозначает совокупность всех непустых компактных подмножеств У, F : X —> К (У) мультиотображение. Для г > 0 обозначим

Мр = х £ X, Р{х) не является г — ацикличным}.

Полунепрерывное сверху мультиотображение Р : X —> К (У) называется почти ациклическим, если:

(a) Мр = 0 для всех г, начиная с некоторого го > 0;

(b) £ = тах (сНт* Мр) < оо, где обозначает относительную раз-

0<г'<г0

мерность множества в пространстве X.

Если для всех г > 0 МгГ = 0, то мультиотображение Р называется ациклическим.

Мультиотображение Р : X —> К (У) называется псевдоациклическим, если существует топологическое пространство 2 и непрерывное отображение © : Z —> У такое, что Р представимо в виде композиции

Р = воР,

где F : X —>■ K(Z) почти ациклическое мультиотображение. Пара (в, F) называется разложением псевдоациклического мультиотображения F.

Второй параграф первой главы посвящен конструкции относительной топологической степени псевдоациклических многозначных векторных полей (мультиполей) в следующей ситуации.

Пусть Е - хаусдорфово локально выпуклое пространство, U С Е -выпуклая конечно ограниченная открытая окрестность нуля.

Пусть Т - выпуклое замкнутое подмножество Е. Обозначим Ut =

ипт.

Рассмотрим F — Q о F \ dU К(Е) - псевдоацикличсское мультиотображение такое, что:

a) F(dU П Т) С Т;

b) F\dunT вполне непрерывно;

c) FixF П dU П Т = 0, где FixF = {х : х Е F(x)} - множество неподвижных точек.

С помощью обобщения Е.Г. Скляренко теоремы Виеториса и теоремы В.В. Обуховского и А.Г. Скалецкого о квазиретракции определяется топологическая степень 7т(Ф) псевдоациклического мультиполя Ф = г — F относительно множества Т.

Устанавливается корректность данного определения, то есть его независимость от выбора квазиретракции и аппроксимирующего конечномерного пространства, участвующих в данной конструкции.

Далее вводится понятие гомотопии псевдоациклических мультиполей относительно множества Т.

Пусть Fq = Go о F0, F\ = ©J о F\ : 0U К(Е) - псевдоациклические

мультиотображения такие, что

(a) Fi{dUnT) С Т;

(b) Fi\duc\T вполне непрерывно;

(c) FixFi П91/ПТ = 0;г = О,1.

Мультиполя Фо — i — F0, Ф j = г — F\ называются гомотопными относительно X, если существуют почти ациклическое мультиотображение F : dU х [0,1] —> K{Z) и непрерывное отображение Э : Z х [0,1] Е такие, что:

(i) F(-, 0) = F0, F(-, 1) = F\]

(ii) в(-,0) = е0, 9(-,l) = Qi;

(iii) для псевдоациклического мультиотображения F : dU x [0,1] —Y K(E), заданного как

F(x, A) = Q(F(x, A), A)

выполнено:

(1) F((<9£/nT) x [0,1]) С T;

(2) F|(3f/nT)x[o,i] вполне непрерывно;

(3) x i F(x} А) для всех (ж, A) e (dU П T) x [0,1].

Ясно, что можно отождествить F(-, 0) = F0, F(-,l) = Fi. Гомотопные относительно T мультиполя обозначаются символом ^о ~

Важным свойством введенной степени является ее гомотопическая инвариантность:

Если псевдоациклические мультиполя Фо и Ф] гомотопны относительно Т, то

7т (Фо) = 7t($i)-

Третий раздел первой главы посвящен вычислению топологической

10

степени в некоторых конкретных ситуациях и получению на этой основе некоторых утверждений о неподвижной точке и точке совпадения. Базу подобного рода результатов образует следующая теорема.

(1.3.1) Теорема. Пусть F : U К(Е) - псевдоациклическое муль-тиотображение такое, что

(a) F{U ПТ)СТ;

(b) F\цпт - вполне непрерывно;

(c) FixF DdUnT = 0. Если

1т{г - Р\ди) ф О,

то существует точка xq Е U П Т такая, что xq Е F(xо).

Этот общий принцип открывает возможности для формулировки различных теорем о неподвижной точке. Справедливо следующее утверждение.

(1.3.2) Теорема. Пусть Ut 0, = i — f ■ U —> E - однозначное поле такое, что:

(a) f{UT) С Г;

(b) /\от - вполне непрерывно;

(c) FixfndUHT = 0]

(d) 7т(г - f\eu) ^ 0.

Пусть Ф = i — F - пссвдоациклическое мультиполе такое, что:

(i) F{UT) С Т;

(ii) F\f)T - вполне непрерывно;

(iii) Fix F П dU ПГ = 0.

Предположим далее, что

(1.3.3) W>{x) Ф(ж) для всех д < 0, х е dU П Т.

Тогда найдется точка х б От такая, что х G F(x).

Следствиями этого утверждения являются аналогии классических теорем о неподвижной точке Шефера о Роте.

Те же методы позволяют доказать следующую теорему о совпадении типа Пуанкаре.

(1.3.6) Теорема. Пусть Т С Е - конус с вершиной в нуле. Пусть (/? = г — f : U —> Е - однозначное поле такое, что условия (а), (Ь), (с), (d) теоремы 1.3.2 выполнены. Пусть Ф = i — F : U —> К{Е) -псевдоациклическое мультиполе, удовлетворяющее условиям (i), (ii), (iii) той же теоремы.

(1.3.7) Предположим далее, что щр{х) ^ F{x) для всех ¡л > 1, х € dU П Т. Тогда найдется точка х е От такая, что <р(х) G Е(х).

Завершает первую главу рассмотрение эквивариантных и нечетных мультиполей.

Пусть d : Е —t Е - непрерывный линейный оператор, удовлетворяющий следующим условиям:

dk = idE,k > 2;

если L = Fix d, то

d\y) 0(modk),

то есть d является полусвободным периодическим оператором порядка к.

Пусть U, как и прежде, выпуклая конечно ограниченная окрестность нуля, S = dU и пусть d(S) = S.

Мультиотображение F : S —> К(Е) называется эквивариантным относительно d, если

F о d = d о F.

При некоторых дополнительных предположениях справедливо следующее утверждение.

(1.3.9) Теорема. Пусть F : S К{Е) - псевдоациклическое мультиотображение, эквивариантное относительно периодического оператора d периода к. Пусть Т - выпуклое замкнутое подмножество Е такое, что d(T) = ТиТпЬ^0 в случае, если ЬфОиТпй ф 0.

Пусть F(dUnT) С Т, F\дипТ - вполне непрерывно, Fix FndUnT = 0. Тогда

7т{г — F) = 7тпь(г - FL)(modk),eелиL ф О, 7г(г — F) = 1(гдос//с), если L = 0.

Следствием этого результата является теорема о нечетном поле для псевдоациклического мультиотображения.

Вторая глава диссертации посвящена введению топологической степени и изучению ее приложений для некоторых классов некомпактных псевдоациклических мультиотображений.

Пусть X С Е. Выпуклое замкнутое множество Г С £ называется фундаментальным для мультиотображения F : X —> К(Е) (или соответствующего ему мультиполя Ф = г — F), если:

1) F(X П T) С Т;

2) из жо 6 cd(F(xо) U Т) следует xq Е Т.

Фундаментальное множество Т мультиотображения F : X —> К{Е) или семейства мультиотображений G : X х А —К(Е) такое, что ХГ)Т ф 0 и сужение F на X п Т (соответственно, G на (X П Т) х А) компактно, называется существенным.

Если мультиотображение F : X —> К(Е) или семейство мультиотображений G : I х Л обладает существенным фундаментальным множеством, то F или, соответственно, G называется вполне фундаментально сужаемым (на Т). Этим же термином называется и соответствующее мультиполе Ф(а-) = х — F(x) или семейство мультиполей Ф(х,А) = x-G(x, А).

Примерами вполне фундаментально сужаемых мультиотображений являются компактные и уплотняющие относительно монотонных несингулярных мер некомпактности мультиотображения.

Пусть U - открытое выпуклое конечно ограниченное подмножество локально выпуклого пространства Е\ F = В о F : U —> К(Е) - вполне фундаментально сужаемое псевдоациклическое мультиотображение такое, что

х i F{x)

для всех х € dU.

Топологической степенью мультиполя Ф = i — F, соответствующего F, называется топологическая степень мультиполя Ф относительно произвольного существенного фундаментального множества Т:

7(Ф,С7) :=1т(Ф,й).

14

Доказывается корректность этого определения, то есть его независимость от выбора существенного фундаментального множества Т. Описываются основные свойства введенной характеристики, включая ее гомотопическую инвариантность. Связь топологической степени с неподвижными точками раскрывает следующее утверждение.

(2.2.7) Теорема. Пусть для вполне фундаментально сужаемого псевдоациклического мультиотображения F : U К(Е) такого, что х (£. F(x) для всех х £ dU выполнено

7(г - F, U) ф 0.

Тогда 0 ф FixF с U.

Из этого общего утверждения вытекает следующая теорема о неподвижной точке.

(2.2.8) Теорема. Пусть однозначное отображение / : U —> Е и псевдоациклическое мультиотображение F : U К(Е) вполне фундаментально сужаемы на существенное фундаментальное множество Т и не имеют неподвижных точек на dU. Пусть, далее

1) 1т{г - /, U) ф 0;

2) 1Лф{х) ф Ф(ж) для всех /х < 0, х 6 dU, где Ф = г — F, — г - /. Тогда 0 ф FixF С U.

Приведем ее аналог для уплотняющих мультиотображений. Пусть Е - нормированное пространство и U ограничено.

(2.2.9) Теорема. Пусть непрерывное однозначное отображение / : U —» Е и псевдоациклическое мультиотображение F : U —> К(Е) являются (к, /3)-уплотняющими относительно вещественной, монотонной, несингулярной, правильной и полуаддитивной МНК /3 и не имеют непо-

15

движных точек на dU. Если 7(г — /, U) Ф 0 и выполнено условие (2) предыдущей теоремы, то 0 ф FixF С £/.

В качестве следствия отметим следующие утверждения.

(2.2.10) Следствие (Теорема Шефера). Пусть псевдоациклическое мультиотображение F : U —)• К(Е) является (к, /3)-уплотняющим относительно вещественной, монотонной, несингулярной, правильной и полуаддитивной МНК /3. Пусть

/¿ж ^ F(x) для всех /л > 1, х е

Тогда 0 ф FixF с ¿7.

(2.2.11) Следствие (Теорема Роте). Пусть мультиотображение F : U -> - такое же как в (2.2.10). Если

¿ЧдС/) С U,

то 0 ф FixF С С/.

Третья глава работы посвящена конструкции топологической степени совпадения линейного фредгольмова оператора L нулевого индекса и псевдоациклического мультиотображения, которое является уплотняющим относительно L.

Пусть Е2 - банаховы пространства. Линейный оператор L : DomL С Ei —»• Е2 называется линейным фредгольмовым оператором нулевого индекса, если ImL - замкнутое подмножество Е2, пространства Kerb и CokerL — E2/ImL конечномерны и

dimKerL = dimCokerL.

Для линейного фредгольмова оператора L нулевого индекса:

а) существуют линейные непрерывные операторы проектирования Р : Е\ —>■ Ei и Q : Е2 —» Е2 такие, что ImP = Kerb и KerQ = ImL\

б) оператор bp : DomL П КегР —ImL,

1/р(х) = 1/(ж) для rc G DomL П КегР

является линейным изоморфизмом;

в) оператор Кр : ImL —> DomL П КегР,

Кр{х) = Lp1

непрерывен;

г) каноническая проекция П : -Б2 —^ CokerL, заданная как

Пг/ = у + /mL, является непрерывным оператором;

д) существует линейный непрерывный изоморфизм А : CokerL —> KerL;

е) уравнение

Lx = у,у е Е2

эквивалентно уравнению

где г - тождественный оператор на Е\, а оператор Крд : Е2 —> Е\ задан как

КРД(у) = КР(у - Qy).

Пара (Р, Q) называется точной парой проекций, отвечающих оператору L.

Пусть и С Е\ - открытое выпуклое ограниченное множество; -мера некомпактности в Е\.

Псевдоациклическое мультиотображение Т : О —> К(Еъ) называется (Ь, /3)-уплотняющим, если:

(I) множество ограничено в

(II) мультиотображение

К(Е1)

является /3-уплотняющим.

Точка х £ БотЬпи называется точкой совпадения пары (Ь, Т7), если

Ьх е Р(х).

Множество всех точек совпадения пары (Ь, Р) обозначается Сот(Ь, Т, и). Рассматривается мультиотображение Я : О -> К(Е{) вида

Я{х) = Рх + (ЛП + Крд) о 7{х).

Основные свойства мультиотображения <3 заключаются в следующем:

а) Мультиотображение 0 является /3-уплотняющим псевдоациклическим мультиотображением.

б) ПхО = Согп{Ь,Т~17).

Обозначим Зь(и, Е2) совокупность всех (Ь, /3)-уплотняющих псевдоациклических мультиотображений Т : 0 —> К(Е2).

Выделим в Зь(и,Е2) подкласс ¿^(С?, Е2), состоящий из всех таких мультиотображений Т, для которых

Согп{Ь, Т, V) П (811 П ИотЬ) = 0. 18

Степенью совпадения

пары (Ь,Р), где Р 6 Бд^и^Еъ), называется топологическая степень с1ед({ — О, 0) мультиполя г — С/.

Устанавливается корректность данного определения, то есть его независимость от выбора точной пары проекций (Р, О) и изоморфизма А (с точностью до его ориентации).

Непосредственно из определения вытекает следующий общий принцип существования точки совпадения. (3.3.1) Теорема. Если

то

0 ф Согп(Ь,Р, 0) с и.

Вводится понятие гомотопии (Ь, /3)-уплотняющих мультиотображе-ний и устанавливается свойство гомотопической инвариантности степени совпадения.

Рассматриваются некоторые применения введенной характеристики к задаче о точках совпадения пары (Ь,Р).

Справедлив следующий вариант теоремы о нечетном поле. (3.3.4) Теорема. Пусть область II симметрична относительно нуля, мультиотображение Т нечетно на ди, то есть

х) = —Р(х) для всех х 6 ди.

Тогда степень совпадения

(¡ед{Ь,Г, 0) 19

нечетна и, следовательно,

0 ф Coin(L, Т, U) с U П DomL.

Доказывается также следующая теорема о продолжении.

(3.3.5) Теорема. Пусть JF : U —»• К{Еч) - (L,/3)-уплотняющее псевдоациклическое мультиотображение такое, что

(i) Lx £ \Т{х) для всех х G DomL П dU, А € (0,1];

(и) 0 ф Шг(х) для всех х £ Kerb П dU; (iii) degKerL{№lJF\uKeTL, UKerL) ф 0.

Тогда

0 ф Coin(L, J7, U) С (U П DomL).

В завершение главы рассматривается теорема о точке совпадения, являющаяся аналогом теоремы Б.Н. Садовского о неподвижной точке. Это утверждение доказывается для несколько более узкого класса мультио-тображений.

(3.3.9) Теорема. Пусть пространство Е\ сепарабельно, множество U симметрично относительно нуля, Т : U —> К{Е%) ~ {L, /5)-уплотняющее псевдо-/^-мультиотображение, удовлетворяющее следующему граничному условию:

(L - Т){-х) П \x{L - Т){х) = 0

для всех х G dU, ц> 0.

Тогда степень deg(L,T, U) нечетна и, следовательно,

0 ф Coin(L, F, U) С U П DomL.

В четвертой главе обсуждаются возможности применения построенной в предыдущей главе теории к изучению следующей задачи.

Рассматриваются полулинейное дифференциальное включение в се-парабельном банаховом пространстве Е

(4.1.1) y'{t) E Ay(t) + F(t, y(t)), t E [0, T] вместе с нелокальным граничным условием следующего вида

(4.1.2) Ly( 0) =

где L : DorriL С Е —>• Е - линейный фредгольмов оператор нулевого индекса, (р : С([0, T]; Е) —> Е - непрерывное отображение.

Предполагается, что линейная часть включения (4.1.1) удовлетворяет условию

А) А : DomA С Е —ь Е - замкнутый линейный оператор, порождающий Co-полугруппу eAt, t > 0.

Для многозначной нелинейности F : [0, T] х Е —> Kv(E) выполнены условия:

F1) мультифункция F(-,x) : [0,Т] —> Kv(E) обладает измеримым сечением для каждого х E Е\

F2) мультиотображение F(t, •) : Е —>• Kv(E) полунепрерывно сверху для п.в. t Е [0, Т]\

F3) существует функция а E L+([0,T]) такая, что

\\F(t,x)|| := sup{||2;|| : 2: Е ^(¿,гс)} < c*(i)(l + \\х\\)

для п.в. t Е [0, Т].

Следующее предположение называется условием ^-регулярности:

21

РА) существует функция к(-) Е 7^([0,Т]) такая, что

хт,0))<к(1)-х(Я) а.е.*б[0 ,Г]

для любого ограниченного множества И с Е, где х ~ мера некомпактности Хаусдорфа в Е.

Отметим, что частными случаями граничного условия (4.1.2) являются обобщенные периодические задачи

(4.1.3) Ьу(0)=ф(у{Т)),

где яр : Е —>■ Е - некоторое непрерывное отображение и

(4.1.4) Ьу(0)=у(Т).

Рассматриваются интегральные решения включения (4.1.1), т.е. непрерывные функции у : [О, Т] —Е вида

у{1) = ему(0) + Ге^Д*)^, ./о

где /(й) Е Р(з,у(з)) п.в. в Е [О, Т] - суммируемое сечение.

Задача (4.1.1) - (4.1.2) сводится к нахождению решения х Е Е включения

Ьх Е <р(£(а;)),

или, иначе говоря, отысканию точки совпадения оператора Ь и муль-тиотображения </?оЕ. Здесь £(ж) - мультиотображение, сопоставляющее каждому х Е Е множество всех интегральных решений у(-) включения (4.1.1), удовлетворяющих условию у(0) — х.

Справедлив следующий общий принцип разрешимости задачи (4.1.1) - (4.1.2).

(4.2.5) Теорема. Пусть мультиотображение ip о Y, : U —> К(Е) является (L,/3)-уплотняющим pi deg(Lо Е, U) Ф 0. Тогда нелокальная граничная задача (4.1.1) - (4.1.2) имеет решение. ■

Описываются достаточные условия того, чтобы мультиотображение ц) о Е было (L, /?)-уплотняющим. При выполнении такого рода условий справедливо, например, следующее утверждение.

(4.2.7) Теорема. Пусть U с Е - выпуклое открытое ограниченное множество; Рт : Е —> К(Е) - мультиоператор сдвига по траекториям включения (4.1.1), удовлетворяющий следующим условиям:

Р1) для любого х G DomL П dU:

рт{х) n {fiLx : fi > 1} = 0;

Р2) 0 £ ПРт{х) для всех ж G Kerb П dU\

Р3) degKerL{AIlPT\ij , Ukztl) Ф 0, гДе последнее выражение представляет собой топологическую степень мультиполя, вычисляемую в конечномерном пространстве Kerb.

Тогда существует решение у(-) обобщенной периодической задачи (4.1.1), (4.1.4) такое, что у(0) G U П DomL.

Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертационной работе получены следующие новые результаты.

1. Построена и изучена топологическая степень для класса псевдоациклических многозначных мультиотображений относительно выпуклого замкнутого подмножества в локально выпуклом пространстве.

2. С помощью вычисления топологической степени доказаны теоремы о неподвижной точке и совпадении для псевдоациклических многозначных отображений, обобщающих классические результаты Шефера, Роте и Пуанкаре.

3. Вычислена топологическая степень эквивариантных и нечетных псевдоациклических многозначных векторных полей.

4. Построена и изучена топологическая степень для класса фундаментально сужаемых псевдоациклических многозначных отображений в локально выпуклом пространстве.

5. С помощью метода топологической степени доказаны теоремы о неподвижной точке для фундаментально сужаемых и уплотняющих псевдоациклических многозначных отображений.

6. Построена и изучена топологическая степень совпадения для пары, состоящей из линейного фредгольмова оператора Ь нулевого индекса и псевдоациклического многозначного отображения, уплотняющего относительно Ь.

7. Топологическая степень совпадения использована для доказательства теорем о совпадении линейного фредгольмова и псевдоациклического многозначного отображения.

8. Исследованы возможности применения степени совпадения к нелокальной граничной задаче для полулинейного дифференциального включения в банаховом пространстве.

Материалы диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе " Понтрягинские чтения XXIV" - Воронеж, 2013; Международной конференции " Воронежская зимняя математическая птко-

ла С.Г. Крейна" - Воронеж, 2014; Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения XXV" - Воронеж, 2014; Международной открытой конференции " Современные проблемы анализа динамических систем, приложения в технике и технологиях" - ВГЛТА 18-19 июня Воронеж, 2014; Международном молодежном симпозиуме "Современные проблемы математики. Методы, модели, приложения" - ВГЛТА 18-19 ноября Воронеж, 2014; на международных научно-методических конференциях студентов, аспирантов и преподавателей кафедры высшей математики ВГПУ (Воронеж, 2013, 2014), а также на семинаре проф. Обу-ховского В.В.

Результаты диссертации опубликованы в работах [2]-[9]. Из совместно опубликованных работ [3], [4], [9] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Работы [2]-[4] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Автор глубоко признателен профессору В.В. Обуховскому за научное руководство и постоянное внимание.

Глава 1. Топологическая степень для псевдоациклических многозначных векторных полей

1 Основные понятия и определения

Пусть Н обозначает функтор когомологий Александера-Спеньера с целыми коэффициентами (см., напр., [26]).

Непустое пространство X называется О-ацикличным, если Н°(Х) = Z, ^-ацикличным (к > 1), если Нк(Х) = 0 и ацикличным, если оно /^-ациклично для любого к > 0.

Пусть А - подпространство топологического пространства X.

(1.1.1) Определение, (см. [1]) Относительной размерностью А в X

(dimx А) называется величина sup dim С, где С - замкнуто в X и dim С

с сл

обозначает топологическую размерность С.

По определению полагаем, что dim^ А = — оо в том и только в том случае, если А = 0.

Непрерывное отображение / : У X называется собственным, если прообраз f~l(A) любого компактного множества А с X компактен.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Джамхур Махмуд Исмаил Аль Обаиди, 2015 год

Список литературы

[1] Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности/ - М: Наука, 1973.

[2] Аль Обаиди Дж. Топологическая степень для псевдоациклических многозначных векторных полей, Вестник ВГУ. Сер. физика, математика, Воронеж. - 2014. - № 2. - С. 95-110.

[3] Дж. Аль Обаиди, В.В. Обуховский, Топологическая степень для одного класса некомпактных мультиполей в локально выпуклых пространствах, Вестник ВГУ. Сер. физика, математика, 2014, N 3, 8898.

[4] Дж. Аль Обаиди, В.В. Обуховский, Топологическая степень совпадения фредгольмовых операторов и псевдоациклических многозначных отображений, Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2014. Т.19. Вып. 6, 1771-1783.

[5] Дж. Аль Обаиди, Об индексе совпадения фредгольмовых возмущений квазиациклических мультиотображений, Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы " Понтрягинские чтения XXIV", - Воронеж: ВГУ, -2013. - С. 68-69.

[6] Дж. Аль Обаиди, Топологическая степень некомпактных мультиполей в локально выпуклых пространствах, Материалы международной конференции "Воронежская зимняя математическая шко-

ла С.Г. Крейна", - Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга", - 2014. - С. 26-27.

[7] Дж. Аль Обаиди, Некоторые теоремы о неподвижной точке для многозначных отображений, Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XXV", - Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга", - 2014. - С. 55-56.

[8] Дж. Аль Обаиди, О степени совпадения для фредголъмовых возмущений псевдоациклических мультиотображений, Актуальные направления научных исследований XXI века: Теория и практика. Сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции, - 2014. N 4 часть 2 (9-2), - С. 19-21.

[9] Дж. Аль Обаиди, В.В. Обуховский, О нелокальных граничных задачах для полулинейных дифференциальных включений, Сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции "Актуальные направления научных исследований XXI века: Теория и практика", - 2014. N 5 часть 2 , - С. 243-244.

[10] Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов A.C., Родкина А.Е., Садовский В.Н., Меры некомпактности и уплотняющие операторы, Новосибирск, Наука, 1986.

[11] Борисович Ю.Г. Об одном применении понятия вращения векторного поля/ ДАН 153:1. - 1963. - С. 12-15.

[12] Борисович Ю.Г. Об относительном вращении компактных векторных полей в линейных пространствах/ Труды сем. по функц. анализу, Воронеж. - 1969. - Вып.12. - С. 3-27.

[13] Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мыгакис А.Д., Обуховский В.В. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений/ УМН 35:1. - 1980. - С. 59-126.

[14] Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мыпжис А.Д., Обуховский В.В. Многозначный анализ и операторные включения, Итоги науки и техники. Соврем, пробл. мат. Новейшие достижения. Т. 29, ВИНИТИ, М., 1986, 151-211.

[15] Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Многозначные отображения/ Итоги науки и математики, Матем. анализ. Т.19 ВИНИТИ, -М: - 1982,- С. 127-231.

[16] Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Изд. 2е, испр. и до-полн., М., Либроком, 2011.

[17] Дольд А. Лекции по алгебраической топологии/ -М: Мир, -1976.

[18] C.B. Корнев, В.В. Обуховский, О некоторых вариантах теории топологической степени для невыпуклозначных мультиотображений, Труды матем. ф-та (новая серия), Воронеж, ВорГУ, 8(2004), 56-74.

[19] Израилевич Я.А. О понятии относительного вращения многозначного векторного поля/ Труды сем. по функц. анализу, Воронеж. -1969. - Вып.12. - С. 111-115.

[20] Израилевич Я.А., Обуховский В.В. Об эквивариантных многозначных отображений,/ ДАН СССР 205, 1. - 1972. - С. 16-18.

[21] Израилевич Я.А., Обуховский В.В. О некоторых топологических характеристиках эквивариантных многозначных отображений/ Труды матем. ф-та ВГУ, Воронеж. - 1973. - Вып. 10. - С. 52-61.

[22] Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа, М., Наука, 1975.

[23] Обуховский В.В., Скалецкий А.Г. Некоторые теоремы о продолжении непрерывных отображений/ Сиб. мат. ж. - 1982. - 23. №4 - С. 137-141.

[24] Робертсон А., Робертсон В., Топологические векторные пространства., М., Мир, 1967.

[25] Скляренко Е.Г. О некоторых приложениях теории пучков в общей топологии/ УМН 19:6. - 1964. - С. 47-70.

[26] Спеньер Э. Алгебраическая топология/ - М: Мир, - 1971.

[27] Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии/ -М: Физматгиз, - 1968.

[28] Begle E.G. The Vietoris mapping theorem for bicompact spaces/ Ann. of Math. 51:2 - 1950. - P. 534-543.

[29] Eilenberg S., Montgomery D. Fixed point theorems for multi-valued transformations/ Amer. J. Math. 68 - 1946. - P. 214-222.

[30] K.-J. Engel, R. Nagel, A Short Course on Operator Semigronps, Berlin, Springer, 2006.

[31] D. Gabor, W. Kryszewski, A coincidence theory involving Fredholm operators of nonnegative index. Topol. Methods Nonlinear Anal. 15 (2000), no. 1, 43-59.

[32] R.E. Gaines, J.L. Mawhin, Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics, no. 568, SpringerVerlag, Berlin-New York, 1977.

[33] Görniewicz L. Topological fixed point theory of multivalued mappings/ Second Edition. Springer, Dordrccht - 2006.

[34] D. M. Hyman, On decreasing sequences of compact absolute retracts. Fund Math. 64 (1969), 91-97.

[35] Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces/ Walter de Gruyter, Berlin New York - 2001.

[36] J. Mawhin, Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems. Expository lectures from the CBMS Regional Conference held at Harvey Mudd College, Claremont, Calif., June 9-15, 1977. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 40. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1977.

[37] V. Obukhovskii, P. Zecca, N.V. Loi, S. Kornev, Method of Guiding Functions in Problems of Nonlinear Analysis. Lecture Notes in Math. V. 2076,- Berlin: Springer, 2013,- 177 p.

t

[38] T. Pruszko, A coincidence degree for L-compact convex-valued mappings and its application to the Picard problem of orientors fields. Bull. Acad. Polon. Sei. Ser. Sei. Math. 27 (1979), no. 11-12, 895-902 (1981).

[39] E. Tarafdar, S.K. Teo, On the existence of solutions of the equation Lx e Nx and a coincidence degree theory. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 28 (1979), no. 2, 139-173.

[40] Vietoris L. Uber den hogeren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen/ Math. Ann. 97 -1927. - P. 454-472.