Топологическая степень многозначных возмущений (S)+-отображений и её приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Барановский, Евгений Сергеевич

• Барановский, Евгений Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Барановский, Евгений Сергеевич

Введение

1 Топологическая степень CJ-возмущений отображений класса (S)+

1.1 Основные понятия и вспомогательные факты.

1.2 Степень компактных CJ-возмущений отображений класса (S)+.

1.3 Степень уплотняющих CJ-возмущений отображений класса (5)+.

2 Об оптимальных задачах для систем параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений

2.1 Функциональные пространства и их свойства.

2.2 Постановка задачи и формулировка основных результатов

2.3 Операторная трактовка задачи и доказательство теоремы о существовании оптимальных решений.

2.4 Пример: одна задача об управлении температурой

3 Об оптимальной задаче для одной системы дифференциальных уравнений и включений

3.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов

3.2 Операторная трактовка задачи и доказательство теоремы о существовании оптимальных решений.

4 Некоторые результаты о структуре множества решений операторных включений и их приложения

4.1 Вспомогательные понятия и факты

4.2 Теоремы о связности множества решений операторных включений

4.3 О структуре множества решений задачи управления внешними нагрузками в одной модели изгиба пластины.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологическая степень многозначных возмущений (S)+-отображений и её приложения»

К настоящему времени теория топологической степени продолжает оставаться одним из основных методов нелинейного функционального анализа. Этот метод имеет давнюю историю. Понятие степени восходит к работам Кронекера и Пуанкаре, а стройная теория степени конечномерных отображений была предложена Брауэром еще в начале прошлого века. Впоследствии эту теорию удалось распространить на некоторые классы отображений бесконечномерных пространств и многообразий. Были разработаны топологические характеристики типа степени для вполне непрерывных и уплотняющих векторных полей, для различных типов фредгольмовых отображений, для отображений монотонного типа и других классов отображений. Результаты этих исследований нашли широкое применение при изучении нелинейных краевых задач, интегральных уравнений, нелинейных моделей механики, гидродинамики и других задач.

Изучение новых ситуаций, возникающих в приложениях, приводит к необходимости построения новых топологических характеристик. В частности, представляет интерес расширение конструкций уже известных топологических характеристик на некоторые классы возмущений рассматриваемых отображений. Нередко такое расширение приводит к построению содержательной теории, позволяющей исследовать новые типы задач (см., например, [11, 12, 19, 48, 51, 53, 54]). Дальнейшее развитие этого направления осуществляется в предлагаемой работе.

Настоящая диссертационная работа посвящена построению топологической степени одного класса многозначных возмущений (S)+-отображений и изучению на основе этой характеристики ряда задач управления с обратной связью в системах, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.

Отметим, что (5)+-отображения (в другой терминологии - отображения, удовлетворяющие условию а) представляют собой разновидность операторов монотонного типа. Отображения класса {S)+ естественно возникают при изучении различных типов нелинейных краевых и начально-краевых задач (см., например, [35, 36, 44, 48, 49]). Топологические методы исследования (^^-отображений и близких к ним классов монотонных отображений развивались в работах И.В. Скрып-ника, Ф.Е. Браудера, В.В. Петришина, В.Г. Звягина, А.Г. Картсатоса, B.C. Климова, Ю.Г. Борисовича, Ю. Кобаяши, М. Отани, Д. Беркови-ча, М. Мустонена (см., например, [12, 18, 26, 36, 40, 41, 42, 48, 50, 51]) и других авторов.

Широкое распространение получила теория степени (й')+-отображе-ний, разработанная И.В. Скрыпником [35].

Аналог этой теории для случая многозначных отображений (муль-тиотображений) с выпуклыми значениями был предложен в работах Г.П. Дыбова [17] и B.C. Климова [25]. Позже эти результаты обобщил Ю.Г. Борисович [12], который также рассматривал только выпукл означные мультиотображения. Другой вариант обобщения для случая аппроксимируемых многозначных отображений был предложен совсем недавно И. Бенедетти и В.В. Обуховским [39].

В отмеченных выше работах для построения степени многозначных отображений использовался аппроксимативный подход. Суть этого подхода заключается в замене исследуемого многозначного отображения в определенном смысле близким к нему отображением (однозначным или многозначным), для которого понятие степени уже определено. Поскольку аппроксимативный метод используется и при определении степени многозначных отображений, рассматриваемых в предлагаемой работе, напомним некоторые факты, связанные с этим методом.

Впервые такой способ построения степени мультиотображений был предложен в работах [7], [43], где с помощью метода однозначных аппроксимаций вводится понятие вращения (степени) вполне непрерывных многозначных векторных полей с выпуклыми значениями. Результаты о существовании непрерывных однозначных аппроксимаций у многозначных отображений с невыпуклыми значениями позволили построить теорию степени и для многих других классов мультиотображений. В связи с этим отметим статьи [34], [10], [15], [45], в которых изучаются аппроксимативные свойства мультиотображений с асферичными значениями (J-мультиотображений) и работы [8, 15, 27, 38, 39, 45, 53], в которых эти свойства используются при изучении топологических характеристик различных классов многозначных отображений.

Перейдем теперь к краткому обзору содержания диссертации.

Первая глава посвящена построению степени многозначных возмущений (.^.(--отображений, то есть отображений вида А — G, где А -однозначное отображение, удовлетворяющее условию (S)+, G - многозначное отображение. Предполагается, что G есть композиция полунепрерывного сверху мультиотображения с асферичными значениями и непрерывного однозначного отображения. Такие мультиотображения кратко будем называть CJ-мультиотображениями. Чтобы отметить насколько широк этот класс многозначных отображений, напомним [46], что примерами асферичных множеств в линейном нормированном пространстве служат компактные выпуклые или стягиваемые множества, - множества.

Определению степени предшествует первый пункт, в котором собраны необходимые в дальнейшем понятия и факты.

Во втором пункте предложена конструкция степени компактных CJ-возмущений отображений класса (S)+. Ключевую роль в этой конструкции играет теорема 1.2.1, которая является обобщением теоремы 3.1. (см. [36, глава 2]), предложенной И.В. Скрыпником для обоснования корректности определения степени отображений класса (S)+. Используя теорему 1.2.1 и аппроксимационные свойства CJ-мульти-отображений, можно определить степень многозначного отображения А — G как степень некоторого специальным образом сконструированного конечномерного отображения (определение 1.2.1).

Проверяется, что для введенной таким образом характеристики выполнены все стандартные свойства топологической степени (аддитивная зависимость от области, гомотопическая инвариантность и другие).

В третьем пункте первой главы конструкция степени распространяется на более общий класс многозначных отображений. Рассматриваются отображения вида А — G, где А — отображение, удовлетворяющее условию (5*)+, G — Л-уилотняющее CJ-мультиотображение. Схема построения степени этого класса мультиотображений развивает идеи работ В.Г. Звягина и В.Т. Дмитриенко [20, 54], в которых предложена теория степени обобщенно уплотняющих возмущений отображений, характеризующихся тем, что для компактных возмущений этих отображений определена топологическая степень.

Отметим некоторые особенности разработанной в диссертации теории степени. Во-первых, в отличие от работ [12, 17, 25], где вводятся топологические характеристики близких классов мультиотображений, в предлагаемой работе для построения степени не требуется условие выпуклости значений мультиотображений. Это условие заменяется менее ограничительным требованием асферичности. Во-вторых, условие "монотонности" предполагается выполненным не для всего многозначного отображения (как в работах [17, 25, 39]), а лить для одного из двух слагаемых, составляющих это многозначное отображение, а именно для однозначной части. Такой подход позволяет расширить класс рассматриваемых мультиотображений и оказывается удобным при изучении приложений.

В заключение первой главы с помощью построенной степени доказываются две важные для приложений теоремы о разрешимости операторных включений А(и) € G(u). В первой теореме устанавливаются условия разрешимости включений с нечетным оператором А (теорема 1.3.5). Вторая теорема является аналогом известной теоремы Минти-Браудера для случая операторных включений (теорема 1.3.6).

Во всех последующих главах (главы 2-4) изучаются приложения развитой теории степени. Основное содержание этих глав - исследование задач оптимального управления в системах, описываемых нелинейными дифференциальными (обыкновенными или в частных производных) уравнениями.

Во второй главе изучаются оптимальные задачи для одного класса систем параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений.

Основному изложению предшествует первый пункт, в котором описываются используемые функциональные пространства и некоторые их свойства.

Во втором пункте рассматривается задача: ди y%2aa(x,t)Dav = f(x,t,vt'Y), (x,t) бПх (0,Т), Ь0(х, t)Dpv = ф{х, t), (х: £) £ dfi х (О, Т),

I/3K1 v(x, 0) = h(x), хеП, 7 е &(v), где Г2 - ограниченная область в R" с границей dfi класса С4, а — (аг,., ап). /?=(/?!,., рп) -мультииндексы, Da = д^/дх"1 ■ • • дх%п, aQi bp, f,ijj,h- известные функции, Ф - многозначное отображение с асферичными значениями, представляющее в системе управление с обратной связью.

Искомыми являются функция состояния v(x, t) и управление 7(2;, t).

Во втором пункте устанавливается, что данная задача может быть сведена к эквивалентной задаче с нулевым начальным условием (h = 0), а также формулируется основной результат главы - теорема о существовании оптимальных решений, т. е. решений, минимизирующих заданный функционал стоимости (теорема 2.2.1).

Это утверждение доказывается в следующем третьем пункте. Для доказательства производится операторная трактовка задачи и применяются результаты по теории степени, полученные в первой главе.

Такой подход к изучению разрешимости задач оптимального управления имеет ряд преимуществ. Например, он позволяет отказаться от условия выпуклости множества допустимых управлений. Это условие часто используется при исследовании управляемых систем, описываемых уравнениями с частными производными (см., например, [32], [37], [22] и содержащуюся в них библиографию). Однако в приложениях возникают и ситуации, когда условие выпуклости не выполнено.

Один из таких случаев указан в четвертом пункте, где изучается задача оптимального управления температурой в одной модели нагревания сплошной среды с помощью нескольких распределителей тепла. На основе полученных ранее результатов устанавливается существование оптимальных решений данной задачи (теорема 2.4.1).

Заметим также, что применение степени дает возможность учитывать наличие обратной связи в рассматриваемых системах. Кроме того, предложенный подход позволяет рассматривать задачи оптимизации в достаточно широком классе функционалов стоимости.

Третья глава посвящена изучению следующей системы дифференциальных уравнений и включений: т т

Y^i-iy&OittMi),-,Dmx(t)) = J2(-^yD%(t,x(t),.,Dmx(t),y(t)), г=0 г=0 y'(t)eC(tMt),-.,Dm-1x(t),y(L))t Dkx(0) = Dkx{T) = 0, к = 0,., m - 1, У(0) = Уо, 10 где Dk — dk/dtk - оператор дифференцирования, щ : [0,Т] х Rm+1 —> R, bi : [О, Т] хRm+2 —* R - известные функции, С : [О, Г] xRm+1 —> R-многозначное отображение.

Данная задача может быть интерпретирована как управляемая система, в которой функция х = x{t) определяет динамику системы, а функция у = y(t) - управление.

Третья глава состоит из двух пунктов. В первом пункте дается постановка задачи, вводится понятие обобщенного решения и формулируется основной результат главы - теорема о существовании оптимальных обобщенных решений, т. е. обобщенных решений, минимизирующих заданный функционал стоимости (теорема 3.1.1).

Во втором пункте дается операторная трактовка задачи и на основе результатов первой главы доказывается теорема 3.1.1.

В четвертой главе с помощью развитой ранее теории степени изучаются некоторые свойства множества решений операторных включений А(и) Е G(u). Полученные результаты применяются при изучении структуры множества решений задачи управления внешними нагрузками в одной модели изгиба пластины.

Четвертая глава состоит из трех пунктов.

В первом пункте, предваряющем изложение главных результатов, приводятся необходимые в дальнейшем утверждения о сечениях многозначных отображений.

Во втором пункте изучаются условия, при которых множество решений включения А(и) £ G(u) является связным и компактным. Основной результат этого пункта - теорема 4.2.1. Это утверждение является обобщением принципа связности Красносельского-Перова [29] на случай операторных включений А(и) Е G(u). Аналогичный результат о структуре множества неподвижных точек вполне непрерывных многозначных векторных полей был получен ранее в работе Б.Д. Гельмана [14].

Теорема 4.2.1 позволила установить некоторые частные результаты. Так, с помощью помощью этой теоремы получены достаточно простые условия связности и компактности множества решений включений А(и) € F{u) с нерастягивающим (по метрике Хаусдорфа) относительно А многозначным отображением F (теорема 4.2.2).

Пример использования последней теоремы содержится в третьем пункте четвертой главы. Здесь изучается задача управления с обратной связью внешними нагрузками в следующей модели изгиба пластины: дх2 дх2 2 ду2 д2 дхду

9 (#») d2w ду2 dw дхду w дп дп 0. дП

Здесь Г2 с М2 - область пластины, w - скорость прогиба, g - функция, характерная для данного материала, величина H2(w) определяется формулой d2w\2 (d2w\2 ( d2w \2 d2w d2w ду2 J \дхду) дх2 ду2^ f(x,y) - величина, пропорциональная внешней нормальной нагрузке, рассчитанной на единицу площади.

Эта модель была предложена Л.М. Качановым [24] для описания деформации жестко закрепленной на краю пластины при условиях установившейся ползучести.

Предполагается, что G F(w), где F - некоторое многозначное отображение, представляющее в системе управление.

Для данной задачи доказывается существование оптимальных обобщенных решений и устанавливаются условия, при которых множество обобщеных решений является связным и компактным (теорема 4.3.1).

Учитывая вышеизложенное, отметим наиболее важные новые результаты, полученные в диссертации.

1. Построена новая топологическая характеристика - степень CJ-возмущений отображений класса (S)+.

2. Доказано существование оптимальных решений задачи управления с обратной связью в системах параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений.

3. Установлено существование оптимальных решений в одной системе дифференциальных уравнений и включений.

4. Получены условия связности и компактности множества решений для одного класса операторных включений.

5. Доказана разрешимость задачи управления с обратной связью внешними нагрузками в одной модели изгиба пластины и установлены условия, при которых множество решений этой задачи является связным и компактным.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения "(Воронеж, 2005), научной сессии ВГУ (2007 - 2010), семинарах под руководством профессора

В.Г. Звягина (ВГУ, 2006 - 2010), семинарах под руководством профессора Э.М. Мухамадиева (Вологодский государственный технический университет, 2010)

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантами РФФИ N 07-01-00137, 10-01-00143-а, а также грантом для молодых участников проекта VZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах" Минобразования РФ и CRDF (США).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3], [4], [5], [6] и [21]. Работы [5], [6] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Из совместных работ [3] и [21] в диссертацию вошли только принадлежащие Е.С. Барановскому результаты.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору, доктору физ.-мат. наук В.Г. Звягину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Барановский, Евгений Сергеевич, 2010 год

1. Барановский Е.С. Индекс совпадений компактных троек с операторами класса а /Е.С. Барановский//Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. Материалы международной научной конференции ТВМНА-2005. Воронеж. -2005. - С. 15-16.

2. Барановский Е.С. Теорема о связи условия а и собственности отображения /Е.С. Барановский // Труды математического факультета, Воронеж, ВГУ. 2006. - Вып. 10 (новая серия). - С. 15-17.

3. Барановский Е.С. Конструкция степени одного класса многозначных возмущений операторов, удовлетворяющих условию альфа / Е.С. Барановский, В.Г. Звягин //Нелинейные граничные задачи.- 2006. Вып.16. - С.107-117.

4. Барановский Е.С. О применении топологической степени к изучению структуры множества решений одного класса включений/ Е.С. Барановский // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.- 2007. Ш. - С.112-120.

5. Барановский Е.С. Об оптимальных задачах для систем параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений / Е.С. Барановский // Известия вузов. Математика. 2009. -№12 - С. 74-79.

6. Барановский Е.С. Теоремы о структуре множества решений одного класса операторных включений и их приложения / Е.С. Барановский //Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика . 2010 -Ш. - С. 71-80.

7. Борисович Ю.Г. О вращении многозначных векторных полей/ Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман , Э. Мухамадиев, В.В. Обуховский // Докл. АН СССР. 1969. - 187, N5. - С.971-973.

8. Борисович Ю.Г. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений /Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский // УМН. 1980. - 35, №1. -С.59-126.

9. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. Москва: КомКнига. - 2005.

10. Борисович Ю.Г. О числе Лефшеца для одного класса многозначных отображений / Ю.Г. Борисович , Ю.Е. Гликлих // 7-я летняя мат. школа. 1969.Киев. 1970. - С. 283-294.

11. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера /Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // УМН, 1977. Т.35. - Вып.4. - С.3-54.

12. Борисович Ю.Г. Топологические характеристики и исследование разрешимости нелинейных проблем / Ю.Г. Борисович // Изв. Вузов. Математика. 1997. - №2. - С.2-23.

13. Борсук К. Теория ретрактов / К. Борсук. Изд-во Мир, 1971.

14. Гельман Б.Д. Топологические свойства множества неподвижных точек многозначных отображений / Б.Д. Гельман // Математ. сборник. 1997. - т. 188, №12. - 33-56.

15. Гликлих Ю.Е. Неподвижные точки многозначных отображений с невыпуклыми образами и вращение многозначных векторных полей / Ю.Е. Гликлих // Сб. тр. аспирантов мат. фак. Воронеж, ун-та. 1971,- N1.- С. 30-38.

16. Дзекка П. Об ориентированном индексе совпадений для нелинейных фредгольмовых включений / П. Дзекка, В.Г. Звягин,B.В. Обуховский // Доклады РАН. 2006. Т.406, №4. - С.63-66.

17. Дыбов Г.П. Введение вращения для одного класса многозначных отображений отображений / Г.П. Дыбов //Краевые задачи для уравнений в частных производных. Киев: Наук, думка. 1978.C. 57-60.

18. Звягин В.Г. Об одном топологическом методе исследования кревых задач, нелинейных относительно старшей производной/ В.Г. Звягин // Граничные задачи математической физики. Киев 1981. - С.39-41.

19. Звягин В.Г. Об ориентированной степени одного класса возмущений фредгольмовых отображений и бифуркации решенийнелинейной краевой задачи с некомпактными возмущениями/ В.Г. Звягин // Матем. сборник. 1991. - Т.12. - С.1738-1768.

20. Звягин В.Г. Гомотопическая классификация одного класса непрерывных отображений / В.Г. Звягин, В.Т. Дмитриенко // Матем. заметки. 1982. - Т.31, №5. - С. 801-812.

21. Звягин В.Г. Топологическая степень уплотняющих многозначных возмущений отображений класса (S)+ и ее приложения / В.Г. Звягин, Е.С. Барановский //Современная математика. Фундаментальные направления. 2010. - Т. 35. - С. 60-77.

22. Звягин В.Г. Об одной задаче оптимального управления в модели Фойгта движения вязкоупругой жидкости / В.Г. Звягин, М.Ю. Кузьмин // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. - Т. 16. - С. 38-46.

23. Ильин В.П. Свойства некоторых классов дифференцируемых функкций многих переменных, заданных в n-мерной области / В.П. Ильин // Труды МИАН. 1962. - т.66. - с.227-363.

24. Качанов JI.M. Некоторые вопросы теории ползучести /ЯМ. Ка-чанов. Гостехиздат, М., 1949.

25. Климов B.C. К теории вариационных неравенств / B.C. Климов // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль. 1982. - С.109-119.

26. Климов B.C. Монотонные отобржения и течения вязких сред / B.C. Климов // Сибирский мат. журнал. 2004. - Т.45, №6. - С. 1299-1315.

27. Корнев С.В. О некоторых вариантах теории топологической степени для невыпуклозначных мультиотображений / С.В. Корнев, В.В. Обуховский // Труды матем. ф-та (новая серия). Воронеж, ВорГУ. 2004. - вып.8. - С.56-74.

28. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука,1975.

29. Красносельский М.А. О существовании решений у некоторых нелинейных операторных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // Докл. АН СССР. 1959. - т.12б. №1. - С. 15 -18.

30. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева М.: Наука, 1967.

31. Лере Ж. Топология и функциональные уравнения / Ж. Лере, Ю. Шаудер // УМН. 1946. - Т. 1, №3-4. - С. 71-95.

32. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Лионе Ж.-Л. М.: Мир, 1972.

33. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами /Лионе Ж.-Л. М.: Наука, 1987.

34. Мышкис А.Д. Обобщения теоремы о точке покоя динамической системы внутри замкнутой траектории / А.Д. Мышкис // Матем. сборник. 1954. Т. 34. №3. - С. 525-540.

35. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка / И.В. Скрыпник. Киев: Наук, думка, 1973.

36. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач / И.В. Скрыпник. М.: Наука, 1990.

37. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А.В. Фурсиков. Новосибирск: Научная книга, 1999.

38. Bader R. Fixed-point index for compositions of set-valued maps with proximally oo-connected values on arbitrary ANR's / R. Bader, W. Kryszewski. // Set-Valued Anal. 1994. - No 3. - P.459-480.

39. Benedetti I. On the index of solvability for variational inequalities in Banach spaces / I. Benedetti, V. Obukhovskii // Set-Valued Anal. -2008,- 16, no. 1. P. 67-92.

40. Berkovits J. On the degree theory for mappings of monotone type / J. Berkovits, V. Mustonen // Nonlinear Anal., Theory Metods Appl. 1986.- V.10. - P. 1373-1383.

41. Browder F.E. Nonlinear operators and nonlinear equations of evolution in Banach spaces / F.E. Browder. American Mathematical Society, Rhode Island, 1976.

42. Browder F.E. Approximation methods and the generalized topological degree for nonlinear mappings in Banach spases/ F.E. Browder, W.V. Petryshyn // J. Funct. Anal. 1969. - V.3, N2. - P. 217-245.

43. Cellina A. A new approach to the definition of topological degree for multi-valued mappings/ A. Cellina, A. Lasota // Atti Acaad. Naz. Lincei Rend. 1970. - V.47.- P.434-440.

44. Gajewski H. To the uniqueness problem for nonlinear elliptic equations / H. Gajewski, I.V. Skrypnik // Nonlinear Analysis. 2003. - V. 52. - P. 291-304.

45. Gorniewicz L. On the homotopy method in the fixed point index theory for multi-mappings of compact absolute neighborhood retracts / L. Gorniewicz, A. Granas, W. Kryszewski //J. Math. Anal. Appl. -1991. V.161.2. - P.457-473.

46. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings / L. Gorniewicz. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1999.

47. Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. Berlin - New York. Walter de Grunter. 2001.

48. Kartsatos A.G. Topological degree theories for densely mappings involving operators of type (5)+ / A.G. Kartsatos, I.V. Skrypnik // Adv. Differential Equations. 1999. - 4, no 3. - P. 413-456.

49. Kartsatos A.G. A Global Appoach to Fully Nonlinear Parabolic Problems / A.G. Kartsatos, I.V. Skrypnik // Transactions of the American Mathematical Society. 2000. - V. 352, No. 10 (2000). -P. 4603-4640.

50. Kobayashi J. Topological degree for (5')+-mapings with maximal monotone perturbations and its applications to variational inequalites/ J. Kobayashi, M. Otani // Nonlinear Analysis. -2004. V.59. - P.147-172.

51. Michael E. Continuous selections! / E. Michael //Ann. of Math. -1956. V.63, N2. - P.361-382.

52. Obukhovskii V. An oriented index for nonlinear Fredholm inclusions with nonconvex-valued perturbations / V. Obukhovskii, P. Zecca, V. Zvyagin // Abstract and Applied Analysis. 2006. - V.2006 - P. 1-21.

53. Zvyagin V.G. On the theory of generalized condensing perturbations of continuous mappings / V.G. Zvyagin // Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag. 1984. - V.1108. - P.173-193.