О некоторых метрических проблемах теории диофантовых приближений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Михайлов, Сергей Владимирович

• Михайлов, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михайлов, Сергей Владимирович

Введение

1 Вещественный случай

1.1 План доказательства теоремы.

1.2 Переход от всего пространства к единичному кубу.

1.3 Метрические леммы.

1.4 Конструкция многочлена, "маленького" в заданной точке

1.5 Алгебраические основания

1.6 Доказательство теоремы 1.

2 Комплексный случай

2.1 Переход от всего пространства к единичному кубу.

2.2 Метрические леммы.

2.3 Конструкция многочлена, "маленького" в заданной точке

2.4 Доказательство теоремы 2. Отличия от вещественного случая

3 р-адический случай

3.1 Переход от всего пространства к единичному кубу.

3.2 Метрические леммы.

3.3 Конструкция многочлена, "маленького" в заданной точке . '

3.4 Доказательство теоремы 3. Отличия от вещественного случая

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых метрических проблемах теории диофантовых приближений»

Изучение приближений действительных чисел рациональными позволяет многое сказать об арифметической природе чисел. На этом пути впервые было доказано существование трансцендентных чисел, иррациональность £(3) и т.д. В то же время с точки зрения теории меры действительные числа поразительно похожи. Метрическая теория диофантовых приближений началась, по-видимому, со знаменитой теоремы о приближении действительных чисел рациональными, доказанной А.Я. Хинчиным [25] в начале прошлого века. Пусть ф(х) — монотонно убывающая неотрицательная функция, определенная на fi(A) — мера Лебега измеримого множества А С М, I — [а,Ь] — некоторый интервал.

ТЕОРЕМА ХИНЧИНА. Пусть Li(ip) — множество действительных чисел же/, для которых неравенство р х-q

Ш' (!) имеет бесконечно много решений в целых числах р и натуральных числах q. Тогда

00

О, если Y1 ^{я) <

7=1

KLiW) = {

00 i(/), если Yl^iQ) — <7=1 оо

В случае сходимости ряда ^ условие монотонности if)(q) можно опу

7=1 стить (см. [18], гл. 1, §1), а в случае расходимости без условия монотонности теорема неверна (см. [18], гл. 1, §2, теорема 6). Перепишем неравенство (1) в виде qx-p\<i/;(q). (2)

Тогда можно говорить о разрешимости неравенства (2) в многочленах первой степени с целыми коэффициентами. Естественным обобщением этого является рассмотрение многочленов произвольной фиксированной степени п. Пусть п р(х) = азхflj 6 Z, О < j < и, Я(Р) - шах \aj\. (3) j=о

Обозначим через Ьп(ф) множество х G М, для которых неравенство

Р(х)\ < Я = Я(Р) (4) имеет бесконечное число решений в полиномах Р(х) € степени не выше п. Задача о мере множества Ln{ф) имеет давнюю историю. Так, в 1932г. К. Малер [28] предположил, что при 'ф(Н) — ЯА, Л > 1, множество Ln(ip) имеет нулевую меру. Его гипотезу доказал В.Г. Спринджук [16] в начале 60-х годов прошлого века. Спустя несколько лет А. Бейкер [22] улучшил теорему Спринджука и предположил, что для множества Ln{ф) справедлива теорема Хинчина в случае сходимости. Это предположение было доказано в 1980-х годах В.И. Берником [1]. Спустя примерно десятилетие В.В. Бересневич [23] доказал и случай расходимости. Вскоре эти результаты были обобщены на поля комплексных и р-адических чисел в работах [2], [5].

Другое направление для обобщений теоремы Спринджука было задано в работе [17], а именно, была высказана следующая гипотеза (см. [17], Заключение, §3, Проблема В. 2):

Гипотеза. Пусть т — натуральное, Р Е Щх\,. ,хт] — многочлен совокупной степени не выше п, N = С™+п — 1 (число различных нетривиальных мономов от т переменных степени не выше п), е > 0 — вещественное число. Тогда для почти всех (в смысле т-мерной меры Лебега) точек £ € Мт неравенство

Р©| <Я~ЛГ-£, Н = Н(Р) имеет лишь конечное число решений в полиномах Р G Щх\,. ,хт] степени не выше п.

Эту гипотезу можно назвать обобщением теоремы Спринджука на многомерный случай. Она была доказана в конце прошлого века Д. Клейнбоком и Г. Маргулисом [26], как следствие их общей метрической теоремы о дио-фантовых приближениях точек на аналитических многообразиях.

Описанные выше теоремы характеризуются общим свойством — полиномы, участвующие в их формулировках, имеют ограниченную степень, растет лишь их высота Н(Р). Далее мы перейдем к рассмотрению ситуации, когда меняются и высота полинома и его степень. Исторически сложилось при изучении этой ситуации использовать некий агрегат степени полинома и его высоты. Назовем типом многочлена Р величину t{P) = degP + lntf(P).

Пусть £ — вещественное число, трансцендентное над Q, т > 0 — также вещественное. Будем говорить, что £ имеет тип трансцендентности ^ т, если для любого многочлена Р{х) € Z[ж], Р ф 0 выполнено неравенство

Р(б\ > <гсЛР)", где Ci > 0 — константа, зависящая, вообще говоря, от но не от многочлена Р. Это определение было дано С. Ленгом в 1966 г. (см. [27], гл. 5, §1, с. 45),. только вместо t(P) использовалась величина size(P) = max(lni7(P), degP). Поскольку эти величины связаны соотношением size(P) ^ t(P) ^ 2size(P), то определение, данное здесь, эквивалентно оригинальному определению Лен га.

Будем говорить, что тип трансцендентности £ равен т, если £ имеет тип трансцендентности ^ т и существует бесконечная последовательность различных многочленов Р(х) 6 Z[x], для каждого из которых выполнено неравенство где с2 = с2(£) > 0.

Пусть вещественное трансцендентное число £ имеет тип трансцендентности ^ т. Используя принцип Дирихле, можно доказать, что т ^ 2.

Задача определения типа трансцендентности для конкретного числа £ очень сложна. Например, 7Г имеет тип трансцендентности ^ 2 + е для любого положительного е (это следует из результатов, полученных Н.И. Фельдманом в 1951 г., см. [19], теорема 4, с.72). Можно ли утверждать, что тип трансцендентности тг равен 2, неизвестно до сих пор.

В 1971 г. К. Малер [29] предложил классификацию трансцендентных чисел, основанную на функции порядка числа £

ОН £) ^suplny^yp где супремум берется по всем многочленам Р е Щх\ таким, что 2degPL(P) ^ и, а Ь{Р) — сумма модулей коэффициентов Р. Числа и £2 назовем принадлежащими одному классу, "если их функции порядка эквивалентны в следующем смысле: а(и) ~ Ь(и), если одновременно а(и) » Ь(и) и Ь(и) » а(и), где запись а(и) » Ь(и) означает, что существуют константы Л > 0, 7 > 0, wo > 0 такие, что для всех и > щ выполняется неравенство а(их) ^ ^ф(и). Отметим связь между понятиями типа трансцендентности и функции порядка. Трансцендентное число £ имеет тип трансцендентности ^ т тогда и только тогда, когда для его функции порядка справедливо 0(и I £) << lnTit. Это утверждение легко следует из определений и того факта, что

In (2despL(P)) <2i(P).

В связи с предложенной классификацией Малер сформулировал несколько проблем. Одна из них — предположение о том, что для почти всех вещественных чисел £ справедливо

0(и | О » In2 и.

В терминах типа трансцендентности это эквивалентно утверждению о том, что почти все вещественные числа имеют тип трансцендентности ^ 2. Это предположение было доказано Ю.В. Нестеренко [8] в 1973 г, а именно, была установлена

Теорема. Для почти всех точек £ G R существует константа Сз = сз(£) > 0 такая, что для любого многочлена Р € Щх], Р ф 0 справедливо неравенство т)I > е-^1. (5)

Отметим, что из теоремы Спринджука следует, что при фиксированном п для почти всех точек £ е М неравенство

Р(0| < Н~п~е = е{-п~£)1пН, Н = Н(Р) имеет лишь конечное число решений в полиномах Р € Z[x], deg Р ^ п. Таким образом, для почти всех точек £ € М можно указать константу С4 = c<i(n,€) > 0, такую, что для всех многочленов Р G Щх], deg Р ^ п справедливо неравенство

Это показывает, что, с одной стороны, оценка Спринджука точнее, чем (5), но, как мы уже указывали, оценка (5) имеет место для любого ненулевого целочисленного полинома, без каких-либо ограничений на его степень.

Определения, связанные с понятием типа трансцендентности, дословно переносятся с одномерного на многомерный случай; аналогом трансцендентного числа £ е R является точка £ € Rm, координаты которой алгебраически независимы. В работе [8] доказывается, что почти все точки £ 6 Rm имеют тип трансцендентности ^ т + 2 и выдвигается предположение, что на самом деле почти все точки £ 6 Мт имеют тип трансцендентности ровно га + 1. Опять же, используя принцип Дирихле, можно доказать, что точка £ € Мт не может иметь тип трансцендентности ^ га +1 — е ни для какого положительного е.

Рассуждения работы [8] применимы и в р-адическом случае, то есть когда £ — (£ь • • • > £m) £ а, вместо абсолютной величины и меры Лебега используется р-адическая норма и мера Хаара в Q™, инвариантная относительно сдвигов (см. [20], гл. 9, §58); и могут быть получены оценки, аналогичные вещественному случаю. В 1981 г. Ю.В. Нестеренко [И] доказал, что почти все точки £ е Qp имеют тип трансцендентности ровно 3. Это была первая точная оценка в случае, когда размерность пространства больше 1. Доказательство было не только продолжением идей вещественного случая, но и использовало новую технику — переход от работы с многочленами кольца Z[x 1, £2] к работе с однородными идеалами кольца Z[xо, жь жг]. Для идеалов были введены понятия степени, высоты и значения в точке в проективного пространства Qp. Эти величины оказались очень удачно определены, поскольку обладали свойствами, аналогичными соответствующим характеристикам многочленов. Подобная техника впервые появилась в работе Ю.В. Нестеренко [9] в связи с разработкой методов доказательства алгебраической независимости чисел, и уходит своими корнями в общую теорию исключения. В работах Ю.В. Нестеренко [10], [12], [13], [15] и П. Филиппона [31], [32], [30] эта теория получила дальнейшее развитие.

Проблема определения типа трансцендентности может быть поставлена не только для вещественных и р-адических, но и для комплексных чисел. В начале 80-х годов прошлого века Г.В. Чудновский предположил (см. [24], гипотеза 1.3), что для почти всех' (в смысле 2т-мерной меры Лебега) чисел £ е Ст существует константа С5 = Cs(£) > 0 такая, что для любого многочлена Р «Е Щрс\,., жт], Р ф 0 справедливо неравенство

Р©| > e-wr+1. (6)

Это предположение было доказано Ф. Аморозо [21] в 1990 г. То есть было установлено, что почти все точки £ £ Ст имеют тип трансцендентности ^ m -Ь 1. Отметим, что справедливость аналогичного утверждения в вещественном случае не является непосредственным следствием (6), поскольку множество в Ст, имеющее 2т-мерную лебегову меру ноль, может пересекать подмножество IRm С Сто по множеству положительной m-мерной меры. Доказательство, изложенное в [21], существенно использует "комплексность" ситуации, и его не удается адаптировать ни к вещественному, ни к р-адическому случаю. Если доказательство Аморозо условно разделить на метрическую и неметрическую составляющую, то неметрическая часть основана на переходе от работы с многочленами кольца Z[xi,., жт] к работе с однородными идеалами кольца Z[xq,xi, . ,хт], и использует результаты работ [9], [10], [12].

Основным результатом настоящей диссертации является утверждение о том, что почти все точки £ € Мто имеют тип трансцендентности ровно т -+- 1, то есть доказывается гипотеза, выдвинутая в [8], и одновременно аналог теоремы Аморозо в вещественном случае:

Теорема 1. Для почти всех (в смысле т-мерной меры Лебега) точек £ G существует положительная константа с = с(£) такая, что для любого многочлена Р G Щх\,., жт], Р ф 0 справедливо неравенство

РШ>е-а{РГН

Доказательству этой теоремы посвящена первая глава диссертации. Техника, используемая в доказательстве, может быть легко перенесена на комплексный и р-адический случаи. Во второй главе диссертации рассматривается комплексный случай, то есть дается новое доказательство теоремы Аморозо:

Теорема 2. Для почти всех (в смысле 2т-мерной меры Лебега) точек £ € Ст существует положительная константа с = с(£) такая, что для любого многочлена Р е Z[xi,., жт], Р ф 0 справедливо неравенство

Р©| >

Доказательство этой теоремы имеет лишь небольшие отличия от доказательства теоремы 1, поэтому вторая глава существенно использует результаты первой.

В третьей (последней) главе диссертации доказывается р-адический аналог теорем 1 и 2:

Теорема 3. Для почти всех (в смысле меры Хаара) точек £ £ Q™ существует положительная константа с = с(£) такая, что для любого многочлена Р G Z[xi,. ,жт], Р ф 0 справедливо неравенство

Тот факт, что р-адическая норма неархимедова, позволяет упростить некоторые доказательства с технической точки зрения. На самом деле, именно теорема 3 была получена автором первой. И уже потом были внесены изменения в некоторые доказательства, позволившие получить теоремы 1 и 2 и изложить все три теоремы единообразно.

Результаты диссертации опубликованы в работах [33], [34], [35].

Доказательство основного результата диссертации — теоремы 1 — можно условно разбить на метрическую и алгебраическую части. Метрическая часть использует идеи работы [И] и является относительно элементарной, в отличие от метрической части доказательства теоремы Аморозо. Алгебраическая часть, как и у Аморозо, использует технику перехода от многочленов к идеалам, но требует привлечения новых результатов, появившихся позднее 1990 года. В 1996 г. Ю.В. Нестеренко [14] был получен ряд результатов о степени трансцендентности полей, порожденных значениями модулярных функций; в частности, была доказана алгебраическая независимость чисел 7г и в71". Хотелось бы особо отметить лемму 5.4 работы [14] — нетривиальная алгебраическая конструкция из доказательства этой леммы была положена в основу леммы 9, которая является важным звеном в доказательстве основной теоремы настоящей диссертации.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — члену-корреспонденту РАН, профессору Ю. В. Нестеренко — за постановку задач, множество плодотворных консультаций и огромную моральную поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Михайлов, Сергей Владимирович, 2008 год

1. Берник В.И., О точном порядке приближения нуля значениями целочисленных многочленов, Acta Arith., 53:1, 1989, 17-28.

2. Берник В.И., Васильев Д.В., Тр. Ин-та математики НАН Беларуси, 1999, т. 3, 10-20.

3. Боревич З.И., Шафаревич И.Р., Теория чисел, М., 1985.

4. Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, М., 1963.

5. Ковалевская Э.И., Преп. № 8 (547), Тр. Ин-та математики НАН Беларуси, 1998, 14с.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1976.

7. Ленг С., Основы диофантовой геометрии, М.: Мир, 1986.

8. Нестеренко Ю.В., Функция порядка для почти всех чисел, Матем. заметки, 15:3, 1974, 405-414.

9. Нестеренко Ю.В., Оценки порядков нулей функций одного класса и их приложение в теории трансцендентных чисел, Изв. АН СССР, Сер. мат., 41:2, 1977, 253-284.

10. Нестеренко Ю.В., Оценки характеристической функции простого идеала, Матем. сб., 123:1, 1984, 11-34.

11. Нестеренко Ю.В., О мере алгебраической независимости почти всех пар р-адических чисел, Матем. заметки, 36:3, 1984, 295-304.

12. Нестеренко Ю.В., Об алгебраической независимости алгебраических степеней алгебраических чисел, Матем. сб., 123:4, 1984, 435-469.

13. Нестеренко Ю.В., Оценки числа нулей функций некоторых классов, Acta Arith., 53:1, 1989, 29-46.15