О свойствах функции меры иррациональности вещественного числа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Шацков, Денис Олегович

• Шацков, Денис Олегович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Шацков, Денис Олегович

Оглавление

Стр.

Введение

0.1. Общая характеристика работы

0.2. Функция меры иррациональности: краткий обзор результатов

0.3. Основные результаты диссертации

Глава 1. Осцилляция функции меры иррациональности в случаях m =

и n = 2 или m ^ 2 и n = 1

1.1. Изучение функции ^©(t) в случае m = 1 и n = 2

1.2. Изучение функции ^©(t) в случ ае m ^ 2 ж n = 1

1.3. Последовательности Бореля-Кантелли

1.4. Доказательство теоремы 1

Глава 2. О среднем значении меры иррациональности вещественных чисел

2.1. Формулы с подходящими дробями

2.2. Доказательство пункта 2) теоремы III

2.3. Доказательство теоремы IV

2.4. Эргодические свойства преобразования Гаусса

2.5. Доказательства теоремы II

2.6. Доказательство теоремы V

2.7. Вычисление интеграла для некоторого класса чисел

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О свойствах функции меры иррациональности вещественного числа»

Введение

0.1. Общая характеристика работы

Объект исследования и актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена вопросам связанным с поведением функции меры иррациональности одного числа и нескольких чисел. Изучением свойств таких функций занимались А.Я. Хинчин, В. Ярник, Дж.В.С. Касселс и другие математики.

Классические результаты, касающиеся приближения вещественных чисел рациональными дробями принадлежат А. Лежандру, Ж. Лагранжу, К. Гауссу, Л. Дирихле, А. Гурвицу, Э. Борелю и др. В основном, все классические результаты, связанные с одномерными приближениями, получены с помощью аппарата цепных дробей.

Одно из направлений теории диофантовых приближений связанно с приближением произвольного вещественного вектора в = ($1,... ,6п) целочисленным вектором х = (х1,..., хп). В такого родах задачах плодотвор-

в=

($1,...,$п) в различных нормах. Основы этой теории восходят к трудам Ш. Эрмита, Г. Минковского, Г. Вороного и др.

Функция меры иррациональности естественным образом появилась в теории диофантовых приближений в вопросах, связанных с приближениями иррациональных чисел рациональными. Это связано с тем, что точки разрыва данной функции соответствуют наилучшим приближениям.

Гассматриваемая в настоящей диссертации функция меры иррациональности, по-видимому, впервые встречается работах В. Ярника [24]—[26].

Приведем определение функции меры иррациональности в наиболее общем случае. Обозначим через х = (х1,..., хп) - целочисленный вектор. Гас-

смотрим матрицу

( в1 ... в11^

в1 вп У вт . . . вт J

где в* - вещественные числа из интервала [0; 1) 1 ^ j ^ m, 1 ^ i ^ n, и соответствующую ей систему линейных форм

п

L(x) = L©(x) = {L,(x), 1 ^ j ^ m} , Lj(x) = ^ в)xt.

i=1

Тогда функцию меры иррациональности можно определить следующим образом

^©(t) = min max ||Lj (x)|| =

x, eZ l^j^m 1< max |x,- l^t

= min max |в1ж1 + ••• + вПхЛ,

x,eZ ю j j

max Ix, I ^t

i^i^n

где || • || обозначает расстояние до ближайшего целого. Похожая функция

п(р) = min max ||Lj (x)||

xeZ:0<|xi|2+-+|xn|2<p2 KKm

используется в ряде доказательств у Дж.В.С. Касселса [6].

Некоторую информацию о поведении этой функции можно получить из работ А.Я. Хинчина [29], связанных с изучением сингулярных матриц. В работах А.Я. Хинчина в явном виде эта функция не присутствует.

В одномерном случае, когда n = m = 1, вместо матрицы О будем писать просто а и функцию меры иррациональности можно записать таким образом

= min ||qa||

(здесь минимум берется по целым q).

В первой главе диссертации мы докажем метрический результат о поведении разности ф©^) — ф©> (t) при t ^ ж в случаях m = 1 и n = ^и m ^ 2 и n = 1 для почти всех (в смысле меры Лебега) пар матриц (О, О').

Во второй главе мы изучим поведение интеграла

t

Ia(t) = i ШШ

и разности Ia(t) — Iß(t) при t — то.

Цели работы. Изучение интеграла I«(t), разности Ia(t) — Iß(t) при t — +то. Изучение разности ф©(Ь) — ф©/(t) при t — +то в случаях m = 1 и n = ^и m ^ 2 и n = 1.

Методы исследования. В работе использованы элементарные методы теории чисел, методы математического анализа, методы функционального анализа, эргодическая теория.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

• найдены точные границы для значения предела lim N?^? ГДе N(a,t) _ количество знаменателей подходящих дробей для числа а па отрезке [1; tj;

• найдено значение предела lim N?^) для почти всех (в смысле меры

t—то N (a't)

а

• найдено значение предела lim ^Пт для почти всех (в смысле меры Ле-

t—то ln t

а

• доказано, что существуют алгебраически независимые числа а и ß, такие что Ia(t) — Iß(t) — то при t — то;

• доказано, что разность ф©^) — ф©/(t) меняет знак бесконечное количество раз для почти всех пар матриц при m = 1 и n = ^и m ^ 2 и n = 1 при t — то.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, и разработанные в

ней методы могут быть применены в задачах теории диофантовых приближений, касающихся нахождению наилучших приближений к многомерному вектору. Кроме того, полученные результаты могут использоваться в учебном процессе в рамках специальных курсов и специальных семинаров.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

• «Diophantine Analysis» - Астрахань, Россия (30 июля - 3 августа 2012);

(Долгопрудный), Россия (27 января - 2 февраля 2014);

июля - 17 июля 2015); и научно-исследовательских семинарах:

Мощевитин), МГУ;

ского государственного университета (рук. А.Г. Князев, С.З. Кенжали-ева), АГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 статьи в ведущих российских и зарубежных рецензируемых изданиях [13], [14] и [17].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии. Общий объем диссертации составляет 69 страниц. Библиография включает 34 наименований.

0.2. Функция меры иррациональности: краткий обзор результатов

В настоящем пункте мы приводим формулировки известных результатов о функции меры иррациональности.

Из теоремы Минковского о выпуклом теле следует, что < t-n/m.

Эта функция кусочно постоянная, невозрастающая и убывает к нулю, когда

t стремится к бесконечности. Точки разрыва данной функции определяют наилучшие приближения для матрицы О в sup-норме.

Напомним определение наилучшего приближения для матрицы О. Для целочисленного вектора x = (xi,..., xn) £ Zn рассмотрим величины

M(x) = max |xj|, Z(x) = max \\Lj(x)||.

l^i^n l^jXm

Определение 1. Будем называть целочисленную точку x = (x1,..., xn)

О

Z (x) = min С(x/),

x'

где минимум берется по всем ненулевым целым точкам x/ = (xl,..., x'n) £ Zn, подчиненным условию

0 < M(x/) < M(x). В одномерном случае, когда n = m = 1, функция принимает вид

гЬа(t) = min \ \qa\\.

Kq^t

Используя аппарат цепных дробей, можно полностью ответить на вопрос о поведении функции ^a(t). Выпишем основные определения и формулы с цепными дробями, см. [12].

Если рассмотреть разложение числа а в обыкновенную цепную дробь

1

а = [a0; a1 ,a2,...,av,...] = a0 +

1

ai +--

1

a2 +-----+

+----

где а0 £ а^ £ N V =1, 2,3,... (конечную или бесконечную, в зависимости от того, является ли а рациональным числом или нет), то подходящими дробями к а называются рациональные дроби вида

Р" г 1 , 1

— = ^о;, al, a2,..., av] = ao +--1-.

qv

ai +

1

a2 +-----1--

av

Подходящие дроби для а будут являться наилучшими приближениями к числу а, см. [12].

Если а — (в частности, если а есть число иррациональное), то для его приближения подходящей дробью имеет место неравенство

1

<

Чи (Чу + )

В частности

Ру

а--

ЧУ

< (!)

Чу ЧУ +1

5

1

Н^а|| > --.

Более того для разности (1) имеется точное равенство

Ру 1 а--

ЧУ

Ч^(ау+1 + а*)

(2)

где

а^+1 — К+1; а^+2, •••], а* — [0; а^, -1,..., «1] — ^ 1.

Чу

Перейдем к функции При Чу ^ £ < Чу+1 будет иметь место равенство

— ||Ч^а|| — |ч^а - ру|. (3)

Применив формулу (2), получим формулу для погрешности приближения числа а его подходящей дробью —, которая имеет вид

Чп

1

||Ч^ а|1 — —(-,—^ V4

ЧУ (а^+1 + а*)

или

ЧУ НЧ^ а|1 —--—- • (5)

а^+1 + а*

В терминах функции меры иррациональности можно дать определение спектра Лагранжа

Ь — {Л е К : 3 а Ншт£— Л}

и спектра Дирихле

Ю — {Л е К : 3 а Ишвир#«(*) — Л}.

Используя формулу (3), определения спектра Лагранжа и спектра Дирихле можно записать по другому

L = {Л Е R : 3 a liminf qn\\qna\\ = Л}

П—

D = {Л Е R : 3a limsupqn+^qnaW = Л}.

n—

и

Подробнее о спектре Лагранжа можно прочитать в книге [18] и в статье [8].

Результаты о спектре Лагранжа в одномерном случае получены при помощи теории цепных дробей с применением формулы (2), а для исследования спектра Дирихле можно использовать похожее равенство, см. [20]

1

Чу+1цч* а|| — —-1-•

Подробнее о спектре Дирихле можно прочесть в работе [4].

Информацию о спектрах Лагранжа и Дирихле в больших размерностях можно найти в статьях [1] и [17].

Также многомерная функция меры иррациональности использовалась в работах В. Ярника, А.Я Хинчина, которые посвящены изучению сингулярных систем и диофантовых экспонент.

Сингулярные вектора и матрицы нам понадобятся для описания результатов, связанных с отсутствием феномена осциляции в многомерных случаях. Дадим несколько определений сингулярности. Сначала сформулируем определение в том виде, в каком его давал А.Я. Хинчин, см. [11].

Определение 2. Матрица в представляет собой сингулярную систему, если при любом вещественном t > 0 найдется некоторое to = t0(e) такое, что при всяком t > to система диофантовых неравенств

max \\Lj(x)|| < 1, 0 < max X < etn/m

1<Km t К

имеет целочисленное решение x Е Zn.

Матрицу G, не являющуюся сингулярной, А.Я. Хинчин называл регулярной (он использовал терминологию регулярная система чисел Gj).

Дадим еще одно определение сингулярности, см. [9].

Определение 3. Пусть непрерывная функция ф^) монотонно убывает к нулю и ф^) = o(t-n/m) при t ^ Матрицу G (или набор nm вещественных чисел) мы будем называть ф-сингулярным, если при всяком достаточно t

max \\Lj(x)|| ^ ф^), 0 < max X < t

l^jXm l^i^n

имеет целочисленное решение x G Zn.

Эти определения можно дать терминах функции меры иррациональности.

G

ция ф©^) никогда не обращается в пуль при t ^ 1.

Определение 5. Пусть непрерывная функция ф^) монотонно убывает к нулю при t ^ и ф(t) = o(t-n/m). Невырожденная матрица G является ф-сингулярной, если при всех достаточно больших значениях t для функции меры иррациональности выполнено

ф©М ^ ф(t).

При n = m = 1 сингулярными системами в смысле определения 5 являются только рациональные числа, см. [9]. Впервые существование сингулярных систем было доказано А.Я. Хинчиным в 1926 г. прип = 2, m = 1 и при n = 1, m = 2 в работе [29]. Он доказал следующие две теоремы.

Теорема 1. Пусть ф^) - положительная, непрерывная и убывающая к нулю при, t ^ функция вещественного пер сменного t. Тогда, существуют два линейно независимых вместе с единицей надЪ вещественных числа а и в такие, что для всех достаточно больших t система диофан-товых неравенств

\\x1 а + х2в\\ ^ ф(0, 0 < max |xj| < t

имеет целочисленное решение (x^x2) G Z2.

Теорема 2. Пусть ф^) - положительная, непрерывная и убывающая к нулю при, t ^ функция вещественного пер сменного t и при, этом

функция t^(t) монотонно возрастает к бесконечности при, t ^ То-

гда существуют два линейно независимых вместе с единицей надЪ вещественных числа а и ß такие, что для всех достаточно больших t система диофантовых неравенств

max(||xa||, ||xß||) ^ ^(t), 1 ^ x ^ t

разрешима в целых числах x.

С помощью функции ^e(t) удобно определять многомерный спектр Дирихле:

Dmxn = i Л G R|30 : lim supt • ^^/n(t) = л[ .

Наиболее прост для анализа спектр Дирихле, связанный с евклидовой нормой. В случае совместных приближений к двум вещественным числам функция меры иррациональности с евклидовой нормой определяется следующим образом

Ф / \ (t) = min \/llxall2 + ||xß||2.

/ a Г l^x^t,xeZ

В этом случае спектр Дирихле определяется так:

©2xi = ^ Л G R| 3(а, ß) G [0; 1)2 : lim sup t • \ (t) = Л ¡> . Отметим, что структуры спектра D2x1 полностью описана в работе

0; —

0; -з

Р.К. Ахунжанова и Д.О. Шацкова [17]. Оказывается, чтоЮ2х1 =

Первый вопрос, который исследуется в данной диссертации это изучение знака разности ф©(£) — ф©/ (£) при I ^

В одномерном случае Н.Г. Мощевитин и И.Д. Кан в совместной работе [27 доказали следующий результат.

Теорема 3. Для двух вещественных чисел а и в, таких что а ± в разность

фа (£) - фв (*)

бесконечно много раз меняет знак приЬ ^ +го.

Результат теоремы 3 не может быть перенесен на случай больших размерностей, это следует из теорем 1 и 2.

Возьмем в теореме 1 функцию ф(£) = о(£-2), £ ^ го. Пусть а, в _ те числа, существование которых утверждает теорема 1. Возьмем другие числа а1в1

inf (llxiai + x^ll(maxjIxJ, |x2|i)2) > 0.

(xbx2)gz2\{(0,0)} V" У

При достаточно больших t выполняется неравенство

tía, e)(t) < ф( ai,

что обеспечивает отсутствие осцилляции.

Ситуация для совместных приближений аналогична. Надо взять в теореме 2 функцию ф^) =

t ^ +го, числа a в из теоремы 2, а также совместно плохо приближаемые числа ai, вь

Тогда

inf (maxjlIxaJI, Нжв^И- lx| 1/2 ) > 0.

xez\{0} V ................/

ф(:)(,) <ф(: Г

для всех достаточно больших

В остальных случаях отсутствие осцилляции в общем виде для всех матриц получается из следующих теорем, см. [26], [31].

Теорема 4. Пусть т - произвольное натуральное число, п - натуральное число, не меньшее, чем 2. Предположим также, что ф(£) - положительная, непрерывная и убывающая к нулю при, £ ^ +го функция веще-

cm,венного переменного t. Рассмотрим множество M С Rmn, состоящее 0

• числa Qj с 1 ^ i ^ и, 1 ^ j ^ m линейно независимы вместе с единицей над Z;

• матрица 0 является ф - сингулярной.

Тогда, для любого открытого множества G С Rmn пересечение M П G имеет мощность континуума.

Теорема 5. Пусть n = 1 и m ^ 2. Пусть ф (t) - положительная, непрерывная и убывающая к нулю при, t ^ +то функция вещественного перемен-t

limsup ^(t)t = +to.

t^+TO

Тогда, множество ф - сингулярных на боров 0 = {Qj, 1 ^ j ^ m}7 состоящее из алгебраически независимых вещественных чисел, в пересечении с произвольным открытым множеством G С Rm имеет мощность континуума.

Так же наличие сингулярности позволяет сформулировать несколько общих утверждений при любых n и m кроме случая (n,m) = (1,1).

0

0'; что разность

ФеМ - фв' (t)

начиная с некоторого момента не осциллирует

0

(в смысле меры Лебега) матриц 0'; разность

фе(t) - фв' (t)

начиная с некоторого момента не осциллирует

Справедливость утверждения 2 следует из теоремы Хинчина-Грошева.

nm

ции быть не может. Тем не менее можно получить результаты метрического характера.

Во второй главе мы изучим интеграл 1а(£) от функции меры иррациональности в одномерном случае

£

1а(£) = / Фа(£)#.

1

0.3. Основные результаты диссертации

В первой главе мы докажем следующий результат. Теорема I. Пусть m = 1 и n = 2 или, m ^ 2 и n = 1, тогда для почти всех (в смысле меры Лебега) матриц О и О' размера m х n разность

Mt) - (t)

осциллирует бесконечное число раз nput ^ +го.

Во второй главе мы докажем асимптотические равенства для интеграла Ia(t) при t ^ +го. Посколь ку 0 < t^Q,(t) < 1 для любо го t ^ 1, то сразу видим, что Ia(t) < ln t.

Перечислим основные результаты II главы.

Через N = N(a,t) мы обозначим величину, задаваемую условием

< t < +1'

т.е. количество знаменателей подходящих дробей для числаа на отрезке [1; t]. Ясно, что N ^ го при t ^ го.

Теорема II. Для почти всех (в смысле меры Лебега) чисел а выполняются равенства

1) limÄ = I,

7 t^ro N (а, t) 2'

2) lim = .

i^ro ln t n2

Помимо метрического результата, мы докажем утверждение об экстре-

Ia(t) 4- , I

мальных значениях величины Na t) ПРИ t ^ +го.

Теорема III. Для любого иррационального а £ (0; 1) выполнены неравенства

1)и?_1ир NoM) *1

2)1iminf4^ > 1 .

; tN (а, t) 2 10

Близкий метрический результат имеется в работе И.Д. Кана, Н.Г. Могце-витина и Д. Чайка [28].

Оценки, приводимые в теореме III точны. Более того, имеет место следующая теорема.

Теорема IV. Для любого d £

1 _ ; 1

2 10; 1

а

Пш " = <1

г^х N(а, г)

Для золотого сечения т = Л*/5+1 значение предела можно непосредственно вычислить. Получается

Иш ( 1 ) : 1п (^

г^х 1п г 12 10 у 12

По теореме II п.2 можно выбрать число в алгебраически независимое с т, такое, что

Ь (г) б1п2

11Ш = —у, г^х 1п г п2

и следовательно разность 1Т (г) — 1р (г) стремится к бесконечности при г ^ +х. Таким образом, аналог теоремы 3 об осцилляции разности Ф«(г) — Фв(г) ДЛЯ разности интегралов /а(г) — 1р(г) не имеет места. В настоящей работе мы докажем следующий результат для рассматриваемых нами интегралов.

Теорема V. Пусть я0, Яъ..., Яп,... и г0, г1,..., гп,... - сушь знаменатели подходящих дробей для айв соответственно. Тогда, для почти всех (в смысле меры Лебега) пар (а, в) £ [0,1]2 верно неравенство

11ш 1п£ |/а(Яп) — (гп)1 < +х.

п

Глава 1

Осцилляция функции меры иррациональности в случаях m = 1 и

п = 2 или m ^ 2 и п = 1

Эта глава посвящена доказательству следующей теоремы. Теорема I. Пусть m = 1 и п = 2 или m ^ 2 и п = 17 тогда для почти всех (в смысле меры Лебега) матриц G и G' размера m х п разность

ф©(t) - ф©/ (t)

осциллирует бесконечное число раз nput ^

В обоих случаях, m = 1 и п = 2 или m ^ 2 и п = 1, для доказательства мы построим две последовательности множеств {M^} и {M^j. Для каждого случая, определения этих множеств записываются похожим образом с учетом размерности. После мы воспользуемся леммами 1.3, 1.4, 1.5, 1.14, 1.15 и 1.16 и покажем, что в каждом случае последовательности {M^} и {M^j, а также последовательности {M^ х Mи {M^ х M^} являются последо-

х

(прямое) произведение множеств. Определение последовательности типа Бо-реля - Каптелли будет дано в пункте 1.3.

В этой главе будем использовать параметры:

• 0 < А < Ао, (Ао эффективно вычисляется из лемм 1.3, 1.4, 1.5, 1.13 и 1.14);

• 0 < £ < 1, (г эффективно вычисляется из лемм 1.3, 1.14, 1.5, 1.12 и 1.14);

• 0 < 5 < 1, (5 эффективно вычисляется из леммы 1.14);

• k > K0 = К0(А), (K0 эффективно вычисляется из лемм 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.8, 1.9, 1.11, 1.13, 1.14 и 1.15).

1.1. Изучение функции ^©(t) в случае m = 1 и n = 2.

В случае m = 1 и n = 2 функция ^©(t) имеет вид

ß)(t) = min ||xia + Х2вII-На квадрате [0; 1]2 рассмотрим два множества:

Mk = {(а,в) е [0; 1]2 : ^(aß)(k) >-2} =

= |(а,в)е[0;1]2 : V(x1,x2) е Z2, 1 < max(|x1|, |ж2|) < k, ||х1а + ж2вИ>"р} = = {(а,в) е [0; 1]2 : V(xbx2) е Z2, 1 < max(|x1|, |Х21) < k Vq е Z |х1а + Х2в - q| > -^722} ;

Mk = {(а,в)е[0; 1]2 : ^(k) ^ -2} =

= |(а,в)е[0;1]2 : 3(ж1,ж2)еЖ2, 1 ^ max(|x11, |ж2|) ^ k, ||х1а + ж2в|| ^ j = = {(а,в)е[0;1]2 : З(жьЖ2)еЖ2, 1 < max(|x1|, |жг|) < k ЗдеЖ |х1а + Х2в—q| ^ —2} -

Верно равенство

MMk) = 1 — m(M k), (1.1)

где д(^) - мера Лебега.

Рассмотрим плоскость Оав- Для любых целых чисел ж1? ж2 и q зададим множество

А(ж1, Ж2, д) = |(а, в)gR2 : |ж1а + Ж2в — д| ^ —2} -

Обозначим

А(ж1, ж2) = |(а, в)gR2 : ЗдеЖ |ж1а + ж2в — q| ^ j = U А(ж1, ж2, д).

q€ z

Выпишем свойства множества А(ж1, ж2):

А(ж1,ж2) + ^^ х ^-1 Z^ = А(ж1,ж2);

17

А(жх, Х2) = А(-жь -Ж2);

д(А(Жх,Ж2)П[0; 1]2) = ^.

Для любых двух линейно независимых пар (х1, х2) и (у1, у2) и любых 31 и 32 пересечением множеств А(х1, х2, 31) и А(у1, у2, з2) будет параллелограмм с площадью

1 4е2

Д (А(Ж1,Ж2,31)ПА(У1,У2,32)) =

х1 х2

det

к4 '

(1.2)

У1 У2

Замечание 1. Диаметр этого параллелограмма не более ¥.

Обозначим через Л - решетку, построенную на векторах (Д, -Д2) и

к

.V

( —У1 ¡1 ) V Д , дг

Замечание 2. Центры параллелограммов, получаемых при переборе всевозможных целочисленных значений 31, з2 лежат в узлах решетки Л. Верно равенство

Мк = У (А(Х1,Х2)П[0;1]2) . (1.3)

(¡1 ,х-2)е1? 1^шах(|ж1 |,|х2|)^к

Для удобства здесь и далее в работе через Б будем обозначать параллелепипеды, соответствующей размерности, со сторонами параллельными координатным гиперплоскостям.

Для дальнейшего доказательства нам понадобится неравенство Ярника. Теорема Ярника. Пусть О — выпуклая область на плоскости, N — число целых точек в области О, Р — площадь области О; ^ — периметр области О ^ ^ 1 тогда выполнены неравенства

Р - Ь < N < Ь + Р.

х1 х2

Лемма 1.1. Пусть Б — квадрат со стороной А =

det

' У1 У2

А = 0 х1, ж2,у1,у2еЖ и ж1,ж2,у1,у2 > ^ N - число точек решетки Л в

18

квадрате Б, тогда выполняется неравенство

N < Л2Д + + у2 + 2^x2 + у2.

Доказательство. Подействуем на решетку Л справа линейным преобра-/ Х1 х2 \

зованнем Т = I I , которое переводит решетку Л в ортонормирован-

\ У1 У2 )

ную решетку Ж2. Квадрат Б при этом преобразовании перейдет в параллело-

А2Д

А\/х1 + у2 и А у7х2 + • Применим теорему Ярника и получим неравенство. Лемма 1.1 доказана.

Обозначим Е = |(х1, х2) Е М2 : (х1, х2) = 1, | ^ х1, х2 ^ к}.

х1 х2

Д=

ство

det

' У1 У2

тогда выполняется неравен-

V -1 < 9к21п к. Д

(жь

(У1, У2)еЕй (х1,х2) = (У1,У2)

Доказательство. Рассмотрим плоскость Для точкп (х1,х2)ЕЕ^

построим семейство прямых х1у2 — х2у1 = д, где дЕЖ. Уравнение прямой из

/ х1 х2 \

этого семейства можно переписать в таком виде det I I = д. Все точ-

\ У1 У2 у

ки решетки Ж2 лежат на этих прямых. Расстояние между соседними прямыми

из этого семейства равно , 1 2. Расстояние между соседними целыми точ-

v ж1+ж2

ками на каждой прямой из этого семейства равно \/х2 + х2 ^ ^а каждой прямой будет не более 2 точек (у1,у2)ЕЕ^. Так как мы рассматриваем пары (хьх2)е£к и (у^ у2)ЕЕ&, то Д ^ к2. Оцепим интересующую нас сумму

1 ^ 1 ^2 ^

Д 53 53 Д ^ ^^ п ^

(Ж1,Ж2)€ЕЙ (Ж1,Ж2)€ЕЙ п=1 А=п (Ж1,Ж2)€ЕЙ П=1

(у1,У2)еЕк (у1,у2)ее^

(ж1,ж2) = (У1,У2)

< ^ (4 + 81п к) < 9к21п к.

(Ж1,Ж2)€ЕЙ

Лемма 1.2 доказана.

Лемма 1.3. Для любого квадрата Б со стороной X, верны, неравенства

2

х2 (зек - 37С%)' < ПБ' <^

Доказательство. Через Б(#1, х2, &1, к2) прямоугольник со сторонами

и —, где #2, А^, к2£Мо. В случае х1 = 0 ми #2 = 0 год Б понимается

х2

бесконечная полоса параллельная оси Оа или оси Ов соответственно.

Для любого квадрата Б и любой пары чисел (ж1,ж2), если положить к1 = [Хж1] и к2 = [Хж2], то можно указать два прямоугольника, цен-

Б

Б(#1, #2, к1, к2)сБсБ(#1, #2, к1 + 1, к2 + 1).

Запишем ограничение снизу на меру пересечения Мк и Б

[ (МкПБ) ^ ^ Д(А(Ж1,Ж2)ПБ) - ^ Д(А(Ж1,Ж2)ПА(У1,У2)ПБ). (1.4)

(х! ,Х2)ЕЕи (х1,Х2)&Ек

(У1, У2)ЕЕи (х1,х2) = (У1,У2)

Для доказательства это неравенства воспользуемся формулой (1.3) и формулой включения-исключения

/ \

[ (МкПБ) = [

У (А(#1, #2)ПБ)

(х1, х2)е1? шах(|х!|,|х2|)<к у

( У (А(#1,Х2)ПБ) I ^

(хьх2 )еЕк

>

^ [(А(#1,Х2)ПБ) [(А(Х1,#2)ПА(У1,У2)ПБ).

(х!,х2)еек (х!,х2 )еей

(у1,у2)&ек (х1 ,х2) = (У1,У2)

Применив свойства множества А(#1, ж2), можно показать, что выполняются

равенства

§^, Х1,Х2 = 0;

/С2 Ж Жо " ' ^ / '

Ж1Ж2

р(Л(жьж2)ПБ (ж1,жг, к1, кз)) = < | Ь, Х1 = 0,ж, = 0;

^ 6Ж1, Х2 =0,Х! =0.

Оценим снизу первую сумму из неравенства (1.4).

У^ д(А(х1, х2)ПБ) ^ д(А(х1,х2)ПБ(х1, х2, к1, к2)) =

(Ж1, ж2)ее (Ж1,Ж2)€ЕЙ

2е

к2

к1к2 2е —^ ^ —

х1х2 к2

(ЖЬЖ2)€Е (Ж1,Ж2)€ЕЙ

Е

Е

(Ах1 — 1)(Ах2 — 1)

х1х2

2е

к2

Е

(Ж1,Ж2)€ЕЙ

А2 — .и — .и +

х1 х2 х1х2

АА

1

=8 (а2 4Й)+о(к 1п к0 =

А2£ ^ /1п к

+ о

А2£

2С(2) 1 ~ V к 3С(2)-

Оценим сверху меру множества А(х1, х2)ПА(у1, у2)ПБ. Квадрат Б и параллелограмм могут пересекаться, если расстояние между их центрами меньше, чем ^ + у ^ А Если взять квадрат 3Б, у которого центр совпадает с центром квадрата Б и сторона равна ЗА, то центры тех параллелограммов, которые задевают квадрат Б будут лежать внутри квадрата ЗБ. По лемме 1.1 будет

#(3БПЛ) < 9А2Д + 6А^/х2 + у2 + 6А^/х2 + ,

Д=

det

х1 х2

У1 У2

Символ #(•), здесь и далее, обозначает количество элементов в множестве. Для ограничения сверху второй суммы из неравенства (1.4) воспользуемся формулой (1.2) и леммой 1.2

Е М(Л(Х1,Х2)ПЛ(У1 ,У2)ПБ) ^ Е #(3БПЛ)

(ж1,ж2)€ей (у1,у2)еей (ж1 ,ж2 ) = (у1,у2)

(Ж1,Ж2)€ЕЙ (У1,У2)еЕй (ж1,ж2) = (У1,У2)

Дк4

<

< Е ^9Х2А+ 6X^x2 + у2 + 6X^x2 + У2)

(х1,х2)€Ей (У1,У2)&Ек (х1,х2) = (У1,У2)

<Ц2 Е К + X

(х1,х2)€Ей (У1,У2)&Ек (х1,х2) = (У1,У2)

х2 + у22) Ай <

2^/2к л 2^/2к \ 36Хе

22

А

+ X-

А

к4

Е 1+

(хьх2)€Ей (У1,У2)ЕЕк (х1,х2) = (У1,У2)

48^/2X£

2

к3 ^ А

(х1,х2)ЕЕк (У1,У2)еЕк (х1,х2) = (У1,У2)

^ 1 36X2£2V^ ,

Е А < "й-Е 1 +

432^/2X£21п к 37X2 £2

(х1,х2)ЕЕк (У1,У2)еЕк

к

<

С2(2) *

Ограничение снизу для [(МкПБ) доказано. Обозначим

Ек* = {(хьх2)еж2 : 1<#1<к, 1<|#2|<к}

и

Б *=Б (х1,х2,к1 + 1,к2 + 1).

Воспользуемся формулой (1.3), свойством А(х1, х2)=А(-х1, —х2) и полу-

чим ограничение сверху на [(Мк ПБ)

[(Мк ПБ) = [

(

\

У (А(Х1,Х2)ПБ)

(х1,х2)€^2 ^1< шах(|х1|,|х2|)^к

< [

У (А(Х1,Х2)ПБ)

/

х1=0 \1<х2<к

/

+

\

У (А(Х1,Х2)ПБ)

х2 =о

/

+ [ ( У (А(Х1,Х2)ПБ) I <

(х1 ,х2)еей

<2 Е [ (А(Х1,Х2)ПБ*)+ Е [ (А(Х1,Х2)ПБ*)=4| Е

к #2

х1=0 (х1,х2)€Е* х2=1

1<х2<к к

+ к2

к2 ^—' х1 х2

(х1,х2 )ее*

(к1 + 1)(к2 + 1) < 4е ^^ Xx2 + 1

к2 ^ Х2 х2=1

f

2£ ^

+ к2

(Ах + 1)(АЖ2 + 1)

Ж1Ж2

к2 1

Х2 = 1

_ 2£ = к2

Лемма 1.3 доказана.

4£ Е Га + 1) + ! ^ (А2 + А + А + ^

у х2 I к2 \ х1 х2 х1х2

(Ж1,Ж2)€Е^

(2А2 к2 + О(к 1п к)) = 4еА2 + О

1п к

^ 5еА2.

Лемма 1.4. длл любого квадрата Б со стороной А верно неравенство

А2 - 5А2£ < ПМ).

Доказательство. Воспользуемся равенством (1.1) и леммой 1.3 д(БПМк) = ) - ПМк) ^ А2 - 5еА2.

Лемма 1.4 доказана.

1.2. Изучение функции ф©(£) в случае т ^ 2 и п = 1.

В этом случае функция ф©(£) имеет вид

а! \

(£) = тт тах Цжа?1|.

У ат у

В этом определении обозначим рт рассмотрим два множества:

= (р1,... ,рт) е Жт. На кубе [0; 1]'

М ={ («1,...,«т)£[0; 1]т : ф

/ а! \

(к) >

£

^к

=

У ат у

£

(«1,... ,от)е[0; 1]т : Уде[1; к] тах {||агд||} > тГ-

т к.

= < (аь... ,ат)е[0; 1]т : Уде[1; к] Урт шах {|а»д - р»|} >

£

1<»<т

= («1,...,«т)е[0;1]т : Уде[1; к] Урт шах

1<»<т

Р»

а»--

д

>

£

д

тк ]'

М к = ^

(а1,...,ат)Е[0; 1]т : Ф

( а1 \

(к) <

£

=

У ат у

= («1,... ,«т)е[0; 1]т : Зде[1; к] шах {||а»д||} < —=

у 1<»<т т к.

= («1,... ,«т)Е[0; 1]т : Зде[1; к] Зрт шах {|а»д -р»|} <

1<»<т

= \ («1,... ,«т)Е[0; 1]т : Зде[1; к] Зрт шах

1<»<т

Р»

а»--

д

<

£

д

тк.

Верно равенство

[(Мк) = 1 - [(Мк).

(1.5)

Для числа д определим множество А(д), как объединение кубов с центрами в точках ^, у,..., р^ при р» = 0,1,..., д и со стороной Верно равенство

к

Мк = У (А(д)П[0,1]т). (1.6)

я=1

Символ [•] обозначает целую часть сверху.

Лемма 1.5. Для любого куба Б со стороной X выполняется неравенство

Xm - 2^£)т < [(БПМк).

Доказательство. Проекция множества А(д) на каждую координатную

ось это объединение отрезков вида

р_ £ р + £

я я у, я + я у

при р = 0,1,..., д.

X +

2£

Ш • я

< ^ + д+

Очевидно отрезок длины X заденет не более 1 < Xg + 2 отрезков из проекции множества А(д) по каждой оси. Получаем неравенство

[(БПА(д)) < (Xg + 2)

-М

кд т

Применим формулу (1.6) и найдем ограничение сверху на меру пересечения

МБПМк) = »(0(БПЛМ)) < М(БПА(^)) < (Ад + 2)т М" <

\д=1 / д=1 д=1 кдГ

к / О \ Т" / /1 Л \ Т" к О Т" Т" к 1

< V ((2Ад)т + 4")*^ = V 1 + 8/- V - <

^ ко- к ^ к ¿-'ат

^=1 9=1 9=1

0-£- ^^ 1 < (4а£)- + — V 3 < 2(4А£)т.

9=1

Применим полученное неравенство и формулу (1.5)

м(БПМк) = - ПМк) ^ А- - 2(4А£)т

Лемма 1.5 доказана.

Лемма 1.6. Для т ^ 2 верно неравенство

V

(91,92)"' < 2к

от < 5 .

[к/2] <91 <92 <к 42

Доказательство. Пусть (д1,д2)=^ д1=^/ (/^ |~2й1) и 92=ф [2й1 +1) с Условием (/,Р) = 1 тогда

(о о )- к 92-1 (о о )- [к/2] [к/Й] р-1 .

9 — / V / V о— /у /у / V р- ^

[к/2~| <91<92<к У2 92= [21+1 91= [ 2 ] у2 Р=ш+1 1 = щ

[к/2] [к/Й] р-1 [к/2] [к/Й] к [к/р] ^^ V V —=V V =

^ / V / V / V р— / V / V р— ^ / V / V р—

Й=1 р=[ & 1+1 1=1 р Й=1 р=[ & 1+1 р р=2 Й=1

(1,Р)=1

к

р=2

к

Р.

к

V к ^М ^М <Л у 4+) - Л =

т т+1 т+1

Р" р"+1 » р

р=2 \р=1

- /,У с(т) \ <к(С(2)_Л <2к = ЧС(т + 1) V <ЧС(3) V< 5 '

Доказательство равенства

^ ^(р) = С(т - 1)

^ рт С (т)

р=1 3

можно найти в [22] на стр. 250. Лемма 1.6 доказана.

Лемма 1.7. Пусть W - выпуклая область на плоскости, N - число целых точек в области W. Если найдутся 3 целые точки внутри области не лежащие на одной прямой, то

N < ) + 2.

Доказательство. Рассмотрим все целые точки, лежащие в области W, для них построим выпуклую оболочку. Получим выпуклый многоугольник. Применив формулу Пика, получим неравенство

Г

В + г - 1 < ).

где В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество точек на границе многоугольника. Из соотношения N = В + Г получаем

N - 2 < ).

Лемма 1.7 доказана.

Рассмотрим плоскость Ор1р^. Для пары (д1, д2)еМ2 и числа 5 > 0 введем обозначения:

• с - прямоугольник со сторонами (1 + 5^ и (1+ 5^2, параллельными осям;

Со =

0, ^Xql

х 2

0, ^Xq2

Б = |(р1,р2) Е К2: |д2р1 - д1р2| < d £(я1„+|2^ ^ где d — наибольший

д1 д2

1я — прямая д2р1 - д1р2 = д.

Запишем несколько свойств прямых вида /д:

1. Расстояние между двумя соседними прямыми вида/д равно , 1 .

2. Все целые точки (р1,р2)еЖ2 лежат на прямых вида расстояние между двумя соседними точками на одной прямой равно \/д2 + д2 •

Запишем некоторые свойства области Б: 1. Количество прямых в облас ти Б равн о 2d

2. Ширина полосы Б равна Н = 2

3. Если d > 2ек1-1/т, то Б = /о-

ф1+ы й У

£(?1+д2) й У

_ < 2У2е

+ 1;

Определим множества:

• Тгк = {(д1,д2)е^2: [к/2] ^ д1 < д2 ^ к};

• 7 = {(д1,д2)еТгк: ЗС = С1 #(БПС1ПЖ2) ^ N0}, где N0 = 8(1 + 5)еАк1-1/т + 6;

• 7о = {(д1,д2)ЕТгк: (д1,д2) = d > dо}, где dо = 9ек1-1/т;

• 71 = {(дьд2)еТгк: #(БПСоПЖ2) ^ N};

РгкН(р1,Р2)е 0, П М2: (р1,р2) = 1, 1 ^ Р2 ^ 2} .

2

Р1

Лемма 1.8. Для каждой пары (д1, д2)е7 все целые точки в БПС1 лежат на одной прямой I с шагом 7? где

, Ук

1 < т <

Доказательство. Область БПС1 можно вложить в параллелограмм с высотой Н и стороной л/2(1+5)Ак. Таким образом мера д(БПС1) ^ 4(1+5)£Лк1-1/т.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шацков, Денис Олегович, 2017 год

Список литературы

1. Ахунжанов, Р.К. О векторах заданного диофантова типа II/ Р.К.Ахунжанов// Математический сборник. 2013. №204:4. С.3-24.

2. Гайфулин, Д.Р. Производные двух функций семейства Деп-жуи Тихого Уигци Д.Р.Гайфулин// Алгебра и анализ. 2015. №27:1. С.74-124.

3. Грэхем, Р. Конкретная математика. Основание информатики/ Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник; пер. с англ. М.:Мир, 1998. 703 е., ил.

4. Иванов, В.А. О начале луча в спектре Дирихле одной задачи теории диофантовых приближений/ В.А.Иванов// Записки науч. сем. ЛОМИ. 1980. №93. С.164-185.

5. Иванов, В.А. О рациональных приближениях действительных чисел/

B.А.Иванов// Математические заметки. 1978. т. 23, №1. С.3-26.

6. Касселс, Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближе-ний/Дж.В.С.Касселс. ИЛб М.:1961. 213 с.

7. Корнфельд, И.П. Эргодическая теория/ И.П.Корнфельд, Я.Г.Синай,

C.В.Фомин. М.:Науки. 1980. 384 с.

8. Малышев, A.B. Спектры Маркова и Лагранжа (обзор литератыры)/ А.В.Малышев// Записки науч. сем. ЛОМИ. Изд-во «Наука», Ленинград, отд., Л. 1977. №67. С. 5-38.

9. Мощевитин, Н.Г. Сингулярные диофантовы системы А.Я. Хинчина и их применение/ Н.Г.Мощевитин// УМН, том 65.2010. №3(393). 0.43-126.

10. Халмош, П. Теория меры/ П.Халмош. М.:Издательство иностранной литературы, 1953. 291 с.

11. Хинчин, А. Я. Регулярные системы линейных уравнений и общая задача Чебышева/ А.Я.Хинчин Изв. АН СССР. Сер. матем. 1948. №12:3. С.249-258.

12. Хинчин.Л.Я. Цепные дроби/ А.Я.Хинчин. М.:Физматлит, 1960. 112 с.

13. Шацков, Д.О. О среднем значении меры иррациональности вещественных чисел Д.О. Шацков// Математические заметки. 2015. №98:2. С.271-287.

14. Шацков, Д.О. Осцилляция функции меры иррациональности в многомерном случае/Д.О. Шацков// Математические заметки. 2016. №99:1. С.102-120

15. Шмидт, В. Диофантовы приближения: Пер. с англ./В.Шмидт. М.:Мир, 1983. 232 е., ил.

16. Ярник, В. К теории однородных линейных диофантовых приближений/ В.Ярник// Чехослов. матем. журнал. 1954. №4(79). С.330-353.

17. Akhunzhanov, R.K. On Dirichlet spectrum for two-dimensional simultaneous Diophantine approximation/ R.K. Akhunzhanov, D.O.Shatskov// Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. 2013. vol.3, iss. 3-4. pp. 5-23, [pp. 241-259].

18. Cusick, Thomas W. The Markoff and Lagrange spectra/T.W.Cusick, M.E.Flahive. Mathematica surveys and monographs. 1943. p.93.

19. Dajani, К A Note on the Approximation by Continued Fractions under an Extra Condition/ K.Dajani, C.Kraaikamp// New York Journal of Mathematics. 1998. №3A. p. 69-80.

20. Davenport, H. Dirichlet's theorem on Diophantine approximation/ H.Davenport, W.M.Schmidt// Simposia Mathematica, v. IV (INDAM, Rome, 1968/69), Academic Press, London. 1970. p.113-132.

21. Fiirstenberg, H. The ergodic theretical proof of Szemeredi's theorem/ H.Fiirstenberg, Y.Katznelson, D.Ornstein// Bulletin (New series) of the American Mathematical Society. 1982 №7:3. p. 527-552.

22. Hardy, G. H. An Introduction to the Theory of Numbers -fourth edition/ G.H.Hardy, E.M.Wright. Oxford, Oxford University Press. 1975. 421 p.

23. Halasz, G. Remarks on the remainder in Birkhoff's ergodic theorem/ G.Halasz// Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungarica. 1976. vol 28 (3-4). p.389-395.

24. Jarnik, V. Zum Khintchineschen "Ubertragungssatz"/ V.Jarnik// Acad. Sei. URSS, 3, Trav. Inst, math., Tbilissi. 1938. p. 193-216.

25. Jarnik, V. On linear inhomogeneous Diophantine approximations/ V.Jarnik// Rozpravy II. Tridy Ceskei Akad. 1941. №51:29. p.1-21.

26. Jarnik, V. Eine Bemerkung Uber diophantische Approximationen/ V.Jarnik// Math. Z. 1959. 72:1. p.187-191.

27. Kan, I.D. Approximations to two real numbers/ I.D.Kan, N.G.Moshchevitin// Uniform Distribution Theory 5. 2010. no.2. p.79-86.

28. Kan, I.D. On Minkowski diagonal functions for two real numbers/ I.D. Kan, N.G. Moshchevitin, J. Chaika// American Institute of Physics Conference Series No. 1385. 2011. p.42-48.

29. Khintchine, A. Uber eine Klasse linearer diophantischer Approximationen/ A.Khintchine// Rendiconti Circ. Math. Palermo. 1926. №50;2. p.170-195.

30. Levy, P. Théorie de l'addition des variables aléatoires/ P.Levy. Paris:Gauthier-Villars. 1937. 320p.

31. Leska, J. Sur un résultat de Jarnik/J. Leska// Acta Arith. 1966. 11. p. 359364.

32. Nakada, H. Metrical Theory for a Class of Continued Fraction Transformations and Their Natural Extensions/ H.Nakada// Tokyo J. Math. 1981. vol 4, no. 2. p.399-426.

33. Nakada, H. On the invariant measure for the transformation associated with some real continued fraction/ H.Nakada, Sh.Ito, S.Tanaka// Keio Engrg. Rep. 1977. vol 30, no. 13. p.159-175.

34. Shuster, J. On the Borel-Cantelli problem/ J.Shuster// Canadian Math.Bull. 1970. v.13, 2. p.273-275.