О гладкости решений и условиях локализации спектральных разложений для операторов с постоянными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Айеле, Тсегайе Гедыф

• Айеле, Тсегайе Гедыф
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Айеле, Тсегайе Гедыф

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Список основных обозначений

' Общие обозначения в диссертации

Глава I. Описание условий частичной гиппоэллиптичности линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в терминах фундаментальных решений

1.1. Постановка задачи и формулировка результата

1.2. Основные определения и леммы

1.3. Описание условий гипоэллиптичности в терминах фундаментальных решений

1.4. Описание условий частичной гипоэллиптичности линейных дифференциальных операторов в терминах фундаментальных решений

Глава II. Пространства обобщенной гладкости

в задаче о суммировании спектральных разложений

2.1. Постановка задачи и формулировка результата

2.2. Обоснование свойств локализации

2.2.1. Предварительные сведения

2.2.2. Представление Ф - средних спектрального разложения финитной функции

2.2.3. Оценка величины

2.2.4. Оценки Ф - средних спектрального разложения

Глава III. Повторные нормы в пространствах типа Николь-

ского-Бесова с обобщенной гладкостью

3.1. Определения пространств и их общие свойства

3.2. Определение повторных норм в пространствах типа Никольского-Бесова с обобщенной гладкостью

3.3. Постановка задачи и формулировка результата

- 3.4. Свойства повторных норм

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О гладкости решений и условиях локализации спектральных разложений для операторов с постоянными коэффициентами»

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации исследуется гладкость решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в терминах свойств фундаментального решения; влияние свойств гладкости разлагаемых функций в задаче о локализации спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа. Для возникающих в этих задачах пространств обобщенной гладкости рассмотрена также задача о повышении гладкости в связи с использованием повторных норм.

В теории линейных дифференциальных операторов важную роль играет подход к исследованию гладкости решений с помощью свойств фундаментального решения. Он был развит в фундаментальных исследованиях Л. Гординга, С. Лоясевича, Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хер-мандера и других авторов и связан с регулярным использованием в этих задачах теории обобщенных функций. Одним из основополагающих результатов этой теории была теорема о существовании фундаментального решения из пространства V обобщенных функций, полученная Б. Маль-гранжем и Л. Эренпрайсом, установленная затем Л. Хермандером и С. Ло-ясевичем в рамках теории пространства 5' распределений Л. Шварца. В связи с этими результатами актуальной представляется задача об описании свойств гладкости решений дифференциальных уравнений в терминах поведения фундаментальной функции соответствующего оператора. Л. Хермандером [27] были установлены критерии эллиптичности и ги-поэллиптичности операторов в терминах свойств фундаментального решения. Однако для рассмотренных в работах Л. Гординга и Б. Мальгранжа частично гипоэллиптических операторов подобное описание не было известно. Его получение представляет собой актуальную задачу теории дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, рассмотренную в диссертации.

В спектральной теории дифференциальных операторов важную роль играют вопросы равномерной сходимости и локализации спектральных разложений по собственным функциям этих операторов в областях общего вида. Изучению влияния гладкости разлагаемых функций на свойства спектральных разложений были посвящены исследования ряда известных специалистов в России и за рубежом. Отметим здесь результаты Ш'.А. Алимова, К.И. Бабенко, С. Бохнера, Б.И. Голубова, В.А. Ильина, Б.М. Левитана, Минакшисундарама, Э. Титчмарша, JI. Хермандера,

A.И. Янушаускаса и других. В этих исследованиях были установлены окончательные условия сходимости и локализации средних Рисса спектральных разложений в терминах принадлежности разлагаемой функции тому или иному пространству гладких функций (Соболева-Лиувилля, Гельдера, Никольского-Бесова). В спектральной теории представляют также интерес методы суммирования более общие, чем метод Рисса. Они связаны с использованием сумматорной функции более общего вида, чем степенная. Для исследования вопросов локализации и сходимости таких обобщенных средних использование указанных выше пространств степенной гладкости оказывается недостаточным. Задача об условиях локализации и сходимости обобщенных средних естественным образом приводит к привлечению пространств обобщенной (нестепенной) гладкости. Эти пространства систематически исследовались в работах ряда известных специалистов по теории функциональных пространств, таких как М.З. Берколайко, Ю.А. Брудный, A.B. Бухвалов, М.Л. Гольд-ман, A.C. Джафаров, Г.А. Калябин [19], В.И. Коляда, Ю.В. Нетрусов, Н. Темиргалиев, П.Л. Ульянов и других. В связи с исследованием спектральных разложений они привлекались в работах М.Л. Гольдмана [17],

B.C. Серова. В случае анизотропных пространств степенной гладкости В.И. Буренковым [9] была рассмотрена задача о повышении гладкости при использовании повторных норм. Ему удалось доказать, что итери-

рование норм в пространствах Бесова приводит к повышению гладкости функций в соответствующей степенной шкале и позволяет достигать любой гладкости за конечное число шагов. Этот подход был развит В.И. Бу-ренковым [11] для доказательства бесконечной дифференцируемости решений одного класса дифференциальных уравнений. В диссертации задача о повышении гладкости при использовании повторных норм была рассмотрена в рамках более общих анизотропных пространств обобщенной гладкости, использование которых представляется актуальным, в частности, в связи с результатами об условиях локализации обобщенных средних спектрального разложения по собственным функциям дифференциальных операторов.

Целью работы является:

1) Установление критерия частичной гипоэллиптичности для операторов с постоянными коэффициентами в терминах свойств фундаментального решения.

2) Нахождение условий локализации Ф-средних спектрального разложения по системе фундаментальных функций оператора Лапласа в произвольной п-мерной области в терминах принадлежности разлагаемой функции пространству обобщенной гладкости.

3) Установление свойства повышения гладкости в связи с использованием повторных норм в пространствах обобщенной гладкости.

В главе 1 впервые получено необходимое и достаточное условие частичной гипоэллиптичности для дифференциального оператора в частных производных в терминах свойств его фундаментального решения.

В главе 2 получены новые результаты об условиях локализации обобщенных средних спектрального разложения в терминах пространств обобщенной гладкости, основанные на новых оценках спектральной функции метода Ф-средних.

В главе 3 установлен новый результат о повышении гладкости при

итерировании норм в пространстве Бесова с обобщенной гладкостью.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут найти применение в исследованиях по теории дифференциальных операторов в частных производных, в спектральной теории и теории функциональных пространств.

В диссертации применяются методы теории обобщенных функций, в частности, свойства сверток для обобщенных функций; методы спектральной теории дифференциальных операторов - интегральные представления и оценки спектральной функции, формулы среднего значения, свойства специальных функций; методы теории пространств дифференцируемых функций - оценки разностных характеристик функции, разложения в ряды по целым функциям экспоненциального типа и т.д.

Материалы диссертации докладывались на научных конференциях РУДН (1995, 1996, 1998 гг.), на Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 75-летию чл.-корр. РАН проф. Л.Д. Кудрявцева (Москва. 1998), на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН по теории дифференциальных уравнений под руководством проф. В.Н. Масленниковой, на научном семинаре каф. высшей математики МИРЭА под руководством проф. М.Л. Гольдмана.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[3], [18].

Диссертация состоит из введения, включающего список обозначений, трех глав и списка литературы, содержащего 34 наименования. Объем работы 81 страница текста.

Перейдем к более подробному изложению работы.

В главе 1 рассмотрена задача об описании условий частичной ги-поэллиптичности линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в терминах свойств фундаментального решения

для этих операторов.

Рассматривается линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

P(D) = X>qI7\ (1)

аек

где К - конечное множество в пространстве Nq - мультииндексов а = (ai,... , ап) max \а\ — т (|а| = ai +----f- ап)

Da = D? х • ■ ■ х D°n-, =

и aa (a G К) некоторые комплексные числа, не равные нулю.

Обобщенная функция Е является фундаментальным решением оператора (1), если выполняется условие

P(D)S{x) = 6{x), (2)

где ¿(я) функция Дирака. (Здесь и далее полагаем P{D) ф 0).

Теорема о существовании фундаментального решения Е из V у линейного дифференциального оператора (1) была впервые получена независимо Б. Мальгранжем [34] (1953 г.), JL Эренпрайсом [30] (1954 г.).

Имея фундаментальное решение оператора (1), мы можем построить решение и из V уравнения

P(D)u = f, / 6 V, (3)

в виде свертки

u = £*f (4)

для тех / из V, для которых эта свертка существует в V.

Уравнение (2) в классе S' эквивалентно алгебраическому уравнению

рыот = i (5)

относительно преобразования Фурье Р(8) = В. Таким образом, задача об отыскании фундаментального решения медленного роста оказывается частным случаем более общей задачи о "делении" обобщенной функции медленного роста на полином, т.е. задачи о нахождении решения и из 5' уравнения

Р(0и = 1, (6)

где Р ф О полином и / - заданная обобщенная функция из 5". Разрешимость задачи о "делении" была доказана в 1958 г. независимо Л. Хер-мандером [32] и С. Лоясевичем [33].

Л. Хермандером введено понятие гипоэллиптического оператора.

Определение 1. Оператор (1) называется гипоэллиптическим, если из того, что И С М" открытое, и Е Т>'(0.) и Р(Б)и Е следует,

что и Е С°°(П).

В работах Л. Гординга, Б. Мальгранжа изучены частично гипоэл-липтические уравнения, т.е. уравнения решения которых оказываются бесконечно дифференцируемыми, если потребовать бесконечную диффе-ренцируемость по некоторой группе переменных.

Пусть X Е О С М"; т,п Е О ^ т < щ х = (х',х"), где х' Е Ет, х» е Еп_т. Пусть ф(х') Е Х>(Ет) и фт = ф(х') х 6(х"), яирр фт = Бирр (ф(х') х 8(х')) = (эирр ф(х'), 0). Обозначим через

ифт := {х : {х} - вирр фт С = р| (0 + 2/)

у£ эирр 1рт

Определение 2. Оператор (1) называется частично гипоэллиптическим относительно плоскости х" = 0; если из того, что О, С открытое, и Е Ф(П) и Р{Б)и Е С°°(П) следует, что Уфе £>(Мт) свертка и * фт Е

При т = 0 получаем определение 1 гипоэллиптического оператора.

Условия эллиптичности и гипоэллиптичности оператора (1) в терминах фундаментальных решений были установлены Хермандером. Однако условие частичной гипоэллиптичности оператора (1) в терминах фундаментальных решений не было известно. Таким образом возникает задача об описании условий частичной гипоэллиптичности оператора (1) в терминах фундаментальных решений. В главе 1 установлен следующий результат:

Теорема 1. Для того чтобы оператор (1) был частично гипоэллипти-ческим относительно плоскости х" = 0, необходимо и достаточно, чтобы существовало фундаментальное решение £ оператора (1) такое, что для любой функции ф Е Т>(Шт) свертка £ *фт £ С°°(ЕП \ эирр фт).

Здесь V() = С'о°(Ет) - пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций.

При т — 0 этот результат переходит в известную теорему Херман-дера:

Для того чтобы оператор (1) был гипоэллиптическим необходимо и достаточно, чтобы существовало фундаментальное решение £ оператора (1) такое, что £ Е С°°(1К.П \ {0}).

Для доказательства теоремы 1 была установлена следующая лемма, представляющая самостоятельный интерес.

Лемма 1. Пусть / Е Р'(Жп) П С^М" \ С), где СсГ замкнутое; д Е эирр д компактен, тогда на множестве Жгг\({,8ирр д)"< + (?)

(7 > 0) существует свертка / * д и (/ * д){х) Е С'00(Е,г \ {вирр д + С)).

Если С = {0}, то отсюда получим известную лемму Хермандера. Здесь Р'(МП) - пространство обобщенных функций (линейных непрерывных функционалов на Т>(Ш.п)); А7 = {х Е Мп : р(х, А) < 7}, А - замыкание множества А.

В спектральной теории дифференциальных операторов возникают задачи, решение которых требует обращения к пространствам обобщенной гладкости. К ним относится задача об условии локализации спектрального разложения для разных дифференциальных операторов (в частности, кратных рядов и интегралов Фурье). Этим вопросам были посвящены исследования многих математиков в России и за рубежом:. ШлА. Алимова, К.И. Бабенко, С. Бохнера, Б.И. Голубова.. В.А. Ильина, Б.М. Левитана, Минакшисундарама, Э.И. Титчмарша, Л. Хермандера, А.И. Янушаускаса и других. Мы ограничимся ссылками на обзорные статьи Ш.А. Алимова, В.А. Ильина, Е.М. Никишина [5], Б.И. Голубова [14], книги И. Стейна, Г. Вейса [23], А.И. Янушаускаса [29].

Известно, что для средних Рисса <т® при порядке 5 меньше критического т-~ для наличия свойств локализации и сходимости нужно, чтобы разлагаемая функция удовлетворяла определенным требованиям гладкости. Окончательное условие гладкости: г ^ ^ — 5 в шкалах пространств Соболева-Лиувилля и Никольского-Бесова Ь'р. Н'р. Врд были установлены в исследованиях В.А. Ильина и Ш.А. Алимова. Представляет интерес рассмотрение аналогичной задачи для методов суммирования более общих и более гибких, чем метод Рисса, связанных с применением сумматорных функций нестепенного вида. Подобные методы использовали Ш.А. Алимов, А.И. Янушаускас и другие. Этому посвящена вторая глава диссертации, причем при решении этой задачи оказалось необходимым привлечение пространств обобщенной гладкости.

Во второй главе рассмотрены Ф - средние разложения по фундаментальным функциям произвольного самосопряженного неотрицательного расширения оператора Лапласа в п-мерной области С

и-

( Р \

(?)

V И" У

О

где т ^ оо - кратность представления, иг(х. - фундаментальные функ-

т г / г2 \

= Е/ £(*К0М)Ф - -2) ¿р(г),

г=1 А

ции оператора Лапласа (Диг- + ¿2иг- = 0 в С), /¿(¿) - образ Фурье функции / 6 £2(6"') по системе фундаментальных функций. При Ф(2) = ^ получим известные средние Рисса стД/;ж). Пусть в > 0, йо = в при 0 < 5 < 1, 5о = 1 при в ^ 1; ср^) - 5-ая дробная производная функции Ф(£);

/¿V

о 0

Пусть ы(0) = 0; Ц*) ф)Гк п. где А; € N.

Определение 3. Пространство обобщенной гладкости (типа С.М. Никольского) определяется следующим образом:

= {/ е 1Р(П) : ||/|Ь(, < оо},

р

где

и

к

Р&

р.

модуль непрерывности функции /' порядка к в Ьр(£1); и

т=0

0, [х,х + Щ <£

Обозначим через замыкание по норме ||/||я*(-)- То-

гда при условии ш^) ^ ссоо(£) для функции / в Н^^С) справедлив следующий принцип локализации (когда поведение Ф-средних в подобласти определяется только свойством разлагаемой функции в этой подобласти).

Теорема 2. Пусть .з > 0, 0 ^ а,/^ - таковы, что

п - 2 ^ э Г 3 п 1 I

—--«<а^<т1п а + - + 1 >

и функция а-'(^) удовлетворяет требованиям

и^) Га п. I; Г'в п. I на (0,1]

п —2 ,

-¡■ ——Но-в

ш{г) ^ (0,1];^ =-т—.

Пусть I) С П СС <2, / 6 - функция, удовлетворяющая условию

/(х) = 0, х Е В. Тогда для любого компакта К С В равномерно по х Е К выполнено соотношение

Пш = 0.

п-1 3

Отметим, что в типичных ситуациях <р3о(^) ^ ^о(^) X

¿6(0,1].

Теорема дает условия локализации Ф - средних спектрального разложения. Для средних Рисса (при = Г(з + 1), X t!1^1~s) это приводит к неулучшаемому в степенной шкале гладкости условию локализации: / Е Щ(0), а = ^ — 5, установленному в работах Ш.А. Алимова и В.А. Ильина. М.Л. Гольдманом [16] показано, что это условие неулучшаемо в терминах пространств обобщенной гладкости. Из приведенной теоремы видим, что для сумматорной функции у нестепенного вида мажоранта щ также имеет нестепенной вид и условие локализации естественным образом выражается в терминах пространств обобщенной гладкости.

В главе 3 рассмотрена задача о повышении гладкости в связи с использованием повторных норм для пространств обобщенной гладкости, возникающих в задаче о локализации спектральных разложений (см. главу 2) и более общих.

В работах В.И. Буренкова были введены повторные нормы типа Никольского-Бесова (в степенной шкале), и получены с их помощью результаты о бесконечной дифференцируемости решений уравнений в частных производных типа (1).

В третьей главе рассматриваются повторные нормы в пространствах типа Никольского-Бесова с обобщенной гладкостью, и получен результат, который в некотором смысле является обобщением результата В.И. Буренкова.

Пусть ОсМ" открытое множество и V 6 > О

Qs ;= {х е Ü : р(х, дй) > 6},

Z(Qs) ~ полунормированное пространство функций, заданных на üs-Пусть далее 1 ^ 9 < оо, а = (öi,... , <тп), aj G N и Ф(сг, 9) - класс функций такой, что = ,<рп) G Ф(а,в) обладает следующими

свойствами:

1. <pj{h) >0 V h > 0

2. ifj монотонно возрастает

3. lim (pj{h) = Q h—t+0

4. обладает Saj свойством, т.е.

3 mj < <7j : ^п. т.е.Эс>1: Ш <

J J tmi tmi ts3

где 0 < s ^ t < oo.

Определение 4. Будем говорить, что функция / G Bp{Z{Ü)) = Bf[^'H(Z(Q)), если f G Lloc{Ü) и

n

Ыв?< Чт):= ||/||эд + £ mt* \zm) K (8)

J-i

где

ß?{\zm

^m^Jhv^ ьжну (9)

где ^'¡lJjf ~ разность по переменной х^ порядка а^ с шагом Н, 2^(0, Я) - пространство измеримых на (О, Я) функций д одной переменной. для которых при 1 ^ в < ос

/ н, ,, \ 1/0 Ык^н)^^ т\вТ) <оо (ЩО,Я):=МО,Я)). о

Приведенное определение получено заменой в известном определении анизотропных пространств Никольского-Бесова нормы || • ||£р(пст.Л)

на || • \\г(па.к) и показателя гладкости / на функцию гладкости Таким образом = В^/П).

Положим теперь в (8) и (9) ^ := <*>2 = ( ^21, • • • ,<¿>2п)> °"2 =

сг21,. • • , о~2п ), Я := Я2 и := В^(ЬР(Щ) = 0^) с параметрами

—^

(71 и Яь тогда мы получим норму в вида ||/|| ) . Продол-

ов " (-^р(^)))

жая этот процесс, мы получим нормы, которые естественно называть повторными, V к Е N : к ^ 2

4 V / 4 V '

к к-1

—►

Соответствующие пространства Вдк^ ■ • ■ • •) назовем обоб-

4 V ^

к

щенными пространствами типа Никольского-Бесова с повторными нормами.

Если = • • • = ^ц-) = тогда получим нормы

■"V V-

А

Верна следующая

Теорема 3. (о повторных нормах с обобщенной гладкостью). Пусть 1 < р < оо, I ^ в < со, а — (сгь... , сг„) и 9 = (<£ь ■ ■ • >Уп) £

Ф((7,0) и О С Мп открытый параллелепипед с гранями параллельными

к

координатным плоскостям, У — ,<£>„}. Тогда

1. Имеет место вложение

Щ ( В? • •• В? (1,(С)) в£(в) (12)

4 V /

к

2. При дополнительном предположении о том, что существует ограниченный оператор продолжения

5:В£(С)_>в?)(а«) (13)

имеет место совпадение пространств

Б,? = в£(С) (14)

к

(с эквивалентностью норм).

Если в этих результатах положить ,-р]{Ь) = , мы получим результаты такие же, как и в работе В.И. Буренкова [И].

В случае, когда 9(/г) удовлетворяет дополнительному условию

Эс>0: ^ Т на (О,Я]

(например, у ¡{К) — Ь,а> 1пъ'(^), > 0, ^ Е К.), т.е. пространство —►

Вд(Ьр(0)) обладает "степенным запасом гладкости", теорема дает увеличение гладкости при итерировании норм, позволяющее за конечное число шагов достичь любого показателя гладкости (в степенной шкале). Если же функции <Р](Ъ) имеют чисто логарифмический характер (например, (¿¿(Ь,) = < 0) повторные нормы позволяют увеличить гладкость лишь в логарифмической шкале.

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору М.Л. Гольдману за постоянное внимание к работе и всестороннее обсуждение полученных результатов. Выражаю свою признательность профессору В.И. Буренкову, профессору

В.Н. Масленниковой, всему преподавательскому составу кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа давшим мне глубокие знания, генеральному директору фирмы "Summa" господину Тимуру Тимуроглу за моральную и материальную поддержку во время обучения, господину Зелалем Тэссема, советнику по образованию при посольстве Эфиопии в России. Автор искренне признателен аспиранту кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа М.В. Кузнецову за помощь при оформлении диссертации.

Список основных обозначений

I. Способ нумерации. Предложения, Леммы, Замечания, Определения и формулы внутри каждой главы снабжены следующим видом нумерации: Определение 1.1 - первое определение в первой главе; Определение 2.1 - первое определение во второй главе; формула (3.5) -пятая формула в третьей главе и т.д.

II. Сокращения. Кроме обычных символов V, 3, применяются

также следующие обозначения:

- знак, заменяющий в формулировках выражения "такой, что..." или ''обладает следующими свойствами";

А =: В и В := А - заменяет выражение "обозначим А через J5";

<р(и) t (<г>(и) 4-) ~ возрастание (убывание функции), и > 0;

<^(м)п. t 4) - почти возрастание (убывание) функции, на-

пример,

v?(if)n. "I на (0,1] 3 с ^ 1 : 0<и<г;<1=Ф (р{и) ^ ap(v).

Общие обозначения в диссертации

К" - n-мерное евклидово пространство точек

х = (жь... ,жп), £ = (fi,...f„) и т.д.

Lp(Rn)} 1 ^ р ^ оо - Лебегово пространство с нормой

ll/IUP(K") = \ [ \f(x)\pdx) р< сх>; ||/||Хто =suPVrai|/W|;

IJ J жемп

Ж"

С(М") - пространство равномерно непрерывных функций на Rn с нормой

||/||с(®») = sup \f{x)\;

хеш»

Q*= П (fi + 2/);

yesupp у

= С1а ~ линейный дифференциальный оператор с постоян-

|о-|<С?77.

ными коэффициентами (см. формулу 1.1);

ш,п е 2 такие, что 0^т<пи V £ е Мп ж = (х',х"), где х' € Мт,

х" е при ш = о, х" е М";

фт{х) = ф(х') X 6(х") V ф{х') б V(Rmyl

Бирр фт = (эирр ?/>,0);

п Ф + у);

у£ эирр ■фт

п5 := {х е о : р(х, дП) >6} V <5 > 0;

- полунормированное пространство функций, заданных на Ф((7, б1) - класс функций со свойствами 1.-4. (см. параграф 3.2., стр. 65);

\ Вр}у} := Нр ^ - пространства дифференцируемых функций; V, 5 - пространства основных функций; 5'. V - пространства обобщенных функций;

-Р-1 - преобразование Фурье в прямое и обратное. Для / 6 преобразование Фурье определяется формулами

Р ДО = (2 тг)'"/2 I /(*) ехр{—г{х, 0} <1х-

кп

= (2тг )""/2 У /(^)ехр{г(х,0}^;

жп

для / Е 5', Р' - оно понимается в смысле теории обобщенных функций; Л <-» В - топологическое вложение пространств

а X Ь означает, что с ^ | ^ с?, где 0 < с ^ с1 зависят только от параметров, фиксированных в рамках одного рассмотрения (несущественных параметров);

С\, С'2... - положительные постоянные, зависящие только от несущественных параметров;

¡3 > 0, с ^ 1 - конус монотонных функций (см. определение 3.1),

п,к ^ 1 - целые числа (параметры); к = (к\,... ,кп) = к] ^ 1

целые числа;

Alhe.f(x) - разность функций /(ж) порядка I с шагом Ле^ (см. параграф З.1., стр. 61);

ш1рх.{$,и) - модуль непрерывности порядка I функции $(х) по направлению X} в норме Ьр(Шп)' 9{и) = {<>Р](и)}1=1 ~ функция гладкости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Айеле, Тсегайе Гедыф, 1999 год

Литература

[1] Айеле Т.Г. Описание условия частичной гипоэллиптичности линейных дифференциальных операторов в терминах фундаментальных решений. // Тезисы докладов международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Пробле-

5 мы математического образования", посвященной 75-летию чл.-корр. РАН проф. Л.Д. Кудрявцева, Москва, 1998, С. 98.

[2] Айеле Т.Г. Описание условия частичной гипоэллиптичности линейных дифференциальных операторов в терминах фундаментальных решений. Москва, 1999. - Деп. в ВИНИТИ РАН 31.03.99, № 1026-В99.

[3] Айеле Т.Г. Повторные нормы в пространствах типа Никольского-Бесова с обобщенной гладкостью. Москва, 1999. - Деп. в ВИНИТИ РАН 31.03.99, № 1027-В99.

[4] Алимов Ш.А., Ильин В.А. Условия сходимости спектральных разложений, отвечающих самосопряженному расширению оператора Лапласа с произвольным спектром. // Дифференциальные уравнения. - 1971. - Т. 7, N 5. - С. 851-882.

[5] Алимов Ш.А., Ильин В.А., Никишин Е.М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений. // Успехи мат. наук. - 1977. - Т. 32, N1.-0. 107-130.

[6] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Пер. с английского. - М.: Наука, 1966, - 295 с.

[7] Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций: пер. с англ. - М.: Наука, 1970. 327 с.

[8] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996. 480 с.

[9] Буренков В.И. Исследование пространств дифференцируемых функций с нерегулярной областью определения. // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

- М.: МИАН СССР, 1982. - 312 с.

л

[10] Буренков В.И. Некоторые свойства пространств с повторными нормами типа Никольского-Бесова. // Применение функциональных методов и методов теории функций к задачам математической физики. Тезисы докладов IX Советско-Чехословацкого Совещания. Донецк, 1986. - С. 22.

[11] Буренков В.И. Теорема о повторных нормах для пространств Никольского-Бесова и ее применение. // Труды МИАН СССР. -1988,

- Т. 181.

[12] Брудный Ю.А. Теорема продолжения для одного семейства функциональных пространств. Исследование по линейным операторам и теории функций. VI. - Л.: Наука, Ленинградское отделение, 1976. -С. 170-173.

[13] Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1976.

[14] Голубов Б.И. Кратные ряды и интегралы Фурье. // Итоги науки и техники. Математический анализ. - М.: ВИНИТИ, 1982. - Т. 19. -С. 3-54.

[15] Гольдман М.Л. Обобщенные ядра дробного порядка. // Дифференциальные уравнения. - 1971. - Т. 7, N 12. - С. 1236-1255.

[16] Гольдман М.Л. Исследование пространств дифференцируемых функций многих переменных с обобщенной гладкостью. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. - М.: 1972.

[17] Гольдман М.Л. Исследование пространств дифференцируемых функций многих переменных с обобщенной гладкостью. // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

" - М.: 1987.

[18] Гольдман М.Л., Айеле Т.Г. Пространства обобщенной гладкости в задаче о суммировании спектральных разложений. Москва, 1999. -Деп. в ВИНИТИ РАН 31.03.99, № 1028-В99.

[19] Калябин Г.А. Теория пространств функций обобщенной гладкости и некоторые приложения. // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. - Куйбышев: 1980, 275 с.

[20] Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. - М.: Наука, 1977. 455 с.

[21] Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1969. 456 с.

[22] Петровский И.Г. Об аналитичности решений системы дифференциальных уравнений. // Мат. сб. -1939, - Т. 47. - С. 3-68.

[23] Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. - М.: Мир, 1974. -,333 с.

[24] Титчмарш Э.И. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 2. - М.: Иностр. Литер., 1961. 555 с.

[25] Хермандер JI. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. - М.: Мир, 1965.

[26] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. - М.: Мир, 1986.

[27] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. - М.: Мир, 1986.

[28] Шварцман П.А. Теоремы продолжения с сохранением локально-ап-роксимационных свойств функций в неизотропном случае. // Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР. - 1981. - Т. 113. - С. 247-252.

[29] Янушаускас А.И. Кратные тригонометрические ряды. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1986. - 272 с.

[30] Ehrenpreis L. Solutions of some problems of division 1, Amer. J. Math. 76, 1954. - P. 883-903.

[31] Gording L., Malgrange В. Operateurs différentiels partiellment hypoel-liptiques et partiellment elliptiques. - Math, scand., 1961, vol. 9, p. 521.

[32] Hörmander L. On the division of distribution by polynomials, Ark. Math. 3, 1958. - P. 555-568. (Перевод: О делении обобщенных функций на полиномы, математика, 3,5, 1959. - С. 117-130).

[33] Lojasiewicz S. Sur le problème de division, Studia Math, 18, 1959. -P. 87-136.

[34] Malgrange B. Equations aux dérivée partielles à coefficients constants, 1. Solution élémentaire, C.R. Acad. Sei. 237, 1953. - P. 1620-1622.