Дискретизация норм и неравенства Харди в теории пространств Бесова-Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Матарутиния Ведаст

• Матарутиния Ведаст
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Матарутиния Ведаст

Введение

I. Взаимосвязь однородных и неоднородных пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью.

1.1. Обозначения и предварительные сведения.

1.2. Обобщенные пространства Лизоркина-Трибеля.

1.2.1. Обозначения и определения.

1.2.2. Взаимосвязь однородных и неоднородных обобщенных пространств Лизоркина-Трибеля.

II. Дискретизация норм в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помощью ^-преобразования.

2.1. Обозначения и предварительные сведения.

2.2. Свойства р и -^-преобразований для пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью.

2.3. Независимость пространств Лизоркина-Трибеля от выбора функций <р и Ф.

III. Весовые неравенства типа Харди для модулей непрерывности функций и их симметричных перестановок.

3.1. Предварительные сведения.

3.2. Неравенство типа Харди для модулей непрерывности функций.

3.2.1. Доказательство Теоремы 1.

Оценка снизу.

3.2.2. Доказательство Теоремы 1.

Оценка сверху при р < q,9 < q.

3.2.3. Доказательство Теоремы 1.

Оценка сверху при р = q',0 < q.

3.3. Неравенство Харди для модулей непрерывности перестановок.

3.3.1. Доказательство теоремы 2.

Оценка снизу.

3.3.2. Доказательство теоремы 2.

Оценка сверху.

3.4. Неравенство Харди для разностей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретизация норм и неравенства Харди в теории пространств Бесова-Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью»

В современном математическом анализе важную роль играют функциональные пространства, принадлежность к которым характеризует гладкость функций (вообще говоря нецелого порядка). Наиболее известными и широко используемыми пространствами такого типа являются пространства Никольского-Бесова [Bpq] и Лизоркина-Трибеля [Fpq]. Теория классических пространств Бесова-Лизоркина-Трибеля изложена в монографиях С.М. Никольского [1], О.В. Бесова, В.П. Ильина, С.М. Никольского [2], Г. Трибеля [3, 4]).

Настоящая диссертация посвящена исследованию пространств дифференцируемых функций обобщенной гладкости Бесова-Лизоркина-Трибеля, заданных на n-мерном пространстве и неравенству типа Харди для модулей непрерывности функций и их симметричных перестановок.

Актуальность исследования пространств дифференцируемых функций многих переменных обобщенной гладкости подтверждается их возникновением и применением в ряде задач теории вложений, теории приближений, теории рядов Фурье, теории вырождающихся эллиптических уравнений с нестепенным вырождением, спектральной теории, теории дифференциальных операторов и теории интерполяции линейных операторов.

Кратко охарактеризуем эти источники появления пространств обобщенной гладкости.

Введение обобщенных параметров гладкости позволяет более тонко и более гибко классифицировать дифференциальные свойства функций и в ряде задач теории вложений получить окончательные результаты.

Еще один источник появления пространств типа Бесова с нестепенной гладкостью - проблема описания следов для весовых классов Соболева, которая возникает при изучении краевых задач для вырождающихся вблизи границы эллиптических операторов.

Существенное продвижение в ее исследовании достигнуто Г.А. Ка-лябиным. В его работах, а также в работах Б.В. Тандита показано, что пространство следов для весового класса Соболева с нестепенным весом совпадает с некоторым пространством Бесова с нестепенной гладкостью.

В диссертации проводится дискретизация норм в однородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помошью так называемого "^-преобразования" Кальдерона и установлена взаимосвязь между однородным и неоднородным пространствами Лизоркина-Трибеля, а также взаимосвязь однородных пространств и их дискретных аналогов, обобщающая известные результаты Фразье-Яверта; при этом существенно используется векторный вариант теоремы о максимальном операторе Харди-Литтливуда, установленный Фефферманом и Стей-ном (см. [5, 6])

Данная работа посвящена также изучению разностного аналога известного двухвесового неравенства типа Харди для производных (см., например, [14, 15]). Аналог получен заменой в правой части неравенства весовой нормы к-ож производной функции на весовую норму ее к-ото модуля непрерывности в Lp. Неравенства такого типа (для разностей первого порядка) были впервые получены Г.Н Яковлевым в одномерном случае и для степеных весов (см. [31]).

Этот результат был затем обобщен в работах А. Куфнера, Л.Э. Перссона, Г. Трибеля, Г. Хайнига и других. Уточнения условий на вес в случае связанных весов в правой и в левой частях неравенства были получены в работах В.И. Буренкова и В.Д. Эванса, В.И. Бу-ренкова, M.JI. Гольдмана и В.Д. Эванса. Потом В.И. Буренковым, и M.JI. Гольдманом в одномерном случае для разностей первого порядка было найдено необходимое и достаточное условие на весовую функцию для справедливости соответствующего неравенства. Эти результаты играют важную роль в проблеме продолжения фунций из пространств с обобщенной гладкостью для вырождающихся областей (см. [32]).

Далее, В.И. Буренковым и M.JI. Гольдманом получено развитие результатов по разностным аналогом неравенства Харди. Ими была рассмотрена двухвесовая задача (то есть снято априорное условие взаимосвязи весов в правой и левой частях неравенства), причем в многомерном случае и для модулей непрерывности высших порядков (см.[28]).

В данной работе получено дальнейшее обобщение результатов работы [28]. Здесь мы используем весовую Lq -норму модуля непрерывности функции в Lp в правой части неравенства типа Харди (в [28], рассмотрен случай согласованных норм: в = р).

Цель работы состоит в следующем:

1. Установление взаимосвязи между однородными пространствами и неоднородными пространствами Лизоркина-Трибеля обобщеннои гладкости.

2. Дискретизация норм в однородном обобщенном пространстве Ли-зоркина-Трибеля и установление взаимосвязи между этими пространствами и их дискретными аналогами с помошью так называемого ^-преобразования Кальдерона.

3. Нахождение необходимого и достаточного условия на весовые функции (без априорных предположений об их свойствах или взаимосвязи), для справедливости разностного аналога двухвесового неравенства типа Харди для производных.

В главе 1 впервые найдены условия на обобщенный параметр глад-кости-функцию А(£), при выполнении которых норма в неоднородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью Fpq^ эквивалентна сумме Lp-нормы и нормы в однородном пространстве rPq .

Во второй главе введен дискретный аналог однородного пространства Лизоркина-Трибеля и впервые получена дискретизация нормы в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помощью так называемого «^-преобразования Кальдерона и обратного к нему ф-преобразования.

В главе 3 установлены точные условия на весовые функции (без априорных предположений об их свойствах) для справедливости нового разностного аналога известного двухвесового неравенства типа Харди для производных.

В диссертации применяются методы теории обобщенных функций, теории весовых неравенств, теории атомарных разложений; методы теи - и ории вложении и приближении; методы теории вырождающихся эллиптических уравнений с нестепенным вырождением; методы общей теории функциональных пространств; методы теории пространств дифференцируемых функций-оценки разностных характеристик функций, интегральные представления и т.д.

Материалы диссертации докладывались на научных конференциях РУДН (1994, 1996, 1998, 1999 гг.), на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН по теории функциональных пространств под руководством д.ф.м.н проф. M.JI. Гольдмана.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10 -13,

33].

Краткое содержание диссертации.

В первой главе установлена взаимосвязь однородных и неоднородных пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью. Рассмотрена функция ip : Шп —v С со следующими свойствами: (р G S(Rn) (пространству основных функций Л.Шварца),

SuppFip С : 1/2 < < 2}, |Fy>(OI > С0 > 0, § < < §, где F<p(£) = (2тг)~2 f <р(х) ^-преобразование Фурье в Еп.

Мп

Пусть t > 0, (P(t)ix) = t~n(p(t~1x), X G ®Ln- Для этой функции (P(f) и для V/ G S", V£ > 0 определяется свертка p{t)*f)(x) =f (2тг)-"'2(/[,],*>(,)(* - у)).

Здесь S' = 5'(Еп)-пространство распределений Л.Шварца. Введем для v G Z (ри(х) = фу-*) = 2vny{2ux), х G Mn

Далее, рассмотрена функция, определяющая обобщенную гладкость Л : —v М+; Л(1) = 1; 0 < Л0 < Ш < Л0 < оо, V* > 0, г G 2£].

Пример.

Пусть а, (3 е R; а < ^ t, ^ Тогда minjl; 2е*} < ^ < тах{1; 2^}; г 6 [i, 2f].

Далее, рассмотрена задача о взаимосвязи однородных и неоднородных пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью Л(t). Определение 1.

Пусть 1 < < оо, 0 < q < оо. Тогда К л(-) рч

А(-) ря [А(2">„ */|]« оо

- это однородное обобщенное пространство Лизоркина-Трибеля. Здесь Z= {0,±1,±2,±3.}.

При X(t) = ta, а > 0 получим

F^ (Rn) = F«q(Rn)

- известное пространство Лизоркина-Трибеля (см.[3,4,5]).

Рассмотрим теперь неоднородное обобщенное пространство Лизоркина-Трибеля Fpi'](Rn). Определение 2.

Пусть 1 < р < оо, 0 < q < оо. Тогда

F*)(R) = {feS': пуп^., ря ф*/|* + Е оо где Ф € ,S'(R") и SuppFФ С {£ : |$| < 2}, |РФ(£)| > Со > 0 при

1£1 < I

Для неоднородных пространств Отметим, что г,А( ря о = О / = 0 (в S').

7Л(.) « ||Ф * /||L + ря г оо Е

•i/=i

Аналогично, как в случае однородного пространства, если А(£) = fa, ) = F" (Rn)- известное неоднородное пространство Лизо

А(-) то Fj ркина-Трибеля.

В главе 1 доказана теорема (см. 1.2.2) о том что при 1 < р < оо, О < q < оо, и следующих предположениях относительно функции гладкости Л(t): ^щ- > Ао > l,Vf > О справедливо соотношение Fpq'^ = Lp П -Fpq и имеет место эквивалентность норм

А(.) гря

Ьр + Шрч-)

В качестве примеров отметим, что Л(t) = ta In7(2 1), а > 0 7 G ® удовлетворяет условиям теоремы, в то же время X(t) = In7(2 + t), не удовлетворяет условиям теоремы, ни при каком 7 g 1.

Во второй главе получена дискретизация нормы в однородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля. Рассмотрена функция ф, удовлетворяющая тем же условиям, что и <р; причем ф согласована с так что

Далее, введен дискретный аналог пространства Fpq^, обозначаемый через fpq^ (Мп), то есть множество всех числовых последовательностей

S = {5q}q, отвечающих системам всех двоичных кубов {Q}, для которых

Н5Н/м-) =

Jpq

Здесь v G Z, к G Zn;

EWniSglxgWr q

Q = Quk = {(жь.,жп) G п . OO.

2~ukj < Xj < 2~v(kj + 1), j = l,.,n};

Xq(x) = \Q\~*Xq{x) ~ нормированная в L2 характеристическая функция двоичного куба Q. В этой главе доказана теорема о дискретизации нормы в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помощью "^-преобразования S^ и обратного к нему "^-преобразования

Ti it ф •

Дискретизация нормы в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля осуществляется с помощью известной конструкции, восходящей к Кальдерону (см. [4,5]). Пусть <р(х) = ip{—x)\ <ри(х) = 2untp(2vx), х G K.n; XQ=2~uk -"левая нижняя вершина" куба Q = Q„fc. Положим для / е S'(Mn); (Svf)Q = 2-*?(<pv*f){xQ) = 2* f){2~vk).

Оператор "^-преобразования" S^ сопоставляет функции / Е S' набор чисел Spf = | , отвечающих всем двоичным кубам Q.

Пусть теперь S = {SqIq = {Sv,k}„k набор чисел, отвечающих двоичным кубам Q = Qv,k- Тогда оператор Тф задается формулой: к GZ"

В главе 2 (см. раздел 2.2) доказана теорема о том, что при 1 < р < оо, 0 < q < оо и функции гладкости Л(f), удовлетворяющей Дг-условию (то есть А(т) « \(t) при т £ [i, 2t] и t > 0), операторы

Тф : /рд( )(1^п) —»• -Fpg'^(IRn) ограничены. Кроме того Тф о S^ = id : Fp^ {Шп) —>■ Fpq(,)(Rn) (тождественный оператор). Из этой теоремы следует справедливость диаграммы

В качестве следствия этих результатов показана независимость обобщенного пространства Лизоркина-Трибеля Fpq\^n) от функции <р 6 S, удовлетворяющей вышеуказанным условиям.

Третья глава этой работы посвящена изучению разностного аналога известного двухвесового неравенства типа Харди для производных. В ней приведена теорема (см. раздел 3.2), в которой установлены точные условия на весовые функции (без априорных предположений об их свойствах), при выполнении которых имеют место неравенства, оценивающие весовую Lq норму функции в некотором шаре через весовую £©-норму ее к-ого модуля непрерывности в Lp по этому шару (см. [33]).

Определение 3. Пусть к > 2, h € Шп, тогда для f(x) £ Lp(Rn) Ahf(x)=f(x + h)-f(x);

Akhf(x) = Ah(Akh~1)f(x) = £ ("I)k-mC?f(x + mh) - разность m=0 к-ого порядка с шагом h, где С™- биномиальные коэфициенты.

Определение 4. Пусть Q - открытое множество в Шп т.е. fi С Мп, мы имеем = A^f(x), если [ж,х + kh] С fi; AkQf{x) = 0 в противном случае.

Далее, пусть 1 < р < оо, А; > 1, г > 0, тогда для /(ж) £ Lp(En) n(/,«) = sup II Дл,п/(-)1к

Ь|< hPK"

- модуль непрерывности функции /(ж) порядка к по открытому множеству О, в норме Lp.

В нашем случае рассматривается Q = Вг - шар радиуса г. Приведем следствие из этой теоремы относящееся к случаю радиально-симметричного монотонного веса. Пусть 1 < 0,р < q < оо; к > Пусть и) : R+ —IR+; v : Вг —> R+ = (0, оо) - измеримые функции. оо / \ ко S 4 t + s w(s) c/s I , it £ и при г > 0, * G (0, г], в > 1, 0' = ё=т

Фг№ = т/ г

1 ds

I — / \ / ' / r*il>(r)J J [8$ф(в)] 1 F

Тогда, для величины 1

I \f\qvdx

G r — sup

Gbp(Br) ф(г)[ J \f\Pdx) +(f^Br(f,p)°cj(p)dy ibr при v(x) = V(|a:|), где V(s) l имеет место двусторонняя оценка

Gr& sup [0(*)ФГ(*)]5 te(o,r] где

9®={JBvdy) '

Приведенный результат означает наличие двусторонней оценки для нормы оператора вложения, действующего из пространства типа Бесова Bp^Q (Вг) с обобщенной гладкостью, заданной с помощью весовой функции со, в весовое пространство Lq,v(Br), причем постоянные в этой оценке не зависят от г.

Далее, рассматривается неравенство Харди для модулей непрерывности перестановки. Рассмотрены невозрастающая и симметричная перестановки функции /. Именно, f*(t) = inf{а £ : Л/(a) <t},te Е+, где А/(а) = mes{x 6 Вг : |/(ж)| > а}, и п где Vn - объем единичного шара.

Тогда при 1 < 9,р < q < оо; к > ^ справедлив следующий результат: для величины

Gl = f \f\qvdx sup < feLp(Br)

Ф(г)[/ ifiPdxJ + (^^BrUKy)eu{y)dy имеет место двусторонняя оценка

Gi и sup Ы*)Фг(*)]; 9i W = ( [ Vй dy) 9 0,r] \./fit / без априорных предположений относительно веса v(x)).

В конце главы (см. раздел 3.4) доказана теорема о неравенстве Харди для разностей в одномерном случае и для монотонных весовых функций. В ней получен следующий результат.

Пусть At,rf(x) = AjQf(x) при Q = (-г,г), 1 < 9,р < q < оо; v : Ш. —> R+, со : М. —>• Ш+ - измеримые четные функции и v(t),w(t) 4- при t <= м+; ф(Ь) = оо

1-е

J y9w(y) dy + f wiy) dy о t при t E M+; if>(t) oo(t 0), ip(t) 0(t oo), ^(1) = 1. Пусть r G R+ : Фг(4) = | [r^(r)]-0/ + jJ[у?ф{у)]

-в'^У у в', при t Е (0, r],0' = g(t) = | /

Ja;|<i f \f\qvdx

Dr = sup < f€Lp(-r,r) —г

V-(r) / |/|>дг + / ||Д(,/||» ,.rir)»P

Тогда справедлива двусторонняя оценка

Ci sup Ь(*)ФГ(*)] <Dr<C2 sup Ь(«)Фг(*)]. t€(0,r] t€(0,r]

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Матарутиния Ведаст, 2000 год

1. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.// Москва. Наука. 1969- Первое издание, 1977-второе издание.

2. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.// Москва. Наука 1975- первое издание, 1996- второе издание.

3. Трибель Г. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.// Москва. Мир, 1980.

4. Трибель Г. Теория функциональных пространств.// Москва. Мир, 1986.

5. Frazier М., Jawerth В., Weiss G. Littlewood-Paley theory and the study of function spaces.// C.B.M.S. 1989, July 3-7. N 79.

6. Frazier M., Jawerth B. A discrete transform.// D.M.S. November 1988.

7. Буренков В.И. Функциональные пространства.// Учебное пособие. Москва. РУДН. 1987.

8. Буренков В.И. Функциональные пространства. Основные интегральные неравенства, связанные с пространствами Lp.f / Учебное пособие. Москва. Издание РУДН. 1989.

9. Гольдман M.JI. Исследование пространств дифференцируемых переменных с обобщенной гладкостью.// Диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук. Москва. 1988.

10. Мутарутиния В. Атомарное разложение функций из пространств Лизоркина-Трибеля. // XXXII научная конференция РУДН, 27 мая-2 июня 1996 г.: Тезисы докладов. Математические секции. -М.: Изд-во РУДН, 1996. -С. 123.

11. Мутарутиния В. Взаимосвязь однородных и неоднородных пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью. // XXXIV научная конференция РУДН, 19-22 мая 1998 г. : Тезисы докладов. Математические секции. -М.: Изд-во РУДН, 1998. -С. 52.

12. Мутарутиния В. Дискретизация норм пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью. // Вестник РУДН. Серия математика. -1999.-N 6(1). -С.138-150.

13. Мазья В.Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: изд-во ЛГУ, 1985.

14. Степанов В.Д. Весовые неравенства Харди для производных высших порядков. //Тр.МИАМ СССР. 1990. Т.187. С.205-220.

15. Kufner A., Triebel Н. Generalisations of Hardy's inequality.// Conf. Sem. Mat. Univ. Bari. 1978. V.156. P.21.

16. Heining H. P., Kufner A., Persson L.-E. On some fractional order Hardy inequalities// J. of inequal Appl. 1997. V. 1. P. 25-46.

17. Буренков В.И., Эванс В.Д. Весовое неравенство Харди для разностей и полная непрерывность вложения пространств Соболева для областей со сколь угодно сильным вырождением.// Докл. РАН. 1997. Т. 355. N 5. С. 583-585.

18. Burenkov V.I., Evans W.D. Weighted Hardy type inequalities for differences and extension problem for spaces with generalized smoothness// J. London Math. Soc. 1998. V. (2) 57. P. 209-230.

19. Burenkov V.I., Evans W.D., Goldman M.L. On weighted Hardy and Poincare-type inequalies for differences./ / J. of Inequal Appl. 1997. V.l.P. 1-10.

20. Буренков В.И., Гольдман M.JI. О точных аналогах неравенства Харди для разностей в случае связанных весов// Докл. РАН. 1999 .Т.366, N 2.С.155-157.

21. Гольдман M.JI. О вложении обобщенных пространств Никольского- Бесова в пространства Лоренца.// Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 172. С 128-139.

22. Гольдман М.Л. Критерий вложения разных метрик для изотропных пространств Бесова с произвольными модулями непрерывности.// Тр. МИР АН. 1992. Т. 201. С. 166-186.

23. Goldman М. L. Hardy type inequalities on the cone of quasimonotone functios.// Russian Acad of Sciences. Far Eastern Branch. Computer Center. Research Report 98/31. Khabarovsk. 1998. P. 1-70.

24. Гольдман М.Л. Теоремы вложения для анизотропных пространств Никольского-Бесова с модулями непрерывности общего вида.// Тр. МИАН СССР. 1984. Т. 170. -С. 86-104.

25. Triebel Н. Theory of function spaces II. Birkhauser. 1992.

26. Буренков В.И., Гольдман М.Л. Неравенства типа Харди для модулей непрерывности.// Тр.Мат.инст-а им. В.А. Стеклова, Москва 1999. Т.227. -С.92-108.

27. Albert Baernstein.A unified approach to symmetrisation.// Dep.Math., Washington University, St.Louis, Missouri, 6931304849.

28. Bennett C., Charpley R.Interpolation of operator's.// Pure Appl.Math. T.129. Acad.Press 1988.

29. Яковлев Г.Н. Граничные свойства функций класса Wp на областях с угловыми точками.// ДАН СССР 1961.Т.140 С.73-76.

30. Буренков В.И, Вердиев Т.В. Продолжение нулем функций из пространств с обобщенной гладкостью для вырождающихся областей.// Тр.Мат.инст-та им.В.А.Стеклова, Москва,1999. Т.227.-С.73-91.

31. Гольдман M.JI. Мутарутиния В. О весовых неравенства типа Харди для модулей непрерывности функций и их симметричных перестановок.// -М., 2000. -40с. -Деп. в ВИНИТИ 24-02-00.-N 470-В 00.

32. Fefferman С.and Stein Е.М. Some maximal inequalities.// Amer. J. Math. 93 (1971), 107-115.РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННА-•гЬЯНОДЕК;^ j.