Метод подобных операторов в спектральном анализе дифференциальных операторов второго порядка с негладким потенциалом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Карпикова Алина Вячеславовна

• Карпикова Алина Вячеславовна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Карпикова Алина Вячеславовна

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Основные понятия и используемые результаты

1.1 Некоторые сведения из теории операторов

1.2 О методе подобных операторов

1.3 Постановка задачи

2 Метод подобных операторов в спектральном анализе

возмущенных самосопряженных операторов операто-

рами Гильберта–Шмидта

2.1 Построение допустимой тройки для абстрактных опе-

раторов

2.2 Оценки собственных значений

2.3 Оценки равносходимости спектральных разложений

3 Теоремы о подобии операторов

3.1 Оценки операторов, возникающих в методе подобных

операторов (случай θ = 0)

3.2 Оценки операторов, возникающих в методе подобных

операторов (случай θ = 1)

3.3 Оценки операторов, возникающих в методе подобных

операторов (случай θ ∈ (0, 1))

3.4 Предварительное преобразование подобия исследуе-

мого оператора Lθ , θ ∈ [0, 1], к оператору Гильберта–

Шмидта

4 Спектральный анализ дифференциальных операто-

ров второго порядка с L2 – потенциалом

2

4.1 Асимптотика собственных значений дифференциаль-

ного оператора с негладким потенциалом

4.2 Оценки равносходимости спектральных разложений

дифференциального оператора с негладким потенци-

алом

Литература

3

Список обозначений

C — множество комплексных чисел;

N — множество натуральных чисел;

Z — множество целых чисел;

S

Z+ = N {0} — множество неотрицательных целых чисел;

X — комплексное банахово пространство;

H — комплексное гильбертово пространство;

End H — банахова алгебра линейных ограниченных операторов,

действующих в гильбертовом пространстве H;

S2 (H) — идеал операторов Гильберта–Шмидта, действующих в

гильбертовом пространстве H;

k · k2 — норма Гильберта–Шмидта;

S1 (H) — идеал ядерных операторов, действующих в гильбертовом

пространстве H;

U — пространство допустимых возмущений с нормой k · k∗ ;

lp — банахово пространство последовательностей, суммируемых со

степенью p ≥ 1;

lp (Ω) — банахово пространство последовательностей x : Ω → C, сум-

  p1

|x(n)|p ;

P

мируемых со степенью p ≥ 1 и нормой kxkp =

n∈Ω

L2 [0, ω] — гильбертово пространство комплексных измеримых на

4

[0, ω] классов функций, суммируемых с квадратом модуля;

W22 [0, ω] — пространство Соболева {x ∈ L2 [0, ω] : x0 абсолютно

непрерывна и x00 ∈ L2 [0, ω]};

σ(A) — спектр линейного оператора A;

ρ(A) — резольвентное множество линейного оператора A;

R(·, A) — резольвента линейного оператора A;

Ker A — ядро оператора A;

Im A — образ оператора A;

I — тождественный оператор.

5

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод подобных операторов в спектральном анализе дифференциальных операторов второго порядка с негладким потенциалом»

Введение

Актуальность темы. В диссертационной работе рассматривают-

ся задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его

применения к исследованию спектральных свойств дифференциаль-

ных операторов второго порядка с негладким комплексным потенци-

алом, определяемых периодическими и квазипериодическими крае-

выми условиями (операторов Штурма–Лиувилля). Одним из самых

распространенных методов исследования в теории возмущений ли-

нейных операторов является резольвентный метод, который основы-

вается на представлении проекторов Рисса возмущенных операто-

ров с помощью интегральной формулы Коши. Данный метод лежит

в основе исследований, проводимых в известных монографиях Дан-

форда и Дж. Т. Шварца [21], Т. Като [32], Н. М.А. Наймарка [42].

Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям,

необходимым для применения этого метода. В первую очередь это

связано с оценкой проекторов, при получении оценок безусловной

равносходимости спектральных разложений.

В качестве метода исследования выбран метод подобных опе-

раторов, который берёт своё начало с метода Пуанкаре нормаль-

ных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [2] и

6

тесно связан с методом A.M. Ляпунова кинематического подобия

дифференциальных операторов [16], абстрактным вариантом заме-

ны Крылова-Боголюбова [3], [10].

Впервые метод подобных операторов был изложен К.О. Фри-

дрихсом [48] для возмущенных самосопряженных операторов с аб-

солютно непрерывным спектром. Р. Тернером [61] для возмущенных

нормальных вполне непрерывных операторов были получены теоре-

мы о возможности их преобразования к диагональному оператору в

базисе невозмущенного оператора.

Дальнейшее своё развитие метод подобных операторов полу-

чил в работах А.Г. Баскакова [5] - [13] и его учеников, который стал

использовать технику абстрактного гармонического анализа линей-

ных операторов.

Суть метода подобных операторов состоит в преобразовании

подобия исследуемого дифференциального оператора в оператор,

спектральные свойства которого близки к спектральным свойствам

хорошо изученного оператора. Тем самым значительно упрощается

изучение исследуемого оператора.

В диссертационной работе существенно используется термино-

логия из [41], где применялась техника, основанная на оценках ре-

зольвенты возмущенного оператора, позволяющая получать важные

результаты об асимптотическом поведении модуля разности возму-

щенного и невозмущенного оператора Хилла-Шредингера и его за-

висимости от гладкости потенциала v. Также в диссертации приме-

няется терминология из [16], связанная с понятиями и результата-

7

ми по теории операторных идеалов (ядерные операторы, операторы

Гильберта–Шмидта и т.д.).

Метод подобных операторов применяется к исследованию спек-

тральных свойств широкого класса дифференциальных операторов.

Описанное в диссертации применение метода позволяет более глу-

боко изучить спектральные свойства исследуемого дифференциаль-

ного оператора Штурма–Лиувилля: получить уточненную, по срав-

нению с известной ранее, асимптотику спектра.

Наиболее сильные результаты по асимптотике собственных зна-

чений оператора Хилла–Шрёдингера получены Марченко В.А. в ра-

боте [40], для рассматриваемого нами дифференциального операто-

ра, в случае вещественнозначного потенциала.

Также отметим работы А.М. Савчука и А.А. Шкаликова [51],

[52], в которых проведены исследования для потенциала из про-

странства W2−1 , поэтому и оценки являются более грубыми по срав-

нению с приведенными в диссертации. Существенное усиление ре-

зультатов из статей [51], [52] было получено в диссертации А.О. Щер-

бакова [53]. Важно отметить, что его результаты исследования были

основаны на методе подобных операторов.

Недавние исследования ряда математиков (Х.Р.Мамедова,

П. Джакова, Б.С. Митягина, А.А.Шкаликова, О.А.Велиева,

Н.Дернека; см. статьи [37], [41], [51], [52], [54]) по условиям спек-

тральности дифференциальных операторов второго порядка, опре-

деляемых периодичсекими и квазипериодическими краевыми усло-

виями, показывали важность получения более точных асимптоти-

8

ческих формул для собственных значений и уточненных оценок от-

клонений проекторов от классических систем проекторов. Получе-

ние таких уточненных формул для собственных значений изучаемых

дифференциальных операторов важны при оценке лакун в спектре

соответствующего оператора Хилла–Шредингера, рассматриваемо-

го в L2 (R), в случае периодического комплексного потенциала. Та-

ким образом, тема диссертации является актуальной.

Цель работы. Целью работы является дальнейшее развитие

метода подобных операторов и его применение к исследованию спек-

тральных свойств оператора Штурма–Лиувилля:

1. Построение оператора преобразования оператора Штурма–

Лиувилля к оператору с блочно–диагональной матрицей.

2. Спектральный анализ дифференциальных операторов, возму-

щенных оператором Гильберта–Шмидта:

• получение асимптотических оценок собственных значений;

• получение оценок спектральных проекторов и оценок рав-

носходимости спектральных разложений.

Методы исследования. Основным методом исследования

спектральных свойств рассматриваемого оператора является метод

подобных операторов [3] - [13].

Научная новизна. Основные результаты, полученные в дис-

сертационной работе, являются новыми. Отметим некоторые из них:

1. Разработка абстрактной схемы применения метода подобных

9

 операторов для операторов, близких к рассматриваемому опе-

ратору Штурма–Лиувилля.

2. Спектральный анализ несамосопряженного оператора

Штурма–Лиувилля с негладким потенциалом, задаваемого

периодическими и квазипериодическими краевыми условиями:

• получение новых асимптотических оценок для собственных

значений оператора Штурма–Лиувилля;

• оценки отклонений спектральных проекторов возмущенно-

го и невозмущенного операторов (получение оценок без-

условной равносходимости спектральных разложений).

Практическая и теоретическая значимость. Полученные

в работе результаты носят теоретический характер и строго обосно-

ваны широким использованием методов спектральной теории опе-

раторов и дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались

на Крымских осенних математических школах [28], [30], [31], на

Крымской международной математической конференции [29], [57],

на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна [26], на

весенней математической школе "Понтрягинские чтения XXI" [27],

на математическом интернет-семинаре ISEM (Германия, Блаубой-

рен) [58], на конференции, посвященной 100-летию Б.М. Левитана

”Спектральная теория и дифференциальные уравнения” [59], на се-

минарах А.Г.Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликова-

10

ны в 12 работах [23] - [31], [57] - [59], три из которых [23] - [25]

включены в перечень рецензируемых журналов и изданий, рекомен-

дованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из

введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и библиогра-

фии, содержащей 61 наименование. Общий объем диссертации - 123

страницы.

Содержание диссертации

В первой главе введены используемые в диссертации понятия

спектральной теории операторов, которые необходимы при форму-

лировании основных результатов (первый параграф). Также приво-

дятся определения и теоремы метода подобных операторов (второй

параграф). В основе метода лежат понятия подобных операторов и

допустимой тройки (определения 1.24, 1.25) и формулируется ос-

новная теорема метода подобных операторов 1.7. Используемые в

диссертации понятия содержатся в монографиях [1], [17] - [20], [22],

[33] - [38], [43], [49], [50], [55], [56], [60] и статьях [7] - [13], [15], [39],

[45] - [47]. В третьем параграфе вводится в рассмотрение исследу-

емый в диссертации дифференциальный оператор второго порядка

с негладким потенциалом

Lθ : D(L) ⊂ L2 [0, ω] → L2 [0, ω], θ ∈ [0, 1],

порожденный на промежутке [0, ω] дифференциальным выражени-

ем

l(x) = −x00 − vx,

11

с областью определения

D(Lθ ) = x ∈ W22 [0, ω] : x(ω) = eiπθ x(0), x0 (ω) = eiπθ x0 (0) .



Во второй главе метод подобных операторов применяется к ис-

следованию спектральных свойств абстрактных линейных операто-

ров, близких к изучаемому оператору. В первом параграфе метод

подобных операторов применяется к абстрактным линейным опе-

раторам, действующих в сепарабельном гильбертовом пространстве

H. Рассматривается оператор A − B, где оператор B принадлежит

двустороннему идеалу операторов Гильберта–Шмидта S2 (H), опе-

ратор A = Aθ : D(A) ⊂ H → H— самосопряженный оператор с

компактной резольвентой, спектр σ(Aθ ) которого образует последо-

вательность собственных значений вида

 2

π

λn = (2n + θ) , ω > 0, n ∈ Z+ , для θ ∈ {0, 1},

ω

 2

π

λn,θ = (2n + θ) , ω > 0, n ∈ Z, для θ ∈ (0, 1).

ω

Вводятся ортогональные проекторы Рисса Pn = Pθ,n , n ∈

Z+ , θ ∈ {0, 1} и Pn = Pθ,n , n ∈ Z, θ ∈ (0, 1), которые для любого

x ∈ H определяются следующим образом:

P0,n x = (x, en )en + (x, e−n )e−n , n ∈ N, P0,0 x = (x, e0 )e0 , θ = 0,

Pθ,n x = (x, eθ,n )eθ,n , n ∈ Z, θ ∈ (0, 1),

P1,n x = (x, en )en + (x, e−n−1 )e−n−1 , n ∈ Z+ , θ = 1,

где en , n ∈ Z, — собственные функции оператора Aθ для θ = 0 и

θ = 1 и eθ,n — собственные функции для θ ∈ (0, 1).

12

 Наряду с указанными трансформаторами рассматриваются по-

следовательности трансформаторов Jm = Jθ,m , Γm = Γθ,m , m ≥ 0,

определенные равенствами:

Jm X = Jθ,m X = J(X − P(m) XP(m) ) + P(m) XP(m) ,

Γm X = Γθ,m X = Γ(X − P(m) XP(m) ).

Во втором параграфе второй главы строится абстрактная схе-

ма применения метода подобных операторов для операторов, близ-

ких к рассматриваемому оператору Штурма–Лиувилля. Рассмотре-

на основная теорема о подобии, а также получено асимптотическое

представление для оператора Aθ − B.

В пространстве S2 (H) определяется семейство трансформато-

ров Jθ,m , Γθ,m , m ≥ 0, θ ∈ [0, 1], задаваемое на операторах X ∈

S2 (H) следующими формулами:

X X X

Jper X = Pk XPk = Pk XPk + Pk XP−k +P0 XP0 , X ∈ S2 (H),

k≥0 k∈Z k∈Z

X X X

Jap X = Pn XPn = Pn XPn + Pn XP−n−1 , X ∈ S2 (H),

n≥0 n∈Z n∈Z

X

Jθ X = Pn XPn , X ∈ S2 (H), θ ∈ (0, 1),

n∈Z

X Pθ,i XPθ,j

Γθ X = , X ∈ S2 (H), θ ∈ [0, 1].

λθ,i − λθ,j

λθ,i 6=λθ,j

Для оператора A = Aθ вводится пространство допустимых воз-

мущений U(f ) (со своей нормой k · k∗ ), состоящее из операторов,

входящих в идеал S2 (H).

Теорема 2.1. Пусть число m ∈ Z+ удовлетворяет условию

1

γθ,m kBk∗ < ,

4

13

где постоянная γθ,m из определения 1.25.

Тогда оператор A − B = Aθ − B подобен оператору вида

X

Aθ − Jm X e (m) −

e = Aθ − P(m) XP e k , θ ∈ {0, 1},

Pk XP

k≥m+1

X

e (m) −

e = Aθ − P(m) XP

Aθ − Jm X e k , θ ∈ (0, 1).

Pk XP

|k|≥m+1

Оператор X

e =X

em принадлежит допустимому пространству

возмущений U(f ), где f = fB , и является решением уравнения

X = BΓX − (ΓX)(JB) − (ΓX)J(BΓX) + B,

в котором J = Jθ,m , Γ = Γθ,m , и уравнение рассматривается в

банаховом пространстве U(f ). Преобразование подобия оператора

Aθ − B в оператор Aθ − Jθ,m X

e осуществляет оператор I + Γθ,m X.

e

Для любого ненулевого оператора X из S2 (H) и любого θ ∈

[0, 1] рассмотрим двустороннюю последовательность чисел вида

−1 1 1

X X

αn (X) = αθ,n (X) = kXk2 2 max{( kXPθ,k k22 ) 4 , ( kPθ,k Xk22 ) 4 }.

|k|≥n |k|≥m+1

Отметим, что αn (X) → 0, при n → ∞.

en , |n| ≥ m + 1, (где m ∈

Теорема 2.3. Собственные значения λ

Z+ удовлетворяет условию предыдущей теоремы) операторов Aθ −

B, θ ∈ (0, 1) допускают асимптотику вида

π2 2 αn2 (B)

λn = 2 (2n + θ) − (Ben , en ) +

e ξn , |n| ≥ m + 1,

ω 2n + θ

en , |n| ≥ m + 1, — собственные значения оператора Aθ − B, по-

где λ

следовательность (ξn ), |n| ≥ m + 1, является суммируемой.

14

 e± , n ≥ m + 1, опе-

Если θ ∈ {0, 1}, то собственные значения λn

раторов Aθ − B допускают представления вида

e± = ( π(2n + θ) )2 − µ± + αn (B)η(n),

λ n ≥ m + 1,

n n

ω

4

где последовательность η принадлежит пространству l 3 и µ±

n–

собственные значения матрицы оператора Pn B|Hn .

Такой результат служит основой для последующего спектраль-

ного анализа оператора Lθ , θ ∈ [0, 1].

В третьем параграфе второй главы диссертации получены

оценки равносходимости спектральных разложений для абстракт-

ных операторов Aθ и Aθ − B, где B ∈ S2 (H).

Для произвольного подмножества Ω ⊂ Z+ (если θ ∈ {0, 1})

P P

символом P(Ω) обозначается проектор P(Ω) = Pk = Pθ,k . Для

k∈Ω k∈Ω

Ω ⊂ Z (если θ ∈ (0, 1)) через P (Ω) обозначается проектор P (Ω) =

P

Pk .

k∈Ω

Пусть P en , n ≥ m + 1, — спектральные проекторы Рисса,

e(m) , P

построенные по оператору Aθ − B, где θ ∈ {0, 1}, и множествам

σ(m) , σn , n ≥ m + 1. Для любого подмножества Ω ⊂ Z+ \{0, ..., m}

(не обязательно конечного) символом Pe(Ω) обозначим спектраль-

Pe

ный проектор P(Ω).

k∈Ω

Если θ ∈ (0, 1) и Ω — произвольное подмножество из

Z\{−m, ..., m}, через P (Ω) обозначается спектральный проектор

P P e

Pk , а через Pe(Ω) — спектральный проектор Pk .

k∈Ω k∈Ω

Для любого оператора X ∈ S2 (H) и любого подмножества Ω ∈

Z через α(Ω, X) обозначается величина max αn (X).

n∈Ω

Теорема 2.6. Существуют числа m ∈ Z+ , C > 0 такие, что

15

имеют место оценки:

n n

X X C

kPe(m) + Pek − P(m) − Pk k ≤ |αn (B)|,

θn

|k|=m+1 |k|=m+1

если θ ∈ (0, 1) и

n n

X X C

kP

e(m) + ek − P(m) −

P Pk k ≤ |αn (B)|,

n

k=m+1 k=m+1

если θ ∈ {0, 1}.

Следствие 2.1. Имеет место равносходимость спектраль-

ных разложений операторов Aθ − B и A :

n

X n

X

lim kPe(m) + Pek − P(m) − Pk k = 0,

n→∞

|k|=m+1 |k|=m+1

если θ ∈ (0, 1) и

n

X n

X

lim kP

e(m) + ek − P(m) −

P Pk k = 0,

n→∞

k=m+1 k=m+1

если θ ∈ {0, 1}.

Теорема 2.7. Существует такое число m ∈ Z+ , что

X 1

kPen − Pn k22 < ∞,

αn (θ)

|n|≥m+1

если θ ∈ (0, 1) и

X 1 en − Pn k2 < ∞,

kP 2

α (θ)

n≥m+1 n

если θ ∈ {0, 1}.

Третья глава содержит вывод основных формул, используе-

мых для получения асимптотики собственных значений оператора

16

Lθ , θ ∈ [0, 1] (первые три параграфа) В четвертом параграфе тре-

тьей главы осуществляется предварительное преобразование иссле-

дуемого оператора к оператору Гильберта–Шмидта с использовани-

ем следующей теоремы.

Теорема 3.1. Для любого числа k ∈ Z+ такого, что

kΓθ,k V k2 < 1,

оператор Lθ = L0θ − V подобен оператору

Aθ − B = L0θ − Jθ,k V − B0 ,

где Aθ = L0θ , оператор

B0 = (I + Γθ,k V )−1 (V Γθ,k V − (Γθ,k V )Jθ,k V ),

причем имеет место равенство

(Aθ − B)(I + Γθ,k V ) = (I + Γθ,k V )(A − Jθ,k V − B0 ).

Оператором преобразования оператора Aθ −B в оператор Aθ −

B = A − Jθ,k V − B0 является обратимый оператор (I + Γθ,k V ).

Основные результаты диссертации приведены в

четвертой главе и получены с использованием величин, кото-

рые определяются коэффициентами Фурье vb(n), n ∈ Z, потенциала

v. Символом lp (J), где p ∈ [1, ∞), J ∈ {N, Z}, обознается банахово

пространство суммируемых на J со степенью p последовательностей

комплексных чисел, при этом l1 (Z) — банахова алгебра двусторон-

них последовательностей со сверткой в качестве умножения.

Основные результаты диссертации, относящиеся к дифферен-

циальному оператору Lθ , θ ∈ [0, 1], содержатся в следующих теоре-

мах.

17

 Теорема 4.1. Пусть θ ∈ {0, 1}. Тогда существует такое на-

туральное число m ≥ 1, что спектр оператора Lθ представим в

виде !

[ [

σ(Lθ ) = σ(m) σn ,

n≥m+1

где σ(m) — конечное множество, состоящее не более чем из 2m + 1

−

чисел, а множества σn = {λ+

n } ∪ {λn }, n ≥ m + 1, не более чем

двухточечные и имеет место следующее асимптотическое пред-

ставление собственных значений:

π(2n + θ) 2 p

λ∓n = ( ) − v

b (0) ∓ v (2n + θ) + η1∓ (n),

vb(−2n − θ)b

ω

где n ∈ Ω(θ) = {n ∈ Z+ : vb(−2n − θ)b

v (2n + θ) 6= 0} и последователь-

ности η1∓ удовлетворяют оценкам:

1 ∓

|η1∓ (n)| ≤ wn β (n),

n 1

где последовательности β1∓ принадлежит пространству l2 и по-

следовательность w представима в виде

 1

|b

v (−2n − θ)| |b

v (2n + θ)| 2

wn = 2 + + , n ∈ Ω(θ).

|b

v (2n + θ)| |b

v (−2n − θ)|

Теорема 4.2. Если в условиях предыдущей теоремы потенци-

ал v является функцией ограниченной вариации, то асимптотиче-

ское представление собственных значений принимает следующий

вид

π(2n + θ) 2 p

λ∓

n = ( v (2n + θ) + η2∓ (n),

) − vb(0) ∓ vb(−2n − θ)b

ω

где n ∈ Ω(θ) = {n ∈ Z+ : vb(−2n − θ)b

v (2n + θ) 6= 0} и последователь-

ности η2∓ удовлетворяют оценкам:

1

|η2∓ (n)| ≤ M1∓ wn ,

n3

18

где постоянные M1+ , M1− > 0 и последовательность w представима

в виде

 1

|b

v (−2n − θ)| |b

v (2n + θ)| 2

wn = 2 + + , n ∈ Ω(θ).

|b

v (2n + θ)| |b

v (−2n − θ)|

Определение 4.1. Пусть θ ∈ {0, 1}. Потенциал v ∈ L2 [0, ω]

называется устойчивым на бесконечном подмножестве Ω ⊂ 2N+θ,

если существуют постоянные Ci = C(Ω, θ) > 0, i = 1, 2, и конечное

множество Ω0 из Ω такое, что имеют место оценки

C1 |b

v (−2n − θ)| ≤ |b

v (2n + θ)| ≤ C2 |b

v (−2n − θ)|,

для всех n из Ω\Ω0 .

Определение 4.2. Потенциал v называется устойчивым, ес-

ли он устойчив на множестве 2N + θ.

Теорема 4.3. Пусть θ ∈ {0, 1}. Тогда существует такое на-

туральное число m ≥ 1, что спектр оператора Lθ представим в

виде !

[ [

σ(Lθ ) = σ(m) σn ,

n≥m+1

где σ(m) — конечное множество, состоящее не более чем из 2m + 1

−

чисел, а множества σn = {λ+

n }∪{λn }, n ≥ m+1, не более чем двух-

точечные. Если потенциал v устойчив на множестве Ω ⊂ 2N + θ,

то имеет место следующее асимптотическое представление соб-

ственных значений:

π(2n + θ) 2 p

λ∓

n =( ) −b v (2n + θ)+η3∓ (n), n ≥ m+1,

v (0)∓ vb(−2n − θ)b

ω

где последовательности η3∓ удовлетворяют оценкам:

1 ∓

|η3∓ (n)| ≤ β (n),

n 3

19

где последовательности β3∓ принадлежат пространству l2 .

Теорема 4.5. Пусть θ ∈ {0, 1}. Тогда существует такое на-

туральное число m ≥ 1, что спектр оператора Lθ представим в

виде !

[ [

σ(Lθ ) = σ(m) σn ,

n≥m+1

где σ(m) — конечное множество, состоящее не более чем из 2m + 1

−

чисел, а множества σn = {λ+

n } ∪ {λn }, n ≥ m + 1, не более чем

двухточечные и имеет место следующее асимптотическое пред-

ставление собственных значений:

π(2n + θ) 2

λ∓

n = ( ) − vb(0) + η5∓ (n),

ω

где последовательности η5∓ удовлетворяют оценкам:

1 1

|η5∓ (n)| ≤ √ |bv (2n + θ)| 2 ξ1 (n),

n

если n ∈ Ω1 (θ) = {n ∈ Z+ : vb(−2n − θ) = 0, vb(2n + θ) 6= 0} и

1 1

|η5∓ (n)| ≤ √ |bv (−2n − θ)| 2 ξ2 (n),

n

если n ∈ Ω2 (θ) = {n ∈ Z+ : vb(−2n − θ) 6= 0, vb(2n + θ) = 0}, где

символами ξ1 (n), ξ2 (n) обозначаются последовательности, принад-

лежащие пространству l2 .

Теорема 4.7. Пусть θ ∈ (0, 1). Тогда существует такое на-

туральное число m ≥ 1, что спектр оператора Lθ представим в

виде !

[ [

σ(Lθ ) = σ(m) σn ,

n≥m+1

где σ(m) — конечное множество, состоящее не более чем из 2m + 1

−

чисел, а множества σn = {λ+

n } ∪ {λn }, n ≥ m + 1, не более чем

20

двухточечные и имеет место следующее асимптотическое пред-

ставление собственных значений:

π(2n + θ) 2

λ∓

n = ( ) − vb(0) + η7∓ (n),

ω

где последовательности η7∓ удовлетворяют оценкам:

1 ∓

|η7∓ (n)| ≤ β (n),

n 7

где последовательности β7∓ принадлежат пространству l2 .

Во втором параграфе четвертой главы формулируются оценки

равносходимости спектральных разложений.

Теорема 4.9. Пусть выполнены условия теорем 2.1 и 3.1. То-

гда для любого подмножества Ω ⊂ Z\{m, ..., m} имеют место

оценки (безусловной равносходимости спектральных разложений).

C1

kPe(Ω) − P (Ω)k2 ≤ 1 ,

θ(α(Ω)) 2

если θ ∈ (0, 1) и

C1

kP(Ω)

e − P(Ω)k2 ≤ 1 ,

(α(Ω)) 2

если θ ∈ {0, 1}, где постоянная C1 > 0.

Теорема 4.10. Если в условиях предыдущей теоремы вместо

проекторов P (Ω), P(Ω) рассмотреть проекторы вида

(I + Γθ,k V )P (Ω)(I + Γθ,k V )−1 ,

(I + Γθ,k V )P(Ω)(I + Γθ,k V )−1 ,

то оценки примут следующий вид

C1

kPe(Ω) − (I + Γθ,k V )P (Ω)(I + Γθ,k V )−1 k2 ≤ kBk2 α(Ω, X),

e

θ(α(Ω))

21

если θ ∈ (0, 1) и

C1

kP(Ω)

e − (I + Γθ,k V )P(Ω)(I + Γθ,k V )−1 k2 ≤ kBk2 α(Ω, X),

e

(α(Ω))

если θ ∈ {0, 1} где постоянная C1 > 0.

Теорема 4.11. Существуют числа m ∈ Z+ , C1 > 0 такие,

что имеют место оценки:

n n

X X C1

kPe(m) + Pek − P(m) − Pk k ≤ √ ,

θ n

|k|=m+1 |k|=m+1

если θ ∈ (0, 1) и

n n

X X C1

kP

e(m) + ek − P(m) −

P Pk k ≤ √ ,

n

k=m+1 k=m+1

если θ ∈ {0, 1}.

Следствие 4.1. Имеет место следующая оценка

n

X n

X

lim kPe(m) + Pek − P(m) − Pk k = 0,

n→∞

|k|=m+1 |k|=m+1

если θ ∈ (0, 1) и

n

X n

X

lim kP

e(m) + ek − P(m) −

P Pk k = 0,

n→∞

k=m+1 k=m+1

если θ ∈ {0, 1}.

22

Глава 1

Основные понятия и используемые

результаты

1.1 Некоторые сведения из теории операторов

Пусть X — комплексное банахово пространство. Через End X

будет обозначаться банахова алгебра линейных ограниченных опе-

раторов, действующих в X .

В диссертации рассматриваются только линейные замкнутые

операторы.

Определение 1.1. Пусть D — линейное подпространство из бана-

хова пространства X . Отображение A : D ⊂ X → X называется

линейным оператором, если выполнены свойства аддитивности и

однородности:

1) A(x + y) = Ax + Ay,

2) A(αx) = αAx, для любых x, y ∈ D(A) и α ∈ C.

Подпространство D называют областью определения оператора

A и обозначают символом D(A).

23

 Символом I будем обозначать тождественный оператор, т.е.

такой оператор I : X → X , что выполнено равенство Ix = x, где

x ∈ X.

Определение 1.2. Линейный оператор A : D(A) ⊂ X → X назы-

вается замкнутым, если его график, т.е. множество точек {(x, Ax) :

x ∈ D(A)} ⊂ X × X , замкнут в X × X , т.е. для любой последова-

тельности xn ∈ D(A) если верно, что xn → x ∈ X и Axn → y ∈ X ,

то x ∈ D(A) и Ax = y.

Определение 1.3. Линейный оператор A : D(A) ⊂ X → X назы-

вается ограниченным на D(A), если существует такое положитель-

ное число C, что kAxk ≤ Ckxk для всех x ∈ D(A). Наименьшее из

таких чисел C и есть норма оператора A, т.е. kAk = sup kAxk.

kxk≤1

x∈D(A)

Теорема 1.1. Линейный оператор A : D(A) ⊂ X → X , с плот-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Карпикова Алина Вячеславовна, 2015 год

Литература

[1] Агранович М. С. Спектральные свойства задач дифракции /

М. С. Агранович // В кн.: Войтович Н.Н., Кацелембаум Б.З. Си-

вов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории ди-

фракции — М.: Наука, 1977. — C. 289–416.

[2] Арнольд В. И. Малые знаменатели. Об отображении окружности

на себя / В. И. Арнольд // Изв. АН СССР, cерия: математика.

—1961. —Т. 25, вып. I. —С. 21–86.

[3] Баскаков А. Г. Замена Крылова-Боголюбова в теории нелиней-

ных возмущений линейных операторов / А. Г. Баскаков. — Пре-

принт № 80 —19. — Киев, 1980. — 44 с.

[4] Баскаков А. Г. Абстрактный вариант замены Крылова-

Боголюбова и некоторые вопросы теории нелинейных воз-

мущений линейных операторов / А. Г. Баскаков // Труды IX

международной конференции по нелинейным колебаниям в 4-х

томах, Киев, Наукова думка. — 1984. — Т. 1. — С. 75–79.

[5] Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа в

теории возмущений линейных операторов / А. Г. Баскаков //

Сиб. мат. журн. — 1983. — Т. 24. — № 1. — С. 21–39.

115

[6] Баскаков А. Г. Метод подобных операторов и формулы регуляри-

зованных следов / А. Г. Баскаков // Известия Высших Учебных

Заведений. — 1984. — № 3. — С. 3–11.

[7] Баскаков А. Г. Формулы регуляризованных следов для степеней

возмущенных спектральных операторов / А. Г. Баскаков // Из-

вестия Высших Учебных Заведений. — 1985. — № 8. — С. 68–71.

[8] Баскаков А. Г. Метод усреднения в теории возмущений линей-

ных дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Диф.

Уравн. — 1985. — Т. 21. — № 4. — С. 555–562.

[9] Баскаков А. Г. Теория о расщеплении оператора и некоторые

смежные вопросы аналитической теории возмущений / А. Г. Бас-

каков // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1986. — Т. 50. — № 4. —

С. 435–457.

[10] Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов /

А.Г. Баскаков — Воронеж: изд-во Воронежского государственно-

го университета, 1987. — 165 с.

[11] Баскаков А. Г. Спектральный анализ возмущённых неквазиана-

литических и спектральных операторов / А. Г. Баскаков // Из-

вестия РАН. Сер. матем. — 1994. — Т. 58. — № 4. — С. 3–32.

[12] Баскаков А. Г. Оценки элементов обратных матриц и спектраль-

ный анализ линейных операторов / А. Г. Баскаков // Известия

РАН. Сер. матем. — 1997. — Т. 61. — № 6. — С. 3–26.

116

[13] Баскаков А. Г. Метод подобных операторов в спектральном ана-

лизе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потен-

циалом / А. Г. Баскаков, А. В. Дербушев, А. О. Щербакова // Из-

вестия РАН, Серия математическая. — 2011. — Т. 75. — № 3. —

С. 3–28.

[14] Велиев О. А. О несамосопряженных операторах Штурма-

Лиувилля с матричными потенциалами / О. А. Велиев // Мат.

заметки. — 2007. — Т. 81. — № 4. — С. 496–506.

[15] Велиев О. А. О базисности Рисса собственных и присоеди-

ненных функций периодической и антипериодической задач

Штурма-Лиувилля / О. А. Велиев, А. А. Шкаликов // Мат. за-

метки. — 2009. — Т. 85. — № 5. — С. 671–686.

[16] Гохберг И. Ц. Введение в теорию несамосопряженных линейных

операторов / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн — М.: Наука, 1965. —

448 c.

[17] Гохберг И. Ц. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом

пространстве и ее приложения / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн — М.:

Наука, 1967. — 508 c.

[18] Далецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных

уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий,

М. Г. Крейн — М: Наука, 1970. — 536 c.

[19] Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд,

Дж. Т. Шварц — М: ИЛ, 1962. — Т1. — 895 c.

117

[20] Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория. Само-

сопряженные операторы в гильбертовом пространстве / Н. Дан-

форд, Дж. Т. Шварц — М.: Мир, 1966. — 1064 с.

[21] Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральные операторы. Т

III. / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц — М.: Мир, 1974. — 661 c.

[22] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том I. / А. Зигмунд —

М.:Мир, 1959. — 616 с.

[23] Карпикова А. В. Асимптотика спектра оператора Хилла–

Шредингера/ А. В. Карпикова // Научные ведомости Белгород-

ского государственного университета.Серия: Физика. Математи-

ка. – 2014. – Т. 176. – № 5. – с. 34-37.

[24] Карпикова А. В. Асимптотика собственных значений интегро–

дифференциального оператора с периодическими краевыми

условиями/ А. В. Карпикова //Вестник Воронежского государ-

ственного университета.Серия: Физика. Математика. — 2015. –

№ 1. – с. 153-156.

[25] Карпикова А. В. Асимптотика собственных значений опера-

тора Штурма–Лиувилля с периодическими краевыми услови-

ями/ А. В. Карпикова // Уфимский математический жур-

нал.Серия: Физика. Математика. – 2014. – Т. 6. – № 3. – с. 28-34

[26] Карпикова А. В. Асимптотика собственных значений оператора

Хилла-Шредингера с квазипериодическими краевыми условия-

ми / А. В. Карпикова // Труды Воронежской Зимней Математи-

ческой Школы С.Г. Крейна. — 2013. — С. 113–114.

118

[27] Карпикова А. В. Спектральный анализ оператора Штурма–

Лиувилля с периодическими краевыми условиями / А. В. Карпи-

кова // Современные методы теории краевых задач, материалы

Воронежской Весенней Математической Школы ”Понтрягинские

чтения - XXI”. — 2014. — С. 88–89

[28] Карпикова А. В. Спектральный анализ оператора Хилла–

Шредингера с негладким потенциалом / А. В. Карпикова //

XXIII Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум,

Сборник тезисов. — 2012. — С. 31.

[29] Карпикова А. В. Асимптотика собственных значений оператора

Хилла-Шредингера с квазипериодическими краевыми условия-

ми / А. В. Карпикова // XXIV Крымская Осенняя Математи-

ческая Школа-Симпозиум, Сборник тезисов. Том 4. — 2013. —

С. 113–114.

[30] Карпикова А. В. Об асимптотике собственных значений опера-

тора Хилла–Шредингера / А. В. Карпикова // Международный

научный журнал "Спектральные и эволюционные задачи". —

2012. — С. 95–98.

[31] Карпикова А. В. Об асимптотике собственных значений опера-

тора Хилла–Шредингера / А. В. Карпикова // Международный

научный журнал "Спектральные и эволюционные задачи". —

2011. — Т. 1. — С. 135–139.

[32] Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като —

М.:Мир, 1972. — 740 с.

119

[33] Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционально-

го анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин — М.: Наука, 1976. —

543 с.

[34] Красносельский М. А. Интегральные операторы в простран-

ствах суммируемых функций. / М. А. Красносельский, П. П. За-

брейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский — М.: Наука,

1966. — 499 с.

[35] Ландау Л. Д. Теоретическая физика. Т.3. Квантовая механика.

Нерелятивистская теория. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц — М. :

Наука, 1989. — 768 c.

[36] Левитан Б. М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака /

Б. М. Левитан, И. С. Саргсян — М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит.,

1988. — 431 с.

[37] Мамедов Х. Р. О базисности Рисса корневых функций некото-

рых регулярных краевых задач / Х. Р. Мамедов // Мат. замет-

ки. — 1998. — Т. 64. — № 4. — С. 558–563.

[38] Маркус А. С. О сходимости разложений по собственным векто-

ром оператора, близкого к самосопряжённому / А. С. Маркус,

В. И. Мацаев — В сб. Мат. исслед. Линейные операторы и инте-

гральные уравнения. — Кишинёв, 1981. — C. 104–129.

[39] Марченко В. А., Островский И. В. Характеристика спектра опе-

ратора Хилла / В. А. Марченко, И. В. Островский // Мат. сбор-

ник. — 1975. — Т. 97(139). — № 4(8). — С. 540–606.

120

[40] Марченко В. А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложе-

ния/ В. А. Марченко — М.: Наука, 1977. — С. 330.

[41] Митягин Б. С. Зоны неустойчивости одномерных периодических

операторов Шрёдингера и Дирака / П. Джаков, Б. С. Митягин

// Успехи математических наук. — 2006. — Т. 61. — № 4. — C. 77–

182.

[42] Наймарк М. А. Линейные дифференциалные операторы /

М. А. Наймарк — М.: Наука, 1969. — 528 с.

[43] Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики

/ Рихтмайер Р. — М.: Мир, 1982. — 488 с.

[44] Савчук А. М. О собственных значениях и собственных функци-

ях оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом /

А. М. Савчук // Мат. заметки. — 2001. — Т. 69. — № 2. — С. 277–

285.

[45] Садовничая И. В. О равносходимости разложений в ряды

по собственным фунциям операторов Штурма-Лиувилля с

потенциалами-распределениями / И. В. Садовничая // Мат.

сборник. — 2010. — Т. 201. — № 9. — С. 61–76.

[46] Садовничий В. А. Теория операторов / В. А. Садовничий. — М.:

Дрофа, 2004. — 382 с.

[47] Садовничий В. А. Следы операторов / В. А. Садовничий,

В. Е. Подольский // Успехи математических наук. — 2006. — Т.

61. — № 5. — C. 89–156.

121

[48] Фридрихс К. О. Возмущение спектра операторов в гильберто-

вом пространстве / К. О. Фридрихс — М.: Мир, 1969. — 232 с.

[49] Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболиче-

ских уравнений / Д. Хенри — М.: Мир, 1985. — 376 с.

[50] Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле,

Р. Филлипс — М.: ИЛ, 1962. — 829 c.

[51]

[52] Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с

потенциалами–распределениями / А. М. Савчук, А. А. Шкаликов

// Тр. ММО. — 2003. — № 64. — С. 159–212.

[53] Щербаков А. О. Метод подобных операторов в спектральном

анализе операторов Дирака и Штурма–Лиувилля: дисс. канд.

физ.- мат. наук / А. О. Щербаков// Воронеж, 2013. -145 с.

[54] Dernek N. On the Riesz basisness of the root functions of the

nonself-adjoint Sturm-Liouville operators / N. Dernek, O-A. Veliev —

Israel J. Math., — 2005. — Vol. 145. — № 1. — P. 113–123.

[55] Engel K-J. One-parameter Semigroups for Linear Evolution

Equations / K-J. Engel, R. Nagel — Springer, 2001. — 586 p.

[56] Gross E. P. Unified Theory of Interacting Bosons / E. P. Gross //

Phys. Rev. — 1957. — Vol. 106. — P. 161.

[57] Karpikova A. V. Asymptotics of eigenvalues of the Sturm–Liouville

operator with quasiperiodic boundary conditions / A. V. Karpikova

122

 // Intern. Scientific Journal "Spectral and Evolution Problems". —

2013. — Vol. 23. — P. 171–173.

[58] Karpikova A. V. Exponential splitting methods / A. V. Karpikova

// Workshop of the 16’th Internet Seminar on the Evolution

Equations. — 2013. — P. 13–15.

[59] Karpikova A. V. Spectral analysis of Sturm-Liouville operator with

periodic boundary conditions / A. V. Karpikova // Spectral Theory

and differential equations. International conference dedicated to the

centenary of B.Levitan . — 2014. — P. 20.

[60] Reed M. Methods of modern mathematical phusics. Vol. IV:

Analysis of operators. / M. Reed, B. Simon — Academic Press,

1978. — 396 p.

[61] Turner R. E. Perturbations of compact spectral operators

/ R. E. Turner // Communications on pure and applied

mathematics. — 1965. — Vol. 18. — P. 519–541.

123