Базисы всплесков в функциональных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Новиков, Игорь Яковлевич

• Новиков, Игорь Яковлевич
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Новиков, Игорь Яковлевич

Содержание

1 Введение

1.1 Общая характеристика работы

1.1.1 Актуальность темы

1.1.2 Цель работы

1.1.3 Научная новизна

1.2 Основное содержание работы

1.3 Определения и обозначения

2 Некоторые факты общей теории всплесков, используемые в работе

2.1 Стационарные всплески и существование масштабирующей функции

2.2 Кратномасштабный анализ в Ь2(И)

2.3 Регулярные КМА в Ь2{К)

2.4 Система Уиттакера-Шеннона-Котельникова

2.5 Всплески Мейера

2.6 Ортогональные всплески с компактным носителем

2.7 Константы неопределенности

2.7.1 Соотношения между радиусами масштабирующего фильтра и масштабирующей функции

3 Безусловные базисы всплесков в пространствах Лизоркина-Трибеля и Бесова

3.1 Оптимальные базисы в пространстве С(0,1)

3.2 Безусловные базисы всплесков в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля

3.2.1 Определения и предварительные сведения

3.2.2 Конструкция всплескового базиса

3.2.3 Эквивалентные нормы в пространствах В и ^

3.2.4 Основные результаты и комментарии

3.2.5 Доказательства

3.3 Базисы всплесков и линейные операторы в пространствах Лизоркина-Трибеля

3.3.1 Введение

3.3.2 Определения и предварительные сведения

3.3.3 Формулировки результатов и комментарии

3.3.4 Доказательства

4 Модифицированные всплески Добеши, сохраняющие ло-кализованность с возрастанием гладкости

4.1 Описание конструкции

4.2 Предельное поведение модифицированных

всплесков

4.3 Константы неопределенности для модифицированных всплесков Добеши

4.4 Минимальные константы неопределенности

для фильтров простейшей модификации и для классических фильтров Добеши

4.5 Асимптотика нулей полиномов Бернштейна, используемых в построении модифицированных всплесков Добеши

4.5.1 Введение

4.5.2 Расположение нулей полиномов Бернштейна

4.5.3 Вспомогательные результаты

5 Нестационарные всплески

5.1 Общая теория нестационарных всплесков

5.2 Нестационарные бесконечно дифференцируемые орто-нормированные всплески с компактным носителем

5.3 Построение системы Ф

5.4 Свойства системы Ф

5.5 Константы неопределенности для Ф

5.6 Нестационарные всплески с модифицированными фильтрами Добеши

5.7 Свойства системы Фа

5.8 Константы неопределенности для Фа

5.9 Базисы нестационарных всплесков в пространствах Соболева

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Базисы всплесков в функциональных пространствах»

1 Введение

1.1 Общая характеристика работы 1.1.1 Актуальность темы

Всплеском, в самом общем виде, называют определенную на числовой оси функцию ф, имеющую нулевое среднее и достаточно быстрое убывание на бесконечности. Термин всплеск предложен К.И. Осколковым в качестве эквивалента английского термина wavelet (фр. - ondelet-te), что буквально переводится как маленькая (имеется в виду продолжительность) волна, волночка. Термин всплеск лучше отражает суть дела, так как выше упомянутые свойства означают, что функция ф представляет собой затухающее колебание. Всплески используются или в качестве ядра интегрального преобразования

(И^/)М) = /R/WV> dt, а, Ъ € R, а > 0;

или в качестве генерирующей функции для построения базиса при помощи дилатаций, т.е. сжатий с сохранением нормы в L2(R)

:= ф,o(t) := 2''/fy(2>'t), j <= Z,

и сдвигов

:= ф^ - k2~j) = 2^2ф(2Н - к), ке Z.

Теория всплесков лежит на пересечении чистой математики, вычислительной математики, преобразования сигналов и изображений.

Простейшим примером всплесков нулевой гладкости являются функции Хаара [Нааг]. Бесконечно дифференцируемые всплески, убывающие на бесконечности как 1/х, рассмотрены X. Трибелем [Triebel 77]. Экспоненциально убывающие всплески изучены Ж.-О. Стрембергом [Stromberg] (см. также [Meyer 88]), П.Ж. Лема-ри [Lemarie 88] и Г. Бэтлом [Battle]. В работе [Meyer 87] И. Мейер построил бесконечно дифференцируемый всплеск с компактным спектром. И. Добеши сконструировала всплески любого конечного порядка гладкости с компактным носителем [Daubechies 88]. Единый подход к построению систем всплесков предложен С. Малла [Mallat].

Всплесковый анализ находит все более широкое применение в различных областях науки, так как он дает более подробную информацию о сигнале, изображении или операторе, чем стандартный анализ Фурье. Интегральное всплесковое преобразование дает одновременно локальную информацию о функции и о ее преобразовании Фурье, причем при анализе высокочастотных составляющих функции локализация более сильная (для повышения точности), а при анализе низкочастотных - локализация более слабая (для получения полной информации). Всплесковые ряды очень удобны для приближенных вычислений, поскольку количество операций, необходимых для вычисления коэффициентов разложения, так же, как и количество операций для восстановления функции по ее всплесковым коэффициентам, пропорционально количеству отсчетов функции. Перечисленные особенности всплесков делают их очень популярными в самых различных приложениях: при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов; при обработке и синтезе различных сигналов, например, речевых; при анализе изображений; для изучения турбулентных полей; для сжатия больших объемов информации и т.д. Важной областью применения всплесков является конструктивное описание различных функциональных пространств и построение безусловных базисов в них.

Данная работа посвящена изучению свойств всплесковых базисов в пространствах дифференцируемых функций и построению новых ор-тонормированных всплесковых базисов с различными дополнительными свойствами.

1.1.2 Цель работы

- исследовать аппроксимативные свойства периодических всплесков Мейера в пространстве непрерывных функций;

- построить безусловные базисы всплесков в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля и изучить с их помощью непрерывность псевдодифференциальных операторов, действующих в этих шкалах;

- сконструировать всплески с компактным носителем, сохраняющие локализованность при возрастании гладкости;

- исследовать асимптотику нулей специальных полиномов Бернштейна, возникающих при построении всплесков с компактным

носителем и сохраняющих локализованность при возрастании гладкости;

- построить нестационарные бесконечно дифференцируемые всплески с компактными носителями, изучить их локализованность и их базисные свойства в пространствах Соболева;

Методика исследований. Основными методами исследований являются методы математического анализа и теории функций. Новизна методов состоит:

- в использовании тензорного произведения разномасштабных всплесков для построения базисов в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля;

- в исследовании образов всплесков при действии псевдодифференциальных операторов;

- в применении полиномов Бернштейна для построения масштабирующих фильтров всплесков с компактным носителем;

- в разработке нестационарного кратномасштабного анализа для конструирования бесконечно дифференцируемых всплесков с компактным носителем.

1.1.3 Научная новизна

Основные результаты работы состоят в следующем.

1) Доказано, что периодические всплески Мейера для любого натурального к являются /с-оптимальным базисом пространства непрерывных функций С(0,1), что является положительным ответом на вопрос П.Л. Ульянова.

2) Построены безусловные базисы всплесков в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля; как следствие получен безусловный базис в анизотропных пространствах Соболева

(з) = Р<Е(1,оо).

3) Доказаны теоремы о непрерывном действии анизотропных псевдодифференциальных операторов в шкале анизотропных пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля, включающей в себя шкалу анизотропных пространств Соболева.

4) Сконструированы всплески с компактным носителем, сохраняющие локализованность при возрастании гладкости.

5) Доказано, что предельными кривыми для нулей специальных полиномов Бернштейна, возникающих при построении всплесков из Пункта 4), являются две лемнискаты, связанные с областью сходимости полиномов Бернштейна в комплексной плоскости.

6) Построены нестационарные бесконечно дифференцируемые всплески с компактными носителями, изучена локализованность этих всплесков и доказано, что они являются безусловным базисом для всех пространств Соболева одновременно.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории всплесков, теории аппроксимации, для изучения псевдодифференциальных операторов.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 18 работах, перечисленных в списке литературы. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.

Аппробация. Результаты докладывались на различных семинарах и конференциях, например: на семинарах В. Б. Демидовича и С. В. Ко-нягина и Б. С. Кашина и С. В. Конягина в МГУ (2000); на семинаре С. А. Теляковского в МИРАНе (2000); на семинаре О. В. Бесова и Л. Д. Кудрявцева в МИРАНе (1992, 1993); на семинаре С. Б. Стечкина в МГУ (1993, 1994); на семинарах Н. Дин (1993, 1995) и А. М. Олевского (1995) в Тель-Авивском университете; на семинаре И. Линденштраус-са в Иерусалимском университете (1993, 1995); на семинарах А. Коэна (1993, 1995) и И. Мейера (1995) в Парижском университете; на семинаре Ж. Гарсиа-Куэрве, университет Аутонома, Мадрид, Испания (1992).

Структура и объем работы. Диссертация объемом 214 страниц состоит из пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 88 наименования.

1.2 Основное содержание работы

Во введении приводятся формулировки основных результатов, полученных в работе, а также некоторые определения и обозначения.

В Главе 2 излагаются некоторые факты общей теории всплесков, используемые в работе.

Третья глава посвящена всплесковым базисам в пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля.

В § 3.1 изучаются периодические всплески Мейера. Пусть С(0,1) - пространство 1-периодических непрерывных функций, к - неотрицательное целое число. Базис {íc¿}¿€n пространства С(0,1) называют fc-оптимальным, если существует константа С, такая, что для произвольной функции / € С(0,1) и любого т Е N

\\f - SM)\\c(o¿) < Сшш f),

где Sm(f) - m-ая частная сумма разложения / в ряд по /) ~ ¿-ый модуль непрерывности /. Известно, что система Хаара является О-оптимальной [Алексич], система Фабера-Шаудера - 1-оптимальна [Ciesielski 59], [Матвеев]. В работах [Горячев 73], [Субботин], [Ciesielski 75] ¿¡-оптимальные базисы были построены для произвольного к £ N. В [Горячев 74, с.10], [Ульянов 89, с.277] Ульяновым П.Л. поставлен вопрос: существует ли базис пространства С(0,1), являющийся А;-оптимальным одновременно для всех целых неотрицательных к?

Периодические всплески Мейера определяются следующим образом:

70« := 1, 72i+rW := У'2 £ ФМ(^ + ^к - г),

kez

где фм - всплеск Мейера, j > 0, 0 < г < 2J. И. Мейер доказал, что функции {7n}£Lo образуют ортонормированный базис в Lp(0,1), 1 < р < оо, и в С(0,1) [Meyer 87].

Основным результатом § 3.1 является

Теорема 1.1 Система периодических всплесков Мейера {7w}£Lo является k-оптималъным базисом в С(0,1) для любого неотрицательного целого к.

Целью § 3.2 является построение безусловного базиса в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля. Как следствие получен безусловный базис в анизотропных пространствах Соболева s = (si,...,sn), р G (1,оо). Случай изотропных пространств Бесова рассмотрен П.Ж.Лемари и И.Мейером [LM]. Утверждение о базисности всплесков Мейера в изотропных пространствах Лизоркина-Трибеля может быть получено методами статьи М. Фрезье, Б. Яверса об атомарном разложении, которое аналогично всплесковому [FJ].

Конструкция всплесковых базисов в анизотропном случае основана на использовании всплесков Мейера-Давида, которые наиболее отвечают методу декомпозиции для пространств анизотропной гладкости. Всплески Мейера-Давида являются модификацией всплесков Мейера [Meyer 87]. В них параметр сжатия 2 заменяется произвольным числом b вида 6=1 + 1/h, где h - натуральное число. Г.Давид построил функции iph{t)i такие, что bi^ifthfot — j G Z, к G Z, образуют ортонормированный базис в L2(R). Преобразование Фурье всплесков Мейера-Давида имеет компактный носитель.

В дальнейшем носитель преобразования Фурье функции будем называть спектром.

Для определения анизотропных пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля используется метод декомпозиции (см., например, [Трибель, Гл. 10], [Берколайко 87]). Поэтому все координаты вектора (5) (sb... ,sn), определяющего анизотропную гладкость, предполагаются либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными, либо одновременно равными нулю.

Далее используются следующие обозначения:

х — ..., Xjij G R ,

Л - индекс, пробегающий множество натуральных чисел от 1 до щ

а — (cki, . .., ап) - мультииндекс, а\ G N;

А

И :=

А

яН

Da •=-•

0®?1... 0®«"'

\Е\ - мера Лебега множества Е G Rn;

а+ max{a,0}, a G R1;

[а] - наибольшее целое, непревосходящее а;

знак <С означает неравенство < с некоторой константой;

/ ~ д эквивалентно

^ и .Р-1 - прямое и обратное преобразования Фурье,

f'•=F(f).

5(КП) - пространство Шварца;

5'(КП) - двойственное к Б пространство обобщенных функций. При яд ф 0 число 5 определяется соотношением

1 _ 1 ^ 5 П д Яд

а при 5д = 0 в полагается равным 0. Число в называется усредненной гладкостью.

Вектор (а) := (а1,...,ап) с координатами ад в/вх при в ф 0 называется вектором анизотропии. При в = 0 все ад полагаются равными единице.

Введем также обозначения:

||ж||(0) = тах^д!1/^ - анизотропное расстояние;

М(а) = Ескдад - анизотропный порядок мультииндекса; Л

П[ := ||£||(а) < СЩ, 3 Е К;

Г1 := п2; Г; := П,-+1\П,-_Ь з> 2-

Пусть {сДО}?0 _ последовательность неотрицательных функций аз Е С°°(11те), з Е К, таких, что

эирро^ С Tj•,

< са для любых мультииндексов а, $ Е £ Е Н/1;

7 = 1

Обозначим Ц(х) :=

Определение 1.1 Анизотропное пространство Лизоркина-Трибе-ля 0 < р < оо, 0 < д < оо, - это (квази)банахово простран-

ство функций / Е 5"(КП), для которых конечна (квази)норма

= (1.1) 10

Случай р = оо требует несколько иного подхода, соответствующее определение приводится в диссертации.

Путем замены в (1.1) нормы Lp(lq) на норму lq(Lp), определяются пространства Бесова B$(Rn) := О < р, q < оо.

Система всплесков с компактными спектрами является безусловным базисом в пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля, если спектры функций системы образуют совокупность коридоров, близкую к {Tj}, фигурирующей в определении пространств. В изотропном случае это легко достигается за счет тензорных произведений всплесков Мейе-ра. Анизотропная ситуация была бы аналогична изотропной, если бы существовали системы всплесков одной переменной, получающиеся растяжением исходной функции в W раз, j G Z, для любого b > 1. В этом случае искомый безусловный базис получался бы путем тензорного перемножения систем всплесков, которые по переменной х\ имеют показатель растяжениями 2°А. Однако системы всплесков построены только для показателей растяжения b = h Е N, поэтому прихо-

дится строить безусловный всплесковый базис в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля, группируя в блоки всплески Мейера-Давида.

Пусть h - натуральное число, для которого < min2aA. Для

j = 2,3,... определим числа как наименьшие из целых чисел, удовлетворяющих неравенствам

log6 С + (j - l)aA log6 2 - log6 г < lf] + 1 < log6 С + jax log6 2 - logb r,

h + 1 2trh2

где b := —-—, r :=

И ' ' 1 + 2/*

Пусть далее > 2, - это множество пар (ш,е) п-мерных це-

лочисленных векторов т и п-мерных наборов знаков е = (ех,..., еп)] бд = 0,1; б ф 0; таких, что координата т\ принимает фиксированное значение т\ = + 1, если бд = 0, и пробегает все значения из множества {/^ + 1,..., ^+1}, если бд — 1. Пусть

Рассмотрим множества троек тг-мерных векторов:

М{*] := {(т,Л,е) : (т,е) € Л/^а), /с £ гл}, з € N5

7И(а) := 0 М{-

г (а)

Пусть - это при бд = 1 и при бд = 0, где фк(Ь) и </?/>(£)

- всплески Мейера-Давида (см. (3.4)). Рассмотрим всплески

А

где то, к е Z7г, А) := ^Л) если бд = 1; и := к\/1г, если бд = 0. Через ф(е\х) обозначим фоо(х). Множество

ф] } := {Фтк}(щ^^ем^

будем называть ^'-м блоком,

фИ := и ф«

7=1

Отметим, что

и вирр^^ С ^ иг^+1.

Эти множества образуют коридоры, которые могут с точностью до эквивалентности служить основой для определения пространств В^ и Спектры тензорных произведений, состоящих из функций фь,

заполняют углы коридора, а спектры произведений, в которых участвуют функции (рь, заполняют параллелепипеды, соединяющие эти углы.

Для формулировки теоремы о базисности требуются обозначения:

= [кхЬ-т\ (кх + 1)6-"*)},

с$ = {хепп:ххе М-Ч (их +1)2-^)}, С» := {(то, А;, б) : (то, б) £ к € Ъ\ Р^ П ф 0},

Хе ~ характеристическая функция множества Е, хе \Е\~1^2хе- Параллелепипеды Р^к! Ятк естественно называть (а)-кубами. Если (5 = О^Ц - (а)-куб, то хц = ..., - левая нижняя вершина

(а)-куба . Анизотропное расстояние ||ж — ?/||(а) между двумя различными вершинами х,у (а)-куба равно 1{С}) := 2~К Таким образом, 1(Сявляется аналогом длины ребра изотропного куба.

Пусть Ца) {0$, 7 6 N5 V 6 Zn} - совокупность (а)-кубов; если С} = то := С,,,.

Определение 1.2 Пространство 0 < р < оо, 0 < д < оо, - это (квази) банахово пространство числовых последовательностей с := {сд}деП(а), для которых конечна (квази)норма

"> Jpq

У3 Е сдхд

т=2->

оо

3=1

Заменяя норму Ьр(1д) на норму 1я(Ьр), получим определение пространств 0 < р, д < оо.

Ниже, в формулировках теорем о безусловном базисе в О < р < оо, 0 < д < оо, и 0 < р, д < оо для несепарабельного случая рассматриваются замыкания пространства 6"(КП) в соответствующих нормах.

В дальнейшем показатель анизотропии пространства (а) будет произвольным, но фиксированным вектором, поэтому в обозначениях ||ж||(а), , Ца) этот индекс писаться не будет. То же самое касается термина (а)-куб. Индекс (а) пишется только в обозначениях анизотропного порядка мультииндекса во избежание путаницы с обычным порядком.

Основным результатом § 3.2 является следующая теорема.

Теорема 1.2 А. Ортонормир о ванная система Ф образует безусловный базис в 0 < р < оо, 0 < д < оо, т.е. любая функция f £ ^^ разлагается в ряд Фурье

/(*) = £ Е <&Ф$к(х),

.7=1 (т,к,е)еМ^

причем

If F

\J ' pq

£

(m,k,e)£CQ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Новиков, Игорь Яковлевич, 2000 год

Список литературы

[Алексии] Алексии Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: ИЛ. 1963.

[Берколайко 87] Берколайко М.З. Следы на произвольном координатном подпространстве функций из обобщенных пространств Соболева. 1,11 // Исследования по геометрии и математическому анализу: Тр. ин-та мат. СО АН СССР. Новосибирск: Наука, 1987. Т.7. С.30-43; Т.9. С.34-41.

[Берколайко 90] Берколайко М.З. Выпуклость и вогнутость банаховых идеальных пространств. Сиб. мат. журн. 1990. 31, 3. С. 11-18.

[Бернштейн] Бернштейн С. Demonstration de theoréme de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilities. Сообщ. Харьковского мат. общ. сер. 2. 1912-1913. 13, 1. С.1-2.

[БИН] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.:Наука. 1996. 480 с.

[Бочкарев] Бочкарев C.B. Базисы в функциональных пространствах. Тр. МИАН. 1989. 190. С.22-39.

[Горячев 73] Горячев А.П. О кусочно-полиномиальных базисах в пространстве непрерывных функций. Изв. вузов. 1973. 1. С.37-50.

[Горячев 74] Горячев А.П. Ряды по кусочно-полиномиальным базисам. Автореф.канд.duc. МГУ. Москва. 1974.

[Дынькин] Дынькин Е.М. Методы теории сингулярных интегралов. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 15. (Итоги науки и техники) С. 197-292.

[Казарян, Лизоркин] Казарян К.С., Лизоркин П.И. Мультипликаторы, базисы и безусловные базисы в весовых пространствах В и SB. Тр. МИАН. 1989. 187. С.111-130.

[Канторович] Канторович Л.В. О сходимости последовательности полиномов Бернштейна за пределами основного интервала. Изв. АН СССР. 1931. С.1103-1115.

[ЛСУ] Ладыженскал O.A., Солонников В.А., Уральцева И.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 237 с.

[ЛМ] Лионе Ж., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Наука, 1971. 377с.

[Лизоркин 65] Лизоркин П.И. О преобразованиях Фурье в пространствах Бесова. Нулевая шкала B°e // ДАН СССР. 1965. Т.163. С.1318-1321.

[Лизоркин 74] Лизоркин П.И. Свойства функций из пространств А7р9. Тр. МИАН СССР. 1974. 131. С.158-181.

[Лизоркин 77] Лизоркин П.И. О базисах и мультипликаторах в пространствах Вгрв. Тр. МИАН. 1977. 143. С.88-104.

[Матвеев] Матвеев В.А. О рядах по системе Шаудера. Мат.заметки. 1967. 2,3. С. 267-278.

[Никольский] Никольский- С.М. Приближение функций многих комплексных переменных и теоремы вложения. М.:Наука. 1977. 456 с.

[Н99] Новиков И.Я. Нестационарные бесконечно дифференцируемые всплески с компактными носителями и равномерно ограниченными константами неопределенности. Вестник Воронежского госуниверситета. Серия физики, математики. 2000. Вып. 1. С. 132142.

[Но99] Новиков И.Я. Асимптотика нулей полиномов, связанных с модифицированными всплесками Добеши. Труды математического факультета (новая серия). Воронеж: ВРУ. 1999. N 4. С. 62-71.

[Нов99] Новиков И.Я. Nonstationary orthonormal infinitely differentiable compactly supported wavelets with uniformly bounded uncertainty constants // Self-Similar Systems. Dubna: Joint Institute for nuclear research. 1999. C. 110-115.

[Нови99] Новиков И.Я. Всплески (краткий обзор основ теории) // Материалы 12-ой Сибирской Школы, Новосибирск, 18-23 Июля, 1998. Новосибирск: Изд-во института математики им. С. JI. Соболева, 1999. С. 92-111.

[Н98] Новиков И.Я. Константы неопределенности для модифицированных всплесков Добеши. Изв. Ту л. го с. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ, 1998. Т. 4, вып. 1. С. 107111.

[НСт98] Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков. Успехи матем. наук. 1998. Т. 53, 6. С. 53-128.

[НСт97] Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков. Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3, вып. 4. С. 999-1028.

[НСе96] Новиков И.Я., Семенов Е.М. Haar Series and Linear Operators. Series: Mathematics and its applications (Kluwer Academic Publishers): V. 367. 1996. 218 p.

[H95] Новиков И.Я. Modified Daubechies wavelets preserving localization with growth of smoothness. East J. Approximation. 1995. V. 1, N 3. C. 341-348.

[БН95] Новиков И.Я. Базисы всплесков и линейные операторы в анизотропных пространствах Лизоркина-Трибеля. Труды МИРАН. 1995. Т. 210. С. 5-30. (совместно с М.З.Берколайко)

[БеН95] Новиков И.Я. Базисы всплесков и линейные операторы в анизотропных пространствах Лизоркина-Трибеля. Доклады РАН. 1995. Т. 340, 5. С. 583-586. (совместно с М.З.Берколайко)

[БН94] Новиков И.Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем. Матем. заметки. 1994. Т. 56, 3. С. 3-12. (совместно с М.З.Берколайко)

[БеН94] Новиков И.Я. Образы всплесков при действии операторов свертки. Матем.заметки. 1994. Т. 55, 5. С. 13-24. (совместно с М.З.Берколайко)

[Н94] Новиков И.Я. On the construction of non-stationary orthonormal infinitely differentiable compactly supported wavelets. Functional differential equations, Israel seminar. 1994. 2. C. 145-156.

[БН93] Новиков И.Я. Безусловные базисы в пространствах анизотропной гладкости. Тр. МИРАН. 1993. Т. 204. С. 35-51. (совместно с М.З.Берколайко)

[БН92] Новиков И.Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем. Докл. РАН. 1992. Т. 326, 6. G. 935-938. (совместно с М.З.Берколайко)

[БеН92] Новиков И.Я. Базисы всплесков в пространствах дифференцируемых функций анизотропной гладкости. Докл. РАН. 1992. Т. 323, 4. С. 615-618. (совместно с М.З.Берколайко)

[Н92] Новиков И.Я. Онделетты И.Мейера - оптимальный базис в С(0,1). Матем.заметки. 1992. Т. 52, 5. С. 88-92.

[Орловский] Орловский Д.Г. О мультипликаторах в пространствах BrPy9. Anal. Math. 1979. 5. Р.207-218.

[ПС] Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа, т.2. М.: Наука, 1978. - 431 с.

[Привалов 87] Привалов А.А. О росте степеней полиномиальных базисов и приближении тригонометрических проекторов. Мат. заметки. 1987. 42, 2. С.207-214.

[Псевдо] Псевдодифференциалъные операторы. М.: Мир, 1967. 368 с.

[Рвачев] Рвачев B.JL, Рвачев В.А. Неклассические методы теории приближений в краевых задачах. Киев: Наукова Думка. 1979.

[Субботин] Субботин Ю.Н. Приближения сплайнами и гладкие базисы в С(0,2тг). Мат.заметки. 1972. 12,1. С.43-51.

[Стейн] Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

[Тейлор] Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир,

1985. 469 с.

[Трибель] Трибель X. Теория функциональных пространств. М.: Мир.

1986.

[Ульянов 89] Ульянов П.Л. О некоторых результатах и задачах из теории базисов. Записки науч.семин. ЛОМИ. 1989. 170. С.274-284.

[Battle] Battle G. A block spin construction of ondelettes. Pt 1: Lemarie functions Commun. Math. Phys. 1987. Vol.110. P.601-615.

[BCR] Beylkin G., Coifman R., Rokhlin V. Past wavelet transforms and numerical algorithms. I. Res. Rep. JALEU/DCS/RR-696. 1989. P.l-46.

[BDR] de Boor C., DeVore R., Ron A. On the construction of multivariate (pre)wavelets. Constr.Approx. 1993. 2. 3. C. 123-166.

[Chui] Chui C.K. An Introduction to Wavelets. New York: Academic Press. 1992.

[ChW] Chui C.K., Wang J. High-Order Orthonormal Scaling Functions and Wavelets Give Poor Time-Frequency Localization. CAT Report #322. 1994. P. 1-24.

[Ciesielski 75] Ciesielski Z. Constructive function theory and spline systems. Stud.Math. 1975. 53,3. C.277-302.

[Ciesielski 59] Ciesielski Z. On Haar functions and on the Schauder basis of the space C(0,1). Bull.Acad.Polon.Sci. 1959. 7,4. C.227-232.

[CD] Cohen A.,Dyn N. Nonstationary subdivision schemes and multiresolution analysis. SI AM J. Math.Anal. 1996. V.27. P.1745-1769.

[Cordes] Cordes H.O. Elliptic pseudo-differential operators: An abstract theory. Berlin: Springer-Verlag, 1979. 331 p.

[Daubechies 88] Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets. Comm.Pure Appl.Math. 1988. 41. C.909-996.

[Daubechies 92] Daubechies I. Ten lectures on wavelets. CBMS-NSF. Regional conference series in applied mathematics, SIAM. 1992.

[DD] Deslauriers G., Dubuc S. Interpolation dyadique. Fractals, dimensions non entières et applications. G. Cherbit, ed., Masson, Paris, 1987. P. 44-55.

[DR] Dyn N., Ron A. Multiresolution analysis by infinitely differentiable compactly supported functions. CMS Technical Summary Report. 1992. N. 93-4.

[FJ] Friezier M., Jawerth B. A discrete transform and decomposition of distribution spaces. J.Funct.Anal. 1990. 93, N 1. P.34-170.

[FJW] Friezier M., Jawerth B., Weiss G. Littlewood-Paley theory and the study of function spaces. CBMS-AMS Regional Conf. Ser. N 79. 1991.

[Gripenberg] Gripenberg G. A necessary and sufficient condition for the existence of father wavelet Studia Mathematica. 1995. 114, 3. P.207-226.

[Haar] Haar A. Zur theorie det orthogonalen functionensysteme. Math. An-nalen 1910. 69. P.331-371.

[KL] Kateb D., Lemarie-Rieusset P.G. The phase of the Daubechies filters. Universite de Paris-Sud Mathématiques. Preprint 62. 1994.

[Lemarie 88] Lemarie P.G. Ondelettes a localisation exponentielle J. math, pures et appl. 1988. 67. P.227-236

[Lemarie 92] Lemarie-Rieusset P.G. Existence de "fonction-pere" pour le ondelettes a support compact. C.R.Acad.Sei.Paris I. 1992. V.314. P.17-19.

[LM] Lemarie P.G., Meyer Y. Ondelettes et bases hilbertiennes. Revista Matematica Iberoamericana. 1986. 2,1-2. C.l-18.

[Lorentz] Lorentz R.A., Sahakian A.A. Orthogonal trigonometric Schauder bases of optimal degree for C(K). Journal of Fourier Analysis and Applications. 1994. 1. P.103-112.

[Mallat] Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2(R). Trans.AMS 1989. 3,15. C.69-88.

[Marshall] Marshall J. Weighted parabolic Triebel spaces of product type. Forum Math. 1991. 3. P.479-511.

[Meyer 87] Meyer Y. Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et algebres d'operateurs. Asterisque. 1987. 145-146. C.206-223.

[Meyer 88] Meyer Y. Constructions de bases orthonormees d'ondelettes. Rev. mat. iberoamer. 1988. 4, 1. P.31-39.

[Meyer 89] Meyer J. Wavelets and operators. Lect. Notes Math. 1989. Vol.137.

[Meyer 90] Meyer Y. Ondelettes et Operateurs. Paris: Hermann. 1990.

[Offin] Offin D., Oskolkov K. A note on orthonormal polynomial bases and wavelets. Constr.Approx. 1993. 9. P.319-325.

[PS] Polya G., Szego G. Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis, v.II. Berlin-Heidelberg-New-York. 1971.

[Riviere] Riviere N. M. Singular integrals and multiplier operators. Ark.mat. 1971. 9. P.243-278.

[Seeger] Seeger A. A note on Triebel-Lizorkin spaces. Approx.and Func. Spaces. Banach Center Publ. 1989. 22. P. 391-400.

[Shekhtman 89] Shekhtman B. On the norms of interpolating operators. Israel J. Math. 1989. 64, 1. P.39-48.

[SS] Shen J., Strang G. The zeros of the Daubechies polynomials. Massachusetts Institute of Technology. Preprint. 1995.

[Stromberg] Stromberg J.-O. A modified Franklin system and higher order spline systems on Rn as unconditional basis of Hardy spaces. Wadsworth Math. Ser. 1982. 2. P.475-493.

[SV] Soman A.K., Vaidyanathan P.P. Orthonormal wavelets and parauni-tary filter banks. IEEE Trans, on Sign.Proc. 1993. 41,3. C. 1170-1183.

[Temme 1996] Temme N.M. Asymptotics and numerics of zeros of polynomials that are related to Daubechies wavelets. Centrum voor Wiskunde en Informática. Preprint AM-R9613. 1996.

[Temme 1992] Temme N.M. Asymptotic invertion of the incomplete beta function. J. Comp. Appl. Math. V.41. 1992. P.145-157.

[Triebel 77] Triebel H. Multipliers and unconditional Schauder bases in Besov spaces. Stud. math. 1977. 60. P.145-156.

[Torres ] Torres R.H. Boundedness results for operators with singular kernels on distribution spaces. Mem. AMS. 1991. 90, 442. P.l-172.

[Volkmer] Volkmer H. On the regularity of wavelets. IEEE Trans. Inf. Theory. 1992. 38,2. C.872-876.

[Whittaker] Whittaker J. T. Interpolatory function theory. Cambridge: Cambridge University Press. 1935.