Распределение собственных значений и сходимость биортогональных разложений по корневым функциям обыкновенных дифференциальных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Курбанов, Вали Махарам оглы

• Курбанов, Вали Махарам оглы
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Курбанов, Вали Махарам оглы

Введение.

1 Некоторые свойства корневых функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов.

1.1 Оценка собственных и присоединенных функций

1.2 Односторонние формулы сдвига для корневых функций

1.3 Формула среднего значения для корневых функций.

1.4 Оценки для функций £) и К (г, £).

1.5 Оценки для функций F(t, г) ж ¡л).

2 Распределение собственных значений и критерий бесселевости систем корневых функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов.

2.1 Основные понятия и формулировки основных результатов.

2.2 Доказательство теорем 2.1.1, 2.1.2.

2.3 Необходимость условия " сумма единиц".

2.4 Критерии бесселевости и безусловной базиености. Некоторые примеры.

3 Равносходимость биортогональных разложений по корневым функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов.

3.1 Основные понятия. Оценка коэффициентов Фурье.

3.2 Неравенство Хаусдорфа-Юнга для систем корневых функций и вспомогательная лемма.

3.3 Теоремы равносходимости и базисности при Р\(х) = 0.

3.4 Оценка разности У (ж)^(у-1/, х) - £„(/, х).

3.5 Теоремы о равносходимости при Р\(х)р^0.

3.6 Некоторые примеры.,

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распределение собственных значений и сходимость биортогональных разложений по корневым функциям обыкновенных дифференциальных операторов»

Настоящая диссертация посвящена исследованию спектральных свойств несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов.

Исследования по спектральной теорий обыкновенных дифференциальных операторов берут свое начало еще с классических работ Ж. Лиувилля, Ш. Штурма, а также более поздних работ В. А. Стеклова [1, 2], Л .Д. Та-маркина [3, 4], Д. Биркгофа [5] и других авторов, в которых изучались вопросы асимптотики собственных значений и сходимости спектральных разложений для различных классов краевых задач.

При построении спектральной теории дифференциальных операторов фундаментальную роль играют два вопроса: 1) вопрос о базисности систем корневых функций изучаемого дифференциального оператора в том или ином классе функций, 2) вопрос о равносходимости спектрального разложения произвольной функции из того или иного класса по системе корневых функций изучаемого дифференциального оператора с разложением той же функции в тригонометрический ряд.

Длительное время основным объектом исследования были спектральные свойства самосопряженных дифференциальных операторов. Однако в последние десятилетия возник целый ряд новых, неклассических задач математической физики, приводящих к изучению спектральных свойств несамосопряженных дифференциальных операторов. Примером задач такого рода может служить известная задача Бицадзе-Самарского [б] с нелокальными краевыми условиями для уравнения теплопроводности.

Переход к несамосопряженным задачам существенно усложнил исследование спектральных свойств дифференциальных операторов. Было замечено, что система собственных функций несамосопряженного оператора, вообще говоря не только не образует базис, по которому можно разложить произвольную функцию из класса но и не является полной в Ь2. Поэтому эта система должна быть пополнена так называемыми присоединенными функциями. В несамосопряженных задачах собственные и присоединенные функции (которые называются также корневыми функциями), вообще говоря, не ортогональны в и ни их минимальность, ни их замкнутость еще не влечет за собой их базисности в этом пространстве. Таким образом, переход к несамосопряженным задачам потребовал выработки новых, более тонких подходов к изучению спектральных свойств по сравнению с самосопряженным случаем.

Большой заслугой М.В. Келдыша (см. [7, 8]) является установление факта полноты в 1/2 специально построенной системы корневых функций (названной М.В. Келдышем канонической системой) для широких классов краевых задач.

Вопрос о полноте систем корневых функций на сегодняшний день достаточно хорошо изучен для весьма широкого класса краевых задач (см., в частности, работы В.Б. Лидского [9, 10), М.А. Наймарка. [11, 12], В.Н. Ви-зитея и A.C. Маркуса [13], A.C. Маркуса [14], А.М. Крола [15], A.A. Шка-ликова. [16, 17], С.М. Пономарева [18], Н.М. Круковского [19, 20]).

После работ М.В. Келдыша и его последователей о полноте на первый план выдвинулась проблема базисности систем корневых функций в пространстве Ь2. В.П. Михайлову [21] и Г.М. Кесельману [22] удалось выделить класс краевых условий (усиленно регулярные краевые условия, по терминологии Бирхгофа), обеспечивающих базисность Рисса систем корневых функций в ¿2 (термин "базис Рисса" введен Н.К. Бари [23], см. также монографию [24]). Блок-базисность (или базисность со скобками) системы корневых функций дифференциального оператора n-го порядка с регулярными краевыми условиями установлена в работе [16]. Однако дальнейшие попытки расширить класс краевых условий обеспечивающих базисность системы корневых функций, оказались безуспешными. В дальнейшем выяснилось, что эти неудачи были не случайными, а вызваны существом дела. Во всех перечисленных выше работах (кроме [16]) рассматривались операторы, у которых собственные значения, начиная с некоторого, однократны, а следовательно, система корневых функций содержит конечное число присоединенных функций.

В работе Н.И. Ионкина [25] была изучена одна неклассическая задача распространения тепла в однородном стержне. Методом Фурье она сводится к краевой задаче — {р{я)и')' -f q{x)u — Au, \ и (а) = 0, и'(а) = и'(Ь), ' краевые условия которой по классификации Д. Биркгофа являются регулярными, но не усиленно регулярными. При р(х) = i, q(x) = 0 все собственные значения этой задачи двукратны, а общее число присоединенных функций бесконечно. Тем не менее оказалось, что корневые функции этой задачи (при надлежащем их выборе) образуют базис Рисса в ¿2

Первый наиболее общий результат о равносходимости для обыкновенных дифференциальных операторов с условиями регулярности краевых условий и достаточной гладкости коэффициентов получил Я.Д. Тамаркин [3, 4]. Аналогичный результат с суммируемыми коэффициентами, но значительно позже получил М. Стоун [26]. А.П. Хромов [27] распространил теорему равносходимости Тамаркина на интегральные операторы, ядра которых обобщают свойства функции Грина дифференциального оператора с регулярными краевыми условиями. Скорость равносходимости для дифференциальных операторов с регулярными краевыми условиями и ненулевым коэффициентом при (п — 1)-й производной исследовалась в работах [28, 91]. Была, установлена связь между множеством разлагаемых функций /(х) и свойством коэффициента Р\(х). В работе [29] рассмотрен оператор, порожденный дифференциальным выражением ?/7г) с возмущением Еу (соответствующим в случае дифференциального оператора условию Р\ (х) = 0) и двухточечными регулярными краевыми условиями, возмущенными интегралами Стилтьеса. В терминах интегрального модуля непрерывности разлагаемой функции установлены оценки скорости равномерной равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.

В основе перечисленных результатов лежал резольвентный метод, использующий интегральное представление Коши проекторов Рисса, и полученные в этих работах равносходимости являются блок-равносходимостями.

В последнее время успешно применяется разработанный В.А. Ильиным новый перспективный метод изучения несамосопряженных дифференциальных операторов [30-40]. Им было замечено, что при наличии бесконечного числа кратных собственных значений свойство базисности и равносходимости в отличие от свойства полноты 1) существенно зависит от выбора корневых функций (для одного и того же оператора с одними и теми же краевыми условиями можно построить канонические по Келдышу системы корневых функций, одни из которых могут образовывать базис в Ь~2, а другие нет); 2) не определяется только конкретным видом краевых условий, на свойство базисности и равносходимости влияют также значения коэффициентов дифференциального оператора, причем указанные свойства изменяются при каком угодно малом изменении значений коэффициентов в метрике тех классов, в которых заданы эти коэффициенты. Таким образом, в этой ситуации нельзя сформулировать условия базисности и равносходимости в терминах краевых условий.

Рассмотрим формально несамосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор произвольного порядка п

Ьи = 71(??) + Р, (.т)?/'1"1* + . + Р„ (х)и, (1) определенный на некотором интервале С. Обычно (1) называют формальным дифференциальным выражением, и термин "дифференциальный оператор" употребляют только после присоединения к выражению (1) каких-либо конкретных краевых .условий. Основанная на этом схема, рассмотрения спектральных задач привязана к конкретным краевым условиям и не позволяет охватить системы корневых функций всех несамосопряженных краевых задач с точечным спектром. В связи с этим В.А. Ильин предложил новую трактовку корневых функций, которые понимаются как регулярные решения соответствующего уравнения безотносительно к виду краевых условий. Такая трактовка позволяет рассматривать произвольные краевые условия (как локальные, так и нелокальные), системы функций, не связанных какими-либо краевыми задачами (в частности, системы экспонент), а также некоторые системы, полученные объединением подмножеств корневых функций двух различных краевых задач.

Как показали работы В. А. Ильина [34-37], условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом в несамосопряженной ситуации более естественно выражать в терминах первых членов асимптотических разложений собственных значений Л^ и корневых функций по степеням 1/fik, где /Xfc — специальным образом выбранный корень п-й степени из Л^, и в терминах соотношений между нормами корневых функций. Тем более, что для конкретных краевых задач давно разработаны методы отыскания асимптотических разложений собственных значений и корневых функций по степеням 1 /Hk (см., в частности, Д. Биркгоф [5], Я.Д. Тамаркин [4], Р. Лангер [47], М.В. Келдыш [7, 8], А.П. Хромов [48], М.А. Федорюк [49, 50], А.Г. Костюченко [51], А.Г. Костюченко и Б.М. Левитан [52] и т.д., см. также библиографию в монографиях М.А. Наймарка [53], Э.И. Титчмарша [54], Л. Чезари [55]). Поэтому полученные в терминах первых членов этих разложений условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом является вполне конструктивным.

В работах [34-36] рассматривается система обобщенных корневых функций оператора (1) (определение обобщенных корневых функций приводится позже при изложении содержания диссертации) и требуете,я, чтобы эта система удовлетворяла следующим двум условиям:

1) для некоторого фиксированного р > 1 была замкнута и минимальна в

LP(G),

2) указанные выше числа //,/, удовлетворяют неравенствам

I Iin///C| < const, ( для всех к £ N), (2)

X] 1 < const ( для всех т > 0). (3) г<\нк.\<т+1

Главными результатами этих работ являются следующие две теоремы.

Теорема 1. (В.А. Ильин). Пусть Р,{х) е I = 1Тогда для того, чтобы произвольная система обобщенных корневых функций оператора (1), удовлетворяющая при фиксированном р > 1 условиям 1), 2), обладала свойством базисности в ЬР на любом компакте основного интервала, необходимо и достаточно, чтобы для любого компакта К интервала С существовала постоянная С (К), обеспечивающая справедливость для всех номеров к неравенства

Мьр(к)\Ы\ьд(С)<С(К\ (4) в котором ^ = р/(р—1) и — система, биортогоналъно сопряженная кЫГ

Теорема 2.(В.А. Ильин). Пусть Щх) £ I = 1,п. Тогда для того, чтобы при фиксированном р > 1 разложения .произвольной функции f(x)t.e по произвольной системе обобщенных корневых функций оператора (1), удовлетворяющей при том же р > 1 условиям 1), 2), и в тригонометрический ряд равносходшись равномерно на любом компакте интервала необходимо и достаточно, чтобы для любого компакта К интервала существовала постоянная С(К). обеспечивающая справедливость для всех номеров к неравенства (4), в котором ц = р/(р — 1) ^ = оо при р = 1).

Отметим, что даже для систем экспонент обе теоремы 1 и 2 являются новыми и содержат утверждения, не вытекающие из работ всех предыдущих авторов.

Метод доказательства теорем 1 и 2 основан на применении формул среднего значения (для оператора второго порядка такая формула была установлена еще Э.Ч. Титчмаршом [54], для оператора высокого порядка — Е.И. Моисеевым [56]).

Работы [38-40] посвящены установлению условий, при выполнении которых система корневых функций дифференциального оператора образует безусловный базис в 1/2 (С).

В работе [38] В. А. Ильиным была изучена безусловная базисность систем корневых функций оператора второго порядка. Был рассмотрен оператор

Ьи = и" + Рх (х)и' 4- Р2(х)и, (5) где Р] (х) е ~\¥1(С), Р2(-т) ^ ^{О). Была получена следующая теорема.

Теорема 3.(В.А. Ильин) Пусть {^(а;)}^ — произвольная полная и минимальная в Ь2(С) система корневых функций оператора (5), для которой справедливо неравенство (2) и у которой длины всех цепочек корневых функций равномерно ограничены. Пусть далее система {^(.т)}^', являющаяся биортогоналъно сопряженной к системе {и^х)}™ состоит из корневых функций оператора Ь*; формально сопряженного к оператору (5). Тогда для того, чтобы система {^(ж)}^ являлась безусловным базисом в 1у2(0), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенство (3) и неравенство uk\\b2(G) ■ IKIU2(G) < const (для всех к € N)-. .

В дальнейшем, для краткости, будем называть условие (2) карлеманским (Т. Карлеман [57] впервые рассмотрел это условие как качественную характеристику спектра дифференциального оператора), условие (3) — условием "сумма единиц".

Среди других работ по спектральной теории несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов, не претендуя на полноту библиографии, назовем работы И.С. Ломова [58-63], В.В. Тихомирова [38, 65], Н.Б. Керимова [66-72], В.Д. Будаева [73-77], В.Е. Волкова [78], И. Йо [79, 80], В. Коморника [81, 82], Н. Лажетича [83], Л.В. Крицкова [84-86], Е.И. Никольской [87, 88].

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Исследуется проблема бесселевости (в частности, распределение собственных значений оператора (1) при условии бесселевости в Ь2(С) нормированной системы корневых функций без выполнения условия Карлемана, необходимость условия "сумма единиц" и равномерная ограниченность ранга собственных функций при условии бесселевости в I/2(G) нормированной системы корневых функций и условии Карлемана, критерий бесселевости) систем корневых функций оператора (1) с негладкими коэффициентами и проблема равносходимости (скорость равносходимости) с тригонометрическим рядом Фурье биортогонадьного разложения по системе корневых функций оператора L с суммируемыми коэффициентами (п > 2).

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая из глав разбита на параграфы.

Рассмотрим формальный дифференциальный оператор (1) с комплекс-нозначными коэффициентами Р/(з:) Е / — 1, n, G = [а, Ь).

Обозначим через Dn(G) класс функций, абсолютно непрерывных вместе со своими производными до (п— 1)-го порядка включительно на замкнутом интервале G (D0(G) = L-y(G)).

Регулярным на G решением уравнения

Lu + А и = F, (6) где Л <Е С и F е Li (G), будем называть произвольную комплекснозначную функцию и(х) е Dn[G), удовлетворяющую почти всюду в G уравнению (6).

Следуя В.А. Ильину [34 - 35], под собственной функцией оператора (1), отвечающей собственному значению А, будем пониматыпобое отличное от тождественного нуля регулярное на G решение уравнения

Lyo + Л i/o = 0.

Аналогично, под присоединенной функцией этого оператора порядка то (m > 1), отвечающей тому же собственному значению Л и собственной функции уо{%)у будем понимать любое регулярное на G решение уравнения Lym + Аут = Ут-1- Каждую собственную функцию будем считать присоединенной функцией порядка 0.

Рассмотрим произвольную систему состоящую из собственных и присоединенных функций (СПФ) оператора (1). Потребуем, чтобы вместе с каждой присоединенной функцией порядка m > 1 эта система содержала также соответствующие ей собственную функцию и все присоединенные функции порядка меньше то. Это означает, что каждый элемент Uk{x) системы {^(rrjjj0 не равен тождественно нулю, принадлежит Dn(G) pi почти всюду в G удовлетворяет либо уравнению

Ьик + Хкик = 0 (7) в этом случае ик(х) — собственная функция), либо уравнению

Ьик + Хк;ик = и!/{к), (8) где v(k) однозначно определяется номером к и v(ki) ^ v{k2) при к\ ф (в этом случае \к — А^), ик(х) — присоединенная функция порядка то > 1, ии(к) [х) — присоединенная функция порядка то — 1).

В случае, когда длины цепочек присоединенных функций равномерно ограничены, в равенстве (8) следует взять и (к) = к — 1, Щщ = вкик-1. При этом вк равно либо 0 (в этом случае ик{х) — собственная функция), либо 1 (в этом случае щ{х) — присоединенная функция, Xk-i — Л/г).

Следуя В.А. Ильину [34 - 35], наряду с собственным значением Хк будем использовать спектральный параметр ¡ik) который мы определим равенством

1)П//2(—Аа-)]1^" , если п четно, Щг = (—zAfc)1'7", если п нечетно и ImA^ > 0, (9) гХкУ'п, если п нечетно и 1ш Хк < 0, где [г ехр(г</?)]1/?г = г1/,пехр(г^/гг), —тг/2 < ц> < Згт/2.

Наивысший порядок корневых функций, отвечающих заданной собственной функции, будем называть рангом этой собственной функции.

Следуя В.А. Ильину [34, 35] оценку Lp-нормы корневой функции yTn-i(x) через LPl-норму функции ут(х) будем называть антиаприорной оценкой (1 < Р, Pi < оо).

В дальнейшем будем обозначать норму функции / £ LP(E), р > 1.

Если Е = С, то пишем |(/||р.

Через р > 1 будем обозначать класс функций, абсолютно непрервыных вместе со своими производными (7 — 1)-го порядка включительно на замкнутом интервале G, 1-я производная которых принадлежит LP(G).

В главе 1 получены различные оценки норм корневых функций, выведены односторонние формулы сдвига и формула среднего значения для корневых функций оператора (1) и изучаются интегральные свойства некоторых функций, входящие в формулу среднего значения.

В теореме 1.1.1 параг])афа 1.1 установлены оценки tó-j-lloo < + \р\)]пи^1?\\уАР, (10) где 1 < р < оо; 0 < j < г; s = 0,п — 1; р = (—Л)1/"; константа. С зависит от mesG и ||P¡:||i, I = 1,п. При этом предполагается, что длина цепочки корневых функций ут(х) оператора L, соответствующих собственному значению Л £ С, конечна.

Ранее оценки (10) при Р\ (х) = 0 были получены В. Коморником [81], при выполнении условия J Im ¡i] < const (/i определяется формулой (9)) получены Н.Б. Керимовым [66], а для оператора Шредингера В.В. Тихомировым [05].

В лемме 1.1.1 для регулярного решения уравнения (6) (в частности, для решения уравнений (8)) выводятся односторонние формулы сдвига (1.1.12), (1,1.13) (формулы (1.1.15), (1.1.6) для ик(х)). Формулы (1.1.15), (1.1.6) отличаются от ранее известных формул В. Коморника, [81] тем, что в них участвуют только сама функция щ,(х) и предыдущая корневая функция что позволяет отказаться от предположений об ограниченности ранга собственных функций при изучении вопроса бесселевости.

На основании формулы (1.1.15) доказываются (теорема 1.1.2) оценки ll4s)lloo < c,(i + ЫГ'/? {|МР + (1 + Ы^^-'Чмф] (И)

4s)IIp < c2(i + ЫГ {1Ы1, + (i + ЫПК^Ир} , (12) где ]), р' > 1, s = 0, п— 1, константы Сь C-¿ зависят от mes G и ||Л||ь I = 1,7?-, но не зависят от числа /¿/¡; и порядка присоединенной функции ик{х).

В этой же теореме также показано, что оценка (11) выполняется и на любом сегменте E¡4 (х) С G длиной const(1 + |/¿/c|)-1, содержащем точку г £ G.

Отметим, что оценка (11) при р = р' была получена В.Д. Будаевым [89] для дифференциальных операторов с гладкими коэффициентами (P¡(x) £ п), а для оператора (1) с суммируемыми коэффициентами оценка (11) получена (другим методом) также Н.Б. Керимовым [70].

В теореме 1.1.3 этого же параграфа для оператора второго порядка на основании формулы сдвига (см. (1.1.22)) доказываются оценки

Halloo < с4(1 + ЫГ (1 + 1{|К11Р + и'к\\р <С5(1 + |/i,|) ||ufc||2

Ы(1 + |1шда|) f где p > 1, я — 0,1; константы С а, С г, не зависят от числа //,/с и порядка корневой функции щ(х).

В §1.2 выводится другая формула сдвига для корневой функции ut{x) оператора (1) с суммируемыми коэффициентами (см. теорему 1.2.1). Эта формула связывает значения корневой функции щ в точках х — t и х +1 с s) значениями функций щ , 0 < 5 < п — 1 в точке х. Данная формула вместе с формулами (1.1.11), (1.1.12) являются основным аппаратом для изучения вопросов распределения собственных значений и бесселевости корневых функций оператора L с негладкими коэффициентами.

§1.3 посвящен выводу следующей формулы среднего значения для корневых функций оператора (1) с локально суммируемыми коэффициентами.

Теорема 1.3.1 (формула среднего значения). Пусть коэффициенты оператора (1) локально суммируемы на G и выполняется условие |Im/i| < const. Тогда для любого достаточно малого Я > 0 найдутся число R, удовлетворяющее условию 2R < R < CqR, где Со — постоянная, зависящая от порядка оператора (1) и от, порядка т присоединенной функции ут{х), и 7гшкие действительные числа R.JSQ{fi). (//,)) € [0, R], что для любых t € [0, Л] и х £ G, (list(x,dG) > R справедлива формула (Нед > ро, ро — достаточно большое число) yw{x-t) + ym(x + t) , , ^ (Cty . ,, . .

-»-- Уш(х) cos//;/; + Е ., cos{fit - ir/2j)+ z l ,/!//л ,J t m и ~-(x) m 1

- E (AiAfi, t) cos fit + Ду (,z, t) sin fit) + £ x

H'1 f l>v 'J j=0 № ' x+t X

Kij(Z-x,t)Qlj(byn4)dS + J K23{x-Z,t)Q2j(£,ym-j)dZ +

X-t т 1 t-x<Ti

P2j(£ - X, t)Qij (£, yrn-;,)d( x+R m I 1 Jl -1- I j=0 x x—R m n n—] 3 .

E E E +

0 s=0 9=0 a=l

13) где i) = A2i(/JL,t) = 07 (A2j{/.i,t)), j > 1 — нечетный (четный) многочлен not, степень которого меньше j — 1, а коэффициенты его являются выражениями вида const/л-7, 0 < 7 < j — 1, j > 1, 7 Е для функций К, Р, F (с различными индексами) выполняются оценки

K{r,t)\<C, дК{г, t) dt

P(r,t)\<C(R)

С\ц, I, £>0, ехр(—d|/i|(|r| — £)), прт \f.it\ > 1 |//t|2 ехр(—d|/i||r|), при {fitj < 1

14)

F\ < C(R) exp(—d|/i|/2), при \fj,t\ > 1 jui|2 exp(—d|/Lt|jR), при \fj,t\ < 1, d > 0; для Q(£,y) справедливо неравенство

QK,J/)| < const\N(Z,y)\, N{Z,v) = (ЗпГН'ФО^Е^Ю^Ю

1=1

В формуле (13) функцию Q(£,,y) можно заменить на функцию В этом случае каждый интеграл в формуле (13) будет состоять из суммы конечного числа интегралов такого же типа.

Кроме того, оценки (Ц) являются равномерными по R npuR Е [Rq/2,Rq] Ло > 0, С0До < dist {x,dG).

Формула (13) является распространением известной формулы среднего значения Е.И. Моисеева [56] на случай оператора (1) с негладкими коэффициентами и позволяет применить метод В.А. Ильина [34- 36] при изучении вопросов равносходимости и базисности для таких операторов.

§1.4 и §1.5 полностью посвящены изучению интегральных свойств функций A(fi,t), K(r,t), P(r,t), F(r,t) и F(fi,t) (с различными индексами), входящих в формулу среднего значения (13) (см. леммы 1.4.1, 1.4.2, 1.4.3, 1.5.1, 1.5.2, 1.5.3). Приведем одну из этих лемм. Обозначим через J/y-(г, Я, ¡i, v), j > О, h = 1,2, I Im p\ < D = const, интеграл fR (r, t)dt, = inax{2, W}.

Jr f

Лемма 1.4.2. При R0/2 < R < Ro, 0 < r < R, Re pk = P > Po, I Im/ij < D = const для интеграла Jh.j[r,R,ß, v) справедливы равномерные оценки

0(\iim{vJр, p/v}), при Iр— v\ > v¡2, J/,о = { 0{\n(vj\p - v\)), при 2 < \p - И < v/2 (15)

0(min{lni/, |lnr|}), при \v — p\ < 2,

1 л - \v[p при p > Z//2, J ~ i6)

I Jhj\ < Cj < р1 £¡(иг6), при ро < р <

1Ш11{1п2/, 11пг|}, при \р — и\ < 2 / > п

Iр - и\-£г-£, при 2<\и-р\< и/2 3 - '

Щ)и р > 3//^2, где 0 < е < 17 Сд — постоянные.

Ранее оценки (15) и (16), для оператора второго порядка (в этом случае К}го(г,Ь) = si.ii/¿(т — £)), установлены В.А. Ильиным [41].

В главе 2 исследовано распределение собственных значений оператора (1) и доказываются необходимость условия "сумма единиц" для бесселе-вости систем нормированных в Ь2(С) корневых функций, критерии бессе-левости и безусловной базисности системы корневых функций оператора

В §2.1 вводятся основные понятия (замкнутость, минимальность, полнота, бесселева система, безусловный базис) и формулируются основные результаты данной главы диссертации.

§2.2 посвящен доказательствам теорем 2.1.1 и 2.1.2:

Теорема 2.1.1 Пусть Р\(х) <Е Ь2{0), Р[(х) € Ь1(С), I = 2,п и выполняется антиаприорная оценка

2<со1Ы(1 + |^|)"-1/2||и,||2, (17) где const не зависит от, порядка, присоединенных функций. Тогда для бес-селевости системы {u.kixJWukW^1} 6 L2{G) необходимо, чтобы

Е KH|2||^|l22<const(l + T), Vr > 0, (18)

Ы<7" где х G G, const, не зависит от х и т.

Теорема 2.1.2 (О распределении собственных значений). Пусть выполняются условия теоремы 2.1.1. Тогда для бесселевости системы {uk{x)\\ukЦ2"1} в L2(G) необходимо, чтобы

Е l<coiist(l + r), Vr > 0, (19)

Ы<Г где const, не зависит от т, а суммирование ведется по всем корневым функциям.

Следствие 2.1.1 Пусть Pi(x) € L2{G), Рг(х) G L{{G), I = %п. Тогда для бесселевости системы {'^(а:)!!^!!^1} в L2(G) необходимо выполнение неравенства (18), причем суммирование ведется только по собственным функциям.

Следствие 2.1.2. Пусть Р:(сс) € L2{G), Pi(x) € Li(G), 1 = 2~n. Тогда для бесселевости системы {uk(x)\\uk\\2]} в L2(G) необходимо выполнение неравенства (19), причем суммирование ведется только по собственным функциям,.

Следствие 2.1.3. При выполнении условий теоремы 2.1.1 для бесселевости системы {ufc(x)||i/,/fЦ2 Ч в L2(G) необходимо, чтобы ранг каждой собственной функции был конечным и последовательность {/¿/J не имела конечных точек сгущения.

Отметим, что при выполнении условия "сумма единиц", карлеманского условия и антиаприорной оценки llu^lU^cons^l + l^ir-'li^lb (20) необходимость неравенства (18) для бесселевости системы {^(яОИ^Ц^Г1} в L2{G) установлена впервые Н.Б. Керимовым [68, 69] при п = 4. А при условии равномерной ограниченности ранга собственных функций, а также при выполнении карлеманского условия и антиариорной оценки (20) необходимость неравенства (18) для бесселевости системы {^(а^Цг^Ц^"1} в L2(G) установлена-В. Д. Будаевым [74, 75], [89] (см. теорему 3.1.1) для оператора произвольного четного порядка с гладкими коэффициентами

В §2.3 доказываются теоремы 2.1.3 и 2.1.4 о необходимости условия "сумма единиц" для бесселевости системы j} в L2(G).

Теорема 2.1.3 (об условии "сумма единиц"). Пусть Р\{х) Е L2(G), Pi(x) G L] (G), I — 2~n, выполняются условия Карлемана (2) и антиапри-ориая оценка (20). Тогда для бесселевости системы {ик{х)\\щ\\2 *} 6 (G) необходимо выполнение условия "сумма единицт.е. 1 < const, Vr > 0 (21)

Следствие 2.1.4 (о равномерной ограниченности ранга собственных функций). Пусть выполнены условия теоремы 2.1.3 и система {uk{x)\\uk\\2 удовлетворяет неравенству Бесселя в L2{G). Тогда ранг собственных функций равномерно ограничен.

Следствие 2.1.5. Пусть выполнены все условия теоремы 2.1.3, кроме антиаприорной оценки (20). Тогда для бесселевости системы {uk{x)\\uk\\21} в L2{G) необходимо выполнение неравенства (21), причем суммирование ведется только по собственным функциям (если же ранг собственный: функций равномерно ограничен, то суммирование ведется по всем корневым функциям).

Теорема 2.1.4. Пусть п = 2, Pi(x) £ L2(G), Р2{х) Е L\{G) и выполняется антиаприорная оценка

K(A)ll2 < const(1 + Ы)(1 + I lmfik\)l'2\\uk\\2. (22)

Тогда для бесселевости системы {^('ОН^И^1} 6 ^¿{G) необходимы выполнение неравенстпв (18) и 1 < const (1 + sup |1ш//А-|), Vr > О (23) r<R.e/(,k<r+l r<Re/tfc<r+l

Следствие 2.1.6. Пусть выполнены все условия теоремы 2.1.4, кроме антиаприорной оценки (22). Тогда для бесселевости системы {'^(яОИ^Иг"1} 6 L2{G) необходим,о выполнение неравенства (23), причем суммирование ведется только по собственным функциям (если же ранг собственных функций равномерно ограничен, то суммирование ведется по всем корневым функциям,).

Впервые условие "с,умма единиц" установлено В.А. Ильиным, И. Ио [44] для произвольного самосопряженного неотрицательного расширения оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом q(x) <Е LV{G), р > 1. Ими установлено, что если {ик} — полная ортонормированная в L2{G) система собственных функций указанного расширения, а {А/, } — соответствующая система собственных функций, то имеет место неравенство

1 < const, Vr > О, т<\Щ<ТЛ1

1С) где const не зависит от т. В дальнейшем этот результат обобщен В. Ко-морником [82] на случай бесселевой в L2(G) системы корневых функций дифференциального оператора произвольного порядка с коэффициентами Pi(x) = 0, Pi(x) € Li(G), I = 2, п: для произвольного /i € С имеет место v- -1 ^ . Г X —I— | Im//,|, при 77.-2, > 1 < const < 1 , | ^ 0

1 " 11 + Н. при п > 2.

При этом предполагается равномерная ограниченность ранга собственных функций.

В работе [39] В.А. Ильиным установлено, что условие "сумма единиц" является необходимым для безусловной базисности в L2(G) систем корневых функций оператора Шредингера. (при выполнении карлеманского условия и условия равномерной ограниченности ранга собственных функций).

В работе [76] В.Д. Будаевым доказано, что условие "сумма, единиц" является необходимым для бесселевости систем нормированных в L2(G) корневых функций оператора (1) произвольного четного порядка, с коэффициентами Pi{x) G wj;n~l\G), I = 1,71 (при условии равномерной ограниченности ранга собственных функций, а. также при выполнении карлеманского условия и антиаприорной оценки (20)) и также установлена необходимость равномерной ограниченности ранга, собственных функций для безусловной базисности (при условии выполнения карлеманского условия и антиаприорной оценки (20)).

Равномерная ограниченность ранга, собственных функций доказана JI.B. Крицковым [85] для систем корневых функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка, при условии, что эта система образует почти нормированный базис в LV(G), 1 < р < оо.

Для равномерно минимальной в LP(G), 1 < р < оо системы корневых функций оператора. (1) произвольного порядка с суммируемыми коэффициентами необходимость условия равномерной ограниченности ранга собственных функций и условия "сумма единиц" установлена Н.Б. Керимовым [70-72].

В §2.4 доказан следующий критерий бесселевости систем корневых функций оператора (1).

Теорема 2.1.5 (критерий бесселевости). Пусть Р](х) € L2{G), Pi(x) е Li{G)J I = 2, п, выполняются условия (2) и (20). Тогда для бесселевости системы {иЦ.т^ЦщЦ-У'} в L2(G) необходимо и достаточно выполнение условий (3) и (18).

Следствием теоремы 2.1.5 и теоремы Н.К. Бари [24] является следующий критерий безусловной базисности.

Теорема 2.1.6 (критерий безусловной базисности). Пусть Pi(x) € W¡n~l\G), I — 1, п; {ni-}, {vk} — пара биортогонально сопряженных в L2(G) полных систем корневых функций операторов L и L* (L* — формально сопряженный оператор к L) соответственно; выполнены условия (2), (20) и антиаприорная оценка const(1 + ЫГ-^ЫЬ, (24) где va(k) — предшествующая Vk корневая функция в цепочке корневых, функций, соответствующих собственному значению

Тогда для безусловной базисности в L2(G) каждой из систем необходимо и достаточно' выполнение условия (3), условий типа (18) для каждой из систем и условия

1М|2|Ы|2 < const, к Е N. (25)

Следствие 2.1.7 (критерий базисности Рисса). Пусть P¡{x) <G ,п и выполняется условие (2). Тогда для базисности Рисса в L2{G) системы {иfc} (а также системы {vk}) необходимо и достam,очно, чтобы выполнялись условия (3), (25), условия типа (18) для каждой из систем и хотя бы одна из систем {uk}, {vk} была почти нормирована.

Критерий бесселевости для дифференциального оператора четвертого порядка (Pi(.7;) 6 L2(G), Pi(x) <Е L\(G), I — 274) впервые получен Н.Б. Ке-римовым [G8] (при выполнении условия "сумма единиц").

В дальнейшем критерий бесселевости распространен В.Д. Будаевым [75, 76, 89] на случай дифференциального оператора произвольного четного порядка с коэффициентами Pi(x) € I = 1,п (в предположении равномерной ограниченности ранга собственных функций). Необходимые и достаточные условия бесселевости систем почти нормированных корневых функций дифференциального оператора произвольного порядка установлены И.С. Ломовым [59] (при выполнении условий (2), (3), (20)).

Критерий безусловной базисности для оператора второго порядка впервые установлен В.А. Ильиным (теорема 3).

В дальнейшем критерий безусловной базисности (базисности Рисса) для оператора четвертого порядка доказан Н.Б. Керимовым [69] (при выполнении условия "сумма единиц"), а для произвольного оператора четного порядка В.Д. Будаевым [76]. Для оператора произвольного порядка критерий безусловной базисности (базисности Рисса) установлен И. С. Ломовым [59] (при выполнении условия (2), Ц'и^Цоо < const, к £ N, условий типа (18) для каждой из систем {u/c}, {v¡t}, условия равномерной ограниченности ранга собственных функций и антиаприорных оценок (20), (24)).

В конце §2.4 рассмотрены некоторые примеры, иллюстрирующие результаты главы 2.

Глава 3 полностью посвящена изучению вопросов равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье биортогонального разложения, отвечающего дифференциальному оператору (1).

В §3.1 вводятся основные понятия (класс Bp0(G), G = (0,1)) и рассматривается система {u,k} корневых функций оператора (1), удовлетворяющая трем условиям Л В. А. Ильина:

1) система {щ} замкнута и минимальна в LV(G) при некотором фиксированном р > 1;

2) выполняются условия Карлемана и "сумма единиц": Im /г/с! < const £ 1 < const Vr > 0, (рк = Re ///,); т<Ы<т+1

3) для любого компакта К С G существует постоянная Со(К) такая, что

1ЫЫЫ1. < С0(К), к е N, jr1 + q~l = 1, {vk} — биортогонально сопряженная система к {v,k}-Для произвольной функции f(x) £ LP(G) вводятся суммы Е (f,Vk)uk{x), v > 0; fc<!/ частичная сумма биортогонального разложения); Sv{f,x) — частичная сумма тригонометрического ряда; Sll(f, х) — усреднение модифицированной частичной суммы тригонометрического ряда: х-у\<Я У где х <Е К, у е G = (0,1), Ro/2 < R < R0, 0 < Д, < dist(#", dG),

Sfrlg] = 2/Rd f g{R)dR. Л0/2

В этом параграфе также; вводятся некоторые обозначения, которые используются в главе 3:

Д„5.(/, К) = 1М/, х) - S„(f, 5 € [1, оо]; n(f,v/2,e) = v~l Е Р^Ш \fkl=fk\\vk\I71, /* = (/,«*);

1 <pk<i'f2

Г21(/,|//2) = 1/-1 E Pfc1^ i<pk<vf2 п2(/,зф)= E /vUl; pk>3u/2 00 n3(/,[3*//2]) = £ Г^Г1);

3i//2]

M/»^1||/IIp + max |Л|

Pk>V/2

У2(./» = max |Л|+a;i(/,i/1), pk>vj2 где u^f^iy"1) — модуль непрерывности в L\{G).

В лемме 3.1.3 доказывается, что для замкнутой и минимальной в LP(G) системы {v,k} и V/ е LP(G) величина |Д| стремится к нулю при к оо.

§3.2 посвящен доказательствам некоторых вспомогательных лемм, которые используются в доказательствах теорем равносходимости.

В §3.3 доказываются теоремы равносходимости и базисности при Р\(х) = 0. Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы:

Теорема 3.3.1 Пусть Pi{x) = 0, Р2{х) € Lr{G), г > 1, Щх) € I = 3,п ад система {ut} корневых функций оператора (1) удовлетворяет условиям А. Тогда разложения произвольной функции f(x) Е LP(G) в <5w-ортогональный ряд по системе {u,k} и в тригонометрический ряд Фурье равносходятся на любом компакте К С G в метрике Ls, s £ [1,оо]; т.е.

AIJS{f,I<)->0, v у оо. При этом для любого v > 2 имеют место оценки

Л ( f 7П ^ Г(К\ \ 1 + - 1 А) + </?! (/, f), s ~> Т

Д„дА) < СВД + a < г.

26)

27)

A,M,K)<C(K) и

-1

I/II,» + 5 < г или Р2 = 0, 5 € [1, оо]

1112 И|,Л|р + ^{f, v), s = r <2 или s — т = оо I/-1 ln^-W I/||/||p + (¿>2(j>), 2 < 5 = г < оо i/'A-iA-ijl/JI^^/^), s>r,

28)

Теорема 3.3.2 Пусть выполняются условия теоремы 3.3.1 при некотором р, 1 < р < оо. Тогда система {¿//с} обладает свойством базисности в Ьр на любом компакте, т.е. для любого компакта К С С и произвольного / € Ьр(0) выполняется

1К(/>) -/кл'0,

Соотношение (26) при 5 = оо и теорема 3.3.2 распространяют результаты В.А. Ильина (теоремы 1 и 2) на случай оператора (1) с негладкими коэффициентами.

Соотношения (27) и (28) показывают, что поведение разности А;/5(/, К) зависит от степени суммируемости коэффициента Р2 (.т), скорости убывания величины ¡/¿I, а также от модуля гладкости разлагаемой функции как показывает пример 3.0.2, даже в случае Рг(•?-') = разность Дг/5(/, К) нельзя характеризовать только модулем гладкости ш1(/,1у~1)).

Как показывает лемма 3.1.3, для любого f 6 Ьр(С) (р — фиксировано в условиях А), величина |//;:| стремится к нулю при к -4 оо. Поэтому для любого фиксированного / € Ьр(С) существует невозрастающая функция </?(£), <р(£) 0, при г -> оо, такая, что .Д = О^р(рк)), рк оо.

Теорема 3.3.3 Яусшь Р^ж) = О, Р2(^) е г > 1, Щх) е Ьг(С),

I = 3,п и система {щ.} удовлетворяет, условиям А. Тогда для любого компакта К С. С и произвольной фиксированной f е ЬР(С) существует постоянная С (К, /) такая, что справедливы оценки

A,,s(/,/0 < С (К J) если убывает при Ь > ¿0 /9д\ та х^/г),^/,!/"1)}, 1 ^ еслгх не убывает при í > ¿о, где ?м|ж (г, 5) / (1,оо), ¿о — некоторая точка интервала (0, оо), у > 2, и/2 Е !)(</>);

A va{f,K)<C(KJ) max{iv1,a;1(/, i/-1)}, если <p(t) = t~a, a > 1 max{^-1 In v, u>i(/, есдг/, </?(i) = i-1 max{^°,o;i (/, если <p(t) = t~a, 0 < a < 1,

30) где пара (г, 5) = (1, оо), v > 2.

Теорема 3.3.4 Пусть выполнены условия т,еоремы S.3.3 и соотношение

А\ = 0(\Ы), А:->оо, где \fk\ — коэффициент Фурье по нормированной в Lq{G), p~l + q~l — 1 тригонометрической системе функций / £ LP(G).

Тогда на любом компакте К с. С выполняются оценки

Д (Г Ю < С(К Л I ССЛи ^^ убывает при > ¿о М/, )— I >I) | если не убывает при Ь > где пара (г, в) ф (1,оо), £0 — некоторая точка интервала (О, оо), ^ > 2, и/2 е 2%);

7/-1, если </?(i) — а > 1 z/1 In iv, если </>(i) = t~l (32) i/a, если у>(£) = t~a, 0 < а < 1, где пара (г, 6') = (1,оо), и > 2.

Ранее оценки типа (31) и (32) при = ¿~а, а > 0, были получены И.С. Ломовым [62-63] для оператора Шредингера. При г ф 1, 5 = оо оценка (31), а при г = в = оо, 0 < а < 1 оценка (32) улучшает на 1пу результаты данных работ.

Отметим, что оценки (30) и (32) при </?(£) = и г/ —оо улучшаемы соответственно в смыслах

Дм»(/, Ю = О^С/,;/-1)) +о(г/-11п 2/),

Л™ (/,#) = К''"11"*'). а остальные оценки в теоремах 3.3.3 и 3.3.4 являются точными (см. примеры 3.6.1, 3.6.2).

В теореме 3.3.5 показано, что если коэффициенты биортогонального разложения функции f(x) <G Li(G) удовлетворяют неравенствам fe| < const¡{wii/.Pfc1) + Pfe'll/IIJIMU Pk > P* > 1, то поведение разности Aus(fyK) характеризуется степенью суммируемости коэффициента Pi{x) и модулем гладкости uJi(f,S) (см. (3.3.31)).

Теорема 3.3.6 Пусть Р^х) = 0; Щх) € Wt'l]{G), I = при п> 2 ,/шбо € Lr(G). г > 1 при п = 2; система {и к] удовлетворяет условиям А при р = 1; {и/г} является системой корневых функций формально сопряженного оператора L* (L*Vk + A/^fc — j j и справедлива антиаприорная оценка

W^+l||l < const Ы^ЧЫоо, Ы > 1 (33)

Тогда биортогоналъпос разложение произвольной функции f(x) <£ L] {G) по корневым функциям оператора L равносходится в метрике Ls, в € [1,оо], на любом компакте К С С с се разложением в тригонометрический ряд Фурье и справедливы оценки (1/ > 2):

Д„,(/,АГ) < С{К) г/1||/1|1 + И (/> й < г ^ А = 0, 5 € [1, оо] г/-11п21/||/||1 + 5 = г < 2 или 5 = г = оо

I/-1 Ш^1-1^) |/|| ^ + ыг(/, I/"1), 2<з = г <-оо

34) если / € Ь^С) (при п > 2 заведомо г — оо);

Л ^ <г и^МО^}!/!!?, (г,5) = (1,ОО),П = 2, ь о;^-1)!!/^, п = 2,(г,а) / (1,оо) или п > 2,

35) если / <Е ЯДО);

Д,Д/,К) < С(Х)г/-а||/||Вав(<7), п > 2, (36) если / <Е £^(<2), 0 < а < 1, 0 € [1, оо];

Д„.(Л Я) < С(К) ( М) = (1,00) П — 2, и 1 ; \ У ЧШкда, п = 2, (г, 5) 7^(1,оо) илип>2,

37) если / е 14/1'(&У).

Отметим, что при п = 2 антиаприорная оценка (33) заведомо выполняется [65] и оценка (37) при п = 2 совпадает с результатами работ Е.И. Никольской [87-88]. Однако, при п = 2, (г, э) = (1,оо) оценки (35) и (37) .улучшаемы в следующем смысле

А (Г К)-I 0{и){1Г1) 111 / е ЯГ(С?) „ оо

Пусть формальный оператор Ь имеет самосопряженный вид

Ьи = + Р2(.г>.("~2) + . + Р77(,г')м, (38) где п — четное число; Р-2{х) е ЬГ(С), г > 1, Р/(.т) е Ь^С), I = 3, п — действительные функции.

В следующей теореме под полу ограниченным самосопряженным расширением оператора Ь будем понимать полуограниченное снизу самосопряженное расширение оператора (38) порядка 4/г. и полуограниченное сверху самосопряженное расширение оператора (38) порядка 4//, — 2, 1г — 1,2,.

Теорема 3.3.7. Пусть {щ} — полная ортонормированная в Ь2(С) система собственных функций некоторого полу ограниченного самосопряженного расширения оператора (38) с дискретным спектром и для любого компакта К с (7 существует постоянная С0(К) такая, что

1ЫЫ1'Моо < кем (39)

Тогда на любом компакте К С С выполняются соотношение

Д,/5(/,/О^0, V —>• оо, У/еХ^С), а- е [1,оо] и все оценки (34)'- (37) (относящиеся к случаю п = 2) при любом, четном п.

Для неотрицательного самосопряженного расширения оператора Штурма-Лиувилля оценка (37) при г > 1, в = оо впервые установлена В.А. Ильиным и И. Йо [45].

В дальнейшем для неотрицательного самосопряженного расширения оператора Штурма-Лиувилля оценка (35) при г > 1, в = оо получена Ш.А. Алимовым и И. Йо [90] и показана ее точность. Для этого же оператора оценка о где / еН* (С), 0 < а < 1, 1 < р < оо (ЯД(7) — класс Никольского) установлена Н. Лажетичем [83].

Отметим, что вторая часть оценки (35), оценка (36) и вторая часть оценки (37) не улучшаемы (пример 3.6.1).

В §3.4 оценивается разность V (х) Б^У-1, х) — бЦ/, .т) в метрике Ь^К), где У(х) = ехр(-1/п;0яР1(0^), Р^х) е 1^(0), (3 > 1, / е ЯДС).

В §3.5 доказываются теоремы равносходимости для оператора (1) с ненулевым коэффициентом Р\{х).

Теорема 3.5.1. Пусть А (ж) € ЬГ(С), г > I, б -£ч((?), I ~ 2,п и система [ии] удовлетворяет, условиям А при некотором фиксированном р > 1. Тогда при 1 < 5 < г для произвольной функции f(x) е Тр(С) на любом компакте К С С справедливы

Дм(/,ЯГ)-+0, V —> оо; (40)

Д„,(/, К) < С(К){1п//||/||г + Ы1, где (3 - тш^"1, - г~1}, и > 2.

Если же 1 < р < з < г, то система {щ} обладает свойством базисно-сти в Ьр на любом компакте К С С.

При в > г, V > 2 выполняются оценки: в случае 1 < г = з < 2:

А^,К) < С{К){ 1п2И|/||р + ^(Р1^-1/2)1пг/П2(/,31//2)}; в случае 2 <г = з < оо: в случае р > 1, г = в = оо:

Д„(/,ЛГ) < -С(К) {1и2 г/1| /||р -Ь г/!^ (/, 2>р/2)}; * в случаях 1<г<5<2ад1 < г < в', 2 < 5 < оо, 1/5 + 1/з7 = 1 справедливы: г 1пИ!/1и + 31./2),

Д,(/, *) < С(КУ^ ^ ЗИ//2),

1 < г < з', 2 < в < оо,

А„а(/,К) < С(КУ/Г-^'ШР + 122(/,31//2)}; в случае 2 < в < ос, в' < г < .&: в случае р > 1,1 < г < в — оо:

Д„в(/,10 < С(^)^{||/||р + П2(/,31//2)}; е случае г = 1, в = оо

Ауа(/,К)<С(КИ/Цр.

Теорема 3.5.1 показывает, что степень суммируемости коэффициента Р^гт) существенно влияет на равносходимость и свойство базисности.

Отметим, что соотношение (40) для оператора второго порядка с коэффициентом Р\{х) е Д"*(<3), г > 1 (класс Никольского) или Р\{х) £ Б£д(С), г > 1, а € (0,1] (класс Бесова) установлено ранее И.С. Ломовым [61]. Теорема 3.5>2, Пусть Р,\х) € I = 17 п в случае п > 2, либо

Р\{х) € Игр{Сг), р > 1. Рг(х) е 1ч (С) в случае п = 2; <?аяг системы {щ} выполняются условия А при р — 1; {?;/с} является системой корневых функций формально сопряженного оператора и выполняется антиаприорная оценка (33).

Тогда биортогональное разложение произвольной функции /(х) € Ь^С) по корневым функциям оператора Ь равномерно равносходится на любом компакте К С С с ее разложением в обычный тригонометрический ряд Фурье и справедливы оценки

Д„оо {fJ<)<C{K) {min{l, о;^"1) In i/} -h «з([Зх//2])}>||/||^, если f G Hf(G) и- In И1 если f G B$t6{G) z/1 ИIf\\w>,(G), если / G W£(G), гдер' > l, a G (0,1), #G [l,oo], 5= miii{l/2,1/c/}, l/p'-f 1/g' = 1.

Теорема 3.5.2 в частности показывает, что при / G H£(G), р' > 1, о>(£) — (ln(l/£))-7, 7 > 1 разность A,yoo(f,K) имеет порядок 0(1п1—7 z/), v оо.

Предположим теперь, что функция /(я;) G LP{G) такова, что fk = 0(pj;5), fk — £ > о, > о. (4i)

Pk:Pk > Р* > 0 где pk = Re ßkr Рк — 27TÄ;, к е N.

Теорема 3.5.3. Пусть выполняются условия теоремы 3.5.1 и оценки (41)- Тогда для всех v > 2 и для любого компакта К с G справедливы оценки: при s < г < оо:

A,/s(/, ÜQ < /) итх{и-\ v-'»}; (42) при 1 < г = s: imax{i/1, У5 In2 i/, 1 < г = 5 < 2 млад

1,5 = г = оо, max{i/1, v~6 iri2(i-iA) ¡,-<5^ 2 < s = г < оо;

43) n;m 1 < г < s < оо или р > 1, 1 < г < s = оо: rnax{i/-1, ¡y-t-i/s+i/r^ ^ ö <l-l/s + l/r Д„я(/, К) < С {К, /) | тах{г/-] In //, i/"*}, <У = 1 - 1/e + l/r (44)

1 пш{/>-1, 6 > 1 - 1/s + l/r, где C(K,f) — постоянная, не зависящая от, v. ■■ Подобные (42)-(44) оценки для оператора второго порядка ранее получены И.С. Ломовым [62-СЗ] (5 = Si).

При в < г < оо, 8 = 5\ > 1 оценка. (42) совпадает с оценкой (5) работы [62]. При 5 < г < оо, б — < 1 оценка (42) улучшает упомянутую оценку на 1п2 г/, при в < г — оо, 5 = $1 < 1 улучшает на 1пг/ оценку (6) той же работы.

В случаях 1<г = 5<2, ^ = г = 5 = оо, 5 = оценка (43) совпадает с результатом работы [63], в случае 2 < г — в < оо, $ = ^ < 1 улучшает оценку (5) работы [62] на г/, а. в случае 2 < г = 5 < оо, 6 = ¿1 > 1 совпадает с ней.

Оценка (44) при 5 — с^ < 1 — 1/5 + 1 /г улучшает соответствующую оценку работы [63] на 1пг/, а при 3 = 5} > 1 — 1/5 + 1 /г совпадает с ней.

Отметим, что при V —оо можно заменить множитель 1п2 у на о(1п2 у) при 1 < г = 6' < 2, множитель [ц2^-1/^ у на о^п2^-1^ и) при 2 < г — 5 < оо в оценке (43), множитель \пи на. о(1пг/) при 6 = 1 — 1/в + 1/гв оценке (44).

В §3.6 приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

В диссертации использована тройная нумерация формул, теорем, лемм и следствий: первая цифра, означает номер главы, вторая — номер параграфа, третья — порядковый номер внутри параграфа,

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [107-116].

Автор глубоко благодарен своему научному консультанту академику Владимиру Александровичу Ильину за постановку проблемы и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Курбанов, Вали Махарам оглы, 1999 год

1. Стеклов В.А. Об асимптотическом выражении некоторых функций, определяемых линейным дифференциальным уравнением второго порядка и их применении к задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям. Харьков. Издательство ХГУ. 1956. С. 1 - 138.

2. Стеклов В.A. Solution générale du problem de développment d'une fonction arbitraire en séries suivant les fonctions fondamentales de Sturm-Liouville // RAL. 5 série. 1910, y. 19. P. 490 496.

3. Тамаркин Я.Д. Sur quelque points de la theorie des équations différentielles lineaires ordinaires et sur la généralisation de la serie de Fourier // Rend, di Palermo. 34. 1912. P. 345 382.

4. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917. 308с.

5. Биркгоф Д. (BirkhofF G.D.) Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential équations // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. V. 9. № 4. P. 373 393.

6. Бицадзе A.В., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 739 740.

7. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. 1951. Т. 77. № 1. С. 11 14.

8. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // Успехи матем. наук. 1971. Т. 26. Вып. 4 (160). С. 15 41.

9. Лидский В.Б. О полноте системы собственных и присоединенных функций несамосопряженного дифференциального оператора // ДАН СССР. 1956. Т. ПО. № 2. С. 172 175.

10. Лидский В.Б. Несамосопряженный оператор типа Штурма-Лиувилля с дискретным спектром // Труды Моск. Матем. общества. I960. № 9. С. 45 79.

11. Наймарк М.А. О разложении по собственным функциям несамосопряженных сингулярных дифференциальных операторов второго порядка // ДАН СССР. 1953. Т. 89. № 2. С. 213 216.

12. Наймарк М.А. О некоторых признаках полноты систем собственных и присоединенных векторов в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. 1954. Т. 98. № 5. С. 727 730.г

13. Визитей В.Н., Маркус A.C. О сходимости кратных разложений по системе собственных и присоединенных векторов операторного пучка // Матем. сборник. 1965. Т. 66. № 2(108). С. 287 320.

14. Маркус A.C. О кратных полноте и сходимости кратных разложений по системе собственных и присоединенных векторов операторного пучка // ДАН СССР. 1965. Т. 163. № 5. С. 1061 1064.

15. Кролл A.M. (Krall A.M.) The development of general differential and general differential boundary systems // Rochg Mountain. 3. Math. V. 5. № 4. P. 493 542.

16. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 190 229.

17. Шкаликов A.A. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора с интегральными краевыми условиями // Вестник МГУ. Сер. матем. 1982. № 6. С. 12 21.

18. Пономарев С.М. Обобщение теоремы М.В. Келдыша о полноте систем собственных и присоединенных функций первой краевой задачи для несамосопряженного эллиптического оператора // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. № 12. С. 2294 2296.

19. Круковский Н.М. Теоремы об m-кратной полноте систем обобщенных из W1//2 собственных и присоединенных функций некоторых краевых задач для эллиптических уравнений и систем // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 10. С. 1842 1851.

20. Михайлов В.П. О базисах Рисса в Ь2{0,1) // ДАН СССР. 1962. Т. 144. № 5. С. 981 984.

21. Кесельман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов // Изв. вузов СССР. Математика. 1964. № 2. С. 82 93.

22. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Уч. зап. МГУ. 1951. Т. 4. Вып. 148. С. 69 107.

23. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве // Москва. "Наука". 1965. 448с.

24. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294 304.

25. Стоун M. (Stone M.H.) A comparison of the series of Fourier and Birkhoff// Trans. Amer. Math. Soc. 1926. V. 28. P. 695 761.

26. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро- дифференциальных и интегральных операторов // Мат. сборник. 1981. Т. 114(156). № 3. С. 376 405.

27. Рыхлов B.C. Скорость равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (п—1)-й производной // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 6. С. 975 989.

28. Гамилко A.M., Радзиевский Г.В. Равносходимость рядов по собственным функциям обыкновенных функционально-дифференциальных оце-раторов // ДАН СССР. 1991. Т. 316. № 2. С. 265 270.

29. Ильин В.А. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по собственным функциям пучка М.В. Келдыша обыкновенных несамосопряженных операторов // ДАН СССР. 1975. Т. 225. № 3. С. 497 499.

30. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов // ДАН СССР. 1976. Т. 227. № 4. С. 796 799.

31. Ильин В.А. О существовании приведенной подсистемы собственных и присоединенных функций у несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора // Тр. мат. ин-та. им. В.А. Стеклова АН СССР. 1976. Т. 142. С.148 155.

32. Ильин В.А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора. // Ма-тематич. заметки. 1977. Т. 22. Вып. 5. С. 679 698.

33. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I. //Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 5. С. 771 794.

34. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II. //Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 6. С. 980 1009.

35. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности в Lp и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент. // ДАН СССР. 1983. Т. 273. № 4. С. 789 794.

36. Ильин В.А. О необходимом условии равносходимости с тригонометрическим рядом спектрального разложения произвольной суммируемой функции //Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. № 5. С. 371 379.

37. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка //Докл. АН СССР. 1983. Т. 273. № 5. С. 1048 -1053.

38. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых • векторов разрывных операторов //Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 12. С. 2059 2071.

39. Ильин В.А. О базисности Рисса систем корневых вектор-функций разрывного оператора Шредингера. с матричным потенциалом. //ДАН СССР. 1990. Т. 314. № 1. С. 59 62.

40. Ильин В.А. Равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом из класса Li // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 4. С. 577 597.

41. Ильин В.А. О связи между видом краевых условий и свойствами ба-зисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора //Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 9. С. 1516 1529.

42. Ильин В.А., Ио И. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса Lp //Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1164 1174.

43. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О системах, состоящих из подмножеств корневых функций двух различных краевых задач //Тр. мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1992. Т. 201. С. 219 230.

44. Лангер Р. (Langer R.) The asymptotic solution of certain linear differential equations of the second order// Trans. Amer. Math. Soc. 1934. V. 36. P. 90- 106.

45. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными краевыми условиями // Мат. сборник. 1966. Т. 70. № 3. С. 310 329.

46. Федорюк М.В. Асимптотика решений обыкновенного линейного уравнения п-го порядка. // ДАН СССР. 1965. Т. 165. № 4. С. 777 779.

47. Федорюк M.B. Асимптотика решений обыкновенного линейного дифференциального уравнения п-го порядка. // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. № 4. С. 492 507.

48. Костюченко А.Г. Распределение собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов //ДАН СССР. 1960. Т. 168. № 1. С. 21 24.

49. Костюченко А.Г., Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Штурма-Лиувилля //Функц. анализ и его приложения. 1967. Т. 1. № 1. С. 86 96.

50. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. Москва. "Наука". 1969. 528с.

51. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными операторами второго порядка. T.I. Москва "Иностр. лит- ра. 1969. 278с.

52. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва. "Мир". 1964.

53. Моисеев Е.И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения дифференциального уравнения //Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 5. С. 827 844.

54. Карлеман Т. (Carlemán Т.) Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partiellen Differentialgleichungen //Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. Math. Kl. 1936. Bd. 88. S. 119 132.

55. Ломов И.С. О скорости равносходимости рядов Фурье по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля в интегральной метрике //Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 9. С. 1480 1493.

56. Ломов И.С. Неравенство Бесселя, теорема Рисса и безусловная базис-ность для корневых векторов обыкновенных дифференциальных операторов //Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1992. № 5. С. 42 52.

57. Ломов И.С. О скорости сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами второго порядка //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 1. С. 71 82.

58. Ломов И.С. Свойство базисности корневых функций дифференциальных операторов второго порядка //Докл. РАН. 1997. Т. 356. № 5. С. 595598. :

59. Ломов И.С. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциальных операторов на скорость равносходимости спектральных разложений. I. //Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 5. С. 619 628.

60. Ломов И.С. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциальных операторов на. скорость равносходимости спектральных разложений. II. //Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 8. С. 1066 -1077. '

61. Тихомиров В.В. Точные оценки регулярных решений одномерного уравнения Шредингера со спектральным параметром // ДАН СССР. 1983. Т. 273. № 4. С. 807 810.

62. Тихомиров В.В. Точные оценки собственных функций произвольного несамосопряженного оператора Шредингера //Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 8. С. 1378 1385.

63. Керимов Н.Б. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций обыкновенных дифференциальных операторов //ДАН СССР. 1986. Т. 291. № 5. С. 1054 1055.

64. Керимов Н.Б. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка //Мат. заметки. 1986. Т. 40. Вып. 5. С. 608 620.

65. Керимов Н.Б. Некоторые вопросы спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ, 1986.

66. Керимов Н.Б. О безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четвертого порядка //ДАН СССР. 1986. Т. 286. № 4. С. 803 808.

67. Керимов Н.Б. О базисности и равномерной минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов. I. //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 33. № 3. С. 317 322.

68. Керимов Н.Б. О базисности и равномерной минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов. И. //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 33. № 4. С. 470 476.

69. Керимов H.Б'. О базисности и равномерной минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов. III. //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 33. № 5. С. 591 598.

70. Будаев В .Д. О неравенстве Бесселя для систем корневых функций дифференциальных операторов //ДАН СССР. 1991. Т. 318. № 1. С. 16 -20.

71. Будаев В.Д. Критерий бесселевости и базисности Рисса систем корневых функций дифференциальных операторов. I //Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 12. С. 2033 2044.t

72. Будаев В.Д. Критерий бесселевости и базисности Рисса систем корневых функций дифференциальных операторов. II //Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 1. С. 23 33.

73. Будаев В.Д. О необходимых условиях безусловной базисности систем корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов //ДАН. 1993. Т. 329. № 4. С. 7 10.

74. Будаев В.Д. Необходимые условия базисности Рисса систем корневых функций обыкновенного несамосопряженного дифференциального оператора //Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 1. С. 20 30.

75. Волков В.Е. Достаточные условия базисности в ЬР и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений / / Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 6. С. 952 959.

76. Йо И., Нсма.туллаев Ш.А. Теорема о равносходимости //Acta Math. Acad. Sei. Himgar. 1982. V. 40. № 2 4. P. 277 - 285.

77. Йо И. Теорема типа равносходимости //ДАН УзССР. 1983. Т. 4. № 1. С. 6 8.

78. Коморник В (Komornik V.) Upper estimate for the eigenfunctions of higher order of a linear differential operator //Acta Scient. Math. 1983. V. 45. № 1 4. P. 261 - 271.

79. Коморник В. (Komornik V.) On the distribution of the eigenvalues of an orthonormal system, consisting of eigenfunctions of higher order of a linear differential operator //Acta Math. Hang. 1983. V. 42. № 1 2. P. 171 -175.

80. Лажетич H. О сходимости спектральных разложений, отвечающих неотрицательным самосопряженным расширениям оператора Штурма- Лиувилля, для функций из класса Н® // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. № 1. С. 61 68.

81. Крицков JI.B. Равномерная оценка порядка присоединенных функций и распределение собственных значений одномерного оператора Шре-дингера // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 7. С. 1121 1129.

82. Крицков JI.B. О необходимых условиях базисности в LP(G) систем корневых функций одномерного оператора Шредингера // ДАН СССР. 1990. Т. 311. № 6. С. 1306 1309.

83. Крицков Л.В. Распределение собственных значений для равномерно минимальных систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 1. С. 62 70.

84. Будаев В.Д. Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов. Дисс. докт. физ-мат. наук. Москва. 1993.

85. Алимов Ш.А., Йо И. (Alimov S.A., Joo I.) Eqiiiconvergenve theorem with exact order // Studia Scient. Math. Hungar. 1980. V. 15. P. 431 439.

86. Рыхлов B.C. Разложение по собственным и присоединенным функциям квазидифференциальных и интегральных операторов. Дисс. канд. физмат. наук. Саратов. 1981.

87. Йо И. (Joo I.) Upper estimates for the eigenfunctions of the Schrodinger operator // Acta Sei. Math. 1982. V. 44. № 1 2. P. 87 - 93.

88. Керимов H.Б. Базисность и равномерная минимальность систем кор: невых функций обыкновенных дифференциальных операторов. Дисс. докт. физ-мат. наук. Москва. 1996.

89. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ I. Изд. Моск. ун-та. 1985, 660с.

90. Йо И., Коморник В. (Joo I., Komornic V.) On the equiconvergence of expansions by Riesz bases formed by eigenfunctions of the Schrodinger operator // Acta Sei. Math. 1983. V. 46. R 357 375.

91. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М., Физмат-гиз, 1958.

92. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М., 1996.

93. Черных Н.И. О приближении функций полиномами со связями // Труды МИАН. 1967. Т. 88. С. 75 130.

94. Лебедь Т.К. Неравенства для многочленов и их производных // ДАН СССР. 1957. Т. 117. № 4. С. 570 572.

95. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М., "Наука", 1984. 495с.

96. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1972. 496с.

97. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М., Физматгиз. 1961.

98. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980. 495с.

99. Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов // ДАН СССР. 1984. Т. 275. № 4. С. 794 798.

100. Самарская Т.А. О равносходимости спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным расширениям дифференциального оператора второго порядка // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 1. С. 155 166.

101. Курбанов В.М. О свойствах спектра и собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов второго порядка. Дисс. канд. физ-мат. наук. Москва, МГУ. 1988.

102. Курбанов В.М. О базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений дифференциального оператора 2п-го порядка // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 7. С. 1279 -1280.

103. Курбанов В.М. О необходимых и достаточных условиях базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений // Тем. сборник научных трудов Аз. ГПУ им. Н. Туси "Специальные вопросы математического анализа". 1993. С. 115 121.

104. Курбанов В.М. Теоремы равносходимости для дифференциальных операторов с локально суммируемыми коэффициентами. // Тр. ИММ АН Азербайджана. 1996. Т. 6. С. 168 174.

105. Курбанов В.М. О неравенстве Хаусдорфа-Юнга для систем корневых вектор-функций дифференциального оператора n-го порядка // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 3. С. 358 367.

106. Курбанов В.М. О скорости равносходимости частичных сумм биор-тогональных разложений, отвечающих двум дифференциальным операторам // Спектральная теория операторов и ее приложения. Баку. 1997. Вып. XI. С. 99 116.

107. Курбанов В.М. О распределении собственных значений дифференциального оператора второго порядка //Из. АН Азербайдана. 1997. Т. 18.№ 4 5. С. 106 - 112.

108. Курбанов В.М. О скорости равносходимости спектральных разложений // Докл. РАН. 1999. Т. 365. № 4. С. 444 449.

109. Курбанов В.М. Равносходимость биортогональных разложений по корневым функциям дифференциальных операторов. I // Дифференц. уравнения. 1999. Т.35. № 12. С. 1597 1609.

110. Курбанов В.М. Равносходимость биортогональных разложений по корневым функциям дифференциальных операторов. II // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. № 3. С.319 335.