О бифуркации периодических решений уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Лысакова, Юлия Валерьевна

• Лысакова, Юлия Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лысакова, Юлия Валерьевна

Введение

1 Абстрактные теоремы о бифуркации

1.1 Некоторые понятия и факты из теории мер не-компактности и уплотняющих операторов и теории вращения.

1.2 Теорема о разложении собственных значений и собственных векторов уплотняющего оператора в линейном случае.

1.3 Аналог теоремы М.А. Красносельского о бифуркации для уплотняющих операторов.

1.3.1 Постановка задачи.

1.3.2 Необходимые условия бифуркации.

1.3.3 Достаточные условия бифуркации.

1.4 Бифуркация из непрерывной ветви решений.

1.4.1 Постановка задачи.

1.4.2 Обобщенная теорема М.А. Красносельского.

1.5 Литературные указания.

2 Бифуркация периодических решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием

2.1 Вспомогательные результаты из теории уравнений нейтрального типа.

2.2 Аналог теоремы М.А. Красносельского о бифуркации периодических решений из состояния равновесия для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Вычисление оператора

2.2.3 Основные результаты

2.3 Бифуркация из непрерывной ветви решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием.

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Вычисление оператора G*.

2.3.3 Основной результат

2.4 Литературные указания.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О бифуркации периодических решений уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием»

Актуальность темы. Уравнения с запаздыванием являются важной составляющей теории динамических систем. Они служат для описания большого класса систем управления, для моделирования различных процессов в технике, оптике, физике, биологии. Еще в 60-80 годах XX века уравнения с запаздыванием активно изучались такими математиками, как P.P. Ахмеров, Я.И. Гольцер, Ю.А. Дядченко, A.M. Зверкин, Г.А. Каменский, М.И. Каменский, С.А. Кащенко, М. А. Красносельский, Ю.С. Колесов, А.Д. Мышкис, А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский. Система дифференциальных уравнений с запаздыванием нейтрального типа, следуя терминологии из [32], имеет вид: x'(t) = f(t,e,W(e)xuW(e)x't), (1) где : М1 х [0,1] х C([-h, 0},Rm) х C([-h, 0],Rm) -> Rm, а выражения xt,x't Е C([—h, 0], Rm) определены следующим образом: xt(s) = x(t + 5), x't{s) = x'(t + s), где s G [—h, 0]. Оператор W(e) действует в пространстве C([—h, 0], Rm) по правилу:

W(£)u](s) = u(es), где £ e [0, l],s € [-Mb

Таким образом, e характеризует величину запаздывания в уравнении (1). Для данного е G [0,1] величина производной неизвестной функции х в момент времени t зависит от поведения функции ж и ее производной на отрезке [t — eh, t]. Для уравнений с параметром одной из важных задач является исследование критических значений параметра, приводящих к качественному изменению характера процесса, например, рождению предельных циклов или периодических решений из состояния равновесия.

Различные виды бифуркаций являлись одними из важных ступеней исследования в 60-80 годах XX века. В работах [23]-[27], [48], [49], [56], [57], [58], [60] изучается не только возможность возникновения бифуркаций, но и устойчивость бифуркационных решений, а также в некоторых случаях приводится оценка периода для бифуркационного периодического решения.

В настоящее время наблюдается новый всплеск интересов к вопросам, связанным с зависимостью решений от параметра для функционально-дифференциальных уравнений и бифуркацией по параметру (см., например, работы [10], [11], [12], [13], [41], [42], [44], [45], [47], [48], [50], [52], [53], [54], [55], [59], [61]).

В 70-х годах XX века М.А. Красносельский для нелинейных систем дифференциальных уравнений построил математическую модель рождения периодических режимов одного периода из состояния равновесия, называемую бифуркацией вынужденных колебаний из положения равновесия. (см, например, [29]). Отметим, что М.А. Красносельский рассматривал задачу о рождении периодических решений из состояния равновесия п - мерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которой непрерывно зависит от параметра. Таким образом, в силу конечномерности системы правая часть будет равномерно непрерывной по параметру. В системе же (1) непрерывность по е не будет равномерной и метод М.А. Красносельского непосредственно не может быть применен для анализа задачи о бифуркации периодических решений уравнения (1). Отметим также, что операторы, неподвижные точки которых определяют периодические решения уравнения (1), не будут вполне непрерывными в соответствующих функциональных пространствах. Поэтому возникает вопрос, возможно ли обосновать наличие бифуркации периодических решений для уравнения (1) и дать оценку нормы бифуркационного решения.

Таким образом, задача о существовании бифуркации периодических решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием, когда линеаризованная система имеет единственный с точностью до знака простой единичный мультипликатор, до сих нор является актуальной и интересной.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является исследование возможности существования бифуркаций из нулевого решения, а также из непрерывной ветви решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием.

Методы исследования. В диссертации использованы методы математического и функционального анализа, общей теории дифференциальных уравнений с малым запаздыванием, теории вращения векторных полей. Методологическую основу исследования составляют методы теории уплотняющих операторов и теории возмущений для линейных уплотняющих операторов.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:

1. Получены условия существования бифуркации периодических решений из состояния равновесия, а также из непрерывной ветви решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием.

2. Доказан аналог классической теоремы М.А. Красносельского о бифуркации для уплотняющих операторов в случае лишь сильной непрерывности таких операторов по параметру.

3. Сформулированы и доказаны условия существования бифуркации из непрерывной ветви решений для уравнения с уплотняющими операторами.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты представляют реальный интерес для теории колебаний, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, а также для теории уплотняющих операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на "Пятой Международной конференции по дифферециальным и функционально-дифференциальным уравнениям "(Москва, 2008 г.), на "Второй Международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям имени Я. Б. Лопатинского"(Донецк, Украина, 2008г.), на семинаре кафедры нелинейных колебаний факультета прикладной математики, информатики и механики ВГУ (г. Воронеж, 2009г.).

Публикации. Основные результаты были опубликованы в 5 работах [63]-[67]. Из совместных публикаций [63], [66] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [63] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав, разбитых на 9 параграфов, и списка цитируемой литературы, содержащей 67 источников. Общий объем диссертации — 112 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лысакова, Юлия Валерьевна, 2010 год

1. Ахмеров P.P. Принцип усреднения и устойчивость периодических решений уравнений нейтрального типа. / P.P. Ахмеров, М.И. Каменский // Тр. НИИ математики / Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 1974. - Вып. 15. - С. 9-13.

2. Ахмеров P.P. К вопросу об устойчивости состояния равновесия системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с малым отклонением аргумента / P.P. Ахмеров, М.И. Каменский // Успехи мат. наук. 1975. - Т.ЗО, №2. - С.205-206.

3. Ахмеров P.P. Периодические решения систем автономных функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием / P.P. Ахмеров, М.И. Каменский, B.C. Козякин, А.В. Соболев // Дифференц. уравнения. 1974. - Т.10, №11.- С. 1923-1931.

4. Борисович Ю.Г. К топологической теории уплотняющих операторов / Ю.Г. Борисович, Ю.И. Сапронов // Докл. АН СССР. 1968. - Т.183, №1. - С. 18-20.

5. Борисович Ю.Г. К топологической теории компактно сужаемых отображений / Ю.Г. Борисович, Ю.И. Сапронов // Тр. семинара по функциональному анализу / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1969. - Вып. 12.- С. 43-68.

6. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений / Г.М. Вайникко. Тарту : Изд-во Тартусского гос. ун-та, 1970. - 204 с.

7. Вайникко Г.М. О вращении уплотняющих векторных полей / Г.М. Вайникко , Б.Н. Садовский //В кн.: Проблемы математического анализа сложных систем. Воронеж : Изд-во Воронежского гос. ун-та, 1968. - Вып.2. - С. 84-88.

8. Гольцер Я.И. О существовании и единственности решений дифференциальных уравнений с запаздыванием в банаховом пространстве / Я.И. Гольцер, A.M. Зверкин // Дифференц. уравнения. 1976. - Т.12, т. - С. 1404-1409.

9. Данфорд Н. Линейные операторы / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. М. : ИЛ, 1962. - Т.1. - 895с.

10. Долгий Ю.Ф. Бифуркационный метод исследования устойчивости решения дифференциального уравнения с запаздыванием / Ю.Ф. Долгий, С. Н. Нидченко // Сибирский математический журнал. 2005. - Т. 46, № 6. - С. 1288-1301.

11. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодического решения нелинейного диф- ференциального уравнения с запаздыванием / Ю. Ф. Долгий, С. Г. Николаев // Дифференц. уравнения. 2001. - Т. 37, № 5. - С. 592-600.

12. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнения Вольтерра / Е.С. Жуковский // Матем. сборник. / Тамбовский гос. ун-т им. Г.Р. Державина. Тамбов, 2006. - Вып. 197. №10 -С. 33-56.

13. Жуковский Е.С. Эволюционные функционально-дифференциальные уравнения : автореферат дис. . д-ра физ.-мат. наук : 01.01.02 / Е.С. Жуковский. Екатеринбург, 2006. - 32 с.

14. Каменский Г.А. Существование, единственность и непрерывная зависимость от начальных условий решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа / Г.А. Каменский. // Мат. сб. 1961. - Т.55, №4. - С.363-378.

15. Каменский М.И. Вычисление индекса изолированного решения задачи Коши для функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа / Каменский М.И. // Сборник трудов аспирантов / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1973. - Вып. 1. - С. 6-12.

16. Каменский М.И. Об операторе сдвига по траекториям уравнений нейтрального типа / М.И. Каменский // Сборник работ аспирантов по теории функций и дифференциальным уравнениям / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1974. - С. 19-22.

17. Каменский М.И. Меры некомпактности и теория возмущений линейных операторов / М.И. Каменский // Уч. зап. Тартусского гос. ун-та. 1977. - №430. - С.112-122.

18. Каменский М.И. Оператор сдвига по траекториям уравнений нейтрального типа, зависящим от параметра / М.И. Каменский // Уч. зап. Тартусского гос. ун-та. 1978. - №448. - С.107-117.

19. Каменский М.И. Об исследовании устойчивости периодических решений для нового класса систем квазилинейных уравнений в банаховом пространстве / М.И. Каменский // Доклады академии наук. -1997. Т. 535, № 1. - С.13-16.

20. Каменский М.И. Первая и вторая теоремы Н.Н. Боголюбова -Н.М. Крылова в принципе усреднения / М.И. Каменский // Учебно-методические материалы. Воронеж : ВорГу, 1998. - 15 с.

21. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы / А. Картан. М. : Мир, 1971. - 392 с.

22. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. М. : Мир, 1972. - 740 с.

23. Кащенко С. А. Периодические решения системы нелинейных уравнений с запаздываниями, моделирующих задачу хищник-жертва / С.А. Кащенко // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981.

24. Кащенко С.А. Исследование сложных колебаний систем запаздывания методом большого параметра / С.А. Кащенко // Тезисы докл. Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям механических систем. Горький, 1987. - Ч. 1.

25. Кащенко С.А. Бифуркационные особенности сингулярно возмущенного уравнения с запаздыванием / С.А. Кащенко // Сибирский математический журнал. 1999. - Т. 40, № 3. - С. 567-572.

26. Кащенко С. А. Бифуркации в окрестности цикла при малых возмущениях с большим запаздыванием / С. А. Кащенко // ЖВМ и МФ. -2000. Т. 40, № 5. - С. 693-702.

27. Колесов Ю.С. Автоколебания в системах с запаздыванием / Ю.С. Колесов, Д.И. Швитра. Вильнюс : Мокслас, 1979 . — 145 с.

28. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М. : Наука, 1975. - 512 с.

29. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М. : Наука, 1966. - 332 с.

30. Красносельский М.А. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / М.А. Красносельский, С.Г. Крейн // Тр. семинара по функциональному анализу / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1956. - Вып. 2. - С. 2-23.

31. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / JI.A. Лю-стерпик. М. : Наука, 1965. - 520 с.

32. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / P.P. Ахмеров и др.]. Новосибирск : Наука, 1986. - 265 с.

33. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис. М. : Наука, 1972. - 352 с.

34. Родкина А.Е. О продолжимости единственности и непрерывной зависимости от параметра решений уравнений нейтрального типа / А.Е. Родкина // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 11, №2. - С. 268-279.

35. Родкина А.Е. Теорема о неявной функции и разрешимость уравнений нейтрального типа / А.Е. Родкина // Дифференц. уравнения. -1983. Т.19, №6. - С. 1632-1636.

36. Родкина А.Е. О разрешимости уравнений нейтрального типа в различных функциональных пространствах / А.Е. Родкина // Укр. мат. журн. 1983. - Т.35, №1. - С. 64-69.

37. Родкина А.Е. О дифференцировании оператора сдвига по траекториям уравнения нейтрального типа / А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский // Тр. математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1974. - Вып. 12. - С. 31-37.

38. Рудин У. Основы математического анализа / У. Рудин. СПб. : Лань, 2002. - 319 с.

39. Садовский Б.Н. О мерах некомпактности и уплотняющих операторах / Б.Н. Садовский //В кн.: Проблемы математического анализа сложных систем / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1968. - Вып. 2. - С. 89-119.

40. Сапронов Ю.И. К гомотопической классификации уплотняющих отображений / Ю.И. Сапронов // Тр. математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1972. - Вып. 6. - С. 78-80.

41. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю.И. Сапронов // Матем. заметки. 1991. - Т. 49, вып. 1. - С. 94-103.

42. Сапронов Ю.И. Глобальное сравнение схем конечномерной редукции в гладких вариационных задачах / Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Матем. заметки. 2000. - Т. 67, вып. 5. - С. 745-754.

43. Эльсгольц Л. Э. Введение в теорию уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц, С.Б. Норкин. М.: Наука, 1971. - 296 с.

44. Barton D.A.W. Homoclinic bifurcations in a neutral delay model of a transmission line oscillator / D.A.W. Barton, B. Krauskopf, R.E. Wilson // Nonlinearity. 2007. - V. 20, №4. - P. 809-829.

45. Barton D.A.W. Collocation schemes for periodic solutions of neutral delay differential equations / D.A.W. Barton, B. Krauskopf, R.E. Wilson // J. Difference Equ. Appl. 2006. - V. 12, № 11. - P. 10871101.

46. Engelborghs K. Bifurcation analysis of periodic solutions of neutral functional differential equations: a case study / K. Engelborghs, D. Rooseand Т. Luzyanina // International Journal of Bifurcation and Chaos. -1998. V.8. - P. 1889-1905.

47. Engelborghs K. Bifurcation analysis of periodic solutions of neutral functional-differential equations: a case study / K. Engelborghs, D. Roose, T. Luzyanina // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 1998. - V. 8, № 10. - P. 1889-1905.

48. Hale J.K. Hopf bifurcation for functional equations / J.K. Hale, J.C.F. de Oliveira // J. Math. Anal. Appl. 1980. - V. 74. - P.41-59.

49. Kaplan J. L. Ordinary differential equations which yield periodic solutions of differential delay equations / J. L. Kaplan, J. A. Yorke // J. Math. Anal. Appl. 1974. - V. 48, № 2. - P. 317-324.

50. Lin Y. Bifurcation of periodic solution in a three-unit neural network with delay / Y. Lin, R. Lemmert, P. Volkmann // ActaMath. Appl. Sinica (English Ser.). 2001. - V.17, № 3. - P. 375-381.

51. Loud W.S. Periodic solutions of a perturbed autonomous system/ W.S. Loud. Annals of Mathematics. - 1959. - Vol.70 N.3 - P. 490-529.

52. Luzyanina T. Periodic solutions of differential algebraic equations with time delays: computation and stability analysis / T. Luzyanina, D. Roose // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 2006. - V. 16, № 1. -P. 67-84.

53. Luzyanina T. Computing Floquet multipliers for functional differential equations / T. Luzyanina, K. Engelborghs // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 2002. - V. 12, № 12. - P. 2977-2989.

54. Luzyanina T. Numerical bifurcation analysis of differential equations with state-dependent delay / T. Luzyanina, K. Engelborghs // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 2001. - V.ll, № 3. - P. 737-753.

55. Luzyanina Т. Computation, continuation and bifurcation analysis of periodic solutions of delay differential equations / T. Luzyanina, K. Engelborghs, K. Lust, D. Roose // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 1997. - V. 7, № 11. - P. 2547-2560.

56. Marsclen J. Hopf Bifurcation and its Applications / J. Marsden, M. McCracken. Springer, New York, 1982. - 410 p.57. do Oliveira J.C.F. Hopf bifurcation for functional differential / J.C.F. de Oliveira // Nonlin. Anal. 1980. - V.4. - P. 217-229.

57. Petrov D.I. Bifurcation values of the parameters in a problem on forced oscillations in control systems with delays / D.I. Petrov // Z. Anal. Anwendungen. 1988. - V. 7, № 2. - P. 141-148.

58. Roose D. Continuation and bifurcation analysis of delay differential equations / D. Roose , R. Szalai // Numerical continuation methods for dynamical systems. Springer, Dordrecht, 2007. - P. 359-399.

59. Staffans O.J. Hopf bifurcation for functional and functional-differential equations with infinite delay / O.J. Staffans //J. Differential Equations. 1987. - V. 70, № 1. - P. 114-151.

60. Weedermanri M. Hopf bifurcation calculations for scalar neutral delay differential equations / M. Weedermann // Nonlinearity. 2006. - V.19, № 9. - P. 2091-2102.

61. Wei J.J. Stability and global Hopf bifurcation for neutral differential equations / J.J. Wei , S.G. Ruan // Acta Math. Sin. 2002. - V. 45. - P. 93-104.

62. Лысакова Ю.В. О бифуркации периодических решений для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа смалым запаздыванием / М.И. Каменский , Ю.В. Лысакова, П. Ни-стри // Автоматика и телемеханика. 2008. - №12 . - С. 41-46.

63. Лысакова Ю.В. К Теореме М.А. Красносельского о бифуркации / Ю.В. Лысакова // Вестн. ВГУ. Сер. Физика. Математика. 2008. - № 2. - С. 129-132.

64. Лысакова Ю.В. Обобщение теоремы М.А. Красносельского о бифуркации в бесконечномерном случае / Ю.В. Лысакова // Вестн. ВГУ. Сер. Физика. Математика. 2009. - № 1. - С. 138-140.