Устойчивость периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Нидченко, Сергей Николаевич

• Нидченко, Сергей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нидченко, Сергей Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

1 РОЖДЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ИЗ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

1.1 Постановка задачи.

1.2 Функция Грина периодической задачи.

1.3 Специальное интегральное уравнение.

1.4 Система уравнений разветвления.

1.5 Асимптотические представления периодических решений уравнения (1.1) и их периодов.

1.6 Устойчивость периодических решений

1.7 Примеры

2 БИФУРКАЦИОННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

2.1 Существование антисимметрических периодических решений.

2.2 Оператор монодромии.

2.3 Асимптотика периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.2) при малых значениях параметра (л

2.4 Устойчивость квазигармонических дифференциальных уравнений с запаздыванием

2.5 Устойчивость дифференциального уравнения (2.18)

2.6 Устойчивость периодических решений нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием.

2.7 Примеры.

3 УСТОЙЧИВОСТЬ АНТИСИММЕТРИЧЕСКИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

3.1 Существование периодических решений

3.2 Бифуркационная постановка в задаче устойчивости периодического решения

3.3 Исследование бифуркаций корней характеристического уравнения

3.4 Устойчивость периодических решений

3.5 Пример.

4 ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

ХИЩНИК-ЖЕРТВА"С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

4.1 Существование симметрических периодического решения.

4.2 Устойчивость однопараметрической системы уравнений с запаздыванием

4.3 Расположение корней характеристического уравнения для порождающей краевой задачи.

4.4 Поведение корней характеристического уравнения при конечных значениях параметра.

4.5 Численные исследования математической модели.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием»

История вопроса. Теория нелинейных периодических колебаний дифференциальных уравнений с запаздыванием активно используется при качественном исследовании конкретных математических моделей, учитывающих наследственные свойства динамических процессов. В ходе своего развития она использовала идеи и методы теории нелинейных колебаний для обыкновенных дифференциальных уравнений. Основы метода Ляпунова - Пуанкаре для систем с последействием заложены в работах Н.Н. Красовского [45], A. Halanay [113,114], С.Н. Шиманова [88,91,92], Ю.А. Рябова [69,70], А.Ф. Клейменова [33,34], Л.Э. Эльсгольца [98], К.М. Цойя [86,87], Л.З. Фишмана [80]. Асимптотический метод для систем с запаздыванием разрабатывался в работах Ю.А. Митропольского [53,54], В.П. Рубаника [68], В.И. Фодчу-ка [53,81], A. Halanay [115], Д.И. Мартынюка [51,54], A.M. Самойленко [51], B.C. Сергеева [72] и других авторов. Метод Андронова - Хопфа использовался при нахождении периодических решений в работах J.K. Hale [116], S. Chow, J. Mallet-Paret [102], Ю.С. Колесова, Д.И. Швитра [35], N.D. Kazarinoff, Y.H. Wan, P. van den Driess-che [123], N. Chafee [101], J.R. Claeyssen [103], D. Schley [130]. Топологические методы применялись в работах М.А. Красносельского [42-44], В.В. Стрыгина [44], Б.Н. Садовского [71], Ю.Г. Борисовича [6,7], В.Ф. Субботина [6,77], P.P. Ахмерова [3]. Периодические релаксационные колебания в системах с запаздыванием изучались в работах Ю.С. Колесова [36], С.А. Кащенко [30], В.И. Фодчука, А. Холматова [82]. Периодические колебания в системах с малым запаздыванием исследовались в работах В.И. Рожкова [66,67], A.M. Родионова [65]. Разрабатывались специальные методы нахождения периодических решений, учитывающие индивидуальные особенности рассматриваемого дифференциального уравнения с запаздыванием (Е.М. Wright [136], G. Jones [119,120], R. Nussbaum [126,127], R.B. Grafton [108,109], J.L.Kaplan, J.A. Yorke [121,122], H. Walther [133,134]). Предложенные методы исследования периодических колебаний активно используются при качественном исследовании поведения конкретных математических моделей (G.E. Hutchinson [118], D. Stirzaker [131], R. May [124], В.Г. Бабский, А.Д. Мышкис [4], С.А. Кащенко [31], К. Gopalsamy [107], Г.И. Марчук [52], В. Вольтерра [12], Ю.С. Колесов [37], В.В. Майоров, И.Ю. Мыш-кин [48], А.Д. Дроздов, В.Б. Колмановский [25], W. Wang, S. Ruan [135]). Устойчивость решений периодических систем дифференциальных уравнений изучалась в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова [39], Н.Н. Красовского |46], Дж. Хей-ла [83], A.M. Зверкина [27], С.Н. Шиманова [95], A. Halanay [112], W. Hahn [110], В.А. Stakes [132], Н.В. Азбелева [1], П.М. Симонова [2,73], А.Ф. Клейменова [34], Ю.Н. Смолина [74,75], Е.Л. Тонкова [78], Ю.Ф. Долгого [21], В.Г. Курбатова [47], Д.Я. Хусаинова [84], В.В. Малыгиной [50], В.А. Тышкевича [79], Л.М. Березанско-го [5], А.В. Захарова [15,26], С.Г. Николаева [20], Г.Л. Гасилова [14], А.В. Кима [40,41], А.Л. Скубачевского, Х.О. Вальтера [10,11], J.L. Kaplan, J.A. Yorke [121], P. Dor-mayer [104,105], P. Dormayer, A.F. Ivanov , B. Lani-Vayda [106] и других авторов.

Объект исследования и основные результаты. Изучаются вопросы существования и устойчивости периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием.

В первой главе исследуется бифуркация рождения периодического решения из положения равновесия для скалярного уравнения с запаздыванием. Аналогичные задачи изучались в [35,101-103,116,123]. В данной работе при построении уравнений разветвления используется специальное интегральное уравнение |16 18]. Новизна реализации этого подхода связана с новой процедурой нахождения функции Грина. Для решения последней проблемы используются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Учет специфики рассматриваемого дифференциального уравнения с запаздыванием позволяет предложить простой и конструктивный алгоритм построения функции Грина. Условия существования периодического решения получены, при наличии конечной гладкости правой части дифференциального уравнения. Построена асимптотика периодического решения и его периода. Определение условий устойчивости потребовало большого объема вычислений. В результате найден аналитический признак устойчивости, который обобщает аналогичные признаки, полученные для дифференциальных уравнений с запаздыванием в работах [85,108,117].

Во второй главе рассматривается существенно нелинейное дифференциальное уравнение dx{t)/dt — —f(x(t — т)), с нечетной функцией /. Наличие симметрии в уравнении позволяет ставить задачу о нахождении антисимметрического 4т-периоди-ческого решения. Указанная задача изучалась в [20,104,109,122,127]. В настоящей работе вопрос существования периодического решения решается на основе изучения, зависящего от начальных значений, периода решений канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исследуемой задачи большую проблему составляет определение условий устойчивости периодических решений [2,9,20,104,105,121]. В работе Ю.Ф. Долгого и С. Г. Николаева [20] предложен бифуркационный метод решения проблемы устойчивости периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием. Он позволил получить достаточные условия устойчивости периодических решений с конечными амплитудами. При этом требовалась монотонная зависимость периода от начальных значений. Во второй главе диссертации удалось снять это жесткое ограничение на период и решить задачу в общей ситуации. Численные эксперименты подтвердили теоретические результаты, согласно которым уравнение может иметь несколько периодических решений, а их устойчивость определяется знаком производной периода для начального значения порождающего периодического решения.

В третьей главе рассматривается существенно нелинейное дифференциальное уравнение dx(t)/dt = f(x(t),x(t — г)). Периодические решения для такого дифференциального уравнения изучались в [106,108,109,119 122,126,127,133,134,136|. Особенность рассматриваемой постановки в наличии симметрий функции /, что допускает возможность существования антисимметрического 4т- периодического решения [106]. Трудности представляет задача нахождения условий устойчивости этого решений. Здесь используется бифуркационный метод изложенный во второй главе. Применение его к более сложному объекту потребовало преодоления дополнительных технических трудностей. В результате поставленная задача была решена для нового более общего объекта.

В четвертой главе исследуется поведение динамических процессов в одной математической модели "хищник - жертва" [13, 25, 55, 76, 111,129, 137 139]. Показано, что динамическая система может иметь периодическое решение, период которого совпадает с запаздыванием. Существование такого решения связано с наличием симметрий у математической модели, которая описывается системой дифференциальных уравнений с запаздыванием второго порядка. Установлена возможность использования бифуркационного метода исследования устойчивости периодических решений для системы уравнений второго порядка. Его применение позволило доказать неустойчивость обнаруженного периодического решения. Глобальное поведение математической модели было изучено в ходе компьютерного моделирования динамических процессов.

Краткое содержание работы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Нидченко, Сергей Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

- Предложена новая модификация метода вспомогательных систем Шиманова при построении уравнений разветвления в бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциального уравнения с запаздыванием.

- Получены достаточные условия рождения периодического решения из положения равновесия.

- Найден коэффициентный признак устойчивости периодического решения с малой амплитудой.

- Для нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием получены условия устойчивости и неустойчивости антисимметрических и симметрических периодических решений с конечными амплитудами.

- Для дифференциальных уравнений с симметриями теоретически обосновано применение бифуркационного метода исследования устойчивости периодических решений.

- Предложены алгоритмы численного моделирования устойчивых периодических решений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нидченко, Сергей Николаевич, 2006 год

1. Азбелев Н.В. Устойчивость линейных систем с последействием // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск. 1988. С. 65-72.

2. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Пермского университета. 2001. 230 с.

3. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Новосибирск:Наука. 1986. 266 с.

4. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии связанные с учетом последействия// В кн. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.:Наука. 1983. С. 383-394.

5. Березанский JI.M. Развитие W-метода Н.В. Азбелева в задачах устойчивости решений линейных функционально-дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 5. С. 739-750.

6. Борисович Ю.Г., Субботин В.Ф. Оператор сдвига по траекториям эволюционных уравнений с запаздывающим аргументом//Докл. АН СССР. 1967. Т. 175. С. 9-12.

7. Борисович Ю.Г. О методе Пуанкаре Андронова в задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием//Докл. АН СССР. 1963. Т. 152. С. 779-782.

8. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1969. 528 с.

9. Вальтер Х.О., Скубачевский А.Я. О мультипликаторах Флоке для медленно осциллирующих периодических решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений//Труды московского математического общества. 2003. Т. 64. С. 3-33.

10. Вальтер Х.О., Скубачевский A.JI. О гиперболичности быстро осциллирующих периодических решений функционально-дифференциальных уравнений// Функциональный анализ и его приложения. 2005. Т. 39, Вып. 1. С. 82-85.

11. Вальтер Х.О., Скубачевский A.JJ. О спектре оператора монодромии для медленно осциллирующих периодических решений функционально-дифференциальных уравнений// Докл. РАН. 2002. Т. 384, № 4. С. 442-445.

12. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существования. М.:Наука. 1976. 288 с.

13. Гамумов Р. Динамика системы с нелинейным ростом размножения "жертв"// Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 7. С. 1263-1265.

14. Гасилов Г.Л. О характеристическом уравнении системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием// Известия вузов. Математика. 1972. № 4. С. 60-66.

15. Долгий Ю.Ф., Захаров А.В. Периодические колебания в консервативных системах с малым запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 10. С. 1299-1309.

16. Долгий Ю.Ф., Колупаева О.С. Бифуркация Хопфа для дифференциальных уравнений с малым запаздыванием//Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциальные уравнения. 1997. JV® 4. С. 84-90.

17. Долгий Ю.Ф. Метод вспомогательных систем Шиманова в задачах построения уравнений разветвления//Известия Уральского государственного университета. 2003. № 26. (Математика и механика. Вып. 5.) С. 55-65.

18. Долгий Ю.Ф. Метод вспомогательных систем Шиманова в задачах периодических колебаний автономных систем//Тезисы докладов VII международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем уравнений". Москва. 2002. С. 24-26.

19. Долгий Ю. Ф. Автоматическое регулирование. Свердловск. Изд-во УрГУ. 1987. 100 с.

20. Долгий Ю.Ф., Николаев С.Г. Устойчивость периодического решения нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием// Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 5. С. 592-600.

21. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург: УрГУ. 1996. 84 с.

22. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием// Известия Уральского государственного университета. 2005. JV8 38. (Математика и механика. Вып. 8.) С. 50-68.

23. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Бифуркационный метод исследования устойчивости решения дифференциального уравнения с запаздыванием// Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 6. С. 1288-1301.

24. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнения с запаздыванием // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Екатеринбург:УрГУ. 2004. С. 159-160.

25. Дроздов А.Д., Колмановский В.Б., Тримсанте Д. Об устойчивости системы "хищник-жертва"// Автоматика и телемеханика. 1992. № 11. С. 57-64.

26. Захаров А.В. Устойчивость периодических решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2005. № 1. 20 с.

27. Зверкин A.M. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями соизмеримыми с периодом коэффициентов// Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 9. С. 1481-1492.

28. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз. 1962. 631 с.

29. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука. 1977. 744 с.

30. Кащенко С.А. О сложных периодических решениях системы дифференциально-разностных уравнений с малой диффузией//Докл. АН СССР. 1989. Т. 306. JV« 1. С. 35-38.

31. Кащенко С.А. Циклические риски и системы с запаздыванием. В кн. Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. М.:Наука. 2000. С. 201425.

32. Кащенко С.А. Стационарные режимы в задаче хищник-жертва. Киев:Препр. ИМ АН УССР. 1984. № 84.

33. Клейменов А.Ф., Шиманов С.Н. К вопросу о существовании и построении периодических решений систем с запаздыванием, близких к системам Ляпунова// Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4, № 7. С. 1199-1211.

34. Клейменов А.Ф. Существование и устойчивость периодических решений систем Ляпунова// Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4, Л» 8. С. 1431-1440.

35. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Виль-нюс:Мокслас. 1979. 147 с.

36. Колесов Ю.С. Некоторые задачи математической экологии// Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс. 1981. Вып. 29. С. 27-34.

37. Колесов Ю.С. Математические модели в экологии// Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1979. С. 3-40.

38. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии. Труды МИРАН. 1993. Т. 199.

39. Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.:Наука. 1981. 448 с.

40. Ким А.В. Ко второму методу Ляпунова для систем с последействием// Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 3. С. 385-391.

41. Ким А.В. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург:УрГУ. 1992. 144 с.

42. Красносельский М.А. Альтернативный принцип существования периодических решений для дифференциальных уравнений с запаздыванием//Докл. АН СССР. 1963. Т. 152, № 4. С. 801-804.

43. Красносельский М.А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений// Успехи математических наук. 1966. Т. 21, 3. С. 5374.

44. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Стрыгин В.В. Об одном новом методе в задаче о периодических решениях уравнения с отклоняющимся аргумен-том//Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1967. Т. 5. С. 116-121.

45. Красовский Н.Н. О периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием времени// Докл. АН СССР. 1957. Т. 114, № 2. С. 252-255.

46. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз. 1959. 221 с.

47. Курбатов В. Г. Об устойчивости функционально-дифференциального уравнения на оси и полуоси // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 6. С. 923 927.

48. Майоров В.В., Мышкин И.Ю. Математическое моделирование нейронов сети на основе уравнений с запаздыванием//Математическое моделирование. 1990. Т. 2, № 11. С. 64-76.

49. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.:ГИТТЛ. 1956. 492 с.

50. Малыгина В.В. Об устойчивости уравнений с периодическими параметрами // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь. 1987. С. 41-43.

51. Мартынюк Д.И., Самойленко A.M. Периодические решения нелинейных систем с запаздыванием// Математическая физика. Киев. 1967. № 3. С. 128-145.

52. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М.:Наука. 1991. 304 с.

53. Митрополъский Ю.А., Фодчук В.И. Асимптотические методы нелинейной механики применительно к нелинейным дифференциальным уравнениям с запаздыванием аргумента//Украинский математический журнал. 1966. Т. 18, № 3. С. 65-84.

54. Митрополъский Ю.А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа. 1979. 247 с.

55. Недорезов JI.B., Утюпин Ю.В. Об одной модели системы хищник- жертва с запаздыванием// Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 4, № 4. С. 67-74.

56. Нидченко С.Н. Существование и устойчивость периодического решения квазилинейного дифференциального уравнения с запаздыванием // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VII международный семинар. Тезисы докладов. М.:ИПУ. 2002. С. 13-14.

57. Нидченко С.Н. Численное моделирование периодических решений для нелинейных уравнений с запаздыванием // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж:ВГУ. 2003. С. 98-99.

58. Нидченко С.Н. Существование и устойчивость антисимметрических периодических решений в нелинейных системах с запаздыванием // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VIII международный семинар. Тезисы докладов. М.:ИПУ. 2004. С. 132-134.

59. Нидченко С.Н. Периодические решения в математической модели "хищник -жертва"// Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ. Воронеж:ВГУ. 2005. С. 113-114.

60. Нидченко С.Н. Бифуркация периодических движений в нелинейных системах с запаздыванием // Деп. в ВИНИТИ 29.08.01. М910-В2001. Уральский государственный университет. 2001. 34 с.

61. Нидченко С.Н. Рождение периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием из положения равновесия // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал. 2005. № 4. 50 с.

62. Нидченко С.Н. Устойчивость периодических решений одного дифференциального уравнения с запаздыванием// Труды 31-й Региональной молодежной конференции. Проблемы теоретической механики. Екатеринбург. 2000. С. 55-56.

63. Нидченко С.Н. Рождение периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием из положения равновесия// Известия института математики и информатики. Ижевск. 2006. Вып. 3, № 37. С. 111-112.

64. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука. 1982. 331 с.

65. Родионов A.M. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием//Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1963. Т. 2. С. 200-207.

66. Рожков В. И. Асимптотическое представление периодического решения уравнения нейтрального типа с малым запаздыванием//Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27, Вып. 6. С. 1143-1147.

67. Рожков В.И. Асимптотика периодического решения уравнения нейтрального типа с малым запаздыванием//Докл. АН СССР. 1968. Т. 18, № 5. С. 1041-1044.

68. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука. 1969. 288 с.

69. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра Ляпунова-Пуанкаре в теории систем с запаздыванием//Инженерный журнал. 1961. Т. 1, № 2. С. 3-15.

70. Рябов Ю.А. Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом//Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 1. С. 103-113.

71. Садовский Б.Н. Применение топографических методов в теории периодических решений нелинейных дифференциально-операторных уравнений нейтрального типа//Докл. АН СССР. 1971. Т. 200, № 5. С. 1037-1048.

72. Сергеев B.C. О предельно периодических движениях в некоторых системах с последействием//Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68, № 85. С. 857869.

73. Симонов П.М. Теоремы об устойчивости обобщенных линейных периодических уравнений// Функционально-дифференциальные уравнения. ПермыППИ. 1986. С. 23-26.

74. Смолин Ю.Н. Некоторые вопросы теории функционально-дифференциальных моделей. Магнитогорск:МаГУ. 2003. 341 с.

75. Смолин Ю.Н. Экспоненциальная устойчивость почти периодических решений дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 9. С. 1282-1285.

76. Степанов A.M. Особенности динамики двух конкурирующих видов в простейшем случае//Современные проблемы математики и информации. 2005. N2 7. С. 104-109.

77. Субботин В.Ф. Теоремы существования периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом// Украинский математический журнал. 1966. Т. 18, № 4. С. 128-134.

78. Тонкое E.JI. Показатели Ляпунова и ляпуновская приводимость линейных систем с последействием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск. 2001. № 3. С. 13-30.

79. Тышкевич В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев:Наукова думка. 1981. 80 с.

80. Фишман А.З. Об отыскании периодических движений систем с запаздывани-ем//Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, Вып. 1. С. 165-168.

81. Фодчук В.И., Холматов А. О теории асимптотического метода Крылова-Боголюбова для функционально-дифференциальных уравнений//Украинский математический журнал. 1974. Т. 26. С. 634-675.

82. Фодчук В.И., Холматов А. Периодические и почти-периодические решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений нейтрального ти-па//Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 6. С. 1019-1027.

83. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1984. 421 с.

84. Хусаинов Д.Я., Шатырко А.В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифференциально-функциональных систем. Киев: Издательство Киевского университета. 1997. 236 с.

85. Хэссард В., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир. 1985. 280 с.

86. Цой К.М., Шиманов С.Н. О периодических колебаниях квазилинейных автономных систем с запаздыванием//Известия вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10, № 3. С. 345-352.

87. Цой К.М. Периодические колебания квазилинейных автономных систем с за-паздыванием//Известия вузов. Радиофизика. 1964. Т. 7, № 6. С. 1170-1179.

88. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазигармонических систем с запаздывани-ем//Прикладная математика и механика. 1959. Т. 23, Вып. 5. С. 836-844.

89. Шиманов С.Н. К теории квазигармонических колебаний//Прикладная математика и механика. 1952. Т. 16, Вып. 2. С. 129-146.

90. Шиманов С.Н. Об одном способе получения условий существования периодических решений нелинейных систем//Прикладная математика и механика. 1955. Т. 19, Вып. 2. С. 225-228

91. Шиманов С.Н. Колебания квазилинейных автономных система с запаздывани-ем//Известия вузов. Радиофизика. 1960. Т. 3, № 3. С. 456-466.

92. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с постоянным запаздыванием//Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21, № 6. С. 706-709.

93. Шиманов С.Н. Об устойчивости квазигармонических систем с запаздыванием// Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25, Вып. 6. С. 992-1002.

94. Шиманов С.Н. О почти периодических решениях неоднородных линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия вузов. Математика. 1958. № 4. С. 270-274.

95. Шиманов С. Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27, Вып. 3. С. 450-458.

96. Шиманов С.Н. Об отыскание характеристических показателей систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами// Прикладная математика и механика. 1958. Т. 22, Вып. 3. С. 382-385.

97. Шиманов С.Н. О неустойчивости движения систем с запаздыванием по времени// Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, Вып. 1. С. 55-63.

98. Эльсгольц Л.Э. Некоторые свойства периодических решений линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргумен-том//Вестник МГУ. Сер. матем., мех., астроном., физ., хим. 1959. Вып. 5. С. 229-234.

99. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.:Наука. 1971. 296 с.

100. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.:Наука. 1972. 720 с.

101. Chafee N. The bifurcation problem for a functional differential equation of finitely retarded type//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1971. V. 35, N. 2. P. 312-348.

102. Chow S., Mallet-Paret J. Integral averaging and bifurcation j j Journal of Differential Equations. 1977. V. 26, N. 1. P. 112-159.

103. Claeyssen J.R. Effect of delays on functional differential equations// Journal of Differential Equations. 1976. V. 20, N. 2. P. 404-440.

104. Dormayer P. The stability of special symmetric solutions of x(t) = af(x(t — 1)) with small amplitudes// Nonlinear analysis, theory, methods and applications. 1990. V. 14. N. 8. P. 701-715.

105. Dormayer P. Smooth bifurcation of symmetric periodic solutions of functional differential equations // Nonlinear Analysis, Methods and Applications. 1990. V. 14, N. 8. P. 701-715.

106. Dormayer P., Ivanov A. F., Lani-Vayda B. Floquet multipliers of symmetric rapidly oscillating solutions of differential delay equations // Tohoku Math. J. 2002. V. 54, N. 3. P. 419-441.

107. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht. 1992.

108. Grafton R.B. A periodicity theorem for autonomous functional differential equations// Journal of Differential Equations. 1969. V. 6, N. 1. P. 87-109.

109. Grafton R.B. Periodic solutions of certain Leinard equation with delay// Journal of Differential Equations. 1972. V. 11, N. 3. P. 519-527.

110. Hahn W. On difference diferential equations with periodic coefficients // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1961. V. 3, N. 1. P. 70-101.

111. Hai-Feng H., Wan-Tong L., Periodic solutions of delayed Leslie-Gower predator-prey models//Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 155, N. 3. P. 591-605.

112. Halanay A. Stability theory of linear periodic systems with delay // Revue de Math-matiques Pures et Appliques. 1961. V. 4, N. 4. P. 633-653.

113. Halanay A. Periodic and almost periodic solutions of differential equations with delay//Revue de Mathmatiques Pures et Appliques. 1959. V. 4, N. 4. P. 685-691.

114. Halanay A. Solutions periodiqres des systemes generaux a retarolement dans le cas de la resonance// C.R. Acad.Sci. 1960. V. 251, N. 18. P. 1856-1858.

115. Halanay A. On the method of averaging for differential equations with retarded argument// Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1966. V. 14, N. 1. P. 70-76

116. Hale J.K. Nonlinear ascillation in equations with delay// Nonlinear ascillations in biology. Lectures in Applied Mathemacises. V. 171. Amer. Mat. Soc. Providence. R.l. 1979.

117. Hausrath A. R. Stability in the critical case of purely imaginary roots for neutral functional differential equations// Journal of Differential Equations. 1973. V. 13, N. 2. P. 329-357.

118. Hutchinson G.E. Circular causal systems in ecology// Ann. N.Y. Acad. Sci. 1948. V. 50. P. 221-246.

119. Jones G. The existence of periodic solutions of f '(x) = —af(x—l)l+/(x).//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1962. V. 5, N. 3. P. 435-450.

120. Jones G. On the nonlinear differential difference equation f (x) = —af(x — 1)1 4-/(x).//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1962. V. 4, N. 3. P. 440469.

121. Kaplan J. L., Yorke J. A. On the stability of a periodic solution of a delay differential equation// SIAM. J. Math. Ana. 1975. V. 6. P. 268-282.

122. Kaplan J. L., Yorke J. A. Ordinary differential equations which yield periodic solutions of differential delay equations// Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1974. V. 48, N. 2. P. 317-324.

123. Kazarinoff N.D., Wan Y.H., van den Driessche P. Hopf bifurcation and stability of periodic solution of differential-difference and integro-differential equations//J. Inst, of Math, and Ins. Appl. 1978. V. 21. P. 461-477.

124. May R. Time-delay versus stability in population models with two and three trophic levels//Ecology. 1973. V. 54. P. 315-325.

125. Mukhopadhyay В., Bhattacharyya R. J. Dynamics of a delay diffusion prey-predator model with disease in the prey//Applied Mathematics and Computation. 2005. V. 17, N. 1-2, P. 361-377.

126. Nussbaum R. A global bifurcation theorem with applications to functional differential equations// Journal of Functional Analysis. 1975. V. 19, N. 4. P. 319-339.

127. Nussbaum R. Periodic solutions of some nonlinear autonomous functional differential equations// Annals matematica pura ed applicata. 1974. V. 10. Ser. 4. P. 263-306.

128. Rui X., Chaplain M. A. J., Dowidson F. A.Periodic solutions of predator-prey model with stage structure for predator//Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 154, N. 3, P. 847-870.

129. Rui X., Lan-sun C., Fei-long Я-Periodic solutions of a delayed predator-prey model with stage structure for prey//Aeta math, appl, sin. Eupe Ser. 2004. V. 20, N. 2. P. 323-332.

130. Schley D. Bifurcation and stability of periodic solutions of differential equations with state-dependent delays// European Journal of Applied Mathematics. 2003. V. 14, N. 1. P. 3-14.

131. Stirzaker D. On a population model// Mathematical Biosciences. 1975. V.23, N. 34. P. 329-336.

132. Stokes A.P. A Floquet theory for functional differential equations// Proc. Nat. Acad, of Sci. U.S.A. 1962. V. 48. P. 1330-1334.

133. Walther H. Existence of a nonconstant periodic solution of a nonlinear nonau-tonomous functional differential equation representing the growth of a single species population// J. Math. Bio. 1975. V. 1. P. 227-240.

134. Walther H. Stability of attractivity regions for autonomous functional differential equations// Manuscripta Math. 1975. V. 15. P. 349-363.

135. Wang W., Ruan S. Bifurcations in an epidemic model with constant removal rate of the infectives// Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2005 V. 291, N. 2. P. 775-793

136. Wright E.M. A nonlinear differential difference equation// J. Reine Augew. Math. 1955. V. 194. P. 66-87.

137. Xu R., Chaplain M.A.J., Dowidson F.A. Periodic solution of a Lotka-Valterra predator-prey model with dispersion and time delays//Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 148, N. 2. P. 537-560.

138. Yongli S., Junjie W. Local Hopf bifurcation and global periodic solutions in a delayed predator-prey system//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2005. V. 301, N. 1. P. 1-21.

139. Zhengqin Z., Zhicheug VF.Periodic solutions of two-species ratio-dependent predator-prey system with time delay in a two-patch environment//Auziam Journal. 2003. V. 45, N. 2. P. 233-244.