Анализ колебательных решений некоторых дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Морякова Алена Романовна

• Морякова Алена Романовна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Морякова Алена Романовна

1.1 Постановка задачи

1.2 Анализ устойчивости нулевого решения

1.3 Построение нормальной формы уравнения на центральном многообразии

1.4 Анализ нормальной формы уравнения

1.5 Выводы

2 Анализ бифуркаций периодических решений уравнения Мэкки -Гласса

2.1 Постановка задачи

2.2 Анализ устойчивости нулевого решения уравнения

2.3 Построение нормальной формы

2.4 Анализ нормальной формы

2.5 Алгоритм построения периодических решений уравнения

2.6 Численное исследование нормальной формы

2.7 Выводы

3 Анализ особенностей поведения периодических решений уравнения Икеды

3.1 Математическая постановка задачи, анализ состояний равновесия , , ,

3.2 Бифуркационный анализ потери устойчивости состояния равновесия

с), Иш^о с) = 0, 0 < с < 2п

3,2,1 Математическая постановка задачи, анализ устойчивости состояния равновесия ж* с)

3.3 Бифуркационный анализ потери устойчивости состояния равновесия х*(ц, 0) = 0 в случае с =

3.3.1 Анализ устойчивости состояния равновесия х*(^, с) =

3.3.2 Построение нормальной формы

3.3.3 Анализ нормальной формы

3.3.4 Результаты численного анализа нормальной формы

3.4 Бифуркационный анализ поведения решений уравнения Икеды при рождении парных состояний равновесия х-(^,с) и ж+(^,с)

3.4.1 Анализ устойчивости состояний равновесия х-(^,с) и ж+(^,с) ,

3.4.2 Построение нормальной формы

3.4.3 Анализ нормальной формы

3.4.4 Результаты численного исследования периодических решений нормальной формы

3.5 Выводы

Заключение

Литература

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

Диссертация посвящена исследованию установившихся колебательных решений некоторых дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом являются математическими моделями многих физических систем, приборов и механизмов, в которых присутствуют запаздывающие обратные связи. Регулярные и хаотические колебания могут оказывать как положительное, так и негативное воздействие на исследуемые системы и механизмы. Изучение колебательных процессов в силу своей прикладной значимости представляет собой весьма актуальную задачу.

Основными методами исследования являются метод интегральных(инвариантных) многообразий, метод нормальных форм дифференциальных уравнений, метод равномерной нормализации сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, теория нелинейных операторных уравнений и теория бифуркаций. Метод интегральных многообразий позволяет свести изучение поведения установившихся решений исходного уравнения или системы уравнений с бесконечномерным фазовым пространством к исследованию поведения решений на критическом инвариантном конечномерном многообразии, которое в свою очередь может быть описано некоторой системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод равномерной нормализации сводит задачу нахождения периодических решений исходного уравнения к анализу счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, из которой выделяются уравнения для "быстрых" и "медленных" переменных. Состояния равновесия уравнений "медленных" переменных определяют периодические решения исходного уравнения,

В диссертации изучаются три нелинейных дифференциальных уравнения с запаздывающим аргументом, возникающие в прикладных задачах, В первой части рассмотрено нелинейное дифференциально- разностное уравнение второго порядка, содержащее запаздывающие слагаемые от искомой функции и ее производной. Частным случаем это уравнения является известное уравнение Минорского [1-3], полученное им при рассмотрении задачи вертикальной стабилизации судов. Аналогичное уравнение исследовали Г.С, Горелик [4] и Э, Пинни [5]. Анализ колебаний, бифурци-

рующих из нулевого состояния равновесия в случае бифуркации Андронова- Хопфа, в уравнении Минорекого был проведен Ю.С, Колесовым [6], Уравнения такого типа возникают при моделировании работы электронных устройств с запаздывающей обратной связью, В диссертационной работе проведен детальный анализ возможных вариантов потери устойчивости нулевого решения указанного уравнения и возникающих при этом возможных критических случаев. Изучаются бифурцирующие из нулевого состояния равновесия колебательные решения в одном критическом случае внутреннего резонанса 1:3, Необходимо отметить, что указанный критический случай в уравнениях такого типа ранее не изучался.

Вторая часть диссертации посвящена исследованию двух сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Рассмотрены известные уравнения Мэкки - Класса [7] и Икеды [8, 9], Первое из них является математической моделью процесса образования нейтрофилов (белых кровяных телец). Уравнение Мэкки - Гласса исследовалось в ряде работ [10-16], где на основе численного интегрирования было отмечено существование различных периодических решений, а также сложной, в том числе хаотической, динамики. Уравнение Икеды описывает динамику пассивного оптического резонатора. Уравнения такого типа демонстрируют сложную динамику [17-21], в том числе в них можно наблюдать мультиетабильноеть, хаотическую турбулентность, образование диссипативных структур. После записи в безразмерных переменных, эти уравнения переходят к широкому классу дифференциальных уравнений первого порядка с запаздыванием, содержащих малый параметр при старшей производной и нелинейную обратную связь, которая определена физикой процессов. Общие свойства поведения решений таких уравнений и их связь с решениями одномерных отображений изучались в монографии А.Н, Шарковского, Ю.Л, Майетренко, Е.Ю, Романенко [22], Некоторые подходы к построению асимптотики решений указанного типа сингулярно возмущенных уравнений были предложены в работах С,А, Кащенко, И,С, Кащенко [23-25], В диссертации изучаются бифуркации автоколебательных решений из состояний равновесия двух указанных уравнений с помощью метода равномерной нормализации, предложенного в работах [26,27], Этот метод позволяет свести задачу нахождения периодических решений исходного уравнения к анализу счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащей

уравнения для "быстрых" и "медленных" переменных, и доказать строгие теоремы о существовании периодических решений.

Отметим, что изучению уравнений Мэкки - Гласса и Икеды посвящено большое число исследований. Однако в большинстве работ анализ проводился на основании численного интегрирования, В диссертационной работе результаты получены с помощью качественной теории дифференциальных уравнений, что позволило получить строгие теоремы об условиях бифуркаций периодических решений и построить асимптотические формулы периодических решений.

Целью настоящей работы является исследование колебательных решений трех дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, бифурцирующих из состояний равновесия при изменении параметров уравнения,

В первой главе предполагалось проанализировать колебательные решения дифференциально - разностного уравнения второго порядка, содержащего запаздывающие слагаемые от неизвестной функции и от ее производной, С помощью анализа линейной части уравнения можно выделить критический случай, связанный с прохождением через мнимую ось двух пар чисто мнимых корней характеристического квазиполинома, находящихся в резонансном соотношении 1:3, Была поставлена цель изучить бифурцирующие автоколебательные решения и проанализировать возможность хаотических колебаний в этом критическом случае.

Во второй и третьей главах предполагалось провести анализ периодических решений уравнения Мэкки - Гласса и уравнения Икеды с помощью метода равномерной нормализации. Для этого планировалось построить нормальную форму уравнений, содержащую уравнения для "быстрых" и "медленных" переменных, и проанализировать состояния равновесия уравнений "медленных" переменных, что позволит построить периодические решения исходного уравнения и изучить их бифуркации в зависимости от параметров уравнения. Научная новизна работы.

Все основные результаты данной работы являются новыми. Научная новизна проявляется в следующем:

Глава 1, В этой главе рассмотрено нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка. Для этого уравнения проведен анализ устойчивости нулевого решения

и построена полная картина Б -разбиений пространства параметров. Выделен критический случай внутреннего резонанса 1:3 при потере устойчивости нулевого решения. Для этого критического случая исследованы бифуркации периодических решений. Показана возможность перехода периодических решений через бифуркацию удвоения периода к хаосу.

Глава 2, Изучены периодические решения уравнения Мэкки - Гласса методом равномерной нормализации. Построена нормальная форма уравнения и получены строгие теоремы об условиях бифуркации периодических решений. Приведена асимптотическая формула периодических решений и алгоритм нахождения периодических решений уравнения Мэкки - Гласса, бифурцирующих из состояния равновесия при изменении параметра, С помощью этого алгоритма построены периодические решения уравнения, В результате численного моделирования показана возможность перехода к хаотическим колебаниям и хаотической мультиетабильноети.

Глава 3, Проведен анализ состояний равновесия уравнения Икеды в зависимости от параметров, С использованием метода равномерной нормализации изучены бифуркации периодических решений. Показана возможность явлений мультиетабильноети и хаотической мультиетабильноети.

Теоретическая и практическая значимость.

Диссертация носит в основном теоретический характер. Методы, применяемые в диссертационной работе, могут быть использованы при решении аналогичных задач. Во второй главе приведен алгоритм, позволяющий построить периодические решения других дифференциальных уравнений первого порядка содержащих малый параметр при старшей производной.

Часть результатов имеет практическую значимость. Регулярные и хаотические колебания привлекают к себе пристальное внимание исследователей, работающих в области механики, радиофизики, химии, биологии, что обусловлено как большим фундаментальным значением изучения этих колебаний, так и широким кругом практических приложений. Хаотические режимы, возникающие в различных практических задачах, могут оказывать как вредное, так и полезное воздействие. Изученное для уравнения Мэкки -Гласса и уравнения Икеды явление мультиетабильноети в системах дифференциальных уравнений с запаздыванием находит применение в

различных областях науки и техники. Методика исследования.

В работе используются такие методы качественного анализа дифференциальных уравнений как метод интегральных (инвариантных) многообразий, метод нормальных форм дифференциальных уравнений и метод равномерной нормализации сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Численные эксперименты и визуализация полученных результатов проводились с помощью пакета программ для анализа динамических систем "Tracer" [28] и программ, написанных на языке Python,

На защиту диссертации выносятся следующие основные положения и результаты:

1, Для дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом, содержащего нелинейные запаздывающие слагаемые от искомой функции и ее производной, построена картина D - разбиений пространства параметров квазиполинома линейной части уравнения. Исследованы возможные критические случаи потери устойчивости нулевого решения. Проведен анализ бифуркаций автоколебательных решений в критическом случае внутреннего резонанса 1:3, Показана возможность существования сложных, в том числе хаотических, колебательных решений,

2, Изучены периодические решения уравнения Мэкки - Гласса, бифурцирующие из единственного положительного состояния равновесия. Получены строгие теоремы об условиях бифуркации периодических решений, построены асимптотические формулы периодических решений. Численным моделированием показано, что при увеличении бифуркационного параметра эти решения становятся хаотическими.

Изучена динамика состояний равновесия уравнения Икеды в зависимости от параметров уравнения и исследована их устойчивость. Построены асимптотические формулы периодических решений. Изучены бифуркации периодических решений из различных состояний равновесия.

Показана возможность существования одновременно большого числа устойчи-

3.

4.

вых периодических решений, т.е. явления мультиетабильноети, для уравнения Мэкки - Глаееа и уравнения Икеды,

5, Показано, что в уравнениях Мэкки - Глаееа и Икеды может наблюдаться хаотическая мультиетабильноеть, т.е. существования одновременно большого числа хаотических колебательных решений.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой постановкой задач, использованием строгих математических методов, полными и строгими математическими доказательствами. Полученные результаты не противоречат известным теоретическим представлениям. Найденный в первой главе бифуркационный сценарий, приводящий к появлению хаотического аттрактора, подтверждается соответствующими вычислениями старших ляпуновеких показателей решений исходного уравнения. Периодические решения уравнений Мэкки - Гласса и Икеды, полученные с помощью метода равномерной нормализации хорошо совпадают с решениями, полученными путем численного интегрирования с помощью апробированных численных схем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ колебательных решений некоторых дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом»

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной молодежной научно-практической конференции "Путь в науку", Ярославль, 2012; Международной молодежной научно-практической конференции "Путь в науку", Ярославль, 2013; Международной студенческой конференции «Science and Progress», Санкт-Петербург, 2013; Международной конференции "Нелинейная динамика и ее приложения", посвященной 150- летию со дня рождения Поля Пенлеве, Ярославль, 2013; Международной конференция «Нелинейные явления в задачах современной математики и физики», посвященной 210-летию Демидовского университета, Ярославль, 2013; Международной молодежной научно-практической конференции "Путь в науку", Ярославль, 2014; IV-ой Международной молодежной научно-практической конференции "Путь в науку", Ярославль, 2015; Международной конференции «Нелинейные методы в физике и механике» посвященной 90-летию со дня рождения Мартина Круекала, Ярославль, 2015; International Workshop: Waves, Solitons and Turbulence in Optical Systems, Берлин, 2015; V-ой Международной конференции "Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование", Москва,

2016.

Представленные результаты неоднократно докладывались на семинаре "Нелинейная динамика и синергетика" кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им, 11. Г. Демидова,

Частично результаты диссертационной работы получены в процессе выполнения работ по госзаданию № 1,5722,2017/БЧ, Публикации автора.

По теме работы опубликовано 13 печатных работ, в том числе 4 статьи в журналах из списка ВАК [29-32] и 9 работ в сборниках трудов и тезисов докладов международных конференций.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 112 страницах машинописного текста, содержит 27 рисунков. Библиографический раздел включает 50 наименований. Объект исследования и структура диссертации. В первой главе рассматривается уравнение

X + Ax + x + f (x(t - h)) + g(x(t - h)) = 0, (1)

в котором A, h > 0, f (x) = f\x + f2x2 + f3x3 + o(x3), g(x) = gi x + g2x2 + g3x3 + o(x3) гладкие при |x| < xo функции. Изучается характер потери устойчивости пулевого решения уравнения (1) и бифуркации автоколебательных решений в одном критическом случае потери устойчивости нулевого решения.

Характеристическое уравнение линейной части уравнения (1) имеет вид

P(Л) = Л2 + АЛ + 1 + (fi + Agi) exp(-Àh) = 0. (2)

Анализ расположения корней уравнения (2) проводится с помощью метода D -разбиений. Построены картины D - разбиений для различных значений параметров. Показано, что возможны следующие механизмы потери устойчивости квазиполино-

Л=0

пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения (2) через точки ±гш(ш > 0), при одновременном прохождении корней уравнения (2) через точки

Л = 0 и ±1ш(ш > 0), при одновременном прохождении двух пар комплексно сопряженных корней через точки ±1ш\, ±гш2(0 < < ш2), В последнем случае возможна реализация соотношения ш\/ш2 = 1/3, т.е. имеет место критический случай внутреннего резонанса 1:3, Обозначим А = А0, / = /10, д1 = д10, к = к0 значения параметров, при которых уравнение (2) имеет корни ±1и1, ±¿ш2(0 < ш1 < ш2,ш1/ш2 = 1/3), Положим А = А0 + еА1, /1 = /10 + е/п, д1 = д10 + ед11, к = к0 + екь 0 < е << 1, Изучим поведение решений уравнения (1) с начальными условиями из некоторого шара 5 (г0) радиуса г0 фазового проетра нства Н = С [-к, 0]фС 1[-к, 0] уравнения с центром в нуле, В окрестности нуля фазового пространства Н уравнение (1) имеет локальное асимптотически устойчивое гладкое инвариантное четырехмерное центральное многообразие поведение решений на котором определяет поведение решений уравнения (1) из шара 5(г0), В свою очередь поведение решений на интегральном многообразии определяется поведением решений следующей нормализованной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

-¿1 = (¿Ш1 + Л1е + ^ц | 12 + + + ••• = Zl(zl,z2,zl ,¿2; е), (3)

¿2 = (¿Ш2 + Л2е + ^211 ¿112 + ^221 ¿212) ¿2 + + ••• = Z2 (¿1,-2,^1 ,¿2; е), (4)

в которой Л] = т1 + ¿ш*, комплексные постоянные djk = + ¿с^ , dj• к = 1, 2) эффективно вычисляются с помощью предложенного в [33] алгоритма и точками обозначены слагаемые, имеющие более высокий порядок малости по еzj, еzj,ZjZj.

Положим в (3)-(4) Zj = е1/'2рj exp(¿rj),pj• > 0, —то < ^ < = 1,2) dj• = |dj| exp(¿7j), 0 < Yj < 2п Введем "медленные" переменные р1, р2, 9 = 2т1 — т2 и быструю переменную т1 и выполним нормировки pj• = pj• /(—dj•j• )1/2, ] = 1, 2, £ ^ ¿/е. Выберем А1, /11, д11, к1 таким образом, чтобы т/ = т2 = 1, В результате "главная" часть системы уравнений "медленных" переменных примет вид

р1 = (1 — /1 + «1Р2)Р1 + 61 ео8(—9 + 71)р2р2, (5)

р2 = (1 + Й2р1 — р2)р2 + 62 еов(9 + 72)/?, (6)

9 = Ш + С1/2 + С2/2 — З61 вш( 9 + 71)^1^2 — 62 й1п(9 + 72)Р1 //2, (7)

где «1 = ¿12/(-^22), «2 = = | ¿11/(аПа22)1/2, = |^2|/(-^И)3/2(-^22)1/2,

С1 = (3С11 - С21)/( ¿ц), С2 = (3С12 - С22)/( ¿22), ш = 2ш^ - ш^.

Отметим, что "грубым", т.е. экспоненциально устойчивым (неустойчивым) состояниям равновесия системы уравнений (5)-(7) при малых е в системе уравнений (3)-(4) [34] (уравнении (1)) соответствует периодическое решение периода близкого к 2п/ш1; того же характера устойчивости, "Грубым" периодическим решениям системы

е

двумерные инвариантные торы.

Система (5)-(7) анализировалась численно. Отмечено существование устойчивых состояний равновесия, что соответствует устойчивым периодическим решениям системы уравнений (3)-(4) (уравнения (1)), от которых в результате бифуркации Андронова- Хопфа ветвятся устойчивые периодические решения, которые соответствуют устойчивым двумерным инвариантным торам системы уравнений (3)-(4) (уравнения (1)), Через серию бифуркаций удвоения периода периодические решения переходят в хаотический аттрактор. Для аттрактора вычислены ляпуновекие показатели и ляпуновекая размерность.

Вторая часть работы посвящена исследованию двух уравнений, принадлежащих широкому классу систем, описываемых дифференциальным уравнением первого порядка с запаздыванием

е1± + х(£) + /(х(£ - т)) = 0, (8)

где / = /1х + /2х2 + /3х3 + о(х3) - нелинейная функция, е1 - малый параметр, С помощью метода равномерной нормализации проводится анализ периодических решений, бифурцирующих из различных состояний равновесия.

Объектом исследования главы 2 является известное уравнение Мэкки -Гласса

Х = -7Ж + /Зхт 9га(9га + хО-1,^ = х(£ - т), (9)

где х(£) - плотность циркулирующих нейтрофилов, 7 - скорость случайного распада нейтрофилов, т, 9 - некоторые положительные параметры, п - натуральное число, параметры в, 7, 9 по физике задачи принимают значение порядка единицы. Параметр т

(9), Перейдем в уравнении (9) к безразмерным переменным, нормировав х ^ 9х, £ ^

tí, в ^ в/т В окрестности состояния равновесия ж* = (в — 1)1/п уравнение (9) примет вид

£1У + y(t) + biy(í — 1) + f (y(t — 1)) = 0, (10)

где е1 = (т)-1, f (y) = b2y2 + b3y3 + o(y3) аналитическая в окрестности y = 0 функция,

bi = n — 1 — n/в, —1 < bi, b2 = n(1 + (1 — п)(в — 1))(в — 1)(п-1)/п/(2в),

Ьз = (6n2 — (5n2 + 1)в )(в — 1)(га-2)/га/(6в2). (И)

В работе изучаются периодические решения уравнения (10), бифуцирующие из состояния равновесия ж* при изменении параметров уравнения.

Бифуркации периодических решений связаны с потерей устойчивости нулевого решения, что определяется расположением корней характеристического уравнения линейной части уравнения (10)

P(Л; £1) = £1Л + 1 + b1 exp(—А) = 0, Л е C. (12)

При —1 < b1 < 1 и 0 < £1 < £0, где £0 мало, все корни уравнения (12) лежат в левой комплексной полуплоскости, при b1 > 1 - имеются корпи, лежащие в правой комплексной полуплоскости, В соответствии с этим, нулевое решение уравнения (10) в первом случае будет асимптотически устойчиво, во втором - неустойчиво, По-

b1 = 1

критичееких значений вп = n/(n — 2), Положим

в = вп(1 + £2/(n — 2 — £2)), N < 1 (13)

имеем b1 = 1 + £2, b2 = b2(e2), b3 = b3(e2),

Теорема 1. Существует £0 > 0, что при |£| < £0 (£ = (е1,е2), |£| = (£2 + £2)1/2) все множество корней уравнения (12) определяется формулой

Лк(е) = ink + ln (1 + £2) + A1(ink + ln (1 + £2); £1),

^ ^ (14)

A-k(£) = Ak(£),k = 1, 3,5 ...,

где A1(w; £) = — ln(1 — £1(w — ln(1 + £1(w — ln (1 + £1(w — ...)))))) (lnw = /n|w| + iargw, —п < argw < п)- непрерывная по совокупности, переменных, а,политическая,

по е1 при каждом фиксированном т е (т : —х0 < Яе < х0,/шщ > п,х0-малое фиксированное число} и аналитическая по т при каждом, 0 < е < е0, |Яет| < функция.

к

Лк (е) = Тк (е) + ¿(пк + Ок (е)), (15)

1к(е) = 1п (1 + е2) — 1п ((1 + е11п (1 + е2))2 + е1п2к2)/2 + 0(|е|2),

ок(е) = — агеео8 ((1 + е11п (1 + е2))/((1 + е11п (1 + е2))2 + е1п2к2)1/2) + 0(|е|2). (16)

Откуда следует, что при малых е и е2 > е2(пк)2/2 п-ый корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть и нулевое решение уравнения (10) неустойчиво.

Фазовым пространством уравнения (10) является пространство непрерывных вещественных функций С[—1; 0], Перейдем от уравнения (10) к эквивалентной начально - краевой задаче в полосе —1 < в < 0,£ > 0

д? д?

ди = з? <17>

д?

е1 дв

= —?(0,£) — (1 + е2)?(М) — /(?(1,£)),?(в, 0) = у0(в) (18)

«=0

положив ¿) = + в)

Производящим оператором полугруппы линейных вполне непрерывных операторов Т(¿; е) (Т(¿1 + ¿2; е) = Т(¿1; е)Т(¿2; е) = Т(¿2; е)Т(¿1; е), Т(0; е) = I- единичный оператор), действующих в пространстве С[—1, 0] и определяющих решение линейной части задачи (17)-(18), будет оператор

{dv/ds, —1 < в < 0,

(19)

— е->(0) + (1 + е2)^(—1)),в = 0

с областью определения Д(А) = ('у(з) е С 1[— 1,0],е^'(0) + г>(0)+ (1 + е2)г>(—1) = 0}, Собственными значениями оператора А(е) являются вели чины Лк = Лк (е), а соответствующими собственными функциями будут функции

ек (в; е) = еЛк^/Р'(Лк (е); е) = еЛк <е)7(1 + е1 + е^к (е)), к = ±1, ±3,... ||ек (в; е)||с - 1 при п ^ то,

Наряду с (19) введем в рассмотрение оператор

{ ¿Шв, 0 < 5 < 1,

А*(е)Н = I (20)

| - е-1(Н(0) + (1 + е2)й(1)),5 = 0

действующий в пространстве С[0,1], с областью определения Д(А*) = {Н(з) € С 1[0,1], -е^'(0) + ^(0) + (1+е2)^(1) = 0}, Оператор (20) является сопряженным с (19) в смысле скалярного произведения С.Н, Шиманова [35], которое для краевой задачи (17)-(18) принимает вид

< ф), Н(з) >= е^(0)Н(0) - (1 + е2) J Щ + 1М£)^.

Собственными значениями оператора А*(е) являются вели чины - Аи(е), а соответствующими собственными функциями будут функции Ни = Ни(з; е) = е-Лк(е)5, Между функциями еи(з; е) и Ни(з; е) выполнены следующие условия ортогональности

< ек1 (з; е),Ни2 (з; е) >= , (21)

где 8к1к2- символ Кронекера.

Пусть /2 комплексное пространство последовательностей вида г = (^1,^-1,^3,^-3,...), ¿и € С, ¿-и = Ли, ||г||г22 = |ги|2 < го, комплексное

подпространство /2 последовательностей г = (г1,г-1 , ¿3,г-3,...), для которых ||г||г21 = |Аи(е)|2|ги|2 < го и || ЕГ=1 ¿иАи(е)еи(з;е)||с < го. Вводится в рассмотрение функция-оператор

и(з,г;е) = X] гиеи(з; е)+ X

и=±1,±3,... (^и^е^

+ X ¿^ ги2 гиз «и^из (з; е), (22)

где ^2 = {(^1,^2) : ^1,^2 = ±1, ±3,... , < к^}, ^3 = {(^1,^2,^3) : ^1,^2,^3 = ±1, ±3, ...,к1 < к2 < к3}, действующая из з1(г0) ® {|е| < е0} в С [-1, 0] и гладко зависящая от своих переменных, и система дифференциальных уравнений

¿и = Аи (е)ги + X ¿и^из (е)ги

1 ¿и 2 ¿из

(23)

(и^^епк

в пространстве /2 с областью определения правой части з1(г0), гладко зависящей от

е

Функции ?к1к2(в; е),?к1к2кз(в; е), dklk2kз(е) эффективно и однозначно определяются из условий принадлежности траекторий системы (23) в силу (22) краевой задачи (17)-(18) и имеют вид [31]:

?к1к2 (в; е) = —рк1к2 б2(е2)е(Лк1 (е)+Лк2 (^/Р (Лк1 (е) + Лк2 (е); е), (24)

ufclfc2fc3(s; e) = eAfci(c + dklk2k3(e)(1 + ei + eiAk(e))(1 - e(Afc(£)-Akik2k3(-))s)*

* (Ak(e) - Akik2k3(e))-i), (25)

dkik2k3(s; e)(s;e) = (ei + (1 + e2)(e-Afcifc2k3Ф - e-Ak(e)/(Akik2k3(e) - Ak(e)))-1*

* (1 + ei + Ak(e))fkik2k3(e), (26)

где pkik2 = 1 при ki = k2 и pkik2 = 2 при ki = fc^ pkik2k3 = 1, если ki = = кз, Pkik2k3 = ^ли ki = k2 = кз, либо ki = кз = k2, либо = кз = kb Pkik2k3 = 6, если ki = k2 = k3, Akik2k3 (e) = Aki (e) + Ak2 (e) + Ak3 (e), c- произвольная постоянная. Пусть p = (pi,p3,...), pj > 0, j = 1, 3,..., EJC=i k2p2 < топ в = (вь 02,...), 0 < < 2n, j = 1, 3,... - вещественные последовательности. Введем в области {(ei,e2), ei > 0, |e| < e0} переменные Z > 0 и п/2 < ф < п/2, положив

Z = (e2 + |e2|)i/2, ei = Z cosф, e2 = Z2 sinф^гдпф. (27)

Структура системы уравнений (23) позволяет ввести взамен zk (к = ±1,...) одну "быструю" переменную и счетное число "медленных" переменных вида p и в. Нормируем pk ^ Zpk, t ^ t/Z2 и усредняя затем полученную систему уравнений по "быстрой" переменной, получим систему уравнений, главная часть которой (при Z ^ 0) будет иметь вид

pk = Yk^,£)pk + Rk(p, 0)(Yk = sin2 фsгgnф - 2 cos2 ф(пк)2), (28)

0k = ©k (p,0), к =1, 3,..., (29)

в которой функционалы Rk(•), ©k(•) - 2п периодические no RkO является однородной формой порядка 3 по pj,

Пусть (р*(ф), 0*(ф)) е ^ 0 С0 решение системы уравнений

Як (р*(ф),Г(ф)) = 0,к =1, 3 ..., (30)

©к (р*(Ф),^*(Ф)) = 0, к =1, 3,.... (31)

Введем в рассмотрение бесконечную матрицу

В(ф) = (7к^ + дДк/др1' (к,,' = 1,3,...), (32)

\ д0к/др, дЯк

вычисленную в точке р*(ф), 0*(ф), где символ Кронекеры, Матрица определяет линейный оператор

В(ф)и (V = (р, 0)) : Е1 = ¡1 0 С ^ Е = ¡2 0 С, (33)

1МЫ = ||Р||<2 + 1|0||с, ||^||Е1 = ||р||11 + ||0||с-

Пусть

(¿; Ф,С) = р1(Ф,< )егт (¿; ф,<) = р3(Ф,С )ег3т

*5(¿;Ф,С) = р5(Ф,СК5т^г-к(¿;Ф,С) = ¿к(¿;Ф,С) к = 1,3,... (34)

Доказана следующая теорема

Теорема 2. Пусть при некотором ф си,стем,а уравнений (28)-(29) имеет решение (р*(ф), 0*(Ф)) е Е0\ о построенная по этому решению матрица (32) определяет оператор (33), который не имеет собственных значений лежащих на мнимой комплексной плоскости. Тогда, существует такое (0 > 0, что пРи 0 < С < (о краевая,

е1 е2

решение м*(з,т; ф,£), допускающее представление

?(в,т; ф,С)= ?0(в,т; ф,<) + О«4) = = С X] ек(в; ф,С)гк(т; ф,С) + С2 ^2(в; ф,СК1(т; ф,СК2(т; ф,С)+

к=±1,±3 (к1,к2)еП2

+ С3 ^ ?к1к2кз (в; Ф, С К (т; ф, С (т; Ф, С )4з (т; Ф, С) + О(<4), (35)

(к1,к2,кз)еПз

т = П + 01(ф, с) + С 2Т1(р*(Ф, с), 0*(ф, С); Ф, С) =

= п + о1(ф, С) + С2А2(Ф, С) = п + о(ф, с), (о(ф, с) = 0), (36)

в котором П2, П3 определены в (22), функции еи(•),ии1и2(•), (•) определены выше

с учетом замены (27), функции ¿и(•) определены в (34).

Алгоритм нахождения периодических решений краевой задачи (17)-(18) (уравнения (10)) позволяет строить решения в виде ряда

те

и *(з, т; ф,() = X С'«(з, т, р, 9, А; ф, С), (37)

3 = 1

в котором «(•) гладко зависящие от своих переменных функционалы р € /1,,9 € со, 2п- периодические по т при -1 < з < 0, А € Я, -п/2 < ф < п/2, 0 < £ < С0-При этом

Р = Р * + С2Р2 + С4Р4 + • • • = (Р1, Р2,... ),Рз > 0,Рз = Рз(ф,С) = = р* (ф, С) + С 2р* 2 (Ф, С) + С 4р*4 (Ф, С) + ..., 9 = 9 * + С 292 + с494 + • • • = (91,92,...), 9з = 9з(ф, С) = 9*(ф, С) + С29*2(Ф, С) + С49*4(Ф, С) + ...,

А = А(ф; () = С2А2(ф; С) + С4А4(ф; С) + ..., (38)

Р * (ф; С), 9 * (ф; С), А *(ф; С) гладкие по ф и ( функции,

«10 = И1(з,т,р,9; ф,С )= X Ри (ф,< )[еи (з ф,<

и=1,3,...

п-1

е-„(з; ф, СК^*^»], 9£(ф, С) = X 9з(ф, С), 9о(ф, С) = 0. (39)

3=о

Подставляя ряд (37) в краевую задачу (17)-(18) с учетом (27) и приравнивая в полученных равенствах слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях определим функции, входящие в (37)-(39),

Теорема 3. В условиях теоремы 2, существует такое (0 > 0, при котором, ряд

те

и * (з,т; ф,С ) = X С3 «* (з,т; ф,с). (40)

3=1

сходится равномерно относительно 0 < ( < (0 и (з,т) € {(з,т) : -1 < з < 0, -го < т < го} и определяет периодическое решение краевой задачи, (17)-(18), устойчи-

т

соответствии, со следующим уравнением

т = п + <п(ф,<) + С 2А2(ф,С) (41)

Теорема позволяет определять периодические решения уравнения (10) для различных значений параметров. Ниже приведены некоторые результаты численных экспериментов. При ф = 1.51, ( = 0.1 было найдено пять устойчивых периодических решений. При увеличении параметра ф до 1.55 к уже найденным периодическим

решениям добавляются еще два. Изучался вопрос возможности перехода периодиче-

ф

параметра (, а также вопрос возможности сосуществования нескольких хаотических аттракторов для одинаковых значений параметров,

В третьей главе рассматривается известное уравнение Икеды

X = ^ вт(х(£ - т) - с) - х, (42)

описывающее динамику пассивного оптического резонатора. Здесь переменная х(£) определяет сдвиг фазы электрического поля в нелинейной среде кольцевого резонатора, т - время распространения света в кольце во м резонаторе, 0 < с < 2п -постоянный фазовый сдвиг, ^ > 0 - безразмерный коэффициент, характеризующий интенсивность лазерного излучения.

Перейдем в уравнении (42) к безразмерному времени £ = £/т (штрих в дальнейшем опустим). Положив е1 = т-1 ^ 1, имеем уравнение в безразмерных переменных

е1хх(£) + х(£) = ^ вт(х(£ - 1) - с). (43)

Состояния равновесия х * (с, р.) уравнения (43) определяются корнями уравнения

х = ^ вт(х - с) (44)

в зависимости от с и Устойчивость х * (с, р.) определяется расположением корней характеристического уравнения

Р(А; е1) = е1А +1 - ^ сов(х * (р., с) - с) ехр(-А) = 0. (45)

При сов(х *(^,с) - с)| < 1 все корни уравнения (45) лежат в левой открытой комплексной полуплоскости. Состояние равновесия х * (с, р.) асимптоически устойчиво, При сов(х *(^,с) - с)| > 1 уравнение (45) имеет корни, принадлежащие правой открытой комплексной полуплоскости, т.е. состояние равновесия х * (с, р.) неустойчиво, Пограничным является случай сов(х*(^,с) - с)| = 1, Это равенство определяет

в плоскости с, р множество точек бифуркации периодических решений из состояния равновесия ж* (с, р).

Уравнение (44) имеет единственное решение вида ж*(р,с), limM^0 ж*(р,с) = 0 при 0 < с < 2п При этом —п < ж*(р, с) < 0, если 0 < с < п, ж*(р, п) = 0 0 < ж*(р, с) < п, если п < с < 2п При с = 0 уравнение (44) имеет решение ж*(р,с) = 0, а также при р > 1 два решения ±ж*(р, с), ж*(р, с) > 0, lim^i ж*(р, с) = 0,

Кроме того, при каждом с существует последовательность значений 0 < р1(с) < р2(с) < ..., при которых в уравнении (44) появляются кратные корни ж_(рк(с), с) = ж+(рк(с), с), рк(с)сов(ж±(рк(с), с) — ) = 1, которым при р > рк(с) отвечают парные (устойчивое и неустойчивое) состояния равновесия ж_(р,с) и ж+(р,с) уравнения (43), При дальнейшем увеличении параметра р состояние равновесия ж_(р, с) теряет устойчивость при некотором р* и при этом р* сов(ж_(р*,с) — ) = —1,

В параграфе 3,2 показано, что бифуркационный анализ потери устойчивости состояния равновесия ж*(р,с), lim^0ж*(р,с) = 0, 0 < с < 2п проводится аналогично уравнению (10),

В параграфе 3,3, проводится бифуркационный анализ потери устойчивости состояния равновесия ж*(р,0) = 0 в елучае с = 0, Потеря устойчивости состоянием равновесия ж*(р, 0) = 0 происходит в точке р* = 1. Пусть р = 1 + e2, |e2| << 1, Уравнение (43) в окрестности ж* (р, 0) = 0 примет вид

£iy(t) + y(t) — (1 + £2)y(í — 1) + f (y(t — 1); e) = 0, (46)

где f (y) = (1 + e2)/6y3 + o(y3) аналитическая функция.

Характеристическое уравнение линейной части уравнения (46) имеет вид

P(A; ei) = eiА +1 — (1 + £2) exp(—А) = 0, А = y + га. (47)

Теорема 4. Существует e0 > 0, что при |e| < e0 (e = (e1,e2), |e| = (e2 + e2)1/2) все множество корней уравнения (47) определяется, формулой (14), в которой k = 0, 2, 4,....

Отметим, что A0(e)(A0(0) = 0) - вещественный корень уравнения (47), Обозначим через /2 - пространство комплексных поеледовательноетей вида z = (Z0,Z2,Z_2,Z4, Z—4, . . . ) , Z0 G R, zfc G C, k = 2, 4,..., z_„ = Zfc, || z || 22 = |zfc |2 <

го. Через обозначим подпространство /2 комплексных поеледовательностей г = (¿о, ¿2, ¿-2, ¿4,г-4,...) для которых ||г||21 = Е*=0 |Аи(е)|2|ги|2 < го и || Е*=-те ¿иАи(е)* *еи(з;е)||с < го.

В рассматриваемом случае нормальной формой уравнения (46) будет система вида (23) в пространстве /2 с областью определения правой части з1(г0), гладко зависящая от е, в которой ^ = {(к1, к2, к3), к1, к2, к3 = 0, ±2, ±4,..., к1 < к2 < к3, + ^2 + &3 = п},

dfclfc2fc3(s; e)(s;e) = (ei - (1 + e2)(e-Afcik2k3(*) - e-An(e))/(Afclfc2k3(e) - A„(e)))-i*

* (1 + ei + Ak(e))/fcifc2fc3(e).

Zfcifc2fc3(e) = -Pkik2k3(1 + e2)eki(-1; e)ek2(-1; e)ek3(-1; e)/6, e„(s; e) = eAfc(s)/(1 + ei + Ak(e)), Pkik2k3 = ^ли ki = k2 = Pkik2k3 = ^ли ki = ^ = k3, либо ki = fc3 = ^2, либо k2 = k3 = k^ pkik2k3 = 6 если ki = k2 = k3. Схема ее построения аналогична схеме построения системы уравнений (23)

Введем в области {(ei,e2),ei > 0, |e| < eo} перемениые Z > 0 и п/2 < ф < п/2 согласно (27).

Введем взамен переменных zk (k = 0, ±2,...) одну "быструю" переменную и счетное число "медленных" переменных вида р = (р0,р2,...) и 9 = (92,94,...), Усредним полученную систему уравнений по "быстрой" переменной, рассмотрим "главную" часть полученной системы (при Z ^ 0) и получим систему, аналогичную (28)-(29)

Pn = Yk(ф)рk + Rk(р, 9), k = 0, 2,... (48)

9n = 6k (р, 9), k = 2, 4,..., (49)

где Yk(Ф) = sin2 фвгдпф - n2k2 cos2 ф/2.

ф

циально устойчивое или, неустойчивое состояние равновесия (р*(ф),9 *(ф)) е E). В последнем случае m характеристических показателей (с учетом кратностей) линеаризованной на (р *(ф),9 *(ф)) системы, уравнений положительны. Тогда, существует такое (0 > 0, что пРи 0 < Z < (0 уравнение (46) с учетом выражений (27) имеет периодическое решение того же характера, устойчивости. При, этом, размерность

неустойчивого многообразия периодического решения равна т. Для периодического решения справедлива следующая формула

те 2fc—2

У*(т; ф,0 = Z (р0(Ф) + 2 Y p2k (^)cos(fcr + Y, ^ (Ф)) + O(Z3), (50)

fc=i j=i

f = 2п - Z cos ф + Z2 cos ф2 + O(Z3). (51)

В заключительной части параграфа для некоторых значений параметров ф и Z проведен сравнительный анализ периодических решений, полученных согласно (50) и непосредственного численного интегрирования уравнения (43), Показана возможность бифуркации одновременно нескольких периодических решений, которые при

Z

В параграфе 3,4 анализируются бифуркации периодических решений уравнения (43) при рождении парных состояний равновесия ж-(р,с) и ж+(р,с), Для определенности рассмотрим случай c = п/3,р* ~ 2.4, ж* ~ 2.2,

Уравнение (43) в окрестности рассматриваемых состояний равновесия примет вид

£iy(t) + y(t) - (1 + £2)y(t - 1) + f (y(t - 1)), (52)

где f (y) = 1/2x*y2 + 1/6(1 + ^2)y3 + o(y4)

Корпи характеристического уравнения линейной части уравнения (52) определяются формулой (14), в которой k = 0, 2, 4,.....

Система дифференциальных уравнений

¿fc = Afc(e)Zfc + ^^ dfcifc2(e)zfclzfc2, (53)

(fcifc2)enk

в которой П| = {(k1, k2) : kj = 0, ±2, ±4,..., k = k1 + k2}, называется нормальной формой уравнения (52),

Функции dklk2 (s; е) имеют следующий вид

4ifc2(s; е) = (ei - (1 + £2)(e-Afcifc2(е) - e-An(e)/(-Afcifc2(е) + A„(e)))-i(1 + ei + eAfc(е))*

* (- 1)p, Р =1, 2, (54)

Afcifc2 (e) = Afci (e) + A&2 (e)'

Структура системы уравнений (53) позволяет ввести взамен (k = 0, ±2,...) одну "быструю" переменную и счетное число "медленных" переменных вида р и Q. Усредняя затем полученную систему уравнений по "быстрой" переменной, получим систему уравнений, "главная" часть которой (при Z ^ 0) будет иметь вид (48)-(49) Верна следующая теорема.

Теорема 6. Пусть при некотором ф си,стем,а уравнений (48)-(49) имеет имеет экспоненциально устойчивое или, неустойчивое состояние равновесия, (р *(ф),0*(ф)) € . В последнем, случае m характеристических показателей, (с учетом кратностей) линеаризованной на, (р *(ф),0*(ф)) системы уравнений положительны. Тогда, существует такое Z0 > 0 что пРи 0 < Z < Со уравнение (52) с учетом выражений (27) имеет периодическое решение того же характера, устойчивости. При, этом, раз-

m

одического решения справедлива, следующая формула

те 2fc—2

У*(т; ф,с) = Z2(р0(ф) + 2 X P2fc(Ф) cos (кт + ^ ^(Ф)) + O((3), (55)

fc=i j=i

-г = 2п - Z cos ф + Z2 cos ф2 + O(Z3). (56)

Для значений параметров ф = 1.51, Z = 0.1 выполнен сравнительный анализ периодических решений, полученных согласно (55) и непосредственного численного интегрирования уравнения (43), Показана возможность бифуркации одновременно нескольких периодических решений.

.....I......I с^Т^с"^1 -в-

Исследование колебательных решений дифференциально-разностного уравнения второго порядка в одном критическом случае

В данной главе рассматривается дифференциально- разностное уравнение второго порядка, содержащее запаздывание от неизвестной функции и от ее производной, возникающее при моделировании работы ряда электронных устройств, С помощью анализа линейной части исходного уравнения, показана возможность потери устойчивости нулевого решения, связанная с прохождением через мнимую ось двух пар чисто мнимых корней характеристического квазиполинома, находящихся в резонансном соотношении 1:3, Изучаются бифурцирующие при этом автоколебательные решения, Отмечено существование сложных, в том числе хаотических, колебательных решений. Найдены значения параметров, вблизи которых может быть найден хаотического аттрактор. Для него вычислены ляпуновекие показатели и ляпуновекая размерность, В качестве методов исследования используется теория интегральных многообразий и метод нормальных форм нелинейных дифференциальных уравнений.

1.1 Постановка задачи

Рассматривается дифференциально- разностное уравнение

х + Ах + х + f (х(г - й)) + д(х(г - й)) = 0,

в котором А, й > 0, f (х) = Дх + f2X2 + fзx3 + ..., д(х) = д^х + д2х2 + д3х3 + ... гладкие при |х| < хо функции.

Это уравнение может быть использовано для описания динамики ряда электронных устройств с запаздывающей обратной связью [6,36,37],

С помощью метода интегральных многообразий и метода нормальных форм дифференциальных уравнений с запаздыванием изучается характер потери устойчивости нулевого решения уравнения (1) и бифуркации автоколебательных решений в одном критическом случае потери устойчивости,

1.2 Анализ устойчивости нулевого решения

Рассмотрим дифференциальное уравнение

полученное из (1) в результате линеаризации в окрестности решения х(£) = 0,

Характеристическое уравнение уравнения (2) имеет вид и изучим расположение корней ее характеристического уравнения

Изучим расположение корней характеристического уравнения (3) с помощью метода Д-разбиепий [38], Этот метод позволяет исследовать движение корней уравнения (3) при изменении параметров и построить в пространстве параметров области устойчивости и неустойчивости решений уравнения (2), Анализ проводится на основании метода, изложенного в [29], Положим в характеристическом уравнении Л = гш, ш > 0, г = 1 и выделим вещественную и мнимую части, В результате получим систему уравнений

х + Ах + х + Дх(£ — й) + д1хс(^ — й) = 0,

(2)

Р(Л) = Л2 + АЛ + 1 + (Л + Лд1) ехр(—Лй) = 0.

(3)

ш2 + 1 + л сое (шй) + вт (шй) = 0,

Aw — /1 sin (wh) + wgi cos (wh) = 0. Преобразуя эту систему, находим

/i = ±^Aw2 + (1 — w2)2 — w2g2, (4)

/

w-1(arctg((w(w — 1)g1 + A/1)/((w2 — 1)/1 — w2Ag1)) + nn), 0 < w < w1, hn(w) = < w-1(arctg((w(w — 1)g1 + A/1)/((w2 — 1)/1 — w2Ag1) — n + nn), w1 < w < ro,

(5)

w1

w8 + (A — 4 — g2)w6 + w4(6 — 2A + 2g2 — Ag2) + w2(A — 4 — g2) + 1 = 0, hn(w1) = lim (w-1(arctg((w(w — 1)g1 + A/1)/((w2 — 1)/1 — w2Ag1))+ nn)),n = 0,1, 2,....

w /1

h

областей ß-разбиений), Уравнение (3) также имеет корень Л = 0 при /1 = —1, На

A

Проведем исследование движения нулей квазиполинома P(Л) через мнимую ось комплексной полуплоскости. Зафиксируем значение A = Ao и точку (/10, ho), принадлежащую одной из кривых, приведенных на рис, 1,1, Пусть эта точка соответствует значению w = w0. Положим в (3) /1 = /10(1 + е), 0 < е ^ 1 и рассмотрим характеристическое уравнение

P1 (Л; е) = Л2 + AЛ + 1 + (/1(1 + е) + Л^) exp(—Л^ = 0. (6)

Обозначим через Л(е) = iw0 + еЛ1 аналитически зависящий от малого параметра е корень характеристического уравнения (6), обращающийся в iw0 при е = 0,

Из тождества Р^Л(е); е) = 0 с необходимостью имеем

Л = _ P1£(iw0, 0) =_/10e-iW0h0_

1 Pu(îw0, 0) 2iw0 + g1e-iWoho — h)(/10 — ^W0g1)e-iW0h.

Отсюда

w0 + iw0A0 — 1 + iw0g1e-iWoho

ЛеЛ

1

2

= A0 + h0 + A0w0 — 2h0wg + A^w2 + ЛюЦ4 + g1(1 + (1 + Ah0)w2) cos (h^) — = A0 + g2 + 2A0h0 + h0 + 4w2 + 2A0^w0 — 2h0w0 + A0h2w0 + h0w0+

_—g1h0w0(—1 + w2) sin (h0w0)_

+2g1(A0 + h0 — h0w2) cos (h0w0) — 2^(2 + A0h0)w0 sin (h0w0)

Рис. 1.1: Д-разбпенпя для квазиполинома (3)

Учитывая, что А0 > 0, й0 > 0 получаем ДвЛ1 > 0. Таким образом нули квазиполинома (3) при увеличении |Л | переходят из левой комплексной полуплоскости в правую.

В соответствии с этим построена картина Б-разбиений плоскости (Л, й) на обла-

сти, соответствующие различному количеству нулей характеристического уравнения (3), принадлежащих правой комплексной полуплоскости. Картины Д-разбиений при А = 1 для различных значений параметра д1 приведены рис. 1,1, Облаеть Д соответствует наличию ] корней уравнения (3) в правой комплексной полуплоскости, В области Д0 все корпи уравнения (3) находятся в левой комплексной полуплоскости, а значат нулевое решение уравнения (2) устойчиво. Области устойчивости отмечены жирной линией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Морякова Алена Романовна, 2017 год

Литература

[1] Minor-ski N. Control problems / N. Minorski // Journal of the Franklin Institute, — 1941. - Vol. 232, No 6. - P. 519-551.

[2] Minorski N. Self-exeited meehanieal oscillations / N. Minorski //J. Appl. Phvs, — 1948. - Vol. 19. - P. 332-338.

[3] Minorski N. Self-excited oscillations in systems possessing retarded actions / N. Minorski // Proc. of Seventh Intern. Congres. Appl. Mech. — 1948. — Vol. 4. — P. 43-51.

[4] Горелик Г. С. К теории запаздывающей обратной связи / Г.С. Горелик // ЖТФ.

- 1939. - Т. 9, N 50. - С. 450-454.

[5] Пинни Э. Обыкновенные дифференциально - разностные уравнения / Пинни Э.

- М.: 1961. - 248 с.

[6] Колесов, Ю. С. Автоколебания в системах с запаздыванием / Ю.С. Колесов, Д.И. Швитра. Вильнюс: Мокслас, 1979. — 146 с.

[7] Гласе, Л. От часов к хаосу: Ритмы жизни / Л. Гласс, М. Мэкки, — М,: Мир, 1991. - 248 с.

[8] Ikeda, К. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system / K. Ikeda // Optics Communications. — 1979. — Vol. 30, Iss. 2. - P. 257-261.

[9] Ikeda, K. Optical instabilities / K. Ikeda, E. W, Boyd // Cambridge : Cambridge University Press, 1985. — P.85.

[10] Glass, L. Mackey M. C. Oscillation and chaos in physiological control systems / L, Glass, M, C, Mackey // Science, New Series, — 1977, — Vol, 197, Iss, 4300, — P. 287-289.

[11] Ikeda, K. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity / K. Ikeda, H. Daido, O. Akimoto // Phvs. Rev. Lett. - 1980. - Vol. 45, No 9. -P. 709.

[12] Ikeda, K. Successive Higher-Harmonic Bifurcations in Systems with Delayed Feedback / K. Ikeda, K. Kondo, O. Akimoto // Phvs. Rev. Lett. — 1982. — Vol. 49, No 20. - P. 1467.

[13] Lourenco, C. Control of chaos in networks with delay: a model for synchronization of cortical tissue / C. Lourenco, A. Bablouantz // Neural Computation. — 1994. — Vol. 6, No 6. - P. 1141-1154

[14] Campbell S. A. Limit cycles, tori, and complex dynamics in a second-order differential equation with delayed negative feedback / S. A. Campbel, J. Belair, T. Ohira, J. G. Milton //J. Dvn. Diff. Eq. - 1995. - No 7. - P. 213-236.

[15] Marcus C.M. Stability of analog neural networks with delay / C.M. Marcus, R.M. Westerwelt // Phvs. Rev. A. - 1989. - No 39. - P. 347.

[16] Ikeda, K. High-dimensional chaotic behavior in system with time-delayed feedback / K. Ikeda, K. Matsumoto // Phvsiea D. - 1987. - Vol. 29. - P. 223-235.

[17] Ikeda, K. Mackev-Glass type delay differential equations near the boundary of absolute stability / K. Ikeda, H. Daido, O. Akimoto // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1980. - Vol. 275, No 2. - P. 747-760.

[18] Ikeda, K. Numerical bifurcation control of Mackev-Glass system / K. Ikeda, R. Boyd // Applied Mathematical Modelling. - 1985. - Vol. 35, No 27. - P. 3460-3472.

[19] Sprot J. Intricate routes to chaos in the Mackev-Glass delayed feedback system / J. Sprot // Physics Letters A. - 2012. - Vol. 376, No 30-31. - P. 2109-2116.

[20] Попом,арепко В.П., Прохоров М.Д. Определение параметров уравнения Икеды по зашумленному временному ряду / В,И, Пономаренко, М.Д, Прохоров // Письма в ЖТФ. - 2005. - Т. 31, N 6. - С. 73-78.

[21] Larger L., Goedgebuer J-P., Udaltsov V. A necessary and sufficient condition for the existence of positive periodic solutions of a model of hematopoiesis / L. Larger, J-P. Goedgebuer, V. Udaltsov // Computers & Mathematics with Applications. — 2004.

- Vol. 54, No 6. - P. 840-849.

[22] Шарковский, А.П. Разностные уравнения и их приложения / Шарковекий А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. — Киев: Наукова думка, 1986. — 280 с.

[23] Кащенко, С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностного уравне- ния с малым множителем при производной / С.А. Кащенко // Дифференц, уравнения. — 1989. — Т. 25, N 6. — С. 1448-1451.

[24] Кащенко, С.А. Бифуркационные особенности сингулярно возмущенного уравнения с запаздыванием / С.А. Кащенко // Сиб. матем. журн, — 1999. — Т. 40, N 3. - С. 567-572.

[25] Кащенко, И. С. Локальная динамика уравнений с большим запаздыванием / И.С. Кащенко // Ж. вычиел, матем. и матем. физ. — 2008. — Т. 48, N 12. — С. 21412150.

[26] Кубышкин, Е. П. Анализ колебательных решений одного нелинейного сингулярно возмущенного дифференциально-разностного уравнения / Е. П. Кубышкин, А. Ю. Назаров // Математическое моделирования. Оптимальное управление. Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. — 2012. — N 5(2).

- С. 118-125.

[27] Кубышкин, Е. П. Метод равномерной нормализации в исследовании периодических решений дифференциально-разностных уравнений с малым параметром при производной / Е. П. Кубышкин // Моделирование и анализ информационных систем. - 2012. - Т. 19, N 3. - С. 143.

[28] Глызин, Д. С. Пакет программ для анализа динамических систем "Tracer", Заявка No2008610548 от 14,02,2008г. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ No2008611464, Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24.03.2008г.

[29] Глызин, Д. С. Кубышкин Е.П., Морякова А.Р. О нулях некоторых характеристических квазиполиномов / Д.С. Глызин, Е.П. Кубышкин, А.Р. Морякова // Моделирование и анализ информационных систем. — 2015. — Т. 22, N 1. — С. 74-84.

[30] Кубышкин, Е.П. Исследование колебательных решений дифференциально-разностного уравнения второго порядка в одном критическом случае /Е.П. Кубышкин, А.Р. Морякова // Моделирование и анализ информационных систем.

- 2015. - Т. 22, N 3. - С. 439-447.

[31] Кубышкин Е.П. Бифуркации периодических решений уравнения Мэкки-Гласса /Е.П. Кубышкин, А.Р. Морякова // Моделирование и анализ информационных систем. - 2016. - Т. 23, N 6. - С. 784-803.

[32] Kubyshkin, Е. P. Analysis of Bifurcations of Periodic Solutions of Ikeda Equation / E. P. Kubyshkin, A. R. Moriakova // Nonlinear phenomena in complex systems. — 2017. - Vol. 20, No 1. - P. 40-49.

[33] Кубышкин Е.П. Особенности поведения решений нелинейной динамической системы в случае двухчаетотного параметрического резонанса /Е.П. Кубышкин, А.Ю. Коверга // Ж. вычиел, матем. и матем. физ,, — Т. 53, N 5. — Р. 737-743.

[34] Хейл, Дж. Колебания в нелинейных система* / Дж. Хейл. - М, Наука, 1966.

- 232 с.

[35] Шиманов, С. П. К теории квазилинейных систем с запаздыванием / С. Н. Ши-манов // ПММ. - 1959. - Т. 23, N 5. - С. 836-844.

[36] Рубаник, В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием / В. П. Ру-баник, — М,: Наука, 1969. — 287 с.

[37] Капранов, М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М.В. Капранов, М.В. Кулешов, В.Н, Уткин, — М,: Наука, 1984, — 320 е,

[38] Неймарк, Ю. И. D-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости линеаризованных распределенных систем) / Ю, И, Неймарк // IIMM. — 1949, — Т. 13, N 4. - С. 349-380.

[39] Куликов, А. H. О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространства / А. Н. Куликов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. / Под. ред. Ю. С. Колесова. — Яро-елавль:ЯрГУ, 1976. - С. 114-129.

[40] Марсден Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Мареден, М, Мак - Кракен. — М,: Мир, 1966. — 368 с.

[41] Глызин, Д. С. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновекого показателя хаотического аттрактора / Д. С. Глызин, С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов, H. X. Розов // Дифференциальные уравнения. — 2005. - Т. 41, N 2. - С. 268 - 273.

[42] Liz Е., Trofi/mchuk Е., Trofimchuk S. Maekey-Glass type delay differential equations near the boundary of absolute stability / E. Liz, E. Trofimchuk, S. Trofimchuk // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2002. — Vol. 275, No 2. — P. 747-760.

[43] Su H., Ding X., Li W. Numerical bifurcation control of Maekey-Glass system / H. Su, X. Ding, W. Li // Applied Mathematical Modelling. - 2011. - Vol. 35, No 27.

- P. 3460-3472.

[44] Berezansky L., Braverman E. Maekev-glass equation with variable coefficients / L. Berezanskv, Braverman E. // Computers & Mathematics with Applications. — 2006.

- Vol. 51, No 1. - P. 1-16.

[45] Wu X.-M., Li J.-W., Zhou H.-Q. A necessary and sufficient condition for the existence of positive periodic solutions of a model of hematopoiesis / X.-M. Wu, J.-W.Li, H.-Q.

Zhou // Computers & Mathematics with Applications, — 2007, — Vol, 54, No 6, — P. 840-849.

[46] Junges L., Galias J. Intricate routes to chaos in the Maekev-Glass delayed feedback system / L. Junges, J. Gallas // Physics Letters A. — 2012. — Vol. 376, No 30-31. - P. 2109-2116.

[47] Amil P., Cabeza C., Masoller C., Marti A. Organization and identification of solutions in the time-delayed Mackev-Glass model / P. Amil, C. Cabeza, C. Masoller, A. Marti // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2015. — Vol. 25, No 4. - P. 043112.

[48] Gyori, /., Oscillation Theory of Delay Differential Equations / I. Gvori, G. Ladas. — Oxford: Clarendon Press, 1991. — 380 p.

[49] Bellman, R. Differential-Difference Equations / R. Bellman, K. L. Cooke. — New York - London: Academic Press, 1963. — 478 p.

[50] Krasnoselskii, M.A. Approximate solution of operator equation / M. A. Krasnoselskii, G. M. Vainikko, R. P. Zabrevko, Ya. B. Ruticki, V. Ya Stetsenko. — Springer Netherlands, 1972. - 484 p.