Операторные методы исследования малых периодических колебаний нелинейных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Нуров, Исхокбой Джумаевич

• Нуров, Исхокбой Джумаевич
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Нуров, Исхокбой Джумаевич

Введение

1 Методы локальной теории дифференциальных уравнений

1.1 Периодические решения дифференциальных уравнений и эквивалентные операторные уравнения.

1.1.1 Периодические задачи для дифференциальных уравнений

1.1.2 Линейные уравнения.

1.1.3 Нелинейные системы.

1.2 Вводные понятия общей теории локальных бифуркаций

1.2.1 Структурная устойчивость динамических систем

1.2.2 Вводные понятия теории бифуркаций.

1.2.3 Локальные и глобальные бифуркации.

1.2.4 Коразмерность бифуркации.

1.2.5 Локальные бифуркации коразмерности один

1.2.6 Бифуркация малых решений операторных уравнений

1.3 Метод функционализации параметра

1.4 Итерационные процедуры решений операторных уравнений

1.4.1 О методе Ньютона-Канторовича.

1.4.2 О методе простых итераций.

2 Исследование малых периодических колебаний нелинейных систем

2.1 Исследование задачи о бифуркации Андронова-Хопфа

2.1.1 Признаки бифуркации Андронова-Хопфа.

2.1.2 Операторный метод исследования бифуркации Андро-нова-Хопфа.

2.2 Бифуркации малых колебаний в системах автоматического управления.

2.2.1 Вспомогательные сведения

2.2.2 Бифуркация малых автоколебаний систем автоматического регулирования

2.2.3 Вспомогательные утверждения.

2.2.4 Алгоритм построения малых автоколебаний

2.2.5 Анализ устойчивости бифурцирующих решений

2.3 Метод импульсно-частотных характеристик в решении бифуркационных задач.

2.3.1 Основные утверждения.

2.3.2 Асимптотические формулы для бифурцирующих решений

2.4 Доказательства основных утверждений.

2.4.1 Доказательства лемм 2.3-2.7.

2.4.2 Доказательство теоремы 2.4.

2.4.3 Доказательство теоремы 2.5.

2.4.4 Доказательство теоремы 2.6.

2.4.5 Доказательство леммы 2.8.

2.4.6 Доказательство теоремы 2.7.

3 Операторные методы исследования малых колебаний уравнений второго порядка

3.1 Методы теории вращения векторных полей.

3.1.1 Вспомогательные сведения.

3.1.2 Постановка задачи.

3.1.3 Основные пространства.

3.1.4 Переход к операторному уравнению.

3.1.5 Вспомогательные построения.

3.1.6 Исследование системы (3.21).

3.1.7 Завершение доказательства 3.4.

3.2 Операторные методы исследования уравнения Льенара

3.3 Примеры численного исследовании бифуркации.

3.3.1 Пример 1: осциллятор Ван-дер-Поля.

3.3.2 Пример 2: модельное уравнение.

4 Бифуркационные задачи с медленно меняющимися параметрами

4.1 Бифуркация двукратного равновесия со слабоосцилирующими параметрами.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Основные утверждения.

4.2 Бифуркация Андронова-Хопфа со слабоосцилирующими параметрами

4.2.1 Основные результаты

4.3 Примеры численного исследования.

4.3.1 Пример 1: уравнение Ван-дер-Поля

4.3.2 Пример 2.

4.4 Доказательства основных утверждений.

4.4.1 Вспомогательные утверждения.

4.4.2 Доказательство теоремы 4.2.

4.4.3 Доказательства теорем 4.3 и 4.4.

4.4.4 Доказательства теорем 4.5 и 4.6.

4.4.5 Доказательство теоремы 4.7.

4.4.6 Доказательства теорем 4.8 и 4.9.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Операторные методы исследования малых периодических колебаний нелинейных динамических систем»

Современный этап развития теории дифференциальных уравнений характеризуется как стремлением к анализу и переосмыслению огромного количества накопленного научно-практического материала, так и созданием новых, более общих и содержательных точек зрения, разработкой новых качественных и приближенных методов исследования дифференциальных уравнений, направленных на решение сложных задач теории и практики. Указанным направлениям исследования посвящена обширная литература (см., например, [4], [10], [11], [39], [44], [46], [53] и имеющуюся там библиографию).

Современные методы качественного анализа дифференциальных уравнений берут свое начало в работах А.Пуанкаре [45], А.М.Ляпунова [29], А.А.Андронова [1] и др. Эти методы условно можно разбить на две группы. Первая группа методов ориентирована на изучение нелокальной теории дифференциальных уравнений, когда решения изучают либо во всем фазовом пространстве, либо в существенной ее части. Вторая группа ориентирована на изучение локальной теории дифференциальных уравнений, когда решения изучают, например, в окрестностях особых точек, периодических решений, инвариантных многообразий и т.п.

Методы нелокальной теории развивались по ряду направлений. Упомянем лишь некоторые из большого числа методов, показавших свою эффективность при решении многих задач теории и практики. Были разработаны методы инвариантных многообразий, методы построения вполне непрерывных операторов, неподвижные точки которых определяют периодические решения систем дифференциальных уравнений, методы теории абсолютной устойчивости, с наибольшей полнотой разработанные в нелокальных проблемах теории управления, и многие другие (см., например, [20], [34], [36], [40], [44], [55]).

При изучении локальной теории дифференциальных уравнений возникают две принципиально различные ситуации.

Первая ситуация связана с тем, что линеаризованное уравнение в окрестности особой точки является невырожденным. Поведение решений таких уравнений хорошо изучено, здесь разработан ряд эффективных методов, таких как метод малого параметра, метод усреднения, метод аналитического продолжения (Н.Н.Боголюбов А.Н.Крылов, А.А.Митро-польский [6], [27], И. Г. Мал кип [31], М.Розо [48], И.З.Штокало [56] и другие).

Вторая ситуация возникает в задачах исследования поведения решений дифференциальных уравнений, когда линеаризованное уравнение является вырожденным. При этом, как правило, дифференциальные уравнения содержат различные параметры. Возникающие здесь задачи приводят к необходимости исследования эволюции поведения системы в окрестностях особых точек в зависимости от значений параметров. Типичными здесь являются такие эффекты как ветвление решений и различные бифуркации (положений равновесия, периодических или почти периодических колебаний и т.п.). Существенный вклад в развитие теории бифуркаций и теории ветвления решений нелинейных уравнений внесли В.И.Арнольд [2], [3], Р.И.Богданов [5], М.М.Вайнберг, В.А.Треногин [8], Н.К.Гаврилов [7], Дж.Гукенхеймер, Ф.Холмс [9], Ж.Йосс, Д.Джосеф [61], Ю.С.Ильяшенко [13], Ю.А.Кузнецов [75], Дж.Марсден, М.Мак-Кракен [32], М.Т.Терехин [50], Л.П.Шильников [57], А.Н.Шошиайшвили [62] и

ДР

Важный раздел локальной теории дифференциальных уравнений составляют задачи о рождении малых циклов из положений равновесия автономных и неавтономных систем при изменении параметров системы. Этой проблематике, восходя ей к классическим работам А.Пуанкаре [45], А.А.Андронова [1] и Е.Хопфа [70] посвящена обширная литература (см., например, [2], [12], [24] , [25], [32], [54], [58], [60], [65]-[68], [71], [72], [78]). Методы исследования бифуркаций Андронова-Хопфа в системах с гладкими нелинейностями основаны на использовании аналитической теории, теорем о центральном многообразии, нормальных форм. Негладкая ситуация впервые изучена М.А.Красносельским и В.С.Козякиным [17], которые использовали специальный метод функционализации параметров.

В задачах исследования поведения решений дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек широкое распространение получил подход, основанный на применении методов функционального анализа, алгебры и геометрии. Этот подход, который можно называть операторным, показал свою эффективность в работах В.И.Арнольда [2], П.П.Заб-рейко, М.А.Красносельского [21], Э.М.Мухамадиева [38], Е.Н.Розенвас-сера [49], М.М.Вайнберга, В.А.Треногина [8] и многих других математиков. На основе разработанных методов удалось решить ряд важных для теории и практики задач, в частности, классифицировать основные типы локальных бифуркаций в нелинейных динамических системах, получить эффективные признаки различных ветвлений и бифуркаций, провести анализ устойчивости решений, предложить методы построения решений и др.

Многие вопросы современной теории дифференциальных уравнений и многочисленные приложения требуют дальнейшего развития операторных методов. Здесь особо актуальны следующие основные направления исследований. Первое связано с разработкой методов, приводят, не только к признакам ветвления или бифуркации решений, но и к возможности приближенного построения решений, получения асимптотических (по параметрам) формул, проведения анализа устойчивости решений и т.д.

Второе направление связано с разработкой методов, учитывающих специфику данного дифференциального уравнения для различных классов динамических систем, в частности, для задачи о возникновении вынужденных и свободных колебаний, для дифференциальных уравнений теории управления и др.

Третье направление относится к приложениям, в частности, к разработке алгоритмов и программ численного исследования поведения решений дифференциальных уравнений. Сложное поведение решений дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек часто выдвигает на первый план именно компьютерное моделирование системы. В этой связи особый интерес вызывает разработка операторных методов, которые могут быть доведены до алгоритмов и программ численного исследования системы.

Основной целью диссертации является:

- Разработка новых общих операторных методов исследования поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек, приводящих к качественным и количественным характеристикам решений.

- Конструирование семейств операторных уравнений, определяющих основные сценарии поведения решений широкого класса дифференциальных уравнений в окрестностях вырожденных особых точек.

- Разработка итерационных процедур приближенного исследования операторных уравнений. Получение новых признаков бифуркаций периодических и почти периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, основанных на анализе эффективно вычисляемых спектральных характеристик особых точек.

- Исследование сценариев бифуркационного поведения систем с медленно меняющимися и слабоосциллирующими параметрами в окрестностях особых точек.

- Разработка пакета программ компьютерного моделирования поведения решений дифференциальных уравнений, основанных на итерационных процедурах численного построения решений эквивалентных операторных уравнений.

Диссертация в значительной степени носит теоретический характер. В ней на основе функционально-операторного подхода изучаются вопросы локальной теории нелинейных дифференциальных уравнений, зависящих от параметров, разработаны методы исследования периодических колебаний в окрестностях особых точек, их приближенное построение, анализ устойчивости, исследованы основные сценарии бифуркационного поведения динамических систем, предложена и обоснована новая итерационная процедура численного исследования бифуркации автоколебаний.

Полученные результаты доведены до расчетных формул, составлены и отлажены соответствующие программы. Предложенная итерационная процедура позволяет эффективно строить бифурцирующие решения, а также позволяет в новых условиях обнаруживать возникновение периодических колебаний при изменении параметров. Полученные результаты важны в задачах локальной теории дифференциальных уравнений, в задачах приближенного построения периодических колебаний нелинейных динамических систем теории управления. Предложенные методы итерационного построения решений могут быть использованы при составлении алгоритмов и программ численного исследования колебаний.

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, ИПУ, 2007 г.); на Международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007 г.); на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Душанбе, 2002 г.); на Международной конференции "7 th International Pure Mathematics conference" (Пакистан, Исламабад, 2006 г.); на Международной конференции "International Congress on Ghiyath Al-Din Jamshid Kashani (ICGK, 2000 r.)"(Kashan, I.R. Iran); на Второй Международной конференции по проблемам управления, (Москва, ИПУ РАН 1999 г.); на Второй и Третьей Всероссийских научных конференциях "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MAT-LAB "(Москва, ИПУ РАН, 2004 г. и Санкт-Петербург, СПбГУ, 2007 г.); на Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2005 г.); на семинаре ICTP, Триест (Италия, 2005 г., руководитель - профессор Д. Ли); на семинаре в Институте проблем управления Российской академии наук (Москва, 2002 г., руководитель - профессор Н.А.Бобылев); на семинарах Сибайского института Башгосуниверситета (2004-2007 гг., руководитель - профессор М.Г.Юмагулов); на семинарах в Институте математики АН Республики Таджикистан (2000-2007 гг.).

По теме диссертации опубликовано более 20 научных статей. Список основных публикаций приведен в конце диссертации.

Работа состоит из введения и четырех глав. Главы разбиты на параграфы. Список литературы содержит 103 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава (§§ 1.1-1.4) носит вспомогательный характер. В § 1.1 рассматриваются задачи о периодических решениях для различных классов дифференциальных уравнений и указаны способы перехода к эквивалентным интегральным уравнениям. В § 1.2 приводятся вспомогательные сведения из качественной теории дифференциальных уравнений: вопросы структурной устойчивости, краткие сведения из теории бифуркаций. В § 1.3 приводятся основные положения метода функционализации параметра, предложенного М.А.Красносельским [21] для решения задач со связными континуумами неподвижных точек. В § 1.4 приводятся основные положения метода Ныотона-Каиторовича [14] в той форме, в которой он используется в работе.

Вторая глава (§§2.1-2.4) содержит основные результаты диссертации, связанные с разработкой качественных и приближенных методов исследования свободных колебаний дифференциальных уравнений в окрестностях вырожденных особых точек.

В §2.1 рассматривается автономная система х' = А(Л)ж + а(ж,А), ж е (1) в которой N ^ 2 и а(х, А) - нелинейная вектор-функция равномерно по Л удовлетворяющая соотношению |[а(ж,А)|| = °(||ж||) при ||ж|| —> 0. Предполагается, что матрица А{А) при А = Ао имеет одну простую пару чисто мнимых собственных значений то > 0. В этом случае в системе (1) в окрестности решения х = 0 могут возникать устойчивые или неустойчивые предельные циклы - это явление обычно связывают со следующим понятием.

Число Ао называют точкой бифуркации Андронова-Хопфа системы (1), если найдется последовательность Ап такая, что при каждом А = Ап система (1) имеет ненулевое периодическое решение х = хп{Ь) некоторого периода Тп, при этом Ап —Ао и гпах \хп{1)\ —> 0 при п —> оо.

В § 2.1 приводятся основные положения операторного метода исследования задачи о бифуркации Андронова-Хопфа системы (1), приводящего к новым признакам бифуркации, итерационной процедуре построения бифурцирующих решений и анализу их устойчивости.

В §2.2 и §2.3 изучаются задачи о свободных колебаниях дифференциальных уравнений теории управления.

В начале § 2.2 приводятся вспомогательные сведения из теории автоматического управления, такие как линейное звено, интегральное звено первого порядка, звено с дробно-рационалыюй передаточной функцией, импульсно-частотная характеристика и т.п. Рассматриваются также нелинейные дифференциальные уравнения теории автоматического управления.

Рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение

2) где

Цр, А) = рп + а1(АУ1-1 + а2(Х)рп~2 + . + ап(А) М(р, А) = Ь0(Х)рт + б1(А)р—1 + . + Ът{А)

- многочлены с нерерывно зависящими от скалярного параметра Л вещественными коэффициентами , п > т > 0; функция /(ж, Л) предполагается непрерывной по совокупности переменных, причем представимой в виде fix, А) = с(Х)х + ip(x, X), где функции с(А) и (р(х,Х) непрерывны по своим переменным и равномерно по Л выполнено условие ¡<£>(а;, А)( = °(|ж|), —^ 0. Пусть при некотором Л — Ло выполнены условия: Uli Уравнение

L(p, А0) - с(А0)М(р, А0) = 0 имеет два чисто мнимых корня р — ic^o«, с^о > 0, и не имеет корней вида где к = 0, 2,3, • • ■; U12 Имеют место соотношения

L(±üü0ki, А0) ф 0, к = 0,±1,±2, .

В этих условиях значение Ао будет бифуркационным для уравнения (2), т.е. в ней могут возникать периодические колебания с периодом близпп 2тг ким к То = —.

LÜ о

В § 2.2 приводятся основные положения операторного метода исследования задачи о бифуркации Андронова-Хопфа уравнения (2), приводящего к новым признакам бифуркации, итерационной процедуре построения бифурцирующих решений и анализу их устойчивости. В § 2.2 проводится также анализ устойчивости бифурцирующих решений уравнения (2).

В § 2.3 приводится метод импульсно-частотных характеристик (ИЧХ) решения задачи о бифуркации для дифференциальных уравнений вида (2).

В § 2.4 приводятся доказательства основных утверждений второй главы.

Третья глава (§§3.1-3.3) посвящена рассмотрению двумерных динамических систем. Для таких систем изучаются условия возникновения периодических решений при потере устойчивости стационарных состояний (задача о бифуркации Андронова-Хопфа). Приводится новое доказательство теоремы о признаках бифуркации, основанное на методах теории вращения векторных полей.

В §3.1 изучаются дифференциальные уравнения х" + а(Х)х' + Ъ{\)х = 1р(х, А) , (3) в котором коэффициенты а(А) и Ь(Х) и функция (р(х,\) зависят от скалярного параметра Л. Предполагаются, что:

- равномерно по параметру Л выполнено соотношение р(х,Х) = о(|а?|), \х\ 0 ;

- при некотором Л = Ао выполнены соотношения: а(А0) = 0, а'(А0)^О, 6(А0) > 0, при этом

Ь(Л°)^ЬГГТ> к = 2,3,.

В этих условиях значение Ао будет бифуркационным для уравнения (3). Явление бифуркации здесь изучается методами теории вращения векторных полей.

В § 3.2 рассматривается уравнения Льенара вида х" + ai(A)z' + а2(Х)х = f(x, ж ; А), (4) правая часть которого представима в виде 1 f{x,у, X) = Ь1(Х)ф{х-Х)у + b2{X) J ф{р- X )dp, о при некоторой непрерывной функции ф(х, А) такой, что ф{О, А) = 0.

Для уравнения (4) получены необходимые и достаточные условия бифуркации периодических решений, при этом для построения решений разработана итерационная процедура.

В §3.3 приводятся иллюстративные примеры исследования двумерных динамических систем.

В четвертой главе (§§4.1-4.5) основным объектом исследования снова является дифференциальное уравнение (1). Исследуется ситуация, когда параметр А слабо осциллирует по периодическому закону в окрестности точки бифуркации Ао:

А = fs{t) = А0 + 6<p(t), tp(t + Т) = ip(t), | i |< 1. В этом случае уравнение (1) принимает вид: x' = A[fs(t)]x + a[xJ6(t)], (5) в котором 5 является параметром.

В §4.1 предполагается, что число 0 является простым собственным значением матрицы Л(Ао). Показано, что в этом случае бифуркация двукратного равновесия системы (1) преобразуется в бифуркацию вынужденных колебаний системы (5) с сохранением основных характеристик бифуркации.

В § 4.2 система (1) исследуется в предположении, что значение До является точкой бифуркации Андронова-Хопфа. Другими словами, здесь изучается вопрос о том, во что может преобразоваться бифуркация Андро-нова-Хопфа в ситуации, когда се параметры слабо осциллируют в окрестности точки бифуркации. Показано, что явление бифуркации Андронова-Хопфа является в естественном смысле устойчивым по отношению к малым периодическим возмущениям параметров системы: она преобразуется в бифуркацию почти периодических колебаний.

В §4.3 приводятся примеры численного исследования дифференциальных уравнений, а в § 4.4 приводятся доказательства основных утверждений четвертой главы.

Заключительный §4.5 носит характер приложения. В нем приводится описание алгоритмов и программ численного исследования бифуркации, разработанных в соответствии с предложенными в диссертации методами исследования.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Нуров, Исхокбой Джумаевич

4.2.1 Основные результаты

В силу приведенных выше предположений матрица А (А) при А, близких к Ао, имеет пару простых собственных значений вида /¿(А) = о;(А)±го;(А), где а(Л) и а>(А) - непрерывно дифференцируемые функции такие, что а(Д0) = 0 и а;(До) = с^о- Так как собственные значения матрицы

Ао = Л(До) и транспонированной к ней матрицы простые, то найдутся такие пары линейно независимых векторов е, д £ Яп и е*, д* £ что

А0е = —щд, А0д = и;0е, А^е* = си0д*, А^* = -и>0е*;

4.11)

М = |Ы| = 1, (е,е*) = (5,р*)-1, (е, д*) = (д, е*) = 0. Пусть, наряду с 111, выполнено также условие

112. 7 Ф 0, где 7 = (Л'е, е*) + (А'^,д*) и А'= А'(Д0).

Тогда [25] значение До параметра Д является точкой бифуркации Андро-нова-Хопфа для системы (4.7). Возникающие при Д = периодические решения системы (4.7) имеют период Т = Т(е), близкий к

2тг числу То = —, а именно: |Т{е) — То| < е. Отметим также [26], что число

Шо

7 связано с числом а'(Хо) равенством 7 = 2<У(Ао). Положим = (Р(т)(1т

Теорема 4.7. Пусть 7^0 < 0 (усро > 0); тогда х = 0 является асимптотически устойчивым (неустойчивым) решением уравнения (4-Ю) при малых 5 > 0.

Доказательство этой теоремы приводится в п. 4.4.

Отметим [25], что в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа для системы (4.7) решение х = 0 становится неустойчивым при 7(Д — До) > 0; т.е. если, например, 7 > 0, то решение х = 0 неустойчиво при Д > До.

Условия теоремы 4.7 гарантируют устойчивость системы (4.8) в окрестности точки бифуркации Ло, если даже ее параметр Л периодически попадает в область неустойчивости, лишь бы выполнялось соотношение 7</?о < 0. Например, если 7 > 0, то при (ро < 0 решение х = 0 является устойчивым, хотя параметр Л при этом может периодически удовлетворять неравенству Л > Ло, т.е. переходить границы устойчивости исходной автономной системы (4.7). Отмеченный факт в естественном смысле соответствует эффекту затягивания потери устойчивости стационарных состояний динамических систем [41].

Пусть выполнены условия теоремы 4.7. Тогда 7 ф 0 и, следовательно, для системы (4.7) значение Л = Ло является точкой бифуркации Андро-нова-Хопфа, т.е. при переходе через значение Ло у системы (4.7) возникают малые периодические ненулевые решения. Возникает естественный вопрос о том, сохранится ли подобное поведение для возмущенной системы (4.10), в которой параметром является 5; значение 5 = 0 для нее, очевидно, является критическим.

Число 5 = 0 называют [19] точкой бифуркации почти периодических колебаний системы (4.10), если каждому е > 0 соответствует такое 5 =

5(e) 6 [0,е), при котором система (4.10) имеет нестационарное почти периодическое решение x(t,e), причем sup е)|| < е. t

Теорема 4.8. Пусть jcpo ф 0. Тогда значение 5 = 0 является точкой бифуркации почти периодических колебаний системы (4-10).

Теорема 4.8 допускает усиление в следующем направлении.

Теорема 4.9. В условиях теоремы 4-8 каждому е > 0 соответствует такое 5 = S(s) G [0,£г); при котором система (4-Ю) имеет нестационарное почти периодическое решение x(t:e), представимое в виде x(t,e) = х0 (i,e) + h(t,£), где xq(t, е) - Т-периодическая функция некоторого периода Т = Т(е)

27Г такого, что Т{е) —> То = —, a h(t, е) - это почти периодическая сио функция, удовлетворяются соотношению sup ||Л(£,е)|| = o(max \\xo{t, £"||) t 1 при е —> 0. Функция хо(t,£) - это бифурцируюш,ее решение задачи о бифуркации Андронова-Хопфа для системы х' = [А(Л0) + 6(фоА'(Хо)]х + а(х, А0). (4.12)

Доказательства этих теорем приводятся в п. 4.4. Таким образом, теорема 4.8 показывает, что бифуркация Андронова-Хопфа исходной автономной системы (4.7) преобразуется в бифуркацию почти периодических колебаний системы (4.10). При этом согласно теореме 4.9 основной вклад в формирование возникающих почти периодических колебаний x(t,e) системы (4.10) вносят бифурцирующие периодические решения хо(t,e) автономной системы (4.7) с периодом Т(е), близким к То, а слабая осцилляция параметра А приводит лишь к малому дрожанию этих решений.

4.3 Примеры численного исследования

Приведем в качестве иллюстрации некоторые результаты компьютерного моделирования локальных бифуркаций со слабой осцилляцией параметров.

4.3.1 Пример 1: уравнение Ван-дер-Поля

Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля вида (см. также п. 3.3.1)

При Л < 0 решение х = 0 уравнения (4.13) является устойчивым, а при Л > 0 оно становится неустойчивым и в результате у уравнения (4.13) возникают малые ненулевые периодические решения с периодом близким

Пусть параметр Л уравнения (4.13) слабо осциллирует по закону Л = где + р) = <£>(£), а именно рассмотрим уравнение х" + (Зх2 - Х)х' + ж = 0.

4.13) к То = 2тт. х" + [Зх2 - 0,1ф)}х +х = 0.

4.14) а) б) в)

На рисунке 4 приведены результаты компьютерного моделирования уравнения (4.14) для различных функций </?(£). Во всех рассмотренных случаях начальные условия решений выбраны одинаково: ж(0) = 0,1 и ж'(0) = 0. В случае (a) <p(t) = - sin2 y/21\ а в случае (б) (p(t) = sin2 y/21. В случае (б) у уравнения (4.14) возникают малые устойчивые почти периодические колебания, которые, как показывает численный эксперимент, "почти"периодические еще и в том смысле, что они по форме близки к

27г-периодической функции, что соответствует теореме 4.9.

Для сравнения на рисунке 4 (в) приведена ситуация, когда условия теореми 4.8 и 4.9 не выполнены, а именно ip(t) = cos t. В этом случае, как показывает рисунок в окрестности нуля также возникают устойчивые почти периодические колебания, однако их форма далека от от периодической.

4.3.2 Пример 2.

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение х' = \х-х2 (4.15)

Стационарными решениями уравнения (4.15) являются функции х — 0 и х = А, т.е. А = О является точкой бифуркации двукратного равновесия. Наряду с (4.15) рассмотрим уравнение вида х'= £п cos2 (t)x - х2 , (4.16) полученную из (4.15) путем слабой осцилляции параметра Л. Несложно проверить условия теорем 4.2, 4.3 и 4.5:

А0 = 0, <р0 = тгфО, А( А) = А, ¿(Ао) = 0, А'(А0) = 1, до = е0 = 1, к0тт ф О, £2 = ~2тг ф 0, ке£2 = -2 А < 0.

Следовательно при переходе через А = 0 происходит бифуркация вынужденных устойчивых колебаний уравнения (4.16). Этот факт проиллюстрирован на рисунке 5.

Здесь: верхний график - это решение уравнения (4.15), а нижний -это решение уравнения (4.16), при этом началные условия одинаковы.

4.4 Доказательства основных утверждений. 4.4.1 Вспомогательные утверждения.

При доказательстве основных утверждений настоящей главы используются некоторые установленные в [59] результаты, связанные с бифуркацией малых решений операторных уравнений. Приведем их в краткой форме.

Рассмотрим операторное уравнение вида х = В(Х)х + а(х,Х), (4.17) где В (Л) : Е —>• Е - вполне непрерывный оператор; а (ж, А) удовлетворяет соотношению || а(ж,А) ||= о(|| х ||), || х ||-> 0.

Число Ао назовают точкой бифуркации малых решений уравнения (4.17) если существуют последовательности Ап —у А0 и хп —у 0, хп ф 0,

Пусть выполнены следующие условия VI и У2.

VI. Число 1 является простым собственным значением оператора В( Ао).

Обозначим через ео - собственный вектор матрицы Во, отвечающий нулевому собственному значению. Транспонированная матрица Вд также имеет простые нулевые собственные значения. Пусть до - соответствующий собственный вектор матрицы Будем считать, что ео и до выбраны из условий ||ео|| = 1 и (ео, до) = 1.

2. Имеет место соотношение (В'(Хо)ео, до) ф 0.

Теорема 4.10. Пусть выполнены условия VI и V2. Тогда Ао является точкой бифуркации малых решений уравнения (4-17).

Пусть нелинейность а(х, А) имеет вид а (¡с, А) = а2(х,Х) + оз(ж,А) + Ь(х, А).

Теорема 4.11. Пусть выполнены условия VI и У2. Пусть (^(ео, Ао), до) Ф 0. Тогда бифуркация в уравнении (4-17) является двусторонней. При этом уравнение (4-17) имеет в точности одно семейство бифурциру-ющих решений х(Х).

Теорема 4.12. Пусть выполнены условия VI и V2. Пусть (^(есь Ао), <7о) О и (аз(ео, Ао),<?о) Ф 0. Тогда бифуркация в уравнении (4-17) является односторонней. При этом уравнение (4-17) имеет в точности два семейства бифурцирующих решений Ж1.(А) и х2 (А).

4.4.2 Доказательство теоремы 4.2.

Задача о бифуркации вынужденных колебаний уравнения (4.3) равносильна задаче о бифуркации малых решений операторного уравнения х = У(Т,<5)х + и(х,5), хеЛм, (4.18) где У(Т, 5) - матрица монодромии линейного уравнения х' = Л[/г(£)]ж, а оператор V(ж, 5) имеет вид т у(х,5) = J Х(Т, 5)Х~1(г,6)а[Х(г,5)х,6](1т, о где 6) - фундаментальная матрица решений линейного уравнения ММФ.

Матрица монодромии линейной части системы (4.3) имеет вид: А[\5ШсН

5) = &> ; (4.19) тогда К(Т, 0) = еТА(\0)^ Пусть р(5) - простое непрерывно зависящее от 6 собственное значение оператора У(Т, 5) такое, что р,(0) = 1.

В соответствии с теоремой 4.10 для доказательства теоремы 4.2 достаточно установить, что 1 £ <т(У(0)), и /¿'(0) ф 0. Выполнение первого из этих требований вытекает из условия II1. Далее, из [26] получим ц(6) = 1 + р0(Л{\0)е0,д0)5 + о(6) 175

Тогда

0) = ^о(А'(Ло)ео^о) Ф О

Теорема 4.2 доказана.

4.4.3 Доказательства теорем 4.3 и 4.4.

Справедливость утверждения теоремы относительно бифуркации двукратного равновесия системы (4.1) установлена в [59].

Докажем утверждение о бифуркации вынужденных колебаний системы (4.3). Эта задача приводит к уравнению (4.18), в котором У(Т,8) оператор (4.19), а оператор у(х,8) представим в виде т у(х,5) = J У{Т,5)У-\т, 8)а(у(т, 8)х,5)<1т. о

В соответствии с теоремой 4.11 для доказательства теоремы 4.3 достаточно установить, что (^(ео, 0), #о) Ф 0. Действительно, т е2 = Ыео,0),$<,) = I {У{Т,0)У-\т, 0)а2(У(т1 0)е0,0),до) ¿т = о т I (е-тА^а2(е0,\о),до) ¿т. о

Так как 1 - собственное значение оператора е~тЛ(х°\ то верно равенство е~тА(Хо^ео = ео. Пространство Яп может быть представлено в виде Яп = Щ ф Н°, где Н0 одномерное подпространство содержащее вектор ео, а - это собственное подпространство отвечающее остальному спектору оператора А(Ао). Ниже используется тот факт, что из и € Н°, следует (и,д0) = 0. Далее <12(60, А0) = Р0а2(е0,\о) + Р°а2(ео,А0), где Р0х = (х, до)ео и Р° = I - Pq. Поэтому е-г^а2(е0,А0),ро) = (е-тА(Ло)(^оа2(ео, А0) + Р°а2{е0, Хо)),9о) = (е-тЛ^Р0а2(е0,Хо),до) = (е'^^Ыео, \0), д0)е0, до) = (02(^0, Ао), <?о)(ео, до) = (а2(е0,Л0),д0). Следовательно £2 = Т(а2(е0, Ао),до) = TÇо ф 0. Теорема 4.3 доказана. Теорема 4.4 доказывается аналогично.

4.4.4 Доказательства теорем 4.5 и 4.6.

Характер устойчивости решения х(е) системы (4.1) определяется собственными значениями матрицы

В(е) = А[\(е)] + а'2х[х(е),\(е)}.

Так как <22(2, А) является квадратичной, то матрица а2х(х,\) линейно зависит от х. Поэтому а'2х(х(е), Х(е)) = а'2х(£ео+е2е1 + о(е2), A0+eAi + o(s)) = ea'2x(e(h А0) + о(ег). Тогда

В(е) = Л(А0) + eAïA'fAo) + £а!2х(е0, А0) + о(е).

Согласно [26] собственное значение /¿(е) матрицы В (е.:), близкое к нулю, представляется в виде fj,(e) = (AiA'(Ao)eo + а'2х(е0, А0)е0, д0)е + о(е). (4.20)

Так как а'2х(х, Х)х = 2а2(х, А), то равенство (4.20) примет вид = (А1Л/(Ао)ео + 2а2(ео,Ао))до)£ + о(£).

Отсюда получим х(е) = (а2(е0, Ло)> Ро)^ + о(е), из которого и следует утверждение первой части теоремы.

Для доказательства второй части заметим, что £1 = T£q. Согласно [20] бифурцирующие решения системы (4.3) устойчивы, если k5£i < 0. Т.к. к > 0, 6 > 0, и < 0, то получим требуемый результат. Теорема 4.5 доказана.

Доказательство теоремы 4.6 проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 4.5.

4.4.5 Доказательство теоремы 4.7. Вспомогательные утверждения.

Приведем сначала вспомогательные утверждения. Рассмотрим линейную систему где A2(t,5) - это Т - периодическая матрица, ограниченная по t и S. Согласно[48] существует замена переменных у = Кх, где К = K(t) -некоторая невырожденная ограниченная Т-периодическая матрица, переводящая систему (4.21) к виду х' = [А( А0) + 6<p(t)A'(X о) + S2A2(t, 5)] х

4.21) dy dt [Л(А0) + 6S + S2R(t, 6)]y,

4.22) где £) - Х-периодическая ограниченная матрица, а постоянная матрица 5 удовлетворяет равенству т т

I Х;1ЗХ(г)(т)с1т = I Х~\ф{г)А'(\о)Х{г)(1г] (4.23) о о здесь Х{Ь) = ел°\ и А0 = Л(А0).

Из результатов работы [26] следует

Лемма 4.1. Пусть матрица А(Ао) имеет простые собственные значения ±а;ог. Тогда матрица Л(Ао) + 63 имеет пару простых собственных значений р,(5) = £(5) +гт{6), где £(£), т(5) - непрерывно дифференцируемые функции причем £(0) = 0, т(0) = и>о и

Лемма 4.2. Имеет место равенство ^ (4.24)

Завершение доказательства теоремы 4.7.

Теорема 4.7 будет доказана, если показать, что нулевое решение линейного уравнения х' = А[А0 + 6<р{Ь)]х (4.25) является асимптотически устойчивым (неустойчивым) при малых 5 > О, если матрица В(5) = А(Ао) + 55 при таких 5 будет устойчивой (неустойчивой).

В силу леммы 4.1 устойчивость матрицы В(6) определяется знаком числа £'(0): если £'(0) < 0, то матрица В(6) устойчива, если же £'(0) > 0, то матрица В (8) неустойчива. Так как по лемме 4.2 имеем £'(0) = то отсюда получим утверждение теоремы.

Уо7

2Т '

4.4.6 Доказательства теорем 4.8 и 4.9.

При доказательстве этих утверждений без специальных ссылок используются некоторые понятия и факты из теории почти периодических колебаний [19].

Для системы (4.12) значение До является точкой бифуркации Андро-нова-Хопфа; поэтому каждому е > 0 соответствует такое 8 = 8(е) Е [0, бг), при котором система (4.12) имеет нестационарное периодическое решение е), причем тах ||жо(£, е)11 < е- Для функций 8(е) и хо^,е) могут быть получены [26] асимптотические формулы по вспомогательному параметру е, при этом 8(е) = 0(е2) и хо^,е) = 0(е) при е —> 0. Ниже без ограничения общности будем считать, что 8(е) > 0.

Произведем в системе (4.10) (в которой положим 8 = £(е)) указанную выше замену переменных по формуле у — Кх, где К = К{Ь,8)\ в результате перейдем к системе у' = [А(До) + 8Б + + Ка[К~1у, Д0 + 8ф)). (4.26)

Из леммы 4.1 следует, что дифференциальный оператор Ь(8)у = у' — [А(До) + 8Б]у при малых 8 > 0 является регулярным. Поэтому задача о почти периодических колебаниях системы (4.26) равносильна нелинейному интегральному уравнению

00

3/(0 = I <2(г,т,аду(т),т,^т, оо где г, - функция Грина регулярного оператора Ь(5) и у, *, = 5)у + Ка[К-1у, Л0 + 5ф)].

Для завершения доказательства на основе принципа сжатых отображений можно показать, что последнее уравнение в шаре Т{хо, р) бана-хового пространства В(ЯМ) почти периодических функций с центром в точке радиуса р(е) = о(е:) имеет единственное почти периодическое решение.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны теоретические положения о новом операторном методе исследования решений нелинейных дифференциальных уравнений в окрестностях вырожденных особых точек.

2. Предложены новые семейства операторных уравнений в задачах о бифуркации периодических и почти периодических колебаний нелинейных дифференциальных уравнений, решения которых изолированы в соответствующих пространствах и могут быть построены итерационными процедурами.

3. Получены новые признаки бифуркации периодических и почти периодических решений нелинейных систем, основанные на анализе эффективно вычисляемых спектральных характеристик особых точек.

4. Исследованы общие свойства функций Грина в задаче о периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений теории управления, позволившие получить новый метод построения периодических решений дифференциальных уравнений.

5. Предложена новая процедура исследования основных сценариев бифуркационного поведения систем с медленно меняющимися и слабоосцилирующими параметрами.

6. Разработаны алгоритмы и программы численного исследования бифуркации периодических и почти периодических колебаний нелинейных дифференциальных уравнений.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Нуров, Исхокбой Джумаевич, 2008 год

1. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1959.

2. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. 400 с.

3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. 368 с.

5. Bogdanov R. I. Versal deformations of a singular pointon the planein the case of zero eigenvalues. Functional Analysis and its Applications, 1975, 9(2),144-145.

6. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Гостехиздат,1955.

7. Гаврилов H.K. О некоторых бифуркациях состояний равновесия с одным нулевым и парой чисто мнимых корней. В сб. Методы качественной теории дифференциальных уравнений, Горький, 1978, с. 33-40.

8. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений.- М.: Наука, 1969.

9. Гукенхеймер Док., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.

10. Демидович £>.77.Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967. 472 с.

11. Джураев АД. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1987. 416 с.

12. Илолов М., Сабиров Т. К задаче о ветвлении периодических решений в некоторых классах дифференциально- разностным систем нейтрального типа.- Докл. АН Тадж. ССР-1975. Т. 18, №12, с. 3-6.

13. Ильяшенко Ю.С., Пяртли A.C. Полиномиальное векторное поле с особыми точками только типа Пуанкаре. Функциональный анализ и его приложения. 1983, 17:4, с. 84-85.

14. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с.

15. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1975. 740 с.

16. Keener, J. P. Secondary bifurcation in nonlinear diffusion reaction equations.Stud. Appl.Math., 1976,№55,187-211.

17. Козякин B.C., Красносельский М.А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации // Доклады АН СССР, 1980. Т. 254. ? 5. С. 1061-1064.

18. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 543 с.

19. Красносельский М.А. и др. Векторные поля на плоскости. Гос. издательство физико- математической литературы. Москва 1963. 245 с.

20. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1966. 332 с.

21. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 с.

22. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

23. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.

24. Красносельский М.А.,Кузнецов Н.А., Рачинский Д.И. Нелинейная бифуркация Хопфа // Доклады РАН. 2000. Т. 372, №4. С.455-458.

25. Красносельский М.А., Кузнецов Н.А., Юмагулов М.Г. Функциона-лизация параметра и асимптотика циклов в бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика. 1996. №11. С. 22-28.

26. Красносельский М.А., Юмагулов М.Г. Метод фуикциопализации параметра в проблеме собственных значений // ДАН России, 1999. Т.365. №2. С. 162-164.

27. Крылов Н.М. и Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Издательство АН УССР, Киев, 1937.

28. Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory. //Applied Mathematical Sciences (V.112), Springer-Verlag, New-York etc., 1995.

29. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. М.-Л.:Гостехиздат, 1956. Т. 2.

30. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС-М.: Наука, 2000. 336 с.

31. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. Го-стехиздат, 1956.

32. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. 362 с.

33. MAREE G. J. М. Slow Periodic Crossing of a Pitchfork Bifurcation in an Oscillating System. Nonlinear Dynamics 12: №1-37, 1997.

34. Митрополъский Ю.А. Нестационарные процессы в нелинейных колебательных систем ах. Издательство АН Украинской ССР Киев-1955.-279 с.

35. Михайлов Л.Г Об одном способе исследования обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными точками. Доклады РАН 1994, Т. 336, N1.

36. Михлин С.Г. Лекции по интегральным уравнениям,Физматгиз,

37. Мустафокулов Р. Позитивные бифуркационные значения параметра уравнений с положительными операторами. Доклады АН

38. Мухамадиев Э.М. О вычислении индекса особой точки конечномерного вектороного поля. Доклады АН Тадж.ССР, т. 10,3,1967, с.

39. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных увравнений. Гостехиздат, 1949.

40. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний.- М.: Наука,1972.

41. Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях I, II. // Дифференц. уравн. 1987. Т. 23, Вып. 12. С. 2060-2067; 1988. Т. 24, Вып. 2. С. 226-233.1959.

42. Тадж/ XIX, №3,1986, с. 74- 78.6.9.

43. Сип-Саг Hua and Qi- Shao Lu Time Dependent Bifurcation : A new method and applications. International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 11, №12(2001) 3153- 3162

44. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравненийю. М.: Наука, 1976.

45. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М. "Наука", 1964.

46. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями,- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.

47. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.:Наука, 1974.-332 с.

48. Попов Е.П. Динамика систем автоматического регулирования , Гостехиздат, Москва, 1954.

49. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 288 с.

50. Розенвассер Е.Н.,Воловодов С.К. Операторные методы и колебательные процессы. М.: Наука, 1985.

51. Терехин М.Т. Бифуркация периодических решений функционально-дифференциальных уравнений / / Известия высших учебных заведений. Математика. 10 (449). 1999. С. 37-42.

52. Терехин М.Т. Ненулевые периодические решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных // Дифференциальные уравнения. 2003. 39. №12. С. 1645-165

53. Усманов З.Д. Интегральное уравнение для одного класса обобщенных аналитических функций с неподвижной особой точкой. Докл. АН ТаджССР.-1971.- Т.14.,10. С.12-15.

54. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные увравнения.-М.:Мир, 1970, 720 с.

55. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985. 280 с.

56. Хейл Дот. Колебания в нелинейных системах. Мир, 1966,

57. Штокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами- Киев: Издательство АН УССР, 1960.

58. Шильников Л.П. и др. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 416 с.

59. Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в задаче приближенного расчета малых автоколебательных режимов // Автоматика и телемеханика. 1988. №10. С. 76-84.

60. Юмагулов М.Г., Ибрагимова JI.C. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем.Автоматика и телемеханика 2007, №4, с. 3-12.

61. Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в итерационных процедурах исследования бифуркации Хопфа для уравнений с последействием // Доклады АН России. 1993. Т.331. №1. С. 24-27.

62. Йосс Ж., Джосеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983. 304 с.

63. Шошитайшвили А.Н. О бифуркации топологического типа особых точек векторных полей,зависящих от параметра. 1975, I, с.279- 300.

64. Cesari L., Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin Gottingen Heidelberg (1959).

65. Cicogna G.J. Resonant bifurcation // Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl. 2000. 241. №. P. 151-180.

66. Diamond P., Rachinskii D., Yumagulov M. Stability of large cycles in a nonsmooth problem on the Hopf bifurcation at infinity. // Nonlinear Anal. Theory. Meth. Appl. 2000. Vol. 16. №4. P. 79-92.

67. Doedel E., Keller H. and Kernevez J. Numerical analysis and control of bifurcation problems. Bifurcation in finite dimensions, Int. //J. Bifurcation and Chaos, Vol. 1. 493-520. 1991.

68. Hale J.K., Kogak H. Dynamics and bifurcations // Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New-York etc., 1991.

69. He Xiangian. Hopf bifurcation at infinity with discontinuons nonlineari-ties // J. Austral. Math. Soc. B. 1991. 33, №2. P. 133-148

70. Hirsch M. W. and Smale S., Differential Equation. Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press. New York (1974).

71. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Lösung von einer stationären Lösung eines Differential systems // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig Math.-Nat., 1942.

72. Izydorek M, Rybicki S. Bifurcations of bounded solutions of 1-parameter ODE's. // J. Differ.Equat. 1996. №130. P. 267-276.

73. Ju P. Leung A.J.T. The simplest normal form of Hopf bifurcation // Nonlineavity. 2003. 16. K°-1. P.277-300.

74. Kozyakin V.S. and Krasnoselskii M.A. The method of parameter functionalization in the Hopf bifurcation problem // Nonlinear Analysis. 1987. №11. Vol. 2. P. 149-161.

75. Krasnosel'skii M.A., Lifshits Je.A., Sobolev A.V., Positive Linear Systems. Helderman, Berlin 1989.

76. Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory. // Applied Mathematical Sciences (V.112), Springer-Verlag, New-York etc., 1995.

77. Опойцев В. И. Обращение принципа сжимающих отображений. -Успехи математических наук, 1976, №31, С. 169-198.

78. Shilnikov L. Bifurcations and strange attractors. Proceedings of the International Congress of Mathematical, Beijing, Aug.20-28, 2002, Vol.3, Invited Lectures. Beijing: Higher Educ. Press, 2002. P. 349-372.

79. Сабиров Т. С. К вопросу об устойчивости малых периодических решений. ДАН СССР, 1966, 167, №4, С. 755- 757.

80. Самойленко A.M. О локальных интегральных многообразиях в окрестности периодических решений систем дифференциальных уравнений, Тр. сем. но матем. физ.и нелинейных колебаний. Инта матем. АН УССР, №1, N1, К. (1963), 60-87.

81. Yu Shu-Xiang. Bifurcations of bounded solutions of ordinary differential equantions depending on a parameter // Rocky Mount. Y.Math. 2004. 34. №3. P. 1191-1196.

82. Nurov I. and Yumagulov M., Approximate analysis of small periodic solutions of control systems, Avtomatika Telemekh, №10 (1993), 101108 (in Russian).

83. Nurov I. and Yumagulov M. Operator approach to the study of periodic solutions to Lienard equation. Italian Journal of Pure and Applied Mathematics., (2003),№13, 71-81 (in Italian).

84. Нуров И. Д. Об одном способе численного исследования бифуркации малых автоколебаний в нелинейных системах управле-ния.Депонирование ВИНИТИ в 1990 г.№5734-В90,26с.

85. Нуров И.Д. О приближенном исследовании бифуркации малых автоколебаний в нелинейных системах. Доклады АН Тадж. ССР.,1991г.№4,С. 7-12.

86. Нуров ИД. О численном исследовании и анализе устойчивости би-фурцирующих решений уравнения нелинейной системы управления. Депонирование ВИНИТИ №4521-В91 от 6 декабря 1991г.Д9с.

87. Ю магу лов М.Г., Нуров И. Д. О численном исследовании бифурци-рующих решений нелинейных систем и анализе их устойчивости. Тезиси докладов республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения".Куляб, 1991.,С. 191-192.

88. Нуров И.Д., Юмагулов М.Г. Приближенное исследование малых периодических колебаний систем автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика. 1993г. №3. С. 101- 108.

89. Юмагулов М.Г., Нуров И. Д. Операторные методы исследования автоколебаний двумерных динамических систем. Международная конференция по проблемам управления. (Москва 29 июня 2 июля 1999 года) С. 99- 101.

90. Юмагулов М. Г., Нуров И. Д., Шарафутдинов И. В. Алгоритмы приближенного исследования задачи о бифуркации Андро-нова-Хопфа. Вторая всероссийская научная конференция "Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЬАВ. Москва, 25-26 мая 2004г.

91. Нуров И.Д., Юмагулов М.Г. Об одном методе исследования бифуркации периодических решений уравнения Льенара. Доклады АН РТ. 2002г. Том ХЬУ №3-4, с. 35-39.

92. Нуров И.Д., Юмагулов М.Г. Импульсио-частотные характеристики в бифуркационных задачах. 2002г.Автоматика и телемеханика. №5, с. 34-40.

93. Нуров И.Д. Об анализе устойчивости автоколебательных решений уравнения нелинейной системы управления.Доклады АН РТ. 2002г. Том ХЬУ, №5-6, с.35-41.

94. Нуров И.Д., Юмагулов М.Г. Задача о малых автоколебаниях в системах управления и метод функционализации параметра. 2003г. Том ХЬУ1, №3-4, с.28-33.

95. Юмагулов М.Г., Нуров ИД. Методы теории вращения векторных полей в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа. Вестник МаГУ; Периодический научный журнал , Вып. 5. Естественные науки-Магнитогорск: МаГУ, 2004. С. 191- 194.

96. Нуров И.Д. Локализация бифурцирующих решений в нелинейных автоколебательных системах. Доклады АН РТ. 2005г. Том. XLVIII, №3-4, с. 44-50.

97. Нуров ИД. Алгоритм приближенного исследования бифуркации Хопфа в нелинейных системах. Вестник ТГНУ(серия математика), 2005г. №2. С. 95- 102.

98. Нуров И.Д. Бифуркационные проблемы со слабоосцилирующими параметрами. Доклады АН РТ. 2006.Том 49, №8,с. 704-710.

99. Нуров И.Д. Математическое моделирование бифуркационных задач в системе Maple. Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы 11, посвященной И.Г.Петровскому(22-я сессия).МГУ- 2007 г. С. 218-219.

100. Нуров И.Д. Моделирование бифуркационных задач со слабоосцил-лирующими параметрами. Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" посвященной 100-летию И.Н. Векуа. Новосибирск-2007г. С.242

101. Юмагулов М.Г., Вышинский А.А.,Нуров ИД. Моделирование би-фурцирующих решений к-параметрических динамических систем. Доклады АН РТ. 2007. Т.50. №5, с. 409- 416.

102. Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л.С.,Музаффаров С.М., Нуров ИД. Бифуркация Андронова-Хопфа со слабоосцилирующимися параметрами. Автоматика и телемеханика 2008 г. №1, с. 36-41.243.