Об уплотняющих возмущениях сюръективных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Афонина, Светлана Николаевна

• Афонина, Светлана Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Афонина, Светлана Николаевна

Содержание

Основные обозначения

Введение

1 Необходимые сведения

1.1 Сюръективные операторы. Основные свойства

1.2 Теоремы о неподвижных точках

1.3 Меры некомпактности и уплотняющие отображения

2 Уплотняющие возмущения линейных непрерывных сюръ-

ективных операторов

2.1 Мера некомпактности индуцированная линейным непрерывным сюръективным оператором

2.2 Уплотняющие возмущения линейных непрерывных сюръ-ективных операторов

2.3 О разрешимости уравнений с линейными непрерывными сюръективными операторами

2.4 О локальных решениях дифференциальных уравнений неразрешенных относительно производной

2.5 О глобальных решениях дифференциальных уравнений неразрешенных относительно производной

3 Уплотняющие возмущения линейных замкнутых сюръ-

ективных операторов

3.1 Уплотняющие возмущения замкнутых сюръективных операторов

3.2 Уравнения с {А, ^-уплотняющими отображениями

4 О некоторых приложениях в теории дифференциальных

уравнений

4.1 О существовании локальных решений для одного класса уравнений нейтрального типа

4.2 О глобальных решениях уравнений нейтрального типа

4.3 Абстрактная модель уравнений нейтрального типа

4.4 Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений

Список литературы

Основные обозначения

Е - банахово пространство.

Р(Е) - множество всех непустых подмножеств в Е.

Cv{E) - множество всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств в

Е.

Прописными буквами х, у. z, s, i в работе обычно обозначаются произвольные точки банахова пространства, а заглавными буквами Q, К, L, М, X, Y, S, N, Р, Т - подмножества банахова пространства. co(Q) - выпуклая оболочка множества Q. Q - замыкание множества Q.

cd(Q) - замыкание выпуклой оболочки множества Q. Q - частично упорядоченное множество.

С[аМ - пространство непрерывных вектор-функций, определенных на отрезке [а, 6] со значениями в банаховом пространстве Е. Однозначные отображения в диссертации всегда обозначаются прописными буквами /, ф, q, д, р, ip, </>, j.

Заглавными буквами А, В, К, V в работе обычно обозначаются линейные операторы.

Г(А) = {(х,у) \х G D(A), у = С Ег х Е2 - график линейного

оператора А : D{A) С Е\ —> Е^.

D(A) - область определения линейного оператора А.

D(f) - область определения отображения /.

||ж||с = ||a;||i + с||А(а;)||2 - норма графика в множестве D(A).

Кег(А) = D(A) | А{х) — 0} - ядро оператора А.

х(П) = inf{e | £ > 0, П имеет конечную £ —сеть } - мера некомпактности

Хаусдорфа.

п

а(Г)) = т£{сI | с? > 0, ^ = и <Иат{Г^) < п е ЛГ} - мера неком-

¿=1

пактности Куратовского.

Если хо € Е - некоторая точка, то Вц [.то] - замкнутый шар радиуса Я с центром в точке

Прописными буквами г, 5, 77, к, I, т, с, с?, г, 7, ¡3 в работе обычно обозначаются некоторые числа.

£ : Г (А) —>• Е\ - проекция на область определения оператора Л, то есть г(х,у) = х.

[О, г], [а, Ъ} ~ отрезки числовой прямой.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об уплотняющих возмущениях сюръективных операторов»

Введение

Актуальность темы. Исследование новых классов нелинейных задач, построение и изучение разрешимости адекватных им классов операторных уравнений и включений традиционно включается в нелинейный функциональный анализ.

При изучении вопросов, связанных с разрешимостью различных нелинейных уравнений и включений, важную роль играют качественные методы, в частности, теоремы о неподвижной точке, принципы продолжения решений по параметру и топологические методы.

Теория уплотняющих отображений представляет собой теорию операторов, свойства которых можно охарактеризовать как промежуточные между свойствами сжимающих и вполне непрерывных отображений. Впервые операторы такого типа были рассмотрены в работах М.А. Красносельского [28] и С. БагЬо [39].

Теория мер некомпактности и уплотняющих операторов нашла различные применения в общей топологии, обыкновенных дифференциальных уравнениях, функционально-дифференциальных уравнениях, уравнениях в частных производных, теории экстремумов функционалов и так далее.

Существенное место в теории уплотняющих отображений занимает исследование неподвижных точек, которые в различных задачах могут интерпретироваться как решения некоторых классов дифференциальных уравнений.

Свойства мер некомпактности изучались К. Куратовским, А. АтЬго-веи1, М. Рип, А. \^поН, 11.0. МизэЬаит, Б.Н. Садовским, Ю.Г. Борисовичем, Ю.И. Сапроновым и многими другими.

Мера некомпактности а была впервые рассмотрена К. Куратовским [48] (см. также [30]), а мера некомнактности х впервые использовалась в работах Л .С. Гольденштейна, И.Ц. Гохберга и A.C. Маркуса [19], [20] и в работе Б.Н. Садовского [32].

Общее определение меры некомпактности предложено Б.Н. Садовским в [33], [36]. Там же изучен ряд примеров мер некомпактности в локально выпуклых пространствах. Ю.Г. Борисович и Ю.И. Сапронов [11] предложили иное общее определение. Интересные результаты, относящиеся к общему определению меры некомпактности, получены В.А. Бондаренко [7].

Понятие (к, ^-ограниченного оператора введено и изучено G. Darbo [39] (под названием "k-set-contraction"). Б.Н. Садовским введено понятие х-уплотняющего оператора [32] и общее определение уплотняющего оператора [33]. М. Furi и А. Vignoli ввели понятие а-уплотняющего оператора в метрическом пространстве [42].

Различные примеры уплотняющих операторов, связанных с дифференциальными уравнениями, изучены А. Ambrosetti [37], [38], Б.Н. Садовским [34], [35] (см. также [1], [6], [31]), П.П. Забрейко и И.Б. Дедовской [22], В.М. Герштейном [18], R.D. Nussbaum [49], [50].

В Воронеже изучение уплотняющих отображений было начато работой Б.Н. Садовского [32] в 1967 г. В дальнейшем изучением уплотняющих отображений в Воронеже занимались Б.Н. Садовский. Ю.Г. Борисович, Ю.И. Сапронов. Р.Р. Ахмеров, А.Е. Родкина, A.C. Потапов, М.И. Каменский, В.В. Обуховский и многие другие.

В результате изучения уплотняющих отображений были опубликованы монографии [4] и несколько обзоров [3]. [5]. В 1980 г. был опубликован обзор Б.Н. Садовского "Уплотняющие операторы", который в библио-

графии содержал 426 источников.

Отметим также работы, связанные с обобщением понятия уплотняющего отображения на случай многозначных отображений. В Воронеже изучением таких отображений занимались В.В. Обуховский, его ученики и М. И. Каменский. Эти работы были подытожены в монографии В.В. Обуховского, М.И. Каменского и Р. Zecca [47].

В 70-х годах прошлого века появились работы, посвященные изучению уплотняющих возмущений некоторых непрерывных однозначных отображений. Этим вопросам были посвящены работы G. Hetzer, Ю.Г. Борисовича, В.Т. Дмитриенко, В.Г. Звягина (см., например [8], [9], [21], [44], [45]). В них изучалась гомотопическая классификация таких возмущений и на этой основе строились новые топологические инварианты. Отметим работу [44] (и другие работы этого автора) в которой изучались возмущения, у которых главной частью являлся линейный фредгольмов оператор.

С другой стороны, в 1997 г. появилась работа В. Ricceri [51], посвященная изучению компактных возмущений линейных непрерывных сюръек-тивных операторов. В дальнейшем в работах Б.Д. Гельмана рассматривались липшицевы и вполне непрерывные возмущения замкнутых линейных операторов и рассмотрены приложения полученных теорем к проблеме разрешимости операторных уравнений и включений [12], [13], [16].

Естественно возникает идея изучить уравнения, главной частью которых является замкнутый линейный сюръективный оператор А. а отображение / является уплотняющим относительно этого оператора. Заметим также, что в этом случае гомотопическая классификация, построенная в работах [8], [9], [21], [44], [45], оказывается неприменимой. Изучению этих вопросов и посвящена данная работа.

Цель работы. Целью данной работы является изучение разрешимости операторных уравнений вида А(х) = /(х) в банаховых пространствах, где А - линейный сюръективный оператор (главная часть), а / - уплотняющее отображение относительно главной части, и применение доказанных теорем к изучению разрешимости некоторых новых классов дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Определена и изучена мера некомпактности в банаховом пространстве индуцированная линейным непрерывным оператором.

2. Дано определение и изучены примеры уплотняющих возмущений линейных непрерывных сюръективных операторов.

3. Доказаны теоремы о разрешимости операторных уравнений, главной частью которых является линейный непрерывный сюръективный оператор. Получены приложения доказываемых теорем к проблеме существования решений задачи Коши для дифференциальных уравнений неразрешенных относительно производной.

4. Дано определение и изучены примеры уплотняющих возмущений линейных замкнутых сюръективных операторов.

5. Доказаны теоремы о разрешимости операторных уравнений, главной частью которых является линейный замкнутый сюръективный оператор.

6. Опираясь на доказанные теоремы, исследованы новые классы задач для вырожденных дифференциальных уравнений и уравнений нейтрального типа.

Методы исследования. В работе использованы методы функцио-

нального анализа и дифференциальных уравнений в конечномерном и бесконечномерном банаховом пространстве.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа носит теоретический характер. Представленные в ней результаты могут быть использованы для изучения новых классов операторных и дифференциальных уравнений в конечномерном и бесконечномерном банаховом пространстве.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научной конференции по итогам работы за 2011 г. в Воронежском государственном педагогическом университете, в Воронежских зимних математических школах (2012 г., 2013 г.), на семинаре профессора В.В. Обу-ховского в Воронежском государственном педагогическом университете (2013 г.).

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах [2], [17], [23], [24], [25], [26], [43]. Работы [17], [23] опубликованы в российских журналах, входящих в список ВАК Мино-брнауки России рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций. Все результаты включенные в диссертацию из совместных работ [17], [43] получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на пункты, и списка литературы, содержащего 51 наименование. Объем работы составляет 91 страницу текста.

Краткое содержание диссертации.

Во введении дается краткий обзор работ, близких к теме диссертации, и излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава содержит сведения из теории замкнутых операторов

и уплотняющих отображений необходимые в дальнейшем.

В пункте 1.1 излагаются некоторые свойства замкнутых линейных сюръективных операторов, приводятся примеры вычисления нормы многозначного отображения обратного к замкнутому линейному сюръектив-ному оператору.

Определение 1.2. Число

НА-1!! = Иг'н = ('п{{1М1 |жеДь <

11У11

называется нормой многозначного отображения А(см. [23]).

В пункте 1.2 коротко сформулированы основные теоремы о неподвижной точке: принцип сжимающих отображений С. Банаха и теорема Ю. Шаудера.

В этом же пункте дано определение вполне непрерывного отображения и рассмотрены некоторые их свойства.

В пункте 1.3 этой главы дается определение меры некомпактности, рассматриваются основные свойства мер некомпактности и примеры распространенных мер некомпактности: меры некомпактности Хаусдорфа и меры некомпактности Куратовского. Здесь же дается определение ф-уилотняющего оператора и приводится теорема Б.Н. Садовского (Теорема 1.5) о неподвижной точке уплотняющего отображения.

Вторая глава диссертации посвящена разрешимости операторных уравнений вида А(х) = /(х), где А - линейный непрерывный сюръектив-ный оператор, а / - уплотняющее возмущение оператора А. Результаты этой главы опубликованы в работах [17], [24].

В пункте 2.1 данной главы изучены свойства меры некомпактности индуцированной линейным непрерывным сюръективным оператором.

Пусть Е\, Е2 - банаховы пространства, А : Е\ —»■ Еч - ограничен-

ный линейный оператор. Пусть в Е2 задана монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера неком-нактности ф.

Тогда отображение Фа '• Р{Е\) ~^ определенное следующим образом:

фА(П) = ф{А{П))

обладает следующими свойствами:

1. Это отображение является монотонным, то есть для любых

€ Р{Е\), С О2 выполнено неравенство Фа(& 1) < Фа(^2)-

2. Это отображение инвариант,но относительно взятия выпуклой оболочки, то есть для любого О, Е Р{Е\) выполнено равенство фА(&) = Фа(со(П)).

3. Эт,о отображение инвариантно от,носит,ельно взятия, замыкания множества, то есть Фа{&) = Фа{для любого О Е Р(Е{).

4. Отображение Фа является несингулярным, то есть Фа{& и £1) = Фа{Щ для любых а Е Е\, О, Е Р(£х)-

5. Отображение Фа являет, ся, алгебраически полу аддитивным, то ест,ь Фа(& 1 + ^2) < Фа(^\) + Фа{&2) для любых £ Р{Е\)-

6. Если оператор А является сюръективным, то Фа{&) = 0 тогда и только тогда, когда существует такой компакт К С Е\, что О, С К + К ег{А).

Таким образом, отображение Фа является монотонной, несингулярной, вещественной, алгебраически полуаддитивной мерой некомпактности. Однако эта мера некомпактности не является правильной.

В пункте 2.2 этой главы дано определение (А, ^-уплотняющего отображения.

Определение 2.1. Отображение / :£>(/) С Е\ —> 1?2 называется (А, ф)-уплотняющим, если для любого ограниченного множества С} С £)(/) из неравенства > Фа{Я) вытекает равенство Фа{Я) = 0.

В этом же пункте второй главы рассмотрены примеры (А, ф)-уплотняющих отображений.

Пример 2.1. Пусть X - ограниченное подмножество в Е\, А : Е\ —у Е2 - ограниченный линейный оператор. Пусть Д : X —> Е2 ~~ непрерывное отображение, удовлетворяющее следующему условию: существует такое число к £ (0,1), что для любых точек х\,х2 £ X справедливо неравенство

11/16*1) - ЛМН < к\\А(Х1) - А(х2)\\, (2.1)

то есть /1 является Л-сжимающим отображением.

Пусть /2 : X —> Е2 ~ вполне непрерывное отображение. Рассмотрим отображение / = /1 + /г- Пусть в пространстве Е2 задана мера некомпактности Куратовского а.

Предложение 2.2. При сделанных предположениях отображение / является (А, а)-уплотняющим отображением.

Пример 2.2. Пусть А : Е\ —>■ Е2 - непрерывный линейный сюръек-тивный оператор. X - ограниченное подмножество в д : X х Е2 —»• Е2 - непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям: (1) существует такое число к £ (0,1); что для любой точки х £ X и любых 2/1, г/2 € Е2 справедливо неравенство

II9(х,уг) - д(х,у2)\\ < к\\уг - у21|;

(2) для, любого у £ Е2 отображение д(-,у) : X —>• Е2 является вполне непрерывным.

Рассмотрим отображение / : X —> Е^., /(х) = д(х, А(х)). Пусть в пространстве Е^ задана мера некомпактности Хаусдорфа х-

Предложение 2.3. При сделанных предположениях отображение / является (А, х)~УпЛотняюЩим отображением.

В пункте 2.3 доказывается теорема о разрешимости уравнений, содержащих уплотняющие возмущения линейных непрерывных сюръек-тивных операторов.

Пусть Е\, Е2 - банаховы пространства. Пусть А : Е\ —> Е2 - ограниченный линейный сюръективный оператор. Пусть в Е2 задана монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера некомпактности ф. Пусть хо £ Е\ - некоторая точка, ВЕ[х0] - замкнутый шар радиуса Я с центром в хо, / : Вц[хо] —> Е^ -непрерывное (А, -0)-уплотняющее отображение. Рассмотрим уравнение

Теорема 2.1. Если существует такое число к > ||А что для любой точки х £ Вц[хо] справедливо неравенство

то уравнение (2.5) имеет решение.

В работе рассмотрено следствие из этой теоремы. Пусть / : Е\ —» Е2 - непрерывное (А, -0)-уплотняющее отображение. Следствие 2.1. Пусть выполнены следующие условия: (г) существуют, такие констант,ы с > 0 и д > 0. чт,о для любой точки х £ справедливо неравенство ||/(ж)|| < с||гг|| + й; (гг) с\\А~1\\ < 1.

Тогда уравнение (2.5) имеет решение.

А{х) = !{х).

(2.5)

В заключении главы полученные утверждения применяются для исследования разрешимости одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной.

В пункте 2.4 исследуется проблема существования локальных решений.

Пусть <р : [а,Ь] х 1" х К" Мп отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

(>р1) отображение (р непрерывно по совокупности переменных; ((р2) существует такое число к £ (0,1). что для любых £ € [а,6]; х £ К?г и у\, у2 £ М"' справедливо неравенство

Теорема 2.2. Пусть отображение <р удовлетворяет, условиям (<р1) и ((р2), тогда существует такое число /?,о Е (0,6 —а], что задача (2.7), (2.8) имеет решение на промежутке [а. а + /го].

Пункт 2.5 посвящен рассмотрению проблемы существования глобальных решений уравнения 2.7.

Пусть отображение <р : [а, Ь] х Мп х Мп —> Кп удовлетворяет также условию:

(<рЗ) существуют такие числа с и (1, что для любых £ £ [а, Ь] и х £ Мп справедливо неравенство \|</?(£, х, 0)|| < с||х|| + й.

Теорема 2.3. Пусть отображение </? удовлетворяет условиям (р1), ((р2) и (рЗ). Если выполнено неравенство с(Ь — а) < 2(1 — к), то уравнение (2.1) имеет решение на промежутке [а, Ь].

Ч>(Ь,х,у1) - 1р(Ъх,у2)|| < к\\уг - у2

Рассмотрим следующую задачу:

х — (р(Ь, х, х') х(а) = 0.

(2.7)

(2.8)

Третья глава диссертации посвящена исследованию разрешимости и изучению свойств множества решений операторных уравнений, содержащих уплотняющие возмущения замкнутых линейных сюръективных операторов. Результаты этой главы развивают и дополняют результаты исследований, полученных в предыдущей главе. Они опубликованы в работах [23], [25], [26].

В пункте 3.1 данной главы дается определение (А, ф)-уплотняющего отображения и вводится понятие подчиненности одного линейного оператора другому замкнутому линейному оператору.

Пусть Е\, Е2 - банаховы пространства, А : D{A) С Е\ —> Е2 - замкнутый линейный сюръективный оператор, Г(А) С Е\ х Е2 - график оператора A, t : Г(А) Ei - проекция на область определения оператора А, то есть t(x, у) = х.

Пусть в Е2 задана монотонная, несингулярная, алгебраически полуаддитивная, вещественная, правильная мера некомпактности ф.

Определение 3.1. Будем говорить, что отображение f : D(f) С Ei —Е2 является (А, ф)-уплотняющим, если:

1) для любого ограниченного множества Í7 С {D(A) П D(f)) из неравенства ф(А(0.)) < ф(/(П)) следует, что ф(А(0,)) = О/

2) если X — t~1(D(f)), то композиция f о t : X —у Е2 является непрерывным отображением.

Пусть Ei, Е2 и Е3 - банаховы пространства, А : D(A) С Е\ —> Е2 -замкнутый сюръективный линейный оператор, В : D(B) С Ei —> Е% -произвольный линейный оператор.

Определение 3.2. Будем говорить, что оператор В подчинен оператору А, если: 1) D(A) С D(B);

2) для любого х £ О(А) справедливо неравенство ||А(ж)|| > ||Б(ж)||.

В этом пункте также рассматривается определение А-вполне непрерывного оператора.

Пусть отображение д : X С О {А) —> Е2.

Определение 3.3. Будем говорить, что отображение д - вполне непрерывно по модулю отображения А (или А-вполне непрерывно), если оно непрерывно и для любого ограниченного множества ф С Е2 и любого ограниченного множества М С X множество д(М П является компактным в Е2. Пустое множество по определению считается компактным.

Пусть пространство Е - это множество О(А) снабженное нормой графика. Очевидно, что отображение вложения ] : Е —>■ Е\ является непрерывным. Обозначим X = ]~1(Х) и рассмотрим отображение д : X —>• Е'з,

Предложение 3.1. Непрерывное отображение д являет,ся А-вполне непрерывным тогда и только тогда, когда отображение д являет,ся вполне непрерывным.

Здесь же представлены некоторые примеры отображений, уплотняющих относительно замкнутого линейного сюръективного оператора.

Пример 3.1. Предположим, что оператор В подчинен оператору А, множество X - ограниченное подмножество в О(А) такое, что множество А(Х) также ограничено в Е2. Пусть (р : X х —>• Е2 - непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям: 1) существует такое число к Е (0,1). что для любой точки х Е X и любых , £ -Е'З справедливо неравенство

I\<р(х,У1) ~ <р{х,у2)\\ < к\\У1 - 2/2||;

2) для любого у £ E-¿ отображение ip(-, у) : X —>• Е2 является А-вполне непрерывным.

Рассмотрим отображение / : X —>■ Е2> f(x) = (р(х, В(х)). Пусть в пространстве Е2 задана мера некомпактности Хаусдорфа х-

Предложение 3.2. При сделанных предположениях отображение f является (А, х)-УплотняюЩим отображением.

Пример 3.2. Пусть А : D(A) С Е\ —> E<i - замкнутый сюръективный линейный оператор, оператор В : D{B) С Е\ подчинен оператору

А. Пусть в пространстве Е2 задана мера некомпактности Куратовского ск, а множество X является ограниченным подмножеством в D(A) таким, что множество А(Х) также ограничено в Е2. Предположим, что непрерывное отображение Д : X —> Е\ удовлетворяет следующему условию: суи^ествует такое число k Е (0,1); что для любых точек х\,х2 G X справедливо неравенство

\\fi(x1)-fl(x2)\\<k\\B(xí)-B(x2)\\.

Пусть f2 : X —»■ Е2- А-вполне непрерывное отображение. Рассмотрим отображение f(x) = fi(B(x)) + f2(x).

Предложение 3.3. При сделанных предположениях отображение f является (А: а)-уплотняющим отображением.

В пункте 3.2 доказанные теоремы применяются при исследовании разрешимости уравнений с уплотняющими относительно замкнутых линейных сюръективных операторов отображениями.

Пусть Xq Е D(A) - некоторая точка, Br[xq] С Е\ - замкнутый шар радиуса R с центром в х$. Пусть множество

Р = {х е D(A)f)BR[x0] | \\А(х) — А(х0)|| < га},

где т некоторое положительное число. Пусть отображение / : Р —>• Е2 является (А, ^-уплотняющим отображением. Рассмотрим уравнение

А(х) = !(х). (3.4)

Теорема 3.1. Если существует такое число I > тах{ ||А-1||, ^}, что для любого х £ Р справедливо неравенство

то уравнение (3.4) имеет решение.

Опираясь на эту теорему можно доказать следующее следствие. Пусть В : О (В) С Е\ —> - линейный оператор, подчиненный оператору А, а (р : Р х Е% —> Е2 - непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1) существует такое число к £ (0,1), что для любой точки х £ Р и любых у\,у2 £ Е3 справедливо неравенство

\\(р(х,У1) - ц>(х,у2)\\ < к\\у 1 -2/2II;

2) для любого у £ отображение <р(-,у) : Р —» Е2 являет,ся А-вполне непрерывным.

Следствие 3.3. Если для любой точки х £ Р существует число

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Афонина, Светлана Николаевна, 2013 год

Список литературы

[1] Аверина JI.M., Садовский Б.Н. О локальной разрешимости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа/ Л.М. Аверина, Б.Н. Садовский// Труды матем. ф-та, Воронеж, ВГУ. - 1971. - Вып.З. - С. 1-12.

[2] Афонина (Калабухова) С.Н. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений/ С.Н. Афонина (Калабухова)// Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы ВЗМШ. - Воронеж: Издательство ВГУ. - 2013. - С. 19-20.

[3] Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов A.C., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Теория уравнений нейтрального типа/ P.P. Ахмеров, М.И. Каменский, A.C. Потапов, А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский// Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 19, ВИНИТИ, М. - 1982. - С. 55-126.

[4] Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов A.C., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы/ P.P. Ахмеров, М.И. Каменский, A.C. Потапов, А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский. - Новосибирск: Наука, 1986. - 265 с.

[5] Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов A.C., Садовский Б.Н. Уплотняющие операторы/ P.P. Ахмеров, М.И. Каменский, A.C. Потапов, Б.Н. Садовский// Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 18, ВИНИТИ, М. - 1980. - С. 185-250.

[6] Бадоев A.JL, Садовский Б.Н. Пример уплотняющего оператора в теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

нейтрального типа/ A.J1. Бадоев, Б.Н. Садовский// Доклады академии наук СССР. - 1969. - Т.186. - №6. - С. 1239-1242.

[7] Бондаренко В.А. О существовании универсальной меры некомпактности/ В.А. Бондаренко/'/ Пробл. матем. анализа сложн. сист., Воронеж. - 1968. - Вып.2. - С. 18-21.

[8] Борисович Ю.Г. Современный подход к теории топологических характеристик нелинейных операторов. I./ Ю.Г. Борисович// Геом. и теория особенностей в нелинейных уравнениях, Воронеж, ВГУ. -1987. - С. 24-46.

[9] Борисович Ю.Г. Современный подход к теории топологических характеристик нелинейных операторов. II./ Ю.Г. Борисович// Глобал. анал. и нелинейн. уравнения, Воронеж, ВГУ. - 1988. - С. 22-43.

[10] Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений/ Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. - М: КомКнига, 2005. - 214 с.

[11] Борисович Ю.Г., Сапронов Ю.И. К топологической теории компактно сужаемых отображений/Ю.Г. Борисович, Ю.И. Сапронов// Труды сем. по функц. анализу, Воронеж. - 1969. - Вып. 12. - С. 43-68.

[12] Гельман Б.Д. Об одном классе операторных уравнений/ Б.Д. Гельман// Матем. заметки. - 2001. - Т.70, - №4. - С. 544-552.

[13] Гельман Б.Д. Операторные уравнения и задача Коши для вырожденных дифференциальных уравнений/ Б.Д. Гельман// Вестник ВГУ, серия: физика, математика. - 2007. - №2. - С. 86-91.

[14] Гельман Б.Д. О задаче Коши для одного класса вырожденных дифференциальных уравнений с липшицевой правой частью/ Б.Д. Гельман// Функциональный анализ и его приложения. - 2008. - Т.42. -Вып.З. - С. 78-81.

[15] Гельман Б.Д. Многозначные сжимающие отображения и их приложения/ Б.Д. Гельман// Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: математика, физика. - 2009. - №1. - С. 74-86.

[16] Гельман Б.Д. О локальных решениях вырожденных дифференциальных включений / Б.Д. Гельман// Функциональный анализ и его приложения. - 2012. - Т.46. - Вып.1. - С. 79-83.

[17] Гельман Б.Д., Калабухова С.Н. Об уплотняющих возмущениях линейных сюръективных операторов/ Б.Д. Гельман, С.Н. Калабухова// Вестник ВГУ, серия: физика, математика. - 2011. - №1, - С. 120-127.

[18] Герштейн В.М. К теории диссипативных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве/ В.М. Герштейн// Функциональный анализ и его приложения. - 1970. - Т.4. - Вып.З. - С. 99-100.

[19] Гольденштейн JI.C., Гохберг И.Ц., Маркус A.C. Исследование некоторых свойств линейных ограниченных операторов в связи с их q-нормой/ J1.C. Гольденштейн, И.Ц. Гохберг, A.C. Маркус// Уч. зап. Кишиневск. ун-та. - 1957. - Т.29. - С. 29-36.

[20] Гольденштейн Л.С., Маркус A.C. О мере некомпактности ограниченных множеств и линейных операторов/ Л.С. Гольденштейн, A.C. Маркус// Сб. Исслед. по алгебре и матем. анализу, Кишинев. - 1965. - С. 45-54.

[21] Дмитриенко В.Т., Звягин В.Г. Гомотопическая классификация одного класса непрерывных отображений/ В.Т. Дмитриенко, В.Г. Звягин// Матем. заметки. - 1982. - Т.31, - №5. - С. 801-812.

[22] Забрейко П.П., Дедовская И.Б. Теоремы существования для уравнений в банаховом пространстве и принцип усреднения/ П.П. Забрейко, И.Б. Дедовская// Пробл. матем. анализа сложи, сист. Воронеж.

- Вып.З. - С. 122-136.

[23] Калабухова С.Н. Об отображениях, уплотняющих относительно замкнутого оператора/ С.Н. Калабухова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2011. - Т. 16.

- Вып.4. - С. 1092-1094.

[24] Калабухова С.Н. Об уравнениях с (А.ф)- уплотняющими отображениями/ С.Н. Калабухова//' Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы ВЗМШ. - Воронеж: Издательство ВГУ. - 2011. - С. 156-157.

[25] Калабухова С.Н. Об отображениях, уплотняющих относительно замкнутого оператора/ С.Н. Калабухова/'/ Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения - XXII".-Воронеж: Издательство ВГУ. - 2011. - С. 77-78.

[26] Калабухова С.Н. Об (А,ф)~ уплотняющих отображениях/ С.Н. Калабухова// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна

- 2012: материалы международной конференции / под ред. В.А. Костина. - Воронеж: Издательство ВГУ. - 2012. - С. 88-91.

[27] Канторович JI.В, Акилов Г.П. Функциональный анализ/ JI.B Канторович, Г.П. Акилов. - 3-е изд., перераб. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 752 с.

[28] Красносельский М.А. Два замечания о методе последовательных при ближений/ М.А. Красносельский//' УМН. - 1955. - Т.10. - Вып.1.

- С. 123-127.

[29] Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. - 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 569 с.

[30] Куратовский К. Топология/ К. Куратовский. -T.I, - М., 1966.

[31] Родкина А.Е., Садовский Б.Н. К принципу связности Красносельского-Перова/ А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский// Труды матем. ф-та, ВГУ, Воронеж. - 1971. - Вып.4. - С. 89-103.

[32] Садовский Б.Н. Об одном принципе неподвижной точки/ Б.Н. Садовский// Функциональный анализ и его приложения. - 1967. - Т.1.

- Вып.2. - С. 74-76.

[33] Садовский Б.Н. О мерах некомпактности и уплотняющих операторах/ Б.Н. Садовский// Пробл. матем. анализа сложи. сист. Воронеж.

- 1968. - Вып.2. - С. 89-119.

[34] Садовский Б.Н. О локальной разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве/ Б.Н. Садовский// Пробл. матем. анализа сложи, сист. Воронеж. - 1968. - Вып.З.

- С. 232-243.

[35] Садовский Б.Н. Применение топологических методов в теории периодических решений нелинейных дифференциально-операторных уравнений нейтрального типа/ Б.Н. Садовский// Доклады академии наук СССР. - 1971. - Т.200. -№5. - С. 1037-1040.

[36] Садовский Б.Н. Предельно компактные и уплотняющие операторы/ Б.Н. Садовский// Успехи математических наук. - 1972. - Т.27. -Вып.1.(163). - С. 81-146.

[37] Ambrosetti A. Un teorema di esistenza per le equazioni differenziali negli spazi di Banach/ A. Ambrosetti// Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. - 1967. - 39. - P. 349-361.

[38] Ambrosetti A. Proprieta spettrali di certi operatori lineari non compatti/ A. Ambrosetti/'/ Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. - 1969. - 42. - P. 189200.

[39] Darbo G. Punti uniti in transformazioni a codominio non compatto/ G. Darbo// Rend. Sem. Math. Univ. Padova. - 1955. - 24. - P. 84-92.

[40] Danes J. Some Fixed Point Theorems/ J. Danes// CMUC. - 1968. - 9: 2. - P. 223-235.

[41] Danes J. Generalized Concentrative Mappings and their Fixed Points/ J. Danes// CMUC. - 1970. - 11: 1. - P. 115-136.

[42] Furi M., Vignoli A. On a Property of the Unit Sphere in a Linear Normed Space/ M. Furi, A. Vignoli// Bull. Acad. Polon. Sei., Ser. Sei. Math., Astron. et Phys. - 1970. - 18: 6. - P. 333-334.

[43] Gel'man B.D., Kalabukhova S.N. On Condensing Perturbations of Closed Linear Surjective Operators/ B.D. Gel'man, S.N. Kalabukhova// Global and Stochastic Analysis. - 2012. - Vol.2, №, ISSN 2248-9444.

[44] Hetzer G. Some remarks on operators and the coincidence degri for Fredholm equationwith noncompact nonlinearperturbation/ G. Hetzer// Ann.Soc.Sci. Bruxelles. -1975. - Ser.l. - 89. - P. 497-508.

[45] Hetzer G., Stallbohm V. Coincidence degree and Rabinowitz's bifurcation theorem/ G. Hetzer, V. Stallbohm// Publications de L'institut Mathématique, Nouvelle serie. -1976. - tome 20 (34). - P. 117129.

[46] Himmelberg C.J., Porter J.R., F.S. van VlecK. Fixed Point Theorems for Condensing Multifunction/ C.J. Himmelberg, J.R. Porter, F.S. van VlecK// Proc. Amer. Math. -1969. -Soc.23:3. - P. 635-641.

[47] Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, De Gruyter Series in Nonlinear Anal, and Appl. 7. Walter de Gruyter, Berlin-New York. - 2001.

[48] Kuratowski C. Sur les espaces complets/' С. Kuratowski// Fund. Math. - 1930. -15. - P. 301-309.

[49] Nussbaum R.D. The fixed Point Index for Local Condensing Maps/ R.D. Nussbaum// Annali di Matem. Рига ed Appl. -1972.

[50] Nussbaum R.D. A Generalization of the Ascoli Theorem and an Application to Functional Differential Equations/ R.D. Nussbaum// J. Math. Anal, and Appl. - 1972.

[51] Ricceri B. On the topological dimension of the solution set of a class of nonlinear equations/B. Ricceri // C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. -1997. - V. 325, m. - P. 65-70.