Неравенства колмогоровского типа с несимметричными ограничениями на вторую производную тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Паюченко Никита Славич

• Паюченко Никита Славич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Паюченко Никита Славич

1.3 Доказательство теорем 1 и

Глава 2. Точные константы в некоторых неравенствах колмогоровского типа

2.1 Точное неравенство для норм \\у/\\2, 1М1ъ иу+и^

2.2 Точное неравенство для норм \у/\2г/(г+1), \\у\\г, \\у'//\\1

2.3 О неравенстве Хёрмандера для положительной срезки второй производной

Заключение

Список литературы

Список работ автора

Список обозначений

Т — период, реализованный как отрезок [0,1] с отождествленными концами О — вещественная ось, отрезок или период Т Н — измеримое подмножество К

у+(х) = шах{у(х), 0} — положительная срезка функции у у_(х) = шах{ у(х),0} = (-у)+(х)

уа,в = ау+ + ву_ — несимметричная срезка

\\y\\o,H = ess sup |y(x)|

xeH

\\y\\r = \\y\r,R, 0 < r < oo

Lr(G), 0 < r ^ o, — пространство всех измеримых функций y: G ^ R, для которых \\y\\r,G < o

Lnp(G) — множество функций y £ Lr(G), которые имеют локально абсолютно непрерывные производные y(n-1) и y(n) £ Lp(G)

Lnp + (G) — множество функций y £ Lr(G), которые имеют локально абсолютно непрерывные производные y(n-1) и y^ £ Lp(G)

P — множество кусочно-полиномиальных, непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,1] функций f со свойством /'(a) = /'(6) =

U — множество функций u(x), x £ [0,1], имеющих абсолютно непрерывную производную, и таких, что для некоторого s £ [0,1] u''(x) ^ 0 п. в. на [0, s], u''(x) ^ 0 п. в. на [s, 1], u'(0) = u'(1) = 0, функция u обращается в 0 в некоторой точке промежутка [0,1]

U+ — множество функций u(x), x £ [0,1], имеющих абсолютно непрерывную производную, и таких, что u''(x) ^ 0 п. в. на [0,1], u'(0) =

u+(y) — множество функций u £ U+, x £ [0,1] таких, что u(y) =

ye = yi, в

Уа(у) — вариация функции у на множестве О,

т

уо{у) = |у(хк+1) - у(хк)1,

к=1

где верхняя грань берется по всем конечным наборам х1 ^ х2 ^ ... ^ жт+1 точек из О

У+ (у) — положительная вариация у на множестве О,

т

у+(у) = йи^^(у(хк+1) - у(хк))+, к=1

где верхняя грань берется по всем конечным наборам х1 ^ х2 ^ ... ^ жт+1 точек из О

У- (у) = У+(-у) У а (у) = У+(у) + вУ- (у)

Ь"у(К) — множество функций у € Ьг(К), которые имеют локально абсолютно непрерывные производные у("-2) и Ум(у("-1)) конечна

К^"^, г, р, О), где О = К или Т, — точная константа в неравенстве

\\?/к)\и- < кк"(9,г,р,С)\»у;-к/" \\у<Г)\\к[/", у е Ц/С)

К+,п(д, г,р, О), где О = К или Т, — точная константа в неравенстве

\\у(к)\\,,с < К+"(9,г,р,О)\»у;-к/"\|у+")\к/?. у е Ь"Р,+(О)

К"к'п(д,г, У, К) — точная константа в неравенстве

Цу(к)н,д < Кк,"(д,г,У,К)Цу\\1;Ек/" (Ув(у<"-1>))к/", у € Ь"

К в (д,г,р, [0,1]) — точная константа в неравенстве

1М\<7,[од] < Кв(я,г,р [0,1])\и\ 1/2,1] Кйдр и е и

К+ (д,г,р, [0,1]) — точная константа в неравенстве

\М\9,[о,1] < [0,1])\и\1/2,1] \\и//М^1/[0,1], и е

4

<(у) = *Н(у,<?,г,р)= ,, ,,у н

|у\\г,н • \\ур\\р,н

Ео(у)то,м — наилучшее равномерное приближение функции у £ (К) кон-

стантами

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неравенства колмогоровского типа с несимметричными ограничениями на вторую производную»

Актуальность темы

1. В диссертации изучаются неравенства Колмогорова для первой и второй производных функции на оси и периоде с несимметричными нормами второй производной.

Для измеримого множества Н С К обозначим через Ьг(Н), 0 < г ^ то, пространство всех измеримых функций у: Н ^ К, для которых \\у\\г,н < то, где

\\у\\г,н = ([ |у(х)|г (1х) , 0 <г< то; \\у\\то,н = ев8вир |у (х) |. \./н / хен

Будем также использовать обозначение \\у\\г = \\у\\г,м в случае Н = К.

Обозначим через у+(х) = шах{у(х),0} и у_(х) = шах{_у(х),0} положительные срезки функций у и —у соответственно. Для неотрицательных, не равных одновременно нулю чисел а и в рассмотрим линейную комбинацию

у«,в = ау+ + ву_

которую будем называть несимметричной срезкой у.

Мы будем рассматривать срезки производной. Ввиду инвариантности изучаемых в работе величин относительно умножения на константу будет удобно полагать а = 1 и использовать обозначение

увП) = (у'"))1,в = у+п) + ву_°,

в случае в = 0 также будем писать у(п) = у0п) = (у(п))1,0 = (у(п))+.

Пусть О — вещественная ось К, отрезок или период Т, реализованный как отрезок [0,1] с отождествленными концами. Обозначим через ЬПр(О) (п е М, 0 <г ^ то, 1 ^ р ^ то) множество вещественнозначных функций у е Ьг (О) таких, что производная у порядка п _ 1 локально абсолютно непрерывна на О и у(п) е Ьр(О). Через Щр + (О) обозначим множество вещественнозначных

6

функций у € Ьг (О) таких, что производная у порядка п-1 локально абсолютно непрерывна на О и у(") € Ьр(О).

В диссертации изучаются неравенства

\\у/\\^ К1'2(д,г,р, О)\у\1[/:2 НуЖ/2, у € Ь2,р(О), в € (0,1], (0.1)

ЦуЦ^ ^ К+2(д, г, р, О)\\у\\1[/2 \\у/+\11/2, у € Ь2,р,+(О), (0.2)

на оси О = К и периоде О = Т для показателей д, р и г, которые удовлетворяют ограничениям 1 ^ д < то, 1/2 ^ г ^ то, 1 ^ р ^ то и равенству 1/г + 1/р = 2/д.

2. История изучения неравенств, которые оценивают сверху Ь^-норму промежуточной производной функции через Ьг-норму функции и Ьр-норму старшей производной, довольно обширна. Первые точные неравенства на полуоси и оси были получены Э. Ландау [32] в 1913 г. и Ж. Адамаром [28] в 1914 г. (см. также [7, 1.2]):

\\у/\то,[о,то) ^ 2\\у\\ТО2[0,то) \\y//\\10/2то), (°.3)

\\у/\то,К ^ ^М^и \\y//МR/2. (0.4)

Ю.Г. Боссе (Г.Е. Шилов) [10] получил точные неравенства типа (0.4) для производных порядка п в правой части и порядка 0 < к < п в левой для п = 3,4 и п = 5, к = 2. В 1939 г. А.Н. Колмогоров [16], [17, статья 40] доказал, что для всех натуральных п и 0 < к < п выполняется точное неравенство

Цу(к)Пто ^ "^.-то, Цу\\то-к/" «у(п)«то/п, у € ьто,то(»), (0.5)

\\^>"\\то

где — идеальный сплайн Эйлера, т. е. п-ый периодический интеграл с нулевым средним значением на периоде от функции sign(sinх). Аналоги неравенства (0.5) для других норм (метрик), также называемые неравенствами Колмогорова или Ландау-Колмогорова интенсивно изучаются.

В.Н. Габушин установил критерий существования конечной константы в неравенствах колмогоровского типа на оси и полуоси [13, теорема 1] (см. также [7,

теорема 4.1.1]). Чтобы сформулировать критерий для оси, следуя обозначениям работы Габушина, введем числовые функции

п — к — 1/р + 1/д

а(д, г,р, к, п) = <

. . -, если п — 1/р + 1/г = 0; п — 1/р + 1/г

1 к

1--, в остальных случаях;

п

(0.6)

1 / к\ 1 к 1 1 /п п — к к

Д(д,г,р,к,п) =--1------= —--

д \ п/ г пр п \д г р/

Теорема А (В.Н. Габушин). Пусть а, в — произвольные действительные

числа, к,п (0 ^ к ^ п — 1) — целые числа, 0 < р, д,г ^ то, д = г при к = 0, Фр (у(п)) — один из функционалов: ||у(п)||рд, Цу^ ||р,М, Цу—^Ц^д. Тогда для класса функций у £ (М), имеющих локально абсолютно непрерывные производные у(п—1), неравенство

||у(к)|и ^ К ||уГД (Фр(у (п)))в с константой К, не зависящей от у, имеет место тогда и только тогда, когда: а) р ^ 1; б) а = а(д, г,р, к, п), в = 1 — а; с) Д(д,г,р, к,п) ^ 0.

Поскольку в|у(п)| ^ |у^п)(ж)|, в £ (0,1], то теорема дает и критерий существования конечной константы в неравенстве с несимметричной срезкой старшей производной на оси.

Критерий существования конечной константы в неравенстве на периоде для функций с нулевым средним значением на периоде получен Б.Е. Клоцем [15, теорема 2]. Ниже приведена формулировка теоремы 4.3.1 из [8], в которой ограничение на среднее значание снято.

Теорема В. Пусть 1 ^ д,г,р ^ то, а £ (0,1), к,п £ Ъ+, к < п. Для того чтобы для любой функции у £ ЬПр(Т) выполнялось неравенство

||у(А)|кт ^ К||у||?>т||у(п)|р—/, у £ ДПр(Т),

с константой К, не зависящей от у, необходимо и достаточно, чтобы показатель а удовлетворял условию

Г к п — к — 1/р + 1/д]

а ^ асг := шт < 1--, -----> .

[ п п — 1/р + 1/г )

Обозначим через Кк'"(д,г,р, О) точную константу в неравенстве

Цу(к)\кс ^ Кk,"(?,г,p,О)МyМ!;GМУ(n)МÍ-?, у € Ь"р(О), (0.7)

с показателем а = а(д, г,р, к, п), определенным (0.6), 0 ^ к < п. Подробный обзор результатов в неравенстве (0.7) для оси, полуоси и периода можно найти в монографии [7], комментариях [17, с. 387] и статьях [3], [4]. В работах [22, 35] неравенства Колмогорова рассмотрены с общих позиций теории экстремума.

Значения Кк'"(д,г,р, К) в неравенстве (0.7) на оси помимо случая д = г = р = то известны в следующих случаях (см. [7, п. 9.2] и приведенную там библиографию):

1) для любых к, п € N при д = г = р =1 (Стейн), при д = г = р = 2 (Харди, Литтлвуд, Пойа), при д = то, г = р = 2 (Тайков);

2) для к = 1, п = 2 при д = 2, г € [1, то], р = г/(г - 1) (Харди, Литтлвуд), при д = р = то, г> 0 (Габушин), при д = 2г, г > 1 - 1/п, р = то (Габушин, Буслаев), при д ^ 2р, г = то, р € [1, то] (Арестов), при д = 2г/(г+1), г € (1, то), р =1 (Арестов, Бердышев);

3) для к = 1, 2, п = 3 при д = пг/(п - к), г > 1 - 1/п, р = то (Габушин, Буслаев), при д = г = то, р € [1, то) (Арестов), для к = 1, п = 3 при д = то, г € [1, то], р =1 (Магарил-Ильяев);

4) для п =1, к = 0 при д, г € (0, то), д > г, р € [1, то] (Надь);

5) для п = 2, к = 0 при д = р = то, г> 0 (Габушин), при д = то, г € [1, то], р =1 (Магарил-Ильяев);

6) для к € N п = 2к при д = 2, г € [1, то], р = г/(г - 1) (Соляр);

7) для п = 4, к = 3 при д = 4/3, г = то, р =1 и для п = 4, к = 3 или п = 6, к = 4, 5 при д = п/(п - к), г = 1, р = то (Бабенко, Кофанов, Пичугов).

Отметим, что в работе [26] результат В.В. Арестова, В.И. Бердышева [2] для к = 1, п = 2, д = 2г/(г + 1), г € (1, то), р =1 в неравенстве (0.7) на оси распространен на неравенства на периоде для значений д > 2г/(г + 1). Идеи [26] позволяют также получить для д > 2г/(г + 1) точное неравенство на оси.

Существование экстремальных функций в неравенстве (0.7) исследовали А.П. Буслаев, Г.Г. Магарил-Ильяев и В.М. Тихомиров. В работе [11] доказано, что при 1 ^ r ^ то, 1 ^ q < то, 1 < p ^ то, A(q,r,p, k,n) < 0, n G N, 0 ^ k < n и G = R или G = [0, +то) экстремальная функция в неравенстве (0.7) существует.

В последующей работе [12] А.П. Буслаев при n = 2 изучил случаи q = то и A(q,r,p, k,n) = 0. Обозначим через Ki = Ki(q,r,p, [0,1]) точную константу в неравенстве

II 'II ^ 1Z II 111/2 11 //|| 1/2

llu Nq,[o,i] ^ KiNuNi;[2,i] Nu Нр/од]

по классу функций u, которые имеют монотонную абсолютно непрерывную производную и удовлетворяют условию u(0) = u'(1) = 0. В [12, теорема 2], в частности, показано, что если G = R, n = 2, 1 < q,r,p < то, то при k = 1, A(q,r,p, k,n) = 0 экстремальная функция в неравенстве (0.7) не существует, но

Kij2(q,r,p,R) = Kij2(q,r,p, T) = Ki(q,r,p, [0,1]),

причем экстремали в неравенствах на периоде и отрезке существуют и единственны с точностью до преобразований координат; а при q = то, k = 0, 1, A(q,r,p, k,n) ^ 0 экстремальная функция в неравенстве (0.7) существует.

В.А. Кофанов [30, Theorem 1, Remark 1] показал, что при n ^ 3, 0 <k<n неравенство Колмогорова (0.5) обращается в равенство только на функциях вида y(x) = a^>n(Ax + b), a, b G R, A > 0, а при n = 2 есть и другие экстремальные функции.

В 2003 г. В.Ф.Бабенко, В.А. Кофанов, С. А. Пичугов [8, теорема 2] доказали, что при всех 1 ^ q,r, p ^ то и 0 <k<n выполняется неравенство Kk'n(q,r,p, R) ^ Kk'n(q,r,p, T), если A(q,r,p, k,n) = 0, то это неравенство обращается в равенство.

3. Неравенства с несимметричными ограничениями на старшую производную на оси, которым посвящена диссертация, менее изучены. Отметим, что

функционал ||д||(а,в) = ||д«,впри положительных а, в является несимметричной нормой в пространстве Др(С), 1 ^ р ^ то, т.е. обладает следующими свойствами:

а) ||д||(а,в) = 0 ^ д = 0 п.в. на С;

б) У^дУкв) = Л|дУ(«,в) пРи л ^0;

в) Уд + /||(а,в) ^ ||д|(а,в) + У/Н(а,в).

Если одно из чисел а, в обращается в 0, то функционал является либо несимметричной нормой, либо полунормой. Термин «несимметричная норма» введен М.Г. Крейном в [20, с. 197], там же в качестве примера дана норма || • ||(1+0;1_0) (|0| < 1) в пространстве Ь1(Н).

В связи с неравенством Колмогорова несимметричные срезки производных в неявном виде рассматривались Л. Хёрмандером [29], результат которого приведен ниже. Систематически изучать задачи теории приближения для таких срезок начал В.Ф. Бабенко [5, 6], в работе [5] указано, что приближения в пространствах с несимметричными нормами устанавливают связь между наилучшими приближениями и наилучшими односторонними приближениями. Большой вклад в изучение неравенств Колмогорова, в том числе неравенств с несимметричными ограничениями на старшие и промежуточные производные и функцию, внесли и другие украинские математики, наиболее близкими к тематике диссертации являются работы [31, 19]. Приближения с ограничениями рассматриваются в монографии [18]. Приложения несимметричных норм можно найти, например, в диссертации А.Р. Алимова [1].

Обозначим через Кв'п(д, г,р, С) и , г,р, С) точные константы в нера-

венствах

||у(А)||д>С ^ Кв'п(д,г,р,С)||у||Оу|увп)||1—Г, у £ ДУС), (0.8)

||у(к)^ К+'п(д,г,р,С)|у|0;с|у+п)|р,—у £ Ди+(С), (0.9)

рассматриваемых при условии Д(д, г,р, к, п) ^ 0 с показателем а = а(д, г,р, к, п), определенным (0.6), 0 ^ к < п. Отметим, что в тех случаях, когда

к

Д(д,г,р, к,п) = 0, показатель а принимает значение 1--.

п

В работе Л. Хёрмандера 1954 г. [29] (см. также [14, 7]) выписана точная константа в неравенстве

||у±ч||тод < К±;вЦуЦТО—М-ЦуйС. у £ ¿ТОто(®). (0.10)

Доказательство этого результата он не приводит. Приведем формулировку результата Хёрмандера для случая а, в > 0, следуя [7, теорема 2.9.1] (см. также [14, 31]). Пусть Ео(у)Тод — наилучшее равномерное приближение функции у константами. Обозначим через (х; а, в) п-й периодический интеграл с нулевым средним значением на периоде от 2п-периодической функции ^>0(х; а, в), которая для х £ [0, 2п) определяется соотношениями

!а, если х £ [0, 2пв/(а + в)), —в, если х £ [2пв/(а + в), 2п). Тогда для любой функции у £ ДТОТО(М) и любых а, в > 0 выполняется неравенство

II (Л) II ^ ^п—к(x, 1/а 1/в)±|то,^ / \1—к/—ц (п)цЛ/—

|у± |то,М ^ — ( 1/ 1 / /оч ± 1 —к/— Е0(у)то,М |уа,в ||о° . Е0(фп(х 1/в ))то,М

Неравенство точное и обращается в равенство на функциях

у(£) = а^—(Лх;1/а, 1/в) + 6, а, 6 £ М, А> 0.

Нетрудно показать (см. раздел 2.3), что если разность п — к нечетна, то для всех допустимых г и р справедливо равенство кЛ,—(то, то, то, М) = К±,—1в.

Автору не известен источник, содержащий доказательство результата Хёр-мандера для случая положительной срезки старшей производной, т. е. при а = 1, в = 0, для полноты изложения доказательство случая к = 1, п = 2 приведено в разделе 2.3.

В 1976 г. В.Н. Габушин [13, лемма 3] доказал, что при 1 ^ р ^ то и 0 < г < д ^ то справедливо равенство

К+Д(д,г,р, М) = 2а—1К10,1(д,г,р, М), а = а(д,г,р, 0,1).

Значение K0,1(q,r,p, R) было найдено Б.С. Надем [33] (см. также [7, § 2.10]).

Экстремальная последовательность функций {гп} для К++'1(д,г,р, К) строится по экстремальной функции г(Ь) в неравенстве Надя следующим образом:

г(Ь), при I ^ 0, г(0) - пЬ, при 0 < Ь < г(0)/п, 0, при Ь > г(0)/п.

Zn(t) = <

1 2

Е.А. Зёрнышкина в 2008 г. [36] нашла величину K+2(2, 2, 2, R). А именно,

она доказала, что К+' (2, 2, 2, К) = у — ~ 1.5289...., где Л есть единственный на интервале (1/2, 1) корень уравнения

п + arccos(1/(1 + Л)) 1 , 1 + V2A - Л2

--— =-in-.

^/2ГЛ ^/2—Л 1 - Л

Для получения этого результата Зёрнышкина доказала равенство

K+2(2, 2, 2, R) = K+(2, 2, 2, [0,1]), где K+(2, 2, 2, [0,1]) есть точная константа в неравенстве

|И2,[0,1] ^ K+(2, 2, 2, [0,1])||u||2/[S¿]||ul2/[S,i] (0.11)

по классу выпуклых на отрезке [0,1] функций и, имеющих абсолютно непрерывную производную на [0,1] и обладающих свойством и'(0) = 0. Экстремальной в неравенстве (0.11) является функция

u(x) = expo cosф sin(xpo sin ф - ф) - e-xp0 cos ф sin(xpo sin ф + ф),

где

п + arccos(1/(1 + Л)) ,1 , Л . ч

Po =-c°=+/=-)J-, ф = ^ arccos(-Л/2).

Основные результаты диссертации

Первая глава диссертации посвящена редукции неравенств (0.1) на оси к неравенствам на отрезке на классах функций с определенными граничными условиями и условиями на выпуклость функций.

Обозначим через Ы множество функций и(х), х Е [0,1], имеющих абсолютно непрерывную производную, и таких, что для некоторого в Е [0,1] функция и"(х) ^ 0 п. в. на [0,в], и"(х) ^ 0 п. в. на [в, 1], и'(0) = и'(1) = 0, функция и обращается в 0 в некоторой точке промежутка [0,1]. Через Ы+ обозначим множество функций и(х), х Е [0,1], имеющих абсолютно непрерывную производную, и таких, что и"(х) ^ 0 п. в. на [0,1], и'(0) = 0, через Ы+(7) — подмножество функций и Е Ы+ таких, что и(7) =0, 7 Е [0,1].

При условии Д(д,г,р,к,п) = 0 обозначим через К в (д,г,р, [0,1]) точную константу в неравенстве

1^11^0,1] < Кв^^ [0,1])МиМГ,/[2,1]Мивв, (о.12)

которое рассматривается при в Е (0,1) на функциях из класса Ы, при в =1 — на функциях из класса Ы+(1), при в = 0 — на функциях из класса Ы+. Для величины К0(д,г,р, [0,1]) также будем использовать обозначение К + (д,г,р, [0,1]). Основными результатами первой главы являются следующие теоремы.

Теорема 1. Для любых 1 ^ д < то, 1/2 ^ г ^ то, 1 ^ р ^ то, удовлетворяю-1 1 2

щих условию —I— = -, и в Е (0,1) справедливы равенства г р д

К^(д,г,р,К) = Кв,2(д,г,р, Т) = Кв(д, г,р, [0,1]). (0.13)

Теорема 2. Для любых 1 ^ д < то, 1/2 ^ г ^ то, 1 ^ р ^ то, удовлетворяю-112

щих условию, —I— = - справедливы равенства г р д

К+,2(д,г,р,К) = К+2(д,г,р,Т) = К+(д,г,р, [0,1]). (0.14)

Экстремальных функций в неравенстве (0.2) на оси и периоде нет.

Во второй главе с использованием теорем 1 и 2 найдены точные константы в двух неравенствах колмогоровского типа.

В первом разделе получен следующий результат.

Теорема 3. При д = 2, г = 1, р = то, к = 1, п = 2 для точной константы в неравенстве (0.2) справедливо равенство

К+,2(2,1, то, М) = К+,2(2,1, то, Т) = К+(2,1, то, [0,1]) = ^.

В неравенстве (0.12) на отрезке [0,1] для рассматриваемых параметров экстремальными являются функции

у(х) = с(х2 — 1/4), с > 0.

Во втором разделе изучаются неравенства (0.1) и (0.2) для р =1. Они рассматриваются на более широком в сравнении с Дт^М) множестве функций у £ (М), которые являются локально абсолютно непрерывными, а производная функция у' имеет ограниченную вариацию на М; множество таких функций обозначено Дт^(М). Норма Цу^Ц^м заменяется на Vе(у') = ^М+(у') + в^МГ(у') — комбинацию положительной и отрицательной вариаций у'.

Пусть Д(д,г, 1,1, 2) = 0, т. е. д = 2г/(г + 1). Для у £ Дт^(М) рассмотрим неравенства

Цу'М ^ К/(д,г, V, М) (||у||гд (у'))

||у±| 1,м ^ К±,2в(1,1,У, М) (||у || 1,м VI(у'))1/2 (0.15)

1,2 1,2 с точными константами (д,г, V, М) и К±в(1,1,У, М).

Основным результатом раздела является следующая теорема. Теорема 4. Для 1 ^ г ^ то, д = 2г/(г + 1) и в £ [0,1) справедливо равенство

Кв,2(д, г, V, М) = К/(д,г, 1, М) = Кв,2(д,г, 1, Т) = (г + 1)1/(2г).

Экстремальной на множестве Дт^ (М) является, например, функция

у(х) = (1 — |х|)+.

Напомним, что равенство (0.13) для в = 1 и 1 < д,г,р< то получено А.П. Буслаевым [12], при 1 ^ д,г,р ^ то доказано В.Ф. Бабенко, В.А. Кофа-новым, С.А. Пичуговым в [8], равенство (0.14) для д = г = р =2 доказано

1/2 1/2

1 2

Е.А. Зернышкиной в [36], значение К1,2(1,1,1, К) найдено Е. Стейном [34], зна-1 2

чения К1,2(2г/(г + 1) , г, 1, К) найдены В.В. Арестовым и В.И. Бердышевым [2].

В третьем разделе приведены некоторые факты, связанные с неравенством Хёрмандера (0.10).

Результаты работы опубликованы в статьях автора [1, 2] в журналах из списка ВАК и тезисах конференций [3, 4, 5].

Глава 1. Связь между неравенствами колмогоров-ского типа для первой и второй производных на оси, периоде и отрезке с дополнительными ограничениями

Данная глава посвящена исследованию неравенств

Му'М^ ^ к^д^р^Му!^ ЦувИЙ, у е ¿2,(О), в е (0,1], (1.16) Му'М^ ^ к+,2(д,г,р,о)МумГ/2 !!уг^Ир/22, У е ¿2Л+(О), (1.17)

на оси О = К и периоде О = Т для показателей д, р и г, которые удовлетворяют ограничениям 1 ^ д < то, 1/2 ^ г ^ то, 1 ^ р ^ то и равенству 1/г + 1/р = 2/д.

В разделе 1.1 доказываются вспомогательные утверждения. В разделе 1.2 константа в неравенстве на оси оценивается сверху через константу в неравенстве на отрезке

^'^,[0,1] < кв ^^[0,1]) МимГ/2,1] мр/[20,1],

по классу функций с определенными граничными условиями и условиями на выпуклость функций. В разделе 1.3 строится оценка снизу, которая приводит к следующим теоремам.

Теорема 1. Для любых 1 ^ д < то, 1/2 ^ г ^ то, 1 ^ р ^ то, удовлетворяю-1 1 2

щих условию —I— = -, и в е (0,1] справедливы равенства г р д

К/(д,г,р,К) = Кв,2(д,г,р, Т) = Кв(д, г,р, [0,1]).

Теорема 2. Для любых 1 ^ д < то, 1/2 ^ г ^ то, 1 ^ р ^ то, удовлетворяю-112

щих условию —I— = - справедливы равенства г р д

К+,2(д,г,р, К) = К+,2(д, г,р, Т) = К+(д,г,р, [0,1]).

Экстремальных функций в неравенстве (1.17) на оси и периоде не существует.

В леммах 4, 5, 6 раздела 1.1 существенно используются и развиваются идеи работы Е.А. Зёрнышкиной [36].

В теореме 1 добавлено значение в = 1 (по сравнению с вариантом во введении) для полноты изложения. В теореме 2 исключен случай д = г = р = то, поскольку он почти полностью изучен, кроме некоторых моментов, относящихся к ситуации, когда в = 0. В частности, отметим, что при д = г = р = то и в = 0 в неравенстве (1.17) на оси экстремальная функция существует, а в неравенстве на периоде экстремальной функции нет, это показано в разделе 2.3.

1.1 Вспомогательные утверждения

Для измеримого множества Н С С, в £ [0,1] и у £ Д: (С) (у £ (С) при в = 0) введем функционал

у' 2

фЯ(у) = фЯ(у,д,г,р) = ,, ,,||у ТИ,

|у|г,я • Цу^я

Если ||у|д,я = 0, а как следствие, и 11у'|= 0, то полагаем ФЯ(у) = 0, если ||ув||р,с = 0, а Цу'Ц^я = 0, то полагаем фИ (у) = то.

Отметим, что если функция у1 получена из функции у заменой переменного у!Й = у(а* + 6) (а = 0) и Н1 = {(х — 6)/а, х £ Н}, то Ф^(у1) = ФЯ(у).

Для оценки значений ФЯ (у) нам понадобится следующее известное числовое неравенство, доказательство которого приводится для полноты изложения.

Лемма 1. Пусть показатели д £ (0, то), г,р £ (0, то] таковы, что для некоторого 7 £ (0,1) выполняется равенство 1/д = 7/г + (1 — 7)/р. Пусть множество J конечно или счетно, 6 = {^ — набор неотрицательных чисел,

а = {а,, с = {с,— наборы положительных чисел, М&Мя, 1М!г, МСМР конечны1. Тогда справедливо неравенство

М6Мв - ^ вир —"1—. (1.18)

-I Пии -I

II 11711 ||1—7 7 1—7

М М а М г М | сМр ,еJ а, с,

Неравенство (1.18) для конечной правой части обращается в равенство тогда и только тогда, когда

аГ Ср

— — -, ^ е </, при 0 < г,р < то, (1.19)

I a 11r 11 c | |i 11 b 11 q

a

r

bq

j j

I a || Г II b || q

, cj = ||c||o, j ^ J, при 0 < r < oo, p = oo, (1.20)

cP bq

= jq, aj = ||a||o, j G J, при r = o, 0 < p < o.

Иг b„

lc||i ||b||q

bj

Доказательство. Положим M = sup-. Если M = o, то неравенство

jGJ aj^ 7

очевидно. Предположим, что M < o.

Если r,p = o, y G (0,1), то применяя неравенство Гёльдера для сумм с показателями r/(Yq), p/((1 — Y)q), получаем цепочку неравенств

b V

|q _ \ A? — \ 1 I bj 1 (1—7^ ^ л/f^ (1—7)q

IH? = E bl = E (VM"ajqcj1—Y)q < MqE a]

jGJ jGJ \aj Cj / jGJ

< Mq (Ear)Yq/r (E^)(1—•')q/l = (M||a||?)q.

j GJ (1.21)

Возведя в степень 1/q и поделив на ||a||Y||c||1 7, приходим к (1.18).

Рассмотрим теперь вопрос о точности оценки (1.21). Исходя из условий ра-

ar

cl

венства в неравенстве Гёльдера, получаем условие j = j. Первое нера-

/7 r уЧ 1

a||r 11 c

bj

венство обращается в равенство тогда и только тогда, когда ^ 1 = М для любого ] е J. Из этих двух условий следует (1.19).

aj cj

Здесь jjbHq = (E bj1/9, q G (0, o), = sup bj.

I TO — •

1

Если один из показателей г или р равен бесконечности, а другой нет, например, р = то, г < то, то, используя равенство г = 7д, получим оценки

^ M^ ajqcj1-7)q ^ Mqar = Mq||c jeJ jeJ jeJ

из которых вновь вытекает (1.18). Для того, чтобы достигалось равенство, необ-

Ь-

ходимо и достаточно, чтобы ^ = ||с||то и М = -для любого ] £ J, что

а1С17

в совокупности равносильно (1.20).

□

Лемма 2. Пусть измеримое множество Н С С представлено в виде не более чем счетного объединения множеств Н j, Н = Hj, таких что мера Лебега

Н П Н равна 0, £ = ]. Тогда для любых д £ (0, то), г,р £ (0, то], удовлетворяющих условию 1/г + 1/р = 2/д, и в £ [0,1] для всех у £ р(С) (у £ + (С) при в = 0) выполняется неравенство

ФЯ(У) ^ sup^Hj(У). (1-22)

j eJ j

Неравенство (1.22) для конечной правой части обращается в равенство тогда и только тогда, когда

„Ир и ||г

ув Ир, Я,- ||у||г , Н, . ,

'', ^ £ <7 , при 0 < г,р < то,

Hy 'Hq,Hj

ib/ii q Hy Hq,H'

y'l q ^Я = ||y||U

y'l iq ||у||Г,Я '

у' q II 'Ml P Hye

у' iiq H|q,H' II 'Ml p ||ув НР,Я'

li/'P 1Ы1 r

||у"||то,Я; = ||у"||то,Я', j e J', при 0 < r < то, p = то,

||у||тоЯ = ||у|то,я', j e J', при r = то, 0 <p< то,

где J' есть множество тех индексов j e J, для которых ||y'||q,H > 0, и H' = UjeJ' Hj.

Доказательство. Положим M = sup

ФЯ.(у). Если M = то, то неравенство jeJ j

очевидно. Предположим, что M < то, как следствие и ФЯ.(у) < то, j e J.

20

Очевидно, что

м = вирфНЫ и 11ууг,я3- > o, Цу^кн- > o, для е /.

у '

Положим Ьу = при д < то и Ьу = ||упри д = то. Аналогичным

образом по функции у и показателю г определим а, по у// и р определим су. Наборы Ьу, а, су е J/) и показатели д, г, р, 7 = 1/2 удовлетворяют условиям леммы 1, применяя ее, получаем неравенство (1.22) и условия равенства. □

Лемма 3. Если р е [1, то], г е (0, то] и хотя бы одно из них конечно, то для любой функции у е +(К) справедливы соотношения у(х) ^ 0 и у/(х) ^ 0 при х ^ то.

Доказательство. Для А > 0 рассмотрим функцию /а(х) = у(х + А). Функция /а е Ьр+(К), тем более /а е [0, то). При д = то для всех р,г > 0 выполняется неравенство 1/г+1/р ^ 2/д. Поэтому, согласно критерию В. Н. Габушина конечности константы в неравенстве (0.7) на полуоси [13, теорема 3, следствие 2], для функции /а справедливы неравенства

11 /а У то,[0,то) < К ||/А|а[0,то) ||(/А )+|Р,^то), °0 =2 _ 1/р ++Р1/г , (1.23)

||/А|то,[0,то) < к/|/а ||а,[0,то) ||(Л)+ |^^^то), а = 2 _ 1 /р +1 /Г . (1.24)

Имеем |у(А)| = |/а(0)| < ||/а||то,[0,то), 1У(А)| < ||/^|то,[0,то). Если р < то, то по свойствам интеграла Лебега

тото

р,[0,то)

(/а)+11РР [0оо) = 1(///)+|р^х = |(у//)+|р^х ^ 0, А ^ +то.

0

Если г < то, то

то

1г, [0,то)

/а^[0,00) = |у|г^х ^ 0, А ^ +то.

,/а

Полученные соотношения и (1.23), (1.24) влекут, что |у(А)| и |у/(А)| стремятся к 0 при А ^ +то. Таким же образом обосновывается стремление |у(А)| и |у/(А)| к 0 при А ^ —то. □

В силу вложения Ь;р(К) С +(К) справедливо

Следствие 1. Если р £ [1, то], г £ (0, то] и хотя бы одно из них конечно, то

для любой функции у £ Ь; р (К) справедливы соотношения у(х) ^ 0 и у'(х) ^ 0 при х ^ то.

Лемма 4. Предположим, что не тождественно равная нулю функция у абсолютно непрерывна и 0 ^ у'(х) ^ М п. в. на [а, Ь]. Тогда при любых д £ [1, то),

у (Ь) — у(а)

г £ (0, то) для функции д(х) = М(х — а) + у(а) и точки т =-—- справедливы соотношения

а+т Ь

[ |g'(x)|qdx ^ [ |у'(х)dx, (1.25)

а+т Ь

/|д(х)Г * ^|у(х)Г dx,

аа

||д||то,[а , а+т] ||у||то,[а , Ь] •

Неравенство (1.25) обращается в равенство тогда и только тогда, когда д = 1 или у'(х) = М п. в. на [а, Ь]. Неравенство (1.26) обращается в равенство тогда и только тогда, когда у'(х) = М п. в. на [а,Ь].

Доказательство. Равенство равномерных норм выполняется по построению. Поскольку у(Ь)—у(а) ^ М(Ь—а), то т ^ Ь—а. Ввиду условия д ^ 1 справедливы оценки

Ь Ь а+т

J у'(х) dx < М«-1 ^ у'(х^х = 1(у(Ь) — у (а)) = М^т = ^ д'(х)4 dx,

а а а

из которых вытекает (1.25). Очевидно, что равенство достигается, только если у'(х) = М п. в. на [а, Ь] или д = 1.

Доказательство второго неравенства разобьем на три случая.

Первый случай у(Ь) ^ 0. Очевидно, что д(х) ^ у(х) на [а, а + т]. Кроме того, д(а + т) = у(Ь) ^ 0, следовательно,

а+т а+т Ь

/ |д(х)|гdx ^ / |у(х)|гdx ^ / |у(х)|гdx.

(1.27)

Второй случай у (а) ^ 0. Для сдвинутой функции д(х + а — Ь + т) на отрезке [Ь — т, Ь] выполняются неравенства 0 ^ у (а) = д(а) ^ д(х + а — Ь + т) ^ у(х).

Отсюда получаем

а+т

у |д(х)|гdx = у |д(х + а — Ь + т)|гdx |у(х)|гdx• (1.28)

а Ь—т а

Третий случай у (а) < 0 < у(Ь). В этом случае найдется точка с £ (а, Ь), в которой у(с) = 0. Функция у на отрезке [а, с] попадает под первый рассмотренный случай, а на отрезке [с, Ь] — под второй. Аналогами параметра т и функции д на

у(с) — у(а) у(Ь) — у(с)

этих отрезках соответственно будут т1 =-—-, т2 = т — т1 =-—-,

д1(х) = д(х) = М(х — а) + у(а), х £ [а, а + т1]; д2(х) = М(х — с), х £ [с, с + т2]. Построение вспомогательных функций проиллюстрировано на рис. 1 и 2.

Рис. 1: Функции у и д.

Рис. 2: Функции у, д1, д2.

В силу (1.27), (1.28) справедливы неравенства

»а+тх

|д(х)|^х ^ / |у(х)|гdx,

*с+т2

|д(х)|гdx ^ / |у(х)Гdx• (1.29)

Ь

Ь

Ь

с

Имеем д(а + т^ = 0, д2(ж) = д(ж — с + а + Т1), т = Т1 + т2, поэтому

г С+Т2 /> Я+Т1+Т2 /> а+т

/ |д2(ж)Г ¿ж = |д(ж)Г ¿ж = |д(ж)|г^ж. (1.30)

./с «/ а+Т1 «/ а+Т1

Из (1.29), (1.30) следует первое неравенство в (1.26). Как видно из доказательства, неравенства (1.27), (1.28), (1.29), (1.30) следуют из поточечных неравенств между сдвигом функции д и функцией у, так как у и д абсолютно непрерывны равенство в (1.26) возможно только если у'(ж) = М п. в. на [а, Ь]. Лемма доказана. □

1.2 Редукция неравенств на оси к неравенствам на отрезке

В данном разделе будут доказаны несколько утверждений, позволяющих перейти от неравенств (1.16) и (1.17) на оси к неравенствам на отрезке по классу функций с определенными граничными условиями на условиями на выпуклость.

Пусть Р есть множество кусочно-полиномиальных, непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,1] функций / со свойством /'(а) = /'(Ь) = 0.

Лемма 5. Для любых 1 ^ д < то, 1 ^ р ^ то, 1/2 ^ г ^ то, удовлетворяющих 112

условию —I— = -, и в е [0,1] справедлива оценка г р д

(К^(д,р,г,К))2 ^ 8пр{фв0>1](/): / е Р}.

Доказательство. Прежде всего отметим, что условия леммы влекут, что р и г не могут одновременно принимать значение то. Доказательство проведем в четыре этапа.

2( , (У) _ ^ тт ттсг ттт/'л£-\/~\тп/~\ г* П т/~\ ^л/ло ттагллптт

1. Пусть у не тождественно равная нулю функция из Ь2р(К) (у е Ь2р,+ (К) при в = 0). Поскольку ф£(у) = Ф^(су) для любого с > 0, то без потери общно-

сти можно считать, что

Пусть £ £ (0,1/6). Из леммы 3, следствия 1 и того, что ||у||г,[-^ ||у||гД при $ ^ то, следует, что существует число $ = $(£) ^ 3 такое, что для отрезка Т := [—$,$] справедливы неравенства

|у(х)| <£, |у'(х) | <£ для |х| ^ $, (1.31)

||у||г,т ^ ||у||г,м — £> 1, ЦуЦ^т ^ ||у/|9,м — £> 1, (1.32)

1|ув?Нр,т ^ ||у)/|р,м — £> 1. (1.33)

Из последнего неравенства в (1.32) следует оценка

ЦуЧкд ^ ЦуЧкт + £ ^ ||у/|д,Т (1 + ^^) ^ ||у/|д,Т (1 + £) ,

V ||у ||5,Т/

из которой мы получаем

(1 + £)2|| у/||2

фК(у) < II, + II!» = (1 + £)2 (у). (1.34)

||у||г,Т ||ув?Пр,Т

2. Построим отрезок [а, Ь] и функцию / £ Р0 Ь], для которой значение Ф^ Ь] (/) близко к ФТ(у).

Для N ^ 0 введем обозначение уХ(х) := тах{у//(х), —N}. В силу локальной абсолютной непрерывности функции у/ интеграл / |у"(£)^£ конечен и для

}т

достаточно больших N

^|у"(х) — уХ(х)^х < $3. (1.35)

2.1. Сначала рассмотрим случай р = то, в = 0. Возьмем N большее ||у+||то,т, для которого выполняется (1.35). По теореме Лузина [23, гл. 4, § 5, теорема 4]

существует непрерывная на Т функция ф0, для которой

£

тея{х £ Т: фо(х) = уХ(х)} < ^N$3. Очевидно, что функция ф(х) = тт{тах{ф0(х), —N}, ||у+||то,Т} непрерывна,

—N ^ ф(х) ^ ||у+ ||то,т,

и {х £ Т: ф(х) = уХ(х)} С {х £ Т: ф0(х) = уХ(х)}. Эти свойства ф влекут оценку

£ £

(х) — уХ(x)|dx ^ 2Nте8{х £ Т: ф(х) = уХ(х)} ^ 2N- $3-

По теореме Вейерштрасса [23, гл. 4, § 5, теорема 2] существует алгебраический многочлен Н такой, что

|Н(х) — ф(х)| < ^, х £ Т. Поскольку |ф+(х) — Н+(х)| ^ |ф(х) — Н(х)|, то

|Н+(х)| ^ |ф+(х)| + £ ^ ||у+ ||то,т + £, х £ Т. (1.36)

Кроме того,

[ |Н(х) — y//(x)|dx ^ [ (|Н(х) — ф(х)| + |ф(х) — уХ(х)| + |уХ (х) — y//(x)|)dx Зт ЗТ

£ п £ £ 3£ ,

< 2$42$ + + $3 = $£. (1.37>

2.2. Пусть р = то, 0 < в ^ 1. Возьмем N = ||у"||то,Т (для него, очевидно, выполняется (1.35)) и определим ф и Н так же, как в п. 2.1. Тогда уХ = у//,

— ||у— Цто,Т < ф(х) < ||у+|то,Т и |ф(х) — Н(х)| < 2$4 , х £ Т. Поскольку |фв(х) — Не(х)| ^ |ф(х) — Н(х)|, то

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Паюченко Никита Славич, 2023 год

Список литературы

[1] Алимов, А. Р. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в нормированных и несимметрично нормированных пространствах: дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Алимов Алексей Ростиславович. — М., 2014. — 212 с.

[2] Арестов, В. В. Неравенства для дифференцируемых функций / В. В. Арестов, В. И. Бердышев // Методы решения условно-корректных задач: сб. науч. тр. Свердловск: Ин-т математики и механики УНЦ АН СССР. — 1975. — № 17. — С. 108-138.

[3] Арестов, В. В. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными / В. В. Арестов, В. Н. Габушин // Изв. вузов. — 1995. — № 11.

— С. 42-68. (сер. Математика).

[4] Арестов, В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи / В. В. Арестов // Успехи мат. наук.

— 1996. — Том 51, № 6. — С. 89-124.

[5] Бабенко, В. Ф. Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций / В. Ф. Бабенко // Укр. мат. журнал. — 1982. — Том 34, № 4.

— С. 409-416.

[6] Бабенко, В. Ф. Несимметричные экстремальные задачи теории приближения / В. Ф. Бабенко // Докл. АН СССР. — 1983. — Том 269, № 3. — С. 521524.

[7] Бабенко, В. Ф. Неравенства для производных и их приложения / В. Ф. Ба-

бенко, Н.П. Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов. — Киев: Наукова думка, 2003. — 590 с.

[8] Бабенко, В.Ф. Сравнение точных констант в неравенствах для производных на вещественной прямой и окружности / В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов // Укр. мат. журн. — 2003. — Том 55, № 5. — С. 579-589.

[9] Богачев, В. И. Основы теории меры / В. И. Богачев. — М., Ижевск, 2003. — Том 1. — 545 с.

[10] Боссе, Ю. Г. (Шилов, Г. Е.) О неравенствах между производными / Ю. Г. Боссе (Г. Е. Шилов) // Сб. работ студ. науч. кружк. МГУ. — 1937. — Том 1. — С. 68 - 72.

[11] Буслаев, А. П. О существовании экстремальных функций в неравенствах для производных / А. П. Буслаев, Г. Г. Магарил-Ильяев, В. М. Тихомиров // Мат. заметки. — 1982. — Том 32, № 6. — С. 823-834.

[12] Буслаев, А. П. О точных константах и экстремальных функциях в неравенствах для производных / А. П. Буслаев // Мат. заметки. — 1987. — Том 41, № 2. — С. 159-174.

[13] Габушин, В. Н. Неравенства между производными в метриках

при 0 < р < то / В.Н. Габушин // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1976. — Том 40. — С. 869-892.

[14] Габушин, В.Н. О теоремах сравнения / В.Н. Габушин, Н.П. Дмитриев // Методы сплайн функций (Выч. системы) — 1979. — Вып. 81. — С. 55-62.

[15] Клоц, Б. Е. Приближения дифференцируемых функций функциями большей гладкости / Б.Е. Клоц // Мат. заметки. — 1977. — Том 21, № 1. — С. 21-32.

[16] Колмогоров, А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале / А.Н. Колмогоров // Уч. зап. МГУ. — 1939. — Том 30. — С. 3-16.

[17] Колмогоров, А. Н. Избранные труды. Математика и механика / А. Н. Колмогоров. — М.: Наука, 1985. — 470 с.

[18] Корнейчук, Н. П. Аппроксимация с ограничениями / Н. П. Корнейчук, А. А. Лигун, В. Г. Доронин. — Киев: Наукова Думка, 1982. — 247 с.

[19] Кофанов, В. А. Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными / В. А. Кофанов // Укр. мат. журнал. — 2012. — Том 64, № 5.— С. 636-648.

[20] Крейн, М. Г. Д-проблема в абстрактном линейном нормированном пространстве / М.Г. Крейн, Н.И. Ахиезер. //О некоторых вопросах теории моментов. — Харьков: ГОНТИ, 1938. 257 с.

[21] Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций / А. Лебег. — М., Л. Гос. тех-теор. изд-во, 1934. — 324 с.

[22] Магарил-Ильяев, Г. Г. О неравенствах для производных колмогоровского типа / Г. Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров // Мат. сборник. — 1997. — Том 188, № 12. — С. 73-106.

[23] Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной/ И. П. Натансон. — М.: Наука, 1974. — 480 с.

[24] Ульянов, П. Л. Действительный анализ в задачах / П. Л. Ульянов,

А. Н. Бахвалов, М. И. Дьяченко, К. С. Казарян, П. Сифуэнтес. — М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2005.— 416 с.

[25] Харди, Г. Г. Неравенства / Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтлвуд, Г. Пойа. — М.: Гос. изд-во. иностр. лит., 1948. — 456 с.

[26] Babenko, V. F. Kolmogorov-type inequalities for periodic functions whose first derivatives have bounded variation / V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. Pichugov // Ukr. Math. J. - 2002. - Vol. 54, № 5. - C. 741-749.

[27] DeVore, R. A. Constructive Approximation / R. A. DeVore, G. G. Lorentz. — Berlin: Springer, 1993. — 452 p.

[28] Hadamard, J. Sur le module maximum d'une fonction et de ses derivees / J. Hadamard // So. Math. France, Comptes rendus des Seanes. — 1914. — Vol. 41. — P. 68 - 72.

[29] Hormander, L. A new proof and a generalization of an inequality of Bohr / L. Hormander // Math. Scand. — 1954. — Vol.2. — P.33-45.

[30] Kofanov, V. A. On the set of extremal functions in certain Kolmogorov-type inequalities // Ukr. Math. J. — 2004. — Vol. 56, № 8. — P. 1258-1275.

[31] Kofanov V. A. Strengthening the comparison theorem and Kolmogorov inequality in the asymmetric case / V. A. Kofanov, K.D. Sydorovych // Res. Math. — 2022. — Vol 30, № 1. — P. 30-38.

[32] Landau, E. Einige Ungleichungen für zweimal differentierbare Funktionen / E. Landau // Proc. London Math. Soc. — 1913. — Vol. 13, № 2. — P. 43 - 49.

[33] Sz.-Nagy, B. Uber Integralungeleichungen zwieschen einer Function und ihrer Ableitung / B. Sz.-Nagy // Acta. Sci. Math. — 1941. — Vol. 10. — P. 64-74.

[34] Stein, E. M. Functions of exponential type / E. M. Stein // Ann. Math. — 1957. — Vol. 65, № 3. — P. 582-592.

[35] Tikhomirov, V. Kolmogorov-type inequalities on the whole line or half line and the Lagrange principle in the theory of extremum problems / V. Tikhomirov, A. Kochurov // Eurasian Mathem. J. — 2011., — Vol. 2, № 3. — P. 125--142.

[36] Zernyshkina, E. A. Kolmogorov type inequality in L2 on the real line with onesided norm / E. A. Zernyshkina // East J. Approx. — 2006. — Vol. 12, № 2. — P. 127-150.

Список работ автора

[1] Паюченко, Н.С. Редукция неравенства Колмогорова для положительной срезки второй производной на оси к неравенству для выпуклых функций на отрезке / Н.С. Паюченко // Сиб. электрон. матем. изв. — 2021. — Том 18, № 2. — С. 1625-1638.

[2] Глазырина, П. Ю. О неравенстве Колмогорова для первой и второй производных на оси и периоде / П. Ю. Глазырина, Н.С. Паюченко// Тр. ИММ УрО РАН. — 2022. — Том 28, № 2. — С. 84-95.

[3] Паюченко, Н. С. Неравенство Колмогоровского типа с односторонним ограничением на старшую производную / Н. С. Паюченко // Совр. проб. мат. и ее прилож. тезисы междунар.(51-й всерос.) молод. шк.-конф.: тезисы. Екатеринбург. — 2020. — С. 95.

[4] Паюченко, Н. С. Неравенство Ландау-Колмогорова на оси с односторонним ограничением на старшую производную / Н. С. Паюченко // Совр. мет. теор. функц. и смеж. проб. материалы междунар. конф. Воронежская зимняя мат. школа Воронеж.: тезисы. — 2021. — С. 235.

[5] Паюченко, Н. С. Неравенство Колмогорова для положительной срезки второй производной функции на оси и неравенство для выпуклых функций на отрезке / Н. С. Паюченко // Совр. проб. теор. функц. и их прил. Саратов.: тезисы. — 2022. — С. 228.