Экстремальные задачи в пространствах с несимметричной нормой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Козко, Артем Иванович

• Козко, Артем Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Козко, Артем Иванович

Оглавление

Оглавление

Условные обозначения

Введение 5 Глава 1. Неравенства типа Джексона - Никольского

в несимметричных нормах

1.1. Свойства несимметричных норм

1.2. Неравенства для тригонометрических полиномов на торе ТГ1

1.3. Неравенства для тригонометрические полиномов на торе Т^

1.4. Неравенства для целых функций экспоненциального типа на К.^

Глава 2. Неравенства типа Бернштейна для дробных

производных в несимметричных нормах

2.1. Некоторые свойства ядер Фейера

2.2. Неравенства для тригонометрических полиномов для дробных производных

Глава -3. Об одной многомерной экстремальной задаче

3.1. Случай тригонометрических полиномов

с прямоугольным спектром

3.2. Случай тригонометрических полиномов

с ограничениями на спектр

Литература

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

М. — множество действительных чисел;

Мс/ — с/—мерное вещественное линейное пространство;

С — множество комплексных чисел;

С^ — (¿—мерное комплексное линейное пространство;

N — множество натуральных чисел;

М'* --- (¿—мерное множество натуральных чисел;

Ъ — множество целых чисел;

Ъ(1 — ¿—мерное множество целых чисел;

Т = Ж/2тхЪ — одномерный тор, реализуемый как отрезок [—7г, тг], в котором точки — тг и 7г отождествляются;

Тс1 = Шс1/(27тХ)с1 — (¿—мерный тор, являющийся прямым произведением (1 окружностей длины 27г. Мы будем представлять с?—мерный тор как (¿—мерный куб [—тг, 7г]с/ со склееными противоположными сторонами, Т.е. ТОЧКИ

С[а,Ъ] — пространство непрерывных функций с нормой ||/||с[а,ь] = тах-се^ь] |/(ж)|;

Ьр(Тс/) — пространство суммируемых в р—ой степени функций на торе Тг1:

Ьр1^р.2(Тс1) — несимметричное пространство функций с суммируемой в р\— ой степени положительной частью и суммируемой в р2 —ой степени отрицательной частью на торе Т^;

Ва/(а) — дробная производная порядка а функции /, понимаемая в смысле Вейля;

1п — тригонометрический полином степени щ

рп — алгебраический полином степени щ

Тп —- класс тригонометрических полиномов степени не выше щ

Рп — класс алгебраических полиномов степени не выше щ

— класс тригонометрических полиномов степени не выше п с нулевым средним;

mes E — лебегова мера множества Е\ sup vrai — существенная верхняя грань; V — квантор общности "для всех"; 3 — квантор существования; х 6 А — элемент х принадлежит множеству А; х (¡É А — элемент х не принадлежит множеству Л; A U В — объединение множеств А и В; АП В — пересечение множеств А и В: А \ В — разность множеств А и В;

supxeAf(x) — точная верхняя грань значений функционала / на множестве А;

inf г ç 4 f(x) — точная нижняя грань значений функционала / на множестве А;

[а] — целая часть числа а; {а} — дробная часть числа а;

signa — величина, равная 1, если а > 0 и равная —1, если a < 0 и О, если a = 0.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные задачи в пространствах с несимметричной нормой»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена исследованию экстремальных задач в пространствах с несимметричной нормой, являющимися естественными обобщениями линейных нормированных пространств. В основном изучаются неравенства на классах тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа.

В 1887 г. Д.И. Менделеевым в сочинении "Исследование водных растворов по удельному весу" [1, § 86, гл.IV "Растворы спирта С'2Н60", с.289], см. также [25, с.256] для практических целей был поставлен вопрос об оценке производной алгебраического многочлена степени 2 через его нормл* в С[а, 6]. Точнее, Д.И. Менделеева интересовали оценки коэффициентов многочлена второй степени и его производной через заданное максимальное значение модуля этого многочлена. Ответ в более общей ситуации был получен A.A. Марковым [2, с.75], который, в частности, доказал равенство

\Ш\с[а,Ь] 2 п2 Slip TT—- = --. (0.1

Рп£Пп \\Рп\\с[аМ Ь-а

Pní О

Экстремальными многочленами, т.е. многочленами, на которых достигается знак равенства, являются многочлены Чебышева Тп ^ ,

где Тп(у) = cos (n arceos у) для у G [—1,1]- Аналог (0.1) для тригонометрических полиномов tn{x) = + cos kx + bk sin kl'} — EL-п r¡'('hv c комплексными коэффициентами с помощью результата A.A. Маркова был получен С.Н. Бернштейном сначала в 1912 г. с не-

точной константой, т.е.

|К||с(Т) ^2тфп||СПГ), ■à затем, с уточнением Ландау, с точной константой в [3, с.26]:

■ КпИс(Т) sup ÏÏ71-= п-

tnë 0

Оценка (0.2) означает, что для любых п 6 М, £Тп справедливо

КНс(Т) ^ П11£п||с(ть (0.3)

и существует полином (например, совпх) для которого неравенство (0.3) превращается в равенство.

Обозначим через Ьр(Т) — пространство суммируемых в р-ой степени функций с нормой, в случае 1 р < оо

11/11Р = И/Имто = ■ (а4)

Функционал || • \\р в дальнейшем будем рассматривать при 0 ^ р ^ оо. В случае 0 < р < оо считаем, что он определен формулой (0.4). Для крайних значений р полагаем

Мое :=||/||с=т^ 1/(01, (0.5)

||/||0:=ехр^1п|/М|^. (0.6)

Неравенство (0.3) при помощи интерполяционной формулы было перенесено на пространства Ьр{Т), 1 ^ р оо А. Зигмундом [67, т.2. гл.10], т.е. была вычислена

Кг\\ьр(Т) .

вир у;—---- = П. (0.|)

*„€т„ 1ммт)

Важность оценок (0.7), (0.2) состоит в том, что они играют ключевую роль в теории приближений при получении обратных теорем [4, с.2-34], [5, с.208] т.е. при получении неравенств вида

\ / ЬР{Т) п к=1

где / е £р(Т), 1 < р < ОО, г,п е м, ЕкЦ)Ьр{Т) = тикеТк ||/-tk\\L]ЛT) -наилучшее приближение функции/, 5)Ьр{Т) = зир^^ ||

модуль гладкости г -го порядка.

Результат (0.3), (0.7) обобщался в различных направлениях. Г.Сеге [6], [7, с.186-190], С.Б.Стечкин [8] и др. распространяли неравенство (0.3) на операторы Atn(x) = Y^k=-n ^кСк.егкх более общего вида, чем оператор дифференцирования. Отметим результаты Г.Сеге [6], [5, с.97], которые обобщают неравенства (0.3), (0.7).

\\t'n{x) cos f3 + ntn(x) sin (3\\Ьр{т) < n||ín||Lp(T), (0.8)

\\t'n{x)cosp + i'n(x)sm(3\\Lpir) < n\\tn\\Lp{Th (0.9)

где 1 ^ p ^ oo, tn — сопряженный тригонометрический полином для tn. В норме С'(Т) при р = оо неравенства являются поточечно неулуч-шаемыми, т.к., например, неравенство (0.8) в случае действительных

коэффициентов примет вид t'n(x)2 + (ntn(x))2 ^ (п||^п||с(Т))^ и обратится в равенство для любого значения х на полиноме tn(x) = cosпх. В 1979 г. В.В. Арестов [9], [10] с помощью методов комплексного переменного распространил оценку (0.7) на случай 0 ^ р < 1. С помощью неравенства (0.3) Д. Джексон [11] получил следующее неравенство

||¿n||c(i) < 2пр ||¿n||¿p(T) i 1 ^Р < оо. (0.10)

Для с/ Е N тором размерности d называется прямое произведение d окружностей. Также тор можно рассматривать как множество классов смежности Rd по подгруппе (2TrZ)d целочисленных векторов, умноженных на 2тг. Тор Тd = S1 х ■ ■ ■ х S1 можно представлять себе как d—мерный куб [—7Г, тг]d со склееными противоположными сторонами, т.е. точки жг_ь тг, xi+í, ...,xd) и ,..., жг_ь -тг, xi+u ..., xd),

i = 1,____d отождествляются. Именно в таком смысле мы и будем

реализовывать тор Td. Под неравенством k ^ п (к ^ п) мы будем понимать k¡ ^ rij (кi ^ n¿ ) для всех i = 1,. .., d. Функция вида

Гп(х) =Tni_nd(xu...,xd) = £ + =

-ni^ki^m (0-11)

1=1,...,d

= Е

—n<k<n

где -tii,. . ., n¿ — натуральные числа, . . ., x¿ — действительные переменные и Ск — постоянные коэффициенты, вообще говоря, комплексные. зависящие от целых к),. . . , к,}., называется тригонометрическим полиномом порядков п\,. . ., n¿ соответственно по переменным ¿'i,. .., x¿- Будем писать Тп Е Тп если Тп — тригонометрический полином вида E-n<k<n c'keZkx- По аналогии с одномерным случаем рассмотри:.! пространства Lp(Td), 0 < р < оо, с \\f\\Lp{jd} = {¡Jd |/(х)\pdx} р, в случае 1 р < оо это норма, в случае 0 < р < 1 это квазинорма, см. [5. с.18] и пространство L00(Td) с нормой \\f\\l¡do(td) — supvraixeTd |/(х)|-Для тригонометрических полиномов степени rij по переменной Xj С.М. Никольский [12] получил неравенство

id

\\ТП1.....nd\\lq(Td) < П ni \\Tn,,...,nd\\Lp{Td), 1 < Р < Я < ОО.

(0.12)

Для 1 р ^ q ^ оо, в случае d = 1, как заметил С.Б. Стечкин, см.

2_р

[13, с. 172], неравенство (0.12) с константой 2 " вместо константы 3 легко вытекает из результатов Джексона (0.10). В.В. Арестов [14,

с.539] заметил, что по той же схеме С.Б. Стечкина неравенство (0.12)

о ^_£

справедливо с константой 2 в случае d = 1 для 0 < р ^ q оо. Неравенство (0.12) послужило основой доказательств вложения классов Никольского, см. [12] и [15]. Оно является точным в смысле порядка, что проверяется на последовательности полиномов -Fn(x) = {xj) ,

где

^ , , 1 vV k \ , sin2

Fn х = - + > 1--eos кх = -0.13

W 2 ¿-Л n + i) 2(п + 1) sin f V j

к— 1 ■ Z

ядро Фейера степени п по переменной х.

Неравенства (0.3), (0.7) - (0.9), (0.12) обобщались и на другие метрики. А. Зигмунд [67, т.2, гл.10] доказал следующее утверждение: если функция <¿> на полуоси [0, оо) выпуклая вниз и неубывающая (класс таких функций обозначим через Z), то

[ v{\t'n{x)\)dx < [ v{n\tn(x)\)dx4 tn е Тп. (0.14)

Jl J т

В частности, при (р(и) = 1 ^ р < оо получаем оценку (0.7), случай р — оо получаем как предельный. В.В. Арестов [10] распространил (0.14) для (р £ А, где А - класс функций, абсолютно непрерывных на любом отрезке [а, 6] С (0, оо) и таких, что (и), шр'(и) не убывают на (0,оо). В частности, из результата Арестова следует неравенство (0.14), т.к. класс Z содержится в А и оценка (0.7) для 0 ^ р ^ оо, т.к. In и, ир, р > 0 принадлежит классу А.

Далее, распространяя оценку (0.8) нар £ [0,1), в 1989 г. М. Golitschek и G.G. Lorentz, см. [16] или [5, с. 104] доказали:

Теорема G.L. Пусть <р £ А, <р(0) = 0 и <р £ С^О^оо), п £ N, tn £ Тп. ß £ М. Тогда справедливо неравенство

tn(х) cosß + hli^l s[nß\ dx [ <p(\tn(x)\)dx. (0.15)

n J Jt

Заметим, что на самом деле данную теорему несложно было бы получить, следуя схеме Арестова (1979 г.) и без ограничений на функцию ■р. Требование ^>(0) — 0 и <р £ С,:1[0, оо) можно отбросить, а достаточно требования <р £ А. Продемонстрируем это, т.е. докажем теорему С.Ь. в предположении ср £ А.

Доказательство. Пусть 1п - тригонометрический полином одной переменной, т.е. 1п{х) — ^Ук=-п скегкх, /3 £ М. Обозначим 2 = егж, тогда для оператора

Afn : tn 1—)■ tn(x) cos/3 + hA^l s[nß

п

имеем

п

lA?,Al = | XI {Ckeikx cos в + — гкегкхзт/3}

k——n

e~inx У ck{cos ¡3+-sin/3)zn+k = I V ck(cosf3+ — sm(3)zn+k z—' n I ' n

k——n k——n

Заметим, что е~гпхh$ntn есть полином степени 2п по z = егх, оператору

л >3

Л.,., сопоставим полином

к= — п

Лет = {Cl£kelkx cosß + sin Д}. (0.16)

Схема Арестова как раз и состоит в том, что оператору ставится в соответствие полиноном, в зависимости от расположения нулей которого справедливо соответствующее неравенство, т.е. верна следующая теорема.

п

Теорема (Арестов,1979). Пусть п £ М, Рп{г) = ^ с^г1* - поли,ном

к=о

п

и А7Р)г(г) = ^ 7кСк£к - оператор действующий из Рп в Рп. Тогда

к—О

гг

если, все нули полинома Г (г) = лежат либо одновременно в

к=о

|.:| ^ 1 .либо в |.г| 1 и ср Е А имеет место т,очное неравенство

9

'т

К,Рп{егх) ) dx ^ [ (р {с(у,п)\Рп(егх)\) dx} J J т

где с (7, п) = тах(|70|, |7?г|).

В частности, если полином T(z) из теоремы Арестова имеет все корни на единичной окружности \z\ = 1, то с(7,гг) = |7о| = |7'те|. Покажем, что в нашем случае полином имеет как раз все свои корни (2п-штук) на единичной окружности \z\ = 1. Продолжим равенство (0.16) воспользовавшись формулой Эйлера егкх = cos кх + г sin кх.

Aß,2n = ^C?n + 2^C£ + *COsfo:j cos (^2 J2ka¡+k sinkx^j =

= (сс) cos /3 + sin в,

n

где hn(x) = Con + 2 ^2nk cos кх- Заметим, что для hn{x) спра-

ведливо равенство hn(x) = 2те(1 + cosrü)n = 4n (cos f)"n , которое легко

г г / 2 j_ — ix f 2

получить, если записать cos f = ----- и возвести cos | в степень

2п, используя бином Ньютона. Полином Aимеет 2п корней на Т, действительно, в случае в = kiг, к Е Z это тривиально, т.к. х = тт корень кратности 2??,, в случае .3 ^ кп, к, Е Z, мы имеем 2n — 1 кратный корень в тт и потому в окрестности точки тт полином Л меняет знак, а т.к. полином рассматривается на торе, то существует ( G 1\ i71"},

что Aß о= 0. Следовательно, полином Ад^п в обоих случаях имеет 2п корней. Таким образом, оператору мы сопоставили полином А/2п•> который имеет 2п корней на торе. А следовательно, по теореме Арестова [9, с. 1290] мы имеем для (р G .4, п G N, tn G Тп, ß G К.

/ ^ / <p{c{ß,n)\tn(x)\)dx,

J т JT

где с(/3,п) = | cosß + г sin/3| = |ег/3| = 1, последнее неравенство и есть результат (0.15). Доказательство окончено.

Заметим, что пространства L^, (p~1(Lip)} т.е. пространства функций /', для которых соответственно jj(p(\f(x)\)dx < ос, y?-1 (jT ^p(\f(x)\)dx) < оо уже не обязательно являются нормированными (например, для р(и) = «р, 0 < р < 1) и даже квазинормирован-ными (например, для ср(и) = In«, т.е. пространство Lq(T)).

Диссертация посвящена изучению экстремальных задач (0.1), (0.3), (0.7), (0.8), (0.9), (0.12), (0.14) в пространствах с несимметричными нормами, а также в обычных нормированных пространствах. По-видимому, первым, кто начал рассматривать пространства с несимметричными нормами, был М.Г. Крейн [17, с.197] (1938 г.). Он указал на целесообразность рассмотрения пространств с несимметричными нормами - такие пространства, например, естественно возникли в задаче о чебышевских ужах. Пусть В - пространство-конус (т.е. если х, у G В, то и х + у G В и ах G В для любого а G №+), функционал || • | : В —>■ М+ назовем несимметричной нормой, если справедливо

1) ||.г| = 0 <=ф- х = 0 для х G В]

2) ||:г| 0, для любого х G В;

3) ||аа:| = о;||х|, х G В, Q G

+ iw + ы, '••// g в.

Некоторые вопросы геометрической теории приближений в пространствах с несимметричными нормами рассматривались в работах А. Брондстеда [18], [19], Е. Асплунда, А.Р. Алимова [20] - [24].

Последующий интерес к задачам теории приближения в пространствах с несимметричными нормами был обусловлен следующим развитием теории приближения. В работах Г. Фройда [29] (1955 г.) и Т.

Ганелиуса [30] (1956 г.) были заложены основы наилучшего одностороннего приближения. Затем в работах Р. Бояника, Р. Де Вора [31], В.Ф. Бабенко, А.А. Лшуна [32], А.С. Андреева, В.А. Попова, Б. Сен-лова [33], [34], А.Ю. Шадрина [35] и других, см. также [36] - [38], [39, с.76], были получены прямые и обратные теоремы для односторонних приближений с помощью усредненного модуля гладкости, введенного Е.П. Долженко и Е.А. Севастьяновым [40] в 1976 году.

Выяснилось, что "мостиком" между наилучшими приближениями и наилучшими односторонними приближениями оказались приближения в пространствах с несимметричными нормами. Этот факт заметил в 1982 г. В.Ф. Бабенко [42].

Пусть / - действительнозначная функция, положим (х) = тах{/(х), 0}, Г{х)= тах{-/(х), 0}. Тогла /•:,•) ¡+{х)-Г{х). В.Ф. Бабенко в своей работе исследовал следующие несимметричные нормы

\\Др^ = \Ы+ +,вг\\р, (0.17)

где а,/3 >0, 1 ^ р ^ оо. Заметим, что если а = ¡3, то в терминах приближения возникает обычное Ьр—приближение, а в случае а —>• оо либо /3 —оо возникает Ьр— одностороннее приближение, см. [42].

Данное замечание породило новый всплеск интереса в 80-х - 90-х годах к экстремальным задачам в несимметричных нормах в работах В.Ф. Бабенко [43] - [45], В.Ф. Бабенко и В.А. Кофанова [46], О.В. Полякова [47] - [49], А.А. Шумейко [50] и других.

В 1983 г. В.Ф. Бабенко в [43] ввел, по-видимому впервые, следующие классы несимметричных норм:

/(/)= 1р,Я;М)=4>Ш+\\РЛГ\\Я), (0.18)

где 1 ^ р, с[ ^ оо, ф(и, у) - произвольная несимметричная и монотонная (т.е. \и'\ < |и"|, |</| < |г/'| ф(и',у') < -ф(и'\ и")) норма на плоскости и доказал теорему двойственности для элементов пространства Цп"(1) (т.е. 2тт—периодических функций / таких, что /(г-1) £ АС(Т), /(/'('')) = ) < 1) в несимметричной норме || • ||1;а,/з, а также под-

считал поперечник по Колмогорову с12п-1(№гг(1), ¿1) и привел некоторые результаты для норм (0.18), которые обобщают неравенства А.Н. Колмогорова [51], Л. Хермандера [52], см. также [53], [54]. Отметим книгу Н.П. Корнейчука [55] (§1.4.5, §3.3.3, §5.4.4, §7.2.6, §8.1.6) в которой

собраны результаты по различным задачам с (а,/3)— несимметричной нормой (0.17) и также отметим результаты по знакочувствительной ¿аппроксимации (т.е. в пространствах с несимметричной нормой и с весом) в работах Е.П. Долженко, Е.А. Севастьянова [56], [57] и А.-Р. К. Рамазанова [58], [59], [68].

В диссертации будет рассматриваться следующая несимметричная норма (частный сл}'чай (0.18), где ф(и,у) = и + у)

Р,я = и+\\Р + \\Г1п

0.19)

где 0 < р, с[ ^ оо. В частности, при р = д получается норма, эквивалентная || • \\р (см. главу 1).

Глава 1 диссертации посвящена нахождению аналогов неравенств (0.10), (0.12) для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа. Данные задачи были поставлены автору И.Г. Царьковым. Доказываются следующие результаты:

Теорема 1.1. Пусть п Е и РьР2, <Уъ <?2 £ (0,ос]. Тогда

теТп 11т1ир1,р2(т") т^о

( в. П

ф{р1,р2,ч1 ,42,(1)

п3

(0.20)

где

и ос+ = тах{а', 0}.

Теорема 1.1 обобщает на несимметричный случай результат Джексона-Никольского, см. формулу (0.12). Порядок в (0.20) и везде далее понимается в том смысле, что при фиксированных Р1,Р2,<?ь<?2 Е (О. ос], с1 е м, найдутся константы такие, что существуют соответствующие оценки сверху и снизу. Здесь обнаруживается новый эффект по сравнению с симметричным случаем - в отличие от симметричного

случая в (0.20) появляется зависимость от й в показателе. Оценки снизу в (0.20) достигаются на полиномах следующего вида

81П" 2 ) 7=1 (СОВЪ ~

(0.21)

/ . [£3 + х \ 2к

где «/„,*.(£) - ( 81Па1п| ) , и 5 = 61 Е М+, / = 1

Легко видеть, что Тп,к{{) — тригонометрический полином степени не выше чем п и Тп,к{5Л) Е Тп. Из Н/Н^дт^ X ||/||1р(т). 0 < р ^ ос (доказательство см. § 1.1 диссертации) и (0.20) мы немедленно получаем известный результат

Следствие 1.1. Пусть п Е р, д Е (0,+оо]. Тогда

i _ i

Р Ч ) -f

т^о

Здесь экстремальными полиномами являются — поли-

номы, упомянутые выше.

Прежде чем доказывать теорему 1.1, сначала будет доказан ее одномерный аналог (д = 1) с абсолютной константой. Т.к. основная идея доказательства теоремы 1.1 просматривается именно в этом случае.

Теорема 1.2. Пусть £ п £ N. Тогда

.||91>92 (0.22)

?г

г

де

i___1 . . А

+

— (1 — ] / 1 \ 4 92 Р2 + / 1 \ Ui Pi

C = f3.( ,J++e,( ,J+ + y

а функция ф определена в теореме 1.1.

Оценка снизу может быть получена на полиномах вида:

Fn (i) (cos г - cos( ~ТТ - 6)) (cost- cosier+ 6)) St»(M) = —----^-(0.23)

(cosi-cos(^))2

которые были предложены автору С.Б.Стечкиным. Будет показано, что порядок в оценке (0.22) точен, т.е. будет предъявлена последовательность полиномов:

(0.24)

(cos t - COS + ¿Y

на которых и будет показана неулучшаемость оценки (0.22) в смысле порядка. Подробнее об экстремальных полиномах будет сказано ниже.

Пусть V Е IR+, z Е функция д = gu{z) = ..., zd)

называется целой функцией экспоненциального типа , если для нее выполнены следующие свойства:

1) Она есть целая функция по всем переменным, т.е. разлагается в степенной ряд

3(z) = «kZk = J2 a¡-~.....

ki kd ' ' Zd

ki

1 = 1,...,d

с постоянными коэффициентами а^, абсолютно сходящийся для всех комплексных z = (zi,. . ., zd) и

2) Vc > 0 ЗА€ > 0, Vz = (2Ь. . .,zd) Е Cd : \g(z)\ < Здесь, как и в периодическом случае, будем рассматривать только действительнозначные функции. Класс целых функций экспоненциального типа ... ,i/d обозначим через

Теорема 1.3. Пусть v Е и Pi.p-2, Qi-, 42 произвольные числа из (0. ос], такие, что р\ ^ qi, ро ^ q-2- Функция gv Е М. и и ди Е Lin ,V2 (IRd). Тогда справедливо неулучшаемое по порядку неравенство

/ d \ ^(Pi,P2,qi ,42 4)

Ш\ьЧ1,Я9т < С ' Y[vj IWUPllP2(Rd)> (0.25)

V=1 J

где функция с[р-:. р->. </:. (/■>. (h та же. что и в (0.20), С - константа не зависящая от v.

Эта оценка обобщает соответствующий аналог неравенства (0.12) на несимметричный случай. Здесь как и в периодическом случае мы сформулируем следствие для симметричной нормы.

Следствие 1.2. Пусть и £ и р, д произвольные числа из (0, со], ■такие, что р ^ д. Функция ди Е и ди Е ¿р(М<г). Тогда справедливо неулучшаемое по порядку неравенство

где С - констант,а. не зависящая от v.

В случае 1 ^ р <С q оо следствие 1.2 было получено С.М. Никольским (см.[12]). Оценки сверху в (0.20) и (0.22) получается с помощью леммы сравнения. Заметим, что с помощью теорем сравнения многие У авторы, А.Н. Колмогоров (см.[51],с.1-16), С.Б. Стечкин (см.[26],с.1511-1514), Н.П. Корнейчук (см.[27],с.204-231) получали различные неравенства с точными константами. Однако константа С, при оценке сверху в (0.22) является завышенной.

Заметим, что неравенство (0.3) обобщалось и на случай дробных производных.

Для тригонометрического полинома tn(x) = ^ + Ylk=iiak cos kx + h;, ми /,\г} рассмотрим оператор дробного дифференцирования Da,a ^ 0:

D°tn (х) = ¿ kQíak cos (kx + + h sin (kx + (0.26)

k=i ^ J

Da — дробная производная по Вейлю. Существует много способов введения оператора дробного дифференцирования [28], но для тригонометрических полиномов определение (0.26) - одно из естественных.

В случае натурального а имеем Datn(x) = т.е. Dat,n - обычная

производная порядка а.

Сайвин [60] установил, что

Hullero < Cana\\tn\\c(T), о < а < 1, (0.27)

где константа Са = ^ + О(а), а —> 0. Огивецкий [61] перенес этот результат на пространства LPÇТГ) (р ^ 1), показав, что

ll4a)||Lp(T) < Canl¿n||Lp(T), 0 < a < 1, (0.28)

где константа Са та же, что и в (0.27). Заметим, что оценку (0.28) можно было бы тривиально получить с помощью метода Стейна [62] или [10. с.4]. Неравенства (0.27) и (0.28) становятся грубыми при а —>■ 0, т.к. Са —> ос. С.П. Гейсберг [63] с помощью интегрального представления

Г(а + 1) sin атт tn(x) — tn(x — £)

Dat„(x) = ^-¿-J -"<¿í, 0<«<1,

где Г — гамма-функция, установил, что

||f(a)||Lp(T) < 2na\\tn\\Lp{Th a G Ш+, 1 <:р < оо. (0.29)

Далее и везде оператор дробного дифференцирования будет пониматься в смысле Вейля, т.е. как оператор, определенный равенством (0.26). Для d 6 N, а = (аь...,с^) Е Rd и /3 = ..., (3d) G Ес/, неравенство а ^ (3 (а > в) означает, что аг ^ j3i (о^ > ¡Зг) для всех i = l,...,d.

В главе 2 доказываются следующие результаты:

Теорема 2.1. Пусть n G pi, р2, Qi, q-2 £ [1, +°о], & = («ъ • • ■, G md, а > 0. Тогда

sup ^lT}Lqi'q2iTd) X (0.30)

тетп 1И \\ьР1,Р2т fj-

ТрЁО

íde

= max {(--i) 1. (0.31)

(АРг qjJ+)

Порядок в (0.30) понимается как порядок по п при фиксированных а.рьр2, qi-q-2-

В качестве следствия из теоремы 2.1, в одномерном случае получается (см. также [70])

Следствие 2.1. Пусть п G N, G [1,+оо], a G 1.+ . Тогда

\\Dat\\q q+(- — -) sup " 111 х п Ур

teTn Irllp t^ о

Для оценок снизу в (0.30) будут рассмотрены полиномы Фейера см. (0.13) свойства которых будут исследованы в применении операции дробного дифференцирования.

Положим Тп° = {tn Е 1~п | fgK tn{x)dx = 0} — класс полиномов с нулевым средним и Тп+ = {tn Е Тп | tn{x) ^ 0, Ух Е [—тг, тг]} — класс неотрицательных полиномов. Л.В. Тайков [64], исследуя поведение наименьшей константы С(п) в неравенстве ||in||c ^ C(n)\\tn\\L для тригонометрических полиномов степени тг, поставил задачу о вычислении величины

т.(п) = inf mes-fx Е [—тг, тг] | t(x) ^ 0}. (0.32)

^ егп

Позднее, в 1965 году, С.Б. Стечкин и Н.И. Черных выдвинули гипотезу. что экстремальный полином в (0.32) имеет вид:

cos2

tn(x) =

cos х — cos

П.+ 1

которую в 1984 г. доказал А.Г. Бабенко (см. [65], с. 349-356), т.е. справедливо равенство т(?г) = С помощью этого результата нетрудно

показать (см. [65], с. 355-356), что ß(n) := sup^ а^ = cos п+Т

7Г

^ / ^иа —~— а, \ и

•Зкстемальным является полином вида — 2 „ , который ока' COS il* COS i . ' n-j-1

n+1 \ 2

cos X x

зался вспомогательным при получении точной константы в неравенствах Джексона (см. [66]) в пространствах Ьр (1 ^ р ^ 2), т.е.

En(f)p _ 1 , 1

-]

Const

К,ир = inf sup =2 р, -+ — = 1,

6>0/ем-*,*] "imb Р Р

где \\1'\\р = , епц)р = ы^^т^ ||/ - £та_1||р,

= ®иР|г(<<5 Также исследовалась аналогичная (0.32) за-

дача на классе алгебраических полиномов Тп степени п. Так В.А. Юдиным см. [69], а затем В.В. Арестовым и В.Ю. Раевской [71] были найдены соответствующие величины в явном виде.

Определение. Пусть с1 Е N — натуральное число,ТГ^ — в, - мерный тор = [—7г, тг]^ и пусть 5 — центрально-симметричное тело из Функция вида

Т5(х)= ске,'кх= Г,,.....

где ... ,Хс1 — действительные переменные и с^ — постоянные коэффициенты, вообще говоря, комплексные, зависящие от целых /гь ..., к^ , называются тригонометрическим полиномом со спектром в 5 . Множество таких полиномов обозначим Т~п(3) , а множество полиномов с нулевым средним будем обозначать Тп°(5).

В дальнейшем будут рассматриваться только действительнозначные полиномы, поэтому везде ниже будем считать, что с_к = с^ • Действительно, в этом случае Ts(x) = Г§(х), т.е. Т^(х) - есть действительнозначная функция. Рассмотрим обобщение m(п) в (0.32) на d—мерный случай.

Положим m(S,d) = mitej-o^s) mes{x Е Td | ¿(x) ^ 0} , для A = (.4]... ., Ac[). Аг > 0, i = 1,. .., d определим прямоугольное множество в W1 : Р(А) ={хЕ | \х{\ ^ Аг, г — 1,.. ., d}, определим множество 5n = {х G М'' | • • • , Е 5} — которое является растяжением тела 5 по оси хг в rii раз, i — 1,.. ., d.

В главе 3 будут доказаны следующие результаты:

Теорема 3.1. Пусть d Е N, п = (пь • • •, £ , тогда имеем

/о ^ • 2 xi

, 1 -- ^ m(Qn, d) < mesjx Е | d - V , T' J >0},

(0.33)

где Qn множество, являющиеся растяжением тела Q (см. формулу (0.37)).

Оценку снизу в формуле (0.33) мы получим, следуя А.Г. Бабенко (см. [65], с. 349-3-56). Оценка сверху достигается на полиномах

ад = (d - ± -^4-) п ( cos^4)2. (о.з4)

I sin 0/ , xx \ cosx, — COS ~-r

\ 1=1 OLl1 2(щ + 1) J j=1 \ з n.j+1 J

Ниже мы покажем, что Тп(х) действительно имеет нулевое среднее и, следовательно, принадлежит Затем будет доказано:

Теорема 3.2. Пусть d 6 N. S — центрально-симметричное т,ело т,а-кое, что существуют константы А = (Ai,.. ., A¿), В = (Вi,..., B¿), A.¿, Bi > 0, i = 1,..., d, для которых справедливо

Р(А) CSC Р(В). (0.35)

Тогда справедливо неравенство

(2Tx)d /п Л (7i5d/4)d/2

-- < m[Sn,d) <С —--i—^-, 0.36)

Uj=i(íBjnj] + 1) Г(| + 1)П^1([А^] + 1)'

где Г — гамма-функция. В случае

Q = {х G Rd | \xí\ < 1, г = 1,..., d}, (0.37)

т.е. когда Qn есть прямоугольный параллелепипед получаем.

Следствие 3.1. Пусть d £ N, тогда для множества Qn имеем

d

m(Qn,d) х ПК- + 1)"1-

j=i

Учитывая. что для единичного шара В = {х £ | ^ 1}

j=1

и ок-

таэдра О = {х Е | Iхj\ ^ 1} соответственно • • ■ , С

Б С Р(1,...,1) и ,J)COC F(l,... А). Мы получаем

Следствие 3.2. Яусть £ N, R = (R,...,R), N

(Лг,.. ., N). Тогда справедливо:

(a) m(J3R,d)x(J? + l)-d,

(b) m(0N,á)x(,¥+l)-d.

Покажем, что задачи главы 3 имеют связь с задачами главы 1. Введем следующий функционал | • || : t G Tn{S) —» К+ на классе тригонометрических полиномов

|t|| = mes{x G Td | t(x) > 0}. Таким образом, мы можем написать

m (Sn,d) = inf lili.

teTn°(s)

Функционал | • (I удовлетворяет следующим условиям:

1) \t\\ = 0 t = 0 для t- Е Tn{S);

2) |í|| ^ 0, для любого t Е Tn(S);

3) H| = |í||, te'Tn(S), aER+;

4) |íi + í2|| < Ы1 + Ы1, tut2 eTn{S).

Заметим также, что, вообще говоря, |í|| ф | — í|| другими словами, функционал | • || - "почти" несимметричная норма. И полиномы, на которых достигается правильный порядок в задаче (0.20) при соответствующем выборе 8 в (0.21), обеспечивают правильные порядки и в теореме 3.1 главы 3. (Однако для удобства в главе 3 используются другие полиномы, незначительно отличающиеся от указанных).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [90]-[94]. Они докладывались на семинарах по теории функций и теории приближений в МГУ (под руководством проф. С.Б. Стечкина, доц. II.Г. Царькова, под руководством проф. Е.П. Долженко, под руководством проф. C.B. Конягина, под руководством проф. Т.П. Лукашенко п проф. В.А. Скворцова), на международной школе по теории приближений под руководством проф. С.Б. Стечкина в 1995 году и на школах памяти С.Б. Стечкина в 1996 - 1998 годах.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доценту И.Г. Царькову, и ныне покойному профессору С.Б. Стечкину за постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Козко, Артем Иванович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Д.И. Менделеев, Исследование водных растворов по удельному весу, Тип. В. Денакова, новый пер., С.-Петербург, 1887.

2. A.A. Марков, Избранные труды, ОГИЗ, Государственное издательство технико - теоретической литературы, Москва - Лененград, 1948.

3. С.Н. Бернштейн, Собрание сочинений: Конструктивная теория функций, т. 1- М.: Изд-во АН СССР, 1952.

4. Стечкин С.Б., О порядке наилучших приближений непрерывных функций, Изд. АН СССР Сер. Матем. 15 (1951), 219-242.

5. DeVore R., Lorentz G., Constructive approximation, vol. 303, A Series of Comprehensive Studies in Mathematics, 1993.

6. Szego G., Uber einen Satz des Hern Serge Bernstein, Schrift. Königsberg Gelehrten Gesellschaft 5 №4 (1928), 59-70.

7. Ахиезер H.И., Лекции по теории аппроксимации, М.: Изд- во Наука, 1965.

8. Стечкин С.Б., К проблеме множителей для тригонометрических полиномов, Докл. АН СССР т. 75 (1950), № 1, 165-168.

9. Арестов В.В., О неравенствах С.Н. Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов, ДАН СССР 246 (1979), № 6, 1289-1292.

10. Арестов В.В., Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных, Изв. АН СССР,Сер. Матем. 45 №1 (1981), 3-22.

11. Jackson D., Certain problem of closest approximation, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (1933), 889-906.

12. Никольский С.M., Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных, Тр. Мат. института АН СССР 38 (1951), 244-278.

13. Бари Н.К., Обобщение неравенств С.Н. Бернштейна и A.A. Маркова, Изв. АН СССР Сер. Матем. 18 №2 (1954), 159-176.

14. Арестов В.В., О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов, Матем. заметки 27 №4 (1980), 539-546.

15. Никольский С.М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М.: Наука, 1977.

16. Golitschek M.V. Lorentz G.G., Bernstein inequalities in Lp for 0 ^ p ^ oo, Rocky Mountain Math. J. 19 (1989), 145-156.

17. Крейн М.Г., L- проблема моментов в абстрактном линейном нормированном пространстве // статья IV в книге Н.И. Ахиезера и М.Г. Крейна - О некоторых вопросах теории моментов, ГОНТИ, Харьков, 1938.

18. Bronsted A., Convex sets and Chebyshev sets, Math. Scand IT (1965), 5-16.

19. Bronsted A., Convex sets and Chebyshev sets 2, Math. Scand 18 (1966), 5-15.

20. Alimov A.R., A number of connected components of sun's complent, East J. Appr. No4 (1995 Vol. 1), 419-429.

21. Alimov A.R., Chebyshev sets' components, East J. Appr. No2 (1996 Vol. 2), 215-232.

22. Алимов A.P., Чебышевские компакты на плоскости, Тр. МИАН т. 219, (1997), 3-22.

23. Алимов А.Р., Чебышевские множества в линейных пространствах с несимметричной сферой Труды Саратовской зимней школы 30 января - 4 февраля 1994 года (памяти профессора A.A. Привалова),, Межвузовский сборник научных трудов. Часть 2. (1995), Изд -во Саратовского Ун -та, 91-93.

24. Алимов А.Р., Аппроксимативные свойства множеств в линейных пространствах с несимметричной сферощ Канд. Дис. (1997), М.: МГУ.

25. Д.И. Менделеев, Избранные Сочинения т. III, Исследование водных растворов по удельному весу, ОНТИ -Госхимтехиздат. Ленингр. отделение.

26. Стечкин С.Б., Обобщение некоторых неравенств С.Н. Бернштейна, Докл. АН СССР 60 (1948), № 9, 232-241.

27. Корнейчук Н.П., Экстремальные задачи теории приближения, М.: Наука, 1976.

28. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И., Интегралы и дробные производные и некоторые их приложения, Наука и Техника, Минск,

1987.

29. Freud G., Uber einseitige Approximation durch Plyname. I., Acta Sci. Math. 16 (1955), 12-18.

30. Ganelius Т., On one -sided Approximation by Trigonometrical polynomials, Math. Scandinavica 4 (1956), 247-258.

31. Bojanic R., De Vore R., On polynomials of best onesided approximation, Ensiegn Math. 12 (1966), 139-164.

32. Бабенко В.Ф., Лигун А.А., Порядок наилучших односторонних приближений полиномами и сплайнами в метрике Lp, Мат. заметки 19

(1976), 323-329.

33. Андреев А.С., Попов В.А., Сендов Б., Теоремы типа Джексона для наилучших односторонних приближений тригонометрическими многочленами и сплайнами, Мат. заметки 26 (1979), 791-804.

34. Андреев А.С., Попов В.А., Сендов Б., Jackson's type theorems for oneside polynomial and spline approximation, Acad. Sulg. Sci 30

(1977), 1533-1536.

35. Шадрин А.Ю., Односторонние и монотонные приближения, Канд. Дис.,М. (1986).

36. Корнейчук Н.П., Лигун А.А., Доронин В.Г., Аппроксимация с ограничениями, Наук, думка, Киев, 1982.

37. Сендов Б., Попов В.А., Усреднённые модули гладкости, Бол. Акад. Наук , София, 1983.

38. Pinkus A., On L1 -approximation., Cambridge University Press (1989).

39. Lorentz G., Golitsihek M.V.,Makovoz Y., Constructive approximation: Advanced Problems, Comprehensive Studies in Mathematics. 304 (1996).

40. Долженко Е.П., Севастьянов E.A., О приближениях функций в хаус-дорфовой метрике посредством кусочно - монотонных (в частности, рациональных) функций, Мат. сб. 101 (1976), 508-541.

41. Юдин В.А., Две экстремальные задачи для тригонометрических полиномов, Матем. сборник 187 (1996), № 11, 145-160.

42. Бабенко В.Ф., Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций, Укр. мат. журнал т. 34, (1982), № 4, 409416.

43. Бабенко В.Ф., Несимметричные экстремальные задачи теории приближения, ДАН СССР т. 269, (1983), № 3, 521-524.

44. Бабенко В.Ф., Неравенства для перестановок дифференцируемых функций, задачи приближения и приближенного интегрирования, ДАН СССР т. 272, (1983), № 5, 1038-1041.

45. Бабенко В.Ф., Несимметричные приближения и неравенства для перестановок в экстремальных задачах теории приближения, Тр. Мат. ин - та АН СССР т. 180, (1987), 33-35.

46. Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Несимметричные приближения классов дифференцируемых функций алгебраическими многочленами в среднем, Analysis Math. т. 14, (1988), № 3, 149-217.

47. Бабенко В.Ф., Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций, Укр. мат. журнал т. 34, (1982), № 4, 409416.

48. Поляков О.В., Несимметричные приближения класса классом задаваемых при помощи линейного дифференциального оператора, Укр. мат. журнал т. 42, (1990), № 8, 1083-1088.

49. Поляков О.В., О приближении обобщенными сплайнами некоторых классов дифференцируемых функций, Укр. мат. журнал т. 49, (1997), № 7, 951-957.

50. Шумейко A.A., Несимметричные приближения сплайнами, Межд. конф. "Функциональные пространства, теория приближений и нелинейный анализ", посвящённая 90- летию академика С.М. Никольского (1995), М.: 1995, Москва 27 апреля- 3 мая, 309.

51. Колмогоров А.Н., О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функций на бесконечном интервале, Учен. зап. Моск. ун- та вып. 30, (1939), № 3, Математика, 3-13.

52. Hormander L., New proof and generalization of inequality of Bohr, Math. Scand. 2 (1954), 33-45.

53. Бабенко В.Ф., Вакарчук М.Б., О неравенствах типа Колмогорова - Хермандера для функций, ограниченных на дискретной сетке, Укр. мат. журнал т. 49, (1997), № 7, 988-992.

54. Га^бушин В.Н., Новые неравенства для производных и их применение, Межд. конф. "Функциональные пространства, теория приближений и нелинейный анализ", посвящённая 90- летию академика С.М. Никольского (1995), М.: 1995, Москва 27 апреля- 3 мая, 90-91.

55. Корнейчук Н.П., Точные константы в теории приближения (1987), М.: Наука.

56. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А., Знакочувствителъные аппрок-

симации. Пространство знакочувствительных весов. Жесткость и свобода системы, Докл. РАН т. 332, (1993), № б, 686-689.

57. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А., Знакочувствителъные аппроксимации. Вопросы единственности и устойчивости, Докл. РАН т. 333, (1993), № 1, 5-7.

58. Рамазанов А.- Р.К., О прямых и обратных теоремах аппроксимации в метрике знакочувствителъного веса, Analysis Math. v. 21, (1995), № 3, 191-212.

59. Рамазанов А.- Р.К., Полиномы, ортогональные со знакочувстви-телъным весом, Матем. заметки т. 59, (1996), № 5, 737-752.

60. Civin P., Inequalities for trigonometric polinomials, Duke Math. (1941), № 8, 656-665.

61. Ogiewetzki I.I., Generalization of the inequality of Civin, Acta Math. Acad. Sei. hung. (1958), № 9, 133-135.

62. Stein E.M., Functions of exponential type, Ann. Math. (2) 65 (1957), 582-592.

63. Гейсберг С.П., Аналоги неравенств С.Н. Бернштейна для дробной производной, в сб. Вопросы математ. и геом. моделир., доклад на 25 науч. конфер. Ленингр. инженерно - строит, института (1967), 5-10.

64. Тайков Л.В., Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов, УМН 20 (1965), № 3, 205-211.

65. Бабенко А.Г., Об одной экстремальной задаче для полиномов, Мат. заметки 35 (1984), № 3, 349-356.

66. Черных Н.И., Неравенство Джексона в Lp(0,27r) (1 ^ р ^ 2) с точной константой, Труды мат. института РАН 198 (1992), 232241.

67. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. 1,2, М.: Наука, 1965.

68. Рамазанов А.- Р.К., Рациональная аппроксимация со знакочув-ствительным весом, Матем. заметки т. 60, (ноябрь 1996), № 5, 737-752.

69. Юдин В.А., Покрытия сферы и экстремальные свойства ортогональных многочленов, Дискретная математика 7 (1995), № 3, 81-88.

70. Тихомиров В.М., Теория приближений, т. 14. Итоги Науки И Техники, Современные проблемы математики, ВИНИТИ, 1987.

71. Арестов В.В., Раевская В.Ю., Матем. заметки 62 (1997), 332-342.

72. Дзядык В.К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами., Наука, Москва, 1977.

73. Тиман А.Ф., Теория приближений функций действительного переменного., Физматгиз, Москва, 1960.

74. Градштейн И.С., Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Гос.изд. физ.-мат. лит., М., 1962.

75. Никольский С.М., Курс математического анализа ,т.1, Наука, Москва, 1990.

76. Г.Г.Харди,Дж.Е.Литтльвуд,Г.Полиа, Неравенства, Изд-во иностр. лит-ры, М., 1948.

77. Бугров Я.С., Конструктивная характеристика классов функций с доминирующей смешанной производной, Труды Мат. ин-та им. В.А. Стеклова CXXXI (1974), 25-32.

78. Никольская Н.С., Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp, ДАН СССР 208 (1973), № 6, 1282-1285.

79. Темляков В.Н., Приближение функций с ограниченной смешанной производной, Труды Мат. ин-та им. В.А. Стеклова 178 (1986).

80. Юдин A.A., Юдин В.А., Дискретные теоремы вложения и константы Лебега, Мат. заметки 22 (1977), № 3, 381-394.

81. Галеев Э.М., Порядковые оценки производных периодического многомерного а- ядра Дирихле в смешанной норме, Матем. сборник 117 (1982).

82. Галеев Э.М., Порядковые оценки наименьших по выбору N гармоник норм производных ядер Дирихле и Фавара, Матем. сборник 182 (1991), № 4, 593-604.

83. Майоров В.Е., Неравенства Бернштейна-Никольского и оценки норм ядер Дирихле для тригонометрических полиномов по произвольным гармоникам, Мат. заметки 47 (1990), № 7, 55-61.

84. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М., Интегральные представления функций и теоремы вложения, Москва: Наука, 1975.

85. Полиа Г., Сеге Г., Задачи и теоремы из анализа, т. 1,2. Москва: Наука, 1978.

86. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, т. 3. Москва: Изд-во Высшая школа, 1989.

87. Резцов A.B., Неотрицательные тригонометрические полиномы от многих переменных и кубатурные формулы гауссова типа, Ма-

тем. заметки 50 (1991), № 5, 69-74.

88. Резцов A.B., О кубатурных формулах гауссова типа с асимптотически минимальным числом узлов, Матем. заметки 48 (1990), № 1, 151-152.

89. Носков М.В., Кубатурные формулы для приближенного интегрирования периодических функций, Методы вычислений (1985), № 14, 15-23.

90. Козко А.И., Аналоги неравенств Джексона - Никольского для тригонометрических полиномов в пространствах с несимметричной нормой, Матем. заметки 61 (1997), № 5, 687—699.

91. Kozko A.I., On Jackson - Nikolskii inequalities for trigonometric polynomials in spaces with asymmetrical norms, East Journal on Approximations 2 (1996), № 2, 177—186.

92. Козко А.И., Об одной экстремальной задаче для полиномов в многомерном случае, Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем., Механика (1997), № 6, 66—68.

93. Козко А.И., Многомерные неравенства разных метрик в пространствах с несимметричной нормой, Матем. сборник т. 189. (1998), № 9, 85—106.

94. Козко А.И., Неравенства с дробными производными для тригонометрических полиномов в пространствах с несимметричной нормой, Изв. АН СССР Сер. Матем. т. 62. (1998), № 6,