О наилучшем приближении и значении поперечников классов периодических дифференцируемых функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Хоразмшоев Саидджобир Саиднасиллоевич

• Хоразмшоев Саидджобир Саиднасиллоевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Хоразмшоев Саидджобир Саиднасиллоевич

Введение

Глава I. Наилучшие приближения дифференцируемых

периодических функций в метрике пространства Ь2

§1.1. Необходимые понятия и определения, используемые в

дальнейшем. Общие факты

§1.2. Об одной экстремальной аппроксимационной характеристике

§1.3. Обобщение предыдущих результатов

§1.4. Об обобщении некоторых результатов Н.И.Черных

Глава II. Поперечники классов функций в метрике

пространства Ь2

§2.1. Определение поперечников и классов функций

§2.2. Значение поперечников классов Wm\h) и Wm\ф) в

пространстве Ь2

§2.3. Точные значения п-поперечников классов функций Wm],(Ф, Н) 53 §2.4. Точные значения п-поперечников классов функций Тт]р(К) и

ф)

Заключение

Список литературы

Введение

Общая характеристика работы Актуальность темы

Теория приближения функций является одним из наиболее успешно развивающихся направлений современной математики, имеющим важное приложение в прикладных задачах вариационного содержания. При этом в качестве средства приближения используются алгебраические и тригонометрические полиномы, целые функции, сплайны, вейвлет-функции, конечные элементы и т.д.

В последнее время при решении задач наилучших приближений периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2 часто используют различные модификации классического модуля непрерывности. Во многих случаях это обусловлено специфическими условиями рассматриваемых задач, которого позволяют получать результаты, раскрывающие содержательную сущность исследуемых проблем. Так, например, различные обобщенные модули непрерывности рассматривались в работах Б.Сендова и В.Попова [35], В.А.Абилова и Ф.В.Абиловой [1], К.В.Руновского [32], В.И.Иванова и О.И.Смирнова [20], А.Г.Бабенко, Н.И.Черных, В.Т.Шевалдина [6], С.Н.Васильева [17], С.Б.Вакарчука [13], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [60] и многих других.

Экстремальные задачи теории приближений (точная константа в неравенствах типа Джексона в различных нормированных пространствах) привлекли внимание многих математиков. В этом направлении важные результаты получены в работах Н.П.Корнейчука [25], Н.И.Черных [54],

B.И.Бердышева [7], В.В.Жука [19], А.А.Лигуна [29], А.Г.Бабенко [5],

C.Б.Вакарчука [12], М.Ш.Шабозова [57] и других математиков. Данная работа развивает исследование указанных авторов в этом направлении.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О наилучшем приближении и значении поперечников классов периодических дифференцируемых функций»

Цель работы

Цель работы состоит в получение точные неравенства типа Джексона

- Стечкина, связывающие наилучшие приближения дифференцируемых периодических функций тригонометрическими полиномами и интегралами, содержащими усредненным с весом обобщенными модулями непрерывности, а также вычисления точных значений различных поперечников классов функций, определяемых обобщенными модулями непрерывности высших порядков

Научная новизна

В диссертации получены следующие основные результаты:

• Найдены новые точные неравенства типа Джексона - Стечкина, связывающие наилучшие приближения дифференцируемых периодических функций тригонометрическими полиномами с интегралами, содержащими усредненным с положительным весом обобщенными модулями непрерывности.

• Вычислены точные значения различных п-поперечников для классов функций, определяемых обобщенными модулями непрерывности высших порядков г-тых производных функций.

Основные методы исследования

В диссертации используются современные методы теории приближения оптимизационного содержания и методы решения экстремальных задач теории функций и функционального анализа.

Теоретическая и практическая значимость Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории приближений при исследовании экстремальных задач для отыскании точных констант в других функциональных пространствах, например в пространстве Ьр, 1 < р < ж. Апробация работы

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах отдела теории функций и функционального анализа Института математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан (Душанбе, 2009-2016 гг.), на семинарах кафедры высшей математики Таджикского технического университета им. академика М.Осими (Душанбе, 2010-2016 гг.), на

международной конференции «Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ», посвященной 80-летию академика АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайлова (Душанбе, 2008 г.), на международной конференции «Современные проблемы математического анализа и их приложений» (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.), на международной конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (2829 июня 2011 г.), на международной конференции «Современные проблемы математического анализа и теории функций» (Душанбе, 29-30 июня 2012 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы теории функций и дифференциальных уравнений» (Душанбе 17-18 июля 2013 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы математики и ее преподавания» (Худжанд, 28-29 июня 2014 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений» (Душанбе, 27-28 апреля 2015 г.), на международной летней математической Школе-Конференции С.Б. Стечкина по теории функций (Душанбе, 15-25 августа 2016 г.). Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 9 работах [44-52]. Из них 3 статьи опубликованы в изданиях, входящих в действующий перечень ВАК Российской Федерации, а 6 статьи в трудах международных конференций. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы из 65 наименований и занимает 78 страниц машинописного текста, набранного на ^Т^Хе. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Краткое содержание работы

Приводим краткое содержание диссертации с указанием основных

результатов. Во введении приводится краткая характеристика изучаемой проблемы и основные результаты работы.

Пусть N - множество натуральных чисел; Z+ := N U {0}, R+ = [0, - множество положительных чисел. Рассмотрим пространство L2 := L2[0, 2п] 2п-периодических суммируемых с квадратом в смысле Лебега действительных функций f (x) с конечной нормой

(i 1 Г

llf II := llf IIl = I nj If(x)|2dx I < w.

Через L2\r G N) обозначим множество 2п-периодических функций f(x) G L2, у которых производные (r — 1)-го порядка f(r-1)(x) абсолютно непрерывны, а производные r-го порядка f (r)(x) G L2. Через 72n—i. обозначим подпространство всевозможных тригонометрических полиномов порядка < n — 1 (размерности < 2n — 1):

( n—1

72n—1 := < Tn—i(x) : Tn—i(x) = у + ^(«k coskx + вк sinkx)

I k=1

Величину

En(f) := inf {|f — Tn—J : Tn—1(x) G 72n—1}

назовем наилучшим приближением функции f (x) подпространством 72n—1-Равенством

um(f,í)=sup{|Amf«|| : |h| < t} =

= sup

m / \

£(—i)m—k( T)

k=o ^ '

m—)f (x + (m — k)h)

: |h| < t

определим модуль непрерывности порядка т функции / С Ь2.

При решении некоторых экстремальных задач теории приближения в Ь2 вместо обычного модуля непрерывности ^то(/, £) для оценки наилучшего приближения 2п-периодических функций иногда используют так

называемую обобщенную модуль непрерывности

(f,t)p = \ 1 I ... J || Дт/(^ dhl ■ ■ dh7

0 0

где г > 0; Н = Н2, • • •, Нт), Дт = Д^ ◦ • • • ◦ Д[т. Подобная усредненная характеристика гладкости функции в ходе исследования важных вопросов конструктивной теории функций в метрическом пространстве Ьр(0 < р < 1) рассматривалась К.В.Руновским [32] и Э.А.Стороженко, В.Г.Кротовым и П.Освальдом [36], где также доказано, что Пт(/, г)р х шт(/,г)р, 0 < р < ж.

Во втором параграфе первой главы рассматривается следующая аппроксимационная экстремальная характеристика

_2т/2пг • Еп(/)

J €3-г) { н

/112 J ттт (/(г) йг

где т,п € М, г € и Н > 0 - произвольное число. Приводим основной результат этого параграфа.

Теорема 1.2.1. Пусть т,п € М, г € и Н > 0 - произвольное число, удовлетворяющее условию 0 < Н < п/п. Тогда

2 ^ -'т/2

Мт,п,г(Н) = <! 1 - ( ПН ^ Т

Mmnr (h) = sup --;-n(f ) ^ m/2, (0.0.1)

2

-m/2

Для произвольной 0 < h — п имеют место неравенства

2m/. — (f) I /2 h

(1 — sine h)-m/2 < sup -z—TT—n-—г < < 1 — I 2 sin —

( ) < /eLf) ^ — (r),h/n) -\ \ h 2 y

f(r) =const

Из этой теоремы непосредственно вытекает следующее

Следствие 1.2.1. В условиях теоремы 1.2.1 справедливы соотношения

/ 2 \ т/2

(п2\

Мт,п,г (п/п) =

2_ 4

п

1 nrEn(f) ^ if п

2 \ m/2

< sup -^-— <

2m/2 - /Gi[r) ^m (f^п/п) " 2m/2 VП2 — 4,

f(r) =const

В третьем параграфе первой главы рассматривается обобщение величины (0.0.1) в виде следующей аппроксимационной характеристики

* (h) = 2m/2nr • En(f)

Xm,n,r,p(h) sup 1 , ,

f G^ / 2 í P

f (r)=const (W t°m (f (r),^dt

где m, n G N, r G Z+, p > 0 и h > 0 - произвольное число.

sin t

Всюду далее полагаем sine t := . Основным результатом этого параграфа является следующая

Теорема 1.3.1. Пусть m,n,r G N, 2/r < p < 2(r > 2) и h -произвольное число, удовлетворяющее условию 0 < h < п/n. Тогда имеют место равенства

h

Xm,n,r,p(h) = <¡ ^2 / t (1 — sine nt)mp/2 dt

—1/p

Из этой теоремы, в частности, при р = 2/т, т € N вытекает следующее Следствие 1.3.1. В утверждении теоремы 1.3.1 при любом 0 < Н < п/п справедливы равенства

2 —m/2

Xm,n,r,2/m(h) = ^ 1 — ^П^ sin "2" ^ ^ := Mm,n.r(h)-

В четвертом параграфе дадим обобщение неравенства типа Н.И.Черных [53,54].

Теорема 1.4.1. Пусть m,n,r Е N, 0 < h < n/n, 0 < v < rp — 1,

n 1

1/r < p < 2, и ^n(t) = sin— t + - sinnt. Тогда для любого v Е N справедливо

2 2

равенство

2m+1/p • nr—1/p • En(f) sup - , ,

f( h ^1/p

f(r)=const U < (f (r),t) (vn(t)T dt

u

nh/2

sinmp+v t(1 + cos t)v dt

0

Из этой теоремы при m =1, r = 0, p = 2, v =1 в качестве следствия получаем следующий результат Х.Юссефа [63].

Следствие 1.4.1. Для любой функции f (x) G L2, любого натурального n и 0 < h < n/n справедливо неравенство

h

/w2(f; t4sin2hí+1sin jit)dt EUf) < -h-,

2 J (1 — cos nt) ^sin ^t + 1 sin J^j dt 0

которое обращается в равенство для функции f (x) = cos nx при любых 0 < h < n/n.

Вторая глава состоит из четырех параграфов, и в ней рассматривается задача определения точных значений различных n-поперечников классов 2п-периодических действительных функций, принадлежащих пространству L2. Прежде чем сформулировать основные результаты второй главы, напомним необходимые обозначения и определения, приведенные в первом параграфе второй главы.

Пусть X - произвольное банахово пространство; S - единичный шар в нем; M - некоторое выпуклое центрально-симметричное множество в X; Ln С X-n - мерное линейное подпространство; Ln С X - подпространство коразмерности n; L(X, Ln) - множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих X в Ln; L±(X, Ln) - подмножество проекторов в L(X,Ln).

Приближение фиксированного множества m С X фиксированным подпространством Ln С X определяется величиной

En(m)x = E(m, Ln)x =f sup {inf {||/- g||x : g G An} : / G m} . (0.0.2)

Величина

def

En(m)x = E (m, An)x =

def .

= т^ирЩ/- А(/)||х : / € м} : А с ¿(X, Лп)} (0.0.3)

характеризует наилучшее линейное приближение множества м элементами подпространства Лп с X. Линейный оператор А*(А* с ¿(X,Лп)), если он существует и реализует в (0.0.3) точную нижнюю грань, является наилучшим для м линейным методом приближения;

En (m)x = E^(m, An)x =

_l /

= inf{sup{||/ - Л/Ух : / G m} : Л С L^(X, An)}

(0.0.4)

- наилучшее приближение множества м с X проекторами в пространстве X. Очевидно, что для величин (0.0.2)-(0.0.4), согласно определению, выполняется соотношение

En(m)x < En(m)x < E^(m)

)х.

(0.0.5)

Величины

bn(m, X) = sup{sup{e > 0 : eS П Ln+i С m} : Ln+i С X},

(0.0.6)

dn(m, X) = inf{sup{||/Ух : / G m П Ln} : Ln С X},

def

dn(m,X) = inf{E(m, An)x : An С X}, ¿n(m,X) = inf{E(m, An)x : Лп С X},

(0.0.7)

(0.0.8) (0.0.9)

nn(m,X) = inf{E^(m, An) : An С X} (0.0.10)

называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмого-ровским, линейным и проекционным n-поперечниками.

Если существует подпространство L*n+l, на котором достигается точная верхняя грань в (0.0.6), и существуют подпространства Лп, на которых достигаются внешние точные нижние грани в (0.0.7) - (0.0.10), то такие подпространства называют экстремальными для соответствующих n-поперечников (0.0.6) - (0.0.10). Очевидно, что между величинами (0.0.6) -(0.0.10) выполняются соотношения

Введем классы функций, которые естественным образом появляются из результатов о наилучшем приближении 2п-периодических функций в параграфах 1.2-1.4 первой главы. Пусть Ф(£),£ > 0 - произвольная возрастающая непрерывная функция, такая, что Ф(0) = 0. Исходя из результатов второго параграфа, для т Е М, г Е Ъ+ и любого к > 0 определим класс функций

bn(M,X) < dn(M,X) < ^(M,X) < n(M,X)

и если X - гильбертово пространство, то

bn(M,X) < dn(M,X) < dn(M,X) = ön(M,X) = nn(M,X).

W^h) = f E L: |

'2

J f {r\t)dt < i 0 )

Через W(k)(Ф) := W%)(Ф,к), т Е М, г Е Ъ+ обозначим класс функций, для которых при любом к > 0 выполняется неравенство

н

(r)

(r)

0

Через W(r)p(h), m E N, r E Z+, 0 < p < 2 обозначим класс функций

(r)

f E L2), для которых при любом h E R+ выполняется неравенство

h

(r)

0

По аналогии с классом ж!г)(Ф), через := ж1г,Р(Ф,Н), т е М,

г е 0 < р < 2 - обозначим класс функций f е , для которых при любом Н е выполняется неравенство

h

t ^mm (/(r),t) dt < Фр(^}.

0

Через Fm^h} - обозначим класс функций f £ L^, которые для любых m,n £ N, r £ Z+, 1/r < p < 2 и произвольного h (0 < h < n/n} удовлетворяют ограничению h

J f(r),t) (^n(t}}vdt < 1, ^n(t} = sin y + isinnt, 0

а через Fm],^} = (h, Ф} обозначим аналогичный класс функций f £ L^r), которые для тех же значений указанных параметров удовлетворяют условию

h

J < (f (r),t) (^n(t}}vdt < Фm(h}. 0

Во втором параграфе второй главы вычислены значения n-поперечников 2п-периодических функций, принадлежащих классам Wm^h} и Жт^Ф}.

Следуя С.Б.Вакарчуку [12], через t* обозначим величину аргумента x £ (0, то} функции sine x, при которой она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, t* есть наименьший из положительных корней уравнения x = tg x (4,49 < t* < 4, 51}. При этом полагаем

(1 — sinex}^ := {1 — sinex, если 0 < x < t*; 1 — sinet*, если x > t*} .

Теорема 2.2.1. Пусть m,n,r £ N, h > 0 и выполнено условие nh < t*. Тогда имеют место равенства

P2n-1 WiT)(h},L2 = P2n W,ir)(h},L2

En (wir)(h})L = En (wir)(h})L = En^ (wir)(h})L

2 ^ — m/2

= 2-m/2n-rl 1 —{-2 sin ^

V nh 2 У

где pk( • ) - любой из поперечников: бернштейновский bk( • ), колмогоровский dk(•), гелъфандовский dk( • ), линейный 5k( • ), проекционный пк( • ), En (wmm\h^ = supjEn(f) : f G W^)(h)^ - наилучшее приближение класса WÍr)(h) С L2 подпространством тригонометрических полиномов 72n—i.

Теорема 2.2.2. Если мажоранта Ф(£) при любом t G R+ удовлетворяет ограничению

2 nt

Ф(t) т-í Т (1 — sinc т)* dT, (0.0.11)

Ф(п/п) п2 — 4 (nt)2

0

то для любых m,n G N, r G Z+ имеют место равенства

P2n—1 ^(Ф)^) = P2n (w^)^) = En (wÍr)^)/¿2

{2 л т/2

п^ф©} ,

где рк( ■ ) - любой из к-поперечников Ьк( ■ ), dk( ■ ), dk( ■ ), ( ■ ) или пк( ■ ). Множество мажорант {Ф(£)}, удовлетворяющих условию (0.0.11), не

пуст5ледствие 2.2.2. В условиях теоремы 2.2.2 справедливы равенства

P2n—i (W^)^) = P2n (w^)^) = En (w^,) = En (w£(Ф,)) = (w^)) =

_ 2-т /2пт+4т/(п -4)(п2 _ 4)-т/2^-^-4т/(п -4)

где рк ( ■ ) - любой из к-поперечников, перечисленных выше.

Следствие 2.2.3. Если выполнены условия теоремы 2.2.2, то имеют место равенства

sup{ k(f)l : f G Wtf

{2 ^ m/2

^ ф( n)

Третий параграф второй главы посвящен вычислению точных значений п-поперечников 2п-периодических функций принадлежащих классу Жш,Р(Н) и ЖЙ(Ф), где т, г е М, 0 < р < 2 Н е К+.

Теорема 2.3.1 Пусть т, п е М, г е 0 < р < 2 и пН < £*. Тогда справедливы равенства

Р2п (^(Н)^) = Р2П-1 (^й(Н),Ь2) = Еп (^М(Н))^ = = Еп (^(Н))^ = ЕП" (<Р(Н))Ь2 = 1

= 2-(m/2+i/p)n-^ I ^ - sinc t)mp/2 dt

где pk(•) - любой из k-поперечников (•), dk(•), dk(•), (•) или (•).

Теорема 2.3.2. Пусть m,n,r G N; 0 < p < 2. Если для любых t G R+ мажоранта Ф^) удовлетворяет условию

Фр(п/п) >

nt ( п ^ -1

> (ntУ J т (1 - sinc т)7/2 dT М т (1 - sinc т)mp/2 dT, (0.0.12)

0 10 J

то при любых n G N справедливы равенства

P2n (Wmp(Ф), L2) = P2n-1 (^(Ф), L2) = En (^(Ф))

=En (<р(Ф))ь = еП" (wm^))

L

, „„ (r) /лч\ \ _ c^ / тт/"(r

n

L2 \ ' L2

п ^ -1/p _, 1 I ./ ^ . . \ mp/2 ? . I -r fП

n , 2

П2 / I \n>

= 2-(m/2+1/p) n-r I J_ J t (1 - sinc t)mp/2 dt | Ф (

где pk(•)-любой из k-поперечников: бернштейновский (•), колмогоровский dk(•), гельфандовский dk(•), линейный (•), проекционный (•). При этом

множество мажорант, удовлетворяющих условию (0.0.12), не пусто. Этому условию удовлетворяет, например, функция Ф**(£) = ta/p, где

п 2

а = -п--2.

J t (1 - sine t)mp/2 dt 0

Из этой теоремы вытекают следующие Следствие 2.3.2. Справедливы равенства

sup{k(f)| : f G Wmkh)} = sup{Mf)| : f G W^)} =

-1/p

1

2-(m/2+1/p) n-r J I t (i - sine t)mp/2 dt

п 2

sup{ k(f)l : f G W^)} = sup{ |bn(f)| : f G W^

I 1 г l-1/p

= 2-(m/2+1/p) n-r ^ _L / t (1 - sine t)mp/2 dtФ (^ .

Следствие 2.3.3. Пусть выполнены все условия теоремы 2.3.2. Тогда справедливы следующие равенства

Р2П-1 (<и(ф)^) = pan (wLVw.^) =

^Л _ г fw(r) _ iuA;

J2

= (WS/mW), = E» (wm?2/m(Ф)), = # Кит), =

= 2-(m/2)"-r (ЙГФ (

Имеют место следующие утверждения и следствия из них. Теорема 2.4.1. Пусть т,п Е М, г Е Ъ+ и число к > 0 удовлетворяет условию 0 < пк < п. Тогда справедливы равенства

(г)

p2n-1 (^W^) = p2n (^ММ)

п

= Еп (4Г,Р(Н), ¿2)ь = Еп (4Г,Р(Н), Ь^ь = # (^(Н), Ь

¿2

= 2-тп-г

л + х -1/Р Г ( ПА/ пА *

/ вт — 1 + сое —

I \ 2) \ 2)

/ п/1/2

\

-1/р

= 2-(т+1/р)п-г+1/р

(в1п ¿)тр+" (1 + сов ^

V

У

где (•) - любой из к-поперечников Бернштейна (•), Гельфанда (•), Колмогорова (•), линейного ^(•) и проекционного (•). Из теоремы 2.4.1 вытекает следующее

Следствие 2.4.1. При выполнении условий теоремы 2.4-1 для любого п, V е N имеют место равенства

вир

{к(/)| : / е^г)(Н)}

= вир

{|М/)| : / е^тг,Р(Н)}

/ пй/2

\

-1/Р

= 2-(т+1/р)п-г+1/р

(81п ¿)тр+" (1+С08 (И

\

/

Одним из основных результатов четвертого параграфа является

Теорема 2.4.2. Пусть 1/г < р < 2, г е N и мажоранта Ф удовлетворяет условию

Фр(Н)

> ^

1

7Г

(Н),

если 0 < Н < п/п

г/1/2

2 / ^ (0.0.13)

(п/п) +— вт^ £ (1 + сов если Н > п/п,

п

где

тЛ/2

(Н) = п J (81п ¿)тр+" (1+сов ^ 0

Тогда для любых чисел т,п,г е N справедливы равенства

р2п-1 (Н, Ф),Ь^ = р2п (Н, Ф),Ь2

=Еп (н, ф^ ^=Еп (Н, ф^ ^=£п (Н, ф)

/ п/2 X -1/Р

[ (вт ¿)тр+" (1 + сов ^ (г

0

¿2

= 2-(т+1 )п-г+Р

V1

У

ф( п).

п

Условию (0.0.13) удовлетворяет, например, функция Ф*(Н) = На, где

( п/2

\

1

а =

7Г 2р

(в1п г)тр+^ (1 + сов г)* (г

V

У

Заметим, что теорема 2.4.2 в качестве следствия при р = 2, V = 0, т е N содержит результат Л.В.Тайкова [39], а при 1/г <р < 2, V = 0,т е N результат М.Ш.Шабозова [57].

ГЛАВА I

Наилучшие приближения дифференцируемых периодических функций в метрике пространства Ь2

Среди экстремальных задач теории аппроксимации функций одной из наиболее важных является задача вычисления точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина

Еп(1) < хп-гит (/(г),т/п) ; г Е т > 0,

где ит - некоторая характеристика гладкости функций / Е ь2г) (Ь0) = Ь2), например модуль непрерывности шт или вводимый ниже обобщенный модуль непрерывности Пт, а х - некоторая константа, зависящая от т, но

(г)

независящая от г и от функции / Е Ь2 .

В случае ит _ шт эту задачу в разное время исследовали Н.И.Черных [53,54], Л.В.Тайков [37,39], А.А.Лигун [27,29], С.Б.Вакарчук [8], А.Г.Бабенко [5], М.Ш.Шабозов [57] и многие другие (см., например, [47] и приведенную там литературу), а в случае ит _ - С.Б.Вакарчук [12], С.Б.Вакарчук и В.И.Забутная [16], М.С.Саидусайнов [34], Г.А.Юсупов [65].

С целью оптимизации констант, то есть получения наименьшей константы в неравенстве Джексона - Стечкина были введены в рассмотрение различные аппроксимационные экстремальные характеристики [8, 59]. Использование других гладкостных характеристик 2п-периодических функций, например тригонометрических модулей непрерывности в работе А.Г.Бабенко, Н.И.Черных и В.Т.Шевалдина [6], позволило получить новые содержательные результаты в теории аппроксимации функций, связанные с дальнейшим исследованием неравенства типа Джексона - Стечкина. В этой главе мы продолжим исследование указанных авторов в этом направлении.

§1.1. Необходимые понятия и определения, используемые в дальнейшем. Общие факты

Пусть N - множество натуральных чисел; Z+ := N U {0}, R+ = [0, - множество положительных чисел. Через L2 := L2[0, 2п] обозначим пространство 2п-периодических суммируемых с квадратом в смысле Лебега действительных функций f (x) с конечной нормой

(i 1 Г

llf II := llf IIl = I nj If(x)|2dx I < w,

а через L2r) (r G N) - множество 2п-периодических функций f (x) G L2, у которых производные (r — 1)-го порядка f (r-1)(x) абсолютно непрерывны, а производные r-го порядка f (r)(x) G L2.

Пусть 72n— i - подпространство всевозможных тригонометрических полиномов порядка < n — 1 (размерности < 2n — 1):

72n—i := ITn—i(x) : Tn—i(x) = y + X(ak coskx + вк sinkx) j .

Из курса математического анализа хорошо известно, что для произвольной f (x) G L2, имеющей разложение в ряд Фурье

то

f (x) ~ у + cos kx + bk sin kx), (1.1.1)

k=i

величина ее наилучшего приближения в метрике L2 подпространством 72n—i равна

En(f) := inf {llf — Tn_J : Tn—i(x) G 72n—i} =

00

i/2

= llf — Sn—i(f)ll = {$>k + bk) , (1.1.2)

где

k=n n— i

Sn—i(f,x) = — + cos kx + bk sin kx)

k=i

- частная сумма порядка п — 1 ряда Фурье (1.1.1) функции /(х) е Ь2. Равенство (1.1.2) получается применением уравнения замкнутости Парсеваля. В дальнейшем, полагая р| = а| + , к > п, соотношение (1.1.2) запишем в более удобной форме

00

1/2

Еп(/) = II/ — 3,-1 (/)|| = ^р^

к=г

Через

ш„(/,()=вир{||дт/{•)!: |Н| < г} =

(1.1.3)

= вир

т

в-!)--*( т)

к=0 ^ '

)/(х + (т - к)Н)

: |Н| < г

(1.1.4)

обозначим модуль непрерывности порядка т функции / е Ь2. Используя равенство Парсеваля, легко доказать соотношение

дт/(он2 =

т

в-1>"-м т)

к=0 ^ '

т-*' к)/(• + (т - к)Н)

/ кН\2т

£рЦ 2 ^ у = 2т Е р^(1 - совкН)т

Отсюда, согласно равенству (1.1.4), имеем:

и

( то

/,г) = 2т вир £ р^(1

I к=1

- сое кН)т : |Н| < г

(1.1.5)

В некоторых задачах теории аппроксимации вместо модуля непрерывности (1.1.4) для оценки наилучших приближений 2п-периодических функций /(х) е Ь2 используют следующую усредненную характеристику гладкости (см., например, работы [10,14,26,55]:

1/2

£ £

дт / (-)Ц2(Н1 ••• (Нт

(1.1.6)

2

где t > 0; h = (hi, h2, • • •, hm), Am = A^ о • • • o A^m. Всюду далее полагаем sine t := sin t/t.

Заметим, что в ходе исследования важных вопросов конструктивной теории функций в метрическом пространстве Lp (0 < p < 1) усредненная характеристика гладкости функции, подобная (1.1.6), рассматривалась К.В.Руновским [32] и Э.А.Стороженко, В.Г.Кротовым и П.Освальдом [36]. Найдем приемлемый для применения вид обобщенного модуля непрерывности m-го порядка (1.1.6), которую используем в дальнейшем. Используя формулы Эйлера, представим ряд Фурье (1.1.1) функции f (x) £ L2 в комплексной форме

то

(X) - '

k=—то

где Ck и c—k - взаимно сопряженные числа.

Поскольку функции {eikx}, к = 0, ±1, ±2, • • •, образуют на [0, 2п] ортогональную систему, используя равенство Парсеваля, запишем

f (x) - £ Ckeikx,

|Am f «||2 =

то

£ CkAm'e'

k=

то

im '

= 2m £ рЩ(1 - cos khv). (1.1.7)

k=1 v=1

Подставляя (1.1.7) в правую часть равенства (1.1.6) и вычислив m-кратный интеграл, имеем

то

^(f,t) = 2m £ рк (1 - sine kt)m . (1.1.8)

к=1

С целью оптимизации констант в неравенстве типа Джексона - Стечкина

En(f) < Xn-r^m (f(r),t/n) ; r G Z+, t > 0. (1.1.9)

С.Б.Вакарчук [10] ввел в рассмотрение величину

K„,,m(t) = sup J ff/") : f (x) G L2r), f (r)(x) = const J ,

и при любых m,n G N и r G Z+, 0 < t < п/2 доказал справедливость равенства

Kn>r>m(t) = {2 (1 - sine t)}-m/2 . (1.1.10)

2

§1.2. Об одной экстремальной аппроксимационной

характеристике

В работе [53] Н.И.Черных заметил, что при отыскании точной константы в неравенстве Джексона - Стечкина, вместо джексоновского функционала ^т(/(г); Н), 0 < Н < п/п, п е М, иногда полезнее бывает функционал

/ н \ 1/р / н \ -1/р

Фт,г^н) = и <(/(г),*м^ I и ф)<и

поскольку для произвольной суммируемой на отрезке [0, Н] функции ф(Ь) > 0 (0 <1 < Н) выполняется неравенство

Фт,г(/(г); р; Н) < Шт(1(г); Н) (0 <Н < п/п, п е М).

Исходя из этого, в этом параграфе с целью оптимизации констант в неравенстве Джексона - Стечкина (1.1.9) вводим в рассмотрение следующую аппроксимационную экстремальную характеристику

/gL» / h

_2m/2nr En(f)

h

2

Mm,n,r (h)= sup --;-f-, (1.2.1)

f(r)=const ^ J2 J tnmm (f(r) ,t)dt

где m,n G N, r G Z+, r > m и h > 0 - произвольное число. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.2.1. Пусть m,n G N, r G Z+, и h > 0 - произвольное число, удовлетворяющее условию 0 < h < n/n. Тогда

Mm,n,r (h) = - (nh sin Y) | . (1.2.2)

Для произвольной 0 < h < n имеют место неравенства

(1 - h)-m/2 < ff < I1 - <>n2)2^ m/2• (1ЛЛ>

f(r) =const

В частности, из (1.2.3) при h = п имеем:

2m/2"r . ^„(f) / 4 Vm/2

1 < sup -, , , nf ) < 1 -. (1.2.4)

- fGLp) ^m (f(r),n/" <V W ( )

f(r) =const

Доказательство. Прежде всего заметим, что левая часть неравенств (1.2.3) и (1.2.4) реализуется для функции f0(x) = cosnx G L^. Приступая к доказательству равенства (1.2.2), заметим, что если f (x) G L2r) и

00

f (x) ~ -20 + £ р2 cos(kx + ^fc) 2=1

ряд Фурье функции f(x), то, согласно (1.1.8),

^ (f(r),t) =2m £ k2rp2 (1 - sine kt)m , (1.2.5)

2=1

где p2 = -2 + Ь2 (P2(f) := -2(f) + b2(f)), k = 1,2, ■ ■

В силу неравенства Гельдера для сумм, при любом m G N, пользуясь соотношениями (1.2.5) и (1.1.3), будем иметь

тото

E„(f) - р2 sine kt = £ р2(1 - sine kt) =

2=n 2=n

oo / oo \ 1 1/m / то \ 1/m

Y^ P2 2/mp2/m (1 - sine kt) < ( £ p2 j ( £ P2 (1 - sine ^Г ) <

2=n \2=n / \2=r

^ то \ 1-1/m / . то / k \ 2r \ 1/m

< '£ рП i ■ 2m £ (") P2 (1 - sine kt)m

ч2=п / \ 2=n /

1 то 1/m

= Etf'i/) ■ 2m £ k2r р2 (1 - sine ki)'

\ 2=n

= еЦ/- ^ ■ o-m (f(r); t)

n 1 2n2r/m m V /

Полученное неравенство запишем в виде

то

еП(/) < Е pksine kt + eI—2/m(f) ■ ■ o-/m (f(r); t) . (1.2.6)

-n\j ) — / ^ 1 ^n

k=n

Умножая обе части неравенства (1.2.6) на t > 0 и интегрируя в пределах от t = 0 до t = h, получаем

2El(f) <

TO h

< Е pk + (En(f ))2-2/m ^¿m J to-/- (/(r); 0 <*• (1.2-7)

k=n 0

Замечая, что

1 — cos kh 1 — cos nh max-

k>n k2 n2 '

неравенство (1.2.7) запишем в виде

h

-1 [(nh)2 — 2(1 — cos nh)] ■ (En(f ))2/m < nl- . i tO-/m (f(r); t) dt. nn

Из последнего неравенства следует, что

/ h \ m/2 En(f) < n—(r—m) [(nh)2 — 2(1 — cos nh)]—-/2 If tO-/m (f(r); t) dt

0 n — m/2 / h 2 nh 2 2

>0

m/2

= 2—m/2n—r <4 1 —I — sin ^ H I A I to-- f(r); tj dt I . (1.2.8)

nh 2 h2

0

Используя определение величины (1.2.2), из (1.2.8) получаем оценку сверху

2 \ — m/2

Mm,n,r(h) <{ 1 — ( nh sin nh) ' . (1.2.9)

Для получения оценки снизу достаточно рассмотреть функцию f0(x) = cos nx, принадлежащую множеству L2 , воспользоваться определением величины (1.2.2.) и легко проверяемыми соотношениями

En—i(fo) = 1, ttm (/0r); t) = 2m/2nr (1 — sinent)m/2

2 m/2

m/2

ínm/m fr; t)dtj = nrftmj i -(^ sin !2¡j j . (1.2.10)

Учитывая равенства (1.2.10), получаем с учетом определения величины (1.2.1), будем иметь

M (Л) >_2""/v )_

Mm,n,r(Л) > / h ч m/2

Л2 /t«i2,/m (fr),t) dt

2\ -m/2

41 - (ПЛ sin f) } . (1.2.11)

Сравнивая неравенств (1.2.9) и (1.2.11), получаем требуемое равенство (1.2.2). Чтобы доказать неравенство (1.2.3), заметим, что для произвольной функции /(x) Е L2r) из неравенства (1.2.8) получаем

Ef) < 2-m/2n-J 1 - (-2- sin nh V} / fim (/(r); h) .

h

Отсюда получаем нужную оценку сверху в неравенстве (1.2.3):

2m/2nrEn(/) < \ f 2 nM

"m (/(r); h) - I Vnh sin 2 )

2 ^ —m/2

или, что то же,

2 —m/2

2m/2nrE»(/) - 1 —(2 sin > . (1.2.12)

fim (/(r); h/n) -} Vh 2

Для рассмотренной выше экстремальной функции /0(x) = cos nx G L2r), согласно определению константы Джексона, получаем оценку снизу

2m/2nr ■ En(/) ^ 2m/2nr ■ En/0) (1 . m/2 (1213)

sup ---->--^ = (1 — sineh) 1 . (1.2.13)

/GL« "m (/(r),h/n) " (/¿r),h/^ ( '

f(r) =const

Двойное неравенство (1.2.3) вытекает из соотношений (1.2.12) и (1.2.13), чем и завершаем доказательство теоремы 1.2.1. Из теоремы 1.2.1 вытекает

Следствие 1.2.1. В условиях теоремы 1.2.1 справедливы соотношения

2 m/2

Mm,n,r (п/n) =

2_ 4

п

1 nr ■ En(/) 1 f п2 ^m/2

— sup -^-—

2m/2 /GLTr) "m /(r), п/^) 2m/^ п2 — 4

f (r)=const

§1.3. Обобщение предыдущих результатов

В предыдущем параграфе из хода доказательства теоремы 1.2.1 стало

ясно, что введение экстремальной характеристики (1.2.1) обусловлено

неравенством (1.2.7), откуда вытекала оценка сверху и дело свелось к

получению аналогичной оценки снизу. Таким образом, задача свелась к тому,

(V)

чтобы среди функций класса Ь2 найти функцию, для которой оценка снизу совпадала бы с оценкой сверху. Естественно, возникает задача об обобщении полученных результатов. С этой целью вводим в рассмотрение следующие экстремальные аппроксимационные характеристики

г (h) 2m/2nr ■ En(f)

Xm,n,r,p(h) = SUp --г, (1.3.1)

f ^ I 2 h / \ \

f(r)=const (wj tnm f {r),t)dt\

где m,n G N, r G Z+, p > 0 и h > 0 - произвольное число. Отметим, что аппроксимационные характеристики более общего вида для обычных модулей непрерывности m-го порядка (1.1.5) рассмотрены в работах М.Ш.Шабозова [56] и М.Ш.Шабозова, Г.А.Юсупова [59]. Используя обобщенный модуль непрерывности (1.1.8) и вычислив верхнюю грань по всем функциям f G Lp, мы определим точное значение величины (1.3.1). Сформулируем основной результат этого параграфа.

Теорема 1.3.1. Пусть m,n G N, r G Z+, 0 < p < 2 и h - произвольное число, удовлетворяющее условию 0 < h < n/n. Тогда имеют место равенства

i h

Xm,n,r,p(h) = < h2/1 (1 - sine nt)mp/2 dt

I 0

Доказательство. При доказательстве теоремы 1.2.1 мы доказали, что если функция f G Ь2 имеет формальный ряд Фурье

/(х) ~ а0 + 008 кх + вт кх), 2

к=1

то

то

^ (/Ч*) =2т £ к2грк (1 - 81пе к*)т

к=1

(1.3.2)

где р| = а| + , к > п. Воспользуясь следующим упрощенным вариантом неравенства Минковского (см., например, [30, с.104])

V 2/р\ 1/2

\ то I Л

(*)|2^)) ^ >

чк=п

£ (/ 1л мя)

ук=П уд

/ /

0 < р < 2, Ь > 0, равенством (1.3.2) и схемой рассуждения, приведенной при доказательстве теоремы 1 работы М.Ш.Шабозова [56], получаем

1/р

2

Ь2

Шт (/>

2

н

>( ^ г

О

н

то

2т £ к2грк (1 - это к*)т

к=п

р/2

1/р 1 >

2т/2

2

Ь2

\ р/2

1/р

£ к2грк (1 - 81пе к*)т *2/р) >

к=п /

2т/2

п

то / н х 2/р\ 1/2

то 2 кГР

V

£ Рк ( Ж / * (1 - ^ к^)тр/2 )

к=п \ п /

/ /

(1.3.3)

Таким образом, задача свелась к тому, что требуется доказать, что функция натурального аргумента

Е(к) = кгр у * (1 - зтс к*)тр/2 о

(1.3.4)

н

н

в области Qk,n = {к : п < к < то} является монотонно возрастающей вследствие чего, имеет место соотношение

1п£ ^ (к) = ^ (п). (1.3.5)

Рассмотрим непрерывный аналог равенство (1.3.4), полагая

F (y)= yrp / t (1 - sine yt)mp/2 dt

Дифференцируя по y последнее равенство и замечая, что

d М • ,\mp/2 t d <л ■ ,\mp/2

— (1 — sine yt) =- ■ ~г (1 — sine yt) ' dy y dt

и применяя теорему о среднем значении интеграла, получаем

h h F'(y) = rpyrp—1 У t (1 — sine yt)mp/2 dt + yrp ^ d (1 — sine yt)mp/2 dt 00

h h = rpyrp—1 /t (1 — sine yt)mp/2 dt + yrp—1Jt2d (1 — sine dt =

00

h

= rpyrp—1 j t (1 — sine yt)mp/2 dt+ 0

h

+yrp—4 (1 — sine ht)mp/2 h2 — J d (1 — sine yt)mp/2 d(t2) ¡> =

h

= rpyrp—1 J t (1 — sine yt)mp/2 dt+ 0

h

+yrp—1h2 { (1 — sine ht)mp/2 h2 — (1 — sine ^y)mp/2} > 0,

где £ - произвольное число, удовлетворяющее неравенство 0 < £ < Ь. Таким образом, мы доказали, что Е"(у) > 0 для у > п, а значит имеет место равенство (1.3.5).

Таким образом, из (1.3.3) следует, что в этом случае справедливо неравенство

н х 1/р

2

шт f>

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хоразмшоев Саидджобир Саиднасиллоевич, 2017 год

Список литературы

[1] Абилов В.А., Абилова Ф.В. Некоторые вопросы приближения 2п-перио-дических функций суммами Фурье в пространстве Ь2(2п) / Абилов В.А., Абилова Ф.В // Матем. заметки. 2004. Т.76, №6. С.803-811.

[2] Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2 / Айнуллоев Н // Докл. АН ТаджССР. 1985. Т.28, №6. С.309-313.

[3] Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в Ь2 / Айнуллоев Н // Докл. АН ТаджССР. 1984. Т.27, №8. С.415-418.

[4] Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2 / Айнуллоев Н // В сб.: Применение функционального анализа в теории приближений, 1986. С.3-10.

[5] Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в Ь2 / Бабенко А.Г // Матем. заметки. 1986. Т.39, №5. С.651-664.

[6] Бабенко А.Г., Черных Н.И., Шевалдин В.Т. Неравенства Джексона-Стечкина в Ь2 с тригонометрическим модулем непрерывности / Бабенко А.Г., Черных Н.И., Шевалдин В.Т // Матем. заметки. 1999. Т.65, №6. С.928-932.

[7] Бердышев В.И. О теореме Джексона в Ьр / Бердышев В.И // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.3-16.

[8] Вакарчук С.Б. К-функционалы и точные значения «-поперечников некоторых классов из Ь2 / Вакарчук С.Б // Матем. заметки. 1999. Т.66, №4. С.494-499.

[9] Вакарчук С.Б. О наилучших полиномиальных приближениях в Ь2 некоторых классов 2п-периодических функций и точных значениях их «-поперечников / Вакарчук С.Б // Матем. заметки. 2001. Т.70, №3. С.334-345.

[10] Вакарчук С.Б. О наилучших полиномиальных приближениях 2п-периодических функций и точных значениях n-поперечников функциональных классов в пространстве L2 / Вакарчук С.Б // Укр. мат. журн. 2002. Т.54, №12. С.1603-1615.

[11] Вакарчук С.Б., Щитов А.Н. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 и поперечники некоторых классов функций / Вакарчук С.Б., Щитов А.Н // Укр. мат. журн. 2004. Т.56, №11. С.1458-1466.

[12] Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из L2 / Вакарчук С.Б // Матем. заметки. 2005. Т.78, №5. С.792-796.

[13] Вакарчук С.Б. Неравенство типа Джексона и поперечники классов функций в L2 / Вакарчук С.Б // Матем. заметки. 2006. Т.80, №1. С.11-18.

[14] Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. Widths of function classes from L2 and exact constants in Jackson type inequalities / Vakarchuk S.B., Zabutna V.I // East Journal on Approximations. 2008. V.14, №4. P.411-421.

[15] Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Точное неравенство типа Джексона-Стечкина в L2 и поперечники функциональных классов / Вакарчук С.Б., Забутная В.И // Матем. заметки. 2009. Т.86, №3. С.328-336.

[16] Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства типа Джексона-Стечкина для специальных модулей непрерывности и поперечники функциональных классов в пространстве L2 / Вакарчук С.Б., Забутная В.И // Матем. заметки. 2012. Т.92, №4. С.497-514.

[17] Васильев С.Н. Точное неравенство Джексона-Стечкина в L2 с модулем непрерывности, порожденным произвольным конечно-разностным оператором с постоянными коэффициентами / Васильев С.Н // Докл. РАН. 2002. Т.385, №1. С.11-14.

[18] Есмаганбетов М.Г. Поперечники классов из L2[0,2п] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона / Есмаганбетов М.Г // Матем. заметки. 1999. Т.65, №6. С.816-820.

[19] Жук В.В. Некоторые точные неравенства между равномерными приближениями периодических функций / Жук В.В // ДАН СССР. 1967. Т.201. С.263-266.

[20] Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp / Иванов В.И., Смирнов О.И // - Тула: ТулГУ. 1995. 192 с.

[21] Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом / Иванов А.В., Иванов В.И // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т.16, №4. С.180-192.

[22] Коlmоgогоff A.N. Über die besste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen / Коlmоgоrоff A.N // Ann. of Math. 1936. V.37. P.107-110.

[23] Корнейчук Н.П. Точная константа в теореме Д.Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций / Корнейчук Н.П // Докл. АН СССР. 1962. Т.145, №3. С.514-515.

[24] Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения / Корнейчук Н.П //- М.: Наука 1987. 424 с.

[25] Корнейчук Н.П. О точной константе в неравенстве Джексона для непрерывных периодических функций / Корнейчук Н.П // Матем. заметки. 1982. Т.32, №3. С.669-674.

[26] Lebesgue H. Sur la representation trigonometrique approchee des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz / Lebesgue H // Bull. S. V. F. 1910. V.38. P.184-210.

[27] Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2 / Лигун А.А // Матем. заметки. 1978, №6. С.785-792.

[28] Лигун А.А. О точных константах в неравенствах типа Джексона / Лигун

A.А // Матем. заметки. 1985. Т.38, №2. С.248-256.

[29] Лигун А.А. Точные неравенства типа Джексона для периодических функций в пространстве L2 / Лигун А.А // Матем. заметки. 1988. Т.43, №6. С.757-769.

[30] Pinkus. A. n-Widths in Approximation Theory / Pinkus. A // - Berlin: Springer-Verlag. 1985. 291 p.

[31] Потапов М.К. О применении одного оператора обобщенного сдвига в теории приближений / Потапов М.К // Вест. Моск. ун-та. Сер.1. Матем. мех. 1998, №3. С.38-48.

[32] Руновский К.В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp, 0 < p < 1 / Руновский К.В // Матем. сборник. 1984. Т.185, №8. С.81-102.

[33] Руновский К.В. Прямая теорема о приближении "углом"в пространстве Lp, 0 <p< 1 / Руновский К.В // Матем. заметки. 1992. Т.52, №5. С.93-96.

[34] Саидусайнов М.С. О точных значениях n-поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана B2,Y / Саидусайнов М.С // ДАН РТ. 2010. Т.53, №6. С.420-423.

[35] Сендов Б., Попов В. Усредненные модули гладкости / Сендов Б., Попов В // - М.: Мир. 1988.

[36] Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Lp, 0 < p < 1 / Стороженко Э.А., Кротов

B.Г., Освальд П // Матем. сборник. 1975. Т.98(140), №3(11). С.395-415.

[37] Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из Ь2 / Тайков Л.В // Матем. заметки. 1976. Т.20, №3. С.433-438.

[38] Тайков Л.В. Наилучшее приближение дифференцируемых функций в метрике пространства L2 / Тайков Л.В // Матем. заметки. 1977. Т.22, №4. С.535-542.

[39] Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 / Тайков Л.В // Матем. заметки. 1979. Т.25, №2. С.217-223.

[40] Тайков Л.В. Наилучшие приближения в L2(0, 2п) классов периодических функций с производными ограниченной вариации / Тайков Л.В // Матем. заметки. 1980. Т.28, №2. С.239-242.

[41] Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений / Тихомиров В.М // Усп. матем. наук. 1960. Т.15. Вып.3. С.81-120.

[42] Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений / Тихомиров В.М // - М.: Изд-во МГУ. 1976. 304 с.

[43] Foucart S., Kryakin Yu. and Shadrin A. On the exact constant in the Jackson-Stechkin inequality for the uniform metric / Foucart S., Kryakin Yu. and Shadrin A // Constr. Approx. 1999. Vol.65, №6. PP.157-179.

[44] Хоразмшоев С.С. О наилучшем приближение периодических функций и значение поперечников множеств в L2 / Хоразмшоев С.С // ДАН РТ. 2011. Т.54, №2. С.90-95.

[45] Хоразмшоев С.С. О наилучшем приближении периодических функций и значении поперечников некоторых классов функций в пространстве L2 / Хоразмшоев С.С // ДАН РТ. 2011. Т.54, №4. С.270-278.

[46] Хоразмшоев С.С. Наилучшее приближение периодических функций и значение поперечников классов функций в L2 / Хоразмшоев С.С // Задачи математического анализа, теории функций, дифференциального

уравнения и ее приложения. Материалы респ. научн.конф. посв. 80-летию Душанбинского педагогического университета. 2011. С.100-103.

[47] Хоразмшоев С.С. О значении поперечников классов периодических функций в пространстве Ь2 / Хоразмшоев С.С // Современные проблемы математического анализа и теории функций. Материалы межд. науч. конф., посв. 60-летию академика АН РТ Шабозова М.Ш. Душанбе 29-30 июня 2012 г. С.182-184.

[48] Хоразмшоев С.С. О наилучшем приближение периодических функций в пространстве Ь2 / Хоразмшоев С.С // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы теории функций и дифференциальных уравнений 17-18 июля 2013. - Душанбе: Дониш. С.145-147.

[49] Хоразмшоев С.С. Аппроксимация периодических функций и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Ь2 / Хоразмшоев С.С // Материалы международной научной конференции „Современные проблемы математики и ее преподавания", посвященной 20-летию Конституции Республики Таджикистан. 28-29 июня 2014. Худжанд: Меъроч. С.104-106.

[50] Хоразмшоев С.С. Точное неравенство Джексона - Стечкина и значения поперечников классов функций в Ь2 / Хоразмшоев С.С // ДАН РТ. 2015. Т.58, №4. С.279-284.

[51] Хоразмшоев С.С. О наилучшем приближении периодических функций в пространстве Ь2[0, 2п] / Хоразмшоев С.С // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений"- Душанбе, 27-28 апреля 2015. С.56-57.

[52] Хоразмшоев С.С. О значении поперечников классов периодических дифференцируемых функций в пространстве Ь2 / Хоразмшоев С.С // Труды международной летней математической Школы-Конференции

С.Б.Стечкина по теории функций (Таджикистан, Душанбе, 15-25 августа 2016 г.). С.191-194.

[53] Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 / Черных Н.И // Матем. заметки. 1967. Т.2, №5. С.513-522.

[54] Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 / Черных Н.И // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.71-74.

[55] Шалаев В.В. О поперечниках в L2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков / Шалаев В.В // Укр. матем. журнал. 1991. Т.43, №1. С.125-129.

[56] Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О поперечниках классов периодических функций в пространстве L2[0, 2п] / Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш // ДАН РТ. 2006. Т.49, №2. С.111-115.

[57] Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L2[0, 2п] / Шабозов М.Ш // Матем. заметки. 2010. Т.87, №4. С.616-623.

[58] Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2 / Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б // Analysis Mathematica. 2012. V.38. P.147-159.

[59] Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Неравенства между наилучшими приближениями и усреднениями модулей непрерывности в пространстве L2 / Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А // ДАН России. 2010. Т.435, №2. С.178-181.

[60] Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников / Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А // Матем. заметки. 2011. Т.90, №5. С.764-775.

[61] Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Точные константы в неравенстве типа Джексона и точные значения поперечников некоторых классов функций в L2 / Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А // Сибирский матем. журн. 2011. Т.52, №6. С.936-948.

[62] Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. Widths of certain classes of periodic functions in L2 / Shabozov M.Sh., Yusupov G.A // J. of Approximation Theory. 2012. V.164. P.869-878.

[63] Юссеф Х. О наилучших приближениях функций и значениях поперечников классов функций в L2/ Юссеф Х // Применение функционального анализа в теории приближении, Сб. научн. тр. -Калинин. 1998. С.100-114.

[64] Юсупов Г.А. О точных значениях поперечников некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L2[0, 2п] / Юсупов Г.А // ДАН РТ. 2008. Т.51, №12. С.810-817.

[65] Юсупов Г.А. Точное неравенство типа Джексона-Стечкина и поперечники функциональных классов в L2 / Юсупов Г.А // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып.2. С.124-135.