Некоторые вопросы теории приближения в весовых пространствах Бергмана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Саидусайнов, Муким Саидусайнович

• Саидусайнов, Муким Саидусайнович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Саидусайнов, Муким Саидусайнович

Введение.

Глава I. Наилучшее приближение аналитических функций в весовом пространстве Бергмана.

§1.1. Общие сведения и вспомогательные факты.

1. Пространство Бергмана £?9і7(і)).

§1.2. О наилучшем полиномиальном приближении аналитических функций в весовом пространстве Бергмана Вчл

§1.3. О наилучшем приближении полиномами аналитических функций /(г) Є ^2,7) структурные свойства которых определяются модулями непрерывности 771-ГО порядка.

§1.4. О наилучшем полиномиальном приближении функций /(г) Є і?2)7, структурные свойства которых определяются обобщенными модулями непрерывности т-го порядка

§1.5. О некоторых обобщениях результатов о наилучшем полиномиальном приближении функций /(г-) є І?2,7 структурные свойства которых определяются усредненными модулями непрерывности о;т(/,£)я27 и Пт(/,і)в2>7.

§1.6. Неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве

Бергмана

Глава II. Поперечники некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана 1 < д < оо

§2.1 Основные обозначения и определения. Классы функций.

1. Определение п-поперечников

2. Определение классов функций

§2.2. Верхние грани наилучших приближений классов Т{К) и

Ф) полиномами в пространстве В2Л

§2.3. Точные значения п-поперечников некоторых классов функций

§2.4. Наилучшие линейные методы приближения и значения ппоперечников одного класса функций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы теории приближения в весовых пространствах Бергмана»

Диссертационная работа посвящена вычислению точных значений поперечников некоторых классов аналитических в круге функций и построению наилучших линейных методов приближения в весовых пространствах Бергмана. Хорошо известно, что в экстремальных задачах теории приближения функций важную роль играют точные неравенства, содержащие оценки величины наилучшего полиномиального приближения посредством усредненных значений модулей непрерывности высших порядков производных функций. Эти неравенства, с одной стороны, позволяют установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций, с другой стороны, для соответствующих классов функций дают оценку сверху поперечников.

Вычислению точных значений различных п-поперечников классов функций, аналитических в круге, посвящен целый ряд работ. Первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских п-поперечников в пространстве Харди, принадлежат В.М.Тихомирову [47] и Л.В.Тайкову [46]. В дальнейшем эта тематика нашла свое отражение в работах М.З.Двейрина [16], Ю.А.Фаркова [50], Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [1], С.Д.Фишера и М.И.Стесина [52], С.Д.Фишера и К.А.Миччели [51], А.Пинкуса [32], С.Б.Вакарчука [6], М.Ш.Шабозова [56-58], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [59], Г.А.Юсупова [77-79], М.Р.Лангаршоева [27] и многих других.

В данной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами в весовом пространстве Бергмана и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, гельфандовского, линейного и проекционного п-поперечников для различных компактных классов функций с ограниченными по норме пространстве производных и классов функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков в пространстве 1 < д < оо, 7 = 7(И) > 04

Основной целью данной работы является:

1. Указать новые точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями аналитических в круге функций и усредненными модулями непрерывности в весовом пространстве Бергмана 1 < <7 < °о.

2. Найти точное неравенство типа А.Н.Колмогорова для норм промежуточных производных функций через норму самой функции и норму ее старшей производной в пространстве В2,7.

3. Найти точные значения бернштейновских, колмогоровских, гель-фандовских, линейных и проекционных п-поперечников для классов функций, определяемых модулями непрерывности.

4. Найти наилучший линейный метод приближения, реализующий точное значение линейного п-поперечника для классов аналитических в круге \г\ < Я, В, > 1 функций с ограниченной по норме производной в пространстве Вял, 1 < д < оо.

Основные результаты диссертации обсуждались на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008 г.), на международной научной конференции, посвященной 105-летию академика С.М.Никольского (Москва, МГУ, 17-19 мая 2010г.), на международной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [34-36, 66, 72, 75]. В совместных работах [66, 72, 75] М.Ш.Шабозову принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.

Приведем краткий обзор результатов, полученные в диссертационной работы.

В первом параграфе первой главы приводятся основные определения и вспомогательные факты, используемые в дальнейшем.

Будем рассматривать пространство Бергмана функций /(г) аналитических в единичном круге \г\ < 1 с конечной нормой . \ 1/9

11/1к, = к //т(ИН/М19<ь

V И<1 У со,

1) где 7(|.г|) - положительная суммируемая в круге \г\ <1 весовая функция.

Очевидно, что норму (1) можно записать в виде 1/9 Д

9,7 н 1 2тг \ к 0 0 оо, 1 < д < оо.

2)

Величину вир где

Ь>тШ)в,„ = вир {||Дт(/, •, •, Л)|\вч„ : Щ < *} = 1/«

0 0 / ТП

Ат(/; р,«, Л) = Е (-1)^/

121 у/«

3) 0

- разность т-го порядка функции / (ре^) по аргументу £ с шагом /г, назовем интегральным модулем непрерывности т-го порядка. Для любых г е N через у(г)(/г) = сГ//сЬг обозначим обычную производную, а символом /^(г) = дг f (ре1*) / дУ, 0 < р < 1 обозначим производную г-го порядка по аргументу функции /(*), Ш = {й^Уа, г е М, = /'И - гг.

Множество алгебраических комплексных полиномов степени не выше п обозначим через 7Величину

Епи)вчп = ^{II/ ~ Рп-А\вч„ ■ Рп-1 е Тп-г} назовем наилучшим приближением функции /(г) Е Вча множеством Тп-Символом (1 < д < сю, 0 < Я < 1) обозначим пространство аналитических в круге < Я функций /(г) € для которых

Н/(-)1к7.д = ||/(Л-)1к7<оо.

Введем также обозначения: {/(г) <Е Вч {/(*) е вчл : \\№\\Вд,7 < оо} , 1 < д < со.

Сформулируем основные результаты второго параграфа первой главы. Теорема 1.2.2. Для произвольного полинома рп(г) 6 Д^, 1 < Я < ею, у которого производная т-го порядка по аргументу € Врпд, справедливо неравенство

Рп(-))1ш)||В]< Л" • Пга • ||р„||в„. (4)

Неравенство (4) точно в том смысле, что существует комплексный полином рп(г) (Е для которого оно обращается в равенство.

Неравенство (4) является обобщением известного неравенства С.Н.Бернштейна для алгебраических комплексных полиномов в весовом пространстве Вдл, 1 < д < сю.

Теорема 1.2.3. Для произвольной функции /(г) 6Е Вчлд, (1 < д < оо, О < В, < 1), у которой f^n\z) € ВЪ1,1 < д < оо, имеет место точное неравенство

ЕМ)в^н<11п-п-™-Еп{^) (5)

Ч1У

Знак равенства в (5) реализует функция /о(-г) = ¿п.

В третьем параграфе первой главы изучается задача о наилучшем полиномиальном приближении аналитических в единичном круге функций, структурные свойства которых характеризуются усредненными модулями непрерывности ш-го порядка обычных производных г-го порядка функций н в пространстве #2,7 • Зависимость наилучших приближений Еп(/)в2~, от усредненных с положительным весом модулей непрерывности порядка га выражается следующей теоремой.

Теорема 1.3.1. Для любой функции /(г) е у которой гГ п при всех т, п, г М, п > г и любых 0 < к < п/п, 0 < /3 < 7г; при О < V < 2п\в.[п/(п — г)] ([а] - целая чаешь числа а), справедливо точное неравенство

1 к

К, < ^-й-, (6)

22та2пг • ¡Бт2то(п*/2) вт о где апг = п(п — 1 )(п — 2) • • ■ (п — г + 1) = п\[{п — т)!]-1, п > г. Равенство в соотношении (6) реализует функция = гп 6= #2,7

При решении некоторых задач теории приближения вместо модуля непрерывности 1 < Ц < оо иногда удобнее использовать следующую эквивалентную характеристику

О О

1/9 г > 0, (7) где

К = (Ль Л2>ад, АГ - К О • - ■ О А1т, А у (ре*) = Дре*^) - Дре^). Известно, что для всех 1 < д < оо, Г2т(/, х о;ш(/,

Среди экстремальных задач теории полиномиальных приближений аналитических в круге функций в весовом пространстве 1 < # < оо одной из наиболее важных задач является вычисление точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина

ВДН, < X • • ит(гг^г\т/п)В1^ ге^т>0, где ит - некоторая характеристика гладкости функции / (г) € Д?^, например шт или % - некоторая константа.

В четвертом параграфе первой главы вводится в рассмотрение экстремальная характеристика следующего вида

1Ст,п,г,р(*) = 8иР ' апгЕп(/)в2п

I и*т{гг^\и/п)<1ч

-щ- : / Є В

2,7 где ит - характеристика гладкости функции /(г) Е IIт — шт или ит = Имеет место следующая

Теорема 1.4.1. Пусть т, п £ М, г Е 0<p<2u0<t<^г. Тогда справедливы равенства тр ш / \ ^ г1!) к0 4 у и

-1 /р

8)

В частности,

Г , , , I \^-Т((тр + 1)/2)\~11р (Ж' '"> " 2'" \ Г ((тр)/2 + 1) / где Г (6) - гамма-функция Эйлера, т,п,г,2/т ^ш) = - бШ)]'42 .

9)

Равенства (8) и (9) для периодических дифференцируемых функций / Є 27г] доказаны, соответственно, М.Ш.Шабозовым [76] и С.Б.Вакарчуком

12].

Основным результатом пятого параграфа является следующая Теорема 1.5.1. Пусть т, п Е М, г Є 0<р<2и0<і< 7г/п. Тогда справедливы равенства { \ ( віпи\тр/2 Пш) = 2~т'2 | ¡(1 - — ] йи

В частности,

К-т,п,г,2/т ^ш) = № ~ Зі(і)} г/2 ь где Si{t) == 16~1ътв(16 - интегральный синус. о

С начала XX в. особый интерес у многих математиков, начиная с Э.Ландау, Ж.Адамара, Г.Харди, Дж.Литтльвуда, А.Н.Колмогорова, вызывает получение точных неравенств для норм промежуточных производных функций через норму самой функции и норму ее старшей производной. Несомненный интерес данная задача представляет и в банаховых пространствах аналитических в круге функций.

Заключительный шестой параграф первой главы посвящен доказательству неравенств между нормами последовательных производных или неравенствам типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана

Теорема 1.6.1. Пусть к,г е М, 1 < к < г. Для произвольной /(г) е #2^7,0 имеет место неравенства типа Колмогорова и/Мк, < \rnlT ■ «лис, ■ (1о)

Неравенство (10) является точным в том смысле, что существует функция из класса В^ а) которая обращает (10) в равенство.

Теорема 1.6.2. Пусть к, г £ М, 1 < к < г. Тогда для произвольной функции f(z) Е а справедливо неравенство типа Колмогорова

Еп (/<-*>)В2л < (Еп твХФ • , (11) точное в том смысле, что существует функция Е. В2Л, которая обращает неравенства (11) в равенство.

Вторая глава состоит из четырех параграфов, и в ней рассматривается задача определения точных значений различных п-поперечников классов аналитических функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана Д?,751 < д < оо. Прежде чем сформулировать основные результаты второй главы, напомним необходимые обозначения и определения, приведенные в первом параграфе второй главы.

Пусть X - произвольное банахово пространство; 5 - единичный шар в нем; 9Я - некоторое выпуклое центрально-симметричное множество в X;

Ln С X-n - мерное линейное подпространство; Ln С X - подпространство коразмерности n; С(Х, Ln) - множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих X в Ln; CL(X, Ln) - подмножество проекторов в

Цх,ьп).

Приближение фиксированного множества 9Я С X фиксированным подпространством Ln С X определяется величиной

Еп(Ш)х = Е(Ш, Ln)x sup {inf{||/ - tp\\x : tp £ Ln} : f G Ш} . (12)

Величина sn{m)x = s{dK,Ln)xdM inf{sup{||/ - A(f)\\x : fem}: Л С C(X,Ln)} (13) характеризует наилучшее линейное приближение множества 9Я элементами подпространства Ln С X. Линейный оператор А*(А* С £(X,Ln)), если он существует и реализует в (13) точную нижнюю грань, является наилучшим для Ш линейным методом приближения; inf{suP{||/ - Af\\x : / G Ш} : А С CL(X, Ln)} (14)

- наилучшее приближение множества Ш1 С X проекторами в пространстве X. Очевидно, что для величин (12)-(14), согласно определению, выполняется соотношение

Еп{Ш)х < еп{Ш)х < £i(Wl)x. (15)

Величины

Ьп{т,Х) = sup{sup{£ > 0 : eSfl Аг+i С Ш} : Ln+1 С X}, (16) <Г(Ш,Х) = inf{suP{||/|U :feWlf]Ln}:Ln С X}, (17) dn(m, X) inf{Е(Ш, Ln)x :Ln d X}, (18)

6п(ЯП, X) = Ы{8(Ш, Ьп)х : Ьп С X},

19)

7ГП(Ш1, X) = т^рШ, £п) ■. Ьп а X} (20) называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмого-ровским, линейным и проекционным п-поперечниками.

Если существует подпространство Ь*п+Ъ на котором достигается точная верхняя грань в (16), и существуют подпространства ЬП} на которых достигаются внешние точные нижние грани в (17)-(20), то такие подпространства называют экстремальными для соответствующих п-поперечников (16)-(20). Очевидно, что между величинами (16)-(20) выполняются соотношения

Ьп(Ш: X) < X) < х) < ^ х) и, если X - гильбертово пространство, то ьп(ш, х) < ап{ш, х) < ап(т, х) = 5п(ж, х) = х).

Введем классы функций, которые естественным образом появляются из результатов о наилучшем приближении аналитических функций в параграфах 1.1-1.5 первой главы.

Пусть Ф(£),£ > 0 - произвольная возрастающая непрерывная функция, такая, что Ф(0) = 0. Исходя из результатов третьего параграфа, для т,п, г Е М, п > г, 0 < V < 2п\п[п/(п — г)], 0 < /г < 7г/п, 0 < /5 < 7г определим классы функций

Т{Л;) Т{т, п, г, V, /3,7; К) = г) 6 Я2г,7 : /]< : о о

Ф) := Т(т, п, г, и, /3,7; Л, Ф) =

1 /I

М € В\а : //< Ф(Л) о о

Через И^ (Ф), г € N обозначим класс аналитических функций /(2:) 6 г)

2,7, удовлетворяющих условию х1/2

0 /

Для т 6 М, г 6 через И^а(Ф) обозначим класс аналитических / \ функций /(2) 6 #2,7,а> Для которых при любом £ > 0 выполняется условие 1/2 а через И^^Ф), т £ М, г £ 1/г < р < 2 обозначим класс аналитических функций /(г) £ удовлетворяющих условию

Наконец, в заключительном четвертом параграфе второй главы, для любого шбМи1<р<оо, вводим в рассмотрение класс аналитических в круге \х\ < Я, Я > 1 функций {/ : /(т,М 6 Яр,Я, ||/(т)||яр,д < 1} •

Вычислению точных значений п-поперечников классов аналитических в круге функций в различных банаховых пространствах функций посвящен целый ряд работ. Первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских поперечников в пространстве Харди Нр (1 < р < со), принадлежат В.М.Тихомирову [47] и Л.В.Тайкову [46]. Указанные исследования нашли дальнейшее развитие в работах Н.Айнуллоева [1], М.З.Двейрина [16], С.Д.Фишера и М.И.Стесина [52], А.Пинкуса [32], Ю.А.Фаркова [50], С.Б.Вакарчука [6], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [59], Г.А.Юсупова [77] и многих других.

Во втором параграфе второй главы вычислены точные верхние грани наилучших приближений функций и ^(Ф, К) в пространстве -62,7- Введя обозначение , к ^ -1/2

ЛК) =

Iъш2т(пг/2) Б^фь/Ь)^ сформулируем основной результат этого параграфа.'

Теорема 2.2.1. При всех натуральных т,п,г, п > г, и > 0, 0 < к < 7г/п, 0</3<7г справедливы равенства 2-т . • ЛК), SL{HK ф), Тп-1 )в2п = 2"т ■ а"1 ■ ЛК) ■ Ф{К).

Третий параграф второй главы посвящен вычислению точных значений п-поперечников классов аналитических функций И^0(Ф) и $р(Ф) в пространстве £?2,7.

Теорема 2.3.1 Для любых п, г £ К, п > г и 1 < р < оо, р 6Е (0,1) имеет место равенство ап(В(%а, ВРП) = рп ■ п-, где <уп{') - любой из п-поперечников (16)-(20).

Следуя С.Б.Вакарчуку [12], через обозначим величину аргумента х £ (0, оо) функции этж/гс, при которой она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, есть наименьший из положительных корней уравнения х = tgж (4,49 < < 4, 51). При этом полагаем

Л этаЛ Г эта; Л ^ эт^ "I

I 1--] := < 1--, если 0 < х < ¿*; 1--, если х > т* > . х / * \ х J

Теорема 2.3.3. Пусть при некотором п £ N мажорирующая функция

Ф(£) удовлетворяет ограничению ní / ч

Ф2(тг/2п) - тг/2 - 5г(тг/2) где Зг{Ь) = J х 1вт хв,х - интегральный синус. Тогда для этого п и всех о г £ N выполнены равенства 1 ф(^) апг ^/тг - 25г(тг/2) \2п)

Здесь 7п(-) - любой из поперечников (16)-(20). Множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (21), не пусто.

Теорема 2.3.4. Пусть т,п £ N. Если при любых £ 6 (0, оо) мажоранта Ф(£) удовлетворяет условию т

Ф(7г/та) то для г € справедливы равенства 7п«)а(Ф )>В2|7)=2-т/2.п"г+1/2

1/2

22) гп

-1/2

• Ф * где 7п(-) - любой из п-поперечников (16)-(20). Множество мажорант {Ф(£)}, удовлетворяющих ограничению (22), не пусто. Этому условию удовлетворяет, например, функция

7Г / • 1\ Ш

1-^) Л.

В следующей теореме положено эт^)* — {вт^, если 0 < ^ < 7г/2; 1, если £ > 7г/2}. Теорема 2.3.5. Пусть т,п € М, г £ 1/г < р < 2. Если для 0 < £ < 7г/п мажоранта Ф(£) удовлетворяет ограничению фр{г) Фр(тг/п)

- / Гт) тпр

-1

К)>

23) то справедливы равенства

2"' |Г ((т.р + 1)/2) } '

ПГ V Н' / где Г(а) - гамма-функция Эйлера, а 7П(-) ~~ любой из п-поперечников (16)-(20). Условию (23) удовлетворяет, например, функция

7Г ф**й = где а := тг/ / ^т - j

Четвертый параграф второй главы посвящен вычислению точных значений п-поперечников (16)-(20) классов аналитических в круге радиуса В > 1 и построению наилучших линейных методов приближения для класса И^(1<р<оо,Д>1).

Предварительно введем некоторые определения и обозначения, касающиеся этого параграфа. Пусть А(11л) - множество аналитических в круге Не = {г £ С : \г\ < Я}, (С/х := и) радиуса В > 1 функций. Для произвольной функции / 6 А{и^) при р £ (О, В) полагаем

Мр{1, Р) й~

2тг \ 1/Р если 1 < р < ОО, гпах {|/(рег*)| : Е [0, 27г]} , если р = оо. Символом Нрд, 1 < р < оо, Л > 1 обозначим банахово пространство Харди, состоящее из функций / е А(С/д), для которых конечна норма яр,л = рНтоМр(/,р).

Через Ьр = Ьр(и) обозначим множество функций / Е /7, имеющих конечную норму

- 12. \1/Р

11/1к = о-// = -// р|/(ре«)|^ , (У) У V 0 о / где интеграл понимается в смысле Лебега.

Пусть 7(|г|) - некоторая неотрицательная измеримая в и функция. йе /

Через Ьр)7 = Ьр(и, 7), 1 < р < оо обозначим множество комплекснозначных в и функций /, для которых 7Х/р • / е Ьр(17) и Ц/Ц^ = ||71/рЛир- Под Врл *= Вр(и, 7), 1 < р < оо понимаем банахово пространство функций / £ таких, что / € При этом

ВРП

1 \ I/ Р7 {р)Щи,р)(1р

Определенный интерес представляет вычисление вышеперечисленных п-поперечников (16)-(20) классов И^д, Л > 1, 1 < р < оо, т 6 N в пространствах Вр)7 и Конкретизируем экстремальные подпространства 1 и наилучший линейный метод приближения Л*, полагая л ^ П=1 а*. ь. с/е/ п

М-Го1,

3= о 3=ГП

771 — 1 гг-1 ь; ^ {/ Е врл : /<*>(0) = о, А; = 0^1} , аз,т

2п-з,т V )

3=т)

2 (п-Я Тп = 1рп{г) : Рп{г) = £ «аД При получении основного результата понадобится следующая лемма, которая представляет и самостоятельный интерес.

Лемма. Для любого полинома рп(г) Е ВРП, 1 < р < оо; у которого производная р^ (г) Е 1 < р < оо при любом п > г и Я > 1, справедливо неравенство

Лнр,п < Яп~г ■ <*пг • \\Рп\\вр„. (24)

Неравенство (24) является точным в том смысле, что существует полином цп(г) Е Тп, для которого оно обращается в равенство.

Теорема 2.4.1. Пусть В, > 1, 1 < р < оо, г Е N. Тогда имеют место п равенства

Ъп(УУр){] Врл) = Ъп(у\Грд] Ьрл) = г). ^{У/^Ъ- Врл) = с1п{У/^ ЬРЛ) = ^(И^; Ьрл) = г).

А»*) = Ь*п)Ьрп = Ь*п)Ьр„ =

Лг). г) оо, яг~п а

ВТ пг —п р^ЧШР і /р а п < г п > г, 1 < р < оо, п > г, р = оо. пг

Дри этом:

1) в случае п-поперечников (іп{у/рд\ Ьрл) и ^піУ^р^ю подпространство Ь*п является экстремальным для класса И^д в пространстве Ьра;

2) линейный непрерывный оператор Л*.! является наилучшим для класса г) д линейным методом приближения в пространстве

3) подпространство VI будет экстремальным для п-поперечника

4) подпространство Ьп+і = Тп является экстремальным для Врл).

Теорема 2.4.2. При выполнении условий теоремы 2.4.1 имеет место следующее равенство зир{К(/)|:/Є<>} = ІГ"" где п > г; п, г Є М; Я > 1, 1 < р < оо. а пг

ГЛАВА І

НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Саидусайнов, Муким Саидусайнович, 2011 год

1. Айнуллоев H., Тайков J1.B. Наилучшие приближения в смысле А.Н.Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Матем.заметки, 1986, т.40; №3, с.341-351.

2. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв.АН СССР, 1958, т.22, №5, с.631-640.

3. Белый В.И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге // Укр.мат.журнал, 1967, т. 19, №2, с.104-108.

4. Bergman S. The cernel function and conformai mapping // Math.surveys, N.Y.: Amer.Math.Society., 1950, 163 pp.

5. Вакарчук С.Б. О неравенствах типа Колмогорова для некоторых банаховых пространств аналитических функций. В сб. "Некоторые вопросы анализа и дифференциальной топологии". Киев, 1988, с.4-7.

6. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Укр.мат.журнал, 1989, т.41, №26, с.799-802.

7. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Укр.мат.журнал, 1990, т.42, №7, с.873-881.

8. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций // Матем.заметки, 1995, т.57, №1, с.30-39.

9. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций / / Матем.заметки, 1999, т.65, №2, с.186-193.

10. Вакарчук С.Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения // Матем.заметки, 2002, т.72, №5, с.665-669.

11. Вакарчук С.Б. О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной плоскости // Укр.мат.журн., 2004, т.56, №9, с.1155-1171.

12. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из Ь2 // Матем.заметки, 2005, т.78, №5, с.792-796.

13. Vakarchuk S.B., Zabutna V.l. Widths of function classes from L2 and exact constants in Jackson type inequalities // East Journal on Approximation. Bulgarian Academy of Sciences : Sofia, 2008, v. 14, №4, p.29-39.

14. Гварадзе М.И. О пространствах B(p, д, Л) аналитических функций // Сообщ.АН ГССР, 1975, т.77, №2, с.273-276.

15. Гварадзе М.И. Об одном классе пространств аналитических функций // Матем.заметки, 1977, т.21, №2, с.141-150.

16. Двейрин М.З. Поперечники и е-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге. В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения, вып.23. Изд-во Харьк. ун-та, 1975, с.32-46.

17. Двейрин М.З. Задачи наилучшего приближения классов функций, аналитических в единичном круге. В кн.: Теория приближения функций М.: Наука, 1977, с.129-132.

18. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев: Наукова думка, 1983, с.62-73.

19. Джурахонов O.A. Об одной экстремальной задаче для наилучшего полиномиального приближения некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №10, с.759-764.

20. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М: Наука, 1977, 151 с.

21. Duren P.L., Shields A.L. Properties of Hp, 0 < p < 1 and its containing Banach space // Frans.Amer.Math., 1969, 141, July, p.255-262.

22. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals of Hp spaces with 0 < p < 1 // I. reine und angew für Math., 1969, 238, p.32-60.

23. Корнейчук H.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976, 320 с.

24. Корнейчук Н.П., Лигун A.A., Доронин В.Г. Аппроксимация с ограничениями Киев: Наукова думка, 1982, 252 с.

25. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения М.: Наука, 1987, 424 с.

26. Корнейчук Н.П. О наилучшем равномерном приближении дифференцируемых функций // ДАН СССР,1961, т.141, с.304-307.

27. Лангаршоев М.Р. Значение поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана Вч // Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, №2, с.63-69.

28. Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2005, т.48, №3-4, с.12-17.

29. Лангаршоев М.Р. О наилучшем приближении функций полиномами в пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2006, т.49, №, с.798-802.

30. Лангаршоев М.Р., Саидусайнов М.С. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.50, №8, с.653-659.

31. Лангаршоев М.Р., Саидусайнов М.С. Поперечники некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, №3, с.165-171.

32. Pinkus А. п-width in approximation theory Berlin : Springer - Verlag., 1985.

33. Руновский K.B. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах 0 < р < 1 // Матем.сборник, 1994, т.185, №8, с.81-102.

34. Саидусайнов М.С. Наилучшее полиномиальное приближение и значения поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №9, с.661-668.

35. Саидусайнов М.С. О точных значениях n-поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №6, с.420-423.

36. Саидусайнов М.С. Значения n-поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана / / Изв.АН Республики Таджикистан, Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн.п., 2010, №2(139), с.18-21.

37. Смирнов В.И., Лебедев H.A. Конструктивная теория функции комплексного переменного. М.-Л.: Наука, 1964, 438 с.

38. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наукова думка, 1981, 324 с.

39. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Матем.заметки, 1967, №1, вып.2, с.137-148.

40. Стороженко Э.А., Кропов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах LP, 0 < р < 1 // Матем.сборник, 1975, т.98, №140, с.395-415

41. Тайков JI.B. О наилучших линейных методах приближения функций классов Вг и Нг // Усп.мат.наук, 1963, т.18, Ш, с.183-189.

42. Тайков JI.B. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Матем.заметки, 1967, т.1, №2, с.155-162.

43. Тайков JI.B. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования // Матем.заметки, 1968, Ne4, вып.2, с.233-238.

44. Тайков JI.B. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis Mathematica, 1976, т.2, с.77-85.

45. Тайков JI.B. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из Z/2 // Матем.заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.

46. Тайков JI.B. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем.заметки, 1977, т.22, №2, с.285-295.

47. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Усп.мат.наук, 1960, т. 15, вып.З., с.81-120.

48. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.:МГУ, 1976, 324 с.

49. Тихомиров В.М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Совр.пробл.математики. Фундам. направления / ВИНТИ, 1987, т.11, с.103-260.

50. Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из Сп, Усп.мат.наук, 1990, т.45, №25, с.197-198.

51. Fisher S.D., Micchelli С.A. Duke Math Journal, 1980, V.47, №4, р.789-801.

52. Fisher S.D., Stessin M.J. The n-width of the unit ball of Hq, J.Approxim.Theory, 1991, V.67, 3, p.347-356.

53. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е и Полиа Г. Неравенства. М., 1948, 456 с.

54. Hardy G.H. The mean value of the modulus of an analytic function. Proc.London Math Soc., 1915, 14, p.32-60.

55. Hardy G.H., Littlewood I.E. Some properties of fractional integrals II // Math. Z., 1931, 34, №3, p. 403-439.

56. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических в единичном круге функций // ДАН Республики Таджикистан, 1997, т.40, №9-10, с.54-61.

57. Шабозов М.Ш. О поперечниках в пространстве Харди Н2 классов аналитических функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // ДАН Республики Таджикистан, 1998, т.41, №9, с.48-53.

58. Шабозов М.Ш. Значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // Вестник ХоГУ, 1999, №1, серия 1, с.35-44.

59. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 1999, т.42, №4, с.19-24.

60. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Матем.заметки, 2000, т.68, №5, с.796-800.

61. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // ДАН России, 2002, т.383, №2, с. 171174.

62. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН России, 2002, т.382, №6, с.747-749.

63. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Нр: 1 < р < 2 // ДАН России, 2004, т. 394, №4, с.19-24.

64. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. О наилучшем приближение и точные значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо // ДАН России, 2006, т.410, №4, с.461-464.

65. Шабозов М.Ш., Джурахонов O.A. О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2006, т.49, №9, с.787-797.

66. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2007, т.50, №, с.14-19.

67. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2007, т.50, №3, с.205-211.

68. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближение некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана // ДАН России, 2007, т.412, №4, с.466-469.

69. Шабозов М.Ш., Мамадов Р. О наилучшем полиномиальном приближении целых функций в весовых пространствах Бергмана Д^, l<q<oo // ДАН Республики Таджикистан, 2007, т.50, №5, с.401-408.

70. Шабозов М.Ш. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций в весовом пространстве Бергмана / / ДАН Республики.Таджикистан, 2008, т.51, №5, с.323-330.

71. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, №8, с.564-572.

72. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. О поперечниках классов аналитических в круге функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №2, с.85-92.

73. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана / / Изв АН Республики Таджикистан, Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн.н., 2009, №3(136), с.7-23.

74. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Поперечники некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // Изв АН Республики Таджикистан, Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн.н., 2009, №4(137), с.7-17.

75. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве Х20, 27г. // Матем.заметки, 2010, т.87, вып.4, с.616-623.

76. Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов аналитических функций / / ДАН Республики Таджикистан, 2000, т.ХЫН, №4, с.12-15.

77. Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в протранстве £2(0, 27г. и точные значения п-поперечников // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, №11, с.803-809.

78. Юсупов Г.А. О наилучшем линейном методе приближения аналитических в круге функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, №3, с.172-179.с.88-89.