Неравенства между нормами производных функций с ограничениями на старшую производную тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Зернышкина, Елена Александровна

• Зернышкина, Елена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зернышкина, Елена Александровна

Список обозначений

Введение

1 Неравенство Колмогорова в пространстве I? на числовой оси с односторонней нормой второй производной

1.1 Неравенство Колмогорова в пространстве Ь2(0,1) на классе выпуклых вниз функций.

1.2 Редукция задачи о точной константе в неравенстве Колмогорова с односторонней нормой второй производной в Ь2(Ш) к задаче в Ь2(0,1) на классе выпуклых функций

2 Неравенства между нормой периодической функции и нормой положительной срезки ее производной

2.1 Неравенство между нормой монотонной на отрезке функции и нормой ее производной.

2.2 Оценка снизу для точной константы в неравенстве между нормой периодической функции и нормой положительной срезки ее производной.

2.3 Оценка сверху для точной константы в неравенстве между нормой периодической функции и нормой положительной срезки ее производной.

2.3.1 Оценка сверху для константы в неравенстве Шмидта

2.3.2 Оценка сверху для константы в неравенстве Вир-тингера-Стеклова

2.4 Исследование вопроса существования экстремальной функции

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неравенства между нормами производных функций с ограничениями на старшую производную»

Символом I в дальнейшем будет обозначаться конечный или бесконечный интервал. Пусть 1^(1), 0 < р < оо, есть пространство измеримых функций у с суммируемой на I степенью \у\р, Ь°°(1) — пространство измеримых существенно ограниченных функций на /, а Ь° = Ь°(1) — пространство измеримых функций, у которых суммируема функция 1п+ \у\ = 1п(тах(1, |?/|)). На этих пространствах рассмотрим функционалы х

1ЫЬ<ч = { [ \у(х)\"<1х\ . 0<р<оо, / = к,

Ы\щ«>) = ( ^ / Ых)\Чх

О < р < оо, —оо < а < Ь < +оо,

1Мк~(/) = еэв вир |з/(ж)|, хе!

Ы\Ща*) = ехР ( J Ь|г/(ж)|£2; х^ , —оо < а <Ь < +оо.

Если для функции у € Ь° функция 1п\у\ не является суммируемой, а точнее, (неположительная) функция 1п \у\ = 1п(тт(1, |?/|)) не является суммируемой (например, у обращается в нуль на множестве положительной меры), то в этом случае полагаем \\у\\ь° — 0. Введенные функционалы являются нормами только при 1 < р < +оо .

1. Пусть 1№п(г,р) есть класс функций у £ (К), у которых производная ?/(п-1) локально абсолютно непрерывна и у^ € ЬР(Ж). Обозначим через К = К(п, к,г,р, д) точную (т.е. наименьшую) константу в неравенстве

2/(Ч1и.(пу < ГуЪ^ТпЫ'ПЪщ, у 6 1У"(г,р), к- 1 + 1 (!)

О < к < п, а =-%-гп - 1 + 1 р г

Пусть УУ+(г,р) — класс функций у 6 ЬГ(Ж), у которых производная у{п-1) — локально абсолютно непрерывна и у^ 6 ЬР(Ж): где у^\х) = тах{0, у^п\х)}. Обозначим К+ = К+(п,к,г,р,д) точную константу в неравенстве чь(к) < К+Ь^У'-'П.^,. у € 1Щг,р), 1 (2)

О < к < п. а —-?-гт. п - 1 + 1 р г

Неравенства вида (1) впервые появились в 1912 г. в работе Г. Г. Харди и Дж. Е. Литтльвуда [13]; они показали, что при р = д = г = оои любых п и к (1 < к < п) неравенство (1) имеет место с некоторой конечной константой. Первые точные неравенства (с наименьшими константами) были получены Е. Ландау [15] (для функций, определенных на полуоси) и Ж. Адамаром [12] (для функций, определенных на оси) при п = 2, к = р = д = г = ос. Фундаментальный результат в этой тематике принадлежит А. Н. Колмогорову [8] (см. также [9, с. 252-263]); в 1939 г. он нашел точную константу в неравенстве (1) при р = д = г = оо для всех п и к (1 < к < п). Поэтому неравенства для норм промежуточных производных часто называют неравенствами Колмогорова.

Теорема А (А.Н.Колмогоров). В случае 1 < к < п на классе функций Wn(оо, оо) справедливо неравенство к к !lî/wIU»(i) < л-цг/ц^цумц^^ с точной константой 1

К = К(п, к, оо, оо, оо) = /Сд-^/Сп ,

4 ОО где )Сп = — J2 --7—-г — константы Фавара. Неравенство обращать „=0 (2г/ + l)n+1 етсл в равенство на функциях вида у{х) = с<£>п(аж + 6); где о, 6, с G Ж — произвольные константы, срп есть п-й периодический интеграл с нулевым средним значением от функции <ро(х) — sign sin ж.

Функцию (fin называют идеальным сплайном Эйлера; для нее справедливо представление

4 sin((2^ -f 1)ж - п-к/2) и—0 4 ' а также равенство ||<pn|U°°(]R) —

Б. С.-Надь [17] получил (1941 г.) неравенство (1) с наилучшей константой в случае n == 1, к = 0, р > 1, q > г > 0; это единственный случай, когда точная константа в неравенстве (1) найдена для всех возможных значений параметров р, q, г.

Теорема В (Б. С.-Надь). В случае 1 < р < оо, 0<r<q<ooHa классе функций W1(r,p) справедливо неравенство i i imur) < пу\\щщ\\утщж)> а = ill 11» (3) р г с точной константой где функция Н{и, у) определяется равенствами

ЭД=®"г(1 + »), О(О) = 1- (4)

Неравенство обратится в равенство тогда и только тогда, когда у(х) — сУд,г,р{\ах + где а 0,6, с — произвольные действительные числа, а функция уч,г,р пРи х > О определена следующим образом: и — Уд,г,р{х) является обратной для функции 1 ч Г & х(и) = / т-гт-р, 0 < и < 1; и

Уд,г,р{х) — монотонно убывающая функция, которая в случае г > р всюду положительна, а в случае г < р в точке жо = ж(0) равна нулю; в этом случае полагаем уч^Гф{х) = 0 для х > хо.

Приведем здесь в явном виде вид экстремальных функций (т. е. функций, на которых неравенство обращается в равенство) в неравенстве Надя для случая д = оо. При р = 1 неравенство обращается в равенство только на функциях у{х) таких, что при некотором хо функция \у{х)\ монотонно возрастает для х < и монотонно убывает для х > хо. При р > 1 функция Уоо,г,р ПРИ х > 0 определена следующим образом

Уоо,г,р(Х) = (1 + ж)^, Г > р, (1-®)^, X £ [0, 1],

Уоо,гАХ) = < г <р.

О, Х>1,

В настоящее время большое число работ посвящено исследованию неравенства (1) и его связи с другими экстремальными задачами. Неравенства (1) играют важную роль для многих областей математики и ее приложений — математического анализа, теории аппроксимации (например, в задаче Стечкина о приближении неограниченных операторов ограниченными), теории вложения функциональных пространств, теории неустойчивых задач, в задачах оптимального восстановления и др. Неравенства вида (1) на оси и/или полуоси исследовали В. В. Арестов, В. И. Бердышев, А.П.Буслаев, В.Н. Габушин, Н.П.Купцов, Ю.И.Лю-бич, Е. Ландау, Г. Г. Магарил-Ильяев, А. П. Маторин, Е. Стейн, С. Б. Стеч-кин, Л. В. Тайков, В. Ф. Бабенко, Н. П. Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пи-чугов [4]; более полную информацию о случаях точного решения неравенств колмогоровского типа на оси и полуоси можно найти в обзорных работах [1], [3].

Неравенство Колмогорова обобщалось и исследовалось в различных направлениях. Например, изучаются его "несимметричные" аналоги, когда в неравенстве вместо старшей производной рассматривается ее срезка. Такие "несимметричные" обобщения оказались полезными, в частности, для исследования задач наилучшего одностороннего приближения, а также задач приближения в пространствах с несимметричными нормами (см., например [4], [10]).

Неравенства (2) менее изучены. В работе Л. Хёрмандера [14] 1954 г. исследован (соответствующий неравенству А. Н. Колмогорова) случай р = д = г = оо. В.Н. Габушин [7] получил в 1976 г. точную константу К+ в неравенстве (2) для п = 1, к = 0, р > 1, д > г > 0 (соответствующий неравенству Б. С.-Надя случай), доказав равенство К+ = 2аК. Экстремальной в неравенстве (2) функции в этом случае не существует. Точность константы К+ можно показать, построив экстремальную последовательность дп, взяв неубывающую "половину" экстремальной в неравенстве (1) функции, а именно

В следующей теореме В. Н. Габушина [7] сформулирован критерий существования конечной константы в неравенствах (1) и (2).

Теорема С (В. Н. Габушин). Пусть выполнены условия 0 < р, д, г < оо, О < к < п, причем д ф г, если к = 0. Тогда каэюдое из неравенств (1) и (2) имеет место с конечной константой в том и только том случае, когда выполнены два условия

Известно [5], что в случае, когда в (5) неравенство а) строгое, в неравенстве (1) существует экстремальная функция. Во всех случаях, когда в неравенстве (1) была найдена точная константа для значений параметров, при которых условие а) в (5) обращается в равенство, экстремальной функции не существует, однако можно построить экстремальную последовательность, которая (в определенном смысле) сходится к некоторой периодической функции. Эту функцию называют "идеальной" экстремальной функцией.

В главе 1 диссертации исследуется неравенство (2) при к = 1, п = 2, д = г = р = 2. Множество И^(2, 2) для удобства будем обозначать ]¥+. В рассматриваемом случае неравенство (2) имеет вид

2/<?,Г,р( ж < 0, дп(х-, д, г,р) = (1 - пх)уд,г1Р{0), 0 < ж < ± 0

5)

1 1

Нз/Цхэд < К+\\У\\ЩШ)Ы\\1ЦШ)

У е IV.

6)

В неравенстве (1) в этом случае точная константа К = 1; "идеальными" экстремальными являются функции вида у{рс) = cisinrc + C2COS£, где ci,c2 — произвольные действительные числа; этот результат содержится в книге Харди, Литтльвуда и Полиа [11]. Отметим, что при этих же значениях параметров (р = q = г = 2, к = 1, п = 2) ими в [11] также доказано, что на полуоси М+ соответствующая точная константа в неравенстве (1) равна у/2, экстремальными являются функции вида С\у{с2х), где у(х) = e~x!2sm (^фх — С2 > 0,ci — произвольные действительные числа.

Основным результатом первой главы является следующее утверждение. 2

Теорема 1. Точная константа К+ в неравенстве (6) равна у —, где А — единственный на интервале (0,1) корень уравнения тг + arccos (¿д) 1 j 1 + V2A - А2 V/2TA ~ П 1-А '

Константы А и К+ имеют следующие приближенные значения

А « 0.855580316., К+ ж 1.52891945.

Функции из класса W+, экстремальной в неравенстве (6), не существует. Можно построить экстремальную последовательность, которая "сходится" к 2-периодической функции, определенной на отрезке [—1,1] следующим образом

Y(x) = ехр°cos 43 sin (хро sin <p - ф) - e~xp0 cos v sin (xp0 sin <p + <p), где параметры pq n ip определяются формулами тг + arccos (j^) 1 1 + V2A - А2 ф = - агссоэ ^ 2 и имеют следующие приближенные значения ро « 2.4518446663., <р & 1.0064214208.

Для доказательства этого утверждения и приведенных ниже теорем 3 и 4 использован так называемый метод "очистки" , который приводит к сужению класса рассматриваемых функций; подобная идея применялась ранее в работе В. В. Арестова и В. И. Бердышева [2] в несколько иной ситуации.

2. Обозначим через Н79 пространство абсолютно непрерывных на отрезке [—7Г, 7г] функций у, удовлетворяющих условию у' Е ЬЧ{ —7Г, 7г), а через — множество абсолютно непрерывных на отрезке [—7г, 7г] функций у, для которых = тах{0,7/'} Е Ьч{—7Г, 7г).

Пусть д1 = д1^) — класс 27г-периодических функций у, абсолютно непрерывных на всей числовой оси, сужение которых на отрезок [—7г, 7г] принадлежит пространству УУ9 и для которых выполняется свойство ф2 = (¿2(д) — подобный же класс функций, у которых вместо (7) выполняется свойство и <53 = д3(<?) класс функций, у которых вместо свойства (7) или (8) выполняется свойство шахт/ + шш!/ = 0,

7)

Эхо € [—7Г, тг] : у(хо) = 0,

8)

7Г

7Г

Очевидно, справедливы вложения Q1 С Q2 и Q3 С Q2. Аналогичные классы 27г-периодических функций у Е W+, обладающих свойством (7), (8) или (9) обозначим через Q\ и Q+, соответственно.

Пусть CPiq(QJ) — точная (т.е. наименьшая) константа в неравенстве

Ы у е Q3,

10)

0 < р < ос, 1 < q < оо, j = 1, 2,3. Ясно, что имеет место равенство

СРА{&) = sup {Ф (у) : у eQj, уф 0} , j = 1, 2, 3, (11) где функционал Ф определяется формулой фЛЛ =

Неравенствам вида (10) на различных классах функций посвящены работы многих авторов — В. Виртингера, Э.Шмидта, Г. Бора, Г.Харди, Д. Е. Литтльвуда, Б. С.-Надя, Ж. Фавара, Н. И. Ахиезера, В.И.Левина, С. Б. Стечкина, Н. П. Корнейчука и других (см. [11], [16]).

Неравенство (10) на классах Q1, Q2 (и некоторых других, близких классах) изучал Э. Шмидт [18]. Он доказал, что при 0 < р < оо, 1 < q < оо, неравенство (10) на классе Q1 справедливо с точной константой

CpAQ1) = ^гО '

СоМ) = limC^fg1) =

12)

Р->+о ' 2 V V Я )) где функции Н(и,у) и О (и) определены в (4).

На классе Q2,0 < р < оо,1 < q < оо, точная константа в неравенстве (10) определяется соотношением [18]

Ср,ч(0!2) = 2 Срд^О1). 15

Как показал Шмидт [18], при q ф 1 экстремальные функции неравенства (10) (на которых это неравенство обращается в равенство, или, что то же самое, достигается верхняя грань в (11)) имеют вид у(ж) = с\УРЛ{х + с2) — в случае <21 и у{х) = с\ \Урл (| + с2) | — в случае ф2, где С1,С2 — произвольные константы, а функция Урл определена следующим образом. При р = со, д ф 1 и при 0 < р < оо, д = оо функция Ур1? является 27г-периодической кусочно-линейной с вершинами на [—тт, 7г] в точках (±7Г, 0), (±§, ±1) ■ При 0 < р < оо,д ф 1 функция Уш является решением дифференциального уравнения

Ы + = Ъ (13) и при р = 0, д ф 1 - дифференциального уравнения

14)

1 /1 — V1 где 7 = - , а£б[—1,1]и77>0 связаны соотношениями

Г+ Ы9-1 = 1, рф 0;

1п|*| + М^ = 0, р = 0.

Функция Урл обращается в нуль и достигает экстремальных значений, равных ±1, в тех же точках, что и функция sin х. Она также обладает теми же свойствами симметрии, что и sin ж, кроме того, для всех значений х Е [—7г, 7г] знак функции Yp¡q совпадает со знаком функции sin х. Производная функции Урл обладает свойствами симметрии, обращается в нуль и достигает экстремумов в тех же точках, что и cos ж, знак производной совпадает для всех х Е [—7г, 7г] со знаком cosa;.

В случае д = 1 неравенство (10) строгое — не существует функции из соответствующего класса С£3, ^ = 1,2, на которой неравенство обраща

7г ется в равенство. Точность констант Срд^1) = — и Ср= 7г мож-по показать, рассмотрев последовательность 2тт-периодических кусочно-линейных функций у Гц графики которых на [—7г, тг] являются ломаными с вершинами в точках (±1/п, ±1), (±7г =р 1/п, ±1), (±7г, 0) для случая ; = 1, и в точках (±тг 1/п, 1), (±7Г, 0) для случая 3 = 2.

На классе <53 при р = д = 2 точная константа в неравенстве (10) равна 1. Равенство достигается на функциях вида с\ б1п(ж + С2). Неравенство в этом случае обычно называют неравенством Виртингера (см., например, [11] и [16]). Но еще в работах 1896, 1897гг. В. А. Стекловым установлена справедливость неравенства (10) для непрерывно-дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию (9) или условию равенства функции нулю на концах отрезка, как одномерный случай неравенства Пуанкаре (см. [6, с. 32-33] и приведенные там ссылки на работы В. Д. Стеклова) В более общем случае, когда р = 2, 1<#<оо неравенство (10) на классе нетрудно получить из неравенства на классе ф1 (неравенства Э.Шмидта), при этом с2>д(д3) - с^д1) (15) и экстремальными являются функции вида с{У2^(х + С2).

Действительно, если функция у £ С}3, то для функции д(х) — у(х)—с, где константа с выбирается таким образом, чтобы выполнялось свойство (7) (и, следовательно, функция д принадлежит классу, ф1), получаем что ||^||ь2(-7г,7г) = (\\у\\Ь(-п,п) + с2)1/2 > \\у\\ьц-*,*), а \\д'\\Ьч(-к,п) = \\у'\\ьч{-1т,1т)- Отсюда следует неравенство Ф(д) > Ф{у), а значит, и неравенство С2д(01) > С2д(С}3). С другой стороны, так как экстремальные функции в неравенстве (10) на классе ф1 обладают свойством (9), то экстремальная функция У2,<7 принадлежит классу ф3, а, значит, С2,ч{0,ъ) >

Фсад = с2,дт.

7Г

При р = д = оо точная константа С00;00((53) = — получена Бором [11]. Случай р — оо, 1 < д < оо исследован С. Б. Стечкиным [11]. Точная константа описывается соотношениями ч-1 д — 1 \ ч

СосМ) = * (

2д — 1

1 < д < оо,

СооД^Н Цщ Соо,^3) = 7Г. д-я-1

Отметим, что Соо,д{Яг) ф Соо^О1) при 1 < д < оо. Неравенство (10) на классе ф3 ПРИ 9 Ф 1 обращается в равенство на функциях вида сУ^, где с — произвольная константа и

У'М = 111*"5Й- (16)

При д = 1 неравенство (10) строгое, точность константы Соод((53) = 7г можно обосновать, рассмотрев при е —+0 семейство функций | ££ | ^^ ^ ^

1(х) = У1(х]е)={ '/и.7Г + еч2 ~ ' (17)

ЗтГ ( - ) — £, 7Г — е < < тт.

Некоторые обобщения неравенства (10) приведены в [10]. В частно

7Г сти, при р = д = 1 точная константа равна Схд^3) = Соо^ф3) = —. л

Экстремальной последовательностью является последовательность 2-7г-периодических кусочно-линейных функций с вершинами на [—7г, 7г] в точках (±1 /гг., ±1), (±7г 1 /п, ±1), (±7г, 0). В [10] получена точная константа при 1<р<оо, д = оо;в этом случае с,р1оо(<53) = С7р>00(д1) = |(р + 1)-р, экстремальной является 27Г-пернодическая кусочно-линейная функция с вершинами на отрезке [—7г, 7г] в точках (±7г, 0), (±|, ±1) .

Во второй главе диссертации изучается точное неравенство

18)

0 < р < оо, 1 < q < оо, j = 1, 2,3. или, что то же самое, задача о нахождении на классах QJ+ точной верхней грани функционала Ф+, определяемого формулой

Ф +Ы = iMf^, (19) т. е.

CpAQi) = sup {ф+(у) : У е Qi, у ф о}.

Для точной константы в неравенстве (18) на классе Q\ известно (см. [10]), что Ср100(^+) = 2CP:00(Q3) для всех 1 < р < оо.

Аналогичное равенство можно получить и в случае q = 1,1 < р < оо. Действительно, в силу свойства периодичности функции у Е Q3, среднее значение ее производной на периоде равно нулю, поэтому выполняется

7Г 7Г равенство f \y'+(x)\dx = f \y'(x)\dx. Отсюда следует, что Q3 = при 7Г —7Г q = 1, причем верно равенство \\у'\\^(-п,тт) = ZW+Wl1 а значит, и равенство Ф+(?/) = 2Ф(у). Таким образом,

Cp,i(Ql) = sup Ф+{у) = sup Ф+(у) = 2 sup Ф(у) = 2CPii(Q3). yeQ% yeQ3 yeQ3

Основными результатами второй главы являются следующие два утверждения.

Теорема 3. При всех 0<р<оо,1<д<оо справедливо равенство

CpAQi) = 2Cp>q(Qj), ¿ = 1,2. 19

Теорема 4. При всех 0 < р < оо, 1 < д < оо справедлива оценка снизу

СРЛ[Я\) > 2СРМ)

При всех 1 < р < оо, 1 < д < оо справедлива оценка сверху

СР,Ч(Я\) < 2сРМ)

При этом в случаях р = 2, 1 < д < оо и р — оо, 1 < д < оо имеет место равенство

Таким образом, на данный момент известно, что равенство СРА{Я3+) = 2Ст{С}3) имеет место в следующих случаях:

Класс 01 <Э2+

Р 0 < р < сю 1 < р < оо оо 2

Я. 1 < д < оо оо 1 1 < д < сю

При этом экстремальной функции в классе ф+(д), 1 < д < оо, при р > 0 (для случая ] = 1,2) и при р > 1 ( для случая ] = 3) не существует. Однако можно построить экстремальную последовательность, сглаживая соответствующим образом функцию , определенную для х е [—7Г, тг] соотношениями

У2Л(|), ¿ = 3, р = 2, ¿ = 3, р = оо.

20)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зернышкина, Елена Александровна, 2008 год

1. Арестов, В. В. Приближение неограниченных операторов ограни-ченными и родственные экстремальные задачи / В. В. Арестов // Успехи мат. наук. 1996. - Т. 51, вып. 6. - С. 89-124.

2. Арестов, В. В. Неравенства для дифференцируемых функций /В. В. Арестов, В. И. Бердышев // Тр. Ин-та математики и механики. Методы решения условно-корректных задач. 1975. - Вып. 17. - С. 108-138.

3. Арестов, В. В. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными / В. В. Арестов, В.Н.Габушин // Изв. вузов. 1995. - № 11. - С. 42-68. - (сер. Математика).

4. Неравенства для производных и их приложения / В. Ф. Бабенко,Н.П.Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов. Киев: Наук, думка, 2003. - 590 с.

5. Буслаев, А. П. О существовании экстремальной функции в неравенстве для производных / А. П. Буслаев, Г. Г. Магарил-Ильяев, В. М. Тихомиров // Мат. заметки. 1982. - Т. 32, вып. 6. - С. 823834.

6. Владимиров, В. С. Владимир Андреевич Стеклов — ученый и организатор науки / В.С.Владимиров, И. И. Маркуш. -М.: Наука,1981. 96 с.

7. Габушин, В. Н. Неравенства между производными в метриках Lpпри 0 < р < оо / В. Н. Габушин // Изв. АН СССР. Сер. мат. -1976. Т. 40. - С. 869-892.

8. Колмогоров, А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале / А. Н. Колмогоров // Уч. зап. МГУ. 1939. - Т. 30. - С. 3-16.

9. Колмогоров, А. Н. Избранные труды. Математика и механика /А. Н. Колмогоров. М.: Наука, 1985. - 470 с.

10. Корнейчук, Н. П. Аппроксимация с ограничениями / Н. П. Корнейчук, А.А.Лигун, В.Г.Доронин. Киев: Наук.думка, 1982. -252 с.

11. Харди, Г. Г. Неравенства / Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуд, Г. Полна. М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1948. - 456 с.

12. Hadamard, J. Sur le module maximum d'une fonction et de sesdériveées / J. Hadamard // Soc. Math. France, Comptes rendus des Séances. 1914. - V. 41. - P. 68-72.

13. Hardy, G. H. Contribution to the arithmetic theory of series /G. H. Hardy, J. E. Littlewood // Proc. London Math. Soc. (2). 1912. -V. 11. - P. 411-478.

14. Hôrmander, L. A new proof and a generalization of an inequality ofBohr / L. Hôrmander // Math. Scand. 1954. - V. 2. - P. 33-45.

15. Landau, E. Einige Ungleichungen für zweimal differentierbareFunktionen / E.Landau // Proc. London Math. Soc. (2). 1913. - V. 13. - P. 43-49.

16. Mitrinoviö, D. S. Inequalities involving functions and their integralsand derivatives / D. S. Mitrinovic, J. E. Pecaric, A. M. Fink. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 1991. - 604 p.

17. Sz.-Nagy, B. Uber Integralungleichungen zwischen einer Funktion undihrer Ableitung / B. Sz.-Nagy // Acta Sei. Math. 1941. - V. 10. -P. 64-74.

18. Schmidt, E. Uber die Ungleichung, welche die Integrale über einePotenz einer Funktion und über eine andere Potenz ihrer Ableitung verbindet / E. Schmidt // Math. Ann. 1940. - V. 117. - P. 301-326.Список работ автора

19. Zernyshkina, Е. A. Kolmogorov type inequality in L2 on the real line with one-sided norm / E. A. Zernyshkina // East J. Approx. 2006. -V. 12, №2.-P. 127-150.

20. Зёрнышкина, E. А. Неравенство Шмидта между нормами функции и положительной срезки ее производной / Е. А. Зёрнышкина // Изв. Урал. гос. ун-та. 2006. - № 44. - С. 76-88. - ( сер. Математика и механика; вып. 9).

21. Зёрнышкина, Е. А. Неравенство между нормой функции с нулевым средним значением и положительной срезкой ее производной / Е. А. Зёрнышкина // Тр. Междунар. лет. мат. Шк. С. Б. Стечкина по теории функций. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. - С. 79-80.

22. Зёрнышкина, Е. А. Неравенство между нормами функции и положительной срезкой ее производной / Е. А. Зёрнышкина // Соврем, проблемы математики, механики, информатики: тез. докл. Между-нар. науч. конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. - С. 92-94.

23. Зёрнышкина, Е. А. Неравенство Виртингера с односторонней нормой производной / Е. А. Зёрнышкина // Соврем, проблемы теории функций и их прил. Тез. докл. Саратов: Изд-во ГосУНЦ Колледж, 2006. - С. 7.

24. Зёрнышкина, Е. А. Неравенство Шмидта между нормами функции и положительной срезки ее производной //4 Междунар. симпоз. «Ряды Фурье и их приложения»: тез. докл. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2006. С. 28.

25. Зёрнышкина, Е. А. Неравенство Виртингера между нормой функции и положительной срезкой ее производной / Е. А. Зёрнышкина // Соврем, проблемы математики, механики, информатики: материалы Междунар. науч. конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. - С. 53-54.