Неограниченные возмущения монотонных операторов и некоторые приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Андрей Владимирович

• Кузнецов, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Андрей Владимирович

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Возмущенные уравнения с монотонными операторами

1.1 Некоторые вспомогательные утверждения.

1.2 Существование решений операторных уравнений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неограниченные возмущения монотонных операторов и некоторые приложения»

В диссертации рассмотрены вопросы существования решений операторных и эволюционных уравнений с монотонными операторами.

Метод монотонных операторов был создан в шестидесятые и семидесятые годы двадцатого столетия трудами многих математиков. Он дал возможность изучить широкие классы уравнений и систем высокого порядка эллиптического и параболического типов. Определенные итоги метода подведены во многих монографиях и обзорах, из которых упомянем только книги Лионса [21], Скрыпника [24], [26], Ладыженской, Солонникова и Уральцевой [17], Куфнера и Фучика [16], а также обзорные работы Дубинского [6],[7]. Метод монотонности продолжает активно развиваться и его теория регулярно отображается в литературе. В качестве примера отметим одну из последних монографий в этой области [40].

Сразу в начальный период развития метода монотонности появились попытки расширить рамки монотонных операторов, в первую очередь для приложений к уравнениям вида Аи + Ви = h, где А -монотонный оператор, В - возмущающий, но без свойства монотонности и более слабый оператор по отношению к А. Казалось вполне естественным включить оператор В в единую сумму S = А + В, получив новый класс операторов, близких к монотонным. На этом пути были созданы: теории операторов с полуограниченной вариацией (Дубинский), операторов вариационного исчисления (Лере, Лионе), псевдомонотонных операторов (Брезис) и так далее. Всего получилось около десятка новых теорий. Сейчас можно с уверенностью констатировать, что ни одна из указанных теорий не дает возможность рассматривать сумму А+В как единый оператор определенного класса. Другими словами, остается актуальной задача о возмущении монотонного оператора А, или близкого к монотонному, дополнительным слагаемым В. Некоторые результаты, полученные на этом пути, будут указаны позднее более детально.

Диссертацию можно разделить на две основные части, в соответствии с рассматриваемыми уравнениями. Первая часть касается рассмотрения возмущенных операторных уравнений вида

A + B)u = h. (1)

Изучению таких уравнений и приложению их к проблеме существования решений нелинейных краевых задач для эллиптических уравнений посвящена первая глава.

Основной оператор А считаем коэрцитивным и псевдомонотонным, действующим из некоторого сепарабельного рефлексивного банахова пространства X в его сопряженное X*. Возмущающий оператор В считаем тоже коэрцитивным, но не обязательно монотонным или близким к монотонному, и действующим из некоторого сепарабельного рефлексивного банахова пространства Y в его сопряженное у*

Прежде чем сформулировать основной результат первой главы и дополнительные условия на операторы, при которых решается задача, напомним, что уравнения вида (1) рассматривались многими авторами. Остановимся на полученных в этом направлении результатах более подробно.

У Вайнберга [2] существование решений уравнения (1) доказано для случая, когда оператор А монотонный. В качестве возмущающего оператора В берется либо компактный оператор, либо слабо непрерывный ортогональный оператор, удовлетворяющий условию

Ви,и) = 0.

При этом оператор В действует в том же пространстве, что и оператор А} то есть В : X —> X*, и в этом смысле его можно назвать ограниченным возмущением.

У Дубинского [6] рассмотрен случай эллиптического линейного оператора А высокого порядка, возмущенного потенциальным опфатором В. Более точно, доказана разрешимость следующей задачи:

J] (-1 pDa[aaP(x)D^u] + (-l)fc £ D^F^u) = f(x), |а|,1Ж™ . Щ=k , , dF

7| - к, k^ m - 1, D^u\dn = 0 (101 m - 1), Fp = — которая рассматривается в ограниченной области Q С RN, в предположении, что аар{х) ^ с0 > 0, и что функция растет как степенная: F(£) ^ г ^ 2. Обратим внимание на следующие особенности представленной задачи. Оператор А, определяемый первой о суммой, действует непрерывно из пространства W™(Q) в И/2~т(^). Оператор Б, определяемый второй суммой в (2), по производным имеет порядок меньше, чем оператор А, однако, он нелиненен и функция F(£) растет степенным образом с произвольной степенью г ^ 2. Если степень г не велика, то, согласно теоремам вложения, оператор о

В будет определен на множестве W*(Q), и тогда он является ограниченным возмущением оператора А. Если же степень г велика, то о оператор В не определен на пространстве W™(Q), и потому задача (2) требует специального изучения, которое и изложено в работе Дубинского. Разобранный пример послужил отправной точкой для той теории, которой посвящена первая часть диссертации. При этом оператор А заменяется общим нелинейным псевдомонотонным оператором, а оператор В допускает более общую структуру, отличную от потенциальной.

Милоевич [22], рассмотрел применение метода двойной аппроксимации к уравнению вида

Аи + F(:г, и) = h(x), где Аи = Y1 1)'а'А*Л*(я, и,., Dmu) - псевдомонотонный эллиптический дивергентный оператор с полиномиальным ростом, а возмущение вида В = F(x,u) удовлетворяет условию на знак F{x,y)y ^ 0.

В монографии Скрыпника [24] рассмотрен псевдомонотонный оператор А с возмущением его монотонным в главной части оператором В, таким что оператор А-\- В остается псевдомонотонным. Подчеркнем, что выше указаны только обобщающие работы обзорного характера, посвященные достаточно общим классам операторов.

Многими авторами рассматривались уравнения подобного вида для более узкого класса операторов, что было связано с конкретно решаемыми задачами.

Приведем несколько последних работ, касающихся данной тематики.

В работе Вей Ли [38] исследован вопрос о разрешимости уравнения (1), где А - максимально монотонный оператор, а В - компактный оператор. В работе [41] рассмотрен случай линейного эллиптического псевдомонотонного оператора А с возмущением его сильно нелинейным оператором Немыцкого F = —В, при условии, что h = О и оператор А + В не компактен.

Отметим еще уравнения, которые внешне выглядят близкими к изученным в диссертации, однако требуют создания принципиально новых теорий. Несколько работ Солтанова [28],[29] посвящены условиям существования и отсутствия глобальных решений уравнений вида

-l)m Da[аа|Dau|ро~2Dau) + а|=т

ИГЕ Е Da(bal3\Df,u\»-2Dau)=h(x), (3) а|=т |/3|=т—1

D"u\dn = 0 (|7|<т-1), в ограниченной области О С RN. Здесь аа, Ъар - набор положительных чисел. Обратим внимание на специальную структуру представленных слагаемых. Оператор А, определяемый первой суммой, является известным представителем монотонных операторов, действуюо щим из пространства в Wp7m(^), где ^ + = 1. Оператор

В, определяемый второй суммой в уравнении (3), по порядку производных |а| = т совпадает с главным оператором А, однако содержит множители |D^«|Pl2, которые растут как степенные с произвольным показателем степени Если степень pi много больше, чем ро5 то оператор В уже не подчинен оператору А. Более того, его область определения не является линейным множеством, в связи с чем Солтанов вводит и изучает нелинейные пространства функций, которые он назвал псевдонормированными. Такие пространства являются представителями более общих, чем нормированные, метрических пространств. Заметим, что в научной литературе уравнения вида (3) получили название уравнений с двойным вырождением, так как они вырождаются как на множестве, где вырождаются функции Dau, \а\ = т, так и на множестве, где вырождаются функции D^u, Щ =т- 1.

Приведенный выше обзор показывает, что уравнения вида Аи + Ви = h изучались многими авторами разнообразными методами и продолжают изучаться.

Представим результаты диссертации.

Сформулируем условия на операторы А и Б, для которых в настоящей диссертации доказывается существование решения уравнения (!)■ la) А - радиально-непрерывный ограниченный коэрцитивный псевдомонотонный оператор, действующий из сепарабельного рефлексивного банахова пространства X в его сопряженное X*. А : X X*. lb) В - радиально-непрерывный ограниченный коэрцитивный оператор, действующий из сепарабельного рефлексивного банахова пространства Y в его сопряженное Y*. В : Y Y*.

Для решения поставленной задачи, необходимо наложить условия на пространства, в которых действуют операторы А и В.

2а) Пространствах и Y непрерывно вложены в некоторое локально-выпуклое пространство V;

2Ь) Множество X f]Y плотно в X и в У";

Подчеркнем следующий факт. Оператор В : Y —> Y* может быть не определен на всем пространстве X, которое является областью определения основного оператора А : X —V X*. И в этом смысле можно говорить, что возмущающий оператор В неограничен по отношению к оператору А. Из последнего условия 2а) следует, что пространства X и Y связаны общим плотным множеством X HY, на котором естественно определяется сумма А + В двух операторов. Однако ясно, что возмущающий оператор В не может быть полностью произвольным. В диссертации на оператор В накладываются условия, обеспечивающие его слабую компактность на пересечении ХПУ. Это дает возможность объединить два мощных метода - монотонности и компактности.

Для использования метода компактности, необходимо потребовать выполнения некоторых дополнительных условий.

За) Если некоторая последовательность un Е Z = X П Y удовлетворяет условию = ll^nllx + llwn||y ^ С, то существует подпоследовательность ит —^ и в Z такая, что Вит Ви в У*.

ЗЬ) Функционал (Вип,ип) полунепрерывен снизу: если ип —^ и в Z, то lim (Вип,ип) ^ (Ви,и). n—teo

Основным результатом первой главы является доказательство того, что при выполнении перечисленных условий существует решение и Е X П У уравнения (1) для любой h Е (X П Y)*. При этом само уравнение рассматривается как равенство в пространстве (X П Y)*.

Все условия сформулированы в абстрактной форме, однако эти формулировки позволяют достаточно просто проверить эти условия в приложениях.

В качестве примера, иллюстрирующего применимость доказанного утверждения о разрешимости операторного уравнения, в разделе 1.3 приведена краевая задача в ограниченной области, рассмотренная Скрыпником [24] и о которой говорилось несколько выше. Однако в отличие от рассмотренной Скрыпником задачи, где возмущающий оператор предполагался монотонным и коэрцитивным в главной части, здесь этих условий не требуется.

В последнем разделе первой главы рассмотрено применение абл страктной теории к уравнениям в неограниченной области. В частности, рассмотрено уравнение вида

-Аи + F(x, и) + G(x, и) = h(x), в RN.

Полученные результаты сформулированы отдельным утверждением и тесно перекликаются с результатами, полученными в монографии Кузина, Похожаева [37] методом потенциальных операторов и вариационного исчисления.

Две последующие главы касаются разрешимости эволюционных операторных уравнений вида:

Au+~Bu = f; u(0)=u°. (4)

Решения подобных уравнений рассматриваются как функции, со значениями в банаховых пространствах. Пространства таких функций обозначаются ЗС и &. Условия на оператор А аналогичны условиям в рассмотренном выше операторном уравнении (1). А именно: оператор А предполагается ограниченным, псевдомонотонным и коэрцитивным из сепарабельного рефлексивного банахова пространства 5С в его сопряженное Ж*. Прежде, чем задать условия на оператор 5, стоящий под знаком производной, напомним известные результаты. Уравнения о

Au + -u = f- и( 0)=и° (5) рассматривались многими авторами, так как объектом приложений имеют параболические уравнения.

Уравнения вида Аи = / с монотонными операторами нашли приложения прежде всего к уравнениям и системам квазилинейных уравнений эллиптического типа. Параллельно развивалась теория уравнений вида (5), с приложениями к параболическим уравнениям и системам. Полученные результаты описаны, например в книгах Лионса [21], Гаевского, Грегера, Захариаса [4], в обзорах Дубинского [6],[7]. Заметим, что в монографии Лионса [21] неоднократно отмечалось, что теория монотонных операторов отнюдь не завершена, и предлагалось в качестве примера создать теорию уравнений вида (4), где А и В - монотонные операторы, или близкие к ним. Такие уравнения получили название дважды нелинейных. В качестве приложений можно рассматривать уравнения и системы, не разрешенные относительно производной по времени. Подобные уравнения и системы часто встречаются в приложениях, но к настоящему времени создана теория разрешимости только для уравнений с линейными операторами А и В. Для примера укажем книгу Демиденко и Успенского [5].

Отдельные работы касаются рассмотрения уравнений конкретного вида. Так, например, в статье [39] изучается разрешимость и свойства решений уравнения d

7А2и + — (I - Аи) =

LLL

Вернемся к дважды нелинейному уравнению (4).

Разрешимость таких уравнений исследовалась многими авторами в случае, когда оператор В представляет собой функцию от и. Например Солтанов [27] построил теорию, в приложении к которой рассмотрел модельное уравнение с двойным вырождением по пространственным переменным:

ЯI IР г=1 f(x,t,u) =0.

Им же в работе [30] рассмотрено уравнение д dt р(и) = - DiAi(x,t,u, Du) + f(x,t,u) - h(x,t) i= 1 в ограниченной области Q С Rn- Лаптев [20] исследовал вопрос о разрешимости начально-краевой задачи для уравнения rs п ill I

5Н— - Y^ DzAi{t, X, и, Du) + A0{t, X, щ Du) = 0; г=1 и(0,ж) = u0{x)\ ^|(0>r)xS = 0, сводя ее к операторному уравнению (4). Оператор А брался монотонным с полиномиальным ростом, а оператор В имел функциональную зависимость Ви = В (и), причем c\u\r~2 ^ В'(и) = (5{и) ^ С{\и\г-2 + 1).

Им же [18] подобная нелинейность рассмотрена при изучении параболического уравнения с двойным вырождением, путем сведения последнего к эволюционному уравнению рассматриваемого типа.

Для операторов В более высокого порядка разрешимость уравнения (4) изучалась в небольшом числе работ. Отметим их. Это работы Bernis [33],[34] и Grange,Minot [36].

В этих работах предполагается, что операторы А и В являются потенциальными, так что их коэффициенты не могут варьироваться. Кроме того, предполагается, что оператор В компактен относительно оператора А.

Полученные в диссертации результаты свободны от подобных ограничений. Представим эти результаты более детально.

В диссертации доказывается существование решений задачи (4), когда В - абстрактный оператор из некоторого сепарабельного рефлексивного банахова пространства Y в его сопряженное Y*.

Изложение материала разбито на две главы. Это связано с тем, что случай линейного оператора В несколько отличается от нелинейного случая и его удобно рассматривать отдельно.

Во второй главе диссертации исследуется разрешимость уравнения (4) в случае, когда оператор В нелинейный.

В этой главе и в третьей, в которой будем иметь дело с линейным оператором 5, решение задачи (4) с начальными условиями w(0) — и0 понимается одинаково. Приведем определение такого решения.

Определение. Решением задачи (4) называется функция u(t) Е ^ такая, что

1. |Bu(t) Е Ж*;

2. Bu(t) Е C([0]T],w — Z*); в частности, Ви{0) = Ви° как равенство элементов в пространстве Z*,

3. -u(O) = и0 как равенство элементов в пространстве Y, выполняется тождество Аи + -§jBu = f, которое рассматривается как равенство элементов в пространстве Ж*.

Итак, третья глава диссертации рассматривает нелинейный оператор В. Приведем условия, при которых рассматривается вопрос о существовании решения в этом случае.

I) А - радиально-непрерывный ограниченный коэрцитивный псевдомонотонный оператор, действующий из сепарабельного рефлексивного банахова пространства Ж в его сопряженное Ж*.

Коэрцитивность при этом понимаем как (Аи,и) ^ CilMl^r — где р > 1, а ограниченность - в смысле ЦАиЦ^г* ^ СзЦггЦ^1, С; > 0.

II) В - непрерывный ограниченный равномерно монотонный оператор, действующий из рефлексивного сепарабельного банахова пространства Y в его сопряженное У*; В : Y —>• Y*.

Равномерная монотонность оператора понимается в следующем смысле: (Ви — Bv,u — v) ^ Сз||гг — v||y, где q > 1, Сз > 0, а его ограниченность означает, что ЦБг/Цу* ^

III) Пространство X компактно вложено в некоторое рефлексивное сепарабельное банахово пространство Е, а пространство У непрерывно вложено в это же пространство и, кроме того, X п Y плотно как в X, так ив Y.

IV) Если ип —^ и в & ш ип и в 8, то для некоторой подпоследовательности ВиПк Ви в W*.

Если vn —»■ v в Е и \\vn\\Y ^ С, то существует подпоследовательность такая, что vnk —^vbY.

V) Пусть задан оператор Г : Y —» У*, обладающий следующими свойствами: д д а)(-р-Ви,и) = — СГи,и) на любых функциях ot ot д и = u{t) таких, что u(t) G £

J Ь b)(Ги, и) ^ c||u||y — ^ C7||w||y, где с > 0,С7 ^ 0; qy <q c) оператор Г ограничен и непрерывен; d) на элементах vnk из условия IV) функционал (Ггг, и) слабо полунепрерывен снизу : lim (Г vnh,vnh) ^ (Гг/, v).

VI) Пусть {е;} какая-нибудь полная система функций из Z, тогда она одновременно является полной системой в пространствах X и Y. Пусть последовательность сильно сходится к и0 в Y, причем ип = ЕГ=1 Eiei и 0 < с0 < ||^||у < С0.

Предположим, что для каждого п существует решение вида ип = ЕГ=1 cni(t)^ij где cni(t) £ С([0,Гп]), системы обыкновенных дифференциальных уравнений д

Аип + — Вип - f,ek) = 0, где к = 1,п (6) с начальными условиями ст(0) = Е{.

Основной результат, полученный в разделе 2.2 заключается в том, что при выполнении условий I)-VI) задача (4) при любом / £ JT* имеет решение, с указанными в его определении свойствами.

Среди множества приведенных условий особо выделим те, которые определяют вид оператора В в приложениях. К таким условиям относятся его равномерная монотонность и наличие оператора Г с определяющим свойством =

Условие равномерной монотонности является существенным, при доказательстве теоремы вложения для пространств абстрактных функций % — Lp([0; Т], X), а условие на оператор Г, используемое почти во всех выкладках, позволяет удобно записать результат интегрирования по времени.

В приложении рассмотрена начально-краевая задача, в которой оператор В задается следующим дифференциальным выражением ви= j2(~iflDf3MDl3u)

При некоторых условиях на производные функций Bp, этот оператор удовлетворяет приведенным условиям.

Условие VI) используется для нахождения конечномерных приближений при доказательстве основного результата. Заметим, что для вырождающегося оператора Ви = \и\р~2и при р > 2 доказать существование решений нужного вида системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6) не удается. Чтобы обойти этот момент, в разделе 2.4 доказывается утверждение, позволяющее избавиться от условия VI) и гарантирующее существование решения рассматриваемой задачи (4) без выполнения этого условия.

Раздел 2.5, завершающий главу, содержит пример начально-краевой задачи, которая при выполнении условий I)-V) имеет решение с описанными в определении свойствами.

В третьей главе, на операторы А и В и пространства, в которых эти операторы действуют, налагаются следующие условия.

1) А - радиально-непрерывный ограниченный коэрцитивный псевдомонотонный оператор, действующий из сепарабельного рефлексивного банахова пространства SC в его сопряженное SC*.

Коэрцитивность при этом понимаем как (Аи,и) ^ CilMI^ — Сг» где р > 1, а ограниченность - в смысле ||Аи||зг. ^ СзЦ^Ц^1, С; > 0.

2) В - ограниченный линейный самосопряженный оператор, действующий из некоторого сепарабельного гильбертова пространства Y в его сопряженное Y* и удовлетворяющий условию коэрцитивнос-ти:

Ви,и) ^ с||«||у, где с > 0.

3) Пространства X и Y вложены в некоторое локально выпуклое пространство V.

Множество ХГ\У плотно как в пространстве X, так и в пространстве Y.

В диссертации доказано, что при выполнении указанных трех условий, задача (4) имеет решение в смысле данного выше определения.

Полученные результаты применимы в частности к монотонным операторам А.

Введем еще одно условие, при котором получается новая теория.

4) Оператор В может быть расширен до ограниченного самосопряженного оператора, действующего в пространстве Н, причем он имеет счетное число собственных векторов ei,e2,., которые образуют ортонормированный базис пространства Я, то есть Be; = Л е; £ Я, причем е; G X П Y для всех i = 1,2,

Рассмотрен также оператор В, удовлетворяющий этому дополнительному условию.

В разделе 3.2 приведены примеры конкретных линейных операторов, для которых справедлива построенная теория. Следует отметить, что уравнение (5) является частным случаем уравнения (4), если В = / тождественный оператор и полностью удовлетворяет построенной теории. Кроме дифференциальных операторов В, приведен пример интегрального оператора, который удовлетворяет теореме о разрешимости. Следует также отметить, что построенная теория применима к уравнениям, у которых выражение, соответствующее оператору В, содержит производные более высокого порядка, чем аналогичное выражение для оператора А.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10]

15].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Андрей Владимирович, 2001 год

1. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. - Киев:"Наукова думка", 1965.- 800 с.

2. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.:Наука, 1972. - 416 с.

3. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. - 624с.

4. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. - 336 с.

5. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск. Научная книга. 1998. 438с.

6. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1976. Т.9, С.5 - 130.

7. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1990. Т.37, С.89 - 166.

8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 544 с.

9. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

10. Кузнецов А.В. О существовании решения операторного уравнения с нелинейным неограниченным возмущением монотонностиДиф.уравнения и прикл. задачи: Сб. науч. тр. Тула: ТулГУ, 1998. С.80-83.

11. Кузнецов А.В. О существовании решения операторного уравнения с неограниченным возмущением монотонности / / Изв.тул.гос.ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ,1999. С.121-129.

12. Кузнецов А.В. О существовании решения одного уравнения с неограниченным возмущением монотонности в неограниченной области // Диф.уравнения и прикл. задачи: Сб. науч. тр. Тула: ТулГУ, 1999. С.76-80.

13. Кузнецов А.В. Существование решения эволюционного уравнения // Всерос. науч. конф. "Совр. пробл. математ., мех., информатики". Тула, 15-17 февр. 2000г. Тез.докл. Тула. 2000г. С.36-37.

14. Кузнецов А.В. Существование решения эволюционного уравнения, содержащего линейный оператор при производной по времени // Изв.тул.гос.ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ,2000. С. 107-113.

15. Кузнецов А.В. Существование решения эволюционного уравнения с двойной нелинейностью // Диф.уравнения и прикл. задачи: Сб. науч. тр. Тула: ТулГУ, 2000. С.59-63.

16. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988. - 304 с.

17. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

18. Лаптев Г.И. Разрешимость квазилинейных параболических уравнений второго порядка с двойным вырождением //Сибирский математический журнал.-1990.- 38, №6 С. 1335-1355.

19. Лаптев Г.И. Первая краевая задача для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с двойным вырождением //Диф.уравнения. -1994. Т.ЗО, №6 С. 83-112.

20. Лаптев Г. И. Слабые решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностью //Мате-матич. сборник.-1997. Т.188, №9 С. 1057-1068.

21. Лионе Ж-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. -5 88 с.

22. Милоевич П. С. Разрешимость сильно нелинейных операторных уравнений и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, №2. С. 502-516.

23. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. -572 с.

24. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990. - 446с.

25. Скрыпник И.В. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравнений // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1976. Т.9, С.131 -254.

26. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1990. Т.37, С.5 - 88.

27. Солтанов К.Н. Некоторые теоремы вложения и нелинейные уравнения //Тезисы докладов Международной конференции:" Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования." Москва, Изд-во РУДН. 1988г.

28. Солтанов К.Н. Разрешимость нелинейных уравнений с операторами вида суммы псевдомонотонного и слабо компактного //ДАН, 1992. Том 324, №5 С.944-948.

29. Солтанов К.Н. О нелинейных уравнениях вида F(x,u,Du, Аи) = 0 //Матем.сборник. 1993. Том 184, №11 С.131-145.

30. Солтанов К.Н. Существование и отсутствие глобальных решений некоторых нелинейных эллиптико-параболических уравнений //Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29, №4. С. 646661.

31. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970 - 720 с.

32. Экланд.И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979 - 400 с.

33. Bernis F. Finite speed of propagation and asymptotic rates for some nonlinear higher order parabolic equations with absorption //Proc.Roy.Soc.Edinburgh.Sect.A. 1986. V.104. №1-2. P.l-19.

34. Bernis F. Existence results for doubly nonlinear higher order parabolic equations on unbounded domains //Math.Ann. 1988. V.279. P. 373-394.

35. Browder F.E. Degree theory for nonlinear mappings //Proc.Symposia im Pure Mathematics. AMS. 1986. Vol. 45(1). P. 923-936.

36. Grange O., Mignot F. Sur la resolution d'une equation et d'une inequation paraboliques non lineaires //J.Funet.Anal. 1972. V.ll. P.77-92.

37. Kuzin I., Pohojaev S. Entire solutions of semilinear elliptic equations. Birkhauser. 1997.-250 p.148

38. Wei Li Improvement of prturbation theorems of maximal monotone operators //Hebei Shifan daxue xuebao^J.Hebei Norm.Univ. 2000. - 24, №2 - C. 160-161.

39. Lin C., Yin J. Some properties of solutions for viscous Cahn-Hilliard equation //Donbei shuxue = Northeast.Math.J. 1998. - 14, №4 -C. 455-466.

40. Showalter R.E. Monotone operators in Banah space and nonlinear partial differential equations. Amer.Math.Soc., 1997. XIII, 278p. (Math.Surv and Monogr.; Vol. 49).

41. Nguyon Hong Thai Existence theorems for boundary value problems for strongly nonlinear elliptic systems //Z.Anal.und Anwend. 1999. - 18, №3 - C. 585-610.