Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического и параболического типов с разрывными нелинейностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ульянова, Оксана Владиславовна

• Ульянова, Оксана Владиславовна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ульянова, Оксана Владиславовна

I Абстрактная схема метода верхних и нижних реше

1.1 Предварительные сведения.

1.1.1 Монотонные операторы в полуупорядоченных банаховых пространствах.

1.1.2 Обобщенные производные. Пространства Соболева и теоремы вложения для них.

1.2 Основная теорема (формулировка).

1.3 Доказательство основной теоремы.

II Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностя-ми

2.1 Постановка задачи. Основные определения и обозначения.

2.2 Вспомогательные результаты.

2.3 План доказательства теоремы 2.1.1.

2.4 Завершение доказательства теоремы 2.1.1.

2.5 Следствие основной теоремы. Пример.

III Метод верхних и нижних решений для уравнений параболического типа с разрывными нелинейностя

3.1 Постановка задачи.Основные определения и обозначения.

3.2 Вспомогательные утверждения.

3.3 План доказательства теоремы 3.1.1.

3.4 Завершение доказательства теоремы 3.1.1.

3.5 Следствия основной теоремы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического и параболического типов с разрывными нелинейностями»

Предметом исследования диссертации являются следующие краевые задачи:

- для уравнений эллиптического типа

Lu(x) = д(х,и(х)), (0.1)

Ви\г = 0, (0.2) в ограниченной области Ü С Rn , п > 2 с границей Г класса С^а, а G (0,1], [14], где дифференциальный оператор п ß d п д

L = ~ +jg ¥х)щ+с(ж) равномерно эллиптический вО, а (0.2) - либо однородное граничное условие Дирихле м|г — 0, либо третье краевое условие ди dnL du сг(ж)м|г = 0, а^(х)их.со8(п,хА, п - внешняя нормаль к границе дпь ¿¿=1

Г, соэ- направляющие косинусы нормали п, функция а £ СЛДГ) неотрицательна на Г.

Коэффициенты а у, Ь^ с оператора Ь непрерывны по Гельдеру с показателем а вместе с частными производными на О,, а у г е Ci>e(r).

Нелинейность д(х,и) равна разности суперпозиционно измеримых функций д2(х,и) и д\(х, и), неубывающих по переменной и. Непрерывность д{х./и) по и не предполагается.

Сильным решением задачи (0.1)—(0.2) называют функцию и £ д > 1, удовлетворяющую уравнению (0.1) почти всюду на О, для которой след Ви{х) на Г равен нулю.

Будем говорить, что для уравнения (2.1) выполнено А1-условие, если найдется не более, чем счетное семейство поверхностей {Д-,г 6 /},

5,- = {(ж, и) € Нп+1 и =

Рг 6 W/2oc,l(0) для которых при почти всех ж Е О неравенство дх^х^и—) < д\(х,и+) влечет существование г 6 I такого, что и =

Ь(рг(х) + дг(х, (рг(х)-) - д2(х, 0, либо Ь(рг(х) = д(х, (рг(х)).

- для уравнений параболического типа

Ьи(х,{) = д(х^,и(х^)), (0.3) гт = 0, (0.4) в цилиндрической области С}т = О х (О, Г), где О, - ограниченная область в^с границей $ класса О2 [15], где д п д д п д

- равномерно параболический дифференциальный оператор в С^т, коэффициенты а^, Ь^ с которого и прозводные (а^)^ принадлежат пространству Ьоо ((¿т)

Тт = (Б х [О, Г)) и {(ж,0)|ж Е П} - параболическая граница цилиндра С^т

Функция д : (¿т х И И равна разности суперпозиционно измеримых функций д2(х^,и) и б/1 (ж, и), неубывающих по и. Непрерывность д(х^,и) по фазовой переменной и не предполагается.

Сильным решением задачи (0.3)-(0.4) называется функция и Е тоу (Ят) с нулевым следом на Гу, которая для почти всех (х, ¿) Е <5т удовлетворяет уравнению (0.3).

Требуется, чтобы для уравнения (0.3) было выполнено А1-условие, то есть найдется не более, чем счетное семейство поверхностей {5,-,г Е /}, 5,- = Е 11п+2 и = (р{(х,£),(х,£) Е фг}, 2 1

Уг € такое, что для почти всех (х,{) Е (¿т неравенство д\{х^^и—) < дх(х, м+) влечет существование г Е /, для которого и = ц>{(х, ¿) и либо

Ь(рг(х, £) + 01 (х, *, и-) - д2(х, и)) х х + (ж, м+) - д2(х, и)) > 0, (0.5) либо Ь(рг(х,1) = д(х^, (рг(х,{)).

Устанавливаются предложения о существовании сильных решений задач (0.1)—(0.2) и (0.3)-(0.4) в предположении, что существуют верхнее и нижнее решения и и и этой задачи, причем, й > и почти всюду на фг- Доказательства базируются на абстрактной схеме метода верхних и нижних решений, обобщающей соответствующий результат В.Н. Павленко из [23].

Далее будем пользоваться следующими обозначениями: д-(х,и) = )mg(x,s), д+(х,и) =

8—*U

-(М,«) = ]img(x,t,s), g+(x,t,u) = lim g(x,t,s). s—*u g(x, u+) = limi g(x,s), g(x,u~) = lim g(x,s)\

§—s— g(x,t,u+) = lini g(x,t,s), g(x,t,u—) = lim g(x,t,s).

Разрыв нелинейности g(x,u) в точке и будем называть "падающим", еслж д(х,и—) > д(х,и+)] "прыгающим", если д(х,и—) < д(х,и+).

Аналогично определим "падающий" и "прыгающий" разрыв в точке и для нелинейности g(x,t,u), если g(x,t,u—) > g(x,t,u-\-) и если g(x,t,u—) < g(x,t,u+), соответственно.

Математические модели ряда прикладных задач сводятся к краевым задачам эллиптического и параболического типов с разрывными по фазовой переменной нелинейностями. Так к задаче (0.1)—(0.2) сводятся математическая модель М.А.Гольдштика [5] отрывных течений несжимаемой жидкости; рассмотренная H.J. Kuiper [69] задача о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводность материала при переходе через определенные температуры меняется скачком. К задаче (0.3)-(0.4) сводятся задачи о нагреве проводника при постоянном напряжении (нестационарный случай) и о подземной газификации угля в постановке Г.И. Баренблатта [35]. На необходимость исследования распределенных систем с разрывной нелинейностью было указано в монографии [15] O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой, В.А. Со-лонниковым в 1967 г.

Дадим краткий обзор основных результатов, полученных ранее в этой области. В связи с изучением проблемы существования корректных по отношению к различного рода возмущениям решений М.А. Красносельским и A.B. Покровским в [9] было введено понятие полуправильного решения интегрального уравнения вида ь x(t) = / K(t, s)g(s,x(s)) ds a с непрерывным ядром K(t, s) и нелинейностью g(s,x) непрерывной по s, неубывающей но х, для которой lim sup х~гд^,х) ~ 0. решение такой задачи называют полу правильным, если для почти всех х £ О, значения и(х) являются точками непрерывности функции д(х, •)). При этих предположениях в [9] устанавливается существование полуправильных решений с помощью теорем о неподвижных точках для уравнений с монотонными операторами в полуупорядоченных банаховых пространствах. В [10] этими же авторами был рассмотрен вопрос о существовании полуправильного решения задачи Дирихле

Ли + д(х, и) = 0, м|г = 0 в ограниченной области О, с достаточно гладкой границей Г, при условии, что нелинейность д(х, и) ограничена на О х R, суперпозиционно измерима и удовлетворяет одностороннему условию Липшица по переменной и: и — v)(g(x, и) — g(x,v)) > —ц(г)(и — v)2, i/|,|v| < г, х G О, ¡1 : R+ R. Отметим, что последнее условие допускает лишь "падающие" разрывы по и у функции д(х,и).

В работе [13] этими же авторами были получены достаточные условия существования решения задачи Дирихле для уравнения (0.1), значения которых лишь на множестве нулевой меры могут быть точками разрыва нелинейности д(х, и). Требуется, чтобы д(х,и) как и в [10] удовлетворяла по переменной и одностороннему условию Липшица, и, кроме того, д(х,и)\ < ß < со, х ей, и G R.

Доказательство проводится с помощью метода неподвижных точек монотонных операторов в полуупорядоченных банаховых пространствах.

В [8] М.А. Красносельским и A.B. Лусниковым были получены общие предложения о неподвижных точках, являющихся точками непрерывности изучаемого монотонного отображения обобщающие [9], [10]. Здесь вводятся определения монотонного и монотонно компактного (ММК) оператора в полуупорядоченном конусом К банаховом пространстве Е, приводятся достаточные условия существования неподвижной точки ММК-оператора на конусном отрезке, обладающей свойством /¿-непрерывности, при этом х* точка h-непрерывности оператора А, если \\А(х*-\-eh) — —»■ О и \\A{x* — £h) — Ax*\\ —> 0 при е —► +0; полученные результаты применительно к задаче (0.1)-(0.2) позволяют установить существование полуправильного решения в предположении, что нелинейность д(х: и) удовлетворяет односторонннему условию Липшица и ограничена (см. [9], [10]).

Наиболее общие теоремы о существовании сильных решений краевых задач для уравнений в частных производных эллиптического и параболического типов с разрывными по фазовой переменной нелинейностями были получены К.-С. Chang, S. Carl, S Heikkila и B.H. Павленко. В [63] К.-С. Chang было доказано существование обобщенного решения задачи (0.1)—(0.2) методом обобщенных градиентов Кларка в случае, когда оператор L имеет вид ь J—1 о

Напомним [63], что элемент и £ W* (О) называется обобщенным решением задачи (0.1)—(0.2), если для него почти всюду на О имеет место включение

L(u(x)) £ [д~(х,и(х)),д+(х,и(х))], где д~(х,и(х)) = тт(д(х, и(х)—), д(х, и(х)+)), д+(х,и(х)) = maх.(д(х, и(х)—),д(х, м(ж)+)).

Кроме того, К.-С. Chang были найдены условия, при выполнении которых обобщенные решения первой краевой задачи являются сильными решениями, а именно: для почти всех х £ Q значение д(х,и) £ [д-(х,и),д+(х,и)] и для любого и £ R функция д(х, и) удовлетворяет С-условию, т.е. множество D = {(ж, и) G fix R|g(x,w—) ф д(х,и+)} является объединением не более чем счетного семейства поверхностей класса Wf ioc за исключением, быть может, множества, проекция которого на О имеет меру нуль, причем, если какие-либо две из этих поверхностей совпадают в некоторой точке, то они совпадают и в некоторой окрестности этой точки, и для почти всех х G О из неравенства д(х,и—) ф д(х,и+) следует, что (х,и) лежит на одной из поверхностей D, и, если (р(х) -локальное представление этой поверхности вблизи точки (х, и), то либо L(

Аналогично формулируются условия, при которых обобщенное решение задачи (0.3)-(0.4) является сильным решением этой задачи.

В [62] К.-С. Chang к исследованию краевых задач (0.1)—(0.2) и (0.3)-(0.4) применил теорию топологической степени для многозначных операторов. Предполагая, что нелинейность g(x,t,u) су-перпозиционно измерима и для нее верна оценка g(x,t,u)\

V(x,t) G Qt, и G R, M G Lp(Qr), p > n, L = ^ — Д, он доказал существование обобщенного решения задачи (0.3)-(0.4).

В [64] К.-С. Chang было доказано предложение о существовании сильного положительного решения задачи (0.1)—(0.2) в предположениях, что i) —д(х, и) = д0(х, u) + gi(x,u)-g2(x,u), где д0(х, и) - каратеодориева функция, , и) - непрерывная по х при фиксированном и ж неубывающая по и при фиксированном х функция, причем существует конечное или счетное множество {мг-, ъ Е /} в R, такое, что для почти всех х Е О из д{(х,и—) ф gi(x,u+) следует, что и = щ для некоторого i Е I. и) функция д(х,и) ограничена снизу положительной функцией, не зависящей от и.

Основы метода исследования краевых задач для уравнений эллиптического и параболического типов (в том числе с нелинейными граничными условиями) с гладкими нелинейностями, основанного на использовании верхних и нижних решений были заложены в работах H.Amman [39]—[43], Н. Amann и М. Crandal [43], Н. Brill [51] и других авторов. Эти результаты получили дальнейшее развитие в работах Badial М.[45] , N.Basil и M.Mininni [46], I.Massabo [72] , C.A.Stuart и J.F.Toland [75]. Характерным для этих работ является предположение о существовании верхнего Ш и нижнего и решений соответствующей краевой задачи с и < й. Как правило, помимо существования решения краевой задачи в конусном отрезке < и, й >, изучается проблема существования максимального и минимального решения в этом отрезке. В случае, когда нелинейность д(х,и) в уравнении (0.1) гладкая и возрастающая по и, минимальное (максимальное) решение в < и,ü > задачи (0Л)—(0.2) может быть найдено с помощью итерационной схемы:

Luk+i = д(х,щ) в О, 11

Вщ+1 = 0 на сЮ, к = 0,1,2,.; «о = и (щ = w) [41]. Более тонкая техника используется в случае, когда предположение о неравенстве и < й отсутствует [65], с такой стуацией приходится сталкиваться при изучении резонансных краевых задач. Важно отметить, что предположение о существовании упорядоченных верхнего и нижнего решений краевой задачи позволяет сильно ослабить ограничения на рост нелинейности по фазовой переменной на бесконечности. C.A.Stuart и J.F.Toland применяя вариационные методы и метод верхних и нижних решений установили существование сильных решений задачи (0.1)—(0.2) в случае, когда коэффициент с дифференциального оператора L равен нулю и д(х,и) = д(и) не зависит от ж и имеет ограниченную вариацию на любом отрезке прямой.

Различные подходы к изучению краевых задач для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями, использующие верхнее и нижнее решения, были реализованы в работах S.Heikkila, S. Carl и V.Lakshmikantham. Предложенный S.Heikkila в [67] метод обощенных итераций был применен в [56] к задаче (0.3)—(0.4), в предположении, что существуют слабые нижнее и и верхнее и решения этих задач, и < м, и постоянная М > 0 такие, что д(х, t, s) + Ms - возрастающая по s на [и, й]. Устанавливается существование минимального и максимального слабых решений задачи (0.3)-(0.4) на < и, и >. В [57] рассматривается включение

Au + ß(u) Э F(u) в П, (0.6) и = 0 на Ш, (0.7) где О - ограниченная область в Rn с достаточно гладкой границей «90, А = - Е -¡¡¿:(a,ij(x)-£-) + Е - - равномерно эллиптический дифференциальный оператор с а^, Ьг; £ L°°, Fu(x) = f(u(x)), / : R —> R, такая, что для некоторой М > 0 /(s) + М - неубывающая на R, ß : R —> имеет максимально монотонный график в R2. Доказывается, что, если существуют нижнее м и верхнее й решения задачи (0.6)—(0.7) и и < м, то в конусном отрезке < и,й > существуют минимальное и максимальное слабые решения этой задачи. Доказательство использует метод обобщенных итераций из [67]. При этом задача (0.6)-(0.7) заменяется на эквивалентное вариационное неравенство, порождающее монотонное в < > отображение, неподвижные точки которого совпадают с решениями вариационного неравенства.

В [59] эти же авторы изучают задачу

Au = f(u,u) в О, (0.8) ди = д(и,и) на <90, (0.9) где О и А те же, что и в (0.6), Jj - конормальная производная на <90, f(u,v), g(u,v) - непрерывны по первой переменной на R и существует М > 0 такая, что f(u,s)+ Ms, g(u,s) + Ms неубывающие по s функции на R. В предположении, что задача (0.8)-(0.9) имеет слабые нижнее и и верхнее й решения, и < й, устанавливается, что в конусном отрезке < и, й > она имеет минимальное и максимально е слабые решения. Доказательство базируется на результатах о существовании решений вспомогательной краевой задачи вида

Аи = /(ж, и) в О, = д(х,и) на <90, с непрерыыными по и нелинейностями / и д. и обобщенном итеративном методе из [58].

В [61] изучается задача Дирихле для нелинейного эллиптического дифференциального включения вида

Аи + Р(и, и) Э д(и, и) в О, и = 0 на <90, в ограниченной области О 6 R" с достаточно гладкой границей, где Аи = — £ нелинейный равномерно эллипти

1 ^ ческий дифференциальный оператор в О, : R х R —{0} имеет максимально монотонный график в R по отношению ко второму аргументу, и /?(г, s) = [/(г, s — 0), /(г, s + 0)], где / непрерывная по первому аргументу и неубывающая по второму функция. Нелинейность д : R х R —> R предполагается непрерывной по первому аргументу и неубывающей по второму. В предположении о существовании нижнего и и верхнего и слабых решений, иквазивариационному неравенству с разрывной нелинейностью.

В [68] рассматривается начальная задача х1 = A(t)x + g(t,x), ж(0) = ж0, (О.Ю) t е J — [0, с], в банаховом пространстве Е, где {A(t),t Е J} семейство замкнутых линейных операторов с плотными областями определения D(A(t)) из Е, действующих в Е. С этим семейством связано семейство (T(t,s), 0 < s < t < с}, линейных ограниченных операторов в Е, таких, что A{t)x ~ lim T(t+hJ)x х £ D(A(t)) и i) T(t, t) = I, I - тождественный в Е оператор; и) T(t, s) • T(s, г) = T(t, v), 0

Непрерывность g(t, x) по x не предполагается. Если g : J xE —» E непрерывная и, если x дифференцируемое решение интегрального уравнения t x(t) = T(i, 0)х0 + J T(t, s)g(s, x(s))ds (0.11) о на J, то x решение задачи (0.10). Решение уравнения (0.11) называют тг'Ы-решением задачи (0.10). Устанавливаются результаты о существовании и единственности mild решений уравнения (0.11) и характере их зависимости от начальных данных, в предположении, что д(х, s) неубывающая по х (Е предполагается полуупорядоченным) и задача (0.10) имеет верхнее х и нижнее х mild-решения, х

Исследованию вопроса разрешимости поставленных задач посвящен ряд работ В.Н. Павленко [16]—[34]. В [16]—[19], [21], [24] к исследованию задач (0.1)—(0.2) и (0.3)-(0.4) применяется метод монотонных операторов. Приводятся общие теоремы существования операторного уравнения

Ах + F(x) = 0, (0.12) являющихся точками радиальной непрерывности оператора Т (возможно разрывного). Оператор А - линейный замкнутый с плотной в вещественном рефлексивном банаховом пространстве Е областью определения. С помощью установленных автором общих теорем доказывается существование полуправильного решения задачи (0.1)—(0.2) в случае граничного условия Дирихле, в предположении, что нелинейность д(х, и) из уравнения (0.1) измерима по х, имеет только "прыгающие" разрывы и непрерывна справа на R, а коэффициенты bj и с оператора L равны нулю.

В [21] В.Н. Павленко были получены достаточные условия существования решений уравнения (0.12), являющихся точками радиальной непрерывности оператора А + Т, при более слабых, чем в [19] ограничениях на точки разрыва оператора Т, в предположении, что оператор А нелинейный в Е. Общие результаты применены для доказательства полуправильных решений задачи (0.3) (0.4) в случае, когда оператор из уравнения (0.3) имеет вид:

Работы [17], [20], [22], [25] посвящены вариационному методу исследования разрешимости задач (0.1)—(0.2) и (0.3)-(0.4). В [20] и [22] устанавливаются предложения о разрешимости уравнения Тх = 0, в случае, когда Т - квазипотенциальный оператор; при этом не делается предположений о монотонности Т. В качестве приложений полученных общих результатов здесь же доказаны теоремы существования полуправильных решений задачи Дирихле для уравнения (0.1), при более слабых, чем в [19] и [21] ограничениях на характер разрывов и рост нелинейности д(х, и).

В [23] В.Н.Павленко была предложена абстрактная схема метода верхних и нижних решений, основным элементом которой является теорема о существовании обобщенных (в определенном смысле) решений для уравнений с разрывными операторами в полуупорядоченных банаховых пространствах. Здесь же приводятся условия достаточные для того, чтобы обобщенное решение было сильным. Рассматривается задача (0.3)—(0.4), когда дифференци

Г\ ТЬ А е\ альный оператор Ь имеет вид: Ь = ^ — £ а нелинейность д(х^,и) для почти всех (х, имеет по и подлинейный рост и ограниченную вариацию на любом отрезке. Кроме того предполагается,что д(х, и) равна разности суперпозиционно измеримых и почти всюду на фг неубывающих по и функций. При этом на разрывы д(х^,и) по переменной и накладываются более жесткие ограничения, чем А1-условие для уравнения (0.3): существует не более чем счетное семейство поверхностей {5г-,г £ /}, 5,- = {(М,к)|и =

Перейдем к содержанию диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ульянова, Оксана Владиславовна, 1999 год

1. Агмон С., Дуг лис А., Ниринберг JX. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962.

2. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972.

3. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

4. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

5. Гольдштик М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Дан СССР. 1962. Т.147,№6. С.1310-1313.

6. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962.

7. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа М.: Наука, 1975.

8. Красносельский М.А., Лусников A.B. Правильные неподвижные точки и устойчивые инвариантные множества монотонных операторов //Функц. анализ и приложения. 1996. Т.ЗО, вып.З. С.34-46.

9. Красносельский М.А., Покровский A.B. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями //Докл. АН СССР. 1976. T.226,N£3. С.506 509.

10. Красносельский М.А., Соболев A.B. О неподвижных точках разрывных операторов //Сиб. мат. журн. 1973. T.XIV,№-3. С. 674-677.

11. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

12. Красносельский М.А., Покровский A.B. Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностями //ДАН, 1995. Т.342, №6. С.731-734.

13. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

14. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

15. Павленко В.Н. Существование решений у нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами // Вест. Моск. ун-та. Мат.мех. 1973. №6. С.21-29.

16. Павленко В.Н. О разрешимости нелинейных уравнений с разрывными операторами //Докл. АН СССР. 1972. Т.204, №3. С. 506-509.

17. Павленко В.Н. Нелинейные уравнения с разрывными операторами в банаховых пространствах // Укр. мат. журн. 1979. Т.31, №5. С. 569-572.

18. Павленко В.Н. Существование решений нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами // Укр. мат. журн. 1981. Т.ЗЗ, NЧ. С.547-551.

19. Павленко В.Н. Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенциальными операторами // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, №8. С. 1397-1402

20. Павленко В.Н. О существовании полуправильных решений задачи Дирихле для квазилинейных уравнений эллиптического типа // Укр. мат. журн. 1989. Т.41, N42. С.1659-1664.

21. Павленко В.Н. Полуправильные решения эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. 1991. Т.43, №2. С.230-235.

22. Павленко В.Н. О существовании полуправильных решений первой краевой задачи для уравнения параболического типа с разрывной немонотонной нелинейностью //Дифференц. уравнения. 1991. Т.27, №3. С.520-526.

23. Павленко В.Н. Метод монотонных операторов для уравнений с разрывными нелинейностями // Изв. вузов. Математика. 1991. №6. С.38-44.

24. Павленко В.Н. Эллиптические вариационные неравенства с разрывными полумонотонными операторами // Вестн. Челябинского ун-та. Математика, Механика. 1991. №-1. С. 29-37.

25. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами // Сиб. мат. журн. 1992. Т.33, N-3. С.216 Деп. ВИНИТИ за №2778-В91.

26. Павленко В.Н. О разрешимости вариационных неравенств с разрывными полумонотонными операторами // Укр. мат. журн. 1993. Т.45, №3. С.443-447.

27. Павленко В.Н. Метод монотонных операторов в задачах управления распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями //Изв. вузов. Математика. 1993. №8. С.49-54.

28. Павленко В.Н. Об одном классе задач управления распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями // Известия РАН. Техническая кибернетика.1994. №4. С.204-209.

29. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами // Вестн. Челябинского ун-та. Математика. Механика. 1994. №1(2). С.87-96.

30. Павленко В.Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейно-стями // Укр. мат. журн. 1994. Т.46, №6. С.729-736.

31. Павленко В.Н. Вариационныйметод для уравнений эллиптического типа с разрывной нелинейности // УМН. 1994. Т.49,№1(2). С.138.

32. Павленко В.Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями //Дифферент уравнения. 1995. №9. Деп. ВИНИТИ за №769-В95.

33. Павленко В.Н. Существование сильных решений уравнений параболического типа с разрывынми нелинейностями // УМН. 1995. Т.50, №4. С.127-128.

34. Павленко В.Н. Уравнения и вариационные неравенства с разрывными нелинейностями. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук Екатеринбург, 1995.

35. Покровский А.В. Корректные решения уравнений с сильными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1984. Т.274, №5. С.346 347.

36. Рязанцева И.П. Об уравнения с полумонотонными разрывными отображениями // Мат. заметки. 1981. Т.30, N-1.

37. Соболев C.JL Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд-во Ленингр. ун-та, 1950.

38. Amann Н. On the number of solutions of nonlinear equation in ordered Banach spaces //J. Funct. Anal. 1972. Vol.11. P.346-384.

39. Amann H. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces //SIAM Review. 1976. Vol.18, №4. P.620-709.

40. Amann H. Supersolutons, monotone iterations, and stability //J. Different. Equat. 1976. Vol.21. P.363-377.

41. Amann H. Existense and multiplicity theorems for semi-linear elliptic boundary value problems //Math. Z. 1976. Vol.150. P.281-295.

42. Amann H., Crandall M.G. On some existence theorems for semilinear elliptic equations //Indiana Univ. Math. J. 1978. Vol.27, №5. P.779-790.

43. Badiale M. Semilinear elliptic problems in Rn with discontinuous nonlinear //Atti Semin. mat. e fis. Univ. Modena. 1995. Vol.43,2. c.293-305.

44. Badial m., Tarantello G. Existence and multiplicity results for elliptic problems with critical growth and discontinuous nonlinearities //Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl. 1997. Vol.29,№6. P. 639-677.

45. Basile N., Mininni M. Some solvability results for elliptic boundary value problems in resonance at the first eigenvalue with discontinuous nonlinearities // Boll. Un. Math. Ital., Ser. 5. 1980. Vol.l7-B, №3. P.1023-1033.

46. Berkovits J., Tienari M. Topological degree theory for some classes of multis with applications to hyperbolic and elliptic problems involuing discontinuons nonlinearities // Dyn. Syst. and Appl. 1996. Vol.5, №1. C.l-18.

47. Bocea M., Radulescu V. Probl'emes elliptiques avec non-lin'eariti'e discontinue et second membre L1 //C. r. Acad, sci Ser. 1. 1997. Vol.324, №2. C.169-172

48. Bouguima S.M. On differential equations with discontinuous nonlinearities // Abst. Invit. 7 th Int. Colloq. Differ. Equat., Plovdiv Aug. 18-23, 1996. Sofia. 1996. P.37.

49. Bougima S.M., Boucherif A. A discontinuous semilinear elliptic problems without a growth condition // Dyn. Syst. and Appl. 1993. Vol.2, №2. P. 183-188.

50. Brill H. On the solvability of semilinear elliptic equations with nonlinear boundary conditions // Math. Anall. 1976. Vol.222. P.37-48.

51. Browder F.E. Nonlinear maximal monotone operators in Banach space // Math. Ann. 1968. Vol.175. P.89-113.

52. Browder F., Hess P. Nonlinear mappings of monotone type Banach spaces // Funct. Anall. 1972. Vol.11, №3.

53. Cardinali T., Fiacca A., Papageorgiou H.S. Extremal solution for nonlinear parabolic with discontinuities //Monatsh. Math. 1997. Vol.124, №2. P.119-131.

54. Carl S. The monotone iterative technique for a parabolic boundary value problems with discontinuous nonlinearity // Nonlinear Anal. 1989. Vol.13, №12. P.1399-1407.

55. Carl S., Heikkila S. On a parabolic boundary value problems with discontinuous nonlinearity // Nonlinear Anal. 1990. Vol.15, №11. P.1091-1095.

56. Carl S., Heikkila S. An existence result for elliptic differential inclusions with discontinuous nonlinearity // Nonlinear Anall/ 1992/ Vol/18, №-5. P.471-479

57. Carl S., Heikkila S., Kumpulainen M. On a generalized iteration method with applications to fixed point theorems and elliptic systems involving discontinuities // Nonlinear Anall. 1993. Vol.20, №2. P.157-167.

58. Carl S., Heikkila S. On the existence of extremal solutions for discontinuous elliptic equations under discontinuous flux conditions // Nonlinear Anal. 1994. Vol.23, №12. P.1499-1506.

59. Carl S., Heikkila S. Extremal solutions of quasilinear parabolic boundary value problems with discontinuous nonlinearities //Dyn. Syst. and Appl. 1994. Vol.3, №2. P.251-258.

60. Carl S., Heikkila S., Lakshmikantham V. Nonlinear elliptic differential inclusions governed by state-dependent subdifferentials // Nonlinear Anal. 1995. Vol 25, №7. P.729-745.

61. Chang K.-C. The obstacle problem and partial differential equations with discontinuous nonlinearities // Comm. Pure Appl. Math. 1980. Vol.33, №2. P.117-146.

62. Chang K.-C. Varitional methods for nondifferentiable functional and their applications to partial differential equations //J. Math. Anal, and Appl. 1981. Vol.80, №1. P.102-129.

63. Chang K.-C. Free boundary problems and the set-valued mappings //J. Different. Equat. 1983. Vol.49, №1. P.l-28.

64. Gosser J.-P., Omari P. Non-ordrered lower and upper solutions in semilinear elliptic problems // Commun, in Partial differential equations. 1994. Vol.19, №7-8. P. 1163-1184.

65. Gonsalves J.V., Correa F.J.S.A. //Dyn. Syst. and Appl. 1994. Vol.3, №2. P.267-274.

66. Heikkila S. On fixed points through a generalized iteration method with applications to differential and integral equations involving discontinuities // Nonlinear Anal. 1990. Vol.14, №5. P.413-426.

67. Heikkila S., Lakshmikantham V. On mild solutions of first order discontinuous semilinear differential equations in Banach spaces // Appl. Anal. 1995. Vol.56, №1-2. P.131-146.

68. Kuiper M.J. On positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems //Rend. Circolo mat. Palermo. Ser.2. 1971. V.20,№2-3. P.113-138.

69. Liu Z. Monotone methods for elliptic boundary value problems with discontinuous nonlinearities // Ann. Univ. Sci. Budapest. Sec. Math. 1994. Vol.37, P.41-52.

70. Liu Z. On elliptic systems with discontinuous nonlinearities //Period, math. hung. 1995. Vol.30, №3. P.211-223.

71. Massabo L Elliptic boundary value problems at resonance with, discontinuous nonlinearities. //Boll. Un. Math. Ital., Ser. 5. 1980. Vol.l7-B, №3. P.1302-1320.

72. Rockafellar R.T. Local boundodness of nonlinear monotone operators // Michigan Math. J. 1969. Vol.16, N4. P.397-407.

73. Stuart C.A. Maximal and minimal solutions of elliptic differential equations with discontinuous nonlinearities //Math. Z. 1978. Vol.163. P.239-249.

74. Stuart C.A., Toland J.F. A varitional method for boundary, value problems with discontinuous nonlinearities //J. London Math. Soc., Ser. 2. 1980. Vol. 21, №2. P.319-328.

75. Stuart C.A., Toland J.F. A property of solutions of elliptic differential equations with discontinuous nonlinearities //J. London Math. Soc., Ser. 2. 1980. Vol. 21, №2. P.329-335.

76. Szil'agyi P. Differential inclusions for elliptic systems with discontinuous nonlinearity // Stud. Univ. Babes-Bolyai. Math. 1993. Vol.38, №2. P.21-30.

77. Ульянова О.В. Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // XX студ. научн. конф. "Студент и научно технический прогресс". Тез. докл. Челябинск, ЧелГУ. 1996. С.9-10.

78. Ульянова О.В. Метод верхних и нижних решений для задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Материалы XXXV междунар. научн. студ. конф. Новосибирск: НГУ. 1997. С. 115-116.

79. Ульянова О.В. О модификации абстрактной схемы метода верхних и нижних решений //Конф. "Наука, культура и образование России накануне третьего тысячелетия". Тез. докл. Челябинск: ЧГПУ. 1997. С.ЗО.

80. Ульянова О.В. Об одном обобщении абстрактной схемы метода верхних и нижних решений // Воронежск. вес. мат. школа "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягин-ские чтения IX". Тез. докл. Воронеж: ВГУ. 1998. С.200.

81. Павленко В.Н., Ульянова О.В. Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными не-линейностями //Известия вузов. Математика. 1998. №-11. С. 69-76.

82. Ульянова О.В. О модификации абстрактной схемы метода верхних и нижних решений для уравнений параболического типа с разрывными нелинейностями //Рук. деп. ВИНИТИ392 3 99 с- Об: сл. уд.