Условная оптимизация с ограничениями в виде уравнения с монотонными операторами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Исмаилов Исмаил Габулла оглы

• Исмаилов Исмаил Габулла оглы
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Исмаилов Исмаил Габулла оглы

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА

Общие торемы об условной оптимизации в банаховых пространствах

§1.1. Постановка задачи и примеры

§1.2. Предварительные сведения

§1.3. О существовании экстремума

1.4. Условия оптимальности

1.4.1. Некоторые следствия леммы

1.4.2. Оптимальность в общей минимизационной задаче

§1.5. Условия оптимальности в задачах оптимизации с линейными уравнениями состояния

1.5.1. Необходимое условие оптимальности первого порядка (I)

1.5.2. Необходимое условие оптимальности первого порядка (II)

1.5.3. Минимизация функционала энергии. Необходимые и достаточные условия оптимальности

§1.6. Минимизация неаддитивных функционалов

ГЛАВА

Оптимальное управление коэффициентами эллиптических уравнений второго порядка

§2.1. Существование экстремума в задачах управления младшими коэффициентами

§2.2. Существование экстремума в задачах управления старшими коэффициентами

§2.3. Условия оптимальности в задачах управления старшими коэффициентами

ГЛАВА

Оптимизация области задания граничных задач

§3.1. Уравнения с неограниченными коэффициентами

§3.2. Постановка задачи об оптимальном выборе области задания граничных задач

§3.3. Условия оптимальности

§3.4. О существовании оптимальной области

ГЛАВА

Задача оптимального выбора коэффициентов эллиптических уравнений четвертого порядка

§4.1. Свойства сравнения решений граничных задач для эллиптических уравнений четвертого порядка

§4.2. Разрешимость граничной задачи для квазилинейного уравнения с монотонными коэффициентами

§4.3. Минимизация интегрального функционала

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Условная оптимизация с ограничениями в виде уравнения с монотонными операторами»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Спектр практических проблем, которые приводят к задачам условной оптимизации при наличии связей в виде граничных или начально-краевых задач для уравнений с частными производными очень широкий. Систематическое изучение таких задач начинается с 60-х годов. Ранее исследования в этой области концентрировались вокруг небольшого числа одномерных задач. Развитием математических методов оптимизации (методов вариационного исчисления, теории оптимальных процессов, нелинейного программирования и др.) в последующий период стало возможно проведение общих исследований в этом направлении. Основные результаты того периода систематизированы в монографиях А.Г. Бутковского [54] и Ж.-Л. Лионса [1].

В книгах Ж.-Л. Лионса [1] и К.А. Лурье [5] обращается внимание на специфику задач оптимизации старших коэффициентов эллиптических уравнений 2-го порядка на аспектах разрешимости [1] и вывода необходимых условий оптимальности [5]. В работах [11,28,44] приведены примеры задач оптимизации старших коэффициентов, в которых отсутствует оптимальный коэффициент. В целом, общие теоремы разрешимости задач оптимизации старших коэффициентов удалось доказать после разработки теории сходимости обратных операторов - О-сходимости [6,7,43,55,56]. Но эта теория показала, что, например, компактное в своем пространстве множество скалярных старших коэффициентов не замкнуто в О-топологии, и соответствующее расширение экстремальной задачи (т.е. О-замыкания класса скалярных коэффициентов) [34,45] приводит к задачам оптимизации в классе матриц. Ниже в примере 1В это означает, что свойства мембраны из изотропного материала могут быть сколь угодно близки к свойствам мембраны из анизотропного материала. Это обстоятельство углубляет важность разработки методов для поиска оптимальных матриц.

Упомянутые в [5] проблемы на пути получения необходимых условий оптимальности решены в работах [13,16]. В работах [10,12,13,16] найдены условия оптимальности, установлена разрешимость некоторых классов задач.

Вопросы существования оптимальной области задания граничных задач рассматривались в работах [9,18,20,21,23] и др. Подходы к решению таких задач предложены в работах [5,13,33,49,51,58,59,60] и др.

Постановка задач. В работе рассматриваются вопросы разрешимости и методы решения некоторых классов задач условной оптимизации. Отличительной чертой у рассматриваемых задач является наличие ограничений в виде операторного уравнения и включения.

Пусть В - банахово пространство, V - рефлексивное банахово пространство, V' - пространство, сопряженное с V, К с В - некоторое множество. Формулировка основной группы задач, рассматриваемых в настоящей работе, следующая.

Задача З. 3(к, и) ^ шт

А(к)и = /(к), к е К, (1)

где А(к) -.V ^ V', / (к) е V' при к е К.

Предполагается, что уравнение (1) имеет единственное решение и(к) е V для

любого к е К.

Приведем некоторые примеры.

Пример 1В. Оптимальный выбор распределения жесткости мембраны. Задача заключается в минимизации целевого функционала 3(и) (например,

функционал податливости конструкции 3 = | / (х)и (х) на множестве реше-

□

ний из соболева пространства И\ (□) семейства граничных задач

к(х)Уи(х)) = /(х), х е О, (2)

и 1эп= 0,

где параметр семейства - коэффициент к - принадлежит множеству

К = {к е (О)| 0 < а < £(х) < к(х) < £(х) < да п.в. х е О} . (3)

Здесь Ос Я2 - некоторая область, а ^е^(□) - известные функции.

Пример 2В. Минимизация жесткости кручения или крутящего момента, соответствующего единичной степени кручения [4,5]. Задача состоит в минимизации функционала

J (u) = 21 u (x)dx,

Q

на множестве областей

{Q | Qc П} (3')

задания граничной задачи

-div(Vu( x)) = 2,

u L= 0-

Здесь П c R2 - некоторая область.

Разрешимость общей минимизационной задачи такого рода установлена в работах [9,18,23].

В виде задачи З формулируются также задачи математического программирования.

Пример 3В. Пусть в задаче З B = B xV, K = K х K, K c B, K c V', A(k)u = Л(кх )u, f (к) = к2. Тогда операторное уравнение приобретает вид A(k )u = к2, и мы получаем задачу условной оптимизации с ограничением в виде операторного включения Л(кх)u е K2. В частности, если K = B,V' = R, а K2 = {к2 = (к21,к22) | к21 > 0, к22 > 0}, то задача З переходит в задачу математического программирования с двумя ограничениями в виде неравенств. Случай K2 = V' соответствует отсутствию ограничения Л(кх )u = к2.

Пример 4В. Пусть в примере 3В Л(кх)u = Au, J(к,u) = J(u), K2 = AU, где A: V ^ V' - линейное взаимно однозначное отображение, U c V - некоторое выпуклое множество. В этом случае мы имеем общую задачу условной оптимизации:

J(u) ^ min u е U.

Степень разработанности.

1. Одна из особенностей задачи З является наличие ограничения в виде включения, притом множество K необязательно открыто. Такие задачи принято называть неклассическими задачами вариационного исчисления. В этом отношении они родственны к задачам оптимального управления в понтрягин-ской форме [30,31], для решения которых имеется весьма эффективный метод - принцип максимума Понтрягина. Поэтому естественным было стремление получить аналогичные условия оптимальности для задач типа З. Исследования в этом направлении, занимали центральное место в многочисленных работах, основными среди которых можно назвать работы [1-5, 8,19,42]. Такую цель легко достичь для одномерных задач (см. [30,31,33]).

Получить необходимые условия оптимальности в задачах типа З можно также снятием ограничения в виде включения с помощью искусственно введенных управлений. Тогда эта задача превращается в классическую задачу вариационного исчисления, для которой имеется необходимое условие оптимальности в виде принципа Лагранжа. Проиллюстрируем сказанное в примере одной задачи: положим в примере 1В

k (x) = \[(£( x) -£( x))sinp( x) + £( x) + £( x)], x eQ, (4)

где р - произвольная измеримая функция. Тогда задача из примера 1В переходит в задачу

J (u) ^ min

u, p

р ( x) e Lx (Q),

div{[(£ (x) - £ (x))sinp(x) + £ (x) + £ (x)]Vu( x)} = 2 f, x eQc R2, (5)

u I5Q= 0.

Составим функционал Лагранжа для этой задачи:

L(u, w, p) = ÄJ (u) + | {[(£ (x)-£ (x ))sinp( x) + £ (x) + £ (x)](Vu, Vw) - 2 fw}dx

Q

где w е #1(О). Согласно принципа Лагранжа оптимальная пара (и(х), р(х)) в этой задаче должна удовлетворять системе уравнений

Ь' (и, w, р) = 0 ^ (£ (х) - £ (x))cosp(х)(Уи(х), Vw(х)) = 0, (6)

ьи ( и , ^^ р ) = 0 ^^^ { [( £2 (х) - £ (X)) в тр (х ) + £2 (х) + £ (х)] х) } = Ы'и ии ). (7) Здесь ьр, ьр, / - соответствующие частные производные. Если из

свойств системы уравнений ((2), (7)) дополнительно удастся извлечь неравенство (Уи( х), Vw( х)) Ф 0 для почти всех х е^, то из равенства (6) получим

СОБр( х) = 0.

Следовательно, функция к (х) в уравнении (4) принимает только два значения:

Г £(х), х еО', (х) [£ (х), х еО \ О ' . ()

Здесь О ' с О - некоторая подобласть. Не останавливаясь на других аналогичных примерах исключения ограничений (см. [33]), отметим следующее. С помощью необходимого условия оптимальности первого порядка в виде принципа Лагранжа удалось установить, что оптимальный коэффициент в этой задаче принимает только два значения.

Но из результатов работ А. Марино и С. Споньоло [61], Райтума У.Е. [34], С. Споньоло [43,55] следует, что коэффициенты вида (8), т.е. коэффициенты подозрительные на экстремум, в О-топологии всюду плотны в классе матриц.

2. С похожей проблемой сталкиваемся также, решая задачу оптимального выбора области задания эллиптической системы.

Имеющиеся методы решения такой минимизационной задачи опираются на построение векторных полей [58,59]. Общая схема этих методов следующая.

Пусть ¥ - семейство вектор-функций вида V: Я| х Я" ^ Я". Предположим, что задача Коши

х ' = х), (13)

X (0) = х0 (14)

разрешима для любого V (X, х) е^ и для любого х0 еП0 . Тогда каждая пара (?0, V (X, х)) отображает По на область П(£0 ,К0 (X, х)) = (х(?, х0 )| х0 еП0 }, где х(?, х0) - решение задачи ((13), (14)).

Решая граничную задачу ((2), (3)) в области , V (X, х)), можно построить семейство решений этой граничной задачи, соответствующее классу {{/} х^ | X е }. Далее, вычисляя вариации функционала в классе {{X} х^ | X е Я+}, можно найти необходимые условия оптимальности. Так же для фиксированного векторного поля V (X, х)) можно найти численное решение задачи ((13), (14)), а затем задачи ((2), (3)) при разных X и сравнить значения функционала (1) на решениях задачи ((2), (3)), соответствующих разным значениям X.

При этом отметим следующие три момента.

1) Применение этого метода предполагает "правильного" выбора начальной области П0. Если рассматривается множество областей типа (3'), то задачу ((13), (14)) нужно решить при дополнительных фазовых ограничениях, обеспечивающих принадлежность областей ,К0 (X, х)) к П.

2) Получение необходимых условий оптимальности предполагает гладкость векторных полей, из-за чего сравнение осуществляется только в классе областей с гладкими границами.

3) Численный метод решения по вышеизложенной схеме требует громоздких вычислений. Но сравнение производится в узком классе областей, притом только среди односвязных. Рассмотрение многосвязных областей требует допущение многосвязности начальной области. Если начальное множество многосвязное, то задачу ((13), (14)) нужно решить при дополнительных фазовых ограничениях, исключающих проницание компонентов связности друг в друга.

Исследование вопросов разрешимости такого рода минимизационных задач в более общей постановке изучены в работах [9,18,23,49]. Притом рассматриваемые в этих работах классы областей значительно шире, чем класс {О(^,V(¿,х))| (¿0,V(^,х))е{(?}х¥|^еЯ1+}} . Поэтому разработка методов поиска оптимальной области в этих классах тоже остается одним из важных вопросов в теории этих задач.

3. Построенные многочисленные примеры [11,28,44] несуществования оптимального управления в эллиптических системах указывает на неэффективность схемы из доказательства теоремы Вейершрасса - «минимизации непрерывного функционала на компактных множествах». Соответствующее расширение задачи - замыкание класса управлений в G-топологии часто приводит к задачам, лишенным физического смысла, например, к поиску оптимальной толщины пластинки в виде тензора [3,11]. Этот факт указывает на необходимость привлечения иных методов для доказательства разрешимости оптимизационной задачи.

Также отметим, что имеющиеся методы решения этих задач в большинстве своем основаны на приведении уравнения состояния к задачам с одной пространственной переменной и использованию принципа максимума Понт-рягина или правила Лагранжа. Но правило Лагранжа для этих задач неэффективно.

Цели исследования. Целью диссертации является исследование двух основных вопросов, связанных с задачами условной оптимизации со связями в виде операторных уравнений:

■ существование оптимального решения

■ методы поиска решения:

а) вывод необходимых условий оптимальности;

б) построение численных методов оптимизации.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В ней впервые доказываются (разными методами) условия оптимальности для общей задачи условной оптимизации со связью в виде операторных

уравнений, в частности, для задач оптимального управления эллиптическими системами. Из доказанных необходимых условий выводятся принцип максимума Понтрягина и правило множителей Лагранжа для этих задач. Для одного класса невыпуклых задач доказывается необходимое и достаточное условие оптимальности, т.е. на них обобщается теорема Каруша-Куна-Таккера. Доказаны ряд теорем разрешимости оптимизационных задач. Построена теория оптимального выбора области задания граничных задач,

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации построена единая теория задач условной оптимизации при наличии ограничений в виде уравнений с монотонными операторами, приведены общие методы решения таких задач. Вопросы разрешимости, непрерывной зависимости решения от данных задачи и методы решения изложены с единой позиции. Обращено внимание на некоторые возможные усиления теорем. Некоторые ранее известные утверждения теории оптимизации получены как следствия утверждений этой теории.

Практическая ценность работы заключается в том, что исследования некоторых типов задач доведены до этапа использования пакетов прикладных программ. Это относится к задаче оптимизации области задания граничных задач и к задаче оптимизации коэффициента нелинейного уравнения четвертого порядка. В некоторых случаях выписываются явные формулы для решений задач.

Методология и методы исследования. Теоремы о существовании экстремума - оптимального коэффициента или правой части - в работе доказываются путем установления компактности множества решений уравнения состояния, двумя способами:

1) через их непрерывную зависимость от управляющего параметра;

2) через разрешимость обратных задач.

Для исследования задач о выборе оптимальной области задания эллиптических систем, вводится понятие решения уравнения с неограниченными коэффициентами, с помощью которого задача оптимизации области задания

эллиптических уравнений приводится к задаче оптимального выбора их младших коэффициентов. Вводится понятие невырожденной задачи, устанавливается критерия разрешимости. Для доказательства разрешимости одного класса задач с нелинейным уравнением состояния непосредственно строится минимизирующая последовательность, доказывается ее сходимость.

Для поиска решения оптимизационных задач доказываются необходимые условия оптимальности, характеризующие их решения. Для одних типов задач формулы решения получаются из условий оптимальности, для решения других предлагаются численные методы. Положения, выносимые на защиту.

1. Для задач оптимизации в банаховых пространствах с ограничениями в виде уравнений с сильно монотонными операторами доказываются необходимые условия оптимальности в форме принципа Лагранжа.

2. Задача выбора оптимальной области задания граничных задач для эллиптической системы сведена к задаче оптимизации коэффициентов. С использованием принципа Лагранжа разработан численный метод решения.

3. Разработан итерационный метод поиска оптимальных коэффициентов линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Апробация результатов. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на научной конференции XXI Гагаринские чтения, Москва, 1995, на международной конференции, посвященной памяти академика А.Н. Тихонова, ПPP-96, МГУ, на международной конференции «Интеллектуальные системы», Санкт-Петербург, 1996.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах профессора Ф.П. Васильева на факультете ВМК МГУ, профессора Б.Т. Поляка в ИПУ РАН, профессора В.В. Арутюнова в РУДН, профессора А.В. Фурсикова на механико-математическом факультете МГУ.

Публикации. По теме диссертации имеется восемь публикаций. Основные результаты работы опубликованы в шести статьях из списка ВАК [10-13,16,17]. В работе [12] Исмаилову И.Г. принадлежат формулировки и доказательства результатов, Морозову В.В. принадлежат постановка задачи и проверка утверждений.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих в себя в совокупности 1 6 параграфов, заключения и списка литературы. Объем работы 112 страниц. Список литературы состоит из 72 наименований

В первой главе работы рассматриваются задачи условной оптимизации при наличии связей в виде операторных уравнений в абстрактных банаховых пространствах. Формулируются теоремы существования решения оптимизационной задачи и выводятся необходимые условия оптимальности для задач со связями в виде операторных уравнений. Доказываются утверждения, с помощью которых в последующих главах получаются необходимые условия оптимальности в виде принципа максимума Понтрягина и принципа Лагранжа для оптимизационных задач со связями в виде эллиптических граничных задач.

Во второй главе рассматриваются оптимизационные задачи со связями в виде эллиптических граничных задач второго порядка, приводится утверждения о существовании минимума, в частности, некоторые следствия результатов первой главы. Доказывается разрешимость некоторых классов оптимизационных задач со связями в виде эллиптических граничных задач второго порядка через разрешимость обратной задачи. Излагается метод нахождения оптимальной матрицы в задаче оптимизации с конечным и дифференциальным уравнениями состояния. Выводится необходимые условия оптимальности для задач о поиске оптимального распределения жесткости мембраны и оптимального распределения толщины пластины.

В третьей главе рассматриваются задачи выбора оптимальной области задания эллиптических дифференциальных уравнений произвольного порядка, предлагается метод, с помощью которого такие задачи можно свести к задаче управления коэффициентами, а значит и решить с помощью принципа максимума Понтрягина. Одновременно это позволяет заметить, что трудности в доказательствах существования оптимальной области задания и оптимальных коэффициентов эллиптических граничных задач связаны с одной и той же проблемой.

В четвертой главе рассматривается один класс задач управления старшими коэффициентами квазилинейной эллиптической граничной задачи четвертого порядка. Отличительной чертой этой задачи является то, что оператор уравнения состояния не является сильно монотонным, следовательно, ее нельзя решить с помощью методов первой главы. С целью демонстрации корректности постановки минимизационной задачи в этой главе доказываются теоремы существования и единственности решения соответствующей граничной задачи, а затем и оптимизационной задачи. При этом предлагается численный алгоритм решения поставленной минимизационной задачи.

Суть проблем, связанных с задачами, рассматриваемыми в настоящей работе, автор изложил в том виде, в каком он их себе представлял, занимаясь этими задачами в студенческие и аспирантские годы.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Морозову Владимиру Викторовичу за каждое его замечание и за то большое внимание, которое Владимир Викторович оказал при публикации работ по теме диссертации.

ГЛАВА 1

Общие торемы об условной оптимизации в банаховых

пространствах

§1.1. Постановка задачи и примеры

Рассмотрим задачу минимизации функционала

/(А, и) (111)

на некотором множестве М операторов А: V ^ V', где и является решением уравнения состояния

Аи = / (1.1.2)

для некоторого фиксированного / е V'.

Относительно множества М предполагается, что для любого оператора А е М существует единственное решение и е V операторного уравнения (1.1.2). Таким образом, уравнение (1.1.2) определяет отображение и: М ^ V.

Пример 1. Задача выбора оптимальных характеристик мембраны из анизотропного материала, прогибающей на упругом основании [25]. Пусть минимизируется функционал /(и) (например, функционал податливости конструкции / = | £иёх) на решениях из соболева пространства И\ (О) се-

о

мейства уравнений

&у(к(х)А(х)Уи(х)) + к(х)а(х)и(х) = /(х), хеО, где параметр семейства - функция к(х) - принадлежит множеству:

К = {ке4(О)| 0<а<£(х)<к(х)<£(х)<да п.в. хеО} . Здесь Ос Я2 - некоторая область, £ ,£ е 4 (О) - известные функции, А( х) -матрица с ограниченно-измеримыми элементами, притом для некоторого у > 0 < А(х)£, £) > у | £ |2 для любых £ е Я2 и для почти всех х е О, а е 4 (О) - известная функция, удовлетворяющая при некотором д > 0 условию а (х) > д для почти всех х еО.

Пример 2. Пусть функционал J(и) минимизируется на решениях из H 1(0), Ос Я2, граничной задачи

-Шу{к (х )Уи( х)} = 2, ди

к (ё(х к1( х)),

дп

где коэффициент k принадлежит множеству

К^ = [к е 4(О) | 0 < а < к(х) < < да п.в. х е О, |кХ(х^х <^шеБ(О)}

О

Здесь ^ > 0, ё - известная функция своих аргументов, а к - параметр, управляющий граничным режимом и меняющийся в некотором заданном множестве к.

Решением уравнения состояния при этом является функция и е Н), удовлетворяющая интегральному тождеству

| к (х)Уи( х)Ут( x)dx = 2| x)dx +1 ё (х, кх (х))у( х )dx, Уу е Н !(О).

О О О

Здесь управляющий параметр входит также в правую часть уравнения состояния.

Пример 3. Пусть минимизируется функционал

1

3 (и) = | (и( х) - 2 (х))2 dx (1.1.3)

о

на множестве

К = {к е 4 (0,1), 0 <а< к(х)<^<да п.в. х еО}, (114)

где и - обобщенное решение из Н1(0,1) следующей граничной задачи:

А(к )и = -(ки'х )х = ё, (1.1.5)

и (0) = и (1) = 0, (1.1.6)

2 е Н1(0,1) - заданная функция.

Существование решения этой минимизационной задачи вытекает, в частности, из результатов работ [6,43], где показано, что множество решений граничной задачи ((1.1.5), (1.1.6))

и = [А (к)ё | к е К} слабо компактно. Однако вследствие шаткой зависимости обратного оператора А_1( к) от коэффициента к (х) трудно сформулировать требования относительно множества коэффициентов, гарантирующих компактность множества решений и. Например, задача ((1.1.3) -(1.1.6)) при типичном (см.[33]) дополнительном ограничении

| к( х^х = г = а+Р (1.1.7)

0 2

уже не имеет решения, если в качестве функции 2 (х) в функционале (1.1.3) взять решение граничной задачи

г 2ар ,Л

х У х

ё, (1.1.8)

а + р г (0) = г (1) = 0.

При этом отметим, что подмножество К - функций из К , удовлетворяющих дополнительному условию (1.1.7) - также является слабо* компактным.

Действительно, можно показать, что последовательность решений граничной задачи ((1.1.5), (1.1.6)), соответствующих коэффициентам

кп (х) =

21 21 +1

а, — < х <-

2п 2п , I = 0,1,..., п -1

„ 21 +1 21 + 2

Р, -< х <

2п 2п

сходится к решению задачи (1.1.8) в 4 (0,1). Следовательно,

М 3 (и) = 0,

кеК

но легко проверить, что на множестве К существует единственная функция

к0 (х) =-, удовлетворяющая уравнению (1.1.5) при и = г, причем

а + р

к0( х) £ К1.

Отметим, что многомерный аналог задачи ((1.1.3) -(1.1.6)) был предложен для исследования Ж.-Л. Лионсом в книге [1].

<

Многочисленные аналогичные контрпримеры несуществования решений оптимизационной задачи имеются и при отсутствии ограничения (1.1.7), но в случае более сложного, чем (1.1.5) уравнения состояния [28,44,45], а также для очень близких по смыслу задач управления областью задания уравнений состояния [9].

Пример 4. Пусть уравнение состояния в минимизационной задаче имеет

вид

-<у(Уи( х)) = 2,

и |5П = 0

и функционал / (и) минимизируется на множестве областей {О} задания этого уравнения. Разрешимость общей минимизационной задачи такого рода установлена в работах [9,18] для широкого класса областей. Но имеющиеся методы решения [59] не могут быть применены к поиску оптимального решения в этих классах. Тем самым, «ресурсы системы» остаются неиспользованными.

Обозначим через ^(О) характеристическую функцию области О. Как и в работе [8], можно уравнение состояния записать в виде

-ё!у{^(О)Уи( х)} = 2*(О), и( х)(х(О) -1) = 0

и рассмотреть эту задачу как задачу одновременного управления старшим коэффициентом и правой частью уравнения состояния (см. пример 2). Непосредственное применение нижеизложенной схемы к этой задаче затрудняется тем, что операторы -&у{^(О)Уи( х)} не являются коэрцитивными. При этом отметим, что эту схему можно сделать «применимой» для поиска оптимальной области. Но это потребует введения соответствующего понятия и обоснование его корректности. Задачи такого типа рассматриваются в третьей главе.

Пример 5. Пусть минимизируется функционал /(и) на решениях из Соболева пространства Н (О) семейства уравнений

-<Цу(А(х)Уи(х)) = /(х), х е О, где параметр семейства - матрица А( х) - принадлежит множеству

М = {A(x): Rm ^ Rm | у|£|2<<A(x)x, x)<S ||2, V£e при п.в. x eQ }. Здесь QcRm - некоторая область, а элементы матрицы А(x) - ограниченно-измеримые функции a e 4(Q), /, j = 1,.. .m, у > 0.

Пример 6. Пусть минимизируется функционал J(u) (например, функционал жесткости J(u) = max | u(x) |) на решениях уравнения, которое модели-

xeQ

рует изгиб нагруженной пластины с опирающимися краями:

A(k)u = A(k3Au(x)) = f(x), xeQcR2, (1.1.9)

U |5Q = Au |5Q = 0 ,

где параметр k (x) - толщина пластины - меняется на множестве

K = {k e 4 (Q)| 0 < a < k (x) <р<<ю п.в. x eQ}. Решением уравнения является функция u e W2(Q) о H,(Q), удовлетворяющая интегральному тождеству

J(k(x))3Au(x)Av(x)dx = J f (x)v(x)dx, Vv e W22(Q) о H0!(Q).

Q Q

§1.2. Предварительные сведения

Семейство т подмножеств множества X называется топологией [38,39] в X, если оно удовлетворяет следующим условиям:

а) Пустое множество и все множество X принадлежит т;

б) Объединение произвольного числа множеств из т принадлежит т; с) Пересечение конечного числа множеств из т принадлежит т .

Пара {X, т}, состоящая из множества X и топологии т в нем, называется топологическим пространством. Часто топологическое пространство обозначают, как и лежащее в его основе множество, через X. Элементы топологического пространства именуют точками. Множества из т называют открытыми множествами топологического пространства X. Дополнения к открытым множествам называют замкнутыми. Пересечение всех замкнутых множеств, содержащих некоторое множество M c X, называют замыканием

этого множества, а объединение всех открытых множеств, содержащихся в M , его внутренностью. Замыкание и внутренность множества M обозначаются соответственно через M и int M. Множество M \int M называют границей множества M.

Множество M в топологическом пространстве X называется всюду плотным, если M = X. Топологическое пространство X сепарабельно, если в нем существует счетное всюду плотное множество.

Пусть X - топологическое пространство. Семейство ß подмножеств в X называется базисом топологического пространства, если любое открытое множество этого пространства является объединением множеств из ß.

Если на множестве X задана вещественная линейная структура [38, 39], то это множество называется линейным пространством.

Отображение A линейного пространства X в линейное пространство Y называется линейным отображением или линейным оператором, если для любых х, y g X и любых вещественных чисел s, t имеет место равенство A(sx + ty) = sAx + tAy.

Отображение линейного пространства X в пространство вещественных чисел R1 называют функционалом. Когда такое отображение линейно, говорят о линейном функционале.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Исмаилов Исмаил Габулла оглы, 2016 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

2. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1982.

3. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987.

4. Баничук Н.В., Иванова С.Ю., Шаранюк А.В. Динамика конструкций. Анализ и оптимизация. М.: Наука, 1989.

5. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

6. Жиков В.В., Козлов С.А., Олейник О.А., Ха-Тьен Нгоан. Усреднение и О-сходимость дифференциальных операторов// Успехи математических наук. 1979. Т. 34. Вып. 5. С. 65-133.

7. Жиков В.В., Козлов С.А., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Издательская фирма физико-математической литературы, 1993.

8. Лионс Ж.-Л. Об оптимальном управлении распределенными системами// Успехи математических наук. 1973. Т. 28. Вып. 4. С. 15-46.

9. Осипов Ю.С., Суетов А.П. Об одной задаче Ж.Л. Лионса// Доклады академии наук СССР. 1984. Т. 276. № 2. С. 288-291.

10. Исмаилов И.Г. Некоторые задачи оптимизации линейных коэрцитивных операторов// Известия вузов. Приборостроение. 1994. №7-8. С. 52-55.

11. Исмаилов И.Г. Некоторые задачи управления коэффициентами для эллиптических уравнений высокого порядка// Вестник Московского университета. Сер.15. Вычислительная математика и кибернетика. 1996. №3. С. 2230.

12. Исмаилов И.Г., Морозов В.В. Некоторые задачи оптимального проектирования и сведение их к антагонистической игре// Вестник Московского университета. Сер.15. Вычислительная математика и кибернетика. 1998. №2. С. 21-25.

13. Исмаилов И.Г. Некоторые задачи условной оптимизации при наличии связей в виде операторных уравнений. Принцип максимума Понтрягина// Вестник Московского университета. Сер.15. Вычислительная математика и кибернетика. 1998. №3. С. 31-38.

14. Ismailov I., Muravey L. Some problems of coefficient control for the elliptic equations of high order// Abstract of international conference dedicated to the memory of academician A. N. Tikhonov. М.: Издательство МГУ, 1996. С. 81.

15. Исмаилов И., Муравей Л. А., Эйниев Э. Некоторые задачи оптимизации конструкций// Труды международной конференции «Интеллектуальные системы», Санкт-Петербург, 1996. Т. 1. С. 221-226.

16. Ismailov I.G. On optimality conditions in optimization problems on solutions of operator equations. Computational Mathematics and Modeling. 1999. V. 10. №1. P. 44-54.

17. Ismailov I.G. Optimality conditions in control problems for systems described by equations with monotone operators// Computational Mathematics and Modeling. 2016. V. 27. № 1. P. 122-131.

18. Муравей Л.А. О существовании решений вариационных задач в областях со свободными границами// Доклады академии наук СССР. 1984. T. 278. №3. С. 541-544.

19. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.

20. Керимов А.К. Достаточные условия оптимальности в одной экстремальной задаче со свободной границей// Труды Математического института академии наук СССР. 1988. Т.185. С. 87-105.

21. Tartar L. Rproblemes de kontrole des coefficients dans les equations aux derives partielles// Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. SpringerVerlag. 1975. V. 107. P. 420-426.

22. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977.

23. Chenais D. On the existence of a solution in a domain identification problem// Mathematical Analysis and Applications. 1975. V. 52. P. 708-219.

24. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: Издательство МГУ, 1974.

25. Goebel M. Optimal control of coefficient in linear elliptic equations// Mathemat-ishe Operations forschung und statistik. Ser. Optimization. 1981. V. 12. №4. Р. 525-533.

26. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990.

27. Давыдов Э.Г. Исследование операций. М.: Высшая школа, 1990.

28. Murat M.F. Un contre-example pour de problem du controle dans les coeficients// C.R. Acad. Sci. ser. A. Paris, 1971. V. 273. P. 708-711.

29. Гилбарг Д., Трудингер Н.С. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

30. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Издательство МГУ, 1989.

31. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе В.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

32. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

33. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.

34. Райтум У.Е. Расширение экстремальных задач, связанных с линейным эллиптическим уравнением// Доклады академии наук СССР. 1978. Т. 243. №2. С. 281-283.

35. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988.

36. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1967.

37. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

38. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

39. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

40. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

41. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Физматлит, 2005.

42. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999.

43. Spognolo S. Convergenze in energy for elliptic operators// Proc. 3-rd Symp. Nu-mer. solute. Part. Diff. eq. 1976. P. 469-498.

44. Корсакова Л.В. Пример несуществования решения задачи Лионса об оптимальном управлении// Проблемы математического анализа. Л.: Издательство ЛГУ. 1977. Вып. 6. С. 60-67.

45. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1985.

46. Эйниев Э.Т. Диссертация на тему: Некоторые задачи оптимизации форм тонких механических пластин. МАТИ-РГТУ. 2000.

47. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

48. Flegel M.L. Constraint Qualifications and Stationarity Concepts for Mathematical Programs with Equilibrium Constrain. Dissertation. Institute of Applied Mathematics and Statistics. University of Würzburg. 2005.

49. Суетов А. П. Алгоритм оптимизации формы эллиптической системы в задаче о теплоизоляции// Труды института математики и механики УрО РАН. Т. 3. С. 172-182.

50. Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В. и др. Оптимальное управление. М.: Издательство МЦНМО, 2008.

51. Acker A. A free boundary optimization problem// SIAM Journal of Mathematical Analysis. 1978. V. 9, № 6. P. 1179-1191.

52. Serovajsky S. Optimal control of the Neumann problem for the nonlinear elliptic equation without the differentiability of the control-state mapping// Journal of Pure and Applicational Mathematics. 2010. V. 1. № 1. P. 106-122.

53. Райтум У.Е. Необходимые условия экстремума в задачах оптимального управления для нелинейного эллиптического уравнения// Сибирский математический журнал. 1982. Т. 23. №1. С. 144-152.

54. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.

55. Spognolo S. Some convergence problems// Symp. Math. 1975. Conv. Alta Matematica. Roma. 1974.

56. De Giorge E. Г-convergenza e G-convergenza// Bolletino dell'Unione Matematica Italiana. 14-A. 1977. № 3. P. 213-220.

57. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир, 1974.

58. Zolesio J.-P. The material derivative (on speed) method for shape optimization. Optimization of Distributed Parameter Structures. Sijthoff and Nordhoff. Alpen aan den Rijn, Netherlands 1980. P. 1089-1151

59. Zolesio J.-P. Domain variational formulation for free boundary problems// Optimization of Distributed Parameter Structures. Sijthoff and Nordhoff. Alpen aan den Rijn, Netherlands, 1980. P. 1152-1194.

60. Pironneau O. Optimal Shape Design for Elliptic Systems. New-York: SpringerVerlag, 1984.

61. Marino A., Spognolo S. Un tipo di approssimazione dell'operatore con operatori

XYl

i jDj (fi( x)j Dj) // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe de Scienze. Serie 3. 1969. T. 23. № 4. P. 657-673.

62. Baranger J. Existence de solutions pour des problèmes d'optimisation non convexe// Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1973. V. 52. №4. P. 377405.

63. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

64. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

65. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Издательство МГУ, 1970.

66. Краснощеков П.С., Морозов В.В., Попов Н.М. Оптимизация в автоматизированном проектировании. М.: Макс-Пресс, 2008.

67. Carleman T. Über ein minimal problem der mathematischen physik// Mathematische Zeitschrift. 1918. V. 1. P. 208-212.

68. Tepper D.E. Free boundary problem// SIAM Journal of Mathematical Analysis. 1974. V. 5. №5. P. 841-846.

69. Ye J.J. Constraint qualifications and necessary optimality conditions for optimization problems with variational inequality constraints// SIAM Journal on Optimization. 2000. V. 10. №4. P. 943-962.

70. Del Prete I., Lignola M.B., Morgan J. New concepts of well-posedness for optimization problems with variational inequality constraints// Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 2002. V. 4. №1. P. 1-18.

71. Ya-Ping Fang, Nan-Jing Huang. Well-posedness for vector variational inequality and constrained vector optimization// Taiwanese Journal of mathematics. 2007. V. 11. №5. P. 1287-1300.

72. Lignola M.B., Morgan J. Well-posedness for optimization problems with constraints defined by variational inequalities having a unique solution// Journal of Global Optimization. 2000. V. 16. №1. P. 57-67,