Метод энергетических оценок в задачах о разрушении решений нелинейных уравнений псевдопараболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Корпусов, Максим Олегович

• Корпусов, Максим Олегович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Корпусов, Максим Олегович

Введение

Список обозначений

1 Модельные нелинейные уравнения псевдопараболического типа.

1.1 Математические модели квазистациоиарных процессов в кристаллических полупроводниках.

1.2 Модельные уравнения псевдопараболического типа.

1.2.1 Нелинейные волны типа волн Россби или дрейфовых волн в плазме и соответствующие диссипативные уравнения.

1.2.2 Нелинейные волны типа Бенджамена-Бона-Махони и соответствующие диссипативные уравнения.

1.2.3 Нелинейные математические модели анизотропных полупроводников.

1.2.4 Нелинейные сингулярные уравнения типа Соболева.

1.2.5 Уравнения псевдопараболического типа с нелинейным оператором при производной во времени.

1.2.6 Нелинейные нелокальные уравнения псевдопараболического типа.

1.2.7 Краевые задачи для эллиптических уравнений с граничными условиями псевдопараболического типа.

1.3 Разрушение решений - пробой полупроводников.

1.4 Возникновение и распространение электрических доменов в полупроводниках.

1.5 Математические модели квазистационарных процессов в кристаллических электромагнитных средах с пространственной дисперсией.

1.6 Модельные уравнения псевдопараболического типа в электрических средах с пространственной дисперсией.

1.7 Модельные уравнения псевдопараболического типа в магнитных средах с пространственной дисперсией.

2 Разрушение решений класса сильно нелинейных псевдопараболиче-® ских уравнений с источниками и уравнений с нелинейной диссипаци

2.1 Постановка задач.

2.2 Первоначальные определения и условия.

2.3 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1).

2.4 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1).

2.5 Слабая обобщенная разрешимость и единственность задачи (1.2) и оценки времени и скорости разрушения решения.

2.6 Локальная сильная разрешимость и единственность задачи (1.2) и оценки времени и скорости разрушения в случае В = 0.

2.7 Примеры.

3 Разрушение решений сильно нелинейных волновых псевдопараболических уравнений или уравнений с линейной диссипацией.

3.1 Постановка задач.

3.2 Первоначальные определения и условия.

3.3 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1).*.

3.4 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи

1.1 ).

3.5 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи

1.2 ).

3.6 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.2).

3.7 Примеры.

4 Разрушение решений сильно нелинейных волновых диссипативных псевдопараболических уравнений с источниками.

4.1 Введение. Постановка задачи.

4.2 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи (1.1).

4.3 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи (1.1).

4.4 Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод энергетических оценок в задачах о разрушении решений нелинейных уравнений псевдопараболического типа»

Исследованию разнообразных начальных и начально-краевых задач для уравнений типа Соболева и его подкласса псевдопараболических уравнений посвящено большое кол-личество работ. Причем по всей видимости первым сторогим математическим исследованием задач для уравнений не типа Коши-Ковалевской является пионерская работа С. JI. Соболева [1]. Данная работа вызвала большой интерес к исследованию неклассических уравнений, названных уравнениями типа Соболева. В работе [1] было выведено линейное уравнение, описывающее малые колебания во вращающейся жидкости

Исследования С. JL Соболева были продолжены Р. А. Александряном [2], В. Н. Масленниковой [3], В. П. Масловым [4], Т. И. Зеляником [5] и математиками новосибирской школы JI. В. Овсянникова, Н. Д. Копачевским [б], [7] и Габовым С. А., Свешниковым А. Г. [8], [9]. Среди работ, продолживших исследования С. JI. Соболева, уместно отметить работы М. И. Вишика [10] и С. А. Гальперна [11], [12], в которых рассматривались начально-краевые задачи для уравнений, обобщающих указанное уравнение.

Отметим, что в монографии [8] были рассмотрены вопросы глобальной во времени разрешимости начально-краевых задач для уравнений возникающих в так называемых стратифицированных жидкостях и стратифицированных, вращающихся жидкостях. Был предложен оригинальный метод редукции рассматриваемых начально-краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям посредством так называемых динамических потенциалов. Полученные интегральные представления решений начально-краевых задач имеют весьма удобный вид для аналитических исследований таких свойств решений как асимптотическое поведение решений при больших временах, а так же для численного моделирования происходящих в стратифицированных жидкостях процессов. Так было выявлено наличие в стратифицированных жидкостях чрезвычайно любопытного эффекта "квазифронта". В стратифицированной среде, где в предположении несжимаемости все возмущения должны распространяться с бесконечной скоростью, при наличии точечного мгновенного источника распространяется волновой фронт, скорость которого конечна. Причем этот волновой фронт имеет вид шлейфа осцилляций и экспоненциально малого предвестника. В случае только вращающейся жидкости указанный эффект не имеет место.

Исследования вопросов динамики стратифицированных жидкостей были продолжены учениками С. А. Габова и А. Г. Свешникова. Именно, в работах Ю. Д. Плетнера [13], С. Т. Симакова [14], П. А. Крутицкого [15]. В этих работах используя фундаментальные и сингулярные решения операторов внутренних волн, т.е. волн внутри стратифицированной жидкости, были построены динамические потенциалы, с помощью которых были получены явные интегральные представления решений начально-краевых задач с негладкой границей. Отметим, так же работу С. Я. Секерж-Зеньковича [16], где впервые используя преобразование Фурье было построено фундаментальное решение оператора внутренних гравитационных волн, имеющего вид где /3 - параметр стратификации, w0 - частота Вейсяля-Брента.

В работах Ю. Д. Плетнера [17] - [19] была обнаружена тесная связь между уравнениями типа Соболева и связанным с каждым конкрентным уравнением типа Соболева эллиптическим уравнением. Именно, исследуя частные начально-краевые задачи для уравнений внутренних волн была замечено, что их свойства решений по пространственным переменным близки к свойствам решений некоторого эллиптического уравнения. В частности, аналитичность по пространственным переменным. Кроме того, исходная система уравнений внутренних волн близка к классической системе Коши-Римана. Оказалось например, что линейные уравнения внутренних волн можно интегрированием по времени необходимое число раз представить в следующем виде

Из данного вида и важного свойства равенства нулю спектрального радиуса вольтеровских операторв следует, что указанное интегродифференциалыюе уравнение можно рассматривать как регулярно возмущенное вольтеровскими операторами эллиптическое уравнение

Указанная связь оказалась весьма плодотворной при исследовании начально-краевых задач для двумерных уравнений внутренних гравитационных и ионно-звуковых волн в случае областей с негладкой границей [20]—[23]. Кроме того, в работе [162] были обнаружены модельные уравнения типа Соболева высокого, например восьмого, порядка в линейной теории плазмы и линейной теории спиновых волн во внешнем магнитном поле, исследование которых, как дифференциальных операторов высокого порядка, гораздо сложнее чем интегродифференциальных уравнений второго порядка. Отметим также, что в нашей работе [163] были получены модельные уравнения типа Соболева третьего порядка с производной по времени первого порядка, т. е. так называемые уравнения псевдопараболического типа [24]. (Д3м - (32и) + ul&2u = 0, dt2 о

Перейдем теперь к обзору результатов по исследованию подкласса уравнений типа Соболева - псевдопараболических уравнений [24]. Уточним нашу терминологию. Под псевдопараболическими уравнениями мы подразумеваем все уравнения не типа Коши-Ковалевской высокого порядка с производной по времени первого порядка вида

A(u))+B(u) = 0, где А(и) и В(и) - это эллиптические операторы, и, вообще говоря, нелинейные операторы.

В работе Г. И. Баренблатта, Ю. П. Желтова, И. Н. Кочиной [25] по всей видимости впервые математически строго было получено линейное псевдопараболическое уравнение о (Ли + си) + Ли = 0, сеЕх\{0} описывающее нестационарный процесс фильтрации в трещиновато - пористой жидкости. В работах А. П. Осколкова [26] , Е. С. Дзекцера [27], Ю. Н. Работнова [28], [29] и Г. А. Свиридюка [30], [31] были получены новые уравнения псевдопараболического типа. Отметим так же наши работы [162-165] где были выведены самые разнообразные линейные, нелинейные, нелокальные, третьего и пятого порядков уравнения псевдопараболического типа, а также линейные уравнения типа Соболева высокого порядка по времени.

Изучению нелинейных уравнений псевдопараболического типа посвящено большое количество работ. Причем волновые уравнения третьего порядка исследовались в работах [32]-[47]. В частности, рассматривались начальные, начально-краевые и периодические задачи, для которых исследовались вопросы глобальной во времени разрешимости и разрушения. В случае глобальной во времени разрешимости исследовались вопросы асимптотического поведения решений рассматриваемых задач при больших временах, теория рассеяния и устойчивость решений типа уединенных волн как для одномерных так и для многомерных уравнений типа Бенджамена-Бона-Махони и Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса: тг: Ыхх -и) + их + иих + ихх = 0. at

Изучению волновых уравнений псевдопараболического типа пятого порядка Розенау и Розенау-Бюргерса посвящены работы [48]—[54]: д

777 {V'xxxx ~Ь ^v ^х 11хх — 0. at

В этих работах исследованы вопросы глобальной во времени разрешимости, асимптотического поведения при больших временах и устойчивочти решений типа бегущих волн.

С другой стороны, немало работ посвящено исследованию диссипативных нелинейных уравнений псевдопараболического типа. Приведем некоторый обзор результатов.

Применение полугруппового подхода к общей теории сингулярных уравнений типа Соболева получило глубокое и широкое развитие в работах Г. А. Свиридюка и В.

Е. Федорова [55], [56]. Используя полугруппы операторов с нетривиальными ядрами и образами, а также некоторые обобщения понятий ограниченных, секториальных и радиальных операторов в сочетании с понятием фазового пространства удалось свести изучение линейных и полулинейных сингулярных уравнений типа Соболева к изучению структур соответствующих ядер, образов и фазовых пространств полугрупп операторов.

Исследованию псевдопараболических уравнений с незиакоопределеиным или необратимым оператором при старшей производной во времени посвящена работа И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова [57]. В данной монографии авторы исследовали уравнения, в абстрактной постановке имеющие вид

В— + Lu = /, at где L, В - самосопряженные (или диссипативные) операторы в данном гильбертовом пространстве. И основная цель работы, реализованная авторами, это связанная с этим операторно-дифференциальным уравнением спектральная задача

L и = АВм, для которой изучены вопросы базисности собственных и присоединенных элементов в некоторых семидифинитных Гильбертовых пространствах.

Кроме того, в абстрактной постановке вырождающиеся уравнения псевдопараболического типа рассматривались в работе A. Favini, A. Yagi [58]. В этой работе в законченном виде был предложен метод редукции сингулярных уравнений типа Соболева к дифференциальному включению du й€Аи с многозначным линейным оператором

А : V 2V.

Данный метод основан на хорошо разработанном методе многозначных линейных операторов и основной результат - это теоремы об однозначной разрешимости задачи Коши для линейных сингулярных уравнений типа Соболева.

Широкий спектр результатов для уравнений и систем уравнений, неразрешенных относительно старшей производной рассматривается в работе Г. В. Демиденко и С. В. Успенского [59]. В монографии изучаются некоторые аспекты задачи Коши и смешанных задач для дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной. Устанавливаются условия разрешимости в весовых соболевских пространствах, доказываются теоремы единственности, выводятся априорные V - оценки решений. Изучаются асимптотические свойства решений некоторых задач гидродинамики.

Отметим так же работу X. Гаевского, К. Грегера и К. Захариаса [24], где рассматриваются вопросы локальной разрешимости для уравнений псевдопараболического типа. В данной монографии центральное место занимает исследование операторных и операторно-дифференциальных уравнений. Для псевдопараболических операторно-дифференциальных уравнений изучаются вопросы С и L2 - разрешимости. Рассматривается обоснование методов конечномерной апроксимации, в частности, метода Галер-кина.

Исследованию псевдопараболических включений с двойной нелинейностью посвящена работа U. Stefanelli [60]. Метод используемый в данной работе является развитием метода многозначных линейных операторов предложенный в работе A. Favini, A. Yagi [58].

Псевдопараболические уравнения с монотонной нелинейностью рассматривались в работе R. Е. Showalter [61]. В данной работе в развернутом виде рассматривается классический метод монотонности в приложении к разнообразным классам уравнений математической физике и, в частности, к нелинейным уравнениям типа Соболева с монотонными нелинейностями.

Задачи оптимального управления линейных задач для уравнений псевдопараболического типа исследовались в работе С. И. Ляшко [62] (см. также библиографию к этой работе).

Разрушение за конечное время и существование глобального во времени ограниченного решения нелинейного уравнения Буссинеска с источником щ — Aip(u) — Aut + q(u) = 0 исследовалось в работах А. И. Кожапова [63] и [64]. В данных работах для доказательства разрушения используется полученный в работе принцип сравнения решений первой краевой задачи для данного уравнения. В частности, в работе доказано разрушение положительного решения задачи, и получены результаты типа теорем существования-несуществования.

Наконец, в работе А. Л. Гладкова [65] исследован вопрос о единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения псевдопараболического типа: ut = сАщ + <р(и) в классе растущих функций (р{и), где и принадлежит некоторому классу корректности.

Доказательству принципа максимума для уравнений псевдопараболического типа посвящена работа Е. Di Benedetto и М. Pierre [66]. Исследованию псевдопараболических уравнений методами функций комплексного переменного посвящены работы Н. Begehr и D. Q. Dai [67], [68] Отметим также, что исследованиям задач для квазилинейных уравнений типа Соболева посвящены работы С. Г. Пяткова [69] и С. Guowang и W. Shubin [70].

Перейдем к обзору результатов и методов доказательства теорем о несуществовании и разрушении решений, применимых и для уравнений псевдопараболического типа.

Прежде всего отметим классическую работу Фуджиты о несуществовании положительного решения для полулинейного уравнения параболического типа [71]. В данной работе, помимо доказательства разрушения, впервые был получен оптимальный результат типа теоремы существования - несуществования ограниченного решения, понимаемого в классическом смысле. В этой работе используя известные свойства фундаментального решения оператора теплопроводности были получены необходимые и достаточные условия разрушения положительного решения задачи Коши для полулинейного параболического уравнения = Аи + и1+а at

В другой также классической работе Н. A. Levine [72] был предложен энергетический подход к исследованию вопроса о разрушения сильного и слабого обобщенного решений для достаточно больших начальных данных задачи. Эта работа посвящена исследованию глобальной во времени неразрешимости задачи Коши для операторно-дифференциального уравнения вида

А^ + Lи = F(и), и(0) = и0,

ЛЬ где существенно использовалось то, что операторы А и L - линейные, положительно определенные и самосопряженные, a F(«) имеет симметричную производную Фреше. Забегая вперед отметим, что наша техника доказательства несуществования глобальных во времени решений, рассматриваемых задач, является развитием энергетического метода Н. A. Levine. И мы обобщаем подход Н. A. Levine в следующих направлениях: во-первых, мы рассматриваем случай нелинейных операторов А и L и получаем двусторонние оценки времени разрушения, во-вторых, в случае линейного оператора А мы получаем оптимальные двусторонние оценки не только времени, но и скорости разрушения, в-третьих, мы рассматриваем случай волновых уравнений псевдопараболического типа для которых техника работы Н. A. Levine прямо неприменима. В работе [76] были получены достаточные условия разрушения решения с функциональной нелинейностью при производной по времени (см. также работы [73]-[75], [77]-[80]).

В работе Н. Amann Н. и М. Fila [81] была предложена новая задача, для которой удалось получить оптимальный результат Фуджиты.

Широкий спектр результатов по исследованию неограниченных решений был получен в работе А. А. Самарского, В. А. Галактионова, С. П. Курдюмова и А. П. Михайлова [82]. В данной работе исследуются вопросы разрушения решений квазилинейных параболических уравнений. Причем используется самая разнообразная техника. Для одних задач применяются признаки сравнения с помощью которых, а также верхних и нижних решений доказываются теоремы существования - несуществования. Для других задач применяется метод неограниченных коэффициентов Фурье. Получены достаточные условия разрушения решений классов квазилинейных уравнений параболического типа. Заметим, что методика развитая для доказательства разрушения решений параболических уравнений может быть применена и при исследовании вопросов разрушения для псевдопараболических уравнений. Отметим также работы В. А. Галактионова [83]-[85].

Кроме того, результаты по получению оценок сверху и снизу для скорости разрушения решения были получены в работе J. D. Rossi [86].

Метод доказательства несуществования решения некоторых классов краевых задач, основанный на использовании принципа максимума развит в работах Ю. В. Егорова, В. А. Кондратьева [87], [88].

Принципиально новый подход, называемый методом пробных функций, предложен в работах С. И. Похожаева и Э. Митидиери [89]. В этой работе в законченном виде был предложен общий метод исследования дифференциальных неравенств в частных производных эллиптического, параболического и гиперболического типов. При этом оказалось, что с точки зрения доказательства разрушения нет никакой разницы в типе дифференциального неравенства в частных производных. Отметим, что по всей видимости разработанная методика может быть применена к исследованию псевдопараболических неравенств в неограниченных областях. Отметим также работы С. И. Похожаева [90], [91], в которых рассматрвались вопросы разрушения решений дифференциальных неравенств в частных производных. Отметим также работу Г. Г. Лаптева [92].

Перейдем к обзору результатов по исследованию разрушения решений псевдопараболического типа. В первую очередь отметим уже цитированные работы Н. A. Levine [72], [76] и А. И. Кожанова [64]. Отметим теперь работы [93]—[97] группы китайских математиков, в которых исследовались вопросы разрушения решений начальных и начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа с линейным эллиптическим оператором при производной во времени. Другие исследования по разрушению решений задач для нелинейных псевдопараболического типа нам не известны.

Поскольку рассматриваемые нами нелинейные уравнения псевдопараболического типа относятся к так называемым уравнениям с двойными нелинейностями, то мы в данном обзоре отметим работы посвященные исследованию разрешимости задач для данных уравнений. Вопросами разрешимости задач для уравнений с двойными нелинейностями посвящены работы [98]—[105]. Причем в работе [105] был рассмотрен случай нелинейного эллиптического оператора при производной во времени, в частности, такое дважды нелинейное уравнение div(|Vu|p"2Vu)) - Д(|Ди|9Ди) = 0.

CJL

Наша техника доказательства локальной разрешимости дважды нелинейных псевдопараболических уравнений очень близка к технике работы [105]. При этом ма рассматриваем другой класс дважды нелинейных эволюционных уравнений. Именно, мы рассматриваем псевдопараболические уравнения вида когда нелинейные эллиптические операторы А (и) и В(и) имеют порядки соответственно пит причем п > т. А в работе А. В. Кузнецова [105] рассматривается случай, когда п < т. Кроме того, мы в рассматриваем случай не монотонных операторов В (и).

Диссертационная работа посвящена изучению следующих задач.

1. Постановка начальных и начально-краевых задач для новых, вообще говоря, сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа. Исследуя нестационарные процессы в электромагнитных сплошных средах, таких как полупроводники и магнетики, было обнаружено что математические модели нестационарных процессов для широкого круга физических процессов редуцируются к начальным и начально-краевым задачам для, вообще говоря, сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа. При этом получаются как волновые, так и диссипативные уравнения псевдопараболического типа. При этом мы получаем модельные трехмерные уравнения. Причем в простейших случаях модельные трехмерные уравнения являются трехмерными обобщениями модельных одномерных уравнений типа Бенджамена-Бона-Махони и Розенау:

Помимо данных простейших уравнений были получены и новые сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа. В частности, было получено новое волновое существенно трехмерное уравнение псевдопараболического типа: а также некоторые его модификации, описывающие спиновые волны в магнетиках в рамках модели квазистационарного поля.

2. Исследовнию вопросов локальной разрешимости, условий разрушения решений и глобальной во времени разрешимости. В диссертации приведено обобщение результата и метода Н. A. Levine на случай нелинейных операторов эллиптического типа при производной во времени. Причем все начально-краевые задачи для данных сильно нелинейных уравнений сводятся к задачам Коши для дифференциальных уравнений с нелинейными операторными коэффициентами в банаховых пространствах. В частности, четко выделены пять классов задач. Первый класс содержит сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа с источниками без диссипации. Второй класс содержит сильно нелинейные уравнения 0 с источниками и линейной диссипацией. Третий класс содержит сильно нелинейные уравнения с источником и нелинейной диссипацией. Четвертый класс содержит волновые сильно нелинейные уравнения с источником. Пятый клас содержит волновые диссипативные сильно нелинейные уравнения с источником. Для каждого класса получены достаточные и необходимые условия разрушения решений, а также условия их разрешимости в любом конечном цилиндре Qt = Г2 х (О, Т), где, f2 е MN - ограниченная область с достаточно гладкой границей.

По результатам диссертации опубликовано 28 работы [162]—[188].

Работа состоит из 4 глав, введения, списка обозначений, заключения, приложения и списка литературы. Объем работы составляет 218 стр., включая список литературы, содержащий 195 работ. Перейдем к краткому описанию содержания работы.

В первой главе рассматриваются математические модели нестационарных процессов в физически различных сплошных электромагнитных средах [162]-[168]. В первом параграфе рассматриваются математические модели в сплошных проводящих средах, например, в полупроводниках. Рассматриваются различные феноменологические связи между такими параметрами электрических сред как вектора напряженности электрического поля Е, индукции электрического поля D, поляризации Р, плотности электрического тока J. Наконец, математически учитываются самые разнообразные физические факторы такие, как например, источники тока свободных зарядов с примесных центров полупроводников. Исходной системой уравнений для дальнейших редукций к конкретным уравненям псевдопараболического типа является система уравнений квазистационарного поля. Рассматриваются различные граничные условия, включая и нелинейные.

Во втором параграфе проводится редукция введенной в первом параграфе системы уравнений квазистационарного поля в предположении наличия внешнего постоянного электрического поля. В результате получаются трехмерные модельные уравнения Бенджамена-Вона-Махони и Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса. Кроме того, выводится модельное трехмерное уравнение нелинейных волн Россби. При наличии внешнего магнитного поля редукция системы уравнений квазистационарного поля приводит к анизотропным нелинейным уравнениям псевдопараболического типа. При учете отрицательности дифференциальной поляризации исходная система уравнений редуцируется к сингулярным уравнениям типа Соболева. При учете нелинейной зависимости вектора электрической индукции D от напряженности электрического поля Е в среде получаются сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа с нелинейным оператором эллиптического типа при производной по времени. При учете так называемых сильных перегревных механизмов проводимость среды оказывается зависящей от усредненной по области температуры свободных электронов. И в результате получаются нелинейные нелокальные уравнения псевдопараболического типа. Причем для следующей первой начально-краевой задачи д Г

-{А<р-<р) + J dx\Vv\2 Av? = 0, ge(-l,0), д dt p(x, 0) = (fo(x), xett, ip(x,t)\gn = 0. описан наблюдаемый в экспериментах эффект релаксации за конечное время. При учете нелинейных нестационарных процессов в диэлектриках с тонкой граничной пленкой из полупроводника получена начально-краевая задача для, вообще говоря, нелинейного уравнения эллиптического типа с динамическим граничным условием псевдопараболического типа.

В третьем параграфе рассматривается математическая интерпретация такого существенно нелинейного эффекта как пробой в полупроводниках. С физической точки зрения пробой в полупроводниках может быть вызван любым из двух факторов: либо источниками тока свободных электронов с примесных центров, либо отрицательностью дифференциальной проводимости в среде. И оба эти случаи могут быть описаны в рамках модельных начально-краевых задач для соответствующих уравнений псевдопараболического типа. Получены достаточные условия пробоя полупроводников в смысле разрушения решений соответствующих начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа.

В четвертом параграфе рассматриваются нелинейные физические эффекты, приводящие к возникновению и распространению так называемых электрических "доменов", т. е. областей с "сильным"или "слабым"электрическим полем. И эти эффекты могут быть описаны в рамках начально-краевых для волновых уравнений псевдопараболического типа.

В пятом параграфе приведены дополнительные связи между параметрами сплошных электромагнитных сред при учете пространственной дисперсии. Рассматриваются две системы уравнений квазистационарного электромагнитного поля.

В шестом параграфе из введенных в пятом параграфе систем уравнений выводятся нелинейные уравнения пятого порядка псевдопараболического типа, описывающие как волновые так и диссипативные нестационарные процессы в электрических средах.

В седьмом параграфе из введенных в пятом параграфе систем уравнений выводятся нелинейные уравнения высокого порядка псевдопараболического типа, описывающие спиновые волны в магнетиках. В частности, получены новые неклассические существенно трехмерные волновые уравнения. Например, такое дх 1 \dx2dx3) дх% д (ди ди\ „ д 0,

Во второй главе рассматриваются задачи Коши для абстрактных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с операторными коэффициентами, являющихся абстрактными постановками начально-краевых задач в ограниченных областях с гладкими границами для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа с источниками без диссипации и с источниками с нелинейной диссипацией [169]-[178]:

Jt + =F(«), «(0) = u0;

-Аи + Ш(и) = F(u), u(0) = u0.

СЛЬ

В первом параграфе приведены некоторые примеры нелинейных уравнений псевдопараболического типа: л (Ли- |и|91и) + |и|% = 0, Л (Ли + div(|Vu|p-2Vu) - |u|9lu) + \u\qu = 0, с/с л

Аи - и) + div(|Vu|p~2Vu) + Л|и|р2и = 0,

С/ ь л (Л2и - Ли) + div (| Vu|p"2Vu) = 0, л

Л2и + Ли + div(|Vu|pl-2Vu)) - div(| Vu|P2"2Vu) = 0,

J L где pj > 2, qu q> 0, pu p2, p > 2, Л > 0.

Во втором параграфе второй главы введены необходимые для дальнейшего условия на операторные коэффициенты и некоторые определения. При этом относительно линейного оператора А требуются условия сильной монотонности, симметричности и ограниченности. Относительно нелинейных операторов А* (и) требуется монотонность, дифференцируемость по Фреше, симметричность производной Фреше, ограниченность и коэрцитивность, полунепрерывность операторов и их производных Фреше, а также положительная однородность порядка pi. Относительно нелинейного оператора В (и) требуется монотонность, полунепрерывность, ограниченность, коэрцитивность, положительная однородность, а также дифференцируемость по Фреше и симметричность производной Фреше. Наконец, относительно нелинейного оператора F(u) требуется ограниченная липшиц-непрерывность, дифференцируемость по Фреше, симметричность производной Фреше и положительная однородность данного оператора.

В третьем параграфе исследуется вопрос о локальной разрешимости в слабом обобщенном смысле. Кроме того, в данном параграфе получены необходимые и достаточные условия разрушения решения задачи Коши за конечное время:

Jt + Е ^ = F(u)' =

В третьем параграфе приведено определение слабого обобщенного решения рассматриваемой абстрактной задачи Коши. Затем рассматривается конечно-мерная аппроксимация указанной в определении задачи. Стандартным образом доказывается ее разрешимость в классическом смысле. Затем используя априорные оценки доказывается равномерная по отношению к порядку системы галеркинских приближений разрешимость локально во времени.

Используя методы компактности и монотонности доказано, что последовательность галеркинских приближений сходится в некотором слабом смысле к решению исходной задачи. Доказана единственность решения расматриваемой задачи. Наконец, при отсутствии линейного оператора А в рассматриваемом уравнении приведен пример начально-краевой задачи, решение которой неединственное. Наконец, получены необходимые и достаточные условия разрушения решения задачи за конечное время. При этом получены двусторонние оценки на время разрушения, а также в случае разрешимости на любом конечном интервале времени получены двусторонние оценки на функционал энергии. В частности, доказано, что энергия системы растет во времени. При этом для доказательства разрушения используется оригинальная модификация метода энергетических оценок Н. A. Levine, который мы развиваем в случае нелинейных операторов при производной во времени.

В четвертом параграфе рассматривается вопрос о локальной разрешимости, о разрушении и о разрешимости на любом конечном интервале времени в сильном обобщенном смысле рассматриваемой задачи Коши при некоторых условиях на операторные коэффициенты. Используя принцип сжимающих отображений доказана локальная разрешимость. Кроме того, устанавливаются необходимые и достаточные условия разрушения за конечное время. Получены двусторонние оценки на время разрушения решения, а в случае разрешимости на любом конечном интервале времени получены двусторонние оценки на рост во времени энергии системы.

В пятом параграфе рассматривается следующая абстрактная задача Коши

-Аи + В(и) = F(м), м(0) = и0, ill для которой используя метод Галеркина в сочетании с методами монотонности и компактности доказывается локальная во времени разрешимость. Используя развитый нами метод энергетических оценок доказано разрушение решения задачи за конечное время при некотором условии на начальную функцию. Более того, используя свойство симметрии абстрактного уравнения относительно растяжений во времени и самого решения, с учетом одинаковой положительной однородности операторов В(и) и F(u) получены оптимальные двусторонние оценки на скорость разрушения решений.

В шестом параграфе рассматривается следующая задача Коши

Аи = F(«), it(0) = щ, для которой методом сжимающих отображений доказана локальная во времени разрешимость в сильном обобщенном смысле. Доказано разрушение решения за конечное время и получены оптимальные двусторонние оценки на скорость разрушения решения.

В седьмом параграфе приведен краткий список примеров начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа в ограниченных областях с гладкой границей. Все примеры имеют физический смысл и были выведены нами в работах [164-165].

Третья глава посвящена исследованию двух классов операторно-дифференциальных уравнений [179]-[187]: d ' dt Lu = F(u), u(0) = u0] i= 1 n jt + XJaj(u)J + = ВД, «(о) = uo, которые являются абстрактными постановками начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа в ограниченных областях с достаточно гладкой границей. Причем первая задача соответствует уравнениям псевдопараболического типа с нелинейными источниками и линейной диссипацией, а вторая -волновым псевдопараболическим уравнениям.

В первом параграфе приведены некоторые нелинейные уравнения псевдопараболического типа: (Ли + S div (I Vurj-2Vu)^ - и + |и|«« = 0, д (Дм - \u\qiu) + Аи+ \и\яи = 0,

С/ L д (Ли + div(|Vu|p-2Vif) - |и|91и) - и + \u\qu = 0, д (—Д2м + Ди + div(|Vu|Pl"2Vu)) + Дм - div(|Vu|P2"2Vu) = 0,

Ли + div(|Vu|p-2Vu)) - (-Afu + \u\qu = 0, dt д dt ^Au + f>v (|Vnr"2VU) j + u^- + u> = 0, | (Ли - MV) + + \u\^u = 0,

О r\ jl (д2u + Au + divfl Vu|Pl"2Vu)) + и - div(|Vu|2Vu) = 0, Q (~Л2и + Ли) - div(| Vu|2Vu)+ ди ди \ ^ д f ди ди\^ д f ди ди\ dx2dxz) дх2 \dx3dx1J дхз \dx\dx2) где ft + /?2 + /З3 = 0, | + Ш + \Рз\ > О, pj > 2, qu q, q2 > О, pu p2,p> 2, /3 G [0,1).

Во втором параграфе третьей главы приведены некоторые условия на операторные коэффициенты, а также необходимые для дальнейшего определения. Условия на операторные коэффициенты Ао, А; (и) и ¥(и) фактически повторяют соответствующие условия первого параграфа второй главы. Относительно, операторов L, D и Р(м) предположим следующее. Линейный оператор L является сильно монотонным, симметричным и ограниченным. Линейный оператор В является ограниченным. Наконец, нелинейный оператор Р(м) является ограничено Липшиц-непрерывным. Кроме того, операторы О и Р(и) удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

В третьем параграфе методом Галеркина в сочетании с методами монотонности и компактности устанавливается однозначная разрешимость в слабом обобщенном смысле задачи Коши

Для данной задачи получены некоторые достаточные условия, имеющих смысл достаточно большой величины начального возмущения, при которых имеет место разрушение решения задачи за конечное время. Причем получены двусторонние оценки на время разрушения решения.

В четвертом параграфе при некоторых дополнительных условиях на операторные коэффициенты абстрактной задачи Коши методом сжимающих отображений доказывается локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле. Точно также как и во втором параграфе методом энергетических оценок при некоторых условиях на величину начальной функции доказано разрушение решения за конечное время и получены двусторонние оценки на время разрушения решения. Кроме того, при некоторых условиях на нелинейности доказана разрешимость задачи на любом конечном интервале времени.

В пятом параграфе рассматривается абстрактная задача Коши для которой методом Галеркина в сочетании с методами компактности и монотонности доказывается локальная разрешимость в слабом обобщенном смысле. Методом энергетических оценок доказывается разрушение при некоторых условиях на величину начального возмущения. и(0) = и0

В шестом параграфе при иекторых условиях на операторные коэффициенты методом сжимающих отображений доказана локальная разрешимость задачи

Jt + S + D(PH) = «(0) = Щ в сильном обобщенном смысле. Методом энергетических оценок, точно также как и в четвертом параграфе доказано разрушение за конечное время при некоторых условиях на величину начального возмущения.

В седьмом параграфе приведен краткий список примеров рассмотренных абстрактных задач. Именно, начально-краевые задачи для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа с источниками и линейной диссипацией, а также волновые псевдопараболические уравнения с источниками.

Четвертая глава посвящена исследованию вопросов разрушения решений одного класса сильно нелинейных волновых диссипативных псевдопараболических уравнений с источниками [188]: Целью настоящего исследования является получение оптимальных результатов типа теорем "существования - несуществования "для класса сильно нелинейных волновых диссипативных уравнений типа Соболева, в абстрактной постановке - задач Коши для уравнений с операторными коэффициентами в банаховых пространствах jt ^A0u + ^ A,-(u) j + Lu + DP(u) = F(u), u(0) = u0, и оценок снизу и сверху на время разрушения решений данной задачи.

В первом параграфе приведена постановка рассматриваемых в дальнейшем задач и некоторые примеры уравнений, имеющих физический смысл: д ( N \ ди ( Ли - и + X^div (|Vu|Pj-2Vu)J - и + и~ + и3 = 0, (Ди - и - |и|91и) + Ди + dy+1 + \и\2^и = 0, dt дх\

Д2и + Ди + div(|Vu|pl2Vu)) + Ди + uj^- - div(|Vu|2Vu) = 0, r\

-Д2и + Ли + div(|Vu|Pl-2Vu)) - div(|Vu|2Vu) + Au+

J ь д f ди ди \ ^ p д f ди ди \ ^ p д / du du \ ^ dxi \dx2dx3J dx2 \dx3dx1 J dxz \dx1dx2J ' где ft + ft + ft = 0, |ft| + |ft| + |ft| > 0, pj > 2, qu q, q2 > 0, pu p2, p > 2.

Во втором параграфе получены достаточные условия, близкие к необходимым, разрушения рассматриваемых задач за конечное время. При этом методом Галеркина в сочетании с методами монотонности и компактности доказана локальная во времени разрешимость в слабом обобщенном смысле.

В третьем параграфе получены достаточные условия, близкие к необходимым, разрушения сильного обобщенного решения задачи, а также методом сжимающих отображений доказана локальная разрешимость задачи в сильном обобщенном смысле.

В четвертом параграфе приведен краткий перечень примеров задач, имеющих физический смысл:

Результаты диссертации неоднократно докладывались на международных и всероссийских конференциях [189]-[195]:

1. Дифференциальные уравнения в частных производных составного типа как математические модели волновых процессов в средах с анизотропной дисперсией.// Тезисы докладов VIII Белорусской математической конференции, Минск, Беларусь, 19-24 июня, 2000 г., с. 173.

2. Non-classical PDE of composite type as mathematical models of waves in mediums with an anisotropic dispersion.// 3rd European Congress of Mathematics, Barcelona, July 10 to 14, 2000.

3. Sobolev Equations as Mathematical Models of Processes in Mediums with a non-Isotropic Dispersion// First SIAM-EMS Conference "AMCW"2001, September 2 - 6, 2001, Berlin.

4. The application of dynamic potentials for the nonclassical PDE of composite type// International Conference "New Trends in Potential Theory and Applications", Bielefeld, Germany, March 26-30, 2001.

5. Глобальная и локальная разрешимость нелинейных уравнений псевдопараболического типа и некоторых систем уравнений физики полупроводников//Научная конференция: "Ломоносовские чтения. Секция физики. Апрель 2002", стр. 50-53.

6. Глобальная и локальная разрешимость нелинейных уравнений псевдопараболического типа// Межд. конф. "Дифференциальные и функционально- дифференциальные уравнения."М. Август 11-17, 2002, с. 56.

7. New Problems for Equation of Composite Type // Abstract of Short Communication and Poster Section, International Congress of Mathematicians, Beijing, August 20-28, 2002, p. 207.

Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных семинарах

1. Семинаре "Нелинейные дифференциальные уравнения"ф-та ВМиК под руководством профессора И. А. Шишмарева.

2. Семинаре математического института им. Стеклова под руководством С. М. Никольского, Л. Д. Кудрявцева, С. И. Похожаева.

3. Семинаре "Качественные свойства нелинейных уравнений"под руководством Н. X. Розова, В. М. Миллионщикова и В. А. Кондратьева

4. Семинаре "Нелинейные дифференциальные уравнения"под руководством В. А. Кондратьева и Е. В. Радкевича

5. Семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В. Ф. Бутузова.

Основные результаты опубликованы в 27 работах в ведущих математических журналах.

При ссылках внутри главы используется двойная нумерация. При ссылках на формулы другой главы используется тройная нумерация. Например, (1.2.3) - формула (2.3) из главы I.

Список обозначений

Физические обозначения

Е - вектор напряженности электрического поля.

D - вектор индукции электрического поля.

Р - вектор поляризации.

J - вектор плотности тока.

Н - вектор напряженности магнитного поля.

В - вектор индукции магнитного поля.

М - вектор намагниченности. п - плотность свободных электронов.

Q - плотность источников тока свободных электронов.

Oij - тензор проводимости среды.

Cij - тензор электрической восприимчивости среды.

Xij ~ тензор магнитной восприимчивости среды. ip - потенциал электрического поля. гр - потенциал магнитного поля. щ - скалярная электрическая восприимчивость. сто ~ скалярная проводимость среды. п0 - ,,квазистационарное"распределение свободных электронов.

Те - температура свободных электронов.

Т0 - температура фононов.

ЦШ - иквазистационарная"намагниченность. ш - пбыстропеременнаяичасть намагниченности.

Математические обозначения

А ® В - декартово произведение топологических пространств А и В. N - множество натуральных чисел. Z - множество целых чисел.

Z" - множество, состоящее из упорядоченного набора целых чисел вида (zi,z2,.,zn), zm Е Z , т = 1,п.

Z™ - множество, состоящее из упорядоченных наборов неотрицательных целых чисел.

RN - N-мерное эвклидово пространство. • | - норма Эвклидова пространства RN.

R+ - множество неотрицательных вещественных чисел. а - мультииндекс а = («i,., ап), а* € R+. а| - |а?| = ах + а2 +. + ап.

Dx - оператор градиента по переменной х Е RN.

D™ - оператор, имеющий следующий вид при т = m\ <g> т2 ® . <8> тn то)(х) - в случае если т = (mi,.,тм) - мультииндекс, то = D™1 • • • D™"f(x), х = (xu.,xN) е RN.

Vz - градиент по переменной х Е RN. grad - оператор производной Фреше.

- производная по направлению внешней номали п к гладкой границе д£1 Е С1'"5 ограниченной области (2 С RN. dt - частная производная по t.

- частная производная к-го порядка по переменной Xi G R1. Ари = div(|Vu|p-2Vu) - псевдо-Лапласиап (p-Laplacian). :

Д - оператор Лапласа.

Л2 - бигармонический оператор.

А2и = д^и + &12и - двумерный оператор Лапласа.

Д)1/2 - корень квадратный от оператора —А, т. е. в случае RN справедливо следующее равенство:

-(-A)V2U = L | <1к\к\й(к)ехр(((к,х)),

RN а в случае ограниченной области Г2 с гладкой границей дП

00 к=1 где Ajt - к-е собственное значение, a Wk - я собственная функция первой краевой задачи для оператора Лапласа. й - преобразование Фурье функции и.

Х, ¥) - множество линейных непрерывных операторов, действующих из X в ¥.

А'и(-) - производная Фреше от оператора А (и) : X —> X*, А„(<) : X —> £(Х, X*).

X* - сопряженное к банахову пространству X.

П С RN - область в RN.

- замыкание области Г2. дО. - граница области Г2.

6 С*"1'^ - граница 8Q области fi G MN, которая может быть в окрестности каждой точки х G 5Г2 представлена локальными координатами

0 = * = l.N-l, причем функции <J>i являются m - раз непрерывно-дифференцируемыми функциями своих переменных, а ф|т\ т £ Z+, являются Гельдеровыми с показателем

5е( о, 1].

II • ||х норма банахова пространства X.

- множество всех функций на Г2, которые имеют р е N непрерывных производных в Г2.

C^(fi) - банахово пространство с нормой

M|o,= sup^|D>|. - множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. supp и - носитель функции и.

Lip(fi) -банахово пространство липшиц-непрерывных функций с нормой . \и(х) — и(у)\

II ti ||Lip= sup|u| + sup 1 ,иЛ. zen x,yen F УI

- банахово пространство гельдеровских функций с нормой , | и(х) — и(у) I и \\ол= sup u + sup ш-AM, s е 0,1 . хеи х,Уеп \х - у\д Т) - пространство абсолютно непрерывных функций. Т) - пространство функций с ограниченной вариацией.

- банахово пространство измеримых функций, суммируемых с р € [1,+оо] степенью в области ft с нормой ее J dx\u\p. и Iir n

•, •) - скалярное произведение в L2 (иногда используется для обозначения скалярного произведения в R^).

•, ■) - скобки двойственности между рефлексивным банаховым пространством X и его сопряженным X*. • ||* - норма банахова пространства X*, если || • || - норма банахова пространства X.

- гильбертово пространство измеримых функций, имеющих нулевой след на границе области О, у которых при т е N существуют т обобщенных производных из L2(ft), со скалярным произведением

Миу = £ a|<m

H"m(fi) - гильбертово пространство сопряженное к НдЧ^), любой элемент и которого можно представить в виде и= £ Daga, да е L2(Q), а\<т

- определяется посредством вещественной интерполяции:

И'(П) = [ЕГ(П),И°(Й)]в, (1 -в)т = з, те Z, 0 < в < 1.

Wfc'p(f2) - банахово пространство измеримых функций, у которых определено к € N обобщенных производных, суммируемых с р G К+ степенью в области, с нормой имеющей вид к к,р= £ || D™„ ||р . и т=1

Wg'p(H) - банахово пространство, состоящее из элементов банахова пространства Wfc'p(fi), имеющих нулевой след на границе области П.

W~к'р (Q) - банахово пространство, сопряженное к банахову пространству Wo'p(f2), р = р/(р — 1), элементы которого можно представить в виде и= ^De</e, 9с е a|<fc

•,-)s - скобки двойственности между дуальными гильбертовыми пространствами Bg(fi) и v)fc,p ~ скобки двойственности между банаховыми пространствами Wo'p(f2) и W~k'p' (П), р = р/(р - 1).

1/(0, Т; В) - Банахово пространство сильно измеримых на интервале (0, Т), (В) - век-торнозначных функций, для которых конечен интеграл Лебега т fdt\\u ||р, с нормой т \ Vp и ||= I J dt II и ||р - множество непрерывных и ограниченных операторов на банаховом пространстве У в смысле равномерной топологии пространства линейных операторов £(¥;¥*).

Т) = (AI — Т)-1 - резольвента оператора Т.

Cm(0, Т; В) пространство р - раз непрерывно дифференцируемых функций со значениями в банаховом пространстве В.

V(ti) - пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем.

V'(Q) - пространство обобщенных функций, двойственное к Х>(Г2). = {ие C°°(RN) : xQDР € L2(RN)}, для любых а,Р в

P'(RN) - пространство распределений медленного роста, двойственное к *P(RN). D'(0, Т; В) = C(V'(0, Т); В), В - банахово пространство.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Корпусов, Максим Олегович

Заключение

В заключение приведем основные результаты полученные в диссертации.

1. Приведена постановка начальных и начально-краевых задач для новых, вообще говоря, сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа. Исследованы нестационарные процессы в электромагнитных сплошных средах, в таких как полупроводники и магнетики, обнаружено что математические модели нестационарных процессов для широкого круга физических процессов редуцируются к начальным и начально-краевым задачам для сильно нелинейным уравнениям псевдопараболического типа. При этом получены как волновые, так и диссипативные уравнения псевдопараболического типа. При этом мы получаем модельные трехмерные уравнения. В в простейших случаях модельные трехмерные уравнения имеют вид трехмерных обобщений модельных одномерных уравнений типа Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса и Розенау-Бюргерса: (Аи - и) + иХ1 + иихх + Аи = 0, х = (xi,x2,х3) G Q G R3, д (-А2и + Аи — и)+ иХ1 + ииХ1 + Аи = 0, х = (xi,х2, х3) е Q Е R3.

Помимо данных простейших уравнений получены и новые сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа. В частности, были получены новые волновые существенно трехмерные уравнения псевдопараболического типа, в частности, такое д ^ р д / ди ди \ ^ р д / ди ди\^ д f ди ди \ ^ dt дх\ \дх2дх3) дх2 \дх3дх\) дх3 \дххдх2) '

А+/32 + /Зз = 0, Iftl + l&l + lftlX), а также некоторые его модификации, описывающие спиновые волны в магнетиках в рамках модели квазистационарного поля.

2. Исследовны вопросы локальной разрешимости, условий разрушения решений и глобальной во времени разрешимости. В диссертации приведено обобщение в широком смысле результатов и метода энергетических оценок Н. A. Levine, в первую очередь на случай нелинейных операторов эллиптического типа при производной по времени для некоторых классов дифференциально- операторных уравнений с нелинейными операторами коэффициентами. В частности, четко выделены пять классов:

Jt + Y, = F(u)> = W

А0и + ®(u) = F(u), и(О) = u0, ( A0u + ) + Ьи = F(«), u(O) = uQ, d

3) j=i

4) j (a0u + ^ Aj(u) j + Lu + DP(u) = F(u), u(O) = u0.

5)

Первый класс содержит сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа с источниками без диссипации. Второй класс содержит уравнения с нелинейной диссипацией и нелинейными источниками. Третий класс содержит сильно нелинейные уравнения с источниками и линейной диссипацией. Четвертый класс содержит сильно нелинейные волновые уравнения с источником Пятый класс содержит волновые сильно нелинейные уравнения с источником. Для каждого класса получены достаточные и необходимые условия "разрушения"решений, а также условия их разрешимости в любом конечном цилиндре Qx = ft х (О, Т), где, ft € RN - ограниченная область с достаточно гладкой границей. Причем для первого класса нами получены необходимые и достаточные условия разрушения решений.

3. Математически описаны физически важные существенно нелинейные эффекты, происходящие в реальных сплошных электромагнитных средах. Некоторые эффекты математически описаны впервые.

В заключение, мы хотим выразить признательность своим учителям А. Г. Свешникову и Ю. Д. Плетнеру за поддержку исследований и постоянное внимание к работе. Кроме того, мы хотим выразить признательность И. А. Шишмареву за многочисленные ценные замечания, улучшившие содержание работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Корпусов, Максим Олегович, 2005 год

1. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Известия АН СССР,

2. Сер. мат. 1954. N 18. С. 3-50.

3. Александрии Р. А. Спектральные свойства операторов, порожденных системой дифференциальных уравнений типа С. Л. Соболева// Тр. Моск. мат. об.-ва. 1980. N 9. С. 455-505.

4. Масленникова В. Н. Математические вопросы гидродинамики вращающейся жидкости и системы С. JI. Соболева// Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: 1971.

5. Маслов В. П. О существовании убывающего при t —У +оо решения уравнения С. J1.

6. Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической обла-сти//Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9. N 6. С/ 1351-1359.

7. Зеленяк Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ, 1970.

8. Копаческий Н. Д. Малые движения и нормальные колебания системы тяжелых вязких вращающихся жидкостей//Препринт/ФТИНГ АН УССР. Харьков, 1978. N 38 71. 54 с.

9. Копаческий Н. Д., Темпов А. Н. Колебания стратифицированной жидкости в бассейне произвольной формы//ЖВМ и МФ. 1986. Т 26. N 5. С. 734-755.

10. Габов С. А., Свешников А. Г. Линейные задачи теории нестационарных внутреннихволн. М.: Наука, 1990.

11. Габов С. А. Новые задачи математической теории волн. М.: наука, 1998.

12. Вишик М. И. Задача Коши для уравнения с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения// Мат. сб. 1956. Т. 39. N 1. С. 51-148.

13. Гальперн С. А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частнымипроизводными//Тр. Моск. мат. об-ва. 1990. N 9. С. 401-423.

14. Гальперн С. А. Задача Коши для уравнения С. JI. Соболева// Сиб. мат. жури. 1963.1. Т. 4. N 4. С. 758-773.

15. Плетнер Ю. Д. О колебаниях плоского двустороннего диска в стратифицированнойжидкости//ЖВМ и МФ. 1990. Т. 30. N 2. С. 278-290.

16. Симаков С. Т. К вопросу о малых колебаниях в стратифицированной жидкости//ПММ. 1989. Т. 23. N 1. С. 66-74.

17. Крутицкий П. А. Нестационарные планетарные волны в полуограииченных каналах//ЖВМ и МФ. 1987. Т. 27. N 12. С. 1824-1833.

18. Секерж-Зенькович С. Я. Построение фундаментального решения оператора внутренних волн//ДАН СССР. 1979. Т. 246. N 2. С. 286-288.

19. Плетнер Ю. Д. О построении решений некоторых уравнений в частных производных// ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. N 5. С. 742-757.

20. Плетнер Ю. Д. О свойствах решений некоторых уравнений в частных производных// ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. N 6. С. 890-903.

21. Плетнер Ю. Д. Фундаментальные решения операторов типа Соболева и некоторыеначально-краевые задачи//ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. N 12. С. 1885-1899.

22. Корпусов М. О., Плетнер 10. Д., Свешников А. Г. Нестационарные волны в стратифицированной жидкости, возбуждаемые изменением нормальной компоненты скорости на криволинейном отрезке//ЖВМ и МФ. 1997. Т. 37. N 9. С. 1112-1121.

23. Алыпин А. В., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Разрешимость одной внешнейначально-краевой задачи для уравнения ионно-звуковых волн//ЖВМ и МФ. 1996. Т. 36. N 10. С. 180-189.

24. Алынин А. Б., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Однозначная разрешимость задачи

25. Дирихле для уравнения ионно-звуковых волн в плазме//ДАН. 1998. Т. 361. N 6. 749-751.

26. Алыпин А. Б. Начально-краевые задачи для уравнения составного типа с движущимися границами//ЖВМ и МФ. 2002. Т. 42. N 2. С. 171-184.

27. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

28. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах // ПММ. 1960. Т. 24. N 5. С. 58-73.

29. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей

30. Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Труды МИАН. 1988. Т. 179. С. 126164.

31. Дзекдер Е.С. Обобщение уравнений движения грунтовых вод со свободной поверхностью // ДАН СССР. 1972. Т. 202. N 5. С. 1031-1033.

32. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1967.

33. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.

34. Свиридюк Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости

35. Изв. вузов. Математика. 1988. N 1. С. 74-79.

36. Свиридюк Г. А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости//Изв.вузов. Математика. 1988. N 1. С. 62-70

37. Karch G. Asymptotic behavior of solutions to some pseudoparabolic equations // Math.

38. Methods Appl. Sci. 1997. V. 20. N 3. P. 271-289.

39. Biler P. Long time behavior of the generalized Benjamin- Bona-Mahony equation in twospace dimensions // Differential and Integral Equations. 1992. V. 5. N 4. P. 891-901.

40. Goldstein J.A., Kajikiya R., Oharu S. On some nonlinear dispersive equations in severalspace variables // Differ, and Integral Equat. 1990. V. 3. N 4. P. 617-632.

41. Zhang L. Decay of solutions of generalized BBMB equations in n-space dimensions //

42. Nonlinear Analysis T.M.A. 1995. V. 20. P. 1343-1390.

43. Naumkin P.I., Shishmarev I.A. Nonlinear Nonlocal Equations in the Theory of

44. Waves. Translations of Mathematical Monographs 133 (Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1994).

45. Naumkin P.I. Large-time asymptotic behaviour of a step for the Benjamin-Bona

46. Mahony-Burgers equation // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A. 1996. V. 126. N 1. P. 1-18.

47. Avrin J., Goldstein J.A. Global existence for the Benjamin-Bona-Mahony equation inarbitrary dimensions // Nonlinear Anal., TMA. 1985. V. 9. N 8. P. 861-865.

48. Jeffrey A., Engelbrecht J. Nonlinear dispersive waves in a relaxing medium // Wave

49. Motion. 1980. V 2. N 3. P. 255-266.

50. Albert J.P. On the decay of solutions of the generalized Benjamin-Bona-Mahonyequation // J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 141. N 2. P. 527-537.

51. Pereira J.M. Stability of multidimensional traveling waves for a Benjamin-Bona-Mahonytype equation // Differ. Integral Equ. 1996. V. 9. N 4. P. 849-863.

52. Hagen Т., Tun J. On a class of nonlinear BBM-like equations // Comput. Appl. Math.1998. V. 17. N 2. P. 161-172.

53. Medeiros L.A., Perla M.G. On global solutions of a nonlinear dispersive equation of

54. Sobolev type // Bol. Soc. Bras. Mat. 1978. V. 9. N 1. P. 49-59.

55. Guo В., Miao Ch. On inhomogeneous GBBM equations // J. Partial Differ. Equations.1995. V. 8. N 3. P. 193-204.

56. Mei M. Lg-decay rates of solutions for Benjamin-Bona-Mahony-Burgers equations // J.

57. Differ. Equations. 1999. V. 158. N 2. P. 314-340.

58. Li Z. On the initial-boundary value problem for the system of multi-dimensionalgeneralized BBM equations // Math. Appl. 1990. V. 3. N 4. P. 71-80.

59. Chen Yu. Remark on the global existence for the generalized Benjamin-Bona-Mahonyequations in arbitrary dimension // Appl. Anal. 1988. V. 30. N 1-3. P. 1-15.

60. Liu L., Mei M. A better asymptotic profile of Rosenau-Burgers equation // J. Appl.

61. Math. Comput. 2002. V. 131. N 1. P. 147-170.

62. Chung Sang K., Pani Amiya K. Numerical methods for the Rosenau equation// J. Appl.

63. Anal. 2001. V. 77. N 3-4. P. 351-369.

64. Lee H. Y., Ohm M. R., Shin J. Y. The convergence of fully discrete Galerkinapproximations of the Rosenau equation// Korean J. Comput. Appl. Math. 1999. V. 6. N 1. P. 1-13.

65. Mei M. Long-time behavior of solution for Rosenau-Burgers equation. II // J. Appl.

66. Analys. 1998. V. 68. N 3-4. P. 333-356.

67. Chung S.K., Ha S.N. Finite element Galerkin solutions for the Rosenau equation // J.

68. Appl. Anal. 1994. V. 54. N 1-2. P. 39-56.

69. Park M. A. On the Rosenau equation in multidimensional space // J. Nonlinear Analys.,

70. Theory Methods Appl. 1993. V. 21. N 1. P. 77-85.

71. Park M. A. Pointwise decay estimates of solutions of the generalized Rosenau equation//

72. J. Korean Math. Soc. 1992. V. 29. N 2. P. 261-280.

73. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи матем. наук. 1994.1. Т. 49. N 4. С. 47-74.

74. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейныеуравнения типа Соболева // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36. N 5. С. 1130-1145.

75. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциальнооператорные уравнения. Новосибирск.: Наука, 2000.

76. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. Marcel Dekker,1.c. New York Basel - Hong Kong. 1999.

77. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск.: Научная книга. 1998.

78. Stefanelli U. On a class of doubly nonlinear nonlocal evolution equations // Differential1.tegral Eq. 2002. V. 15. N 8. P. 897-922.

79. Showalter R.E. Monotone operators in Banach space and nonlinear differentialequations, volume 49 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. 1997.

80. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. Киев: Наукова думка,1998.

81. Кожанов А.И. Параболические уравнения с нелинейным нелокальным источником

82. Сиб. матем. ж. 1994. Т. 35. N 5. С. 1062-1073.

83. Кожанов А.И. Начально-краевая задача для уравнений типа обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным источником // Матем. заметки. 1999. Т. 65. N 1. С. 70-75.

84. Гладков A.JI. Единственность решения задачи Коши для некоторых квазилинейныхпсевдопараболических уравнений // Матем. заметки. 1996. Т. 60. N 3. С. 356-362.

85. Di Benedetto Е., Pierre М. On the maximum principle for pseudoparabolic equations

86. Indiana University Mathematical Journal. 1981. V. 30. N 6. P. 821-854.

87. Begehr H., Dai D.Q. Initial boundary value problem for nonlinear pseudoparabolicequations // Complex Variables, Theory Appl. 1992. V. 18. N 1-2. P. 33-47.

88. Begehr H. Entire solutions of quasilinear pseudoparabolic equations // Demonstratiomathematica. 1985. V. 18. N 3. P. 673-685.

89. Пятков С.Г. Краевые задачи для некоторых уравнений и систем, возникающих втеории электрических цепей // Актуал. вопр. совр. мат. 1995. N 1. С. 121-133.

90. Guowang С., Shubin W. Existence and non-existence of global solutions for nonlinearhyperbolic equations of higher order // Comment. Math. Univ. Carolinae. 1995. V. 36. N 3. P. 475-487.

91. Fujita H. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut = Au + u1+Q//J.

92. Fac. Univ. Tokyo. 1966. Sect. IA. V. 13. P. 109 124.

93. Levine H. A. Some nonexistence and instability theorems for solutions of formallyparabolic equations of the form Put = —Au + F(u)// Arch. Rational. Mech. Analys. 1973. V.51. P. 371-386.

94. Levine H. A., Payne L. E. Some nonexistence theorems for initial-boundary valueproblems with nonlinear boundary constraints// Proc. of AMS. 1974. V. 46. N. 7. pp. 277-281.

95. Levine H. A. Quenching and beyond: A survey of recent rezults, GAKUTO Internat.

96. Series, Math. sci. appl. nonlinear math, problems in industry Vol. 2 (H. Kawarada et al., eds.), Gakkotosho, Tokyo. 1993. pp. 501-512.

97. Levine H. A., Payne L. E. Nonexistence theorems for the heat equation with nonlinearboundary conditions and for the porous medium equation backward in time//J. differ, equations. 1974. V. 16. pp. 319-334.

98. Levine H. A., Park S. R., Serrin J. Global existence and nonexistence theorems forqusilinear evolution equations of formally parabolic type//J. Differential equations. 1998. V. 142. pp. 212-229.

99. Levine H. A., Serrin J. Global nonexistence theorems for qusilinear evolution equationswith dissipation// Arch. rat. mech. anal. 1997. V. 137. pp. 341-361.

100. Levine H. A., Fila M. On the boundedness of global solutions of abstract semilinearparabolic equations.//J. Math. Anal. Appl., 1997, V. 216. pp. 654-666.

101. Levine H. A., Park S. R., Serrin J. Global existence and global nonexistence of solutionsof the Cauchy problem for a nonlineary damped wave equation.//J. Math. Anal. Appl. 1998. V. 228. pp. 181-205

102. Levine H. A. The role of critical exponents in blowup problems.//SIAM Rev., 1990. V.32. pp. 262-288.

103. Amann H., Fila M. A fujita-type theorem for the laplace equation with a dynamicalboundary condition//Acta Math. Univ. Comenianae. Vol. LXVI. 2(1997). P. 321-328.

104. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы собострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

105. Галактионов В. А. Об одной краевой задачи для нелинейного параболического уравнения щ = Аи1+<т + и0// Дифференциал, уравнения. 1981. Т. 17. N 5. С. 836-842.

106. Галактионов В. А. Об условиях отсутствия глобальных решений одного класса квазилинейных параболических уравнений//ЖВМ и МФ. 1982. Т. 22. N 2. С. 322-338.

107. Галактионов В. А. О неразрешимых в целом задачах Коши для квазилинейныхпараболических уравнений//ЖВМ и МФ. 1983. Т. 23. N 5. С. 1072-1087.

108. Rossi J. D. The blow-up rate for a semilinear parabolic equation with a nonlinearboundary condition//Acta. Math. Univ. Comenianae. 1998. V. LXVII. N 2. P. 343 350.

109. Egorov, Yu. V.; Galaktionov, V. A.; Kondratiev, V. A.; Pohozaev, S. I. Global solutions of higher-order semilinear parabolic equations in the supercritical range.// Adv. Differential Equations 9 (2004), no. 9-10, 1009-1038. MR2098064.

110. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений дифференциальных неравенств в частных производных. Труды МИАН. 2001.

111. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие глобальных положительных решенийдля квазилинейных эллиптичексих неравенств//До клады РАН. 1998. Т. 359. N 4. С. 456-460.

112. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие положительных решений для квазилинейных эллиптических задач в ^//Труды МИАН. 1999. Т. 227. С. 192-222.

113. Лаптев Г. Г. Об отсутствии решений одного класса сингулярных полулинейныхдифференциальных неравенств//Труды МИАН. 2001. Т. 232. С. 223-235.

114. Liu, Yacheng; Wan, Weiming; Lu, Shujuan Nonlinear pseudoparabolic equations inarbitrary dimensions.// 1997, Text.Article, Acta Math. Appl. Sin., Engl. Ser. 13, No.3, 265-278 (1997).

115. Fan, En Gui; Zhang, Jian. Blow-up of solutions to a class of nonlinear pseudoparabolicequations. (Chinese) Sichuan Shifan Daxue Xuebao Ziran Kexue Ban 18 (1995), no. 4, 21-26.

116. Zhi Jian; Chen, Guowang. Blow-up of solutions to a class of quasilinear pseudoparabolicequations. (Chinese) Gaoxiao Yingyong Shuxue Xuebao Ser. A 9 (1994), no. 3, 228-236. MR1328063 (95m:35108)

117. Tian, Ying Hui. The blow-up properties of generalized nonlinear pseudoparabolic andpseudohyperbolic equations. (Chinese) Sichuan Shifan Daxue Xuebao Ziran Kexue Ban 16 (1993), no. 4, 61-68. MR1250599 (94j:35092)

118. Shang, Yadong; Guo, Boling Initial-boundary value problems and initial valueproblems for nonlinear pseudoparabolic integro-differential equations. (Chinese. English summary) J. Math. Appl. 15, No.l, 40-45 (2002). [ISSN 1001-9847]

119. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир,1972.

120. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

121. Дубинский Ю. А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения// Совр. пробл. матем. Т. 9. М.: ВИНИТИ, 1990. С. 89-166.

122. Дубинский Ю. А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка//Мат. сб. 1973. Т. 90. N 1. С. 3-22.

123. Иванов А. В. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение//Алгебра и анализ. 1992. Т. 4. N 6. С. 114-130.

124. Лаптев Г. И. Слабые решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностыо//Матем. сб. 1997. Т. 188. N 9. С. 83-112.

125. Лаптев Г. И. Эволюционные уравнения с монотонным оператором и функциональной нелинейностью при производной по времени//Матем. сб. 2000. Т. 191. N 9. С. 43-64.

126. Кузнецов А. В. О разрешимости дважды нелинейных эволюционных уравнений с монотонными операторами//Дифференц. уравн. 2003. Т. 39. N 9. С. 1176-1187.

127. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников М.: Наука, 1990.

128. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989.

129. Гинзбург В.Л., Рухадзе А.А. Волны в магнитоактивной плазме. М.: Наука, 1970.

130. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992.

131. Клеммоу Ф., Доуэрти Дж. Электродинамика частиц и плазмы. М.: Мир, 1996.

132. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

133. Федосов В.Н. Низкочастотные флуктуации и релаксация в полупроводниковом сегнетоэлектрике // Физ. и техн. полупроводников. 1983. Т. 17. N 5. С. 941-944.

134. Басс Ф.Г., Бочков B.C., Гуревич Ю.С. Электроны и фононы в ограниченных полупроводниках М.: Наука, 1984.

135. Петвиашвили В.И., Похотелов О.А. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Атомиздат, 1989.

136. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 1. Неустойчивости однородной плазмы. М.: Атомиздат, 1975.

137. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 2. Неустойчивости неоднородной плазмы. М.: Атомиздат, 1977.

138. Knessl Ch., Keller J.B. Rossby waves // Stud. Appl. Math. 1995. V. 94. N 4. P. 359-376.

139. Zakharov V.E., Monin A.S., Piterbarg L.I. Hamiltonian description of baroclinic Rossby waves // Sov. Phys., Dokl. 1987. V. 32. N 8. P. 626-627.

140. Zakharov V.E., Piterbarg L.I. Canonical variables for Rossby and drift waves in plasma // Sov. Phys., Dokl. 1987. V. 32. N 7. P. 560-561.

141. Козлов В.Ф. Формирование волн Россби в нестационарном баротропном океаническом потоке под действием возмущений // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1980. Т. 16. N 4. С. 410-416.

142. Bagchi В., Venkatesan С. Exploring solutions of nonlinear Rossby waves in shallow water equations // J. Phys. Soc. Japan. 1996. V. 65. N 8. P. 2717-2721.

143. Redekopp L.G. On the theory of solitary Rossby waves // J. Fluid Mech. 1977. V. 82. N 4. P. 725-745.

144. Tan В., Liu Sh. Nonlinear Rossby waves in the geophysical fluids // J. Math. Appl. 1990. V. 3. N 1. P. 40-49.

145. Tan В., Boyd J.P. Dynamics of the Flierl-Petviashvili monopoles in a barotropic model with topographic forcing // Wave Motion. 1997. V. 26. N 3. P. 239-251.

146. Camassa R., Holm D.D. An integrable shallow water equation with peaked solitons // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. N 11. P. 1661-1664.

147. Benjamin T.B., Bona J.L., Maliony J.J. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems // Philos. Trans. Royal Soc. London A. 1972. V. 272. N 1220. P. 47-78.

148. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg- de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. N 19. P. 1095-1097.

149. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи./Под. ред. С. П. Новикова. М.: Наука, 1980.

150. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.

151. Фурман А.С. О стратификации объёмного заряда при переходных процессах в полупроводниках // Физ. твердого тела. 1986. Т. 28. N 7. С. 2083-2090.

152. Астратов В.Н., Ильинский А.В., Киселёв В.А. Стратификация объёмного заряда при экранировании поля в кристаллах // Физ. твердого тела. 1984. Т. 26. N 9. С. 2843-2851.

153. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Изд. Иностранной лит., 1962.

154. Крейи С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

155. Свиридюк Г.А., Семенова И.Н. О разрешимости неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска // Дифферен. уравн. 1988. Т. 24. N 9. С. 1607-1613.

156. Свиридюк Г.А., Казак В.А. Фазавое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа // Мат. заметки. 2002. Т. 71. N 2. С. 292-297.

157. Боич-Бруевич В.Л., Звягин И.П., Миронов А.Г. Доменная электрическая неустойчивость в полупроводниках. М.: Наука, 1972.

158. Ваксер А.И. Термотоковая неустойчивость в полупроводниках // Физ. и техн. полупроводников. 1981. Т. 15. N 11. С. 2203-2208.

159. Kirchhoff G. Vorlesungen uber Mechanick. Teubner, Leipzig. 1883.

160. Spagnolo S. The Cauchy problem for Kirchhoff equations // Estratto dal "Rendiconti del Seminaro Matematico e Fisico di Milano". 1992. V. 62. P. 17-51.

161. Похожаев С.И. Об одном классе квазилинейных гиперболических уравнений // Мат. сб. 1975. Т. 25. N 1. С. 145-158.

162. Ball J. Stability theory for an extensible beam // J. DifF. Equations. 1973. V. 14. P. 399-418.

163. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационые неравенства. М.: Наука, 1988.

164. Робертсои А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

165. Морен К. Методы Гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

166. Демидович В. П. Лекции по математической теории устойчивости М.: Наука, 1967.

167. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений. М.: Изд-во МГУ, 1976.

168. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.:Наука, 1994.

169. Габов С. А. Введение в теорию нелинейных волн. Изд. Московского Университета. 1988.

170. Габов С. А. Об уравнении Унзема//ДАН СССР. 1978. Т. 242. N 5. С. 993-996.

171. Габов С. А. О свойстве разрушения уединенных волн, описываемых уравнением Уизема//ДАН СССР. 1979. Т. 246. N 6. С. 1292-1295.

172. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр 2. Линейная алгебра. М.: Наука, 1986.

173. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

174. Похожаев С.И. Об одном классе квазилинейных гиперболических уравнений // Мат. сб. 1975. Т. 25. N 1. С. 145-158.

175. Похожаев С. И. Об одном подходе к нелинейным уравнениям// ДАН СССР. 1979. Т. 247. Т 6. С. 1327-1331.

176. Похожаев С. И. О собственных функциях уравнения Ди+Аf(u) = 0//ДАН СССР. 1965, Т. 165, N 1, С. 36 39.

177. Похожаев С. И. Об одном конструктивном методе вариационного исчисления// ДАН СССР. 1988. Т. 298. N 6. С. 1330-1333.

178. Похожаев С. И. О методе расслоения решения нелинейных краевых задач//Труды МИАН СССР. 1990. Т. 192. С. 146-163.

179. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гос. изд. технико-теор. лит., 1956.

180. Люстерник Л. А., Шнирельмаи Л. Г. Топологические методы в вариациониых задачах. Труды Института математики и механики при 1 МГУ, 1930, 1-68.

181. Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998.

182. Успенский С. В., Демиденко Г. В., Перепелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука, 1984.

183. Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О нестационарных волнах в средах с анизотропной дисперсией // ЖВМ и МФ. 1999. Т. 39. N 6. С. 968-984.

184. Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии // ЖВМ и МФ. 2000. Т. 40. N 8. С. 1237-1249.

185. Корпусов М.О., Свешников А.Г. Трехмерные нелинейные эволюционные уравнения псевдопараболического типа в задачах математической физики //ЖВМ и МФ. 2003. Т. 43. N 12. С. 1835-1869.

186. Корпусов М.О., Свешников А.Г. Трехмерные нелинейные эволюционные уравнения псевдопараболического типа в задачах математической физики. 2. //ЖВМ и МФ. 2004. Т. 44. N 11. С. 2041-2048.

187. Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О модельном уравнении составного типа, описывающем переходные процессы в полупроводниках// Вестн. МГУ. Сер. Физ. Астрон. 1999. N 6. Стр. 12-14.

188. Корпусов М. О., Свешников А. Г. Об одной начально-краевой задаче магнитной гидродинамики// ЖВМ и МФ, т. 41, 2001, N 11, с. 1734-1741.

189. Корпусов М. О. Глобальная разрешимость начально-краевой задачи для одной полулинейной системы уравнешш//ЖВМ и МФ, т. 42, 2002, N 7, с. 1039-1050.

190. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении за конечное время решения начально-краевой задачи для полулинейного уравнения составного типа. //ЖВМ и МФ, т. 40, 2000, N 11, стр. 1716-1724.

191. Корпусов М. О. К вопросу о глобальной разрешимости начально-краевой задачи для нелинейного уравнения составного типа //ЖВМ и МФ, т. 41, 2001, N 6, стр. 959-964.

192. Корпусов М. О., Свешников А. Г. Энергетическая оценка при больших временах для решения нелинейного уравнения псевдопараболического типа//ЖВМ и МФ, т. 42, 2002, N 8, стр. 1200-1206.

193. Корпусов М. О. Глобальная разрешимость и разрушение за конечное время решений нелинейных уравнений псевдопараболического типа//ЖВМ и МФ, т. 42, 2002, N 6, с. 849-866.

194. Корпусов М. О. К вопросу о разрушении за конечное время решения задачи Коши для псевдопараболического уравнения//Дифференц. уравнения, т. 38, 2002, N 12, с. 1-6.

195. Корпусов М. О. "Разрушение"решения псевдопараболического уравнения с производной по времени от нелинейного эллиптического оператора// ЖВМ и МФ, т. 42, 2002, N 12, с. 1717- 1724.

196. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрешимости сильно нелинейного уравнения псевдопараболического типа с двойной нелинейностыо//ЖВМ и МФ, т. 43, N 7, 2003 с. 944-962.

197. Корпусов М. О. Условия глобальной разрешимости задачи Коши для полулинейного уравнения псевдопараболического типа//ЖВМ и МФ, 2003, т. 43, N 8, с. 1159-1172.

198. Корпусов М. О. Пробой полупро1зодников//Радиотехника и Электроника. 2004. Т. 50. N 2. С. 252-255.

199. Корпусов М. О. О разрушении решений класса сильно нелинейных уравнений типа Соболева//Изв РАН, 2004. Т. 68. N 4. С. 151-204.

200. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О существовании решения уравнения Лапласа с нелинейным динамическим граничным условием//ЖВМ и МФ, т. 43, 2003, N 1, с. 113-128.

201. Корпусов М. О., Свешников А. Г. Разрушение нелинейных волн Россби в полупроводниках// Радиотехника. 2005. N 1.

202. Korpusov М. О., Sveshnikov A. G . On blowing-up of solutions of Sobolev-type equation with source.// The ,,CUBO"mathem. Journal. 2005. V. 7. N 1. pp. 57-69.

203. Корпусов M. О., Свешников А. Г. О разрушении решений абстрактных задач Коши для нелинейных операторно-дифференциальных уравнений// ДАН, 2005. Т. 401. N 1. С. 1-3.

204. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении за конечное время решений начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа с псевдо-Лапласианом//ЖВМ и МФ, 2005. Т. 45. N 2. С. 272-286.

205. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении решений полулинейных уравнений псевдопараболического типа с быстро растущими нелинейностями//ЖВМ и МФ, 2005. Т. 45. N 1. С. 145-155.

206. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении решения начально-краевой задачи для нелинейного нелокального уравнения псевдопараболического типа//ЖВМ и МФ. 2004. Т. 44. N 12. С. 2104-2111.

207. Корпусов М. О. Условия глобальной разрешимости начально-краевой задачи для нелинейного уравнения псевдопараболического типа//Диффер. уравн. 2005. Т. 41. N 5. С. 1-8.

208. Корпусов М. О. О разрушении решения начально-краевой задачи для неоднородного уравнения псевдопараболического типа//Диффер. уравн., 2005. Т. 41. N 5. С. 1-4.

209. Корпусов М. О., Свешников А. Г. О разрушении решений класса сильно нелинейных волновых диссипативных уравнений типа Соболева с источниками//Изв. Ран. 2005. Т. 69. N 4.

210. А. В. Alshin, М. О. Korpusov, Yu. D. Pletner, A. G. Sveshnikov Non-classical PDE of composite type as mathematical models of waves in mediums with an anisotropic dispersion.// 3rd European Congress of Mathematics, Barcelona, July 10 to 14, 2000.

211. A. B. Alshin, M. O. Korpusov, Yu. D. Pletner, A. G. Sveshnikov Sobolev Equations as Mathematical Models of Processes in Mediums with a non-Isotropic Dispersion// First SIAM-EMS Conference "AMCW"2001, September 2 6, 2001, Berlin.

212. A. B. Alshin, M. O. Korpusov The application of dynamic potentials for the nonclassical PDE of composite type// International Conference "New Trends in Potential Theory and Applications", Bielefeld, Germany, March 26-30, 2001.

213. Корпусов M. О. Глобальная и локальная разрешимость нелинейных уравнений псевдопараболического типа и некоторых систем уравнений физики полупровод-ников//Научная конференция: "Ломоносовские чтения. Секция физики. Апрель 2002", стр. 50-53.

214. Корпусов М. О., Свешников А. Г. Глобальная и локальная разрешимость нелинейных уравнений псевдопараболического типа//Межд. конф. "Дифференциальные и функционально- дифференциальные уравнения."М. Август 11-17, 2002, с. 56.

215. Alshin А. В., Korpusov М. О., Pletner Yu. D., and Sveshnikov A. G. New Problems for Equation of Composite Type // Abstract of Short Communication and Poster Section, International Congress of Mathematicians, Beijing, August 20-28, 2002, p. 207.