Нелинейные дифференциально-разностные уравнения эллиптического и параболического типа и их приложения к нелокальным задачам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Солонуха Олеся Владимировна

• Солонуха Олеся Владимировна
• доктор наук
• 2024

Оглавление диссертации доктор наук Солонуха Олеся Владимировна

1.1 Постановка задачи

1.2 Разбиение области Q с и свойства разностных операторов

1.3 Уравнения с сильно монотонным оператором. Существование

и единственность обобщенного решения

1.4 Операторы с полуограниченной вариацией и (5+)-операторы. Существование обобщенного решения

1.5 Условие сильной эллиптичности для симметрического разностного оператора

2 Нелинейные эллиптические дифференциально—разностные уравнения

2.1 Алгебраическое условие эллиптичности и существование решения

2.2 Алгебраическое условие сильной эллиптичности и существование решения

2.3 Уравнения с р-лапласианом

2.3.1 Примеры при Q с К

2.3.2 Достаточное условие сильной аккретивности

2.3.3 Свойства оператора ДрЯд и существование обобщенного решения

3 Квазилинейные параболические дифференциально—разностные уравнения

3.1 Постановка начально-краевой задачи. Операторное уравнение

3.2 Разбиение области и свойства разностного оператора

3.3 Квазилинейные параболические уравнения с

сильно монотонным дифференциально-разностным оператором. Существование и единственность обобщенного решения

3.4 Операторы с (V; W)-полуограниченной вариацией и обладающие свойством (5+) на W операторы. Существование обобщенного решения

3.5 Существование периодических решений параболического дифференциально-разностного уравнения

4 Нелинейные параболические дифференциально—разностные

уравнения

4.1 Дифференциально-разностные операторы, обладающие свойством (5+) на W

4.2 Параболические уравнения с оператором с (V, W)-полуогра-ниченной вариацией

4.3 Параболическое уравнение с р-лапласианом и разностным оператором

4.4 Существование периодических решений

5 Дифференциальные уравнения с нелокальными краевыми

условиями типа Бицадзе—Самарского

5.1 Разностный оператор и изоморфизм соболевских пространств

5.2 Существование решения нелинейного эллиптического диффе-

ренциального уравнения с нелокальными краевыми условиями 158 5.3 Существование решения начально-краевой задачи для параболического дифференциального уравнения с нелокальными

краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского

5.3.1 Постановка задачи

5.3.2 Максимальная монотонность оператора д^Яд

5.3.3 Линейная параболическая задача

5.3.4 Квазилинейные параболические уравнения

5.3.5 Нелинейные нелокальные задачи

5.4 Существование периодических по £ решений параболических дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные дифференциально-разностные уравнения эллиптического и параболического типа и их приложения к нелокальным задачам»

Введение

Актуальность темы диссертации и ее разработанность в литературе. В настоящей диссертации изучаются краевые задачи для нелинейных дифференциально-разностных уравнений эллиптического и параболического типов, а также связанные с ними нелинейные уравнения с нелокальными краевыми условиями. Главной особенностью рассматриваемых уравнений является то, что разностный оператор находится в главной части нелинейного оператора, содержащей старшие производные.

Дифференциально-разностные уравнения являются одним из направлений функционально-дифференциальных уравнений и нелокальных задач. Изучение нелокальных задач было начато еще в классических работах А.Зоммерфельда [142], Я.Д.Тамаркина [101] и М.Пиконе [114,115] для обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория функционально-дифференциальных уравнений (в частности дифференциально-разностных уравнений) получила развитие в трудах А.Д. Мышкиса и многих других математиков, см. монографии [2,14, 43,102,123] и имеющуюся там библиографию. При этом в настоящее время лучше всего изучены функционально-дифференциальные уравнения с запаздыванием по времени и задачи с ин-тегро-дифференциальными членами.

Общая теория линейных эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений (разрешимость, априорные оценки, гладкость обобщенных решений, спектральные свойства операторов) достаточно развита и продолжает развитие, см. [10-14, 17, 35, 40-42, 47, 48, 54, 55, 58, 60-72, 121, 123, 124] и приведенную там библиографию. Задачи с нелинейными младшими членами рассмотрены, например, в [52, 116, 124]. Актуальность исследования линейных и полулинейных дифференциально-разностных уравнений подтверждена многочисленными приложениями: в теории многослойных пластин и оболочек, см. [45,71,123], в нелинейной оптике, см. [52,116,124], в теории управления, см. [32,123] и библиографию, и др.

К дифференциально-разностным уравнениям можно свести ряд задач с нелокальными краевыми условиями. В 1969г. такая задача была постав-

лена в работе А.В.Бицадзе и А.А.Самарского [3] в связи с приложениями в теории плазмы. Такого типа задачи возникают также в теории многомерных диффузионных процессов [5, 62, 110, 111, 120, 123, 143]. Исследованию этой задачи был посвящен целый ряд работ, см. [1,18,22,26,30,39,53,74,100] и библиографию. В 1980г. исследование задачи Бицадзе-Самарского в случае произвольного эллиптического уравнения с переменными коэффициентами и произвольной структуры носителя нелокальных членов было сформулировано как нерешенная проблема [56]. Теория линейных нелокальных эллиптических краевых задач с условиями типа Бицадзе-Самарского была построена в работах А.Л.Скубачевского [61,63-65,69,70,122,123]. Одним из методов исследования этих задач является сведение нелокальных эллиптических задач к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям, см. [63,123].

Многие математики изучали задачи с абстрактными нелокальными граничными условиями и абстракными функциональными возмущениями дифференциального оператора как линейные, так и нелинейные, см. [6, 103, 104,106, 108,109,119]. При этом, в абстрактных нелинейных задачах рас-смотривались монотонные и псевдомонотонные операторы.

В последние десятилетия основное внимание математиков в теории уравнений в частных производных привлекают нелинейные задачи. Актуальность построения методов исследования нелинейных дифференциально-разностных моделей и нелокальных моделей поднимался на многих научных конференциях и семинарах, о его важности говорили, например, С.И.Похо-жаев и Л.Ниренберг. К сожалению, в опубликованных ранее работах не были сформулированы конструктивные условия, определяющие псевдомонотонность операторов, задающих нелокальные краевые условия, или псевдомонотонность (эллиптичность) нелинейных дифференциально-разностных операторов. Методы линейной теории также не дают ответ на вопрос об эллиптичности нелинейных дифференциально-разностных операторов и не позволяют определить тип рассматриваемых нелинейных и нелокальных уравнений.

Для исследования нелинейных дифференциальных уравнений начиная с 60-х годов прошлого века применяется теория операторов монотон-

ного (псевдомонотонного) типа, см. [4,29,112], т.е. метод монотонности. В работах М.И.Вишика и других советских математиков основным элементом исследования являлись краевые и смешанные задачи для уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов, эллиптический оператор которых задан в дивергентной или недивергентной форме. Такими уравнениями занимались М.И.Вишик, О.Ф.Ладыженская, С.И.Похожаев, Ю.А.Дубинский и др., см. [7-9,19-21,33,34,49] и библиографию. Также такие уравнения активно исследовались в других странах Х.Брезисом, Ф.Бра-удером, Ж.-Л.Лионсом и многими другими, см. [15,36,105,107] и библиографию. Западные математики ввели понятие псевдомонотонного оператора, см. [36,105]. Основное условие, которому удовлетворяли дифференциальные операторы, получившие название псевдомонотонных, — алгебраическое условие монотонности (эллиптичности) главной части оператора. В 60-е годы Ю.А.Дубинский ввел понятие алгебраического условия сильной эллиптичности и рассмотрел уравнения с операторами с полуограниченной вариацией [19,20]. Позже было доказано, что операторы с полуограниченной вариацией являются псевдомонотонными, а операторы, удовлетворяющие условию эллиптичности и коэрцитивности, являются не только псевдомонотонными, но и обладают свойством (5+), см. работы И.В.Скрыпника [59] и др. Класс оператора определяет свойства решения (множества решений) операторного уравнения. В нелинейном анализе сформулированы теоремы существования решений для уравнений с операторами разных классов псевдомонотонного типа и изучены свойства решений, см. [15,20,36,59] и др. До сих пор эти теоремы применялись только для исследования дифференциальных уравнений в частных производных.

Научная новизна. Таким образом, изучение нелинейных дифференциально-разностных уравнений и связанных с ними нелокальных задач является новой, актуальной темой. До сих пор исследования нелинейных эллиптических и параболических дифференциально-разностных уравнений и связанных с ними нелокальных задач не проводились. Более того, линейные параболические дифференциальные уравнения с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского тоже не были исследованы.

Цели и задачи исследования: построить основы общей теории не-

линейных дифференциально-разностных уравнений эллиптического и параболического типа, а также теории эллиптических и параболических дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями типа Би-цадзе-Самарского; разработать методы исследования нелинейных эллиптических и параболических дифференциально-разностных уравнений на основе теории псевдомонотонных операторов, а также применить развитые в диссертации методы к исследованию некоторых нерешенных задач линейной теории. Для этого необходимо:

1. Показать, что рассматриваемые стационарные и нестационарные дифференциально-разностные уравнения являются уравнениями эллиптического и параболического типа, соответственно, т.е. доказать достаточные условия, при которых дифференциально-разностный оператор является оператором псевдомонотонного типа.

2. Доказать достаточные условия существования решений эллиптических и параболических дифференциально-разностных уравнений. Получить априорные оценки.

3. Построить дифференциально-разностные уравнения, эквивалентные дифференциальным уравнениям с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского. Доказать, что полученные уравнения являются уравнениями эллиптического и параболического типа, соответственно. Доказать достаточные условия существования решений этих задач и получить априорные оценки.

Методология и методы исследования. Изучение дифференциально-разностных уравнений и связанных с ними нелокальных задач было проведено методами теории линейного и нелинейного функционального анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных и матричного анализа. Отметим использование метода разбиения области на непересекающиеся классы подобластей из теории линейных дифференциально-разностных уравнений, см. [63,123], и теории операторов псевдомонотонного типа, см. [15,20,23,36,59] и др. Более подробно использование этих методов и подходов будет описано в кратком обзоре содержания работы.

Краткий обзор содержания работы.

В первой главе сформулирована эллиптическая краевая задача с

дифференциально-разностным оператором. В ограниченной области Ц С с достаточно гладкой границей рассматривается уравнение

ЛЯи(х) = /(х) (х е Ц) (0.1)

где Ли(х) = — д,Л,(х, и, Vи) + Л0(х, и, Vи) —дифференциальный оператор с дифференцируемыми коэффициентами Л,, а Яи(х) = ^ аНи(х+Ь)

Нем

— невырожденный разностный оператор с конечным множеством сдвигов {Ь}, сдвиги имеют целочисленные (или соизмеримые1) координаты, с краевым условием

и(х) = 0 (х е \ Ц). (0.2)

Доказаны условия существования обобщенного решения в соболевском про-

0 1 1 странстве \¥р)(Ц) при / е W——1(Q), 2 ^ р < ж, 1/р + 1/д = 1. Для этого

изучены свойства разностного оператора и рассмотрены условия, при которых квазилинейный дифференциально-разностный оператор будет либо сильно монотонным, либо обладать полуограниченной вариацией или свойством (5+). При этом построено алгебраическое условие сильной эллиптичности, содержащие производные функций Л, и весовые коэффициенты, однозначно вычисляемые исходя из формулы для разностного оператора. Заметим, что в теории линейных функционально-дифференциальных уравнений свойства дифференциально-разностного оператора Лд определяются свойствами линейного сильно эллиптичного дифференциального оператора Л и разностного оператора Яд, см. [71,123] и др. Чтобы использовать разбиение области и аддитивность интеграла Лебега при рассмотрении нелинейного уравнения необходимо использование оператора, обратного к разностному. Поэтому в нелинейной теории рассматриваются невырожденные разностные операторы. Используя классические теоремы о существовании решения операторного уравнения с оператором соответствующего класса сделан вывод о существовании решения эллиптического дифференциально-разностного уравнения.

Во второй главе рассмотрены эллиптические уравнения (0.1)-(0.2),

1 Несоизмеримые сдвиги рассматривались ранее для линейных задач, но даже в линейном случае несоизмеримые сдвиги серьезно усложняют рассмотрение и приводят к новым эффектам, см. [25,66,71].

причем функции Лг, определяющие дифференциальный оператор, могут быть недифференцируемы, р Е (1, то). Для дифференциально-разностного оператора классические алгебраические условия монотонности или сильной эллиптичности являются не конструктивным, поскольку дифференциальный оператор действует на функцию после применения к ней разностного оператора. Поэтому построены условия монотонности (эллиптичности) и сильной эллиптичности, в котором участвуют коэффициенты дифференциального оператора Лг и матриц Я-1, определяющих действие оператора, обратного к разностному, и однозначно вычисляющиеся в соответствии с разностным оператором.

Также во второй главе рассмотрена эллиптическая задача (0.1)-(0.2), когда дифференциальный оператор задан р-лапласианом

Ли = Ари = - ^ д{ (1дги1Р-2дги)

, Щ' дги)

Заметим, что р-лапласиан является наиболее изученным нелинейным опе-

о

ратором, он с сильно монотонен в РУД^) и удовлетворяет алгебраическому условию сильной эллиптичности. В §2.3 показано, что при возмущении р-лапласиана разностным оператором дифференциально-разностный оператор может быть не монотонным и не удовлетворять алгебраическому условию эллиптичности. Псевдомонотонность дифференциально-разностного оператора с р-лапласианом доказана при условии сильной аккретивности оператора, обратного к разностному. При р > 2 доказано достаточное условие сильной аккретивности этого оператора, определяемого через коэффициенты матриц Я-1. Приведены пример неединственности решения дифференциально-разностного уравнения с р-лапласианом, а также пример, когда множество решений бесконечно (заметим, что при р = 2 соответствующие уравнения имеют единственное решение). На основе полученных результатов сделан вывод о разрешимости дифференциально-разностного уравнения с р-лапласианом, а также получены априорные оценки решений.

Главы 3 и 4 посвящены параболическим дифференциально-разностным уравнениям, причем в главе 3 рассмотрены уравнения с дифференцируемыми функциями Лг, а в главе 4 — более общий случай и уравнения с

р-лапласианом. В ограниченном цилиндре = Ц х (0,Т) рассматривается уравнение

зги(х,г) + ЛЯи(х,г) = /(х,г) ((х,г) е пт), (0.3)

где Ли(х,£) = — д,Л,(х,£,и, Vu) + Л0(х,£,и, Vu), если

и(х, 0) = р(х) (х е Ц), (0.4)

и(х,г) = 0 (х е \Ц, о <г<т). (0.5)

Доказаны условия существования обобщенного решения задачи (0.3)-(0.5) при 2 ^ р < ж, 1/р +1/(1 = 1, в банаховом пространстве

W = {и е Ьр(0,Т; Жр1 (Ц)) : Зги е Ь— (0,Т; W——1(Q))]

при / е Ь— (0,Т; W—~1(Q)), р е Ь2(Ц). Получены также результаты для случая р е (1, 2). При определении свойств дифференциально-разностного оператора использованы методы, разработанные при исследовании эллиптической задачи (см. Главы 1-2). Получены достаточные условия принадлежности дифференциально-разностного оператора одному из следующих классов: сильно монотонные, псевдомонотонные, псевдомонотонные на W, обладающие свойством (5+) на W, а также операторы с (V, W)-полуогра-ниченной вариацией. Это позволяет применять классическую теорию существования решения операторного уравнения параболического типа с эллиптическим оператором псевдомонотонного типа, см. [20,36] и др. Доказаны также теоремы существования периодических по £ (с периодом Т) решений задачи (0.3),(0.5).

В Главе 5 исследована разрешимость эллиптических и параболических дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского. Рассмотрим модельный пример: существует ли решение дифференциального уравнения

Лгш(х) = /(х) (х е Ц = (0, 2) х (0,1)) (0.6)

с нелокальными краевыми условиями Бицадзе-Самарского

Цх, 0) = ад(жь1) = 0 (0 < х1 < 2),

ад(0,ж2) = 71^(1,ж2), ад(2,ж2) = 72ад(1,ж2) (0 < х2 < 1)

(0.7)

в соболевском пространстве

(ф) := Е Жр (ф) : ад удовлетворяет (0.7)}. Как и в случае р = 2 (см. [63,123]) при 7^2 = 1 разностный оператор

Яи(х) = и(х1, х2) + 71и(ж1 + 1, х2) + 72и(ж1 — 1, х2) (0.8)

о _

определяет изоморфизм пространств РУДф) и Жр (ф). То есть, ад = Яди Е Жр7(ф) является решением задачи (0.6)-(0.7) тогда и только тогда, когда

О л

и Е Жр(ф) является решением задачи (0.1)-(0.2) при ф = (0, 2) х (0,1) и Я, заданным в (0.8).

В §5.1 рассмотрен случай общих нелокальных краевых условий типа Бицадзе-Самарского и доказана теорема об изоморфизме для разностного

о

оператора Яд : Жр(ф) ^ Жр7(ф), р Е (1, то), ранее подобная теорема была доказана для р =2, см. [63,123]. Используя теорему об изоморфизме и свойства дифференциально-разностного оператора Ад = ЛЯд, в §5.2 доказаны теоремы существования решения нелокальной краевой задачи эллиптического типа и получены априорные оценки для этих решений.

В §5.3 рассмотрена начально-краевая задача для параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского. Отметим, что даже в случае линейного дифференциального уравнения разрешимость такой задачи доказана впервые. Сформулируем модельную задачу: существует ли решение дифференциального уравнения

д^ад(ж, £) + Лад(ж, £) = /(ж,£) (х Е ф = (0, 2) х (0, 1),£ Е (0,Т)) (0.9)

с нелокальными краевыми условиями Бицадзе-Самарского

w(xl,0,г) = п)(хи 1,г) = 0 (х1 е [0,2],г е (0,т)), 1 w(о,x2,t) = чМ1,х2,г), (х2 е (0,1),г е (0,т)), 1 (0.10)

w(2,x2,t) = ^(1,х2,г) (х2 е (0,1),г е (0,т))

и начальным условием

w(x, 0) = ф(х) (х е Ц), (0.11)

в пространстве

= е Ьр(0,Т; W)1(Ц)) : ^ е Ь— (0,Т; W——1(Q))}

при / е Ь— (0,Т; W—~1(Q)), г^ е Ь2(Ц), 2 ^ р < ж. Как и в эллиптическом случае, при 71^2 = 1 разностный оператор

Яи(х) = и(х1,х2,г) + 71и(х1 + 1,х2,г) + 72и(х1 — 1,х2, г)

определяет изоморфизм пространств Ьр(0,Т; (Ц)) и Ьр(0,Т; Wp)Y(Ц)), w = Яди е WY является решением задачи (0.9)-(0.11) тогда и только тогда, когда и е W является решением задачи

дгЯди + ЛЯди = ¡, и\г=0 = Я—1ф = р. (0.12)

В п.5.3.1 доказана теорема об изоморфизме для разностного оператора

__О л __л

Яд : Ьр(0,Т; WP)(Q)) ^ Ьр(0,Т; WP;л(Ц)),р е (1, ж) и построено эквивалентное дифференциально-разностное уравнение.

В п.5.3.2 исследован оператор дгЯд. Доказано, что если Яд + Яд положительно определен, то оператор дгЯд с областью определения 'Р(дгЯд) = {и е W : и\г=о = 0} максимально монотонен, т.е. уравнение (0.12) является уравнением параболического типа.

Используя теорему об изоморфизме, максимальную монотонность оператора дгЯд и свойства дифференциально-разностного оператора Лд = ЛЯд, в пп.5.3.3-5.3.5 были сформулированы условия существования реше-

ния нелокальной начально-краевой задачи параболического типа и получены априорные оценки решений.

В §5.4 рассмотрено существование периодических по £ решений задачи (0.9)-(0.10). Доказано, что если Яд невырожден, то оператор д^Яд с областью определения Р(д^Яд) = {и Е Ж : и|у=0 = и|у=т} максимально монотонен, т.е. уравнение (0.12) является уравнением параболического типа. Используя теорему об изоморфизме, максимальную монотонность оператора д^Яд и свойства дифференциально-разностного оператора Лд = ЛЯд, доказаны условия существования решения параболической нелокальной задачи и получены априорные оценки решений.

Положения, выносимые на защиту. Все результаты диссертационной работы являются новыми и получены лично автором. Из них выделим следующие:

1. Принадлежность нелинейного дифференциально-разностного оператора одному из классов операторов псевдомонотонного типа на основе новых алгебраических условий эллиптичности (монотонности) или сильной эллиптичности.

2. Теоремы существования обобщенных решений нелинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений, свойства решений.

3. Псевдомонотонность дифференциально-разностного оператора с р-лапласианом на основе свойства сильной аккретивности оператора, обратного к разностному.

4. Теоремы существования обобщенных решений нелинейных параболических дифференциально-разностных уравнений, свойства решений.

5. Изоморфизм пространств Соболева с однородными краевыми условиями Дирихле и нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Са-марского. Теоремы существования решений нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского.

6. Теорема об изоморфизме пространств Соболева с однородными краевыми условиями Дирихле и нелокальными краевыми условиями типа Би-цадзе-Самарского для параболических задач, а также теорема об эквивалентности параболического дифференциально-разностного операторного

уравнения и параболической нелокальной задачи.

7. Теоремы существования решений линейных и нелинейных параболических дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского, свойства решений.

8. Теоремы существования периодических по £ решений линейных и нелинейных параболических задач с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского, свойства решений.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация имеет теоретический характер, ее результаты и разработанные методы исследования будут использованы для дальнейшего изучения нелинейных функционально-дифференциальных уравнений, а также линейных и нелинейных нелокальных задач. Рассмотрение нелинейного дифференциально-разностного оператора как оператора псевдомонотонного типа позволяет применять широко развитую теорию нелинейного анализа и рассматривать задачи, ранее исследованные только для нелинейных дифференциальных уравнений. Результаты могут иметь применение в теории многомерных диффузионных процессов, в нелинейной теории пластин и оболочек с гофрированным заполнителем, в нелинейной теории упругости и в теории управления.

Степень достоверности результатов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью приведенных доказательств, многочисленными выступлениями на семинарах и конференциях, а также публикациями в рецензируемых изданиях, которые индексируются международными базами данных.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: 6-я, 7-я, 8-я и 9-я Международные конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (2011г., 2014г., 2017г. и 2022г., Москва, Россия) [125,127, 133,141]; XXII, XXVI — XXXIII Осенние математические школы-симпозиумы «Спектральные и эволюционные задачи» (2011г., 2015-2022гг., Крым) [77,82,86,87,89,93,98,131,132]; 4-я Международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященная 90-летию Л.Д.Куд-

рявцева (2013г., Москва) [80]; Международная конференция "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященная 105-летию С.Л. Соболева (2013г., Новосибирск, Россия) [126]; Крымская международная математическая конференция (2013г., Судак, Украина) [79]; Международная конференция, посвященная 100-летию Б.М.Левитана (2014, МГУ, Москва, Россия) [128]; Международная конференция «Обратные задачи и задачи управления», посвященная памяти А.Лоренци (2014г., Болонья, Италия) [129]; Международная научная конференция «Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных», посвященная памяти акад.А.В.Бицадзе (2016г., ВМК МГУ, Москва, РФ) [82]; Понтрягинские чтения XXIX «Современные методы теории краевых задач», посвященные 90-летию В.А.Ильина (2018г., Москва) [134]; Международная конференция "Frontier in Mathematics and Computer Science", (2020г., Ташкент, Узбекистан) [135]; Международная конференция "Mathematical Physics, Dynamical Systems and Infinite-Dimensional Analysis" (2021г., Долгопрудный, Россия) [138]; 13th International ISAAC Congress, August 2-6, 2021, Ghent, Belgium, [139]; Международные научные конференция «Уфимская осенняя математическая школа» (2021г., 2022г., Уфа) [92,96]; XXVII и XXVII Международная конференция "Математика. Экономика. Образование XI Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения"(2021г., 2022г., Ростов на Дону, Россия) [94,97].

Также результаты докладывались и обсуждались на семинарах:

— Научный семинар по дифференциальным уравнениям кафедры Математического моделирования МЭИ под руководством проф. Ю.А.Дубинс-кого и проф. А.А.Амосова.

— Научный семинар мехмата МГУ "Спектральный анализ функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений" под руководством проф. В.В.Власова.

— Научный семинар Математического института РУДН "Кинетические и нелинейные уравнения математической физики" под руководством проф. С.Б.Куксина, проф. А.Л.Пятницкого и проф. А.Л. Скубачевского.

— Научный семинар Математического института РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руковод-

ством проф. А.Л. Скубачевского.

— Научный семинар Математического института РУДН по нелинейным задачам математической физике и уравнениям в частных производных под руководством проф. А.Е. Шишкова.

— Научный семинар кафедры дифференциальных уравнений МГУ по уравнениям математической физики под руководством проф. Г.А.Чечкина.

— Научный семинар Математического института Университета Юстуса Либига (Гиссен, Германия) под руководством проф. Х.О.Вальтера (Prof. H.-O.Walther).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 12 единоличных работах [75,76,78,83,84,88,90,95,99,130,136,140]. Все работы опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, либо в журналах из квартелей Q2 и Q3 по международным базам Web of Science или Scopus, либо в изданиях, переводимых в журналах из квартелей Q2 и Q3 по международным базам Web of Science или Scopus. Опубликованы также 29 материалов конференций, из которых три - статьи [89,132,137].

Структура и объем диссертации. Диссертация объемом 229 стр. состоит из введения, 5 глав, разделенных на параграфы, заключения и списка литературы (143 наименования).

Глава 1

Квазилинейные эллиптические дифференциально-разностные уравнения

1.1 Постановка задачи

Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение вида

ЛЯи(х) = /(х) (х е Ц) (1.1)

с краевым условием

и(х) = 0 (х е Кп \ Ц). (1.2)

Здесь Ц с Кп — ограниченная область с границей дЦ класса Сж или Ц = (0,ё) х С, С с Кп—1 — ограниченная область (с границей дС класса Сж, если п ^ 3). В случае п = 1 мы полагаем Ц = (0,ё).1 Полагаем также, что оператор Л задан формулой

Ли(х) = — ^^ дЛ(х,и, Чи) + Л0(х,и, Чи), (1.3)

функции ЛГ1 : Ц х Кп+1 ^ К вещественнозначны, а ограниченный разностный оператор Я определяется по формуле

Яи(х) = ^^ ани(х + Н), (1.4)

Нем

где ан е К, М С Кп — конечное множество векторов с целочисленными (или соизмеримыми) координатами, х = (х1,..., хп) е Кп. Разностный оператор Я является нелокальным: сдвиги на вектора Н е М могут отображать точки х е Ц в точки х + Н е Кп \ Ц. Поэтому краевые условия должны задавать значения неизвестной функции не только на границе дЦ, но и на некотором множестве вне Ц. Для простоты в дальнейшем будем считать,

хЭти условия могут быть ослаблены, достаточно выполнения условий 5.1 и 5.2 из главы 5.

что это множество совпадает с \ ф.

Пусть р Е (1, то) и 1/р + 1/д = 1.2

Введем оператор Яд = РдЯ/д : £р(ф) ^ £р(Ф), где /д : £р(ф) ^ Рр(Кп) — оператор продолжения функций из Рр(ф) нулем в \ ф, Рд : Рр(Кп) ^ Рр(ф) — оператор сужения функций из Рр(Кп) на ф. Таким образом, функция и(ж), определенная на ф, отображается в функцию (/ди)(ж), определенную на всем пространстве После действия оператора Я на /ди мы получаем функцию, определенную на Оператор Рд вводится, чтобы получить сужение функции (Я/ди)(ж) на область ф.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Солонуха Олеся Владимировна, 2024 год

Литература

[1] Бадерко, Е. А., Черепова, М. Ф. Единственность решения задачи Ко-ши для параболических систем / Е. А. Бадерко, М. Ф. Черепова // Доклады Академии наук. — 2016. — Т. 471, № 5. — С. 517-519.

[2] Беллман, Р., Кук, К. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. — М.: Мир, 1967. — 548 с.

[3] Бицадзе, А. В., Самарский, А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических задач / А. В. Бицадзе, А. А. Самарский // Доклады АН СССР. — 1969. — Т. 185, № 4. — С. 739-740.

[4] Вайнберг, М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг. — М.: Наука, 1972. — 415 с.

[5] Вентцель, А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов / А. Д. Вентцель // Теория вероятности и ее применения. — 1959. — Т. 4, вып. 2. — С. 172-185.

[6] Вишик, М. И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений / М. И. Вишик // Труды ММО. — 1952. — Т. 1. — С. 187-264.

[7] Вишик, М. И. О разрешимости первой краевой задачи для нелинейных эллиптических систем дифференциальных уравнений / М. И. Вишик // Доклады АН СССР. — 1960. — Т. 134, № 4. — С. 749-752.

[8] Вишик, М. И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков / М. И. Вишик // Математический сборник. — 1962. — Т. 59(101) (дополнительный). — С. 289-325.

[9] И. Вишик, М. И., Ладыженская, О. А. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений

/ М. И. Вишик, О. А. Ладыженская // Успехи математических наук. — 1956. — Т. 11, № 6 (72). — С. 41-97.

[10] Власов, В. В., Медведев, Д. А. Об асимптотических свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа /

B. В. Власов, Д. А. Медведев // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2006. — Т. 15. — С. 112-125.

[11] Власов, В. В., Медведев, Д. А. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории / В. В. Власов, Д. А. Медведев // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2008. — Т. 30. —

C. 3-173.

[12] Власов, В. В., Раутиан, Н. А., Шамаев, А. С. Спектральный анализ и корректная разрешимость абстрактных интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике / В. В. Власов, Н. А. Раутиан, А. С. Шамаев // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2011. — Т. 39. — С. 36-65.

[13] Власов, В. В., Раутиан, Н. А., Шамаев, А. С. Исследование операторных моделей, возникающих в задачах наследственной механики / В. В. Власов, Н. А. Раутиан, А. С. Шамаев// Современная математика. Фундаментальные направления. — 2012. — Т. 45. — С. 43-61.

[14] Власов, В. В., Раутиан, Н. А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений / В. В. Власов, Н. А. Раутиан. -Москва: Макс Пресс, 2016. — 481 с.

[15] Гаевский, Х., Грегер, К., Захариас, К. Нелинейные операторные уравнения и операторно-дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. — М.: Мир, 1978. — 336 с.

[16] Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1967. — 559 с.

[17] Гуревич, П. Л. Эллиптические задачи с нелокальными краевыми условиями и полугруппы Феллера / П. Л. Гуревич // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2010. — Т. 38. — С. 3-173.

[18] Гущин, А. К., Михайлов, В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка / А. К. Гущин, В. П. Михайлов // Математический сборник. — 1994. — Т. 185, № 4. — С. 121-160.

[19] Дубинский, Ю. А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка / Ю. А. Дубинский // Успехи математических наук. — 1968. — Т. 23, № 1(139). — С. 45-90.

[20] Дубинский, Ю. А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения / Ю. А. Дубинский // Итоги науки и техники: ВИНИТИ. Современные проблемы математики. — 1976. — Т. 9. — С. 5-130.

[21] Дубинский, Ю. А., Похожаев, С. И. Об одном классе операторов и разрешимости квазилинейных дифференциальных уравнений / Ю. А. Ду-бинский, С. И. Похожаев // Математический сборник. — 1967. — Т. 72, № 2. — С. 226-236.

[22] Житарашу, Н. В., Эйдельман, С. Д. Нелокальные граничные задачи для эллиптических уравнений / Н. В. Житарашу, С. Д. Эйдельман // Математические исследования. — 1971. — Т. 6, № 2. — С. 63-73.

[23] Згуровский, М. З., Мельник, В. С. Нелинейный анализ и управление бесконечномерными системами / М. З. Згуровский, В. С. Мельник. — Киев: Наукова думка, 1999. — 631 с.

[24] Иваненко, В. И., Мельник, В. С. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами / В. И. Иваненко, В. С. Мельник. — Киев: Наукова думка, 1988. — 288 с.

[25] Иванова, Е. П. Методы исследования дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов / Е.П. Иванова //

Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Темат. обзор. — 2022. — Т. 204. — С. 44-52.

[26] Ильин, В. А., Моисеев, Е. И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 1987. — Т. 23, № 8. — С. 14221431.

[27] Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967. — 624 с.

[28] Кадец, В. М. Курс функционального анализа/ В. М. Кадец. — Харьков: Харьковский государственный университет, 2004. — 503 с.

[29] Качуровский, Р. И. О монотонных операторах и выпуклых функционалах / Р. И. Качуровский // Успехи математических наук. — 1960. — Т. 15, № 4. — С. 213-215.

[30] Кишкис, К. Ю. К теории нелокальных задач для уравнения Лапласа / К. Ю. Кишкис // Дифференциальные уравнения. — 1989. — Т. 25, № 1. — С. 59-64.

[31] Красносельский, М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М. А. Красносельский. — М.: Гостехиздат, 1956. — 392 с.

[32] Красовский, Н. Н. Теория управления движением: Линейные системы / Н. Н. Красовский. — М.: Наука, 1968. — 476 с.

[33] Ладыженская, О. А., Солонников, В. А., Уральцева, Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. — М.: Наука, 1967. — 736с.

[34] Ладыженская, О. А., Уральцева, Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Ураль-цева. — М.: Наука, 1973. — 576 с.

[35] Лийко, В. В., Скубачевский, А. Л. Смешанные задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений в цилиндре / В. В. Лийко, А. Л. Скубачевский // Математические заметки. — 2020. — Т. 107, № 5. — С. 693-716.

[36] Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. — М.: Мир, 1972. — 587 с.

[37] Лионс, Ж.-Л., Мадженес, Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес. — М.: Мир, 1971. — 372 с.

[38] Люстерник, Л. А., Соболев, В. И. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. — М.: Гос. из-во технико-теоретической литературы, 1951. — 520 с.

[39] Моисеев, Е. И. Об отсутствии свойства базисности у системы корневых функций одной нелокальной краевой задачи / Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 1994. — Т. 30, № 12. — С. 2082-2093.

[40] Муравник, А. Б. Об асимптотике решений некоторых параболических уравнений с нелокальными старшими членами / А. Б. Муравник // Труды сем. им. И. Г. Петровского. — 2006. — Т. 25. — С. 143-183.

[41] Муравник, А. Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства задачи Коши / А. Б. Муравник //Современная математика. Фундаментальные направления. — 2014. — Т. 52. — С. 3-143.

[42] Муравник, А. Б. О задаче Дирихле в полуплоскости для дифференциально-разностных эллиптических уравнений / А. Б. Муравник // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2016. — Т. 60. — С. 102-113.

[43] Мышкис, А. Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / А. Д. Мышкис // Успехи математических наук. — 1977. — Т. 32, № 2(194). — С. 173-202.

[44] Мышкис, А. Д. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения / А. Д. Мышкис // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2003. — Т. 4. — С. 5-120.

[45] Онанов, Г. Г., Скубачевский, А. Л. Дифференциальные уравнения со смещенными аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела / Г. Г. Онанов, А. Л. Скубачевский // Советская прикладная механика. — 1979. — Т. 15. — С. 391-397.

[46] Панеях, Б. П. О некоторых нелокальных краевых задачах для линейных дифференциальных операторов / Б. П. Панеях // Математические заметки. — 1984. — Т. 35, № 3. — С. 425-434.

[47] Подъяпольский, В. В., Скубачевский, А. Л. Спектральная асимптотика сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов / В. В. Подъяпольский, А. Л. Скубачевский // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35, № 6. — С. 793-800.

[48] Попов, В. А., Скубачевский, А. Л. Априорные оценки для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением /

B. А. Попов, А. Л. Скубачевский // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2010. — Т. 36. — С. 125-142.

[49] Похожаев, С. И. О разрешимости нелинейных уравнений с нечетными операторами / С. И. Похожаев // Функциональный анализ. — 1967. — Т. 1, № 3. — С. 66-73.

[50] Рабинович, В. С. О дифференциально-разностных уравнениях в полупространстве / В. С. Рабинович // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т. 16, № 11. — С. 2030-2038.

[51] Рабинович, В. С. О задаче Коши для параболических дифференциально-разностных операторов с переменными коэффициентами / В.

C. Рабинович // Дифференциальные уравнения. — 1983. — Т. 19, № 6. — С. 1032-1038.

[52] Разгулин, А. В., Романенко, Т. Е. Вращающиеся волны в параболическом функционально-дифференциальном уравнении с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием / А. В. Разгулин, Т. Е. Романенко// Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 53, № 11. - С. 1804-1821.

[53] Ройтберг, Я. А., Шефтель, З. Г. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем / Я. А. Ройтберг, З. Г. Шефтель // Сибирский математический журнал. — 1972. — Т. 13, № 1. — С. 165-181.

[54] Россовский, Л. Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции / Л. Е. Россовский // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2014. — Т. 54. — С. 3-138.

[55] Россовский, Л. Е., Ханалыев, А. Р. Коэрцитивная разрешимость нелокальных краевых задач для параболических уравнений / Л. Е. Россовский, А. Р. Ханалыев //Современная математика. Фундаментальные направления. — 2016. — Т. 62. — С. 140-151.

[56] Самарский, А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А. А. Самарский // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т. 16, № 1. — С. 1925-1935.

[57] Селицкий, А. М. Третья краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения / А. М. Селицкий // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2007. — Т. 21. — С. 114-132.

[58] Селицкий, А. М., Скубачевский, А. Л. Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения / А. М. Селицкий, А. Л. Скубачевский // Успехи математических наук. — 2007. — Т. 62, № 1. — С. 207-208.

[59] Скрыпник, И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач / И. В. Скрыпник. — М.: Наука, 1990. — 448 с.

[60] Скубачевский, А. Л. Гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения / А. Л. Скубачевский // Математические заметки. — 1983. — Т. 34, № 1. — С. 105-112.

[61] Скубачевский, А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы / А. Л. Скубачевский // Математический сборник. — 1986. — Т. 129, № 2. — С. 279-302.

[62] Скубачевский, А. Л. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов / А. Л. Скубачевский // Доклады АН СССР. — 1989. — Т. 307, № 2. — С. 287-291.

[63] Скубачевский, А. Л. О собственных значениях и собственных функциях некоторых нелокальных краевых задач / А. Л. Скубачевский // Дифференциальные уравнения. — 1989. — Т. 25, № 1. — С. 127-136.

[64] Скубачевский, А. Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах / А. Л. Скубачевский // Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т. 26, № 1. — С. 120-131.

[65] Скубачевский, А. Л. О методе срезающих функций в теории нелокальных задач / А. Л. Скубачевский // Дифференциальные уравнения. — 1991. — Т. 27, № 1. — С. 128-139.

[66] Скубачевский, А. Л. Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами / А. Л. Скуба-чевский // Доклады АН СССР. — 1992. — Т. 324, № 6. — С. 1155-1158.

[67] Скубачевский, А. Л. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений / А. Л. Ску-бачевский // Успехи математических наук. — 1996. — Т. 51, № 1. — С. 169-170.

[68] Скубачевский, А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функциональнодифференциального уравнения /

A. Л. Скубачевский // Дифференциальные уравнения. — 1998. — T. 34, № 10. — С. 1394-1401.

[69] Скубачевский, А. Л. Неклассические краевые задачи. I / А. Л. Скубачевский // Современная математика. Фундаментальные направления.

— 2007. — T. 26. — C. 3-132.

[70] Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. II / А. Л. Скубачевский // Современная математика. Фундаментальные направления.

— 2009. — Т. 33. — С. 3-179.

[71] Скубачевский, А. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения / А. Л. Скубачевский // Успехи математических наук. — 2016. — Т. 71, № 5(431).

— С. 3-112.

[72] Скубачевский, А. Л., Шамин, Р. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциальноразностного уравнения / А. Л. Скубачевский, Р. В. Шамин // Математические заметки. — 1999. — Т. 66, № 1. — С. 145-153.

[73] Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев. — М.: Наука, 1988. — 336 с.

[74] Солдатов, А. П. Задача Бицадзе—Самарского для функций, аналитических по Дуглису / А. П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 3. — С. 396-407.

[75] Солонуха, O. В. О нелинейной параболической задаче с препятствием / O. В. Солонуха // Успехи математических наук. — 2004. — Т. 59, № 3. — С. 181-182.

[76] Солонуха, O. В. О существовании решений нелинейных параболических вариационных неравенств с односторонними ограничениями / O.

B. Солонуха // Математические заметки. — 2005. — Т. 77, № 3. — С. 460-476.

[77] Солонуха, O. В. Некоторые особенности эллиптических задач с р-лапласианом, возмущенным разностным оператором, при р>2 / O. В. Солонуха // Крымская осенняя математическая школа (КРОМШ-2012). Двадцать третья ежегодная международная конференция. Тезисы докладов. — Симферополь: из-во КНЦ НАНУ, 2012. - С. 50-51.

[78] Солонуха, O. В. Об одном классе существенно нелинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений / O. В. Солонуха // Труды Математического ин-та им. В.А.Стеклова. — 2013. — Т. 283. — С. 233-251.

[79] Солонуха, O. В. О нелинейных и квазилинейных функционально-дифференциальных уравнениях эллиптического типа / O. В. Соло-нуха // Крымская международная математическая конференция, Судак, Украина, 22 сентября - 4 октября 2013. Сборник тезисов. — Т. 2. — Симферополь: Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, 2013. — С. 56-57.

[80] Солонуха, O. В. Об одном классе псевдомонотонных операторов, не удовлетворяющих условию эллиптичности / O. В. Солонуха // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы мат.образования: тезисы докладов четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корр. РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцева. Москва, РУДН, 25-29 марта 2013г. — М.: РУДН, 2013. — С. 322-323.

[81] Солонуха, О. В. О задаче Бицадзе-Самарского с нелинейными эллиптическими операторами / О. В. Солонуха // Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных: тезисы докладов международной научной конференции, посвященной памяти академика А. В. Бицадзе, Москва, 16-18 июня 2016 года. — Москва: ООО "МАКС Пресс", 2016. — С. 75.

[82] Солонуха, O. В. О неоднозначной разрешимости нелокальной задачи с р-лапласианом / О. В. Солонуха // Международная конферен-

ция «XXVII Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (КРОМШ-2016): сборник тезисов. — Симферополь: ООО ФОРМА, 2016. — С. 58.

[83] Солонуха, О. В. Об одной нелинейной нелокальной задаче эллиптического типа / О. В. Солонуха // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2017. — Т. 57, № 3. — С. 60-72.

[84] Солонуха, О. В. Об одном эллиптическом дифференциально-разностном уравнении с несимметричным оператором сдвигов / О. В. Солонуха // Математические заметки. — 2018. — Т. 104, № 4. — С. 604-620.

[85] Солонуха, О. В. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения с нелинейным дифференциальным оператором / О. В. Со-лонуха // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования: тезисы докладов Пятой Международной конференции, посвящённой 95-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева, Москва, 26-29 ноября 2018 года / Российский университет дружбы народов. — Москва: Российский университет дружбы народов (РУДН), 2018. — С. 157.

[86] Солонуха, О. В. О критерии сильной эллиптичности для дифференциально-разностных операторов / О. В. Солонуха // Сборник материалов международной конференции «XXIX Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (КРОМШ-2018). Секции 4-9. — Симферополь: "Полипринт", 2018. — С.31-33.

[87] Солонуха, О. В. Квазилинейная задача с краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского / О. В. Солонуха // Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019 «XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам»: Сборник материалов международной конференции

КРОМШ-2019, пос. Батилиман, 17-29 сентября 2019 года. — Симферополь: "Полипринт", 2019. — С. 200-201.

[88] Солонуха, O. В. Обобщенные решения квазилинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений / O. В. Солонуха // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2020. — Т. 60, № 12. — С. 2085-2097.

[89] Солонуха, O. В. О параболическом квазилинейном дифференциально-разностном уравнении с оператором сдвигов по пространственным переменным / O. В. Солонуха // Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КР0МШ-2020) : Сборник материалов международной конференции, посвящённой памяти Николая Дмитриевича Ко-пачевского, пос. Батилиман, Республика Крым, 19-27 сентября 2020 года. — Симферополь: "Полипринт", 2020. - С. 190-193.

[90] Солонуха, O. В. О разрешимости линейной параболической задачи с нелокальными краевыми условиями / O. В. Солонуха // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2021. — Т. 67, № 2. — С. 349-362.

[91] Солонуха, O. В. О линейной параболической задаче с нелокальными краевыми условиями / O. В. Солонуха // Современные методы теории краевых задач: Материалы Международной конференции, Воронеж, 03-09 мая 2021 года. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2021. — С. 237.

[92] Солонуха, O. В. О периодическом решении одной линейной параболической задачи с краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского / O. В. Солонуха // Уфимская осенняя математическая школа - 2021: МАТЕРИАЛЫ МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ, Уфа, 06-09 октября 2021 года. Том 2. — Уфа: Общество с ограниченной ответственностью "Аэтерна", 2021. — С. 99-100.

[93] Солонуха, O. В. О периодическом решении одной нелокальной задачи / O. В. Солонуха // Международная конференция «XXXII Крымская

осенняя школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ-2021)». Сборник материалов. — Симферополь: "Полипринт", 2021. — С. 83.

[94] Солонуха, О. В. О параболической задаче с краевым условием типа Бицадзе-Самарского / О. В. Солонуха // XXVII Международная конференция. Математика. Экономика. Образование. XI Международный симпозиум. Ряды Фурье и их приложения. — Ростов н/Д, 2021. Доп. тираж. — С. 47.

[95] Солонуха, О. В. О периодических решениях параболических квазилинейных уравнений с краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского / О. В. Солонуха // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. — 2022. — Т. 503, № 1. — С. 83-86.

[96] Солонуха, О. В. Достаточные условия (X; W)-полуограниченной вариации существенно нелинейного дифференциально-разностного оператора / О. В. Солонуха // XXVIII Международная конференция. Математика. Экономика. Образование. XI Международный симпозиум. Ряды Фурье и их приложения. — Ростов н/Д, 2022. — С. 26.

[97] Солонуха, О. В. Достаточно общие условия существования решений существенно нелинейных параболических дифференциально-разностных уравнений / О. В. Солонуха // Уфимская осенняя математическая школа: Материалы Международной научной конференции, Уфа, 28 сентября - 01 октября 2022 года / Отв. редактор З.Ю. Фа-зуллин. Том 2. — Уфа: ФГБОУ ВО "Уфимский университет науки и технологий", 2022. — С. 80-81.

[98] Солонуха, О. В. Достаточные условия (X; W)-полуограниченной вариации существенно нелинейного дифференциально-разностного оператора и существование решений дифференциально-разностных параболических уравнений / О. В. Солонуха // Сборник материалов международной конференции «XXXIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (КРОМШ-2022). — Симферополь: ИТ «АРИАЛ», 2022. — С.35.

[99] Солонуха, O. В. О разрешимости нелинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений со сдвигами по пространственным переменным / O. В. Солонуха // Математические заметки. - 2023. - Т. 113, № 5. - С. 757-773.

[100] Стернин, Б. Ю., Шаталов, В. Е. Расширение алгебры псевдодифференциальных операторов и некоторые нелокальные эллиптические задачи / Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов // Математический сборник. -1994. - Т. 185, № 3. - С. 117-160.

[101] Тамаркин, Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды / Я. Д. Тамаркин. - Петроград: тип. М. П. Фроловой, 1917. - 308 с.

[102] Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. - М.: Мир, 1984. - 421 с.

[103] Bade, W. G., Freeman, R. S. Closed extensions of the Laplace operator determined by a general class of boundary conditions/ W. G. Bade, R. S. Freeman // Pacific J. Math. - 1962. - Vol. 12, No. 2. - P. 395-410.

[104] Beals, R. Nonlocal elliptic boundary value problems / R. Beals // Bull. Amer. Math. Soc. - 1964. - Vol. 70, No. 5. - P. 693-696.

[105] Brezis, H. Equations et inequtions non lineares dans les espaces vectoriels en dualite/ H. Brezis// Ann.Inst.Fourier. - 1968. - Vol.18. - P. 115-175.

[106] Browder, F. Non-local elliptic boundary value problems / F. Browder // Amer. J. Math. - 1964. - Vol. 86, No. 4. - P. 735-750.

[107] Browder, F.E., Hess, P. Nonlinear mappings of monotone type in Banach spaces / F. Browder, P. Hess //J. Func. Anal. - 1972. - Vol. 11, No. 2. - P. 251-294.

[108] Hartman, P., Stampacchia, G. On some nonlinear elliptic differential functional equations / P. Hartman, G. Stampacchia // Acta Math. -1966. - Vol. 115. - P. 271-310.

[109] Grubb, G. A characterization of the non-local boundary value problems assosiated with elliptic operator / G. Grubb // Annali dela Scuola Normale Superiore di Pisa. - 1968. - Vol. 22, No.3. - P. 425-513.

[110] Feller, W. The Parabolic Differential Equations and the Associated SemiGroups of Transformations / W. Feller // Ann. of Math. — 1952. — Vol. 55.

- P. 468-519.

[111] Feller, W. Diffusion Processes in One Dimension / W. Feller // Trans.Amer. Math. Soc. — 1954. — Vol. 77. — P. 1-30.

[112] Minty, G. J. Monotone (non linear) operator in Hilbert Space / G. J. Minty // Duke Math. J. — 1962. — Vol. 29. — P. 341-346.

[113] Onanov, G. G., Skubachevskii A. L. Nonlocal problems in the mechanics of three-layer shells / G. G. Onanov, A. L. Skubachevskii // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. — 2017. — Vol. 12, No.6. — P. 192-207.

[114] Picone, M. I teoremi d'esistenza per gl'integrale di una equazione differen-ziale lineare ordinaria soddisfacenti ad una nuova classe di condizioni / M. Picone // Rom. Acc. L. Rend. — 1908. — Vol. 17, No. 1. — P. 340-347.

[115] Picone, M. Equazione integrale traducente il piu generale problema lineare per le equazioni differenziali lineari ordinarie di qualsivoglia ordine / M. Picone //Accademia nazionale dei Lincei. Atti dei convegni. — 1932. — Vol. 15. — P. 942-948.

[116] Razgulin, A. V. Rotational multi-petal waves in optical systems with 2-D feedback / A. V. Razgulin // Chaos in Optics. Proc. SPIE, ed. R.Roy. — 1993. — Vol. 2039. — P. 342-352.

[117] Guan, Z., Kartsatos, A. G., Skrypnik, I. V. Ranges of densely defined generalized psuedomonotone pertubations of maximal monotone operators / Z. Guan, A. G. Kartsatos, I. V. Skrypnik //J. of Differential Equations.

— 2003. — Vol. 188. — P. 332-351.

[118] Kartsatos, A. G., Skrypnik, I. V. On the eigenvalue problems for pertubed nonlinear maximal monotone operators in reflexive Banach spaces / A. G.

Kartsatos, I. V. Skrypnik // Trans. of AMS. — 2006. — Vol. 358, No. 9.

— P. 3851-3881.

[119] Schechter, M. Nonlocal elliptic boundary value problems / M. Schechter // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, Serie 3.

— 1966. — Vol. 20, No. 2. — P. 421-441.

[120] Sato, K., Ueno, T. Multi-dimentional diffusion and the Markov process on the boundary / K. Sato, T. Ueno //J. Math. Kyoto Univ. — 1965. Vol. 4. — P. 295-298.

[121] Skubachevskii, A. L. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference equations / A. L. Skubachevskii //J. of Differential Equations. — 1986. — Vol. 63. — P. 332-361.

[122] Skubachevskii, A. L. On the stability of index of nonlocal elliptic problems / A. L. Skubachevskii //J. Math. Anal. Appl. — 1991. — Vol. 160, No. 2.

— P. 323-341.

[123] Skubachevskii, A. L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications / A. L. Skubachevskii. — Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1997. — 294 p.

[124] Skubachevskii, A. L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics / A. L. Skubachevskii // Nonlinear Analysis. — 1998. — Vol. 32. — P. 261278.

[125] Solonukha, O. V. On the solvability of the homogeneous Dirichlet problem with the p-Laplacian perturbed by a difference operator / O. V. Solonukha // 6th International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow (Russia), 2011. — Moscow: RUDN, 2011. — P. 70.

[126] Solonukha, O. V. Some Nonlinear and Quasilinear Functional-Differential Equations of Elliptic Type / O. V. Solonukha // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 105-летию С.Л.Соболева

(Новосибирск, 18-24 августа 2013г.): Тез. докладов 2013. — Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2013. — С. 346.

[127] Solonukha, O. V. On pseudomonotone property for differential-difference operators in elliptic equations of variational type / O. V. Solonukha// Седьмая международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, Россия, 22-29 августа 2014г.). Международный семинар «Пространственно-временные динамические системы» (Москва, Россия, 26-28 августа 2014г.): Тезисы докладов. - Москва: РУДН, 2014. - C. 111-112.

[128] Solonukha, O. V. On strongly elliptic condotoions for quasilinear differential-difference operator / O. V. Solonukha //Международная конференция «Спектральная теория и дифференциальные уравнения», посвященная 100-летию Б.М.Левитана: Тезисы докладов. — М.: Изд-во МГУ и ООО «ИНТУИТ.РУ», 2014. — С. 34.

[129] Solonukha, O. V. On some nonlinear elliptic functional-differential equations / O. V. Solonukha // "PDE's, Inverse Problems and Control Theory in memory of A.Lorenzi" International Conference, Bologna, September 15-19, 2014. Booklet of abstracts. — Universiteta di Bologna, 2014. — P. 27.

[130] Solonukha, O. V. On nonlinear and quasilinear elliptic functional-differential equations / O. V. Solonukha // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Seria S. — 2016. — Vol. 9, No. 3. — P. 847-868.

[131] Solonukha, O. V. On Some Nonlinear and Quasilinear Functional Differential Equations with Symmetric Difference Operator / O. V. Solonukha // Международная конференция XXVI Крымской Осенней Математической Школы-Симпозиума по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ-2015). Сборник тезисов. — Симферополь: ООО ФОРМА, 2015. — С. 68.

[132] Solonukha, O. The criteria of accretivity of difference operators described by the 2x2 matrices and its applications / O. Solonukha // XXVIII Крым-

ская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ-2017): Сборник материалов международной конференции, Симферополь, 17-29 сентября 2017 года. — Симферополь: Издательство Диайпи, 2017. — C. 124-128.

[133] Solonukha, O. V. On Solvability of Functional Differential Equations with p-Laplacian and Nonsymmetric Difference Operators / O. V. Solonukha // The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations: Тезисы докладов Международного семинара, Москва, 17-20 августа 2017 года. — М.: РУДН, 2017. — C. 172-173.

[134] Solonukha, O. V. On solvability of quasilinear functional-differential equations with nonsymmetric shift operators / O. V. Solonukha // Современные методы теории краевых задач: материалы международной конференции, посвященной 90-летию Владимира Александровича Ильина, Москва, 02-06 мая 2018 года / Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Воронежский государственный университет; Математический институт имени В. А. Стеклова РАН; Вычислительный центр имени А. А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН. — Москва: ООО "МАКС Пресс", 2018. — C. 273.

[135] Solonukha, O. V. On some parabolic functional-differential equation with shifts of space variables / O. V. Solonukha // Abstracts of the International Online Conference "Frontier in Mathematics and Computer Science" (October 12-15, 2020, Tashkent). — Tashkent: National University of Uzbekistan, 2020. — Р. 141-142.

[136] Solonukha, O. V. The first Boundary Value Problem for Quasilinear Parabolic Differential-Difference Equations / O. V. Solonukha // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2021. — Vol. 42, No. 5. — P. 10671077.

[137] Solonukha, O. V. On periodic solutions of linear parabolic problems with nonlocal boundary conditions / O. V. Solonukha // Таврический Вестник Информатики и Математики. — 2021. — № 2 (51). — C. 7-11.

[138] Solonukha, O. V. On Periodic Solutions of Parabolic Problems with Nonlocal Boundary Conditions / O. V. Solonukha // Mathematical Physics, Dynamical Systems, and Infinite-Dimensional Analysis, Dolgoprudny, 30 June - 09 July 2021 года. — M.: Общество с ограниченной ответсвенностью МЕСОЛ, 2021. — C. 180.

[139] Solonukha, O. V. On periodical solutions of parabolic nonlocal problem / O. V. Solonukha // 13th International ISAAC Congress. August 2-6, 2021. Ghent, Belgium. Book of Abstracts. — 2021. — Р. 108.

[140] Solonukha, O. V. On nonlinear nonlocal parabolic problem / O. V. Solonukha // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2022. — Vol. 29, No. 1. — P. 121-140.

[141] Solonukha, O. V. On solvability of parabolic differential-difference equations / O. V. Solonukha // Девятая международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям = The 9th International Conference on Differential and Functional Differential Equations: Тезисы докладов, Москва, 28 июня

- 05 июля 2022 года. — Москва: Российский университет дружбы народов (РУДН), 2022. — C. 113-114.

[142] Sommerfeld, A. Ein Beitrag zur hydrodynamischen Erklarung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen / A. Sommerfeld // Proceedings of the 4th International Mathematical Congress, Rome 1908. — 1909. — Vol. 3. — P. 116-124.

[143] Taira, K. Diffusion Processes and Partial Differential Equations / K. Taira.

— Academic Press, New York - London, 1988. — 452 p.