Задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Потапов, Дмитрий Константинович

• Потапов, Дмитрий Константинович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Потапов, Дмитрий Константинович

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами

1.2 Обобщенные производные. Пространства Соболева и теоремы вложения для них.

2 О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами

2.1 Основные определения. Постановка задачи.

2.2 Теорема о существовании полуоси положительных собственных значений для уравнений с разрывными компактными операторами.

2.3 Теорема о существовании луча положительных собственных значений для уравнений с разрывными монотонными операторами

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями»

В последние годы возрос интерес к изучению уравнений с частными производными, содержащих разрывные нелинейности. Такие уравнения возникают как в теоретических исследованиях, так и в многочисленных приложениях. Большое число задач гидродинамики, теплофизики, электрофизики, связанных с изучением процессов, меняющихся скачкообразно при некоторых значениях фазовых переменных, приводит к интегральным и дифференциальным уравнениям с разрывными нелиней-ностями. Как правило, это так называемые задачи со свободными границами, исследование которых непросто и в каждом конкретном случае требует применения специальных аналитических средств. Поэтому разработка математического аппарата, обслуживающего достаточно широкий класс распределенных систем с разрывными нелинейностями, является актуальной задачей. На необходимость исследования распределенных систем с разрывной нелинейностью было указано в монографии [19] О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, В.А.Солонниковым в 1967 г. Основы математической теории для таких систем были заложены в докторской диссертации В.Н.Павленко [33].

Цель данного исследования - дальнейшее развитие теории распределенных систем с разрывными нелинейностями. А именно, рассматривается проблема существования ненулевых решений задачи п

Lu{x) ее - (aij(x)uXi)Xj +с(х)и{х) = Хд{х, и(х)), xeQ, (1) i,j=1 3

Bu\T = 0, (2) в зависимости от параметра Л, где L - равномерно эллиптический формально самосопряженный дифференциальный оператор в ограниченной области Q С R™ с границей Г класса C2,Q (0 < а < 1) [18] с коэффициентами ciij 6 Ci)Q(Q), с £ С0,а(П); функция д : Q, х R —)► R суперпозиционно измеримая и для почти всех ж Е Q сечение д(х, •) имеет на R разрывы только первого рода, д(х,и) 6 [д-(х,и),д+(х,и)] V и Е R, д~(х, и) = hmg(x,ri), д+(х,и) = Yimg{x, rj)] оператор граничного условия Ви{х) равен либо и(х) (условие Дирихле), либо ^г-(ж) = L aij(x)uXicos(n,Xj),

L i,j= 1 п - внешняя нормаль к границе Г, cos(n,Xj) - направляющие косинусы нормали п (условие Неймана), либо + ст(х)и(х) с a Е Ci!a(r), неотрицательной и не равной тождественно нулю на Г (третье краевое условие).

Рассматриваемый класс задач включает известную модель М. А. Гольд-штика об отрывных течениях несжимаемой жидкости [7]. К задаче (1)^(2) сводится рассмотренная H.J.Kuiper [53] задача о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводность материала при переходе через определенные температуры меняется скачком.

Сильным решением задачи (1)-(2) называется функция и Е г > 1, удовлетворяющая уравнению (1) для почти всех х Е Г2, для которой след Ви(х) на Г равен нулю.

Число Л называется собственным значением задачи (1)-(2), если существует сильное ненулевое решение и\ этой проблемы. При этом и\ будем называть собственной функцией задачи (1)-(2), соответствующей Л.

Далее используются следующие обозначения: д(х,и-) = lim д(х, г]), д(х, u+) = limi a(x, rf).

Разрыв нелинейности д(х,и) в точке и будем называть прыгающим, если д(х,и—) < д(х,и-\-).

Дадим краткий обзор основных результатов, полученных ранее в этой области.

В [12] в связи с изучением проблемы существования корректных по отношению к различного рода возмущениям решений М.А.Красносельским и А.В.Покровским было введено понятие полуправильного решения интегрального уравнения вида с непрерывным ядром K(t,s) и нелинейностью g(s,x) непрерывной по s, неубывающей по х, для которой решение такой задачи называют полуправилъным, если для почти всех х £ О, значения и(х) являются точками непрерывности функции д(х, •)). При этих предположениях в [12] устанавливается существование полуправильных решений с помощью теорем о неподвижных точках для уравнений с монотонными операторами в полуупорядоченных банаховых пространствах.

В работе [16] этими же авторами были получены достаточные условия существования полуправильного решения задачи Дирихле для уравнения ъ а lim sup х х) = О 1*И°° te[a,b]

1) при Л = 1. Требуется, чтобы нелинейность д(х, и) удовлетворяла по переменной и одностороннему условию Липшица, то есть (и — v)(g(x, и) — g(x,v)) > —//(r)(u — v)2, \и\, \v\ < г, х £ Q, fi : R+ —R и, кроме того, g(x, u)\ < (3 < oo, x £ Q, и £ H.

Доказательство проводится с помощью метода неподвижных точек монотонных операторов в полуупорядоченных банаховых пространствах.

В [17] М.А.Красносельским и А.В.Лусниковым были получены общие предложения о неподвижных точках разрывных монотонных отображений в полуупорядоченных банаховых пространствах, являющихся точками непрерывности соответствующего оператора, обобщающие результаты [12], [16].

Наиболее общие результаты о существовании сильных решений краевых задач для уравнений в частных производных эллиптического типа с разрывными по фазовой переменной нелинейностями были получены K.C.Chang, S.Carl, S.Heikkila и В.Н.Павленко.

В [51] K.C.Chang рассматривает некоторые типичные задачи со свободными границами: задача с препятствием, задача о просачивании вод с поверхности, задача Стефана. Эти задачи сводятся к нахождению неподвижных точек многозначных отображений, при которых образами элементов являются множества. Исследуются задачи с разрывными нелинейностями вида Lu{x) — ф(х,и(х)) в где L - эллиптический или параболический дифференциальный оператор, О, - ограниченная область в Rn с достаточно гладкой границей, функция ф(х,у) определена на Q х R и может быть разрывна по у. Развивается теория степени отображения, получены различные теоремы о неподвижной точке и глобальные теоремы о бифуркации.

В [22]—[25], [27], [30] к исследованию задачи (1)-(2) при Л = 1 В. Н. Павленко применил метод монотонных операторов. Здесь приводятся общие теоремы существования решений операторного уравнения

Ах + Тх = 0, (3) являющихся точками радиальной непрерывности оператора Т (возможно, разрывного). Оператор А - линейный замкнутый с плотной в вещественном рефлексивном банаховом пространстве Е областью определения со значениями в сопряженном пространстве Е*, С помощью установленных автором общих теорем доказывается существование полуправильного решения задачи (1)-(2) при Л = 1 в случае граничного условия Дирихле в предположении, что нелинейность д(х,и) из уравнения (1) измерима по х, имеет только прыгающие разрывы и непрерывна справа на R, а коэффициент с оператора L равен нулю.

В [27] В.Н.Павленко были получены достаточные условия существования решений уравнения (3), являющихся точками радиальной непрерывности оператора А+Т, при более слабых, чем в [25] ограничениях на точки разрыва оператора Т, в предположении, что оператор А нелинейный в Е.

Работы [22], [26], [28], [31], [32], [34], [36], [37] В.Н.Павленко посвящены вариационному методу исследования разрешимости задачи (1)-(2) при Л = 1. В [26] и [28] устанавливаются предложения о разрешимости уравнения Тх = 0 в случае, когда Т - квазипотенциальный оператор, при этом не делается предположений о монотонности Т. В качестве приложений полученных общих результатов здесь же доказаны теоремы существования полуправильных решений задачи Дирихле для уравнения (1) (А = 1) при более слабых, чем в [25] и [27] ограничениях на характер разрывов и рост нелинейности д(х,и).

Укажем также на работы [64], [65], базирующиеся на вариационном принципе Толанда, сформулированном в [66].

В [29] В.Н.Павленко была предложена абстрактная схема метода верхних и нижних решений, основным элементом которой является теорема о существовании обобщенных решений для уравнений с разрывными операторами в полуупорядоченных банаховых пространствах. Здесь приводятся достаточные условия для того, чтобы обобщенное решение было сильным. При этом используются результаты [11] и, изложенные в [49], различные варианты обобщенного принципа максимума для эллиптических и параболических уравнений. Дальнейшее развитие схема метода верхних и нижних решений получила в [35], [40], [43]. Применение общей схемы метода верхних и нижних решений возможно при существовании упорядоченной пары нижнего и верхнего решения у рассматриваемой краевой задачи. Для резонансных краевых задач с разрывными нелинейностями метод верхних и нижних решений применялся в [45], [59]. В этих работах предполагается, что д(х,и) = д(и) и на любом отрезке прямой д(и) имеет ограниченную вариацию.

В [3], [38], [39] разработан единый подход к широкому классу резонансных эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями, в рамках которого получены новые результаты (резонансность краевой задачи означает, что ядро дифференциального оператора с соответствующим краевым условием ненулевое, а нелинейность ограниченная).

Вопросу непустоты множества М упорядоченных пар (Л,и\) - собственное значение и соответствующая собственная функция - для задачи (1)-(2) и изучению его структуры посвящено значительное число работ, в частности, проблеме существования неограниченной связной компоненты множества М.

В [53] H.J.Kuiper в ограниченной области Q С Rn изучает задачу п п

Lu(x) = - £ (aij(x:)uxi)x. + £ bj(x)ux. 4- с(х)и{х) = Ад(х, и(х)),х G £1, г,3=1 j=1

U\dfl = О, где оператор L эллиптичен в Q, функция g(x,t) положительна на fi х R и может иметь лишь разрывы первого рода по t. Используя теорию уравнений в полуупорядоченных пространствах, даны достаточные условия существования неограниченного континуума решений (Л, и) (и(х) > 0) в пространстве R х S, где S - банахово пространство вещественных функций такое, что W^(Q) С S С LP(Q), q > п, q > 2, р > 1.

В [57] I.Massabo и C.A.Stuart в ограниченной области Q, С Rn, п > 2 с границей класса Сз изучают задачу

Aw + си = Хд(и), х eQ, u\qq — 0, (4) где с > 0 - постоянная, причем существуют такие непрерывные функции д0 : [0,1] (О, оо) и дг : [1, оо) (0, оо), что 9о(р),0<р< 1, gi(p), 1 < р < оо, и <?(1) > 0 (в статье рассматривается также случай общего линейного эллиптического оператора второго порядка в (4) и бесконечной последовательности точек разрыва функции д). Для такой задачи вводятся обобщенные решения двух типов. Пара (и, Л) £ х [0, оо) называется решением первого типа, если и > 0 при всех х Е Г2, и = 0 для всех х Е dQ и — Аи-{-си = Лд(и) почти везде в Q. В определении решения второго типа последнее условие заменено следующим: —Аи + си Е Лд(и), где д - многозначная функция, принимающая в точке разрыва р = 1 все значения, лежащие на отрезке [</о(1), 0i(l)]- Изучаются множества решений каждого из этих типов.

В [58] I.Massabo в ограниченной области Q С R" (n > 1) рассматривает задачу п п

Lu{x) = - Z) iaij(x)uXi)Xj + Е bj(x)uXj+c(x)u(x) = Лд(х, и(х)), хбО, u\dsi = 0.

Здесь L - равномерно эллиптический в ^ оператор с коэффициентами класса Ci(fi), с(х) > 0, функция д(х,р) удовлетворяет следующим условиям: i) существуют две непрерывные функции до : Q х [0,1] —> R+, gi : £7 х [1, +оо) —R+ такие, что до(х,р),(х,р) Е О х [0,1), 9i(x,p), (х,р) Е П х (1, +оо); ii) существует непрерывно дифференцируемая функция а : Г2 —> R+ такая, что а(х) > 0 почти везде вПи lim = 0 равномерно относительно х G Q.

Если до{х, 1) ф д-±{х, 1), то для этой задачи можно рассматривать решения двух типов. К первому типу относятся обычные решения из пространства W|п{р), для которых Л > 0. Пара (м, Л) G Wfn(fi) х R+ называется решением второго типа, если и(х) > 0 в и(х) = 0 на <9Q и Lu(x) € Лд(х, и{х)) для почти всех ж е О, где д - многозначная функция, совпадающая с д при р ф 1, а при [х,р] 6 х {1} принимающая все значения, принадлежащие отрезку с концами до(х, 1) и gi(x,l). Топологическими методами установлен ряд свойств множеств решений каждого из типов.

В [57], [58] I.Massabo и C.A.Stuart применяли теорию топологической степени T.W.Ma [55] и результаты о неподвижных точках в полуупорядоченных векторных пространствах.

В [50] К.С.Chang вариационным методом доказывает существование собственных значений задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа с разрывной нелинейностью, при этом рассматриваются обобщенные решения. Здесь для нелинейности д(х, t) имеет место неравенство g(x,t)t > 0 при t ф 0. Существование обобщенного решения задачи

1)-(2) было доказано в случае, когда оператор L имеет вид £ i,j=1 i 1 о 1

Элемент u G W^(fi)nWg(fi) называется обобщенным решением задачи (1)-(2) [50], если для него почти всюду на Q имеет место включение

L(u(x)) е [д~(х,и{х)),д+{х,и{ж))], где д (х,и(х)) = min {д(х,и(х)-))д{х,и(х)+)}} д+(х,и(х)) = max {д(х,и(х)-),д(х,и(х)+)}. Кроме того, были найдены условия, при выполнении которых обобщенные решения первой краевой задачи являются сильными решениями, а именно, для почти всех х <Е Q значение д(х, и) € [д-{х,и),д+{х,и)\ и для любого weR функция д(х, и) удовлетворяет С-условию, то есть множество D = {(ж, и) Е Г2 х R : д(х, и—) ф д(х,и+)} является объединением не более чем счетного семейства поверхностей класса Wf loc за исключением, быть может, множества, проекция которого на Q имеет меру нуль, причем, если какие-либо две из этих поверхностей совпадают в некоторой точке, то они совпадают и в некоторой окрестности этой точки, и для почти всех х 6 & из неравенства д(х,и—) ф д(х,и+) следует, что (ж, и) лежит на одной из поверхностей D, и если <р(х) - локальное представление этой поверхности вблизи точки (ж, и), то либо L(ip(x)) £ [<?-(#, </?(#)), <7+(я, либо = д(х, р(х)).

В [51] рассматривается задача существования собственных значений и соответствующих собственных функций для операторных включений в полуупорядоченных банаховых пространствах. Общие результаты применяются затем к доказательству существования полуоси положительных собственных значений, которым отвечают положительные собственные функции задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями; рассматриваются сильные решения. Для доказательства K.C.Chang применил теорию топологической степени для многозначных отображений, построенную им для специальных классов функций. В [51] было доказано предложение о существовании сильного положительного решения задачи (1)-(2) при следующих предположениях: (г) - д(х,и) - до(х,и) + gi{x, и) - д2(х,и), где д0(х,и) - каратеодориева функция, gi{x^u)1 ъ — 1,2 - непрерывная по х при фиксированном и и неубывающая по и при фиксированном х функция, причем существует конечное или счетное множество {щ,г £ 1} в R такое, что для почти всех х <Е Л из д%{х, и—) ф gi(x, u+) следует, что и = щ для некоторого г £ /; (и) функция д(х,и) ограничена снизу положительной функцией, не зависящей от и.

Дальнейшие исследования были продолжены D.Lupo в [54]. В [54] рассматривается дифференциальное включение

-Дие ^Л(«)вП,м|ап = 0 (5) в ограниченной области Q С R" с гладкой границей, где F\ - оператор

Немыцкого, порождаемый G\ : R 2R,

О, если 5 < Л, G\{s) = [0,р(А)], если s = Л, p(s), если s > А. Функция p(s) удовлетворяет следующим условиям: i) р 6 Co(R), р - неубывающая положительная функция; ii) p(s) <q;s-|-ccq;<Aihc заданными константами, где Ai - наименьшее собственное значение —А в Н;!;(Г2)ПН2(^) с граничным условием = 0.

В [54] получен следующий результат. Пусть S = {(A, it) 6 Rx L2(Q) : А > 0,и — решение (5)}. Тогда, если а < Ai, то S содержит, по крайней мере, одну связную компоненту С, для которой: i) (0,0) ЕС; ii) существуют две константы /3 > 0 и R > 0 такие, что С С [0,(3] х Br, где Br - шар в радиуса R; iii) существует Л < /3 такое, что для каждого 0 < Л < Л

Cx = {ueL2{n):(\,u)EC} состоит, по крайней мере, из двух точек.

Наиболее общие результаты по нелинейным задачам на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейно-стями были получены S.A.Marano в [56] топологическими методами.

Однако, в [56] автор на разрывы нелинейности д в уравнении (1) накладывает следующее достаточно жесткое ограничение: существует множество Qq С меры нуль, для которого объединение

J {uER: д(х, •) разрывна в точке it} X£Q\Qo имеет меру нуль.

В диссертации устанавливаются теоремы о существовании полуоси собственных значений задачи (1)-(2) при более слабых условиях на разрывы д по сравнению с условиями в [56]. В отличие от результатов [56] в диссер: тации не предполагается, что проекция множества точек разрыва д(х,и) по и на ось фазовой переменной и имеет меру нуль в R.

По сравнению с работами других авторов по проблеме существования сильных решений задачи (1)-(2) в диссертации ослаблены ограничения на множество точек разрыва нелинейности д(х, и) по щ по сравнению с [51],

56] допускается, что исследуемые краевые задачи могут быть резонансными, а оператор, порождаемый нелинейностью, не компактен; в работах [46]-[51], [59] полуправильные решения не рассматривались.

Операторная постановка задачи (1)-(2) в соответствующих функциональных пространствах приводит к уравнениям с разрывными операторами в банаховых пространствах. При этом проблема существования сильных решений задачи (1)-(2) эквивалентна существованию классического решения соответствующего уравнения, а классические решения операторного уравнения, в которых оператор краевой задачи радиально непрерывен, являются полуправильными решениями соответствующей краевой задачи.

Предположим, что для почти всех х £ Q \д(х,и)\ < а(х) \/и £ R, где a G Tiq (О,), q > фиксирована. Тогда при подходящем выборе рефлексивного банахова пространства Е операторная постановка задачи (1)^(2) приводит к уравнению вида

Ли = ХТи (6) с параметром А > 0, где А - линейный самосопряженный оператор из Е в Е*, Т : Е —>- Е* разрывное, компактное, ограниченное на Е отображение (Е = Но(Г2) в случае граничного условия Дирихле и Е = H^fi), если (2) - граничное условие Неймана или третье краевое условие), оператор А порожден левой частью уравнения (1) и граничным условием (2), а Т - нелинейностью в уравнении (1). В случае, когда пространство N(L) решений задачи

Lu — 0, х Е

Ви\г = О ненулевое, задача (1)-(2) называется резонансной и в соответствующей операторной постановке (6) отображение А — XT некоэрцитивное. Неравенство q > обеспечивает компактность вложения соболевского пространства H^Q) в LP(Q), р"1 + q~l = 1.

Рассмотрен также критический случай, когда q = ПРИ дополнительном ограничении на нелинейность: д(х,и) - невозрастающая по и. Отметим, что в этой ситуации оператор, порождаемый нелинейностью, не компактен.

Число Л называется собственным значением уравнения (6), если это уравнение имеет ненулевое решение.

Заметим, что если Т(0) = 0, то очевидно наличие нулевого решения уравнения (6) при любом Л. Ищутся Л, для которых уравнение (6) имеет ненулевые решения, то есть ищутся собственные значения уравнения (6).

В случае, когда отображение Т непрерывно, структура множества собственных значений уравнения (6) изучалась топологическими методами в [9], [60], в полуупорядоченных пространствах - в [10], [44] и вариационным методом в [62], [63].

В диссертации получены предложения о существовании полуоси собственных значений без предположения о непрерывности Т. Вариационным методом доказываются теоремы о существовании ненулевых решений уравнения (6) при достаточно больших Л, причем оператор Т на этих решениях радиально непрерывен. Общие результаты применяются к исследованию основных краевых задач для полулинейных уравнений эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной по фазовой переменной ограниченной нелинейностью. Устанавливаются предложения о существовании луча положительных собственных значений для таких задач. При этом ядро дифференциального оператора с соответствующими граничными условиями может быть ненулевым (так называемые резонансные краевые задачи).

Разрывные нелинейности в интегральных и дифференциальных уравнениях часто возникают как идеализации непрерывных нелинейно-стей, имеющих участки быстрого роста по фазовой переменной. При этом удобно считать, что непрерывные нелинейности зависят от малого параметра е и в пределе при е 0 получается разрывная нелинейность. Естественным является вопрос о близости решений аппроксимирующего уравнения и предельной задачи. На необходимость исследований в этом направлении указано М.А.Красносельским и А.В.Покровским в [14]. Данная проблема для эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями изучалась в [36] в предположении, что нелинейность, входящая в уравнение, ограничена, а дифференциальная часть вместе с граничным условием порождает коэрцитивный оператор.

В диссертации рассматриваются основные краевые задачи для уравнений эллиптического типа второго порядка с разрывной ограниченной нелинейностью, мультипликативно зависящей от спектрального параметра. Аппроксимирующая задача получается из исходной малыми возмущениями спектрального параметра и непрерывными по фазовой переменной аппроксимациями разрывной нелинейности. При достаточно общих предположениях относительно точек разрыва нелинейности по фазовой переменной и вариационным методом доказывается, что если Uk ~ сильное решение аппроксимирующей задачи, доставляющее абсолютный минимум функционалу соответствующей краевой задачи, то последовательность (uk) содержит подпоследовательность, сходящуюся в равномерной метрике к некоторому полуправильному решению предельной краевой задачи, на котором функционал этой задачи достигает нижней грани на всем пространстве. Если функционал предельной краевой задачи достигает своей нижней грани на всем пространстве только в одной точке щ, то ик —> Щ в равномерной метрике.

Близка по тематике к данному исследованию работа [13] М.А.Красносельского и А.В.Покровского, посвященная вопросу существования корректных полуправильных решений задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа с разрывной ограниченной нелинейностью, удовлетворяющей одностороннему условию Липшица.

Перейдем к содержанию диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Потапов, Дмитрий Константинович, 2002 год

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг J1. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. - М.: Ин. лит., 1962. - 208 с.

2. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. - 416 с.

3. Винокур В. В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями. Дис. . канд. физ. мат. наук. - Челябинск, 2001.

4. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1976. 280 с.

5. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. -336 с.

6. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. -464 с.

7. Голъдштик М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1962. - Т. 147. - N 6. -С. 1310-1313.

8. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 2. - М.: Ин. лит., 1966. - 1063 с.

9. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

10. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. - 396 с.

11. Красносельский М.А., Соболев А.В. О неподвижных точках разрывных операторов // Сиб. мат. журн. 1973. - Т. 14. - N 3. - С. 674-677.

12. Красносельский М.А., Покровский А.В. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1976. -Т. 226. - N 3. - С. 506-509.

13. Красносельский М.А., Покровский А.В. Уравнения с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 248. - N 5. -С. 1056-1059.

14. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. - 272 с.

15. Красносельский М.А., Покровский А.В. Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностями // Докл. АН. 1995. - Т. 342. -N 6. - С. 731-734.

16. Красносельский М.А., Лусников А.В. Правильные неподвижные точки и устойчивые инвариантные множества монотонных операторов / / Функц. анализ и приложения. 1996. - Т. 30. - Вып. 3. - С. 34-46.

17. Ладыженская О.А., Уральцева И.П. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. - 540 с.

18. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. -736 с.

19. Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. -415 с.

20. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. - 424 с.

21. Павленко В.Н. О разрешимости некоторых нелинейных уравнений с разрывными операторами // Докл. АН СССР. 1972. - Т. 204. -N 6. - С. 1320-1323.

22. Павленко В.Н. Существование решений у нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами // Вестн. Моск. гос. ун-та. -Математика. Механика. 1973. - N 6. - С. 21-29.

23. Павленко В.Н. Нелинейные уравнения с разрывными операторами в банаховых пространствах // Укр. мат. журн. 1979. - Т. 31. - N 5. -С. 569-572.

24. Павленко В.Н. Существование решений нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами j j Укр. мат. журн. 1981. -Т. 33. - N 4. - С. 547-551.

25. Павленко В.Н. Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенциальными операторами // Дифферент уравнения. 1988. - Т. 24. - N 8. - С. 1397-1402.

26. Павленко В.Н. О существовании полуправильных решений задачи Дирихле для квазилинейных уравнений эллиптического типа // Укр. мат. журн. 1989. - Т. 41. - N 12. - С. 1659-1664.

27. Павленко В.Н. Полуправильные решения эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. -1991. Т. 43. - N 2. - С. 230-235.

28. Павленко В.Н. О существовании полуправильных решений первой краевой задачи для уравнения параболического типа с разрывной немонотонной нелинейностью // Дифференц. уравнения. 1991. -Т. 27. - N 3. - С. 520-526.

29. Павленко В.П. Метод монотонных операторов для уравнений с разрывными нелинейностями // Известия вузов. Математика. - 1991. -N 6. - С. 38-44.

30. Павленко В.Н. Эллиптические вариационные неравенства с разрывными полумонотонными операторами j j Вестн. Челяб. гос. ун-та. -Сер. 3. Математика. Механика. 1991. - N 1. - С. 29-37.

31. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. - 1994. - N 1(2). - С. 87-95.

32. Павленко В.Н. Уравнения и вариационные неравенства с разрывными нелинейностями. Дис. . докт. физ. мат. наук. - Челябинск, 1995.

33. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами: Учеб. пособие. Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1997. -75 с.

34. Павленко В.Н., Ульянова О.В. Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Известия вузов. Математика. - 1998. - N 11. - С. 69-76.

35. Павленко В.Н., Искаков Р. С. Непрерывные аппроксимации разрывных нелинейностей полулинейных уравнений эллиптического типа // Укр. мат. журн. 1999. - Т. 51. - N 2. - С. 224-233.

36. Павленко В.Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Вестн. Челяб. гос. унта. Сер. 3. Математика. Механика. - 1999. - N 2(5). - С. 56-67.

37. Павленко В.Н., Винокур В.В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Известия вузов. Математика. - 2001. - N 5. - С. 43-58.

38. Павленко В.Н., Винокур В. В. Теоремы существования для уравнений с некоэрцитивными разрывными операторами // Укр. мат. журн. -2002. Т. 54. - N 3. - С. 349-363.

39. Павленко В.Н., Ульянова О.В. Метод верхних и нижних решений для уравнений параболического типа с разрывными нелинейностями // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38. - N 4. - С. 499-504.

40. Рисе Ф., Секефальви-Надъ Б. Лекции по функциональному анализу. -М.: Мир, 1979. 587 с.

41. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1982. - 336 с.

42. Ульянова О.В. Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными нелинейностями. Дис. . канд. физ. мат. наук. - Челябинск, 1999.

43. Атапп Н. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spases // SIAM Review. 1976. - V. 18. - N 4. -P. 620-709.

44. Basile N., Minini M. Some solvability results for elliptic boundary value problems in resonance at the first eigenvalue with discontinuous nonlinearities // Boll. Unione Math. Ital. Ser. 5. - 1980. - V. 17-B. -N 3. - P. 1023-1033.

45. Carl S., Heikkila S. An existence result for elliptic differential inclusions with discontinuous nonlinearity // Nonlinear Anal. 1992. - V. 18. -N 5. - P. 471-479.

46. Carl S., Heikkila S. On the existence of extremal solutions for discontinuous elliptic equations under discontinuous flux conditions // Nonlinear Anal. 1994. - V. 23. - N 12. - P. 1499-1506.

47. Carl S., Heikkila S., Lakshmikantham V. Nonlinear elliptic differential inclusions governed by state-dependent subdifferentials // Nonlinear Anal. 1995. - V. 25. - N 7. - P. 729-745.

48. Chang K.C. The obstacle problem and partial differential equations with discontinuous nonlinearities // Comm. Pure Appl. Math. 1980. -V. 33. - N 2. - P. 117-146.

49. Chang K.C. Variational methods for non-differentiable functional and their applications to partial differential equations j j J. Math. Anal, and Appl. 1981. - V. 80. -N 1. - P. 102-129.

50. Chang К. C. Free boundary problems and the set-valued mappings // J. Differential Eq. 1983. - V. 49. - N 1. - P. 1-28.

51. Clark D.C. A variant of the Lusternik-Schnirelman theory // Indiana Univ. Math. J. 1972. - V. 22. - P. 65-74.

52. Kuiper H.J. On positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1971. - Ser. 2. - V. 20. - N 2-3. -P. 113-138.

53. Lupo D. A bifurcation result for a Dirichlet problem with discontinuous nonlinearity // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1989. - Ser. 2. - V. 38. -P. 305-318.

54. Ma T. W. Topological degrees of set-valued compact fields in locally convex spaces // Rozprawy Mat. 1972. - V. 92. - P. 1-47.

55. Marano S.A. Elliptic eigenvalue problems with highly discontinuous nonlinearities // Proc. Amer. Math. Soc. 1997. - V. 125. - N 10. -P. 2953-2961.

56. Massabo I., Stuart C.A. Elliptic eigenvalue problems with discontinuous nonlinearities // J. Math and Appl. 1978. - V. 66. - N 2. - P. 261-281.

57. Massabo I. Positive eigenvalues for elliptic equations with discontinuous nonlinearities // Boll. Unione Math. Ital. 1978. - V. 15-B. - N 3. -P. 814-827.

58. Massabo I. Elliptic boundary value problems at resonance with discontinuous nonlinearities // Boll. Unione Math. Ital. Ser. 5. - 1980. -V. 17-B. - N 3. - P. 1302-1320.

59. Rabinowitz P.H. Some global results for nonlinear eigenvalue problems // J. Funct. Anal. 1971. - V. 7. - P. 487-513.

60. Rabinowitz P.H. Variational methods for nonlinear eigenvalue problems // CIME Varenora. 1974. - P. 1-56.

61. Rabinowitz P.H. Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalue problems // Indiana Univ. Math. J. 1974. - V. 23. - N 8. -P. 729-754.

62. Rabinowitz P.H. A bifurcation theorem for potentional operators //J. Funct. Anal. 1977. - V. 25. - P. 412-424.

63. Stuart C.A., Poland J.F. A variational method for boundary value problems with discontinuous nonlinearities //J. London Math. Soc. -Ser. 2. 1980. - V. 21. - N 2. - P. 319-328.

64. Stuart C.A., Toland J.F. A property of solutions of elliptic differential equations with discontinuous nonlinearities //J. London Math. Soc. -Ser. 2. 1980. - V. 21. - N 2. - P. 329-335.

65. Toland J.F. A duality principle for nonconvex optimization and the calculus of variations // Arch. Rational Mech. Anal. 1979. - V. 71. -N 1. - P. 41-61.

66. Потапов Д.К. Одномерный аналог модели Гольдштика // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках: Тез. докл. Воронежского зимнего симпозиума, посвященного памяти М.А.Красносельского. Воронеж: ВГУ, 2000. - С. 180.

67. Павленко В.Н., Потапов Д. К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными монотонными операторами // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней матем. школы. Воронеж: ВГУ, 2001. -С. 207.

68. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О структуре спектра эллиптических краевых задач с разрывными монотонными нелинейностями // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001. - С. 95-96.

69. Потапов Д. К. Спектральные задачи для уравнений с разрывными нелинейностями // Современные методы в теории краевых задач, Понтрягинские чтения XII: Тез. докл. Воронежской весенней матем. школы. - Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 123.

70. Потапов Д. К. Спектральные задачи для уравнений с разрывными монотонными операторами // Современные методы в теории краевых задач, Понтрягинские чтения XII: Сборник трудов Воронежской весенней матем. школы. - Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 53-56.

71. Павленко В.Н., Потапов Д. К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Сиб. мат. журн. 2001. - Т. 42. - N 4. - С. 911-919.

72. Павленко В.Н., Потапов Д. К. О существовании полуоси положительных собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. Информатика. - 2002. - N 1(6). - С. 114-119.

73. Потапов Д.К. Спектральные задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными монотонными нелинейностями // Известия Челябинского научного центра. Математика. - 2002. - Вып. 2(15). -С. 1-3. (http://www.sci.urc.ac.ru/news/20022/).

74. Потапов Д.К. Задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тез. докл. Всерос. науч. конф. Тула: ТулГУ, 2002. - С. 51-52.

75. Potapov D.K. An eigenvalue set structure for equations with discontinuous nonlinearities // Inverse and Incorrectly Formulated Problems: Abstracts of the Seventh Conference: Moscow, M.V.Lomonosov MSU. Moscow: MAX Press, 2001. - P. 69.