Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.02, кандидат физико-математических наук Мельник, Валерий Сергеевич

• Мельник, Валерий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мельник, Валерий Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

1.-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Постановка задачи и вспомогательные результаты.

1.2. Условия разрешимости задач управления для операторных уравнений

1.3. Необходимые условия оптимальности в форме вариационных неравенств

2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ И ВКЛЮЧЕНИЙ

2.1. Условия разрешимости и конечномерные аппроксимации для эволюционных уравнений с ограничениями типа неравенств.

2.2. Условия разрешимости с ограничениями общего вида на фазовые переменные

2.3. Разрешимость задачи оптимального управления для эволюционных уравнений с многозначными операторами.

2.4. Разрешимость задачи управления для эволюционных включений с ограничениями типа неравенств

2.5. Необходимые условия оптимальности управления в форме вариационных неравенств.

2.6. Условия оптимальности для уравнений в топологических векторных пространствах.

3. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ТЕПЛООБМЕНОМ В ДИСПЕРСНОМ СЛОЕ ОКАТЫШЕЙ . НО

3.1. Математическое описание процесса. Постановка задачи управления . НО

3.2. Исследование задачи управления термическим обжигом окатышей в стационарном режиме

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами»

В последнее время в результате интенсификации многих физических и технологических цроцессов, особенно цроцессов, протекающих в условиях высоких температур, больших нагрузок и деформаций возросла необходимость в исследовании задач управления для объектов, описываемых нелинейными дифференциальными, интегро-дифференциальными, а также функциональными уравнениями.

Так, например, задачи о равновесии гибких пластин и тонких оболочек, задачи об упруго-пластической деформации, трехмерные задачи уцруго-пластического равновесия, а также процессы тепломассообмена и задачи гидродинамики описываются нелинейными! эллиптическими и параболическими уравнениями /59]• Как правило, такие объекты являются весьма дорогостоящими, поэтому задача выбора наиболее эффективного режима их эксплуатации представляется весьма актуальной. Это, в свою очередь, требует развития методов оптимального управления и регулирования такими процессами.

Бурное развитие теории оптимального управления конечномерными объектами связано в основном с принципом максимума Л.С.Понтря-гина /"51], методом динамического программирования и развитым Н.Н.Красовским и его учениками методом L -проблемы моментов. Обобщение этих методов на бесконечномерный случай наталкивается на ряд существенных трудностей. Некоторые из них были указаны Егоровым А.й. /18], Красовским Н.Н. /22], Лионсом Ж.Л. £33} и др.

Преодолению этих трудностей посвящены работы многих авторов как в нашей стране, так и за рубежом. Здесь следует отметить прежде всего работы обзорного и монографического характера Бутков-ского А.^^Бутковского А.Г. и Самойленко Ю.И. [5] , Егорова А.И.

18], Лурье К.А. /36], Сиразетдинова Т.К. /58] и др.

Попытки перенесения принципа максимума Л.С.Понтрянина на системы в банаховом пространстве предприняты в работах Егорова А.И. [21] , Волина Ю.М. и Островского Г.М. [II], Матвеева А.С. и Якубовича В.А. [37], Серовойского С.Я. [57], Якубовича В.А. [б5]и др.

Принципы максимума для уравнений с частными производными рассматривался А.И.Егоровым [16, 17] • В.И.Плотниковым в [49] предложена новая методика вывода необходимых условий оптимальности для систем общего вида. Затем в работах /24, 45, 50] она получила свое дальнейшее развитие.

Вопросы существования оптимальных управлений в различных ситуациях изучались в работах [В, 10, 22, 32, 33, 35, 38, 42, 43, 48, 52, 60, 61, 66, 78, 82, 88] и др. В частности, в работе [321 приводится пример задачи оптимального управления, не имеющей решения, в £52] доказана теорема существования оптимального уцрав-ления старшими коэффициентами линейных систем с невыпуклым допустимым множеством управлений, используя метод овыпукливания. В работе /"60] приводятся достаточные условия существования оптимального управления в случае, когда управлением служит область в пространстве;

Работа /61] посвящена систематическому изучению задач оптимального управления для системы Навье-Стокса. В ней также рассмотрены вопросы однозначной разрешимости.

В последнее время интенсивно изучаются задачи оптимального управления для объектов, описываемых вариационными неравенствами /66, 69, 72, 73, 77] . Это вызвано как внутренними проблемами, так и потребностями приложений. Как выяснилось [34, 54], многие цро-цессы в механике, а также системы со свободной границей, описываются вариационными неравенствами.

В серии работ Ж.-Л.Лионса [30, 85, 86] разрабатывался метод сингулярного возмущения для линейных систем, а в [31] исследована задача оптимального управления плохо обусловленными и неустойчивыми объектами.

В работах [68, 69, 87] методы недифференцируемой минимизации применялись при выводе необходимых условий оптимальности управления для нелинейных уравнений в частных производных с многозначными членами, а также в задачах управления для вариационных неравенств*

Работы [87, 90, 91] посвящены задачам управления распределенными системами с интегральными ограничениями типа неравенств на управления и фазовые переменными.

Задачи с операторными ограничениями на фазовые переменные рассмотрены в работах [24, 37, 45, 66, 71, 72, 77, 81, 87, 89, 90, 91]. В частности в [711 получено обобщение теории Дубовицкого-Милютина [15] на экстремальные задачи в ТЕЛ, а в [72] развивается метод штрафных функций для задач с ограничениями*

Систематическому исследованию задач с точным управлением для линейных систем посвящена монография А.Бансусана и Ж.-ЛДионса [70],/см. также [85]/.

Игровым задачам управления в системах с распределенными параметрами посвящена работа Ю.С.Осипова [46] .

В монографии Лионса Ж.-Д. [33] развит метод вариационных неравенств для задач оптимального управления линейными системами с квадратичным функционалом. Преимуществами этого метода являются его простота, а также то обстоятельство, что для его применимости не требуется дополнительная регулярность решений, как, например, в принципе Лагранжа / 22].

При распространении этого метода на нелинейные системы появляются некоторые трудности, связанна с обоснованием гладкости решения нелинейной системы по управлению.

Следует отметить, что . работ, посвященных исследованию зависимости решений нелинейных уравнений от параметров не так t много, хотя растет с каждым годом /см«например, [9, 10, 40, 41, 55, 75, 80J /.

В диссертации Серовойского С «Я* £57] метод вариационных неравенств распространяется на нелинейные системы с помощью так называемой "квазисопряженной системы" без требования дифференцируем ости решения последней по управлению. Однако на этом . . ' ; пути возникают свои серьезные трудности, связанные с обоснованием сходимости решений квазисоцряженной системы к решению сопряженной. В ряде случаев они успешно преодолеваются*

Проблема, связанная с построением регулярных /в определенном смысле/ конечномерных аппроксимаций исходных бесконечномерных систем, по-видимому, впервые во всей полноте была поставлена Н.Н.Красовским [27]. Существенное продвижение в направлении ее решения получено А.И.Егоровым и его учениками /18, 19, 20J, В.И.Плотниковым /47], Б.Н.Бубликом [Zl и др.

Однако, Несмотря на большой поток работ по управлению системами с распределенными параметрами, многие важные вопросы еще остаются открытыми £[8].

В диссертационной работе получен ряд результатов по исследованию задач оптимального управления для нелинейных эллиптических и параболических систем с ограничениями общего вида на управления и фазовые переменные.

Основное внимание в работе уделяется воцросам разрешимости задач оптимального управления, обоснованию необходимых условий оптимальности в форме вариационных неравенств, а также построению регулярных конечномерных аппроксимаций рассматриваемых задач и условий оптимальности для них.

На самом деле рассмотренные в работе задачи являются более общими, чем только задачи управления для нелинейных эллиптических и параболических уравнений с частными производными. Это задали управления операторными и дифференциально-операторными уравнениями первого порядка в банаховых пространствах, удовлетворяющих условию коэрцитивности и некоторым модифицированным условиям монотонности* Результаты хе для дифференциальных уравнений с частными производными являются приложением соответствующих операторных теорем.

Следует отметить, что операторный подход позволяет максимально упростить изложение и пользоваться языком и результатами современного нелинейного функционального анализа.

Перейдем к краткому обзору диссертации.

В первой главе развивается теория монотонных операторов, применительно к задачам управления объектами, описываемыми нелинейными операторными уравнениями в банаховых пространствах с ограничениями на управления и фазовые переменные. После постановки задачи и некоторых предварительных конструкций и результатов /§ I/ мы приводим достаточные условия существования оптимизирующих функций /§ 2/. В отличив от [33, 57] мы здесь не требуем, чтобы операторные уравнения были однозначно разрешимы и, кроме того, рассматриваем ограничения на состояния и управления типа включений и неравенств.

Пусть / - рефлексивное банахово пространство, X* - его сопряженное, - каноническая двойственность X и Х*%/И банахово пространство управлений, которое является сопряженным к некоторому банахову пространству В % U - замкнутое выпуклое ограниченное множество в Н , L '■ R - некоторый функционал, ITt(X) - совокупность замкнутых выпуклых подмножеств пространства X » К: U* X ^ iTtfy) - некоторое многозначное отображение, Y - банахово цространство, полуупорядоченное воспроизводящим конусом &С • Рассматривается следующая задача: найти

J(U)J j(и) = L (и, Ш), /т/ на решениях системы А = /2/ с ограничениями У £ , /3/ где [/х у* - некоторое нелинейное отображение, /'э/ - заданий элемент, F' If * У-^ Y.

Основным результатом § 1*2 является теорема I.2.I о разрешимости задачи /I/ - /4/. Мы' приводим два метода ее доказательства* Второй /правда^ при несколько более сильных предположениях/ является, на наш взгляд, более конструктивным, поскольку позволяет далее использовать различные аппроксимативные методы. Его идея заключается во вложении задачи /2/, /3/ в класс вариационных неравенств / РУ - решения/. На первом этапе изучаются задачи управления для этого нового класса объектов, что представляет самостоятельный интерес {25, 34] • Заметим попутно, что результаты работы [73] по разрешимости задачи уцравления для вариационных неравенств являются, как нам кажется, частным, случаем наших.

На втором этапе мы осуществляем редукцию к исходной задаче с помощью метода штрафных функционалов.

5 этом же параграфе мы конструируем регулярные конечномерные аппроксимации задачи /I/ - /4/ Исходную систему /2/ - /4/ мы заменяем галеркинскими аппроксимациями и изучаем условия, при которых эти аппроксимации сходятся /в соответствующих топологиях/ к решению исходной задачи Л/ - /4/.

В § 1.3 дается обоснование необходимых условий оптимальности в задаче /I/, /2/ при дополнительных условиях гладкости. Затем полученные результаты используются для построения методов аппроксимации общей задачи /I/ - /4/.

Здесь же используя результаты § 1.2 рассматриваются регулярные конечномерные аппроксимации необходимых условий оптимальности. Приводятся примеры.

Во второй главе аналогичные вопросы рассмотрены для эволюционных уравнений и дифференциальных включений.

Пусть ]/ - рефлексивное банахово пространство топологичел ски плотно вложенное в гильбертово пространство Н > тогда 1/сЦ с V* , где V* - сопряженное пространство с I/ ; y=LF.(SjH)//lpf(S;l/J J mmtoo-j b=Co,Tjj т> о; через <v> обозначим скалярное произведение между элементами пространства / и соответственно. Пусть 11 - пространство управлений, U - ограниченное замкнутое выпуклое подмножество в U ; Л' X* нелинейное /возможно^ многозначное отображение; Z -' IfxX-^ R - полунепрерывный / в - топологии & и сильной топологии X / снизу функционал. Рассматривается следующая задача оптимального управления: найти

ТМ = I (*,*(«)). если У (и.) удовлетворяет соотношениям у'е-Ateji/J + Sj = J -fe X* usVt с ограничениями

IJG К (U, У), Ffii; {/J <> о .

В § 2.1 приводятся достаточные условия разрешимости задачи б/ б/

7/ /8/

5/, /б/, /8/ в случае, когда оператор А в /б/ однозначный* Рассматриваются также различные варианты регулярных конечномерных аппроксимаций рассматриваемой задачи.

В § 2.2. изучается задача /5/ - /8/. Основным результатом \ здесь является теорема о разрешимости /теорема 2.2.1/,

Приводятся различные следствия и модификации этой теоремы. В частности, для приложений полезен следующий вариант этой задачи. Пусть З1 -линейное топологическое цространство, ^ * -его двойственное и пространства У, и У* такиз, что

J с. Ж с с Х*^ , причем -гильбертово, а У рефлексивное банахово цространство. А - инфинитезимальный производящий оператор, сжимающей полугруппы G fe) в с областью определения DfA) У . Рассматривается следующий вариант задат; т/ \ - р

Т(и ) —> J «Лг > /9/

Ау + Afa*) = /ю/

Уе К П D (Лj У*)j Л1/ где К - замкнутое выпуклое множество в / , {/"У-* У*

Определение. Скажем, что задача /9/ - /II/ при фиксированном ие (/ имеет У -решение, если найдется У£ К/)Е>{А;Х*) такое, что

По аналогии с главой 1 мы вкладываем задачу /10/, /II/ в класс вариационных неравенств в предположении, что /9/ -'/II/ имеет v - решение \/ и € I/ , а меру несоответствия решений вводим штрафной добавкой в функционал /9/.

В § 2.3 и 2.4 изучаются воцрооы разрешимости задачи оптимального управления для эволюционных уравнений с многозначными операторами /дифференциальных включений/ в банаховых пространствах с ограничениями типа неравенств на управления и фазовые переменные* Такие объекты возникают, например, в теории дифференциальных игр [46], в управляемых системах, описываемых краевыми задачами для квазилинейных уравнений /или систем уравнений/ в частных цроиз-водных с разрывными коэффициентами [68, 81] при управлении в условиях неопределенности и др. В частности, в [68] для "параболических" уравнений с многозначными составляющими получены необходимые условия оптимальности с использованием конструкции обобщенного градиента Г.Кларка для локально липшицевых функций.

В [34] для доказательства разрешимости уравнений с многозначными операторами используют аппроксимации последних однозначными, для которых соответствующие теоремы уже установлены, затем осуществляют предельный переход, когда параметр аппроксимации стремится к нолю. Мы развиваем здесь несколько иной подход. При этом соответствующие результаты для уравнений получаются как частный случай и даже в этом случае являются новыми.

В § 2.5 для задачи /5/, /6/ приводится обоснование необходимых условий оптимальности в форме вариационных неравенств* Мы также изучаем условия дифференцируемости решений уравнения /6/ по Гато по управлению. Затем рассматриваем различные аппроксимации.

В настоящее время активно развивается ветвь нелинейного функционального анализа, связанная с изучением нелинейных полугрупп эволюционных уравнений в топологических векторных пространствах /в частности, банаховых/ [14, 62, 75, 76].

Здесь используется точка зрения, принятая при изучении линейных неограниченных операторов в некотором банаховом пространстве X • Т.е. для заданного нелинейного оператора А и пространства X рассматривается ситуация, когда А-Р(А)су^>Х .

В случае линейного оператора А % D (А) - линейное множество, которое можно превратить в банахово пространство замыкая его в норме графика. В нелинейном случае D(A) может не быть, вообще говоря, многообразием и тем более векторным пространством.

Естественно возникает задача разработки методов оптимального управления такими объектами. На этом пути возникает достаточно серьезная проблема введения уравнения для соцряженных переменных, что в свою очередь требует определения понятия линеаризации оператора • Аналогичная проблема возникала в качественной теории уравнений с частными производными цри распространении метода линеаризации Ляпунова на эволюционные уравнения с неограниченными операторами [75]• Однако в этом случае ее удалось обойти, формулируя результаты в терминах полугруппы, порождённой соответствующим уравнением так, что само линеаризованное уравнение не использовалось.

В нашей же ситуации важно уметь строить линеаризацию, с помощью которой затем вводится сопряженная система* Для этой цели мы определяем понятие производной нелинейного оператора A 'DfA)c X —> у ( XsY-T&fj) 9 изучаем свойства и приводим простейшие примеры* Затеи получаем условия оптимальности в форме вариационных неравенств*

Рассматриваются иллюстрационные примеры. В частности, задача уцравления правой частью для уравнений с оператором, порождаемым выражением

Ц|«»и I*' с сильно растущими цри 1Ц-& 00 функциями bpfa,*?) , асе

Как показано в работах /71, 79] и др., соответствующие нелинейные операторы действуют из плотного множества £>(4) пространства / в • Поэтому к такого рода примерам известные методы неприменимы*

Третья глава посвящена приложениям, В ней рассматривается задача оптимального управления процессом термического обжига железорудных окатышей на конвейерной машине*

В § 3.1 получена математическая модель процесса и приводится постановка задачи управления*

В § 3*2 изучается поставленная задача* Приводятся условия оптимальности управления в виде вариационных неравенств* На основании полученных условий оптимума совместно с ВНИИМТом разработаны численные алгоритма» которые внедрены в виде пакетов в АСУТП Лебединского ГОКа* При разработке алгоритмов и программ кроме автора принимали участие А*П*Буткорев, Л.П.Иваненко, С.П. Левков, Г.П.Повещенко.

Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность научному руководителю профессору Иваненко Виктору Ивановичу за постоянное внимание и постановку задачи, а также научному консультанту профессору Далецкому Юрию Львовичу за ценные советы и замечания*

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мельник, Валерий Сергеевич, 1984 год

1. Андреев Н.В., Мельник B.C. Граничное управление нелинейными эллиптическими системами, - Докл. АН УССР. Сер. А, 1983, № 8, с.63-66.

2. Бублик Б.Н. Численные решения динамических задач теории пластичности и оболочек: Наукова думка, 1976, Киев.

3. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. -М., Наука, 1975.

4. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М., Наука, 1975.

5. Бутковский А.Г., Самойленко Ю.И. Управление кванжово-механи-ческими объектами. Киев, Наукова думка, 1984,

6. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. -М., Наука, 1972.

7. Васильев В.Ф. Лекции по методам решений экстремальных задач. -М.: Изд. МГУ, 1974.

8. Васильев В.&. 0 существовании решений одной оптимальной задачи Стефана. В кн.: "Вычисл. методы и программ.", 1969, вып.12, МГУ.

9. Васильева В.Н. О гладкости функционалов в задачах оптимального управления коэффициентами параболических уравнений. В кн.: Исслед. в механике сплош. сред. Иркутск, 1983, с.91-99.

10. Вознюк Л.Л., Мельник B.C. Об оптимальном управлении динамическими системами с ограничениями на управления и фазовые переменные. Автоматика, 1984, № 4, с.48-53.

11. Волин Ю.М., Островский Г*М. 0 принципа максимума в банаховом пространстве. Кибернетика, 1969, № 5.

12. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М., Мир,1978, с.336.

13. Далецкий Ю.Л., Фомин С «В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах* М.: Наука, 1983.

14. Дубинский ЮЛ. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. Итоги науки и техники: ВИНИТИ, "Современные проблемы математики", 1976, т.9, с.5-130.

15. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Необходимые условия любого экстремума в общей задаче оптимального управления. М.: Наука, 1971.

16. Егоров А.И. Об условиях оптимальности в одной задаче управления цроцессоы теплопередачи. IBM и МФ, 1972, т.12, № 3.

17. Егоров А.И. Необходимые условия оптимальности для систем с распределенными параметрами. Матем. сб., 1966, вып.З, т.69.

18. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М,, Наука, 1978, с.464.

19. Егоров А.И., Капустин В.Е. Оптимальное управление колебательными системами при изопериметрических ограничениях. В кн.: Оптимальное управление в механических системах. Тез. докл.Ш Всесоюзной конференции /Киев, 1979/, Киев: КГУ, 1979, с.192-193.

20. Егоров А.И., Шакиров В.И. Синтез квазиоптимального регулятора в задаче управления колебательными системами. Там же,с.194-195.

21. Егоров Ю.В. Необходимые условия оптимальности в банаховом пространстве. Матем. сб. 1964, т.64 /106/, вып.1.22* Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных'задач. М., Наука, 1974.

22. Иосида К. Функциональный анализ. М., Мир, 1967.

23. Казимиров В.И., Плотников В.И., Старобинец И.М. Необходимыеусловия экстремума в гладких задачах с операторными ограничениями* Изв. ВУЗов. Сер. Матем., 1983, * 8, 21-26.

24. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М., Мир, 1983.

25. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. Физматгиз, 1962.

26. Красовский Н.Н. Теория оптимальных уцравляемых систем. В сб.: "Механика в СССР за 50 лет", т.1, Наука, 1968.

27. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., Наука, 1967.

28. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., Наука, 1973.

29. Лионе Ж.-Л. Редукция к задаче меньшей размерности в проблеме оптимального контроля. В кн.: Дифференц. уравнения с частными цроизводными. Новосибирск, Наука, 1980, I76-181.

30. Лионе Ж.-Л. Об оптимальном управлении; неустойчивых распределенных систем. В кн.: Актуальные проблемы вычисл. и прикладной матем. Новосибирск, 1983, 7-19.

31. Лионе Ж.-Л. Об оптимальном управлении распределительными системами. УМН, 1973, т.28, № 4, 15-46.

32. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М«, Мир, 1972, с.414.

33. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.-М., Мир, 1972, с.587.

34. Литвинов В.Г., Рубежанский Ю.И. Задачи управления правыми частями эллиптических систем и их цриложение к управлению напряженно-деформированным состоянием оболочек. МН и М, 1982, т.46, № 2, 331-336.

35. Лурье К.А. Оптимальное уцравление в задачах математической физики. Физматгиз, М., 1975, с.478.

36. Матвеев А.С., Якубович В.А. Оптимальное управление некоторыми системами с распределенными параметрами. СМЖ, 1978, т.19, № 5, II09-II40.

37. Мельник B.C. Метод монотонных операторов в теории оптимальных систем с ограничениями. ДАН УССР, 1984, сер.А, № 7, с.64-67.

38. Мельник B.C. Об оптимальном управлении некоторыми распределенными объектами с неквадратичным функционалом. Автоматика, 1983, № 3, с.54-57.

39. Мельник B.C. Граничное управление для некоторых нелинейных распределенных систем. Адаптивные САУ, 1983, вып.И,с.34-42.

40. Мельник B.C. Задача стартового уцравления распределенными объектами. Вестн. КПИ, Техн. кибернетика, 1983, с.17-23.

41. Мельник B.C. К задаче оптимального управления для уравненийс многозначными операторами. Адаптивные системы управления, РИО ЙК АН УССР, 1984.

42. Мельник B.C. К вопросу о разрешимости задачи оптимального управления для систем с распределенными параметрами. Адаптивные САУ, 1984, вып.13, с.3-9.

43. Михлин С.Г., Численная реализация вариационных методов. -М., Наука, 1966.

44. Новоженов М.М., Плотников В.И. Обобщенное правило множителей Лагранжа для распределенных систем с фазовыми ограничениями. ДУ, 1982, т.18, № 4.

45. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами. ДАН СССР, 1975, 223, * 6, I3I4-I3I7.

46. Плотников В.И. О сходимости конечномерных приближений /в зада49 об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной фор мы/. IBM и МФ, 1968, 8, № I.

47. Плотников В.И. Теоремы супр ствования оптимизирующих функций для оптимальных систем с распределенными параметрами. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970, 34, » 3.

48. Плотников В.И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида. Изв. АН СССР, сер. матем., 1972, 36, № 3, с.652-679.

49. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве. СМЖ, 1981, т.22, № 6.

50. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Ганкрекидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Hayya, 1961.

51. Райтум У.Е. Вопросы существования решения в задачах оптимального управления старшими коэффициентами линейных систем. ДУ, 1983, т.19, № 6, I040-1047.

52. Разработка комплекса инженерных методов проектирования АСУТП непрерывными технологическими процессами: /Цромежуточ. отчет/ / Ин-т кибернетики АН УССР, Руководитель темы В.И.Иваненко, Отв. исполнитель В.С.Мельник № ГР 760II8I5. - Киев,1980. 63 с.

53. Саге К. Оптимальное управление системами со свободной границей при помощи вариационных неравенств. В кн.: Вычисл.методы в прикл. матем., Новосибирск, 1982, 72-86.

54. Самборский С.Н. О зависимости от параметров решений эволюционных уравнений. Дифф. ур., 1975, № 5.56* Серовойский С«Я. Задача управления в коэффициентах для уравнений параболического типа. Изв. ВУЗов, Матем., 1982,12, 44-60.

55. Свровойский С.Я. Вариационные неравенства в задачах оптимального управления. Автореферат канд. диссерт., Алма-Ата, 1982, с.14.

56. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами.44., Наука, 1977.

57. Скрыпник И.В. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравнений. Итоги науки и техники* Современныепроблемы математики, 1976, т.9, 131-154.

58. Суворов С.Г. Существование оптимального управления в случае, когда управлением служит область. В кн.; Дифф. уравн. с частными цроизводными, Новосибирск, Наука, 1980, 193-201.

59. Фурсиков А.В. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса и Эйлера. Матем. сб., X98I, т.115 /157/, № 2 /б/, 281-306.

60. Хазан М.И. Нелинейные и квазилинейные эволюционные уравнения.-В кн.: Краевые задачи матем. физики и смежные вопросы теории функций.- Л., Наука, 1983, 181-200.

61. Цибулис А.Б. К одной экстремальной задаче для нелинейного эллиптического уравнения. Латв. матем. ежегодник, 1982, 266, 132-134.

62. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.-И*. Мир, 1979.

63. Якубович В.А. Кабетрактной теории оптимального уцравления. СШ, 1978, t.I9, №

64. ArnSutu V. Approximation of optimal distributed control problems governed by variational inequalities. Numer.Math., 1982, 38, N3, p.393-416.

65. Bandaro C., Candloro D. Teoremi di approssimazione per l'inte-grale multiplo del calcolo delle varizioni. Rend.Cipe.Mat. Pelermo, 1981, 30, N1, p.63-82.

66. Barbu V. Necessary conditions for control problems governed by nonlinear partial differential equations. Res.Notes.Math., 1981, N60, p.19-47.

67. Barbu V. Boundary control of some free boundary problems. Lect.Notes in Contr.and Int.Sci., 1983, 54, p.45-59.

68. Bensoussan A., Lions J.-L. Controle Impulsionnel. P.:Dunod, 1980.

69. Ben-Tal A., Zowe J. A unified theory of first and second order conditions for extremum problems in topological vector spaces. Math.Progr.Study, 1982, 19, p.38-75.

70. Bischoff D. Penolty-Verfahren in reflexiven Banax-Raume. Diss. Dokt.Naturwiss.Fak.Math.und Naturwiss.Univ.Hannover, 1982, p.1095.

71. Bock I., Lovisek S. An optimal control problem for an elliptie variational inequality. Math.Slov. (CSSR), 1983, 33, N1, p. 2328.

72. Browder F.E. Existence theory for boundary value problems for quasilinear elliptic systems with strongly nonlinear lower order terms. Proc.Symp.Pure Math.Berkeley,Calif., 1971, 23, Providence, R.I., 1973, p.269-286.

73. Dorroh J.R., Marsden J.E. Smoothness of nonlinear semigroups. New York, 1976.

74. Evans L.C. Nonlinear evolution equations in an arbitrary Ba-nach space. Isr.J.Math., 1977, 26, N1, p.1-42.

75. Giachetti D. Controllo ottimall in problem! vincolati. Bull. Unione mat.ital., 1983, 2, N2, p.445-468.

76. Goebel M. Optimal control of coefficients in linear elliptic equations. Math.Operations forsch. und Statist.Sep.Optimiz., 1981, 12, N4, p.525-533.

77. Gossez J.-P. Nonlinear elliptic boundary value problems for equations with rapidly (or slowly) increasing coefficient. Trans.Amer.Math.Soc., 1974, 190, p.164-206.

78. Iooss G. Bifurcation et Stabilite, Lecture Notes, Universite, Paris XI (1973).

79. Joffe A.D. Lect.Notes Math., 1983, 979, p.178-201.

80. Joshi M. On the existence of optimal controls in Banach spaces. Bull.Austral.Math.Soc., 1983, 27, N3, p.395-461.

81. Lions J.-L. Optimal control of non well posed distributed systems and related, nonlinear partial differential equations. Nonlinear Probl.: Present end Future Proc.1 Conf., Los Alamos, NM, MartMQ-6, 1981. Amsterdam e.a., 1982, p.3-16.

82. Lions J.-L. Remark on new systems of partial equations related to optimal control. Math.Anal.and Appl.Pf.B., New York e.A., 1981, p.499-512.

83. Lions J.-L. Some remarks on free boundary problems and optimal control. Free Boundary Probl.Proc.Semin., Pavia, 1979, Vol.2, Rona, 1980, p.369-383.

84. Lions J.-L. Some remarks on the optimal control of distributed systems. Cours Australie.Janvier, 1979.

85. Mackenroth U. Convex parabolic boundary control problems with pintwise state constraints. J.Math.Anal.and Appl., 1982, 87, N1, p.256-277.

86. Troltzsch P. On some parabolic boundary control problems with constraints on the control and functional-constraints on the state. Z.Anal.und Anvend., 1982, 1,N4, p.1-13.

87. Разработка основных закономерностей обжига окатышей из концентратов Михайловского ПЖа различного химического состава.

88. Разработка тепловой схемы обжиговой машины ОК-52Э для условий ШЖа.

89. Методика по определению экономической эффективности ев-оматизиршованных систем управления предприятиями и производ-твенными об"единениями {утверждена ГК СМ СССР по науке и ехиике, Госпланом СССР и АН СССР постановлением от 6.02.78 г.30/15/11).