Нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Мартемьянова, Нина Викторовна

• Мартемьянова, Нина Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мартемьянова, Нина Викторовна

Содержание

Введение

Глава 1. Нелокальные обратные задачи для уравнения смешанного

типа с одинаковыми правыми частями

§ 1.1. Обратная задача с нелокальным граничным условием первого рода

1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Формальное построение решения

1.1.3. Критерий единственности решения

1.1.4. Обоснование существования решения

1.1.5. Устойчивость решения

§ 1.2. Обратная задача с нелокальным граничным условием второго рода

1.2.1. Постановка задачи

1.2.2. Формальное построение решения

1.2.3. Критерий единственности решения

1.2.4. Обоснование существования решения

1.2.5. Устойчивость решения

Глава 2. Нелокальные обратные задачи для уравнения смешанного

типа с разными правыми частями

§ 2.1. Обратная задача с нелокальным граничным условием первого рода

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Формальное построение решения

2.1.3. Критерий единственности решения

2.1.4. Обоснование существования решения

2.1.5. Устойчивость решения

§ 2.2. Обратная задача с нелокальным граничным условием второго рода

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Формальное построение решения

2.2.3. Критерий единственности решения

2.2.4. Обоснование существования решения

2.2.5. Устойчивость решения

Библиографический список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа»

Введение

Исследование краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к этому типу уравнений объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в газовой динамике, теории околозвуковых течений, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях науки.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми [77] и С. Геллерстедта [88].

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явилась работа Ф.И. Франкля [78], в которой он обнаружил важные приложения теории уравнений смешанного типа к проблемам трансзвуковой газовой динамики.

Дальнейшим развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль [79],[80], A.B. Бицадзе [8, И], К.И. Бабенко [3], C.S. Morawetz [89], M.N. Protter [90, 91], Л. Берс [5], В.Ф. Волкодавов [14], В.Н. Врагов [15, 16], Т.Д. Джураев [18],

B.И. Жегалов [19, 20], А.Н. Зарубин [21], И.Л. Кароль [30], Н.Ю. Капустин [29], Ю.М. Крикунов [35], А.Г. Кузьмин [36], O.A. Ладыженская [40], Е.И. Моисеев [44], A.M. Нахушев [46], Н.Б. Плещинский [48],

C.П. Пулькин [51], O.A. Репин [54], К.Б. Сабитов [57], М.С. Салахитдинов [67], М.М. Смирнов [72], А.П. Солдатов [74, 75], P.C. Хайруллин [81], М.М. Хачев [82, 83] и другие. В работах этих авторов помимо задач Трикоми и Геллерстедта поставлены и исследованы новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, одним из примеров которых являются нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. Это связано с тем, что математическими моделями различных физических, химических и биологических процессов часто являются задачи, в которых вместо классических краевых условий задается определенная связь значений искомой функции или её производных на границе области.

Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф.И. Франкля [79], A.B. Бицадзе [6, 7], В.И. Жегалова [19, 20], J.R. Cannon [85, 86], Л.И. Камынина [28],

A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [9], A.B. Бицадзе [10], A.M. Нахушева [46], А.П. Солдатова [73], В.А. Ильина [24], Н.И. Ионкина [25, 26], Н.И. Ионкина и Е.И. Моисеева[27], A.A. Самарского [68], A.JI. Скубачевского [71], М.Е. Лернера и O.A. Репина [41] - [43], Е.И. Моисеева [45], JI.C. Пулькиной [52], [53], А.И. Кожанова [33], К.Б. Сабитова [58] и других.

В трансзвуковой газовой динамике Ф.И. Франкль [79] впервые для уравнения Чаплыгина К(у)ихх + иуу — 0, где Ä"(0) — 0, К'(у) > 0, поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия и(0, у) — и{0, —у) — f(y), 0 < у < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. A.B. Бицадзе [6] доказал существование и единственность решения задачи Франкля для уравнения Лаврентьева

д2и , чд2и л

+ = (1)

а также единственность решения этой задачи для уравнения Чаплыгина

Pi-

В.И. Жегалов [19] рассмотрел в области D, ограниченной при у > 0 простой кривой Жордана Г с концами в точках А(0,0) и В( 1,0), а при у < 0 - характеристиками х + у — 0 и х — у — 1 уравнения (1), задачу о нахождении решения и(х,у) уравнения (1), удовлетворяющего условиям

11 1

и = <р(х,у), (х,у)е Г, а(х)и(х, -х)+Ь(х)и(х+-,х--) = с(х), 0 < х <

кроме того на отрезке задаются обобщенные условия склеивания. Им доказано существование и единственность решения данной задачи.

В работе A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [9] изучена задача о нахождении в прямоугольнике {(х,у)\ — I < х < 1,0 < у < 1} гармонической функции и(х, у), удовлетворяющей условиям

и(х, 0) = <pi(x), и{х, 1) = <ß2(x), — I < х <

«Н, у) - <Рз {у), и( 0, у) = и(1, у), 0<у<1.

Единственность решения доказывается на основании принципа экстремума. Существование решения вытекает из разрешимости интегрального уравнения, эквивалентного поставленной задаче.

Исследованию нелокальных краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического и смешанного типов посвящено большое количество работ A.M. Нахушева [46], [47].

Н.И. Ионкин [25] рассмотрел в прямоугольнике {(ж,£)[0 < х < 1, 0 < t <Т} задачу для уравнения теплопроводности

об отыскании его решения удовлетворяющего нелокальному

интегральному условию

а также граничному и начальному условиям: v{0>t) = 0 < t <

Т, 0) = г>о(ж), 0 < х < 1. Им получены априорные оценки для решения задачи по начальной функции и правой части в нормах L/2 и С. Идея доказательства существования решения основывается на возможности разложения начальной функции в биортогональный ряд по системе корневых функций несамосопряженной одномерной задачи на собственные значения.

Краевые задачи с нелокальными интегральными условиями для гиперболических дифференциальных уравнений изучены в работах А.И. Кожанова и Л.С. Пулькиной [33], [52], [53].

М.Е. Лернер, O.A. Репин [42] в полуполосе G = {(я,г/)|0 < х < 1, у > 0} исследовали задачу, в которой требуется найти функцию и{х, у), удовлетворяющую условиям:

и(х,у) £ C(G) П C\G U {х = 0}) П C2(G); ymuxx + иуу = 0, (х, у) € G, m> -1;

и(х, у) —0 при у —> +оо равномерно по х G [0,1]; и(0, у) - и( 1, у) = tpi(y), их(0, у) - ср2(у), у > 0; и(х, 0) = т(х), 0<х<1,

где т{х), (р1(у), <Р2(у) ~ заданные достаточно гладкие функции, причем т(х) ортогональна к системе функций 1, соз(2тг 4-1)7гж, п = 0,1,2,... .

Е.И. Моисеев [45] исследовал нелокальную задачу в полуполосе С для вырождающегося на границе эллиптического уравнения:

(2)

Утихх + иуу = 0, т > -2;

w(0, у) = и( 1, у), их{0, у) = 0, з/ > 0, и(х, 0) = /(ж), 0 < ж < 1,

н классе функций и € C(G) П C~{G) в предположении, что и(х, у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Решение задачи построено в виде суммы биортогонального ряда. Единственность и существование решения доказаны методом спектрального анализа.

К.Б. Сабитов [57] рассмотрел задачу Дирихле для уравнения смешанного типа

Lu = signt • |t\muxx Hb utt - b2signt ■ \t\mu = 0, (3)

где m — const >0,6 = const > 0, в прямоугольной области D = {(ж,£)|0 < x < 1, —a <t<P}, a, ¡3 - заданные положительные числа, со следующими условиями:

и € C(D) П C\D) П C2(£L U £>+);

Lu(x,t) = 0, (x,t) € D- U D+,

u(0,t) = u(l,t) — 0, -a<t< /3;

и(х, /?) = /(ж), —а) = ^(ж), 0 < х < 1,

здесь / и д- заданные достаточно гладкие функции, D+ = D П {;?/ > 0}, £)_ = D П {у < 0}. Установлен критерий единственности. Существование решения поставленной задачи доказано на основе спектрального метода решения краевых задач.

К.Б. Сабитовым и О.Г. Сидоренко [62] для уравнения (3) в прямоугольной области D также установлен критерий единственности и найдены достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи с условиями периодичности w(0, t) = u(l, t), ux(0, t) = ux( 1, t), —a <t<(3, и локальными условиями u(x, (3) = ip(x), u(x, —a) = ф(х), 0 < x < 1.

В работе Сабитова К.Б. [58] поставлена краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием (2) доказаны теоремы единственности, существования и устойчивости решения.

В работах Ю.К. Сабитовой [64] - [66] изучены задачи для уравнения (3) в прямоугольной области D со следующими нелокальными условиями:

w(0,t) = w(l, t) или их(0, t) = ux(l,t), —a<t<(3,

в сочетании с другими локальными граничными данными. Доказаны соответствующие теоремы единственности и существования решения поставленных задач.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных обратных задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе.

Обратные задачи возникают во многих разделах науки: квантовой теории рассеяния, электродинамике, акустике, геофизике (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономии и других областях естествознания. Это связано с тем, что значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных, а именно свойства среды на практике часто бывают неизвестны.

Различные обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались во многих работах. Отметим здесь прежде всего работы Тихонова А.Н. [76], Лаврентьева М.М. [37] - [39], Романова В.Г. [55], [56], Cannon J.R. [87], Иванова В.К., Васина В.В., Танана В.П. [23], Прилепко А.И. [49], [50], Денисова A.M. [17], Алексеева A.C., Бубнова Б.А. [1], [12], Баева A.B. [4], Кожанова А.И. [32], [34] и другие.

Сабитовым К.Б. и Сафиным Э.М. [59] - [61], [69], [70] изучены краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

lu=f ut - + b2u = fi(x), y> 0, 1 utt - uxx + b2u = f2(x), у < 0,

в прямоугольной области D — {(х,у)\ 0 < х < 1, — a < у < ß}, где неизвестными являются функции и(х,у) и fi(x), i = 1,2. Установлены критерии единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости решений рассматриваемых задач. Такие задачи относятся к классу обратных задач с неизвестным источником [39, с.20], [17, с. 123].

Начато также исследование краевых задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа, связанных с поиском правой части. В работе Сабитова К.Б. и Хаджи И.А. [63] для уравнения Лаврентьева-Бицадзе рассмотрена краевая задача с локальными граничными данными и неизвестной одинаковой правой частью, зависящей только от одной переменной, установлен критерий единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости.

В отличие от этих исследований в данной работе рассматриваются нелокальные обратные задачи для уравнений эллиптико-гиперболического типа. Отличительной особенностью нелокальных задач для данного класса уравнений является то, что система собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи не полна. В связи с этим при решении таких задач спектральным методом необходимо рассматривать присоединенные функции. Это усложняет построение решения и доказательство корректности задачи. Решения задач строятся в виде сумм биортогональных рядов. При этом возникают малые знаменатели, затрудняющие сходимость этих рядов. А в связи с тем, что

рассматриваемое уравнение есть уравнение эллиптико-гиперболического типа, для доказательства сходимости построенных рядов требуется установить более сильные оценки, чем в работах [59] - [61], [68], [ТО].

Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений обратных задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа

Lu = ихх + sgny • иуу - b2u = f(x, у) = j j' ^ ^ jj' (4)

в прямоугольной области.

В главе 1 исследуются обратные задачи для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа, связанные с поиском одинаковых правых частей. Методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

Рассмотрим уравнение эллиптико-гиперболического типа (4) при fi(x) = /2(ж) = f(x), т.е. уравнение

Lu = ихх + sgny • иуу — b2u = /(ж), (5)

в прямоугольной области D = {(ж, у)\ 0 < х < 1, ~а < у < /3}, где а > О, ¡3 > 0, 6 > 0 - заданные действительные числа. Для уравнения (5) в этой области поставлены и решены следующие обратные задачи.

Задача 1.1. Найти в области D функции и(х,у) и f{x), удовлетворяющие условиям:

и е Cl{D) П C\D_ U D+); f(x) € С(0,1) П L[0,1]; (6)

Lu = /(s),(®,y)€ 0-UD+; (7)

и(х,(3) = <р(х), и(х, —а) = ф(х), иу{х, —а) = g(x), 0 < х < 1; (8)

«(О, у) = и{ 1, у), их(0, у) = 0, —а <у<{3, (9)

где (р(х), ф(х) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, (р(0) = <р(1),ф(0) = ф{1), <¿(0) = ф'{0) = 0, D+ = DH{y > 0}, Г>_ = Df){y < 0}.

Задача 1.2. Найти в области D функции и(х,у) и f(x), удовлетворяющие условиям (6) - (8) и

их{0,у)=их(1,у), «(1, у) = 0, -а<у<0; (10)

здесь (р(х), ф(х) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, ^'(0) =

При решении задач 1.1 и 1.2 применяются системы корневых функций одномерной спектральной задачи для уравнения

X"(x) + ÁX{x) = 0, 0 < ж < 1,

с соответствующими граничными условиями

хт = х(1), Х'(0) = 0 и Х'(0)=Х'(1), Х'(1) = 0:

1, {cos 2тгкх}^ь {ж sin 2irkx}f=1-, (11)

2(1-ж), {4(l-£)cos27rfor}£Lb {4 sin 27^}^, (12)

которые построены в работах [24], [25], [45]. Они являются биортонормированными системами, полны и образуют базис в пространстве 1^2(0,1).

Решение задачи 1.1 построено в виде сумм рядов по системе функций (11):

ОО 00

и(х,у) = То(у) + ^2т2к-\(у) cos2якх + T2k(y)xsm2vkx, (13)

к=1 к=1

f(x) = /о + f'2к~1 cos 27гкх + ?2кХ sin (14)

к= 1

а коэффициенты рядов (13) и (14) определяются по системе функций (12):

i Л1

2о(у) = 2 / и(аг, 2/)(1 - Т2*(з/) = 4 / «(ж, г/) sin27rb;d£, Jo Jo

Т2к-\{у) = 4 I и(х, у)(1 — ж) cos 2wkxdx, Jo

/о = 2 I f(x)(l — x)dx, f2k — 4 I f(x)sm2ivkxdx, ' Jo Jo

Í2k-i = 4 I /(#)( 1 — x) c.os2'Kkxdx Jo

и находятся единственным образом при выполнении условий:

Да/ю(0) = Д«0й(*)|fc=a,*=0 = ~ 2«/? + /?2 ^ 0, (15)

— sin Afeü; sh. Afc/3 — cos Afcor ch А^/З + 1^0, (16)

где Ак = у/(27тк)2 + б2. Причем условия (16) должны быть выполнены при всех к € N (в случае 6 = 0) и & е М0 = N и {0} (в случае 6 > 0).

При а = (л/2 — 1 )(3 выражение Аа/?о(0) = 0, тогда однородная задача (6) - (9), где ip(x) = ф{х) = д(х) = 0, имеет ненулевое решение

щ(х,у) = Т0(у), fo(x) — /о, (17)

где

/о - произвольная отличная от нуля постоянная.

Если при некоторых а, (3, b и к = р Е N(No) нарушены условия (16), то задача (6) - (9), где tp(x) — ф(х) = д(х) = 0, имеет ненулевое решение

ир(х, у) = Тр(у) cos 27грх, fp(x) - fp cos 2icpx, (18)

где

тР(у)

Л-2 f / cos Ара sh Лру+sin Лра ch АРз/—sh Хр(у—/3) ~

ЛР h I cos \ра sh Лр/3+sin Хра ch \pj3 1) ' У U' л—2 f ( sin Xp(a+y)+cos Xpy sh Apj3-sin Xpy ch Apj3 \ ^

ЛР JP\ cosXpasbXp/3+smXpachXp0 L) ' ^ '

ф 0 - произвольная постоянная.

Условия (16) нарушаются только в том случае, когда

ф (—1)" _ п

агсзт(1/х/сЬ2Л^) + —, п = 0,1,2,. Лр Л« 2р

где = агс8т(сЬЛр/?/у/сЕ2ЛрД) —> тг/4 при р —> +оо.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.1.1. Если существует решение задачи (6) - то гари 6 > 0 око единственно только тогда, когда при всех к Е N0 выполнены условия (16); при Ь = 0 оио единственно только тогда, когда при всех к Е N выполнены условия (16) и (15).

При доказательстве единственности решения используется только полнота системы функций (12) в пространстве Ь2 [0,1].

Поскольку а, (3 и 6 - любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение Аарь{к), которое входит в знаменатели коэффициентов рядов (13) и (14), может стать достаточно малым, то есть возникает проблема "малых знаменателей"[2], [58]. В связи с этим, для обоснования существования решения надо показать существование чисел а, /3 и 6 таких, что при достаточно больших к выражение Аарь(к) отделено от нуля.

Справедлива следующая

Лемма 0.1.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = р - натуральное; 2) а = p/q £ N, p,q G N, (p, q) = 1, (q, 4) = 1, mo существуют положительные постоянные Co, ко £ N, вообще зависящие от а, (3, Ь такие, что при всех к > ко и любом фиксированном ¡3 > О справедлива оценка

¡A«M¿)I > Сое2^ > 0. (19)

Если для указанных а при некоторых k = I = к\, к2, ■ ■., кр < ко, где О < к\ < к2 < • • • < к{, i — 1,р и р - заданные натуральные числа, выражение Аарь{1) = Ü, то для разрешимости задачи (б) - (9) достаточно, чтобы выполнялись условия

<P¿ = Фз = 9j = 0, (20)

j z= 2к, 2к 1, к = I == к\, к2, • • •, кр,

где (pj, ijjj, g¿ - коэффиценты разложения в биортогональный ряд по ситемам функций (11) и (12) функций <р(х), ф(х), д(х) соответственно.

Тогда решение задачи (б) - (9) определяется в виде

/ fci-l к2-1 кр-1 +оо \

и(х,у) = 8дпк1-Т0(у)+ ( ]Г + +•••+ Е + Е х

1 k=h+l k-kp-t+l k=kp+lj

х [T2jfe_i(y) COS27Tkx + T2k{y)xSm27ckx] + (21)

i

íki-l k2-1 kp-l +oo \

f(x) = sgnh-fo+ £ +•••+ E + E x

yk=1 fc=A;i+l к=кр-i+l k-kp+lj

x [/2fe-l eos27ткх + f2kXsill2-ккх] + Qfl(x)> (22)

l

где щ{х,у) и fi(x) определяются по формулам (17), (18), С/ -произвольные постоянные, в сумме У\ индекс I принимает значения ki, к2,.. •, кр, sgnk\ = 0 при к\ = 0 и sgnk\ = 1 при к\ > 1. В случае, когда ki+1 — 1 < ki + 1, г — 1,р, соответствующую сумму X^+i"1 следует считать равной нулю.

Теорема 0.1.2. Пусть <р{х) е С3[0,1], <р(0) = (р(1), <р'(0) = О, ^•"(0) = ^'(1), ф(х) е с3[о,i], ф(о) = ф{1), ф'(0) = о, Ф"(0) = Ф"( 1), д{х) € С2[0,1], #(0) = #(1), </(0) = 0 и выполнены условия (15) и (19) при всех к > ко. Тогда если Аарь(к) ф 0 при всех к < ко, то существует единственное решение задачи (6) - (9), где функции и(х,у) и f(x) определяются соответствующими рядами (13) и (14)',

<><- он. Аадь(к) = 0 при некоторых к = I = к1,К2,...кр < ко, то задача (6) - (9) разрешима тогда, когда выполнены условия (20) и решение в этом случае определяется рядами (21) и (22).

При обосновании устойчивости построенного решения (13) и (14) вводятся следующие нормы:

(} \

\í )

х 1/2

I/WII»? = ( / (¿ 1/(Ч WI2) dx ) , п 6 No.

\0 ^^ / / Теорема 0.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.1.2 и Ааръ{к) ф О при всех к < ко. Тогда для решения (13), (14) задачи (6) - (9) имеют место оценки:

< N01 (ЦИЬг + \\Ф\\ь<2 + 1Ы|£з) 5

И/МНъ < N02 (\м\щ2 +\\ф\\щ + Мщ),

\Ф>у)\\с(р) ^ ^03 (\M\wi + \W\wi + 1Ы1ж°),

11/М11с[0,1] < ^04 (Мк + \W\wi + \\9Wwi), где постоянные N01 не зависят от <р(х), ф(х), д(х).

Решение задачи 1.2 построено в виде сумм биортогональных рядов

00 оо

- ас) cos 2nkx,

Ь=1 k-1

00 00

f(x) = /0(1 - x) + /2jfc-1 sin 2nkx + hk(1 - x) cos 2wkx,

k-1 fc=l где теперь коэффициенты Tk(y) и , к = 0,1,2,..., определяются в отличие от задачи 1.1 по системе (11). Здесь также установлен критерий единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости решения.

Глава 2 посвящена изучению обратных задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с различными правыми частями. Методом спектральных разложений установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений поставленных обратных задач.

Для уравнения (4) при /] (х) ф /2 (ж) поставлены и исследованы следующие обратные задачи.

Задача 2.1. Найти в области Б функции и{х,у) и /(х,у),

удовлетворяющие условиям:

и е Cl{D) П C2(£L U D+); (23)

ji\x) G С(0,1) П L[0,1], ¿ = 1,2; (24)

Lu = f(x,y),(x,y)eD_UD+- (25)

и(х,(3) — <р{х), и(х, —а) = ^(¡с), 0 < х < 1; (26)

иу(ху(3) = х(ж), = 0 < х < 1; (27)

«(О,у) = ti(l, у), их(0, ?/) = 0, —а <у<(3, (28)

где (р(х), ф(х), х(ж) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, <¿>(0) = <¿>(1), ^(0) = ф(1), <f'(0) - ^(0) = 0, D+ = D п {у > 0}, D- = ПП{у< 0} .

Задача 2.2. Найти в области D функции и(х,у) и f(x,y), удовлетворяющие условиям (23) - (27) и

««(О, у) = их{ 1, у), и(1, у) = 0, —а <у<(3, (29)

где , ф{х), х(х) и д(х) ~ заданные достаточно гладкие функции, /(0) = у/(1), ^(0) = ^(1), tp(l) = ^(1) = 0, £>+ = D п {у > 0}, = i>n {2/ < 0} .

Решение задачи 2.1 аналогично задаче 1.1 построено в виде сумм биортогональнальных рядов по системам функций (11) и (12):

оо оо

и(х, у) = То(у) + T2k-i(y) cos 2-ккх + ^ Т2к(у)х sin 2тгкх, (30)

к= 1 fc= 1

ОО 00

fi,2k—l COS lllkx + fi,2kx sin ¿ = 1,2, (31)

коэффициенты которых определяются единственным образом, если при всех к € No (в случае & > 0) и fc 6 N (в случае 6 = 0) выполнены условия

&а/зь(к) = sh \ф — sin Afea + sin A^a ch — eos sh Аф Ф 0. (32)

Если при некоторых а, 0, b и к = р Е N(No) нарушены условия (32), то однородная обратная задача (23) - (28) (где ср(х) = 0, ф(х) = 0, д(х) = 0, х{х) = 0) имеет ненулевое решение

ир(х, у) = ир(у) cos 2жрх, (33)

í

uP(y) = { [

f {1-cosAparcaAp{y-P)-L) > a

JP (eos Apa ch Ap/3+sin Apa sh Ap/3—eos Apa)' " '

f (ch Ap/?-l) cos Xpy+sh Ap/3 sin Ap(^+a)-sh Ap/? sin ^

A? ' JP AS icos A

1 _ ПГ\Q \

fiP(x) = fP-7-, х д ^ -— cos 27Грх, (34)

^ сов лра ch ЛрР + sm Лра sh лрр — cos лра

¡2Р(х) = fpcos2npx, (35)

где fp - произвольная отличная от нуля постоянная.

При фиксированных к = р Е No, 6 > О (р G N, 6 = 0) и 0 > О выражение Да/%(р) = 0 только в том случае, когда

о; = ——, те N, (36)

Лр

или

2-кп 2 (рр . \р0 ,

а — —---г , (рр = arcsm(sh -4— /д/chApp), п G N.

Ар Ар 2

Теорема 0.2.1. Если существует решение задачи (23) - (28), то оно единственно только тогда, когда при всех k G No (при всех к G N в случае, когда Ъ — 0) выполнены условия (32).

Выражение Аа0ъ(к) входит в знаменатели коэффициентов рядов (30) и (31), определяющих решение задачи. В связи с этим необходимо ответить на вопрос при каких а, 0, Ь выражение Аарь{к) отделено от нуля. Отметим, что при 6 = 0 выражение (36) принимает вид а = т/к. Поэтому, когда а принимает рациональные значения, Ааро(к) — 0. Следовательно, для таких а нарушается единственность решения задачи 2.1.

Лемма 0.2.1. Если а > 0 является любым алгебраическим числом степени п > 2 и Ь = 0, то существуют положительные постоянные 00 и Со, вообще говоря, зависящие от а, такие, что при всех 0 > 0q и k G N справедливы оценки

¡A^0(fc)| > е2^^, п > 2, (37)

|Aa^W|>e2^, п = 2, (38)

где е > 0 - заданное достаточно малое число.

Отметим, что каждое иррациональное число а единственным образом разлагается в бесконечную цепную дробь а = [«о, «ь a2i ат •••], при этом целые числа ao,ai,a,2,... называются элементами числа а. Как известно [84], элементы всякой квадратической иррациональности ограничены.

Лемма 0.2.2. Пусть а - положительное иррациональное число с неограниченными элементами и Ь = 0. Тогда для любого е > О существует бесконечное множество целых чисел к > 0, таких, что

кет, (Зу)

где С\ - положительное число.

Из доказанной оценки (39) следует, что для таких а > 0, выражение Ааро(к), которое является знаменателем коэффициентов ряда, определяющего решение задачи, может быть сделанным сколь угодно малым. Поэтому в этом случае решение задачи 2.1 в виде сумм рядов (30) - (31) не существует.

Лемма 0.2.3. Если Ь - положительное действительное число и выполнено одно из условий: 1) а = р - натуральное; 2) а = р/д, р/д £ М, 6 М, (р, д) = 1, то существуют положительные постоянные ко и Со, вообще говоря, зависящие от а, ¡3 и Ь, такие, что при всех к > ко справедлива оценка

\Аа/зь(к)\ > (40)

Лемма 0.2.4. Если а является любым алгебраическим числом степени п = 2 и Ь - положительное действительное число, то существуют положительные постоянные ко, &о и Со, вообще говоря, зависящие от а, (3 и Ь, такие, что при всех к > ко и Ь <Ьо справедлива оценка

\Ьарь(к)\ > (41)

Если для а и 6, удовлетворяющих условиям лемм 0.2.3, 0.2.4, при некоторых к = I = к\, •.., кр < ко, где 0 < к\ < < ... < кр, кг, г = 1,р и р - заданные натуральные числа, выражение Да/%(/) — 0, то для разрешимости задачи (23) - (28) достаточно, чтобы выполнялись условия

Фз = Ч>3 = 9з = Xj = 0, (42)

2 ¿к, Ик 1, к — I — к~[, ..., кр,

где (р!, фj, <7?-, х? коэффициенты разложения в биортогональный ряд функций (р(х), ф(х), д(х), %(ж) соответственно.

Тогда решение задачи (23) - (28) определяется в виде

/&1-1 к2-1 кр-1 +оо \

и(х,у) = здпк1.Т0(у)+ I] +•••+ I] Iх

\А;=1 к=кг+1 к=кр-1+1 к=кр+1/

X p2jfc_i(y) cos 2irkx + T2k{y)x sin 2irkx] + Qui(x, y), (43)

i

(кг-\ к2-1 V-1 +00 \

fi{x) = sgnki • fL0 + ( J] + J2 + ••• + + zl I X

x [/ii2fc-i COS 2irkx + fi,2kX sin 2nkx] + Qfi,i (®) > (44)

i

где щ(х, у) и fij(x) определяются соответственно по формулам (33) - (35), C¡ - произвольные постоянные, в сумме ^ индекс I принимает значения къ к2,.. •, кр. В случае, когда — 1 < -f 1, г = 1,р, соответствующую сумму 2Jjfc-+i будем считать равной нулю.

Будем считать, что граничные функции удовлетворяют условиям (А): если ф),ф(х) € С5[0,1], ¥>(0) = <¿>(1), ^(0) = 0, <¿/'(0) - ¿'{1),

у/"(0) = О, У^(О) = /F(1), ^(0) - Ф( 1), ^(0) = о, ф"(0) = ф"( 1), фш{$) = 0, ф1У(0) = Ф1У( 1), € с4[0,1], х(0) = х(1), х'(0) = 0,

х"(0) = Х"(1), х"'(0) = 0, 5(0) = д( 1), д'(0) = 0, /(0) = ^(1),

и условиям (В): если выполнены условия (А) и дополнительно потребуем, что ф),ф{х) е С7[0,1], <ру(0) = 0, ipVI{0) - ipVI( 1), ^F(0) = 0, ^(0) - фУ1( 1), G С6[0,1], х^(0) = x/y(i), XF(0) - О,

д1у(0) = д1у(1), ду(0) = 0.

Тогда доказаны следующие утверждения.

Теорема 0.2.2. Пусть граничные функции удовлетворяют условиям

(A) и выполнена оценка (40) при к > ко. Тогда если Аарь(к) ф 0 при всех к < ко, то существует единственное решение задачи (23) - (28), которое определяется рядами (30) и (31); если Аарь{к) = 0 при некоторых к =

• • • кр < ко, то задача (23) - (28) разрешима тогда, когда выполнены условия (42) и решение определяется рядами (43) и (44)-

Теорема 0.2.3. Пусть граничные функции удовлетворяют условиям

(B) и выполнена оценка (41) при к > ко. Тогда если Аа/зъ{к) ф 0 при всех к < ко, то существует единственное решение задачи (23) - (28), которое определяется рядами (30) - (31); если Аа0ь(к) — 0 при некоторых к =

к2,...кр<ко, то задача (23) - (28) разрешима тогда, когда выполнены условия (42) и решение определяется рядами (43) и (44)-

Теорема 0.2.4. Пусть граничные функции удовлетворяют условиям (В) и выполнена оценка (38). Тогда существует единственное решение задачи (23) - (28), где функции и(х,у) и f(x,y) определяются рядами (30) и (31).

Теорема 0.2.5. Пусть граничные функции удовлетворяют условиям (В), кроме того <р(х),ф(х) <Е С7+6[ 0,1], x(x),g(x) € С6+<*[0,1]; 2 е <6 < 1, и выполнена оценка (37). Тогда существует единственное решение задачи (23) ~ (28), где функции и(х,у) и f(x,y) определяются рядами (30) и (31).

Теорема 0.2.6. Пусть выполнены условия теоремы 0.2.2 и выражение Äaßb(k) ф 0 при всех k < к о. Тогда для решения (30) - (31) задачи (23) -(28) имеют место оценки:

IN®, У)\\ь2 < K01 (|Мк| + U\\w* + \\g\\wi + ||*|k),

\\fi(x)\\L2 < К02 (|Мк + Мк + Mw? + И*М , * = 1,2,

\Нх>У)\\с(В) < ^оз (|Мк| + \M\wi + h\\wi + llxlk) , ||/г-М||с[0,1] < ^04 (II <p\\w$ + IMk| + 1Ык24 + IM к) , * = 1,2,

где постоянные Koi не зависят от tp(x), ф{х), g(x), .

Теорема 0.2.7. Пусть выполнены условия теоремы 0.2.3 и выражение Aaßb(k) ф 0 при всех к < ко или выполнены условия теоремы 0.2.4• Тогда для решения (30) - (31) задачи (23) - (28) имеют место оценки:

\\Ф,у)\\ь < Коъ (IMк + Mwi + 1Ык + I\x\\wi) , \\fi(x)\\L2 < к06 (|Мк6 + UWwi + \\g\\wi + llxllw|), * = 1,2, Mx,y)\\c(D) < к07 (IMk| + IMk25 + \\9\\wj + llxlk) »

||/г(ж)11с[0Д] < #08 (lMk + Ми? + ll^llW* + llxlkl) , i = 1, 2,

где постоянные Koi не зависят от ip(x), ф{х), g(x), х{х) ■

Теорема 0.2.8. Пусть выполнены условия теоремы 0.2.5. Тогда для решения (30) - (31) задачи (23) - (28) имеют место оценки:

\\Ф,У)\\1* < Код (|Мк + \W\wi + 1Ык24 + llxlk24) ,

\\Mx)\\l2 < Кою (IMк + W\wl + 1Ык| + llxlkl) , « = 1,2,

\\Ф,у)\\c(d) < Kon (IMк + IMk + 1Ык + llxiki), ll/iMllc[0,i] < ^012 (IMk + W\wz + Ыk| + llxlk). г = 1,2,

где постоянные Koi не зависят от <р(х), ф{х), д{х), .

Для задачи 2.2 получены аналогичные результаты, а именно, установлен критерий единственности, решение построено в виде сумм биортогональнальных рядов, обоснована сходимость рядов в классах функций (23), (24) и доказана устойчивость решения.

Таким образом на защиту выносятся следующие результаты.

1. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с неизвестной одинаковой правой частью, зависящей только от одной переменной, в прямоугольной области с нелокальными граничными условиями первого и второго родов. Для каждой из поставленных задач установлен критерий единственности, решение построено в виде сумм биортогональных рядов с обоснованием сходимости в соответствующем классе функций, доказана устойчивость решения по граничным данным.

2. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с неизвестными разными правыми частями, каждая из которых зависит от одной переменной, в прямоугольной области с нелокальными граничными условиями первого и второго родов. Для каждой из поставленных задач установлен критерий единственности, решение построено в виде сумм биортогональных рядов с обоснованием сходимости в соответствующем классе функций, доказана устойчивость решения по граничным данным.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах по теории дифференциальных уравнений имени С.П. Пулькина при Поволжской государственной социально-гуманитарной академии и Институте прикладных исследований АН РБ (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов, 2009

- 2011 гг.), на семинарах: кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (научный руководитель

- д.ф.-м.н.,профессор Л.С. Пулькина, 2010 - 2011 гг.), кафедры дифференциальных уравнений Казанского федерального университета (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор В.И. Жегалов, 2011 г.) и НИУ БелГУ (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор А.П. Солдатов, 2011 г.), а также на следующих всероссийских и международных конференциях: 1. Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (г. Москва, 30 марта - 2 апреля 2009 г.). 2. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании", посвященная 100-летию БашГУ (г. Уфа, 2-6 октября 2009 г.). 3. Вторая всероссийская научно-практическая конференция "Интегративный характер современного математического образования",

посвященная памяти заслуженного деятеля науки РФ, члена-корреспондента РАЕ, доктора физико-математических наук, профессора В.Ф. Волкодавова (г. Самара, 26 - 28 октября 2009 г.). 4. Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"(г. Самара, 3-6 июня 2010 г.). 5. Вторая Международная конференция "Математическая физика и ее приложения "(г. Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 г.). 6. Девятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2010"(г. Казань, 1-6 октября 2010 г.). 7. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г. Петровского (г. Москва, 30 мая - 4 июня 2011 г.). 8. Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Самара, 26 - 30 июня 2011 г.). 9. Всероссийскя конференция с международным участием "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Стерлитамак, 27 -30 июня 2011 г.). 10. Международная конференция "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел "(г. Белгород, 17 - 21 октября 2011 г.). 11. Десятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2011 "(г. Казань, 31 октября -4 ноября 2011 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мартемьянова, Нина Викторовна, 2012 год

Библиографический список

[1] Алексеев, A.C.: Устойчивость решения совмещенной обратной задачи гравики и сейсмики / A.C. Алексеев, Б.А. Бубнов// Докл. АН СССР. - 275(2). - С. 332 - 335 (1984).

[2] Арнольд, В.И.: Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике / В.И. Арнольд // УМН. - 163. - T.XVIII. - Вып. 6 (114). - С. 91 - 192.

[3] Бабенко, К.И.: О задаче Трикоми / К.И. Бабенко // ДАН СССР. -291(1). - С. 14 - 19 (1986).

[4] Баев, A.B.: Единственность решения обратной задачи для уравнения акустики и обратная спектральная задача /A.B. Баев // Матем. заметки. - 47(2). - С. 149 - 151 (1990).

[5] Берс, Л.: Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. - М.: ИЛ. - 1961. - 208 с.

[6] Бицадзе, A.B.: Об одной задаче Франкля / A.B. Бицадзе// Докл. АН СССР. - 109(6). - С. 1091 - 1094 (1956).

[7] Бицадзе, A.B.: О единственности задачи Франкля для уравнения Чаплыгина / A.B. Бицадзе// Докл. АН СССР. - 112(3). - С. 375 -376 (1957).

[8] Бицадзе, A.B.: Уравнения смешанного типа / A.B. Бицадзе. - М.: Изд-во АН СССР. - 1959. - 164 с.

[9] Бицадзе, A.B.: О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // Докл. АН СССР. - 185(4). - С. 739 - 740 (1969).

[10] Бицадзе, A.B.: К теории нелокальных краевых задач / A.B. Бицадзе // Докл. АН СССР. - 27.7(1). - С. 17 - 19 (1981).

[11] Бицадзе, A.B.: Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе - М.: Наука. - 1981. - 448с.

[12] Бубнов, Б.А.: К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений / Б.А. Бубнов - Новосибирск. - 1989. (Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр, №87-714).

13

14

15

16

17

18

19

20 21 22 23

Бухштаб, A.A.: Теория чисел / A.A. Бухштаб. - М.: Просвещение. -1966. - 384с.

Волкодавов, В.Ф.: Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис ... д-ра физ.-мат.наук. Казань: КГУ, 1969.

Врагов, В.Н.: К теории краевых задач для уравнений смешанного типа /В.Н. Врагов // Дифференциальные уравнения. - 13(6). - С. 1098 - 1105 (1977).

Врагов, В.Н.: Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики /В.Н. Врагов. - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т. - 1983.

Денисов, A.M.: Введение в теорию обратных задач / A.M. Денисов, -М.: МГУ. - 1994. - 208с.

Джураев, Т.Д.: Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев. - Ташкент: Фан. - 1986.

- 240 с.

Жегалов, В.И.: Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та. -122. - кн. 3. - С. 3 - 16 (1962).

Жегалов, В.И.: Задача Франкля со смещением / В.И. Жегалов // Известия вузов. Математика. - №9. - С. 11 - 20 (1979).

Зарубин, А.Н.: Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А.Н. Зарубин // Орен. гос. ун-т. - 1999. - 225 с.

Зигмунд, А.: Тригонометрические ряды / А. Зигмунд. - 1. - М.: Мир.

- 1965. - 616с.

Иванов, В.К.: Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. - М.: Наука. -1978. - 206 с.

[24] Ильин, В.А.: О существовании приведенной системы собственных и присоединенных функций у несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора / В.А. Ильин // Труды Матем. института им. В.А. Стеклова. - 142. - С. 148 - 155 (1976).

[25] Ионкин, Н.И.: Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференциальные уравнения. - 13(2). - С. 294 -304 (1977).

[26] Ионкин, Н.И.: Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференциальные уравнения. - 15(7). - С.1279 -1283 (1979).

[27] Ионкин, Н.И.: О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями / Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев //Дифференциальные уравнения. - 15(7). - С. 1284 -1295 (1979).

[28] Камынин, Л.И.: Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями/ Л.И. Камынин, // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 4(6). - С. 1006- 1024 ( 1964).

[29] Капустин, Н.Ю.: К теории уравнений смешанного типа / Н.Ю. Капустин // Дифференциальные уравнения. - 18(6). - С. 1078 - 1080 (1982).

[30] Кароль, И.Л.: К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И.Л. Кароль // Матем. сборник. - 38(5). - С. 261 - 283 (1955).

[31] Келдыш, М.В.: О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений / М.В. Келдыш // Докл. АН СССР. - 77(1). - С. 11 - 14 (1951).

[32] Кожанов, А.И.: Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А.И. Кожанов / / Вычислительная математика и математическая физика. - 44(4). - С.694 - 716 (2004).

[33] Кожанов, А.И.: Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, Л.С. Пулькина // Докл. РАН,- 404(5). - С. 589 -592 (2005).

[34] Кожанов, А.И.: Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения / А.И. Кожанов // Докл. РАН. -409(6). - С. 740 -743 (2006).

[35] Крикунов, Ю.М.: К задаче трикоми для уравнения Лаврентьева-Вицадзе / Ю.М. Крикунов // Известия вузов. Математика. - №2 (141).

- С.76 - 81 (1974).

[36] Кузьмин, А.Г.: Неклассические уравнения смешанного типа ц их приложения в газодинамике / А.Г. Кузьмин - Л.: Изд-во ЛГУ. - 1990.

- 280 с.

[37] Лаврентьев, М.М.: Об одной обратной задаче для волнового уравнения / М.М. Лаврентьев // Докл. АН СССР. - 157(3). - С. 520 (521 - 1964).

[38] Лаврентьев, М.М.: Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.Т. Шишатский. - М.: Наука. - 1980. - 286 с.

[39] Лаврентьев, М.М.: Одномерные обратные задачи математической физики / М.М. Лаврентьев, К.Г. Резницкая, В.Г. Якно. - Новосибирск: Наука СО. - 1982. - 88 с.

[40] Ладыженская, O.A.: Об уравнениях смешанного типа / O.A. Ладыженская, Л. Ступялис // Вестник ЛГУ. Серия мат., мех. и астр. - 19(4). - С.38 - 46 (1965).

[41] Лернер, М.Е.: Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Сибирский математический журнал. - 40(6). - С. 1260 - 1275 (1999).

[42] Лернер, М.Е.: О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Дифференциальные уравнения. - 35(8). - С. 1087 - 1093 (1999).

[43] Лернер, М.Е.: Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Дифференциальные уравнения. - 37(11). - С. 1562 - 1564 (2001).

[44] Моисеев, Е.И.: Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев - М.: Изд-во МГУ. - 1988. - 150 с.

[45] Моисеев, Е.И.: О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев //Дифференциальные уравнения. -35(8). - С. 1094- 1100 (1999).

[46] Нахушев, A.M.: О некоторых новых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев //Дифференциальные уравнения. - 5(1). - С. 44

- 59 (1969).

[47] Нахушев, A.M.: Задачи со смещением для уравнений в частных производных / A.M. Нахушев - М.: Наука. - 2006. - 287 с.

[48] Плещинский, Н.Б.: К решению граничных задач для обобщенного уравнения Трикоми методом интегральных уравнений ] Н.Б. Плещинский // Труды семинара по краевым задачам. КГУ.

- Вып. 16. - С. 112 - 125 (1979).

[49] Прилепко, А.И.: О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением / А.И. Прилепко, А.Б. Костин // Матем. сборник. - 183(4). - С. 49 - 64 (1992).

[50] Прилепко, А.И.: Свойства решений параболического уравненияи единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // Журн. выч. матем. и матем. физ. - 43(4). - С. 562 - 570 (2003).

[51] Пулькин, С.П.: Избранные труды / С.П. Пулькин - Самара. Универс групп. - 2007. - 264 с.

[52] Пулькина, JI.C.: Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения/ JI.C. Пулькина, //Математические заметки. - 74(3). - С. 435 - 445 (2003).

[53] Пулькина, JI.C.: Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / JI.C. Пулькина // Дифференциальные уравнения - 40(7). - С. 887 - 892 (2004).

[54] Репин, O.A.: Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типа и дробное интегродифференцирование: автореферат дисс. ... д.ф.-м.н. / O.A. Репин. - Минск, 1998. - 30с.

[55] Романов, В.Г.: Одномерная обратная задача для телеграфного уравнения / В.Г. Романов // Дифференциальные уравнения. - 4(1).

- С. 87 - 101 (1968).

[56] Романов, В.Г.: Об оценке устойчивости решения обратной задачи для гиперболического уравнения / В.Г. Романов // Сиб. матем. журн. -39(1). - С. 436 - 449 (1998).

[57] Сабитов, К.Б.: Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Докл. РАН. - 413(1). -С. 23 - 26 (2007).

[58] Сабитов, К.Б.: Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием / К.Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. - №10. - С. 1468 -1478 (2010).

[59] Сабитов, К.Б.: Обратная задача для уравнения параболо-гипербо-лического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Докл. РАН. - 429(4). - С. 451 - 454 (2009).

[60] Сабитов, К.Б.: Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Известия Вузов. Математика. - №4. - С. 55 - 62 (2010).

[61] Сабитов, К.Б.: Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Математические заметки. - 87(6). - С. 907 - 918 (2010).

[62] Сабитов, К.Б.: Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа / К.Б. Сабитов, О.Г. Сидоренко // Дифференциальные уравнения. - 46(1). - С. 105 — 113 (2010).

[63] Сабитов, К.Б.: Краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с неизвестной правой частью / К.Б. Сабитов, И.А. Хаджи // Известия Вузов. Математика. - №. - С. 44 - 52 (2011).

[64] Сабитова, Ю.К.: Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной области: автореферат дисс. ... к.ф.-м.н. / Ю.К. Сабитова. Стерлитамак, 2007. 20с.

[65] Сабитова, Ю.К.: Нелокальные начально-граничные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения / Ю.К. Сабитова // Известия Вузов. Математика. - №12 - С. 49 -58 (2009).

[66] Сабитова, Ю.К.: Критерий единственности решения нелокальной задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа в

прямоугольной области / Ю.К. Сабитова // Дифференциальные уравнения. - 46(8). - С. 1205 -1208 (2010).

[67] Салахитдинов, М.С.: Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Салахитдинов - Ташкент: Фан., 1974. - 156 с.

[68] Самарский, A.A.: О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / A.A. Самарский // Дифференциальные уравнения. -16(11). - С. 1925 - 1935 (1980).

[69] Сафин, Э.М.: Обратная задача для уравнения смешанного типа в прямоугольной области со смешанными граничными условиями / Э.М. Сафин / / Труды международной научной конференции, посвященной юбилею академика В.А. Ильина. Уфа: Гилем. - 2. - С. 168 -173 (2008).

[70] Сафин, Э.М.: Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа: автореферат дисс. ... к.ф.-м.н. / Э.М. Сафин. Стерлитамак, 2011.

[71] Скубачевский, A.JI.: Нелокальные эллиптические задачи с параметром / А. Л. Скубачевский // Математический сборник. -121(2).-С. 201 - 210 (1983).

[72] Смирнов, М.М.: Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов - М.: Высшая школа. - 1985. - 304 с.

[73] Солдатов, А.П.: Решение одной краевой задачи теории функций со смещением / А.П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. -10(1). - С. 143 - 152 (1974).

[74] Солдатов, А.П.: Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I. Теоремы единственности / А.П. Солдатов // ДАН. -332(6). - С. 696 - 698 (1993).

[75] Солдатов, А.П.: Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. II. Теорема существования / А.П. Солдатов // ДАН. -333(1). - С. 16 - 18 (1993).

[76] Тихонов, А.Н.: Об устойчивости обратных задач / А.Н. Тихонов // ДАН. - 39(5). - С. 195 - 198 (1943).

[77] Трикоми, Ф.: О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа / Ф. Трикоми. — М.: ИЛ. - 1947. - 192 с.

[78] Франкль, Ф.И.: О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И Франкль // Изв. АН СССР. Серия математическая. - 9(2). - С. 121 - 142 (1945).

[79] Франкль, Ф.И.: Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. - 20(2). - С. 196 - 202 (1956).

[80] Франкль, Ф.И.: Избранные труды по газовой динамике/ Ф.И. Франкль. - М.: Наука. - 1973. - 703 с.

[81] Хайруллин, Р.С.: К задаче Трикоми для уравнеия смешанного типа второго рода / Р.С. Хайруллин // Сибирский математический журнал.

- 35(4). - С. 927 - 936 (1994).

[82] Хачев, М.М.: Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике / М.М. Хачев // Дифференциальные уравнения. -11(1). - С. 151 - 160 (1975).

[83] Хачев, М.М.: Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа /М.М. Хачев. — Нальчик. Изд. "Эльбрус". - 1998.

- 169 с.

[84] Хинчин, А.Я.: Цепные дроби / А.Я. Хинчин. — М.: Наука. - 1978. -112с.

[85] Cannon, J.R.: The solution of heat equation subject to the specification of energy / J.R. Cannon // Quart. Appl. Math. - 21(2). - P.155 - 160 (1963).

[86] Cannon, J.R.: Dirichlet problem for an equation of mixed type with a dis-continius coefficient / J.R. Cannon // Ann. Math, pura ed Appl. - 62. -P.371 - 377 (1963).

[87] Cannon, J.R.: Determinantion of an unknown forcing function in a hyperbolic equation from overspecified data / J.R. Cannon, D.R. Dunninger // Annali de Mathematica pura ed Applicata. Serie Quarta - tomo LXXXV. -P. 49 - 62 (1970).

[88] Gellerstedt, S.: Sur un problem aux limites pour une equation lineare aux dirivees partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat.

- Uppsala, 1935. - 92 p.

[89] Moravetz, C.S.: Note on a maximum principle fnd a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation / C.S. Moravetz // Proc. Roy. Soc. -236(1204). - P. 141 - 144 (1956).

[90] Protter, M.N.: A boundary value problem for an equation of mixed type / M.N. Protter // Trans. Amer. Math. Soc. - 71. - P. 416 - 429 (1951).

[91] Protter, M.N.: New boundary value problems for the wave equation and equations of mixed type / M.N. Protter //J. Rational Mech. and Analisis. - 3,4. - P. 435 - 446 (1954).

[92] Мартемьянова, H.B.: Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа / Н.В. Мартемьянова // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего. - М.: Издательство "Университетская книга". - С. 175 -176 (2009).

[93] Мартемьянова, Н.В.: Критерий единственности решения обратной задачи для уравнения Лаврентьева-Вицадзе / Н.В. Мартемьянова // Труды Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан. Серия "Физико-математические науки". Выпуск 6. -Уфа: Гилем. - С. 55 - 61 (2009).

[94] Мартемьянова, Н.В.: Критерий единственности решения нелокальной обратной задачи для уравнения смешанного типа / Н.В. Мартемьянова // Тезисы докладов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании", посвященная 100-летию БашГУ. - Уфа: РИЦ БашГУ. - С. 20 (2009).

[95] Мартемьянова, Н.В.: Об одной нелокальной обратной задаче для уравнения смешанного типа / Н.В. Мартемьянова // Сборник трудов Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании", посвященная 100-летию БашГУ. Математика. - Уфа: РИЦ БашГУ. - 1.- С. 239 - 247 (2009).

[96] Мартемьянова, Н.В.: Необходимое и достаточное условие единственности решения нелокальной обратной задачи для уравнения смешанного типа / Н.В. Мартемьянова // Материалы Второй всероссийской научно-практической конференции "Интегративный характер современного математического образования", посвященной памяти заслуженного деятеля науки РФ, члена-корреспондента РАЕ, доктора физико-математических наук, профессора В.Ф. Волкодавова (Самара, 26-28 октября 2009 года). - Самара: ПГСГА. - С. 38 - 44 (2009).

[97] Мартемьянова, Н.В.: Существование и единственность решения нелокальной обратной задачи для уравнения смешанного типа / Н.В. Мартемьянова // Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" .4.3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ. - С. 173 - 176 (2010).

[98] Мартемьянова, Н.В.: Об устойчивости решения нелокальной обратной задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Н.В. Мартемьянова // Материалы Седьмой школы молодых учёных "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики", Нальчик-Хабез 25-30 инюня 2010 г. - Нальчик. - С. 63 - 66 (2010).

[99] Мартемьянова, Н.В.: Обратная задача для вырождающегося уравнения смешанного типа / Н.В. Мартемьянова / / Материалы второй Международной конференции "Математическая физика и ее приложения". - Самара: ООО "Книга". - С. 215 - 216 (2010).

[100] Мартемьянова, Н.В.: Устойчивость решения обратной задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нелокальным граничным условием / Н.В. Мартемьянова // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции "Лобаческие чтения - 2010"; Казань, 1-6 октября 2010г.; Казан, матем. об-во. - Казань: Казан, матем. об-во. - 40. - С. 220 - 224 (2010).

[101] Мартемьянова, Н.В.: Обратная задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием / Н.В. Мартемьянова // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. - №6(80). - С. 27 - 38 (2010).

[102] Сабитов, К.Б.: Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа / К.Б. Сабитов, Н.В. Мартемьянова // Известия Вузов. Математика. - №2. - С. 71 - 85 (2011).

[103] Мартемьянова, Н.В.: Обратная нелокальная задача для уравнения с оператором Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области / Н.В. Мартемьянова // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г. Петровского (XXIII совместное заседание ММО и семинара им.

И.Г. Петровского): Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ и ООО "ИНТУИТ.РУ". - С. 266 (2011).

[104] Мартемьянова, Н.В.: Нелокальная обратная задача для уравнения с оператором Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области / Н.В. Мартемьянова // Дифференциальные уравнения и их приложения. Труды Всероссийской научной конференции с международным участием (27 - 30 июня 2011 г., г. Стерлитамак). -Уфа: Гилем. - С. 153 - 158 (2011).

[105] Мартемьянова, Н.В.: Нелокальная обратная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Н.В. Мартемьянова // Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", г. Самара, 26 - 30 июня 2011 г. Тезисы докладов. - Самара: Издательство "Универс групп". - С. 76 (2011).

[106] Мартемьянова, Н.В.: Обратная нелокальная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Н.В. Мартемьянова // Сб. материалов международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел" (Белгород, 17-21 октября 2011г.). - Белгород: ИПК НИУ "БелГУ", - С. 78 - 79 (2011).

[107] Мартемьянова, Н.В.: О единственности решения обратной задачи для уравнения с оператором Лаврентьева-Бицадзе / Н.В. Мартемьянова // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского: Материалы Десятой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2011"; Казань, 31 октября - 4 ноября 2011г.; Казан, матем. об-во. - Казань: Казан, матем. об-во. -44. - С. 209 - 211 (2011).