Прямые и обратные задачи для вырождающихся уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с нелокальными граничными условиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Сидоров, Станислав Николаевич

• Сидоров, Станислав Николаевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Сидоров, Станислав Николаевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Прямые задачи с нелокальными граничными условиями 22 §1.1. Задача с нелокальным граничным условием первого рода для уравнения смешанного типа с вырождающейся гиперболической частью 22 §1.2. Задача с нелокальным граничным условием второго рода для уравнения смешанного типа с вырождающейся гиперболической частью 36 §1.3. Задача с нелокальным граничным условием первого рода для уравнения со степенным вырождением на переходной линии

§1.4. Задача с нелокальным граничным условием второго рода для уравнения со степенным вырождением на переходной линии

Глава 2. Обратные задачи по отысканию правой части уравнения смешанного типа с вырождающейся гиперболической частью 54 §2.1. Нелокальная задача с граничным условием первого рода для уравнения смешанного типа с одинаковыми неизвестными правыми

частями

§2.2. Нелокальная задача с граничным условием второго рода для уравнения смешанного типа с одинаковыми неизвестными правыми

частями

§2.3. Нелокальная задача с граничным условием первого рода для уравнения смешанного типа с разными неизвестными правыми частями 79 §2.4. Нелокальная задача с граничным условием второго рода для уравнения смешанного типа с разными неизвестными правыми частями

Глава 3. Обратные задачи по отысканию правой части уравнения

смешанного типа со степенным вырождением 102 §3.1. Задача с граничным условием первого рода для вырождающегося уравнения смешанного типа с одинаковыми неизвестными правыми частями

§3.2. Задача с граничным условием второго рода для вырождающегося уравнения смешанного типа с одинаковыми неизвестными правыми частями

§3.3. Задача с граничным условием первого рода для вырождающегося уравнения смешанного типа с разными неизвестными правыми

частями

§3.4. Задача с граничным условием второго рода для вырождающегося уравнения смешанного типа с разными неизвестными правыми частями

Библиографический список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямые и обратные задачи для вырождающихся уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с нелокальными граничными условиями»

Введение

Краевые задачи для уравнений смешанного типа являются одним из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Особое место занимают исследования вырождающихся параболических и гиперболических уравнений, а так же уравнений смешанного типа, которые имеют не только теоретический интерес получаемых результатов, но и практическую необходимость в газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях.

В последнее время в теории дифференциальных уравнений с частными производными бурно развивается направление теории нелокальных задач. Это объясняется тем, что проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования новых задач, например, математическими моделями различных физических, химических, биологических и других процессов являются задачи, в которых задается определенная связь значений искомой функции или ее производных на части границы области со значениями внутри или на границе этой области.

Нелокальные задачи для различных классов дифференциальных уравнений изучались Ф.И. Франклем [91] - [93], В.И. Жегаловым [16, 17], J.R. Cannon [97, 98], A.B. Бицадзе и A.A. Самарским [6], A.M. Нахушевым [46, 47, 48], А.П. Солдатовым [82, 83], Н.И. Ионкиным [26], A.B. Бицадзе [7], АЛ. Скубачевским [81], В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [23] - [25], [45], М.Е. Лернером и O.A. Репиным [38] - [40], Н. Поливановым [99, 100], J1.C. Пулькиной [56] - [58], В.А. Нахушевой [49], З.А. Нахушевой [50], А.И. Кожановым [34], М.С. Салахитдино-вым и М. Мирсабуровым [78], Л.И. Сербиной [79], Е.А. Уткиной [88, 89], К.Б. Сабитовым [69, 71, 72] и его учениками О.Г. Сидоренко [80], Ю.К. Сабитовой [76, 77], Л.Х. Рахмановой [59], [60], Н.В. Мартемьяновой [43, 44], Г.Р. Юнусовой

[95, 96] и другими авторами.

В трансзвуковой газовой динамике Ф.И. Франкль [92] впервые для уравнения Чаплыгина К(у)ихх + иуу = 0, где /С(0) = 0, К'{у) > 0, поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия м(0, у) — и{0, —у) = /(у), 0 < у < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная по нормали искомой функции их(0,у).

В.И. Жегаловым [16] впервые для уравнения Лаврентьева-Бицадзе изучен аналог задачи Трикоми с нелокальным условием, связывающим значение искомого решения на обеих характеристиках (задача со смещением).

A.B. Бицадзе и A.A. Самарским [6] для уравнения Лапласа были предложены задачи с нелокальным условием, связывающим значения искомого решения во внутренних точках области со значениями на границе.

К одним из первых исследований задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, можно отнести работу И.М. Гельфанда [12]. Он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина [84], Я.С. Уфлянд [90], Л.А. Золина [21] показали другие применения этих задач.

O.A. Ладыженская и Л. Ступялис [37] в многомерном пространстве рассмотрели начально-граничные краевые задачи на сопряжения для параболо-гипербо-лических уравнений, которые возникают при изучении задачи о движении проводящей жидкости в электромагнитном поле.

После этих статей появилось множество работ, где изучаются задача Трикоми и ее обобщения, задачи со смещениями, задача типа задачи Бицадзе-Самарского и другие нелокальные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболи-ческого типа. Достаточно полный обзор этих работ приведен в монографиях Т.Д. Джураева [18, 19], A.M. Нахушева [47], М.С. Салахитдинова и М. Мирса-бурова [78], А.Л. Скубачевского [81], докторской диссертации Н.Ю. Капустина [28].

Далее остановимся на работах, близких к нашей теме исследований.

К.Б. Сабитов [65] исследовал задачу с граничными условиями

u(0, t) = u(l,t) = 0, —а < t < ¡3, и(х,-а) = ф(х), 0 < х < 1, для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

Lu _ ( Щ - ихх + Ъ2и = 0, t > О, | utt - ихх + Ъ2и = 0, t < О,

в прямоугольной области D = {(x,t)\ 0 < х < 1, —а < t < /3}, где а > 0, ¡3 > О и Ь > 0 - заданные действительные числа. Методом спектрального анализа при некоторых условиях на а и (3 установлен критерий единственности и решение поставленной задачи построено в виде суммы ряда Фурье. К.Б. Сабитовым [71] изучена задача с граничными условиями

u(0,t) = u(l,t) = 0, —a <t<(3, и(х, -а) - u(x,/3) = ср(х), 0<х<1,

для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

Lu = f Щ - ихх = 0, t > О, \ utt ~ихх = 0, t < О,

в области D = {(ж,£)| 0 < х < 1, —а < t < /3}, где а > 0, ¡3 > 0 - заданные действительные числа. Установлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье. Доказана устойчивость решения по нелокальному условию ср(х).

В работах Сабитова К.Б. и Рахмановой JI.X. [59, 60, 64] исследованы начально-краевые и нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с вырождающейся гиперболической частью

Lu _ ( Щ - ихх + Ь2и = 0, t > 0,

U~\ (-t)muxx - utt - b2(—t)mu = 0, t < 0,

где т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D.

Данная диссертационная работа посвящена изучению нелокальных прямых и обратных краевых задач для двух классов вырождающихся уравнений смешанного параболо-гиперболического типа: для уравнения смешанного типа с вырождающейся гиперболической частью и для уравнения смешанного типа со степенным вырождением.

Обратные задачи возникают во многих областях науки: электродинамике, акустике, квантовой теории рассеяния, геофизике (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономии и других областях естествознания. Это связано с тем, что значения параметров модели могут быть получены из наблюдаемых данных, а свойства среды на практике часто бывают неизвестны.

Различные обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались во многих работах. Отметим здесь прежде всего работы А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина, A.C. Леонова, А.Г. Яголы [85] - [87], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, С.П. Шишатского, К.Г. Резницкой, В.Г. Яхно [35, 36, 61], В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Танана [22], С.И. Каба-нихина [27], Алексеева A.C., Бубнова Б.А. [1], A.B. Баева [3], А.И. Прилепко [51] - [53], A.M. Денисова [13] - [15], А.И. Кожанова [31] - [33] и других.

А.Н. Зарубин, М.В. Бурцев [8, 9] исследовали обратные начально-краевые задачи для дифференциально-разностных дробного диффузионно-волновых уравнений с дробной производной и запаздыванием по различным переменным.

В работах К.Б. Сабитова, Э.М. Сафина [66] - [68] впервые изучены обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

Lu= i Щ~ихх + Ь2и = fi(x), t> 0, | utt - ихх + Ъ2и — /г(ж), t < О,

в прямоугольной области D с граничными условиями первого - третьего родов, где неизвестными являются функции u(x,t) и fi(x), г — 1,2. Установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений рассматриваемых задач.

К.Б. Сабитовым, Г.Р. Юнусовой [73, 95, 96] для уравнения (0.1) изучены прямые задачи (при fi(x) = /2(х) = 0) и обратные задачи в случаях, когда fi{x) = /2(я) = f{x) и fi(x) ф /2(ж), с нелокальным граничным условием, связывающим значения искомого решения или его производных по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам данного уравнения. Решения задач построены в виде сумм рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. Установлены критерии единственности каждой из задач и доказана устойчи-

вость решения по краевым данным в нормах пространств и С (И).

В отличие от этих исследований в данной работе рассматриваются прямые и обратные задачи для двух классов вырождающихся уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с нелокальными граничными условиями, которые связывают значения искомого решения или его производных по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащих разным типам уравнения. Решения задач строятся в виде сумм рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. При обосновании сходимости построенных рядов возникают малые знаменатели, затрудняющие сходимость этих рядов. В связи с этим для доказательства сходимости рядов установлены оценки об отделенности от нуля малых знаменателей с соответствующей асимптотикой.

Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений нелокальных прямых и обратных задач для вырождающихся уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

Ьпихх -щ- ЪЧпи = Л (х), t > О,

LJn,mU — <

{-t)muxx - utt - b2(—t)mu = /2(:r), t < 0, (0'2)

в прямоугольной области, где п = const > 0, т = const > 0.

В главе 1, состоящей из четырех параграфов, для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа исследуются прямые задачи с нелокальными граничными условиями, связывающими значения искомого решения или его производных по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащих разным типам изучаемого уравнения. Методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

Рассмотрим однородное уравнение смешанного типа

_ ( tnuxx -ut- ЪЧпи = 0, t > 0,

U ~ \ {-t)muxx - utt - b2(—t)mu = 0, t < 0, (0'3)

в прямоугольной области D = {(ж, ¿)| 0 < х < 1, —а < t < ¡3}, где а > 0, ¡3 > 0, п>0, т>0и6>0 - заданные действительные числа. Для уравнения (0.3) в этой области поставлены и решены следующие нелокальные задачи.

Задача 1.1. Найти в области И функцию и(х, £), удовлетворяющую следующим условиям:

где <р{х) - заданная достаточно гладкая функция, <р(0) = (р( 1) = 0, £)_ = В П {£ < 0}, £>+ = В П {£ > 0}.

Задача 1.2. Найти в области Б функцию и(х, V), удовлетворяющую условиям (0.4)-(0.6) и

где 1р{х) - заданная достаточно гладкая функция.

Начально-граничная задача для уравнения (0.3) при всех п > 0 и т > 0 изучалась в работах [64, 65, 70] в прямоугольной области в которой вместо условия (0.7) задано начальное условие и(х, —а) = ф(х), 0 < х < 1. В работе [71] изучена задача (0.4) - (0.7) для уравнения (0.3) при п = 0, т = 0, Ь = 0. Нелокальная задача 1.2, т.е. задача (0.4) - (0.6), (0.8), для уравнения (0.3) при п = 0 и т = 0 была изучена в работе [95]. В работах [29, 30] методами функционального анализа доказана однозначная разрешимость аналога задачи Трикоми в пространстве £2 для уравнения типа (0.3) при п = 0, Ь = 0, 0 < т < 1 в смешанной области, параболическая часть которой совпадает с а гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник с основанием на линии вырождения.

В §§1.1 и 1.2 изучаются задачи 1.1 и 1.2 соответственно для уравнения (0.3) при п = 0, а параграфы 1.3 и 1.4 посвящены изучению этих задач для уравнения (0.3) при всех п > 0.

Для примера здесь приведем результаты по задаче 1.1. для уравнения (0.3) при п > 0. Методом спектрального анализа решение задачи (0.4)-(0.7) построено в виде суммы ряда

и(х, £) 6 С\И) П С2(£>_) П Сх2(£>+), ЬП}ТПи(х, £) = 0, (х, ¿) 6 £>_ и И+, и{0, ¿) = и( 1, £) = 0, -а < £ < /3,

(0.4) (0.5) (0.6) (0.7)

и(х, —а) — и(х, /3) = ср(х), 0 < х < 1,

щ{х, —а) — щ{х,¡3) = ф{х), 0 < х < 1

(0.8)

(0.9)

где

(0.10) ¿<0,

29

=

А2к = ш = Ь2 + (тгк)2, д = (т + 2)/2 7* = (р*/2)1/(2,)Г(1 - 1/(2?)),

о

./Дг) - функция Бесселя первого рода порядка и, Г(-) - гамма-функция Эйлера, при условии, что при всех А: € N

5з(к) = Ъу/а^ЫсА) - е"Л^п+7(п+1) ф 0. (0.ц)

2«

Если при некоторых а, /3, 6, га, п и А; = I нарушено условие (0.11), т.е. 5^(1) = 0, то однородная задача (0.4) - (0.7) (где (р(х) = 0) имеет нетривиальное решение

щ(х,£) = «/(¿) 8Ш7г/а:, (0.12)

где

щ(Ь) =

2«

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 0.1.1. При любых фиксированных (3 > 0, Ь > 0, т > 0, п > 0 и достаточно больших к уравнение 5з(к) = 0 имеет счетное множество нулей относительно ая = а4/д.

Теорема 0.1.1. Если существует решение и(х, £) задачи (0.4) - (0.7), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия (0.11) при всех к £ N.

Доказательство единственности решения проводится на основе полноты системы синусов в пространстве 1^2 [0,1].

Поскольку а, /3, Ь, га и п - любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение $з(к), которое входит в знаменатели коэффициентов ряда (0.10), может стать достаточно малым, то есть возникает проблема "малых знаменателей"[2, 41, 69]. В связи с этим, для обоснования существования решения надо показать существование чисел а, (3, 6, га и п, таких, что при достаточно больших к выражение ¿з(к) отделено от нуля.

'е-А?*»+7(»+1), I > О,

Справедлива следующая

Лемма 0.1.2. Если выполнено одно из условий: 1) ач = ач/д - любое натуральное число; 2) ая=р/Ь - любое дробное число, гдер и £ - взаимно-простые натуральные числа и г/£ ф (Зд — 1)/(4д), где г = 0,£ — 1, то существуют полоэюительные постоянные ко £ N и Со, такие, что при любых к > ко и фиксированных {3>0,Ь>0, т>0ип>0 справедлива оценка

> Со > О, Л = 1/2 - 1/(2(7). (0.13)

Отметим, что условие г/Ьф (3# — 1)/(4д) в лемме 0.1.2 существенно, так как в противном случае можно показать, что оценка (0.13) не имеет место.

Если для указанных в лемме 0.1.2 значений ад при некоторых к = I = &1, к2,кт, где \ < к\ < к2 < ... < кт < ко, где кп, п = 1,т, т - заданные натуральные числа, 5^(1) = 0, то для разрешимости задачи (0.4) - (0.7) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

1

I<р{х)&тт:1хйх = I = к\, ...,кт. (0.14)

о

Тогда решение задачи (0.4) - (0.7) определяется в виде суммы ряда

/ кг-1 кт-1 00 \

и{х,Ь)= + XI + ^(^вштгЬг + ^Лги^г), (0.15)

\Ь=1 к=кт-1+1 к=кт+1/ I

где функции «*(£) и щ(х,£) определяются соответственно но формулам (0.10) и (0.12), в последней сумме I принимает значения к\, к2,..., кт, А[ — произвольные постоянные, в последней сумме I принимает значения к2,..., кт. Конечные суммы в (0.15) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 0.1.2. Пусть функция <р(х) <Е С3+а[0,1], Л < а < 1, </?(0) = ср( 1) = (р"(0) = (р"{ 1) = 0 и выполнена оценка (0.13) при к > ко. Тогда если 5з(к) ф 0 при всех к = 1, ко, то существует единственное решение задачи (0.4) - (0.7) и оно определяется рядом (0.9); если 5з(к) = 0 при некоторых к = к\,..., кт < ко, то задача (0.4) - (0.7) разрешима только тогда, когда выполнены условия (0.14) и решение в этом случае определяется рядом (0.15).

Теорема 0.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.1.2 и 6з(к) ф 0 при всех к < ко. Тогда для решения задачи (0.4) - (0.7) имеют место оценки:

1КМ)1и2[о,1] < ЛЫИ^Н^од], \Их,1)\\с(П) < т2\\<р"(х)\\с[о,1],

где постоянные N01 и N02 не зависят от <р(х).

Аналогично установлены критерии единственности, доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач 1.1 и 1.2 для уравнения (0.3).

Глава 2 посвящена изучению обратных задач с нелокальными граничными условиями для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с вырождающейся гиперболической частью, т.е. для уравнения (0.2) при п — 0. Также методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

Для уравнения (0.2) при п = 0 в прямоугольной области И поставлены и исследованы следующие обратные задачи.

Задача 2.1. Найти в области И функции и(х,Ь) и /(х), удовлетворя?ощие

следующим условиям:

и(х, t) е С1 (В) П C2{D_) П С*(£>+), (0.16)

¡(х)еС(0,1)ПЬ2[0,1], (0.17)

L0>mu(x, t) = f(x), {x, t)eD- U D+, (0.18)

w(0,t) = w(l,t) = 0, -a<t<j3, (0.19)

u(x,-a)-u(x,/3) =<p(x), 0 < x <1, (0.20)

щ(х,-а) =ф(х), 0<х<1, (0.21)

где ip(x) wif>(x) - достаточно гладкие функции, у>(0) = (р( 1) = 0, ^А(О) = ф{ 1) = 0; = D П {t < 0}, D+ = D П {£ > 0}.

Задача 2.2. Найти в области D функции и(х, t) и f(x), удовлетворяющие условиям (0.16) - (0.19) и

щ(х, -а) - щ(х, /3) = <р(х), 0 < х < 1, (0.22)

и(х, -а) = ф(х), 0 < х < 1, (0.23)

где (р(х) и ф(х) - достаточно гладкие функции, ip(0) = ^с»(1) = 0, ф(0) = ф(1) = 0, £L = D П {£ < 0}, D+ = D П {t > 0}.

Задача 2.3. Найти в области D функции u(x,t) и fi(x), i = 1,2, удовлетворяющие следующим условиям:

u(x,t) е Cl(D) П С2(£>_) П C*(D+), (0.24)

fi(x) е С(0,1) П ь2[0,1], ¿ = 1,2, (0.25)

Lo,mu{x, t) = fi(x), (rr, t) G D- U D+, (0.26)

и(0, t) = u{ 1, £) = 0, —a < t < /3, (0.27)

-a) - u(x, 0) = <p(x), 0<x<l, (0.28)

щ(х, -a) = ф(х), 0<х<1, (0.29)

щ(х,/3) =g(x), 0 < x < 1. (0.30)

g(x) - заданная достаточно гладкая функция, причем (р(0) = ^(1) = — ф( 1) = д{ 0) = 5(1) = 0.

Задача 2.4. Найти в области D функции u{x,t) и fi(x), г = 1,2, удовлетворяющие условиям (0.24) - (0.27) и

щ(х, -а) - щ(х, 0) = 0 < х < 1, (0.31)

и(х, -а) = ф(х), 0<х<1, (0.32)

u(x,j3) = g(x), 0 < х < 1. (0.33)

В задачах 2.1 и 2.2 условия (0.21) и (0.23) являются дополнительными условиями для определения функции f(x). А в задачах 2.3 и 2.4 исследуется уравнение с разными неизвестными правыми частями, не зависящими от времени, поэтому в данных задачах задаются дополнительные условия (0.29), (0.30) и (0.32), (0.33) соответственно.

В работах К.Б. Сабитова и Э.М. Сафина [66] - [68] для уравнения (0.2) при п = 0ит = 0в прямоугольной области D изучены обратные задачи 2.1 и 2.3, в которых вместо нелокальных условий (0.20), (0.21) и (0.28) заданы локальные условия и(х, —а) = ср(х) и и(х,/3) = ip(x), 0 < х < 1.

Рассмотрим здесь задачу 2.2 для уравнения (0.2) при п = 0 и fi(x) — решение которой построено в виде сумм рядов

+оо

и(х, t) — V2y~]uk(t) simrkx, (0.34)

k=l

+оо

/(X) = >/2 Л 8 ттгкх,

(0.35)

Л=1

где

<Рк

ик(Ь) = <

Фк (\2кП1к(-а)е~* + Сц(-а)) , I > 0,

<Рк

Аа(Л)

Л2Д2(А;)

(/^(-а)^) + (С?4(-а) + \1е-Ы)01к{1)) -Фк

(01к(-а)С1к(1) + Сць(-а)1>1*(*)), * < 0,

(0.36)

Л =

д2(*)

+ - 1>кС1к{-а)

Ах (*0

(0.37)

к

о

= 9/ус1п «у/^^/мМ-1)9) / ^у ьш J

7Г

2двт 25

при условии, что при всех /г € N

и

Е>/==«^-1/(2д)(Р*(-0в) [ (0.38)

•/

и

—а

и

+7-1/(2<#) / -/-1/(эд(РЛС—в)*)^ + 1 - ф 0. (0.39)

—а

Если при некоторых а, {3,Ь,ти к = I нарушено условие (0.39), то однородная задача (0.16) - (0.21) (где <р(х) = ф(х) = 0) имеет ненулевое решение

щ(х, £) = ^/(¿) 8т7г1х,

(0.40)

где

e-A?t + IL t > о

[cu(t) + fiDu(t), t< 0,

/,(*) = /,sinтгЬ, fi = Du(-a)ï 0. (0.41)

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 0.2.1. При любых фиксированных ß>0,b>0,m>0u достаточно больших к выражение А2(к) имеет счетное множество нулей относительно aq = aq/q.

Теорема 0.2.1. Если существует решение u(x,t) и f(x) задачи (0.16) -(0.21), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия (0.39) при всех k EN.

Выражение А2(к) входит в знаменатели коэффициентов рядов (0.36) и (0.37), определяющих решение задачи. В связи с этим необходимо ответить на вопрос при каких а, ß, b и m выражение А2{к) отделено от нуля.

Лемма 0.2.2. Если выполнено одно из условий: 1) aq - любое натуральное число; 2) aq = p/t - любое дробное число, где put- взаимно-простые натуральные числа и r/t ф (q + 1)/(4q), где г = l,t — 1, то существуют положительные постоянные ко G N и Со, такие, что при любых к > ко и фиксированных b>0, ß > 0, т> 0 справедлива оценка

lAT^AaMI > С0 > 0, Л = 1/2 - 1/(2q). (0.42)

Отметим, что условие r/t ф (q + 1)/(4q) в лемме 0.2.2 существенно, так как в противном случае можно показать, что оценка (0.42) не имеет место.

Если при указанных aq в лемме 0.2.2 при некоторых k = I = к\, к2,кт, где 1 < к\ < к2 < ... < кт < ко, где кП1 п — 1,т, m - заданные натуральные числа, А2{1) = 0, то для разрешимости задачи (0.16) - (0.21) достаточно, чтобы выполнялись условия

1 1 J<р(х) sinnlxdx = Jijj{x) sm-Klxdx = 0, / = к\,..., km. (0.43) о о

Тогда решение задачи (0.16) - (0.21) определяются в виде сумм рядов

/ к\—1 кт—1 оо \

и(х, £) = МГ + • • • + + ик(1) ыптгкх + 53 Л1щ(х, (0.44)

уА;=1 А:=А;т_1+1 к=кт+1/ I

/ кг-1 кт-1 оо \

/М= 53 + ---+ Е + Е ЛвттгЛя + ^З Л,/,(*), (0.45)

\&=1 к=кт-1+1 к=кт+1/ I

где функции Д, щ{х,Ь) и //(х) определяются соответственно по форму-

лам (0.36), (0.37), (0.40) и (0.41), Аг - произвольная постоянная, в суммах ^ индекс I принимает значения к\,к2, ...,к1, конечные суммы выражений (0.44), (0.45) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 0.2.2. Пусть ¡р(х) е С4[0,1], ф(х) е С3[0,1], <р(0) = ^(1) = ^(0) = ^(1) = </>"(0) = ^"(1) = = Ф"{1) — 0 и выполнена оценка (0.42) при

к > ко. Тогда если А2(/г) Ф 0 при всех к = 1,ко, то существует единственное решение задачи (0.16) - (0.21) и это решение определяется рядами (0.34), (0.35); если А2{к) = 0 при некоторых к = к\,...,кт < ко, то задача (0.16) -(0.21) разрешима тогда, когда выполняются условия (0.43) и решение в этом случае определяется рядами (0.44), (0.45).

Теорема 0.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.2.2 и А2(к) ф 0 при всех к < ко. Тогда для решения (0.34), (0.35) задачи (0.16) - (0.21) имеют место оценки:

НЧМ)1к2[о,1] < К01 (|И*)1к2[о,1] + 11^)11^0,1]),

Н/МН/да] < ^02 (|И*)1к2[0,1] + 11^(я)II¿2[0,1]) ,

Им) Над < ^03 (1К(®)||с[0,1] + ИФ'Шст),

\Ш\\ст < *04 (||/(®)||с10,1] + 11^(®)11с[0,и) где постоянные Ко1, г = 1,4, не зависят от функций <р(х) и ф(х).

Отметим, что аналогичные результаты получены для остальных задач этой главы, а именно, установлен критерий единственности, решение построено в виде сумм рядов, обоснована сходимость рядов в классах функций (0.16), (0.17) и доказана устойчивость решения.

Глава 3 посвящена изучению обратных задач 2.1 - 2.4 для уравнения (0.2) при всех п > 0 и т > 0.

Рассмотрим задачу 2.3. Решение данной задачи построено в виде сумм рядов

+оо

(0.46)

и(х,Ь) = л/2 вттгйж,

к=1

+0О

/¿(ж) = л/2 Л* втетАя;, г = 1,2,

А;=1

где

= + /1л/л(4)> 4 > о,

- + /2№(£), £ < 0,

(0.47)

(0.48)

ак = (Д3(&)) V*

-(Дз(А0ГЧ

+

(0.49)

/1к = -(Дз(Л))"1^

А Ш({ЗЫ(-а)

+ (А3(к))~1фк

\2к/ЗЧк(р)и1к(-а)

(Аг(к))~1фк

, (0.50)

¡2 к = "(Аз {к))~^к

■(Дз(Л))-1^

+

+(А3(А;))-1^

Я к(-«)Цк(-а) -

-Р[к{-а)Р2к{-ос) + ¥[к{-а)1№

I

т = у 1/(п+1) ^

о

(0.51)

•Шк{£) определяется по формуле (0.38), при условии, что при всех к € N

о

Дз(Л) = -\Ъ-Щ2ч){к)(3п1к{13) I ^/ыЫ-з^у/^йзЛ-

и

+7-1/(2?)(Л) J J-i/{2q){Pk{-s)q)\/^sdi

—а

0

Ф 0-

(0.52)

Если при некоторых а, /3, Ь, тп, п и к = I нарушено условие (0.52), то однородная задача 2.3 (где (р(х) = ф(х) = д(х) = 0) имеет ненулевое решение

щ(х, t) = ui(t) sin7rfo;, (0.53)

где

e_A?t^V(n+l) + fie-tftn+1/(n+l) j etfsn+1/(n+l) dS} t > 0j Ui(t) = 0

Fu{t) + fu(F2i(t) - Wi(t)) + f2lWl(t), t < 0,

A2one-A^"+7(n+l)

Мх) = /цаттг1х, fu =—X2pnIk(p) + 1 > (°-54)

/Ф) = /ивштг/гг, f2l = «<(-«) Ф 0- (0-55)

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 0.3.1. При любых фиксированных ¡3 > 0, b > 0, тп > 0, п > 0 и достаточно больших к выражение Аз (к) имеет счетное множество нулей относительно aq = ctq/q.

Теорема 0.3.1. Если существует решение u(x,t) и fi(x) (i = 1,2) задачи 2.3, то оно единственно только тогда, когда при всех k Е N выполнены условия (0.52).

Так как выражение Аз (к) находится в знаменателе функций uk{t) то при достаточно больших к оно может стать достаточно малым, т.е. возникает пробле-

ма "малых знаменателей". Покажем, что при достаточно больших к выражение Дз (к) отделено от нуля.

Лемма 0.3.2. Если выполнено одно из условий: 1) aq - любое натуральное число; 2) aq = p/t - любое дробное число, где put- взаимно-простые натуральные числа и r/t ф (3q + l)/{Aq), где г = 1,£ — 1, то существуют положительные постоянные ко G N и Со, такие, что при любых к > ко и фиксированных b > 0, ß > 0, т > 0 и п > 0 справедлива оценка

|&2+лД3(&)1 > С0 > 0, Л = 1/2 - 1/(2q). (0.56)

Если при некоторых k = I = к\, к2,кт, где 1 < к\ < к2 < ... < кт < ко, где кп,п= 1, т, т - заданные натуральные числа, Дз(0 = 0, то для разрешимости задачи 2.3 достаточно, чтобы

i i i

J<р(х) úmvlxdx = Jф(х) sinirlxdx = Jg(x) simrlxdx = 0, I = ki, ...,km.

0 0 0

(0.57)

Тогда решение задачи 2.3 определяется в виде сумм рядов

i к\ 1 кт-1 оо \

u{x,t)= + + ) (0.58)

\к=1 k=km-i+1 k=km+lj I

i ki-1 кт-1 с» \

Мх) = lC+'"+ + ]С I f*s[n7rkx+ЛиЫх)>i =2>

\к=1 к=кт. 1+1 к=кт+1/ I

(0.59)

где функции Uk(t), fik, u¡(x,t) и fu(x) определяются соответственно по формулам (0.48), (0.50), (0.51), (0.53) - (0.55). Ац - произвольная постоянная, в суммах Y^i индекс I принимает значения ki¡k2,..., ki, конечные суммы выражений (0.58), (0.59) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 0.3.2. Пусть функции (р(х) 6 С6[0,1], ф{х) е С5[0,1], g{х) е C5+/i[0,1], Л < ц < 1, ^'(0) = ^(1) = фЩ = ф*(1)= д\0) = д*(1) = 0, i = 1,2, и выполнена оценка (0.56) при к > ко- Тогда если Дз (к) ф 0 при всех к = 1, Лто, то существует единственное решение задачи 2.3 и это решение определяется рядами (0.46), (0.47); если Дз(&) = 0 при некоторых k = k\,...,km < ко,

то задача 2.3 разрешима тогда, когда выполняются условия ортогональности (0.57) и решение в этом случае определяется рядами (0.58), (0.59).

Теорема 0.3.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.3.2 и Аз (/г) ф 0 при всех к < ко. Тогда для решения (0.46), (0.47) задачи 2.3 имеют место оценки:

IHm)I|l2[0,i] < Moi (\\<р'"(х)\\ь2т + ИГШьт + НЛ^км), ||/i(z)IU2[o,i] < Мог (||</(z)IU2[o,i] + \\Ф'(х)\\Ь2[0А] + Ц^Л^юд]), II/2(a:)Hl2[o,i] < М03 (||^WIk2[o,i] + \\Ф'Ы\ь2[о,ц + 11 </"(*)! к [о,1]) , IКМ)Под < Мо4 (Н^МНср,!] + I№'"(*)Нем + \\91У(х)\\с[о,1)),

\\hmc(D) < Mos (WWWcm + \\Ф'Ы\С[0Л] + ||<7"(*)||с[0,1]) , Ш*)\\с(В) < Ми {\\vIV(x)\\c[o,i] + \\Ф"'{х)\\ст + »«ЛМНср,!]) , где постоянные Moi не зависят от функций (р{х), ф(х) и д(х).

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты.

1. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения прямых задач для двух классов вырождающихся уравнений смешанного па-раболо-гиперболического типа с нелокальным граничным условием, связывающим значения искомого решения или его производных по нормали на противоположных сторонах прямоугольной области, принадлежащие разным типам рассматриваемого уравнения. Для каждой из задач установлен критерий единственности, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи, установлена устойчивость решения по граничным данным.

2. На основании прямых задач впервые поставлены и исследованы на корректность обратные задачи по отысканию правых частей для двух классов вырождающихся уравнений смешанного параболо-гиперболического типа. Решения поставленных задач построены в виде сумм рядов по собственным функциям, установлены критерии единственности и доказана устойчивость решений по граничным данным.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета, лаборатории прикладной математики и информатики отдела физико-математических и технических

наук Института прикладных исследований Республики Башкортостан (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов, 2011 - 2014 гг.), а также на следующих всероссийских и международных конференциях, семинарах, симпозиумах:

1. X школа молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики "(г. Нальчик, 28 мая - 1 июня, 2012 г.); 2. XI Всероссийская молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения-2012"(г. Казань, 1-6 ноября, 2012 г.); 3. Международня конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения"(г. Белгород, 26 - 31 мая, 2013 г.); 4. Фестиваль "Молодежь. Прогресс. Наука"(г. Стерлитамак, 25 марта - 6 апреля, 2013 г.); 5. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы"(г. Стерлитамак, 26 - 30 июня, 2013 г.); 6. XII Всероссийская молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения-2013"(г. Казань, 24

- 29 октября, 2013 г.); 7. Республиканская научная конференция с участием ученых из стран СНГ "Современные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения "(г. Ташкент, Узбекистан, 21 - 23 ноября, 2013 г.); 8. Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна ВЗМШ - 2014 (г. Воронеж, 26

- 31 января, 2014 г.); 9. VII Международная конференция по математическому моделированию (г. Якутск, 30 июня — 4 июля, 2014 г.); 10. Четвертая международная конференция "Математическая физика и ее приложения "(г. Самара, 25 августа - 1 сентября, 2014 г.); 11. Международная научная конференция "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций "(г. Казань, 29 сентября - 1 октября, 2014 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сидоров, Станислав Николаевич, 2014 год

Библиографический список

1. Алексеев, A.C. Устойчивость решения совмещенной обратной задачи гра-вики и сейсмики / A.C. Алексеев, Б.А. Бубнов// Докл. АН СССР. - 1984.

- Т. 275. - № 2. - С. 332 - 335.

2. Арнольд, В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике / В.И. Арнольд // УМН. - 1963. -Т. XVIII. - Вып. 6 (114). - С. 91 - 192.

3 .Баев, A.B. Единственность решения обратной задачи для уравнения акустики и обратная спектральная задача / A.B. Баев // Матем. заметки. -1990. - Т. 47. - Вып. 2. - С. 149 - 151.

4. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи.

- М.: Наука, 1974 (2-е изд.). - Т. 2. - 296 с.

5. Бжихатлов, Х.Г. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / Х.Г. Бжихатлов, A.M. Нахушев // ДАН СССР. - 1968. - Т. 183. - № 2. - С. 261 - 264.

6. Бицадзе, A.B. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 185. - № 4.

- С. 739 - 740.

7. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. /A.B. Бицадзе. - М.: Наука, 1981. - 448 с.

8. Бурцев, М.В. Обратная начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения с некарлемановским сдвигом / М.В. Бурцев, А.Н. Зарубин // Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44. -№ 3. - С. 373 - 383.

9. Бурцев, M.B. Прямые и обратные задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробными производными: автореферат дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / М.В. Бурцев. - Белгород, БелГУ, 2008. - 16 с.

10. Бухштаб, A.A. Теория чисел. / A.A. Бухштаб. - М.: Просвещение, 1966. -384 с.

11. Врагов, В.Н. Смешанная задача для одного класса параболо-гиперболических уравнений второго порядка / В.Н. Врагов // Дифференц. уравнения. - 1976. - Т. 12. - № 1. - С. 24 - 31.

12. Гелъфанд, И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений / И.М. Гельфанд // УМН. - 1959. - Т. XIV. - Вып. 3 (87). - С. 3 -19.

13. Денисов, A.M. Введение в теорию обратных задач. / A.M. Денисов. - М.: МГУ, 1994. - 207 с.

14. Денисов, A.M. Обратная задача для квазилинейного волнового уравнения / A.M. Денисов // Дифференц. уравнения. - 2007. - Т. 43. - № 8. - С. 1097 - 1105.

15. Денисов, A.M. Обратные задачи для квазилинейного гиперболического уравнения в случае движущейся точки наблюдения / A.M. Денисов // Дифференц. уравнения. - 2009. - Т. 45. - № 11. - С. 1543 - 1553.

16. Жегалов, В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та. - 1962. - Т. 122. -кн. 3. - С. 3 - 16.

17. Жегалов, В.И. Задача Франкля со смещением / В.И. Жегалов // Известия Вузов. Математика. - 1979. - № 9. - С. 11 - 20.

18. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев. - Ташкент: Фан, 1986. - 240 с.

19. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа / Т.Д. Джураев, А. Сопуев, М. Мамажанов. - Ташкент: Фан, 1986. -220 с.

20. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. Т.1 / А. Зигмунд. - М.: Мир, 1965.

- 616 с.

21. Золипа, Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа / Л.А. Золина // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.

- 1966. - Т. 6. - № 6. - С. 991 - 1001.

22. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. - М.: Наука, 1978. - 206 с.

23. Ильин, В. А. Единственность и принадлежность И^1 классического решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения / В.А. Ильин // Матем. заметки. - 1975. - Т. 17. - № 1. - С. 93 - 103. .

24. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. АН СССР. - 1986. - Т. 291. - № 3. - С. 534 - 539.

25. Ильин, В.А. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Матем. моделирование. - 1990. - Т. 2. - № 8. - С. 139 - 156.

26. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 13. - № 2. - С. 294 - 304.

27. Кабанихин, С.И. Обратные и некорректные задачи / С.И. Кабанихин. -Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. - 457 с. (2 изд.)

28. Капустин, Н.Ю. Задачи для параболо-гиперболических уравнений и соответствующие спектральные вопросы с параметром в граничных точках: автореферат дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Н.Ю. Капустин. - Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2012. - 30 с.

29. Капустин, Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью. I / Н.Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23. - № 1. - С. 72 - 78.

30. Капустин, Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью. II / Н.Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24. - № 8. - С. 1379 - 1386.

31. Кожанов, А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче / А.И. Кожанов // Матем. заметки. - 2004. - Т. 76. - № 6. - С. 840 - 853.

32. Кожанов, А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности / А.И. Кожанов // Сиб. матем. журн. - 2005. - Т. 46.

- № 5. - С. 1053 - 1071.

33. Кожанов, А.И. Смешанная задача для одного класса сильно-нелинейных уравнений соболевского типа высокого порядка / А.И. Кожанов, Ш. Ами-ров // ДАН. - 2013. - Т. 451. - № 5. - С. 492 - 498.

34. Коэюанов, А.И. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, JI.C. Пулькина // ДАН. - 2005. - Т. 404. - № 5. - С. 589 - 592.

35. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.Т Шишатский. - М.: Наука, 1980.

- 286 с.

36. Лаврентьев, М.М. Одномерные обратные задачи математической физики / М.М. Лаврентьев, К.Г. Резеницкая, В.Г. Яхно. - М.: Наука, 1982. - 88 с.

37. Ладыженская, O.A. Об уравнениях смешанного типа / О.А.Ладыженская, Л. Ступялис // Вестник ЛГУ. Серия мат., мех. и астр. - 1965. - Т. 19. -№ 4. - С. 38 - 46.

38. Лернер, М.Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Сиб. матем. журнал. - 1999. - Т. 40. - № 6. - С. 1260 - 1275.

39. Лернер, М.Е. О задачах типа задачи Фраикля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Дифференц. уравнения. - 1999. - Т. 35. - № 8. - С. 1087 - 1093.

40. Лернер, М.Е. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуиолосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Дифференц. уравнения. - 2001. - Т. 37. - № 11. - С. 1562 -1564.

41. Ломов, И.С. Малые знаменатели в аналитической теории вырождающихся дифференциальных уравнений / И.С. Ломов // Дифференц. уравнения. -1993. - Т. 29. - № 12. - С. 2079 - 2089.

42. Люк, Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации / Ю. Люк. - М.: Мир, 1980. - 607 с.

43. Мартемъянова, Н.В. Обратная задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием / Н.В. Мартемьянова // Вестник Сам-ГУ - Естественнонаучная серия. - 2010. - Т. 80 - № 6. - С. 27 - 38.

44. Мартемъянова, Н.В. Нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа: автореферат дис.... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Н.В. Мартемьянова. - Казань, КГУ, 2012. - 20 с.

45. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. - 1999. -Т. 35. - № 8. - С. 1094 - 1103.

46. Haxyuiee, A.M. О некоторых новых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. - 1969. - Т. 5. - № 1. - С. 44 - 59.

47. Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных / A.M. Нахушев - М.: Наука, 2006. - 287 с.

48. Нахушев, A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. - 1978. - Т. 15. - № 1. - С. 66 - 73.

49. Нахушева, В. А. Дифференциальные уравнения математическоих моделей нелокальных процессов / В.А. Нахушева. - М.: Наука, 2006. - 174 с.

50. Нахушева, ЗА. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений / З.А. Нахушева. - Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2011. - 189 с.

51. Прилепко, А.И. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении / А.И. Прилепко, А.Б. Костин // Сиб. матем. журн.

- 1993. - Т. 33. - № 3. - С. 146 - 155.

52. Прилепко, А.И. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2003. - Т. 43. - № 4. - С. 562 - 570.

53. Prilepko, A.I. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. - New York; Basel: Marcel Dekker Inc., 1999. - 709 p.

54. Прудников, А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. - М.: Наука, 1981. - 800 с.

55. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. - М.: Наука, 1983. - 752 с.

56. Пулъкина, JI.C. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Матем. заметки. - 2003. - Т. 74.

- Вып. 3. - С. 435 - 445.

57. Пулъкина, Л. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / JI.C. Пулькина // Дифференц. уравнения. - 2004.

- Т. 40. - № 7. - С. 887 - 892.

58. Пулъкина, Л. С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений / JI.C. Пулькина. - Самара: Изд-во "Самарский университет", 2012. - 194 с.

59. Рахманова, Л.Х. Решение нелокальной задачи спектральным методом для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной / Л.Х. Рахманова // Известия вузов. Математика. - 2007. - № 11 (546). -С. 36 - 40.

60. Рахманова, Л.Х. Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области: автореферат дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Л.Х. Рахманова - Казань, КГУ, 2009. - 19 с.

61. Романов, В.Г. Обратные задачи математической физики / В.Г. Романов. -М: Наука, 1984. - 264 с.

62. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа со спектральным параметром / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25. - № 1. - С. 117 - 126.

63. Сабитов, К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения / К.Б.Сабитов. - М.: Высш. шк., 2005. - 671 с.

64. Сабитов, К.Б. Начально-граничная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Л.Х. Рахманова // Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44. - № 9. - С. 1175 - 1181.

65. Сабитов, К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Мат. заметки. - 2009. - Т. 86. - Вып. 2. - С. 273 - 279.

66. Сабитов, К.Б. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // ДАН. - 2009.

- Т. 429. - № 4. - С. 451 - 454.

67. Сабитов, К.Б. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического тина в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Известия вузов. Математика. - 2010. - Л'2 4 (546). - С. 55 - 62.

68. Сабитов, К.Б. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Матем. заметки.

- 2010. - Т. 87. - Вып. 6. - С. 907 - 918.

69. Сабитов, К.Б. Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием / К.Б. Сабитов // Дифферент уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 10. - С. 1468 - 1478.

70. Сабитов, К.Б. Начально-граничная задача для параболо-гиперболического уравнения со степенным вырождением на переходной линии / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. - 2011. - Т. 47. - № 1. -С. 1 - 8.

71. Сабитов, К.Б. Нелокальная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Матем. заметки. - 2011. - Т. 89. - Вып. 4. - С. 596 - 602.

72. Сабитов, К.Б. Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа / К.Б. Сабитов, Н.В. Мартемьянова // Известия Вузов. Математика.

- 2011. - № 2. - С. 71 - 85.

73. Сабитов, К.Б. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным граничным условием / К.Б. Сабитов, Г.Р. Юнусова // Дифференц. уравнения. - 2012. - Т. 48. - № 2. - С. 238 - 245.

74. Сабитов, К.Б. Обратная задача для уравнения эллиптико-гиперболического типа с нелокальным граничным условием / К.Б. Сабитов, Н.В. Мартемьянова // Сиб. матем. журн. - 2012. - Т. 53. - № 3.

- С. 633 - 647.

75. Сабитов, К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // К.Б. Сабитов, Э.В. Баталова // Дифференц. уравнения. - 2013. - Т. 49. - № 1. - С. 68 - 78.

76. Сабитова, Ю.К. Нелокальные начально-граничные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения / Ю.К. Сабитова // Известия Вузов. Математика. - 2009. - № 12. - С. 49 - 58.

77. Сабитова, Ю.К. Критерий единственности решения нелокальной задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области / Ю.К. Сабитова // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 8. -С. 1205 - 1208.

78. Салахитдипов, М.С. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами / М.С. Салахитдинов, М. Мирсабуров. -Ташкент: ишуегеНе^ 2005. - 224 с.

79. Сербина, Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водонасосных системах / Л.И. Сербина. - М.: Наука, 2007. - 167 с.

80. Сидоренко, О.Г. Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений различных типов: автореферат дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / О.Г. Сидоренко. - Стерлитамак, СГПА, 2007. - 19 с.

81. Скубачевский, А.Л. Неклассические краевые задачи. I, II / А.Л. Скубачев-ский // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2009. - Т. 26. - С. 3 - 132; Т. 33. - С. 3-179.

82. Солдатов, А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением / А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения. - 1974. - Т. 10. - № 1. -С. 143 - 152.

83. Солдатов, А.П. Об одной нелокальной задаче теории функций / А.П. Солдатов, Л.А. Ковалева // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 3. -С. 396 - 409.

84. Стручина, Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений / Г.М. Стручина // Инженер.-физ. журн. - 1961. - Т. 4. - № 11. - С. 99 - 104.

85. Тихонов, А.Н. Об устойчивости обратных задач / А.Н. Тихонов // ДАН. -1943. - Т. 39. - № 5. - С. 195 - 198.

86. Тихонов, А Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин - М.: Наука, 1986. - 288 с. (3 изд.)

87. Тихонов, А Н. Нелинейные некорректные задачи / А.Н. Тихонов, А.С. Леонов, А.Г. Ягола. - М.: Наука, 1995. - 312 с.

88. Уткина, Е.А. Об одной краевой задаче со смещениями в четырехмерном пространстве / Е.А.Уткина // Изв. вузов. Математика. - 2009. - № 3. -С. 50 - 55.

89. Уткина, Е.А. Задача со смещениями для трехмерного уравнения Бианки / Е.А.Уткина // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 4. - С. 535 -539.

90. Уфлянд, Я.С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях / Я.С. Уфлянд // Инженер.-физ. журн. - 1964. - Т. 7. -№ 1. - С. 89 - 92.

91. Франклъ, Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Франкль // Изв. АН СССР. Серия математическая. - 1945.

- Т. 9. - № 2. - С. 121 - 142.

92. Франкль, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. - 1956. - Т. 20. - №2. - С. 196 - 202.

93. Франклъ, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль. -М.: Наука, 1973. - 703 с.

94. Хинчин, А.Я. Цепные дроби. / А.Я. Хинчин - М.: Наука, 1978. - 112 с.

95. Юнусова, Г.Р. Нелокальные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / Г.Р. Юнусова // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2011. - Т. 89. - № 8. - С. 108 - 117.

96. Юнусова, Г.Р. Обратная задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием / Г.Р. Юнусова // Научные ведомости Бел-ГУ, Серия: Математика. Физика. - 2011. - № 5 (100). - Вып. 22. - С. 153 -166.

97. Cannon, J.R. The solution of heat equation subject to the specification of energy / J.R. Cannon // Quart. Appl. Math. - 1963. - V. 21. - № 2. - P. 155

- 160.

98. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. Math, pura ed Appl. - 1963. - V. 62. - P. 371 - 377.

99. Popivanov N. The Darboux problem in R3 for a class of degenerating hyperbolic equations / N. Popivanov and M. Schneider //J. Math. Anal. Appl. - 1993. -V. 175. - P. 537 - 579.

100. Popivanov N. Asymptotic expansions of singular solutions for 3+1-D Protter problems / N. Popivanov, T. Popov, R. Scherer //J. Math. Anal. Appl. - 2007.

- V. 331. - P. 1093 - 1112.

101. Сидоров, С.H. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося парабо-ло-гинерболического уравнения / К.Б. Сабитов, С.Н. Сидоров // Дифференциальные уравнения. - 2014. - Т. 50. - № 3. - С. 356 - 365.

102. Сидоров, С.Н. Нелокальная задача для вырождающегося параболо-гиперболического-уравнения / С.Н. Сидоров // Доклады АМАН. - Нальчик. - 2012. - Т. 14. - № 3. - С. 34 - 44.

103. Сидоров, С.Н. Нелокальная обратная задача по определению правых частей вырождающегося уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / С.Н. Сидоров // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика.

- 2014. - № 25 (196) - Вып. 37. - С. 45 - 57.

104. Сидоров, С.Н. Обратная задача для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения с нелокальным граничным условием / К.Б. Сабитов, С.Н. Сидоров // Известия Вузов. Математика. - 2015. -№ 1. - С. 46 - 59.

105. Сидоров, С.Н. Критерий единственности решения одной нелокальной задачи для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения / С.Н. Сидоров // Материалы X школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". - Нальчик: КБ-НЦ РАН. - 2012. - С. 96 - 99.

106. Сидоров, С.Н. Существование и единственность решения одной нелокальной задачи для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения / С.Н. Сидоров // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского: материалы XI молодежной школы-конференции "Лобачевские чтения -2012". - Казань: Казан, матем. об-во. - 2012. - Т. 45. - С. 180 - 184.

107. Сидоров, С.Н. Критерий единственности решения одной обратной задачи для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения / С.Н. Сидоров // Дифференциальные уравнения и их приложения: сб. материалов Международной конференции. - Белгород: ИПК НИУ "БелГУ". - 2013. -С. 208 - 209.

108. Сидоров, С.Н. Критерий единственности решения обратной задачи для вырождающегося иараболо-гиперболи-ческого уравнения / С.Н. Сидоров // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной научной конференции: В 2 т. - Уфа: РИЦ БашГУ. - 2013. - Т. I. - С. 272 -277.

109. Сидоров, С.Н. Обратная задача для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения / С.Н. Сидоров // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского: материалы Двенадцатой молодежной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2013". - Казань: Казан, матем. об-во. - 2013. - Т. 47. - С. 160 - 163.

110. Сидоров, С.Н. Обратная задача для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения с неизвестной правой частью, неявно зависящей от времени / С.Н. Сидоров // Современные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения: материалы республиканской научной конференции с участием ученых из стран СНГ - Узбекистан: Изд-во Нац.университета Узбекистана. - 2013. - С. 103 - 104.

111. Сидоров, С.Н. Нелокальная задача для смешанного парабол о-гиперболического уравнения со степенным вырождением на переходной линии / С.Н. Сидоров // Материалы международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна ВЗМШ 2014". - Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга". - 2014. - С. 313 -316.

112. Сидоров, С.Н. Нелокальная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / С.Н. Сидоров // Материалы Четвертой международной конференции "Математическая физика и ее приложения". - Самара: СамГТУ. - 2014. - С. 327 - 328.

113. Сидоров, С.Н. Краевая задача для вырождающегося уравнения смешанного типа с неизвестными правыми частями /С.Н. Сидоров //VII Международная конференция по математическому моделированию: Тез. докл. -Якутск: ООО "Компания "Дани-Алмас". - 2014. - С. 70 - 71.

114. Сидоров, С.Н. Задача по определению правой части вырождающегося уравнения смешанного типа / С.Н. Сидоров // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского: материалы Международной научной конференции "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций - 2014". - Казань: Изд-во Казан, ун-та. - 2014. - Т. 49. - С. 304 -307.