Локальные и нелокальные краевые задачи для смешанных классических, сингулярных и дробных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Дзарахохов Азамат Валерианович

• Дзарахохов Азамат Валерианович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Дзарахохов Азамат Валерианович

Введение

1 Локальные и нелокальные краевые задачи

для параболо-гиперболических уравнений

1.1 Нелокальная краевая задача типа задачи Бицадзе-Самарского

для параболо-гиперболического уравнения

1.2 Краевая задача для параболо-гиперболического уравнения третьего порядка с данными на двух пересекающихся характеристиках

1.3 Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

1.4 Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллерстедта

2 Краевые задачи для смешанных уравнений

с оператором Бесселя

2.1 Существование и единственность решения задачи типа Трикоми для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками

2.2 Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа

третьего порядка с кратными характеристиками

2.3 Нелокальные краевые задачи со смещением для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа второго порядка

2.4 Об одной задаче для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с краевыми условиями третьего рода на границе параболической области

3 Задачи для смешанных уравнений с дробными производными

и дробными степенями оператора Бесселя

3.1 Нелокальная краевая задача для общего нагруженного

уравнения третьего порядка с дробной производной

3.2 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

с дробными степенями оператора Бесселя

3.3 Решение смешанных задач для параболических уравнений

с дробной степенью оператора Бесселя

3.4 Решение задачи для смешанного уравнения с дробной степенью оператора Бесселя

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локальные и нелокальные краевые задачи для смешанных классических, сингулярных и дробных дифференциальных уравнений»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, в силу своей теоретической и прикладной важности, является теория краевых задач для уравнений смешанного типа. В последнее время теория краевых задач для уравнений смешанного типа привлекает к себе внимание многих исследователей, интересующихся как самой теорией, так и ее приложением. Как следствие этого интереса появились результаты о разрешимости самых разнообразных уравнений смешанного типа, в том числе и дробного порядка.

Начало исследования краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. О. Трикоми [107] и С. Геллерстедта [122], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для уравнений

упхх + иуу = / (х,у), утпХх + иуу = д (х,у).

Новым этапом в развитии теории краевых задач для уравнений смешанного типа явились работы М. А. Лаврентьева, А. В. Бицадзе [70], А. В. Бицадзе [11, 12], К. И. Бабенко [3], И. Н. Векуа [22], Ф. И. Франкля [110,111].

Благодаря именно своей прикладной важности, теория краевых задач для уравнений смешанного типа за сравнительно короткий период стала одним из актуальных вопросов современной теории дифференциальных уравнений. В частности, смешанные уравнения находят свое применение в безмоментной теории оболочек со знакопеременной кривизной, задачах околозвуковой и сверхзвуковой газовой механики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, магнитогидродинамических течений с периодом через критические скорости. Это далеко еще не полный перечень областей, в которых теория уравнений смешанного типа находит свое применение.

Степень разработанности темы исследования. Интересные результаты по теории уравнений смешанного типа получены в работах В. Ф. Волкодаво-ва, В. Н. Врагова, Д. К. Гвазава, Т. Д. Джураева, В. И. Жегалова, Т. Ш. Каль-менова, Г. Д. Каратопраклиева, М. М. Мередова, Е. И. Моисеева, А. М. Наху-шева, С. П. Пулькина, Л. С. Пулькиной, М. С. Салахитдинова, К. Б. Сабитова,

М. М. Смирнова, О. А. Репина и многих других. Обзор многих исследований и их приложений имеется в работах А. В. Бицадзе [13], Л. Берса [9], К. Г. Гу-дерлея [24], Т. Д. Джураева [26], М. С. Салахитдинова [98,99], М. М. Смирнова [104], А. М. Нахушева [82], Е. И. Моисеева [76]. Обзор результатов по теории уравнений смешанного типа см. в [105,139]. Уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом рассматривались Н. В. Зайцевой в [56,57,142].

Если первоначально изучались преимущественно уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа, то в настоящее время понятие уравнений смешанного типа значительно расширилось и включает всевозможные комбинации двух или трех различных типов уравнений. В последнее время появился интерес и к смешанным дифференциальным уравнениям дробного порядка, в котором сочетаются как целые, так и дробные порядки дифференцирования [66,95,96,127].

Наряду с изучением основных краевых задач для смешанных уравнений, начиная с семидесятых годов прошлого века, возрос интерес к постановке и исследованию нелокальных краевых задач, т. е. задач с нелокальными краевыми условиями. Это объясняется прежде всего тем, что нелокальные краевые задачи содержат широкий класс локальных краевых задач и возникают при изучении различных вопросов прикладного характера, например, вопросов математической биологии [84], прогнозирования почвенной влаги [85], математического моделирования процессов излучения лазера [114], проблем физики плазмы [83] и т. д.

За прошедшие годы изучению краевых задач с нелокальными условиями были посвящены многочисленные работы, среди которых следует отметить работы А. В. Бицадзе, Ж. А. Балкизова, В. И. Жегалова; А. М. Нахушева и его учеников: М. Х. Абрегова, Х. Г. Бжихатлова, В. А. Елеева, С. К. Кумыковой, Т. И. Ланиной, И. Оразова; О. А. Репина; М. С. Салахитдинова и его учеников: М. Мирсабурова, А. К. Уринова; М. М. Смирнова.

Помимо описанных задач в настоящее время рассматриваются смешанные задачи для различных дифференциальных уравнений. В работе [18] рассмотрена смешанная задача для дифференциального уравнения первого порядка с

инволюцией в потенциале и периодическими краевыми условиями. Для смешанной задачи для волнового уравнения на графе классическое решение получено в [19]. В [20] исследована смешанная задача для дифференциальной системы первого порядка с двумя независимыми переменными и непрерывным потенциалом.

В теории уравнений с частными производными, в последнее время, особое место занимают краевые задачи для нагруженных уравнений. Интерес к таким задачам, прежде всего, связан с тем, что решение многих важных задач по оптимальному управлению агроэкосистемой, например, задач долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, сводятся к изучению нагруженных уравнений. Эти уравнения возникают при исследовании нелинейных уравнений, уравнений переноса частиц, задач оптимального управления, обратных задач, при численном решении интегро-дифференциальных уравнений.

Значительный вклад в развитие этого направления теории интегро-дифференциальных уравнений внесен работами М. Т. Дженалиева [25], А. М. Нахушева [89] и его учеников: А. Х. Аттаева [2], О. Л. Бозиева [14], А. Б. Бородина [15-17], С. К. Геккиевой [23], В. А. Елеева [48,52,53], З. А. Нахушевой [92], М. А. Ереджибоковой [55],В. М. Казиева [59-61], М. М. Кар-мокова [62], И. Х. Керефовой [65].

На сегодняшний день в имеющихся работах главным образом изучались нелокальные краевые задачи для эллиптико-гиперболических и гиперболо-параболических уравнений второго порядка. Что касается нелокальных краевых задач для уравнений смешанного и смешанного нагруженного гиперболо-параболического типа более высокого порядка, то они остаются малоисследованными.

В течении нескольких последних десятилетий внимание исследователей привлекает дробное интегро-дифференциальное исчисление. Появилось много различных конструкций производных и интегралов дробного (вещественного или комплексного) порядка. Появляется все больше моделей, представляющих собой интегро-дифференциальные уравнения с дробными производными в зада-

чах вязкоупругости, электрохимии, теории управления, моделирования эпидемий и др. Подробно о прикладных аспектах дробных операторов изложено в работе М.В. Шитиковой [112]. Естественно, возникает вопрос о поиске собственных функций для различных дробных производных. Для многих дробных производных, реализующих положительные вещественные степени оператора , этот вопрос решен, в частности в работах А.А.Килбаса, А.В. Псху ( [129], [94,134]).

Для решения дифференциальных уравнений дробного порядка и краевых задач для них в настоящее время все большее число исследователей привлекает теория операторов преобразования. Общая теория операторов преобразования популяризована и систематически изложена Р. В. Кэрроллом [115,116], Ж. Дельсартом [118,119], В. А. Марченко [74,75], Б. М. Левитаном [73], В. В. Ка-траховым и С. М. Ситником [64], [135].

Развитие этой теории и ее приложения к решению и исследованию дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах, в том числе содержащих операторы Бесселя было продолжено в работах С.М. Ситника и Э.Л. Шишкиной [101,102,136]. Но несмотря на то, что теория операторов преобразования представляет собой полностью оформившийся самостоятельный раздел математики, существует еще много различных нерешенных вопросов в этой области. В частности, все большую популярность приобретает задача отыскания операторов преобразования, переводящих собственную функцию одного оператора в собственную функцию другого оператора с заданными свойствами. Этот подход использован в работе [69] при построении точных и приближенных решений прямых и обратных задач для уравнений Штурма-Лиувилля с различными потенциалами.

Все вышеизложенное подчеркивает как теоретическую, так и практическую значимость постановки и исследования локальных и нелокальных краевых задач в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Актуальность этих исследований обусловлена также необходимостью обобщения классических задач для уравнений с частными производными. В связи с этим, тема является актуальной и необходимо дальнейшее исследование как локаль-

ных, так и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа второго и третьего порядков, уравнений смешанного типа дробного порядка, уравнений с оператором Бесселя целого и дробного порядка.

Основная научная цель работы — постановка и исследование новых локальных и нелокальных краевых задач типа задачи Бицадзе-Самарского, задач для уравнений смешанного и смешанно-нагруженного типов второго и третьего порядков, а также задач для уравнений с оператором Бесселя целого и дробного порядка.

Задачи исследования. Изложенная научная цель исследования обусловила необходимость решения следующих задач:

1. Доказательство существования и единственности решения задач для параболо-гиперболического уравнений 2-го и 3-го порядков, в том числе для задач с данными на характеристиках

2. Доказательство существования и единственности решения задач для смешанных уравнений 2-го и 3-го порядков содержащих оператор Бесселя, в том числе для задач с данными на характеристиках

3. Доказательство существования и единственности решения нелокальной краевой задачи для нагруженного смешанного уравнения 3-го порядка, содержащей производную дробного порядка.

4. Доказательство существования решения обыкновенных дифференциального уравнения, с оператором Бесселя дробного порядка. А также доказательство единственности решения начальной задачи для рассматриваемого уравнения.

5. Доказательство существования решения смешанных краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной степенью оператора Бесселя.

6. Доказательство единственности решения краевой задачи для смешанного уравнения с дробной степенью оператора Бесселя.

Научная новизна. В работе рассматриваются новые постановки задач для уравнений смешанного типа как с обычными так и с дробными дифференциальными операторами. Для рассматриваемых задач получены теоремы существования и единственности решений.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки теории локальных и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа. Основные результаты были внедрены в учебный процесс кафедры естественнонаучных дисциплин ФГБОУ ВО Горского ГАУ.

Методология и методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием известных методов теории смешанных дифференциальных уравнений, теории интегральных уравнений, теории операторов. В частности в работе применялся метод функции Грина и метод редуцирования задач к известным задачам. Существенное значение в получении результатов третей главы имеет метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений.

Положения, выносимые на защиту

1. Доказана теорема единственности решения нелокальной задачи для параболо-гиперболического уравнения 2-го порядка.

2. Доказана теорема существования и единственности решения задачи для параболо-гиперболического уравнения 3-го порядка с данными на характеристиках.

3. Доказана теорема существования и единственности решения задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

4. Доказана теорема существования и единственности решения задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллерстедта.

5. Доказана теорема существования и единственности решения задачи типа Трикоми для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.

6. Доказана теорема существования и единственности решения задачи для параболо-гиперболического уравнения третьего порядка с данными на двух пересекающихся характеристиках.

7. Доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи со смещением для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа

второго порядка.

8. Доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с краевыми условиями третьего рода на границе параболической области.

9. Доказаны теоремы существования и единственности решения краевой задачи для общего нагруженного уравнения третьего порядка с дробной производной для различных условий на коэффициенты уравнения.

10. Доказана теорема существования и единственности решения смешанной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором Бесселя дробного порядка.

11. Доказана теорема существования решения первой начально-краевой задачи для параболического уравнения с дробной степенью оператора Бесселя.

12. Доказана теорема единственности решения краевой задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения с дробной степенью оператора Бесселя.

Степень достоверности результатов исследования обусловлена корректностью доказателств математических утверждений и согласованностью с полученными ранее результатами. Доказательства базировались на известных методах исследований смешанных дифференциальных уравнений.

Апробация диссертации и опубликование ее результатов

Основные результаты диссертации докладывались автором на различных конференциях:

1. Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 29-31 мая 2004 г.)

2. Международная конференция Российско-Азербайджанского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (п.Эльбрус, 12-17 мая 2008 г.)

3. Международная конференция «Дифференциальные уравнения, математическое моделирование и вычислительные алгоритмы» (г.Белгород, 25-29 октября 2021 г.)

4. II Международная научно-практическая конференция «Современная ма-

тематика и её приложения» (г. Грозный, 24 октября 2021 г.)

5. Международная конференция «Современные проблемы математики» (г.Махачкала, 2006 г.)

6. Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием, посвященная 85-летию со дня рождения заслуженного деятеля науки РФ и ЯАССР, д.т.н., профессора Э.А. Бондарева «Актуальные вопросы теплофизики, энергетики и гидрогазодинамики в условиях Арктики» (Якутск, 12-17 июля

7. Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, 13-15 декабря 2021 г.)

8. Международная конференция "Partial Differential Equations and Related Topics" (г. Белгород, 15-19 июля 2022 г.)

9. Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования, XVII: Теория операторов и дифференциальные уравнения» (РСО-А, турбаза «Дзинага», 29 июня-5 июля 2023 г.)

10. Международная научная конференция «76-е Герценовские чтения». Современные проблемы математики и математического образования. (г.Санкт-Петербург, 18-20 апреля 2023 г.)

Основные результаты, полученные по теме диссертации опубликованы в работах [28-31, 36, 38, 40, 43, 45, 93, 120].

Структура диссертации

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы 132 страницы. Список литературы содержит 142 наименования.

Первая глава диссертации посвящена локальным и нелокальным постановкам краевых задач для смешанных параболо-гиперболических уравнений.

В параграфе 1.1. рассматривается нелокальная краевая задача типа задачи Бицадзе-Самарского для параболо-гиперболического уравнения.

Рассмотрим односвязную область Q на плоскости независимых переменных

2021 г.)

0

Uxx - Uy - Aiu, y > 0, Uxx - Uyy - A2u, y < 0.

(0.1)

х и у, ограниченную отрезками АА0, А0В0, В0В прямых х = 0, у = у0, х = I, соответственно, и характеристиками АС : х + у = 0; ВС : х — у = I уравнения (0.1).

Пусть О = О1 и О2, где О1 — часть области О, где у > 0; О2 — часть области О, где у < 0. Будем говорить, что — параболическая, а О2 — гиперболическая части области О; I — интервал 0 < х < I прямой у = 0; 0(х) = | — %| — аффикс точки пересечения характеристики уравнения (0.1), выходящей из точки х0 € I, с характеристикой АС.

Для решения уравнения (0.1), рассматриваемого в области О доказана теорема единственности регулярного решения.

Теорема 1. Уравнение (0.1) с краевыми условиями условиям

п(0,у) = ф1 (у), 0 ^ у ^ уо, (0.2)

(а1(у)пх + А(у)и)\Х=Х0 = (а2(у)их + в2(у)и)\х=1 + ^(У), (°.3)

п[в(х)]= а(х)п(х, 0) + Ь(х), Ух € I, (0.4)

где х0 — фиксированная точка интервала I; ф1,а1 ,а2, в1, @2,6 — заданные функции, непрерывные в замыкании области их определения, а, Ь€С 1(1 )ПС2(1) — заданные функции, @2(у) = 0, Уу € [0,у0], Л^ Л2=еопБ1>0, имеет единственное регулярное решение с непрерывной вплоть до линии х = I, 0 ^ у ^ у0 производной первого порядка по переменной х.

Во втором параграфе главы рассматривается краевая задача для параболо-гиперболического уравнения третьего порядка с данными на двух пересекающихся характеристиках

(Пххх — Пу + Л1П, у > 0,

' (0.5)

дх (Пхх — Пуу + Л2Пх + Лзп), у< 0

в области О, ограниченной при у > 0 отрезками АА0, ВВ0 и А0В0, прямых х = 0, х = 1, у = Н соответственно и характеристиками АС : х + у = 0, ВС : х — у =1 уравнения (0.5) при у < 0. Пусть О = О1 и О2, где О1 — часть области О, где у > 0; О2 — часть области О, где у < 0.

Доказана теорема существования и единственности решения рассматриваемой задачи

Теорема 2. В области О существует единственное решение уравнения (0.5), удовлетворяющее условиям и(х, у) е С (О) П С ^О и АА0) П СХ'1 (01) П С^^^СОг),

и(0,у) = Ф1(у), их(0,у) = ф2(У), и(1,У) = фз(У), 0 < у < й, (0.6) и(х, —х) = ^(х), 0 < х < -; и(х,х — 1) = ^2(х), - < х < 1, (0.7) где ф1,фзеС2(М), ф2еС1 (М), ^ь^еС3(М), причем ф1(0)=^(0), ф2(0)=^(1).

В параграфе 1.3. рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Пусть О — односвязная смешанная область плоскости независимых переменных х и у, ограниченная отрезками АА0, А0В0, В0В прямых х = 0, у = у0, х = I соответственно и характеристиками АС : х + у = 0, ВС : х — у = I уравнения

. иххх — иу — Л1М, у > 0, 0=4 у (0.8)

иххх иуух, у < 0;

ди

а1 (у) дх + в1(у )и(х,у)

и(0, у) = фl(y), их(0, у) = ф2(у), 0 < у < (0.9)

+ ¿(у), (0.10)

= ^а2(у) дх + в2(у )и(х,у)

х—хо ^ ^

с—/

ди

1

и|АС = ^1(х), дх^ = ^2(х) 0 < х < 2, (0.11)

где ф1 е С2(М), ф2 е С 1(М), а1 ,а2,А,в2,^ е С(М), е С3(М) — заданные

функции, причем в2(у) = 0, х0 е I, 01 = 0 П (у > 0), 02 = 0 П (у < 0), О = 01 и 02. Через I обозначен интервал 0 < х < I прямой у = 0. Для рассматриваемой задачи доказана

Теорема 3. Решение и(х,у) е С (О) П С 1(0) П С^^) П С^2^) задачи (0.8)-(0.11) в области О существует и единственно.

В параграфе 1.4. рассматриваются локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллерстедта

Пусть область П, ограничена отрезками AAo, BBo, AoBo прямых x = 0, x = 1, y = h соответственно и характеристиками

t ,—у 2 , ч m+2 2 , ч m+2

AC : x--— (-y)+ =0, BC : x + —-(-y) + =1

m+2 m+2

уравнения (0.16) в полуплоскости y < 0, A(y) — заданная непрерывная функция. Пусть П — часть области П, где y > 0 (область параболичности), П2 — часть области П, где y < 0 (область гиперболичности). Рассмотрим задачу

0=. uxx - Uy - A(y)u(xo,y), y> ° (012)

(-y)muxx - Uyy, y < 0, m = const ^ 0,

Ux(0,y) = ф1(у), u(1,y) = Ф2(y), 0 ^ y ^ h, (0.13)

uIbc = ^(x), 1 ^ x ^ 1, (0.14)

где ф1(у), ф2(y) — непрерывные, а ^(x) — дважды непрерывно дифференцируемая функции, причем

1 + A(0)(1 + xo - 2ex0-i) = 0. (0.15)

Для решения рассматриваемой задачи доказана

Теорема 4. Решение u(x,y) е C(П) П C ^П U AAo) П C^tti) П Cj^^) задачи (0.16)-(0.15) в области П существует и единственно. В той же области рассмотрена задача

0=. uxx - uy - A(y)u(x0,y), y> 0, (016)

(-y)muxx - uyy, y < 0, m = const ^ 0,

ux(0,y) = ф1(У), ux(1,y)+ a(y)u(xo,y) = ф2(У), 0 < У < h, (017)

u|bc = ^(x), 1 ^ x ^ 1, (0.18)

1 + a(0)exo-i + A(0)(1 + xo - ex0-i) = 0, (0.19)

для решения которой доказана

Теорема 5. Решение задачи (0.16), (0.17)-(0.19) существует и единственно.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию краевых задач для смешанных уравнений с оператором Бесселя.

В параграфе 2.1. Рассматривается задача типа Трикоми для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками. Рассматривается уравнение

{uxxx — uy + bux, y > 0, b G R, ,

jsjsjs у ^ i a i i (0 20)

(Bp)yU - (-y)mUxx, 0 < p< 1, m > 0, y< 0,

где (Bp)y = Jy2 + pjy — оператор Бесселя.

Решение (0.20) будем искать в конечной односвязной области П = П U П2, где П — область, ограниченная отрезками AA0, BB0, A0B0 прямых x = 0, x = 1, y = h соответственно, расположенных в полуплоскости y > 0. Область П2 ограничена характеристиками уравнения (0.20) при y < 0 вида:

* .—у 2 , , m+2 2 , , m+2

AC : x--— (-y)+ =0, BC : x + —-(-y) + =1

m + 2 m + 2

и отрезком AB.

Для решения уравнения (0.20) доказана

Теорема 6. Регулярное решение u = u(x,y) в П U П2 уравнения (0.20), такое, что u(x,y) £ C(П), при выполнении условий склеивания для уравнения на линии y = 0 вида

lim uy(x,y) = lim (-y)Puy(x,y), x £ [0,1]; (0.21)

и граничных условий

u(0,y) = ^i(y), ux(0,y) = ф2(у), u(1,y) = фз(у), 0 < y < h, (0.22)

u(x,y)|Ac = ^(x), 0 < x < 2, y < 0, (0.23)

где ф1, ф2, ф3 заданные на [0,1] непрерывные функции, ^ —дважды непрерывно дифференцируемая, заданная на [0,1/2] функция, для которых справедливы условия согласования вида ф1 (0) = ^(0), 02(0) = ^'(0). существует и единствен-нов области п при2фз(0)^2'(2)+ьфЗ(0)+ф2(0) > (^2(1))2+2ф1(0)^;(0)+Ьф2(0).

В параграфе 2.2. рассматривается краевая задача для параболо-гиперболического уравнения третьего порядка с данными на двух пересекающихся характеристиках.

Рассматривается уравнение

0 I uxxx - Uy + a(x, y)ux - Xu, y > 0,

\yuxx + (Ba)yU, -1 < а < 0, y< 0

где Ba — оператор Бесселя, в конечной односвязной области П, ограниченной отрезками AA0, BB0 и A0B0 прямых x = 0, x = 1 и y = h соответственно, расположенных в полуплоскости y > 0 и характеристиками AC : x - § (— y) 2 = 0, BC : x + §(—y)3 = 1 уравнения (0.24) при y < 0. Для рассматриваемого уравнения доказана

Теорема 7. Решение u(x,y) £ C(П) уравнения (0.24) в ^ U^2, такое, что на линии y = 0 изменения типа уравнения (0.24) выполняются условия склеивания

lim uy(x,y) = lim (-y)auy(x,y), x £ J; (0.25)

и u(x,y) удовлетворяет краевым условиям:

u(0, y) = ^i(y), ux(0,y) = ф2(у), u(1,y) = фз(у), 0 < y < h, (0.26)

u(x, y)\ac = '(x), (0.27)

где ф1, ф2, фз, Ф — заданные гладкие функции, причем выполнены обычные условия согласования: ф1(0) = ф(0) существует и единственно.

В параграфе 2.3. рассматриваются нелокальные краевые задачи со смещением для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа второго порядка.

Пусть Q — конечная односвязная смешанная область плоскости независимых переменных x и у, ограниченная отрезками AA0, BB0, A0B0 прямых x = 0, y = h, x = 1 соответственно и характеристиками

* .—y 2 2m+1 2 2m+l

AC : x--(-y) 2 =0, BC : x +--(-y) 2 =1

2m + 1V yj 2m + 1V yj

уравнения

. uxx - uy + Xiu, y > 0,

0^ (0.28)

y2m-1uxx + (BA2 )yu, y < 0

vxx 1 \j-jA2) y

где где B\2 — оператор Бесселя.

Пусть Q — параболическая, a Q2 — гиперболическая части в области Q; I — интервал 0<x<1; #о(ж)= ^f, — ^(2m+1)f ^ ,

^(ж)= ^ 1+f, —((2m + 1)(1—ж))2m+1^ — аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (0.28), выходящих из точки (ж, 0) G I с характеристиками AC и BC соответственно.

Уравнение (0.28) при y < 0 заменой s = (2m+1)2 (— y)2m+1 сводится к уравнению [48]

suss — Uff + pu = 0. (0.29)

Если через up обозначим решение уравнения (0.29) для р = 1, то как известно [48], имеет место соотношение

Up = S1-PU2—р. (0.30)

Пусть имеет место случай р = 2, т. е. Л2 = 1—22m. Тогда справедлива

Теорема 8. Решение u(x,y) уравнения (0.28) в области Q, y = 0 , непрерывное в Q и удовлетворяющее условиям

u|aaq = фо(У^ u|bb0 = 0 < y < h (0.31)

а(ж)и[0о(ж)] + в (ж)и[01(ж)] = y (ж), Vx G I, (0.32)

где ф0, ^1GC[0, h], а, в, YgC(I)ПС2(1 ) — заданные функции, причем функция lim(—y)(ж, y)=v(x)gC2(1 ), при ж=0,1 может обращаться в бесконечность интегрируемого порядка, существует и единственно. Для рассматриваемого уравнения справедлива также

Теорема 9. Регулярное в Q1U Q2 решение и=и(ж, y) уравнения (0.28), такое что u G C(Q)nC 1(Q1 U I)ПС 1(Q2 U I), удовлетворяющее условиям (0.31),

а(ж)(Вв+)хж2в—1 и[0о(ж)] + Ь(ж)(Лв—)f(1 — ж)2в—Ц^ж)] = с(ж), Vж G I (0.33)

и условию сопряжения

lim uy = lim (—y)A2 uy,

где Dq+, — правосторонний и левосторонний операторы дробного диффе-

ренцирования Римана-Лиувилля, в = 22(+m+1)1, a (ж), Ь(ж), с(ж) — известные

функции, причем a,b,cEÖ 1(J) П C2(J), a2(x) + b2(x) = 0 существует и единственно.

В параграфе 2.4. рассматривается задача для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с краевыми условиями третьего рода на границе параболической области. Рассмотрим уравнение

im

Uy - uxx + ux + Xou +Y1 Aju(x3,y), y > 0,

j=1 (0.34)

yuxx + (Ba)yu, -2 < а < 0, y < 0

где Ba — оператор Бесселя, в конечной односвязной области ограниченной отрезками AAo, BBo и AoBo прямых x=0, x=1 и y=h соответственно, расположенных в полуплоскости y>0 и характеристиками

2 3 2 3 AC : x - ^-y)3 = 0, BC : x + ^(-y)2 = 1

уравнения (0.34) при y < 0.

Пусть I — интервал 0<x<1. Будем полагать, что xj, j = 1,m — фиксированные точки из интервала I, причем для определенности будем считать, что 0<x1< ... <xm<1. Тогда справедлива

Теорема 10. Регулярное решение u(x,y) уравнения (0.34) в U Q2, такое, что на линии y = 0 вырождения типа уравнения (0.34), выполняются условия склеивания

u(x, +0) = u(x, — 0), x G I, lim uy = lim (—y)auy, x G I; (0.35)

и u(x, y) удовлетворяет краевым условиям

(du \

«1 ^ + A u)Lo = ^i(y), (a36)

(«2 du + в2 u)[=i = ф2(у), (0.37)

uIac = ф (x), (0.38)

где ф1, ф2, ф — заданные гладкие функции, причем а| + ßl = 0, k = 1, 2, и выполнены обычные условия согласования существует и единственно.

В третьей главе работы рассматриваются смешанные уравнения с дробными производными Римана-Лиувилля и уравнения с дробными степенями оператора Бесселя.

В параграфе 3.1. рассматривается нелокальная краевая задача для общего нагруженного уравнения третьего порядка с дробной производной.

Рассмотрим нагруженное уравнение смешанного типа третьего порядка

0 =

n

+ £ (x,y)u(xj,y) = f (x,y), y> 0,

n (0.39)

LTOu + bo(x,y)u + X] bi(x,y)Dp+ u(x, 0) - d(x,y), y < 0,

¿=1

где Lu = Uxxx - Uy + ai(x,y)ux + ao(x,y)u, LTO = dy2 - (-y)md&, m = const > 0, Dq+ — дробная производная в смысле Римана — Лиувилля при р > 0 или дробный интеграл Римана — Лиувилля при р < 0.

Пусть П — конечная односвязная область, ограниченная отрезками AA0,BB0 и A0B0 прямых x = 0, x = l, y = h соответственно, расположенных в полуплоскости y > 0, и характеристиками

AC : £ = x--—(—y)(m+2)/2 = 0, BC : n = x + -^(-y)(m+2)/2 = l,

m+2 m+2

оператора Lm, выходящими из точки C(1, yc), yc = —[(m + 2)l/4]2/(m+2).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дзарахохов Азамат Валерианович, 2024 год

- / й«

0 4

ж

00

т (£ )d£

£ т+2

1 '<А Ж

или

т(х) — т(0) — Ф1 (0) — ^^ + 81

! , ,ч т+4

(£ — «) 2т+4

ж 1

- / й«

1 ^ Ж

— 81П тт^Т-Т п 2т+4

Гй^ г

^ 4 (£—*)т

00

т+4 £ 2т+4

х

-т

0 ет

— £1 пт

= п 81П 2т+4

Ь — *) ^ / — х /

.0 0 (е—4) от 0 е и .

(1.92)

Преобразуем двойной интеграл в левой части равенства (1.92)

Л =

ж 1 ж е 2 1 ж 2

/ й« / т-^^егт+г = / т(£)й£ /(£ — «)—<Й + / т(£)й£ /(£ — г)—<Й

0 4 ^^ т+2

т+2 = т

т+2

0 0 ж 0

ж е 1 ж

/ т (£)й£ (£ —«)^ — / т (£ К (£ — «)

0 0 ж

/ж т /1 т /1 т

5 £^т(£)й£ + / £т(£)й£ — /(£ — х)^^т(£)й£

0жж

1 т 1 т I £т(£)й£ — /(£ — х) ^т(£)й£

0ж

т+2

(1.93)

Учитывая равенство (1.93) в (1.92), получим

т(х) — т(0) — т'(0)х — Л(0)т2жо)ж2 + X

X

/1 /1

т

/ £ т+2 т (£ )й£ — / (£ — х) т+2 т (£ )й£

0ж

пт 2т+4

/1

£1 • пт

--81П т,—тт

п 2т+4

2

/£ т (£ )й£=/(х),(1.94)

1

ж

ж

ж

т

где

/= С181П

п 2т+4

х ф ¿£ X(1 - г) ет (£ - г)^¿г +

п V / п

+ X ф (Чт) ¿£ X(1 - г)^ (£ - г) ^¿г - x / ф

_ V / п П V / е 2т+4

(1.95)

Преобразуем двойные интегралы в равенстве (1.95). В результате получим

е 1

т Г/ч т , -(т+4) Г т -(т+4)

Jз = (1 - г) 2т+4 (£ - г) 2т+4 ¿г = (1 - £г) 2т+4 [£(1 - г)] 2т+4 ^¿г =

т , , ч-т-4/. , ч т , г(1)г I 2т+4

= £ 2т+4 (1 - г) 2т+4 (1 - ) 2т+4 ¿г =-р---) £

т4

т

г 11 + т ' 1 1 + 2т+4

2т + 4

X

л ( , -т 3т + 4 Л (2т + 41 т Л -т 3т + 4 Л X 1;--Т;--г; £ = "-¿£X Р 1;--— --—; Л ,

2т + 4 2т + 4

т

2т + 4 2т + 4

т4

т4

I / \ / \ - - 1 I / \ / \ - --"»

J4 = (1 - г) 2^+4 (£ - г) ¿г = (1 - xz) 2т+4 (£ - xz) 2^+4 xdz =

т4

т4

, -т-4 ■ , ч -т-4 , ^ , т -т-4 Г (1)Г (2 1) = £ 2т+4 ^ (1 - xz) 2т+4 (1 - — г) 2т+4 ¿г = £ 2т+4 4 (2)- Х

о

т4

/ -т т + 4 ^ £ 2т+4 / -т т + 4 x\

Хр ^1;2т+4;2т+4;2;x;£) = р ^1;2т+4;2т+4;2;x;с).

Учитывая J3 и J4 в равенстве (1.95), окончательно будем иметь

С1 пт } = — 81П

п 2т + 4

1

/£ + 1\ ^ т (л -т 3т + 4 Л ^

ф Ч- £р —гг; о—гт; +

2

2т + 4 2т + 4

[ 1 £ + Л -т-4 -т т + 4 x\ „

+ ф £-т"4 р 1; ---; ---; 2; x; - ¿£

7 V 2 V 2т + 4 2т + 4' ' '£/ 4

Откуда заключаем, что /^ Е С(I) П С1(3). Таким образом, относительно тполучим интегральное уравнение Фредгольма второго рода

1

т(x) + J М(x, £)т (£) ¿£ = ¡Х^), о

(1.96)

1

х

х

где

km1 (£m+2 - mx£, 0 < £ < x,

m1 m+2 - (£ - x)m+2 - mx£, x < £ < 1,

F/ л г/ \ /тл А(0)т(x0) 2 , ci . nm

/(x) = /(x) + т(0) + ^1(0)x + v 7 v Jx2, k1 = — sin

2 ' 1 n 2m + 4

Так как max |M(x,£)| < 1, то обращая (1.96) через резольвенту R(x,t), (JxJ)

будем иметь

т (x) = f0 (x) + т (0)fi(x) + т (x0)f2(x), (1.97)

где i i

/0 (x)=/ (x)+ J R(x, £)/(£) d£+^(0)^x+ J R(x,£)£d^ +

+Ar( x2+ / R(x,£ )£2 d£). 0

Полагая в равенстве (1.97) x=x0 и x=1, однозначно определим т(x0)=х-^т(0), т(°)=(a(0)+(^)f!1i)+-f1i?1-)f2(,0)). если выполнены условия 1 - /2(x0) = 0, (а(0) + 1)fi(x0)f2(1) + fi(1 - /2(x0)) = 0.

После определения функции т(x) в области Пх приходим к задаче (1.65)— (1.66), и u(x, 0) = т(x), которая на основании свойств функции Грина, эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. В области П2 решение задачи (1.65), (1.84)-(1.86) задается формулой (1.69). □

ГЛАВА 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СМЕШАННЫХ УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ

В этой главе разделе мы имеем дело со смешанными уравнениями, содержащими сингулярный дифференциальный оператор Бесселя Вр вида

д2 р д

--+ ——.

ду2 у ду

Если у > 0, то для оператора Бесселя справедливо представление

(В)у = ^ + р-^, у е м, р е м. (2.1)

(В) =1 -уР-(Вр)у ур дуу ду.

2.1 Существование и единственность решения задачи типа Трикоми для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками

В этом параграфе исследуется краевая задача для сингулярного уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа с кратными характеристиками.

Мы рассмотрим уравнение

„ I ижжж иу + Ьиж, у > 0, Ь е И,

(Вр)уи — (—у)тМжж, 0 < р< 1, т > 0, у< 0,

где Вр — оператор Бесселя (2.1). Результаты о существовании и единственности задачи для уравнения (2.2) опубликованы в [45].

Аналог задачи Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего слагаемые с младшими производными для уравнения, отличного от уравнения (2.2) рассматривался в [4-6]. Нелокальная краевая задача типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения третьего порядка была рассмотрена в [28,29].

В конечной односвязной области О = О и О2, где О — область, ограниченная отрезками АА0, ВВ0, А0В0 прямых х = 0, х = 1, у = Н соответственно, расположенных в полуплоскости у > 0. Область О2 ограничена характеристи-

ками уравнения (2.2) при y < 0 вида:

. ___2 , ч m+2 _ _, 2 у . m+2

AC : x — -—2(—y)+ =0, BC : x + _—(—y)+ =1 m+2 —+2

и отрезком AB.

Решение u = u(x,y) уравнения (2.2) в области Q называется регулярным если u Е C(Q)ПC 1(Q)ПC2(Q2), uxxx,uy Е C(Q1) и функция v(x) = lim uy(x,y) =

y—0+

lim (—y)puy(x,y) при x — 0 и x — 1 может стремиться к бесконечности по-y—0—

рядка меньше единицы.

Далее мы будем использовать некоторые методы дробного исчисления. Пусть ^(x) Е L1(a,b), тогда интегралы

x

(/«>)(x) = f(a)/(x—hdt, x>a, (i3>

b

(/^)(x) = rR/(t—dt, x>a, (24>

x

где а>0, называются дробными интегралами порядка а на отрезке [a,b]. Если а > 0 и не целое, п=[а]+1 то левосторонняя и правосторонняя дробные производные Римана-Лиувилля порядка а на отрезке [a, b] функции f EL1(a, b) имеют вид:

x

(D+f)(x) = (" «Гf)(x) = ^ (ä7 , (2.5)

а

b

{DU)(x) = (£)"f)(x) = föT—O) ($7f—+i, (26>

x

где /an+—af, /bn_—af E Cn(a,b). Далее будем использовать обозначения D—+ = /а+,

D—a = /а Db— = Ib—.

Решение задачи

(Bp)y u — ymuxx = 0, —> 0, 0 < p< 1, y> 0, u(x, 0) = т(x), lim ypuy = v(x)

y—0+

единственно и имеет вид [81]

u(x, y) = Г2111 т (x + -+Г2y(2t — 1)) f-1(1 — t)q-1dt+

Г(2 - 2q)y1-p [W 2

m+2

-P)P(1 -g4x+m+2^(2t- r'(1 -trdt, (27)

где0 < q = imfi) <1.

Теорема 6. Регулярное решение u = u(x,y) в Qx U Q2 уравнения (2.2), такое, что u(x,y) G C(Q), при выполнении условий склеивания для уравнения на линии y = 0 вида

lm uy(x,y) = lim (-y)Puy(x,y), x G [0,1]; (2.8)

и граничных условий

u(0,y) = Ф^уХ ux(0,y) = Ф2(У), u(1,y) = Фз(У^ 0 < y < h (2.9)

u(x,y)|ac = ^(x), 0 < x < 2, y < 0, (2.10)

где фх, ф2, ф3 заданные на [0,1] непрерывные функции, ф — дважды непрерывно дифференцируемая, заданная на [0,1/2] функция, для которых справедливы условия согласования вида фх(0) = ф(0), ф2(0) = ф'(0). существует и единственно в области Q при 2ф3(0)ф2'(2) + Ьф2(0)+ф2(0) > (Ф2(1))2 + 2фх(0)ф1 (0) +

Ьф1(0).

Доказательство. Докажем единственность. Разделим доказательство единственности задачи на две части: в первой части докажем единственность решения задачи в области Q х, а во второй части — в Q2. Найдем решение u = u(x,y) уравнения

uxxx - uy + bux = 0, b = const, (2.11)

которое будет регулярным в области Q х, и такое, что uxx G C(Q2 U AA0 U BB0), удовлетворяет начальным условиям вида

u(x, 0) = 0, 0 < x < 1 (2.12)

и граничным условиям вида

u(0, y) = 0, ux(0,y) = 0, u(1, y) = 0, 0 < y < h. (2.13)

Предположим, что эта задача имеет нетривиальное решение

u = u(x, y) = v(x, y)eMX = 0, v = v(x, y) = 0, д > 0.

В этом случае мы имеем, что функция есть решение задачи

= ^ххх - ^ + - д v = 0,

^(ж, 0) = 0, 0 < х < 1

v(0,y) = 0, ^(0,у) = 0, v(1,y) = 0, 0 < у < к.

Рассмотрим область = {(ж, у) : £ < ж < 1 — £, £ < у < к — £, £ > 0}. Для этой области справедливо следующее равенство

J 2vLмvdжdy = J 2v— ^ + — дv)¿ж^у =

А (2™** — ^ + ^ — дУ

¿ж^у — 2д / v ¿ж^у = 0.

С учетом формулы Грина получаем

J 2vLмvdжdy = J (2vvxx — vX + + v2dж — 2д У v2dжdy = 0,

где д— граница области . Переходя к пределу при £ ^ 0, получим

н

У 2vLмvdжdy = — I ^(0, у>хх(0, у) — vX (0, у) + ^2(0, у))^у+

П1 0

н

+1 ^(1,у>хх(1,у) — ^(1,у) + ^ 2(1,у))^у+ 0

1 1 + У v2(ж, 0)^ж — У v2(ж,k)dж — 2^ У v 2^ж^у.

0 0 п1

Поскольку v(ж, 0) = 0 при 0 < ж < 1 и v(0,y) = 0, vx(0,y) = 0, v(1,y) = 0 при 0 < у < к, мы получим

/ 2vLмvdжdy = — / vX(1,у)^у — / v2(ж,k)dж — 2д / v2^ж^у < 0

./п1е Л Л

если v(ж, у) = 0 при д > 0. Но / 2vLмvdжdy = 0, следовательно v(ж,y) = 0

везде в и, поэтому, для однородной задачи (2.11)-(2.13) v(ж, у)емх = и(ж, у) = 0 везде в Следовательно, решение и(ж,у) поставленной задачи единственно в

Пусть u = u(x, y) — регулярное решение уравнениия (2.2), удовлетворяющее условиям

lim u(x,y)= lim u(x,y)=т(x), lim uy(x,y)= lim (—y)puy(x,y)=v(x). (2.14)

y—0+ y—0— y—0+ y—0—

Покажем теперь, что в области Q2 при условиях (2.9) (при y — —0) однородная задача Коши

uyy — (—y)muxx + -Щ = 0 (2.15)

y

имеет только тривиальное решение u(x,y) = 0.

Переходя к пределу в формуле (2.2) при y — 0+ и принимая во внимание условия (2.9) и (2.14), получим фундаментальные соотношения между функциями т(x) и v(x), возникающие при переходе из параболической части Q1 области Q через линию y = 0:

r"\x) + Ьт (x) = v(x), (2.16)

т(0) = ф1 (0), т'(0) = ф2(0), т(1) = фз(0). (2.17)

Для задачи (2.16)-(2.17) справедливо неравенство

1

J т(x)v(x)dx > 0. (2.18)

0

В самом деле,

1 1

/ т(x)v(x)dx = т(x)(т///(x) + br (x))dx =

= (т(x)т''(x) - 1(т'(x))2 + -т2(x)" "

1 Ь 1 ь

= Фз(0)ф2'(1) -11 (ф2(1))2 + 2(Фз(0))2 - Ф1 (0)ф1 (0) + 2(Ф2(0))2 - 2(Ф/(0))2 =

Ь 1/1 ь \

= Фз(0)ф2'(1) + 2фЗ(0) + 2ф2(0) - (2(ф2(1))2 + Ф1 (0)ф/(0) + ^1(0)) > 0

с учетом условия теоремы. Используя представление решения задачи Коши (2.7) при у < 0, принадлежащее С(О2) Р| С2(О2), получим

1

и^у) = ГЩ /т^ + т+-2(-у)(2г - 1)) гд-1(1 - г)ч-1(1г+

о

1

ЙЙР / V (ж + у)*(2» — ^(1 — (2.19)

0

Пусть

, ч ( ^1(ж), 0 < ж < 1/2, (ж) =

уф2(ж), 1/2 < ж < 1. С учетом условия (2.10), будем иметь

1

ж) = ГМ У т (2ж») »'_1(1 —

, ч , ,оч р 2 —2р 1

+Г(2 ЛЯ?:; ж" / "»•> <■—- -=

0

1

{ т (2ж») »9-1(1 —

ГМ I ^

Г2(;)

0

2 —2р 1

Г(2 — 2;) т+2 ж1"2« г ч , ч г ,

( ;М 2 ; - V (2ж») Г9(1 — »)-9^ = {2ж» = г} =

(1 — р)Г2(1 — ;) ]

0

2Х

Г(2;)(2ж)1-2а Г , . 9 7

v УЛ ; - т (г) г9-1(2ж — г+

Г2 (;)

0

2 —2р 2х

22«-1Г(2 — 2;) (^р) т+2

(1 — р)Г2(1 — ;) ]

0

27 1 V (г) г 9(2ж — г) 9¿г.

Тогда

X

т (г) г«-1(ж — гГ^г =

= ' (ж) - Т IV "> г- *

0

Используя обозначения дробного интеграла Римана-Лиувилля (2.3), получим

„29-1

гя а-1/4 Г(;)ж

1о+ж9 1т (ж) =

Г(2;)

' (ж) 22а—1Г(2 -2;) '^)1-29 г 1—9 ( ) Ф Ы--(1 -р)Г(1 -;)-7°+"ж 'У (ж)

, (2.20)

следовательно,

, , X1-0Г(д)

т ^ "ГсадТ"Х

X

тля 2о—1 I (X) 224 1Г(2 2я) ( +) по 2о- 1 г'-0 -а ( \

щ+x 0 ф (2)--(1 -р)Г(1 _Я)-Do+x ? VX 0V(x)

Можем записать

х

Dq+x2q—'1о'+"0x—qV (X) = —^—-Dq+x2q—1 [ V (г) г-0(X - г)-0¿г =

Г(1 - Я) .У

о

х £

1 d

г20-1(x - г)-0¿г V (г) г-0(г - г)-0¿г

Г(1 - я)Г(1 - я) dx

оо

Г(1 - Я)Ц1 - Я) I / V ) г-0/г20-1(г - 0^ -г)-0л

0 г

/Л220-1 d

х

[ V (г) г0-1 (X - г)1-202Х

Г(1 - Я)Г (I - я) dx

о

x

( 2 о

хР1 (Ч - 2я, 1 - Я; 2 - 2я; 1 - ¿г =

х

/Л220-1(1 - 2я) [ 0-1( )-ю (x)0-1 d

'V (г) г0 '(X - г) 20 I — I аг =

Г(1 - Я)Г (2 - Я) 0 ^

х

л/п220X0-1 Г ( )( )-20d у/п22°Г(1 - 2я) 0-11 ^ ( ) —--—л-Г V (г) (x - г) 20¿г = —--—л-Гxq 110+ V(x) =

Г(1 - я)Г (1 - я)/ ()( ) Г(1 - я)Г (2 - я) 0+ ()

= X0-Ч';20 V (X).

Следовательно, x1—0 Г(я)

т (X) =

Г(2Я) Г(Я)

^ 20-1, (X) ^'Г^ - 2Я) (т+^)1-2" 0-111 — 2о ( , Dо0+X 0 ф У--(1 --)Г(1 -я)-3 1о+0V^

■X) -2o-'Г(- - 2я) (т+20

I " I '/ ~ /// I - I -

Г(2Я)

Для ф = 0 имеем

т (X) = С (р,т)1^+20 V (X) (р,т) =--(1 - р)Г(2я)Г(1 -Я) < 0'

поскольку 0 < р < 1 и 0 < д < 1. Тогда

*(х) = СРт °0-2"т (х).

1

По теореме 1.7.1 из [81] мы получим / т(х)ц!,+2чт(х)(х > 0, тогда

о

1 1

/ т(х)V(х)(х — —г / т(х)^0-2чт(x)dx < 0. (2.21)

о

С (р, т)

Следовательно, из (2.18) и (2.21), получим / т(x)v(х)(х = 0. Это означает,

о

что т(х) = 0 и V(х) = 0. В силу (2.19), получаем, что решение задачи

Р

иуу + -Пу - (-—)тижж = 0, и(х, —) |АС = 0 —

при дополнительных требованиях из условий доказательства теоремы тождественно равен нулю в Это означает, что решение рассматриваемой задачи в единственно.

Докажем теперь, что при выполнении условий теоремы 6 регулярное решение уравнения (2.2), удовлетворяющее условиям (2.8)-(2.10) существует.

Нам нужно показать разрешимость задачи (2.16)-(2.17), где функции т и V связаны равенством (2.20). Тогда, используя функции т и V, решение рассматриваемой задачи в области может быть найдено как решение задачи

^^ххх иу | — 0,

u(x, 0) = т(x), их(0,у)— ф^у), их(0, —) = ф2(-), и(1,У)— ф3(—),

которая разрешима в в области В этом случае решение рассматриваемой нами задачи определяется как решение задачи Коши (2.7).

Итак, докажем, что функции т и V существуют. Из (2.20) получаем

V(х) = хЧ_(1 - р)Г(1- д)_ Г^1-ч , (х\ В1-Чх1-2ч 1Ч хч-1 (х)

V(х) = х 22ч-1Г(2 - 2д) (т+2)1-2ч Г0+ П2) Г(д) х х т(х).

Далее, исключая из (2.16) функцию V(х) получаем краевую задачу для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка

т '"(х) + Ьт'(х) — р(х).

где

т(0) = Ф1(0), т'(0) = Ф2(0), т(1) = фз(0),

p(x) = p(x) + E¡ (2.22)

о

p(x) = —(1 - p)r(1- q)1 2 xq(x)

P( ) 22q-ir(2 - 2q) (m+2)1-2q 0+ П2l (1 - р)Г(1 - q) r(2q)

E X 22«"1Г(2 - 2q) (m+a)1-2q r(q) ' Полагая т(x) = h(x) + Ax2 + Bx + C и принимая во внимание граничные условия (2.17) вместо (2.16)-(2.17) получаем задачу с однородными краевыми условиями относительно h(x)

fc'"(x) + bh'(x) = p(x) + f (x), (2.23)

h(0) = 0, h'(0) = 0, h(1) = 0, (2.24)

где f (x) = 2(фз(0) - Ф2(0) - ф1(0) + ф2(0).

Построим для задачи (2.23)-(2.24) функцию Грина, которая будет существенно зависеть от корней характеристического уравнения

k3 - k = 0, (2.25)

соответствующего однородному уравнению

hw(x) - h'(x) = 0 (2.26)

при b = -1. Обозначим через D = 4 - 27А2 дискриминант уравнения (2.25).

Пусть D < 0, т. е. А £ (-го; -2/(3л/3)) U(2/(3\/3); го). В этом случае характеристическое уравнение (2.24) имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня. Общее решение уравнения (2.26) имеет вид

h(x) = c1 exp(a0x) + exp[(-a0x)/2](c2 cos yx + c3 sin yx), (2.27)

где

3 А /А2 1 з А /А2 1 а0 = V 2 V Т - 27 + V 2 -VТ - 27,Y

x

V3

'л +

А 1

л

А2 1

4 27

4 27

В силу граничных условий (2.24) для функции (2.27), получим систему

h(0) = ci + С2 = 0, h'(0) = aoci - f C2 + тез = 0, h(1) = c1 exp a0 + c2 exp(-^) cos y + c3 exp(-^) sin 7 = 0

с определителем Д(А) = 7 exp a0 — (7 cos 7 + |a0 sin y) exp (—. Пусть Л таково, что Д(А) = 0. Будем искать функцию Грина ее в виде

G0(x,£) =

a1 exp(a0x) + а2 exp(—"тx) cos yx+

+a3 exp(—а0x) sin yx, 0 < x < £, b1 exp(a0x) + b2 exp(—x) cos yx+

+b3 exp(—a0x) sin yx,

£ < x < 1.

Функция Грина G0(x,£) непрерывна в точке x = £ вместе со своей первой производной по х, а ее вторая производная по х в этой точке терпит скачок, равный 1. Это дает:

(bi - а{) exp(ao£) + (b2 - а2) exp(-a0£) cos y£+ + (b3 - аз) exp(-f£) sin y£ = 0, ao(bi - ai) exp(ao£) + (b2 - а2) (-a0 cos y£ - 7 siny£) exp (-a0£) +

+(Ьз — аз) (y cos y£ — ^ sin

ao 2

in y£) exp (—f£) =0,

—"4° — Y7 cos y£ + Ya0 sin y£