Начально-граничные задачи для B-гиперболического уравнения с нелокальными интегральными условиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Зайцева, Наталья Владимировна

• Зайцева, Наталья Владимировна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Зайцева, Наталья Владимировна

Оглавление

Введение

Глава 1. Начально-граничные задачи для В-гиперболического уравнения с интегральным граничным условием первого рода 18 §1.1. Начально-граничная задача с интегральным условием первого рода при к > 1

1.1.1. Постановка задачи. Единственность решения

1.1.2. Существование решения задачи

1.1.3. Устойчивость решения задачи

§1.2. Начально-граничная задача с интегральным условием первого рода при —1<к<1,к^0

1.2.1. Постановка задачи. Единственность решения

1.2.2. Существование решения задачи

1.2.3. Устойчивость решения задачи

§1.3. Начально-граничная задача с интегральным условием первого рода при к < — 1

1.3.1. Постановка задачи. Единственность решения

1.3.2. Существование решения задачи

1.3.3. Устойчивость решения задачи

Глава 2. Начально-граничные задачи для В-гиперболического уравнения с интегральным граничным условием второго рода

§2.1. Начально-граничная задача с интегральным условием второго рода при к > 1

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Единственность решения задачи

2.1.3. Существование решения задачи

2.1.4. Устойчивость решения задачи

§2.2. Начально-граничная задача с интегральным условием второго рода при —1<к<1,к^0

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Единственность решения задачи

2.2.3. Существование решения задачи

2.2.4. Устойчивость решения задачи

§2.3. Начально-граничная задача с интегральным условием второго рода при к < — 1

2.3.1. Постановка задачи

2.3.2. Единственность решения задачи

2.3.3. Существование решения задачи

2.3.4. Устойчивость решения задачи

Библиографический список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Начально-граничные задачи для B-гиперболического уравнения с нелокальными интегральными условиями»

Введение

Bv = 7—г Н——, к = const.

у rio- ■

Теория краевых задач для вырождающихся или сингулярных гиперболических уравнений представляет собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Это объясняется ее многочисленными приложениями в газовой динамике, теории оболочек, магнитной гидродинамике и других областях науки и техники. Особое место занимают исследования уравнений, содержащих дифференциальный оператор Бесселя

д2 к д ду2 уду

Интерес к вырождающимся уравнениям гиперболического типа вызван не только необходимостью решения прикладных задач, связанных с различного рода колебательными процессами, но и интенсивным развитием теории уравнений смешанного типа, которое тесно связано с изучением эллиптических и гиперболических уравнений, вырождающихся на границе области. Большое количество работ в этой области принадлежит К.И. Бабенко, A.B. Бицадзе, С.П. Пулькину, A.M. Нахушеву, В.Ф. Волкодавову, К.Б. Сабитову, P.C. Хайруллину и др.

Интерес к задачам, связанным с оператором Бесселя, известен как со стороны фундаментальной физики, так и со стороны абстрактных геометрий. Так, еще в работах А. Ванштейна [105, 106, 107] и Р. Гильберта [100] было отмечено, что в случае осесимметрических переменных сферическое преобразование координат выявит интегральное выражение, содержащее обобщенные сдвиги, «нагруженные» переменные и сингулярные дифференциальные операторы, порожденные оператором Бесселя

д2и д2и к д Ави = + —-г + -— = 0. от/ ду/ у ду

Обширное исследование по изучению оператора А в принадлежит И. А. Куприянову [26, 27, 29], Л.И. Ляхову [38, 39, 40], И. Раджабову [60], С.М. Ситни-

ку [78, 79, 80] и другим ученым. Краевые задачи для эллиптических уравнений с оператором Бесселя исследовались в работах Ф.Г. Мухлисова [43, 44, 45] и его учеников P.M. Асхатова [1], М.Ю. Денисовой [16], Э.Д. Хусаиновой [89], Э.В. Чеботаревой [90]. Краевые задачи для параболических и гиперболических уравнений с оператором Бесселя изучены сравнительно мало. Смешанные задачи для параболических уравнений с оператором Бесселя рассматриваются в работе Н.Э. Бенуара и H.H. Юрчука [4]. В работе И.Б. Гарипова [8] методом интегрального преобразования Фурье-Бесселя решена задача Коши для однородного и неоднородного параболического уравнения с оператором Бесселя и другие краевые задачи. Работы H.A. Киприянова и Л.А. Иванова [28], Н.И. Юрчука [93], С.А. Бейлина [95], С.М. Гафуровой [10], С.М. Гафуровой и И.Б. Гарипова [11, 12], Ю.К. Сабитовой [69] посвящены исследованию гиперболических уравнений с оператором Бесселя.

Отметим, что в последнее время в теории дифференциальных уравнений с частными производными бурно развивается направление теории нелокальных задач. Это объясняется необходимостью обобщения классических задач математической физики и постановки качественно новых, вызванной задачами современного естествознания. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений возникают во многих областях науки: физике, химии, биологии. Нелокальными задачами принято называть задачи, в которых вместо классических начальных и граничных условий задаются условия, связывающие значение решения (и, возможно, его производных) в точках внутренних и граничных многообразий.

Нелокальные задачи для различных классов дифференциальных уравнений изучались Ф.И. Франклем [86] - [88], В.И. Жегаловым [18, 19], J.R. Cannon [101, 102], A.B. Бицадзе и A.A. Самарским [5], A.M. Нахушевым [47, 48, 49], А.П. Солдатовым [82, 83], Н.И. Ионкиным [23], A.B. Бицадзе [6], А.Л. Скуба-чевским [81], В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [20] - [21], [42], М.Е. Лерне-ром и O.A. Репиным [35] - [37], Н. Поливановым [103, 104], Л.С. Пулькиной [55] - [58], В.А. Нахушевой [50], З.А. Нахушевой [51], А.И. Кожановым [31], М.С. Салахитдиновым и М. Мирсабуровым [72], Л.И. Сербиной [76], Е.А. Уткиной [84, 85], К.Б. Сабитовым [64, 65, 66] и его учениками Ю.К. Сабито-

вой [69, 70, 71], JI.X. Рахмановой [61], H.B. Мартемьяновой [41], Г.Р. Юнусо-вой [91, 92], С.Н. Сидоровым [77] и другими авторами.

В трансзвуковой газовой динамике Ф.И. Франкль [87] впервые для уравнения Чаплыгина

К{у)ихх + иуу = 0,

где К(0) = 0, К'(у) > 0, поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия и(0,у) — и(0, —у) = f(y)} 0 < у < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная по нормали искомой функции

В.И. Жегаловым [18] впервые для уравнения Лаврентьева-Бицадзе изучен аналог задачи Трикоми с нелокальным условием, связывающим значение искомого решения на обеих характеристиках (задача со смещением).

Исследованию задач со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типа посвящены также работы А.М. Нахушева [47, 48, 49].

A.B. Бицадзе и A.A. Самарским [5] для уравнения Лапласа были предложены задачи с нелокальным условием, связывающим значения искомого решения во внутренних точках области со значениями на границе. Эта работа, можно сказать, послужила отправной точкой для исследований нелокальных задач для эллиптических уравнений, продолженных в работах А.К. Гущина [14], А.К. Гущина и В.П. Михайлова [15], А.Л. Скубачевского [81].

Исследования нелокальных задач для параболических уравнений представлены в работах H.H. Ионкина [23], А. Бузиани [97], А.И. Кожанова [30, 32], И.Б. Гарипова [9] и других авторов.

Нелокальные задачи для гиперболических уравнений изучаются с 90-х годов и вызывают большой научный интерес, обусловленный выбором доказательства разрешимости нелокальных задач видом самих этих условий. Исследованию таких нелокальных задач посвящены работы В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [22], Л. Бижевского [99], Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили [13, 94], А. Бузиани [98], Л.С. Пулькиной [55] - [58], Л.С. Пулькиной и О.М. Кечиной [59], А.И. Кожанова [33], С.А. Бейлина [95, 2], В.Б. Дмитриева [17] и других авторов.

К нелокальным условиям относятся и условия, заданные в виде интегралов.

Задачи с интегральными условиями возникли при изучении некоторых физических процессов, границы областей протекания которых могут оказаться недоступными для непосредственных измерений, но среднее значение искомых величин известно. Нелокальные интегральные условия можно считать обобщением дискретных нелокальных условий. Нелокальные задачи с интегральными условиями встречаются при математическом моделировании некоторых процессов теплопроводности, влагопереноса в капилярно-пористых средах, процессов, происходящих в турбулентной плазме, при изучении задач математической биологии, а также при исследовании некоторых обратных задач математической физики.

В работах Л .С. Пулькиной [57, 58] впервые методами функционального анализа изучены краевые задачи с интегральными условиями для телеграфного уравнения и для более общих уравнений гиперболического типа с гладкими коэффициентами

utt - {а(х, t)ux)x + с(х, t)u = /(ж, t).

В работе Л.С. Пулькиной [56] были введены термины «интегральные условия первого и второго рода». Согласно данной работе, если нелокальное условие содержит только интегральный оператор, то такое условие принято называть интегральным условием первого рода. А если нелокальное условие помимо интегрального оператора содержит значение искомого решения или его производных на границе области исследования, то условие такого вида называется интегральным условием второго рода. В работе Л.С. Пулькиной и А.И. Кожанова [31] была доказана однозначная разрешимость краевых задач с нелокальным интегральным условием для многомерных гиперболических уравнений, что явилось важным шагом в исследовании подобных задач.

Данная диссертационная работа посвящена изучению нелокальных краевых задач с интегральными граничными условиями первого и второго родов для одного гиперболического уравнения с оператором Бесселя, которое по аналогии с работой H.A. Киприянова [29, с. 5] будем называть £>-гиперболическим уравнением. Исследованию нелокальных задач для уравнений с оператором Бесселя посвящены работы И.И. Юрчука [93], Н.Э. Бенуара и H.H. Юрчука [4], А. Bouziani, S. Mesloub [96], С.А. Бейлина [95, 2] и других авторов.

Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений нелокальных краевых задач для £>-гипер-болического уравнения

д

UBU{X, t) ЕЕ Utt ~ (^Ux) = 0 (0.1)

в прямоугольной области, где к = const 0.

Уравнение (0.1) возникает, например, при переходе от декартовых координат к цилиндрическим в волновом уравнении при изучении радиальных колебаний газа в неподвижной неограниченной цилиндрической трубке, также при переходе к сферическим координатам при исследовании малых колебаний газа около его положения равновесия внутри непроницаемой оболочки сферической формы [34, с. 185, 191]. В работе С.П. Пулькина [53] впервые и обстоятельно изучены задачи Коши и Коши-Гурса для уравнения (0.1) при всех к > 1 в характеристическом треугольнике, а в работе [62] показана некорректность постановки этих задач при к < 0.

Работа К.Б. Сабитова и P.P. Ильясова [63] посвящена изучению задачи Три-коми, а работы P.M. Сафиной [74, 75] - изучению задач Дирихле и Келдыша для уравнений смешанного типа, у которых гиперболическая часть совпадает с уравнением (0.1).

Во введении дается обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты.

В главе 1, состоящей из трех параграфов, для уравнения (0.1) исследуются начально-граничные задачи с нелокальными интегральными граничными условиями первого рода. Поставленные задачи с нелокальным интегральным условием первого рода эквивалентно сведены к локальным начально-граничным задачам со смешанными краевыми условиями. Методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решений эквивалентных задач. Решения построены в явном виде в виде рядов Фурье-Бесселя и приведено обоснование сходимости рядов в классе регулярных решений. Доказательство единственности решений эквивалентных задач проводится на основании полноты системы собственных функций соответствующих одномерных задач на собственные значения в пространстве квадратично суммируемых функций с весом. Для доказательства существования решений этих задач используются оценки

коэффициентов рядов и систем собственных функций. Получены достаточные условия относительно начальных условий, которые гарантируют сходимость построенных рядов в классе регулярных решений. Затем показана однозначная разрешимость первоначальных задач и доказана устойчивость их решений. Рассмотрим £>-гиперболическое уравнение (0.1) в прямоугольной области

D = {(x,t)|0 < ж < /, 0 < t < Т},

где I > 0, Т > 0, к - заданные действительные числа. Для уравнения (0.1) в этой области в зависимости от значений параметра к поставлены и исследованы следующие нелокальные задачи.

Задача 1.1. Пусть к > 1. Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую следующим условиям:

u(x,t) е Cl{D) nC2(D), (0.2)

DBu(x,t) = 0, (x,t)eD, (0.3)

и(х,0) = <p(x), щ(х,0) = ф(х), 0 < x < I, (0.4)

i

J u(x, t) xk dx = A = const, 0 < t < T, (0.5)

о

где A - заданное число, tp{x), ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования

i i

J сp{x)xkdx = A, J ifj(x)xkdx = 0. (0.6)

о о

Задача 1.2. Пусть —l<k<luk=£0. Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.2) - (0.5) и условию

lim xkux(x, t) = 0, 0 < t < Т, (0.7)

где функции <р{х), ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования (0.6).

Из постановки задач 1.1 и 1.2 видно, что граничное условие (0.5) является нелокальным. Такое интегральное условие ранее возникло в работах I.R. Cannon [101], Л.И. Камынина [24], И.И. Ионкина [23] для уравнения теплопроводности,

например, в работе Н.И. Ионкина [23] при изучении вопроса об устойчивости разрежения плазмы. Физически нелокальное условие (0.5) означает постоянство внутренней энергии системы.

В работах Л .С. Пулькиной [57, 58] впервые методами функционального анализа изучены краевые задачи с интегральными условиями типа (0.5) и более сложными условиями для уравнения (0.1) при к = 0. В работе К.Б. Сабитова [64] впервые исследована краевая задача для смешанного параболо-гиперболического уравнения в прямоугольной области с нелокальным условием (0.5).

Задача 1.3. Пусть к < —1. Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.2) - (0.4) и условиям

w(0,i) = 0, 0 <t<T, (0.8)

i

J и(х, t)xdx = А = const, 0 <t<T, (0.9)

о

где А - заданное число, (р(х), ф(х) - заданные, достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования

i i

J сp(x)xdx = A, J ф(х) х dx = 0. (0.10)

о о

Для примера здесь приведем результаты по задаче 1.1 для уравнения (0.1) при k > 1.

Отметим, что в случае £>-эллиптического уравнения

ии + х~к-Ц- (хких) = 0

при к > 1 в силу результатов работ М.В. Келдыша [25], С.П. Пулькина [54] в классе ограниченных решений отрезок х = 0 границы области освобождается от граничного условия Дирихле. При этом в работах С.П. Пулькина [54], К.Б. Сабитова [68, с. 68] показано, что производная по нормали, то есть их, на отрезке х = 0 равна нулю.

Аналогичная ситуация имеет место и для уравнения (0.1) при к > 1. Разделяя переменные нетрудно показать, что справедливо равенство

Ux(0,t) = 0, 0 <t<T. (0.11)

Тем самым устанавливается дополнительное свойство решения задачи 1.1. В дальнейшем равенством (0.11) можно воспользоваться или этот факт не использовать в последующих доказательствах, что зависит от поведения производной их при х —>• 0. Если эта производная при х —>• 0 остается ограниченной, то нет необходимости в условии (0.11), что и будет показано.

Задача (0.2) - (0.5) эквивалентно сведена к задаче (0.2) - (0.4) с локальным граничным условием второго рода

их(1,г) = о, о <г<т. (0.12)

Методом спектрального анализа решение задачи (0.2) - (0.4), (0.12) построено в виде суммы ряда

оо

и(х,г) = ^2ип(г)хп(х), (0.13)

п= 1

где

Фп

= (рпсо8\п1 + —^ втАп£, (0-14)

Аг

I I

л

(Рп= ф(х)х Хп(х)йх, фп= ф(х)х Хп(х)йх, (0.15)

о о

Хп(х) = -Хп(х), (0.16)

Хп(х) = х 2 ,1к_1(\пх), пеМ, (0.17)

I

2,До,/) ~~

\Хп\\19Ж1) = / р{х)Х2п{х)йх, р(х) = хк. (0.18)

о

Здесь З^х) - функция Бесселя первого рода порядка V. Собственные значения ¡1п определяются как нули уравнения

Л±!Ы = 0, ¡1=\1. (0.19)

Справедлива следующая

Теорема 0.1.1. Если существует решение задачи (0.2) - (0.4), (0.12), то оно единственно.

Доказательство единственности решения проводится на основе полноты системы собственных функций спектральной задачи Хп(х) в пространстве ^[0, /] с весом хк.

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 0.1.1 .Для достаточно больших п и при любом £ е [0, Т] справедливы оценки

М*)|<С1^п| + 1^5 (0-20)

К{1)\ <С2{п\ч>п\ + \фп\), (0.21)

и

"(t)\ < С3 (n2\ipn\ + n\ipn\) , (0.22)

где Ci - здесь и далее положительные постоянные.

Лемма 0.1.2.Для достаточно больших п и при всех х Е [0,/] выполнены оценки:

\Хп(х)\ <С4, (0.23)

\Х'п(х)\ < С5п, (0.24)

\Х"(х)\ < С6п2. (0.25)

Лемма 0.1.3. Если функция (fix) Е С2[0,1] и существует производная f"'{x), имеющая конечное изменение на [0,функция ф{х) Е С1[0,/] и существует производная ф"(х), которая имеет конечное изменение на [0,и

f'{0) = f"(0) = ф'(0) = f\i) = ф\1) = о,

то выполняются оценки:

Ы < % ш < % (0.26)

п4 п6

На основании лемм 0.1.1 - 0.1.3 доказаны следующие утверждения.

Теорема 0.1.2. Если функции f{x) и ф(х) удовлетворяют условиям леммы 0.1.3, то существует единственное решение u(x,t) задачи (0.2) - (0.4), (0.12), определяемое рядом (0.13), при этом u(x,t) Е C2(D).

Теорема 0.1.3. Если функции f{x) и ф(х) удовлетворяют условиям леммы 0.1.3 и условиям (0.6), то существует единственное решение задачи (0.2) - (0.6), определяемое рядом (0.13), при этом u(x,t) Е C2{D).

Теорема 0.1.4. Для решения задачи (0.2) - (0.6) справедлива оценка

и\\ь2гР(0,1) < Ci3(IMU2,,(0,0 + \\Ф\\ь2гДО,/))

(0.27)

где

J p(x)\f(x)\2dx, р(х) = х

к

О

Аналогично доказаны теоремы единственности, существования и устойчивости решений задачи 1.2 для уравнения (0.1) при —1<к<1:к^0и задачи 1.3 для уравнения (0.1) при к < — 1.

Глава 2 посвящена изучению нелокальных задач с интегральными граничными условиями второго рода для уравнения (0.1) при к > 1; —1 < к < 1 и к ф 0; к < — 1. Также методом спектрального анализа доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач и установлен критерий единственности задачи в случае к < — 1. Единственность решения задач в случаях к > 1 и —1<к<1,к^0 доказана методом интегральных тождеств. Решения задач получены в виде рядов Фурье-Бесселя.

Для уравнения (0.1) в прямоугольной области И в зависимости от к поставлены и исследованы следующие нелокальные задачи.

Задача 2.1. Пусть к > 1. Найти функцию и(х^), которая удовлетворяет следующим условиям:

о

Здесь (р(х), ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям

u{x,t) g C\D) r\C2{D) DBu(x,t) = 0, (x,t) <E D, u(x, 0) = ip(x), щ(х, 0) = ф(х), 0<x<

(0.28) (0.29) (0.30)

(0.31)

(0.32)

о

0

Задача 2.2. Пусть — 1<к<1ик=£0. Найти функцию и{х,Ь), удовлетворяющую условиям (0.28) - (0.31) и условию

lim xkux{x, t) = О, О < i < Т,

(0.33)

где функции (р(х), ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям (0.32).

Задача 2.3. Пусть k < — 1. Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям

u{x,t) G Cl(D) C\C2{D) (0.34)

DBu(x,t) = 0, (x,t)eD, (0.35)

u(x, 0) = ip(x), щ(х, 0) = ф(х), 0 <x<l, (0.36)

w(0,i) = 0, 0<i<T, (0.37)

(.xk~lu{x,t))' + u(x,t)xdx = 0, 0 <t<T,

x X=l I

(0.38)

где (p(x), ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям

i i

(xk ltp{x))' + / (p(x)xdx = 0, ( Х х=1 I

хк 1щх

))1

Х=1

+

x)xdx = 0. (0.39)

Рассмотрим здесь задачу 2.3 для уравнения (0.1) при к < — 1. Решение задачи (0.34) - (0.39) построено в виде суммы ряда

где

оо

u(x,t) = ^2un{t)Xn(x),

п= 1

VF^

(0.40)

XI - l2~k

un{t) = (fin cos Xnt + ^ sin X„t+

Xn

[V(/) + (к - 1 )(p(l)] Ji_k(Xnl) (cos Vf^t- cos Л ntj +

\1) + (к-1)ф(1)}^(Хп1)х

х (у/!*12 вт г - у вт Хпг) , (0.41)

т

I I

Л™ „/. _ /

(Рп= (р(х)х' Хп(х) (1х, г[)п = / ф(х)х Хп(х) (1х, (0.42)

о о

= -Х„(ж), (0.43)

хп(ж) = ж 2 ^(Апж), пеМ, (0.44)

где норма определяется по формуле (0.18), а собственные значения есть нули уравнения

= /х = Л/. (0.45)

На основании полноты системы собственных функций (0.43) строится доказательство единственности решения задачи. Справедлива

Теорема 0.2.1. Если существует решение задачи (0.34) ~ (0.39), то оно единственно.

Также справедливы следующие утверждения.

Лемма 0.2.1. Для достаточно больших п и при любом £ е [0, Т] справедливы оценки

\ип{1) | <К1^п\ + —)+ — + —3— + + (0.46)

\и'М < к2 (п\<рп\ ++ ^ ++ +1^21, (0.47) \и'М < кз (п2\<рп\ + ть11рп|) + п1/2|^(/)| + + п1/2^/)) + (0.48)

Для функций (0.43) справедливы оценки леммы 0.1.2. А функции (р(х) и ф(х подчиним следующим условиям

Лемма 0.2.2. Если функция <р(х) е С2[0,/] и существует производная (р"'(х), имеющая конечное изменение на [0,функция ф{х) е с1 [0, /] и существует производная ф"(х), которая имеет конечное изменение на [0,и

т = м) = (р'(о) = ¿(1) = ^(о) = = о, ^(0) = ф{1) = ф'(0) = ф'{1) = о,

то выполняются оценки:

Ы < Щ, Ш < (0.49)

п4 п6

С учетом условий леммы 0.2.2 коэффициенты un{t) ряда (0.40) примут вид

Фп

un(t) = (fin cos X„t + —- sin Ant. (0.50)

Хп

При выполнении условий лемм 0.2.1, 0.1.2, 0.2.2 справедлива следующая

Теорема 0.2.2. Если функции fi(x) и ф(х) удовлетворяют условиям леммы 0.2.2 и выполнены условия (0.39), то существует единственное решение задачи (0.34) ~ (0.39), определяемое рядом (0.40), при этом сумма ряда u{x,t) G C2(D).

Для решения задачи (0.34) - (0.39) справедлива оценка теоремы 0.1.4.

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты.

1. Найдены промежутки изменения параметра к: к < —1; —1<к<1ик^0; к > 1, в которых начально-граничные задачи с интегральным условием первого рода для £>-гиперболического уравнения в прямоугольной области поставлены корректно. В каждом из этих случаев доказаны теоремы единственности, существования и устойчивости решения задач. Решения построены в виде суммы ряда Фурье-Бесселя по собственным функциям одномерной спектральной задачи с соответствующим обоснованием сходимости рядов в классе регулярных решений уравнения (0.1).

2. Установлены промежутки изменения параметра к: к < — 1; — 1 < к < 1 и к ф 0; к > 1, в которых нелокальные задачи с интегральным условием второго рода для уравнения (0.1) в прямоугольной области поставлены корректно. Доказаны теоремы единственности, существования и устойчивости решения задач, которые построены в виде суммы ряда по собственным функциям одномерной спектральной задачи. Установлены достаточные условия сходимости рядов в классе регулярных решений уравнения (0.1).

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета, лаборатории прикладной математики и информатики отдела физико-математических и технических

наук Стерлнтамакского филиала Института стратегических исследований Республики Башкортостан (Стерлитамак, руководитель семинара - д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов), кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, руководитель семинара - д.ф.-м.н., профессор В.И. Жегалов), кафедры высшей математики и математического моделирования Казанского (Приволжского) федерального университета (Казань, руководитель семинара - д.ф.-м.н., профессор Ю.Г. Игнатьев), а также на следующих всероссийских и международных конференциях:

1. Международная научная конференция "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций - 2014" (г. Казань, 29 сентября - 1 октября, 2014 г.); 2. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и математическое моделирование" (г. Улан-Удэ, 22 - 27 июня, 2015 г.); 3. Международная научная конференция "Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных" (г. Москва, 16 - 18 июня, 2016 г.); 4. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, посвященная юбилеям П.А. и А.П. Широковых (г. Казань, 26 июня - 2 июля, 2016 г.); 5. Международная научная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и информатики" (г. Нальчик, 17 - 21 октября, 2016 г.); 6. Международная научная конференция "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики" (г. Москва, 31 октября - 3 ноября, 2016 г.); 7. XV Всероссийская молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения-2016" (г. Казань, 24 - 29 ноября, 2016 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [108] - [110], [119] - [121].

Глава 1. Начально-граничные задачи для ^-гиперболического уравнения с интегральным граничным условием первого рода

В этой главе для £>-гиперболического уравнения

в прямоугольной области И = {(ж,£)| 0 < х < I, 0 < £ < Т}, где I > О, Т > О, к ф 0 - заданные действительные числа, изучены вопросы о корректности постановки нелокальных краевых задач с интегральными условиями первого рода в зависимости от коэффициента к. Методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решений поставленных задач, которые построены в виде суммы ряда Фурье-Бесселя.

§1.1. Начально-граничная задача с интегральным условием первого

рода при к > 1

1.1.1. Постановка задачи. Единственность решения

Рассмотрим уравнение (1.1) в прямоугольной области И при к > 1 и поставим начально-граничную задачу с нелокальным условием.

Задача 1.1. Найти функцию удовлетворяющую следующим услови-

ям:

Пви(х, ¿) = ии-х к— (хких) = О

дх

(1.1)

и{х,г) е С1 {Б) пС2(Л), Пви(х^) = 0, (ж,£)е1), и(х, 0) = (р(х), щ(х, 0) = ф(х), 0 <х<1,

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

о

где А - заданное число, <р(х), ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования

I I

1ф)хЫх = А, Jф(x)xkdx = 0. (1.6)

о о

В данном параграфе изучается краевая задача (1.2) - (1.6) без локальных граничных условий на боковых сторонах прямоугольника И. Методом спектрального анализа на основании работ [64, 65, 66] доказаны теоремы единственности, существования и устойчивости решения задачи (1.2) - (1.6). При этом решение построено в виде суммы ряда Фурье-Бесселя и приведено обоснование сходимости ряда в классе регулярных решений (1.2) и (1.3).

В случае £>-эллиптического уравнения

иы + х~к-Ц- (хких) = О

при к > 1 в силу результатов работ М.В. Келдыша [25], С.П. Пулькина [54] в классе ограниченных решений отрезок х = 0 границы области освобождается от граничного условия Дирихле. При этом в работах С.П. Пулькина [54], К.Б. Сабитова [68, с. 68] показано, что производная по нормали, то есть их, на отрезке х = 0 равна нулю.

Аналогичная ситуация имеет место и для уравнения (0.1) при к > 1. Разделяя переменные нетрудно показать, что справедливо равенство

их(0,1) = 0, 0 <1<Т. (1.7)

Если умножить уравнение (1.1) на хк и проинтегрировать при фиксированном Ь € (0,Т) по переменной х на промежутке от £ до 1-е, где £ > 0 достаточно малое число, то получим

1-е 1-е

/ иихк ¿х — / — ( хк— ) с1х = 0.

.) .) ох \ ох)

£ £

Отсюда будем иметь

1-е

[ ( Л кИ ( кди\

Жч и[Х' )Х Vе д^с)

£

1-е

е

Переходя здесь к пределу при £ —>• 0, в силу условий (1.2) и (1.5) получим локальное граничное условие

их(1,г) = 0, 0 <г<Т. (1.8)

В дальнейшем вместо задачи (1.2) - (1.6) будем рассматривать задачу (1.2) -(1.4), (1.8).

Частные решения уравнения (1.1), не равные нулю в области И и удовлетворяющие условиям (1.2) и (1.8), будем искать в виде и(х^) = Х(х)Т^). Подставляя данную функцию в уравнение (1.1) и условие (1.8), после разделения переменных получим относительно функции Х(х) спектральную задачу

Х"{х) + -Х\х) + Х2Х(х) = О, 0 <х<1, (1.9)

ОС

|Х(0)|<+ос, Х\1) = 0, (1.10)

где Л2 - постоянная разделения.

Умножим уравнение (1.9) на ж2 и с помощью замены переменных по формулам

х(х) = х^г(с), ^ = (1.11)

уравнение (1.9) приводится к уравнению Бесселя

' <1е Ч

к - 1\2

г = о. (1.12)

2 )

Известно, что общее решение уравнения (1.12) имеет вид

^(0 = ^1^(0 + ^2^(0, (1-13)

где «Л, (0 - функция Бесселя первого рода, 1^(0 - функция Бесселя второго рода порядка V = (к — 1)/2, Р2 - произвольные постоянные.

С учетом (1.11) и (1.13), общее решение уравнения (1.9) определяется по формуле

Х{х) = Рхх^З^Хх) + Р2ж^Уи(Лж). (1.14)

Для того, чтобы функция (1.14) удовлетворяла первому условию из (1.10), положим Р\ = 1, Р2 = 0. Тогда решение примет вид

Х{х) = х^гЗ^Хх). (1.15)

Заметим, что производная функции (1.15):

Х'(0) = О,

что подтверждает справедливость свойства (1.7).

Подставляя функцию (1.15) во второе условие из (1.10), найдем

Jfc+i ip) = 0, ц=\1. (1.16)

Согласно [52, с. 317], для нулей уравнения (1.16) при больших п справедлива асимптотическая формула

¡±п = Хп1 = тт + + О ( — ) . (1.17)

4 \п J

Также известно [7, с. 633], что система собственных функций (1.15) ортогональна и полна в пространстве Ь2[0, /] с весом хк.

Таким образом, система собственных функций задачи (1.9), (1.10) имеет вид

Хп(х) = x^Jk_1 = x^Jk_i(Xnx), neN. (1.18)

Для удобства дальнейших вычислений систему функций (1.18) ортонормиру-ем:

Хп(х) = -Хп(х), (1.19)

\Xn\\L2tP(0,l)

где

i

I\Хп\\l2,p(o,i) = J р(х) Xlix) dx, р(х) = хк. (1.20)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зайцева, Наталья Владимировна, 2017 год

Библиографический список

1. Асхатов, P.M. Решение основных краевых задач для некоторых сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов: автореферат дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / P.M. Асхатов. - Казань, Казан, гос. ун-т, 2000. - 14 с.

2. Бейлин, С.А. Смешанная задача с интегральным условием для волнового уравнения / С.А. Бейлин // Неклассические уравнения математической физики. ИМ СО РАН. Новосибирск. - 2005. - С. 37 - 43.

3. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи.

- М.: Наука, 1974 (2-е изд.). - Т. 2. - 296 с.

4. Бенуар, Н.Э. Смешанная задача с интегральным условием для параболических уравнений с оператором Бесселя / Н.Э. Бенуар, H.H. Юрчук // Дифференц. уравнения. - 1991. - Т. 27. - № 12. - С. 2094 - 2098.

5. Бицадзе, A.B. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 185. - № 4.

- С. 739 - 740.

6. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе. - М.: Наука, 1981. - 448 с.

7. Ватсон, Г.Н. Теория Бесселевых функций. Т. 1 / Г.Н. Ватсон. - М.: ИЛ, 1945. - 787 с.

8. Гарипов, И. Б. Решение задачи Коши и некоторых краевых задач для параболического уравнения с операторм Бесселя: автореферат дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / И.Б. Гарипов. - Казань, Казан, гос. ун-т, 2012. -13 с.

9. Гарипов, И. Б. Краевая задача для одного параболического уравнения с операторы Бесселя с интегральным условием первого рода / И.Б. Гарипов, P.M. Мавлявиев // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. - 2013. - Вып. 1. - С. 5 - 12.

10. Гафурова, С.М. Смешанная задача для £>-гиперболического уравнения / С.М. Гафурова // Изв. вузов. Математика. - 2003. - № 5. - С. 70 - 73.

11. Гафурова, С.М. Смешанная задача для гиперболического уравнения с операторм Бесселя по пространственным переменным / С.М. Гафурова, И.Б. Гарипов // Труды Второй Всероссийской научной конференции "Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Матем. моделирование и краев. задачи"( Самара, 1-3 июня 2005 г.). - Самара: СамГТУ. - 2005. - Ч. 3.

- С. 72 - 74.

12. Гафурова, С.М. Решение смешанной задачи для одного гиперболического уравнения с оператором Бесселя в четверти круга / С.М. Гафурова, И.Б. Гарипов // Труды Третьей Всероссийской научной конференции "Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Матем. моделирование и краев, задачи"( Самара, 29 - 31 мая 2006 г.). - Самара: СамГТУ. - 2006.

- Ч. 3. - С. 84 - 87.

13. Гордезиани, Д.Г. Решение нелокальных задач для одномерных колебаний среды / Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили // Матем. моделирование. -2000. - Т. 12. - № 1. - С. 94 - 103.

14. Гущин, А.К. Об условии компактности одного класса операторов и его приложение к исследованию разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений / А.К. Гущин // Математический сборник. - 2002. - Т. 193. -№5. -С. 17-36.

15. Гущин, А.К. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка / А.К. Гущин, В.П. Михайлов // Математический сборник. - 1994. - Т. 185. - № 1. - С. 121 - 160.

16. Денисова, М.Ю. Исследование основных краевых задач для некоторых В-полигармонических уравнений методом потенциалов: автореферат дне. ...

канд. фнз.-мат. наук: 01.01.02 / М.Ю. Денисова. - Казань, Казан, гос. ун-т, 2002. - 13 с.

17. Дмитриев, В. Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения / В.Б. Дмитриев // Вестник СамГУ. - 2006. - № 2(42). -С. 15 - 27.

18. Жегалов, В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та. - 1962. - Т. 122. -кн. 3. - С. 3 - 16.

19. Жегалов, В.И. Задача Франкля со смещением / В.И. Жегалов // Изв. вузов. Математика. - 1979. - № 9. - С. 11 - 20.

20. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, E.H. Моисеев // Докл. АН СССР. - 1986. - Т. 291. - № 3. - С. 534 - 539.

21. Ильин, В.А. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Матем. моделирование. - 1990. - Т. 2. - № 8. - С. 139 - 156.

22. Ильин, В.А. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36. - № 5. - С. 656 - 661.

23. Ионкин, И.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 13. - № 2. - С. 294 - 304.

24. Камынин, Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями / Л.И. Камынин // Журн. ВМ и МФ. - 1964. - Т. 4. - № 6. - С. 1006 - 1024.

25. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М.В. Келдыш // ДАН. - 1951. - Т. 77. - № 2. - С. 181 - 183.

26. Киприянов, И. А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с оператором Бесселя / И.А. Киприянов // Докл. АН СССР. - 1964. - Т. 158. - № 2. - С. 275 - 278.

27. Киприянов, И.А. Фундаментальные решения £>-эллиптических уравнений / H.A. Киприянов, В.И. Кононенко // Дифференц. уравнения. - 1967. -Т. 3. - № 1. - С. 114- 129.

28. Киприянов, И.А. Фундаментальные решения однородных В-гиперболических уравнений / H.A. Киприянов, Л.А. Иванов // Сиб. матем. журнал. - 1980. - Т. 21. - № 4. - С. 95 - 102.

29. Киприянов, И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И.А. Киприянов. - М.: Наука. Физматлит, 1997. - 208 с.

30. Кожанов, А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнения теплопроводности и Аллера / А.И. Кожанов // Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40. - № 6. - С. 763 - 774.

31. Кожанов, А.И. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, Л .С. Пулькина // ДАН. - 2005. - Т. 404. - № 5. - С. 589 - 592.

32. Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных задач для линейных параболических уравнений / А.И. Кожанов // Вестник СамГУ. - 2008. - № 3(62). - С. 165 - 174.

33. Кожанов, А.И. Нелокальные задачи для линейных гиперболических уравнений с граничными условиями, содержащими временную производную / А.И. Кожанов // Доклады АМАН. - 2010. - Т. 12. - № 1. - С. 40 - 52.

34. Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / И.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. - М.: Высшая школа, 1970. - 712 с.

35. Лернер, М.Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Сиб. матем. журнал. - 1999. - Т. 40. - № 6. - С. 1260 - 1275.

36. Лернер, М.Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Дифференц. уравнения. - 1999. - Т. 35. - № 8. - С. 1087 - 1093.

37. Лернер, М.Е. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца / М.Е. Лернер, O.A. Репин // Дифференц. уравнения. - 2001. - Т. 37. - № 11. - С. 1562 -1564.

38. Ляхов, Л.Н. Преобразование Фурье-Бесселя ядра сингулярного интегрального оператора, порожденного обобщенным сдвигом / Л.Н. Ляхов // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск. - 1986. - С. 75 - 83.

39. Ляхов, Л.Н. Обращение £>-потенциалов / Л.Н. Ляхов // ДАН. - 1991. -Т. 321. - № 3. - С. 466 - 469.

40. Ляхов, Л.Н. Преобразование Киприянова-Радона / Л.Н. Ляхов // Тр. МИ-АН. - М.: Наука. - 2005. - Т. 248. - С. 153 - 163.

41. Мартемьянова, Н.В. Обратная задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием / Н.В. Мартемьянова // Вестник Сам-ГУ - Естественнонаучная серия. - 2010. - Т. 80 - № 6. - С. 27 - 38.

42. Моисеев, E.H. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. - 1999. - Т. 35. -№ 8. - С. 1094 - 1103.

43. Мухлисов, Ф.Г. О существовании и единственности решения некоторых уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя / Ф.Г. Мухлисов // Изв. вузов. Математика. - 1982. - № 10. - С. 58 -71.

44. Мухлисов, Ф.Г. О функции Грина одной сингулярной задачи математической теории дифракции / Ф.Г. Мухлисов // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск. - 1989. - С. 143 -146.

45. Мухлисов, Ф.Г. Обобщенное решение задачи типа Дирихле для некоторых сингулярных уравнений / Ф.Г. Мухлисов // Сиб. матем. журнал. - 1990. -Т. 31. - № 6. - С. 79 - 91.

46. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон - 3-е изд. - М.: Наука, 1974. - 480 с.

47. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. - 1969. - Т. 5. - № 1. - С. 44 - 59.

48. Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных / A.M. Нахушев - М.: Наука, 2006. - 287 с.

49. Нахушев, A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. - 1978. - Т. 15. - № 1. - С. 66 - 73.

50. Нахушева, В.А. Дифференциальные уравнения математическоих моделей нелокальных процессов / В.А. Нахушева. - М.: Наука, 2006. - 174 с.

51. Нахушева, З.А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений / З.А. Нахушева. - Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2011. - 189 с.

52. Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции / Ф. Олвер. - Изд-во Мир, 1986. - 381 с.

Р

53. Пулькин, С.П. Некоторые краевые задачи для уравнений uxx±uvv-\—их = 0

х

/ С.П. Пулькин // Ученые записки Куйбышевского государственного педагогического института. - 1958. - Вып. 21. - С. 3 55.

54. Пулькин, С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстед-та / С.П. Пулькин // Изв. вузов. Математика. - 1960. - № 6(19). - С. 214 -225.

55. Пулькина, Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения / Л .С. Пулькина // Матем. заметки. - 2003. - Т. 74. - Вып. 3. - С. 435 - 445.

56. Пулъкина, Л. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / Л .С. Пулькина // Дифференц. уравнения. - 2004.

- Т. 40. - № 7. - С. 887 - 892.

57. Пулькина, Л. С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений / Л .С. Пулькина. - Самара: Изд-во "Самарский университет", 2012. - 194 с.

58. Пулькина, Л. С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода / Л .С. Пулькина // Изв. вузов. Математика. - 2012. - № 4. - С. 74 - 83.

59. Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике / Л.С. Пулькина, О.М. Кечина // Вестник СамГУ. - 2009. - № 2(68). - С. 80

- 88.

60. Раджабов, Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями / И. Раджабов. - Душанбе, 1982. - 171 с.

61. Рахманова, Л.Х. Решение нелокальной задачи спектральным методом для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной / Л.Х. Рахманова // Известия вузов. Математика. - 2007. - № 11 (546). -С. 36 - 40.

62. Сабитов, К.Б. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений / К.Б. Сабитов, P.P. Ильясов // Изв. вузов. Математика. - 2001. - № 5. - С. 59 - 63.

63. Сабитов, К.Б. Решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом спектральным методом / К.Б. Сабитов, P.P. Ильясов // Изв. вузов. Математика. - 2004. - № 2(501). - С. 64 - 71.

64. Сабитов, К. Б. Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 10. - С. 1468 - 1478.

65. Сабитов, К.Б. Нелокальная задача для уравнения параболо-гииерболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Матем. заметки. - 2011. - Т. 89. - Вып. 4. - С. 596 - 602.

66. Сабитов, К.Б. Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа / К.Б. Сабитов, Н.В. Мартемьянова // Известия Вузов. Математика. - 2011. - № 2. - С. 71 - 85.

67. Сабитов, К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // К.Б. Сабитов, Э.В. Баталова // Дифференц. уравнения. - 2013. - Т. 49. - № 1. - С. 68 - 78.

68. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа / К.Б. Сабитов. - М.: Физматлит, 2014. - 304 с.

69. Сабитова, Ю.К. Нелокальные начально-граничные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения / Ю.К. Сабитова // Известия Вузов. Математика. - 2009. - № 12. - С. 49 - 58.

70. Сабитова, Ю.К. Критерий единственности решения нелокальной задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области / Ю.К. Сабитова // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 8. -С. 1205 - 1208.

71. Сабитова, Ю.К. Краевая задача с нелокальным интегральным условием для уравнений смешанного типа с вырождением на переходной линии / Ю.К. Сабитова // Матем. заметки. - 2015. - Т. 98. - № 3. - С. 393 - 406.

72. Салахитдинов, М. С. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами / М.С. Салахитдинов, М. Мирсабуров. -Ташкент: Universitet, 2005. - 224 с.

73. Сафина, P.M. Задача Келдыша для уравнения смешанного типа второго рода с оператором Бесселя / P.M. Сафина // Дифференц. уравнения. -2015. - Т. 51. - № 10. - С. 1354 - 1366.

74. Сафина, P.M. Задача Дирихле для уравнения Пулькина в прямоугольной области / P.M. Сафина // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучн. сер. - 2014. - № 10. - С. 91 - 101.

75. Сафина, P.M. Задача Келдыша для уравнения Пулькина в прямоугольной области / P.M. Сафина // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучн. сер. - 2015. - № 3. - С. 53 - 64.

76. Сербина, Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водонасосных системах / Л.И. Сербина. - М.: Наука, 2007. - 167 с.

77. Сидоров, С.Н. Нелокальная задача для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения / С.Н. Сидоров // Доклады АМАН. - Нальчик. - 2012. - Т. 14. - № 3. - С. 34 - 44.

78. Ситник, С.М. Операторы преобразования для сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя / С.М. Ситник // Сб. науч. тр.: Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск. - 1989. - С. 179 - 185.

79. Ситник, С.М. Композиционный метод построения £>-эллиптических, В-параболических и £>-гиперболических операторов / С.М. Ситник, В.В. Ка-трахов // Доклады РАН. - 1994. - Т. 337. - № 3. - С. 307 - 311.

80. Ситник, С.М. Применение операторов преобразования Бушмана-Эрдейи и их обобщений в теории дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах: автореферат дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / С.М. Ситник. - Воронеж, Воронеж, гос. ун-т, 2016. - 32 с.

81. Скубачевский, А.Л. Неклассические краевые задачи. I, II / А.Л. Скубачев-ский // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2009. - Т. 26. - С. 3 - 132; Т. 33. - С. 3 - 179.

82. Солдатов, А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением / А.П. Солдатов // Дифференц. уравнения. - 1974. - Т. 10. - № 1. -С. 143 - 152.

83. Солдатов, А.П. Об одной нелокальной задаче теории функций / А.П. Солдатов, Л.А. Ковалева // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 3. -С. 396 - 409.

84. Уткина, Е.А. Об одной краевой задаче со смещениями в четырехмерном пространстве / Е.А.Уткина // Изв. вузов. Математика. - 2009. - № 3. -С. 50 - 55.

85. Уткина, Е.А. Задача со смещениями для трехмерного уравнения Бианки / Е.А.Уткина // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 4. - С. 535 -539.

86. Франкль, Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Франкль // Изв. АН СССР. Серия математическая. - 1945. - Т. 9. - № 2. - С. 121 - 142.

87. Франкль, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. - 1956. - Т. 20. - №2. - С. 196 - 202.

88. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль. -М.: Наука, 1973. - 703 с.

89. Хусаинова, Э.Д. Решение некоторых сингулярных задач математической теории дифракции методами Фурье и потенциалов: автореферат дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Э.Д. Хусаинова. - Казань, Казан, гос. ун-т, 2004. - 13 с.

90. Чеботарева, Э.В. Решение краевых задач для многомерных вырождающихся £>-эллиптических уравнений методом потенциалов: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Э.В. Чеботарева. - Казань, КГУ, 2010. - 133 с.

91. Юнусова, Г. Р. Нелокальные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / Г.Р. Юнусова // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2011. - Т. 89. - № 8. - С. 108 - 117.

92. Юнусова, Г.Р. Обратная задача для уравнения смешанного типа с нелокальным граничным условием / Г.Р. Юнусова // Научные ведомости Бел-ГУ, Серия: Математика. Физика. - 2011. - № 5 (100). - Вып. 22. - С. 153 -166.

93. Юрчук, Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых гиперболических уравнений / Н.И. Юрчук // Дифференц. уравнения. -1986. - Т. 22. - № 12. - С. 2117 - 2126.

94. Avalishvili, G. On integral nonlocal boundary value problems for some partial differential equations / G. Avalishvili, M. Avalishvili, D. Gordeziani // Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences. - 2011. - V. 5. - № 1. - P. 31 -37.

95. Beilin, S.A. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with nonlocal conditions / S.A. Beilin // Electronic Journal of Differential Equations.

- 2001. - № 76. - P. 1 - 8.

96. Bouziani, A. A strong solution of an envolution problem with integral condition / A. Bouziani, S. Mesloub // Georgian Mathematical Journal. - 2002. - V. 9.

- № 12. - P. 149 - 159.

97. Bouziani, A. On the solvability of a nonlocal problem arising in dynamics of moisture transfer / A. Bouziani // Georgian Mathematical Journal. - 2003. -№ 4. - P. 607 - 622.

98. Bouziani, A. On integral nonlocal boundary value problems for some partial differential equations / A. Bouziani, N. Benouar // Bull. Belg. Math. Soc. -1996. - № 3. - P. 137 - 145.

99. Byszewski, L. Existance and uniqueness of solutions of nonlocal problems for hyperbolic equation uxt = F(x,t,u,ux) / L. Byszewski // Journal of Applied Math, and Stochastic Analysis. - 1990. - V. 3. - № 3. - P. 163 - 168.

100. Gilbert, R.P. Function Theoretic Method in Partial Differential equations / R.P. Gilbert. - New York - London: Academic Press, 1969. - 311 p.

101. Cannon, J.R. The solution of heat equation subject to the specification of energy / J.R. Cannon // Quart. Appl. Math. - 1963. - V. 21. - № 2. - P. 155

- 160.

102. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. Math, pura ed Appl. - 1963. - V. 62. - P. 371 - 377.

103. Popivanov, N. The Darboux problem in R3 for a class of degenerating hyperbolic equations / N. Popivanov and M. Schneider //J. Math. Anal. Appl.

- 1993. - V. 175. - P. 537 - 579.

104. Popivanov, N. Asymptotic expansions of singular solutions for 3+1-D Protter problems / N. Popivanov, T. Popov, R. Scherer //J. Math. Anal. Appl. - 2007.

- V. 331. - P. 1093 - 1112.

105. Weinstein, A. Discontinious integrals and generalized potential theory / A. Weinstein // Trans. Amer. Math. Soc. - 1948. - V. 63. - P. 342 - 354.

106. Weinstein, A. The singular solution and Cauchy problem for generalized Tricomy equation / A. Weinstein // Comm. Pure and Appl. Math. - 1954.

- V. 7. - P. 105 - 116.

107. Weinstein, A. Singular partial Differential equations and Their Applications / A. Weinstein // Proc. Symp. Univ. of Maryland. - 1961. - Fluid Dynamic and Appl. Math. - 1962. - P. 29 - 49.

108. Зайцева, Н.В. Смешанная задача для одного £>-гиперболического уравнения с интегральным условием первого рода / Н.В. Зайцева // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. - 2012. -Вып. 2. - С. 39 - 50.

109. Зайцева, Н.В. Смешанная задача для одного В-гиперболического уравнения с интегральным условием второго рода / Н.В. Зайцева // Известия Смоленского государственного университета. - 2013. - № 4(24). - С. 397 -403.

110. Зайцева, Н.В. Решение смешанной задачи с нелокальным интегральным условием для гиперболического уравнения с оператором Бесселя / Н.В. Зайцева // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 2. URL: http://www.science-education.ru/116-12809

111. Зайцева, Н.В. Смешанные задачи с нелокальными интегральными условиями для £>-гиперболического уравнения / Н.В. Зайцева // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского: материалы Международной научной конференции "Краевые задачи для дифференциальных уравнений

и аналитических функций - 2014". - Казань: Изд-во Казан, ун-та. - 2014. - Т. 49. - С. 165 - 167.

112. Зайцева, Н.В. Краевые задачи для гиперболического уравнения с оператором Бесселя / Н.В. Зайцева // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и математическое моделирование": Тез. докл. -Улан-Удэ. - 2015. - С. 119 - 120.

113. Zaitseva, N.V. Boundary value problem for B-hyperbolic equation with an integral condition of the second kind / N.V. Zaitseva // Journal of Theoretical and Applied Technology. - 2015. - V. 78. - № 3. - P. 497 - 508.

114. Зайцева, Н.В. Начально-граничная задача для £>-гиперболического уравнения с интегралльным условием первого рода / Н.В. Зайцева // Международная научная конференция "Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных": Тез. докл. - М. - 2016. - С. 80.

115. Зайцева, Н.В. Задача типа Келдыша для £>-гиперболического уравнения с интегралльным условием первого рода / Н.В. Зайцева // Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, посвященная юбилеям П.А. и А.П. Широковых: Тез. докл. - Казань: Казанский университет, Изд-во Академии наук РТ. - 2016. - С. 173 - 174.

116. Зайцева, Н.В. Начальные задачи для £>-гиперболического уравнения с интегралльным условием второго рода / Н.В. Зайцева // Международная научная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и информатики": Тез. докл. - Нальчик: КБНЦ РАН. - 2016. - С. 130 - 131.

117. Зайцева, Н.В. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения с операторм Бесселя / Н.В. Зайцева // Международная научная конференция "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики": Тез. докл. - М. - 2016. - С. 45.

118. Зайцева, Н.В. Единственность решения задачи типа Келдыша с интегральным условием второго рода для £>-гиперболического уравнения / Н.В. Зайцева // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского: материалы XV молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения -

2016". - Казань: Изд-во Казан, матем. общества, Изд-во Академии наук РТ. - 2016. - Т. 53. - С. 77 - 78.

119. Зайцева, Н.В. Начально-граничная задача для £>-гиперболического уравнения / Н.В. Зайцева // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучн. сер. - 2016. - № 3-4. - С. 51 - 62.

120. Зайцева, Н.В. Нелокальная краевая задача для В—гиперболического уравнения в прямоугольной области / Н.В. Зайцева // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физико-математические науки. - 2016. - Т. 20. - № 4. - С. 589 - 602. DOI: 10.14498/vsgtul501

121. Zaitseva, N.V. Keldysh type problem for B-hyperbolic equation with integral boundary value condition of the first kind / N.V. Zaitseva // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2017. - V. 38. - № 1. - P. 162 - 169. DOI: 10.1134/S199508021701022X