Задача Дирихле для нагруженных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Мелишева, Екатерина Петровна

• Мелишева, Екатерина Петровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Мелишева, Екатерина Петровна

Содержание

Введение

Глава 1. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного

типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе

§ 1.1. Задача Дирихле для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе

1.1.1. Постановка задачи. Единственность решения

1.1.2. Обоснование существования решения задачи

1.1.3. Устойчивость решения

§ 1.2. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе

1.2.1. Постановка задачи. Единственность решения

1.2.2. Обоснование существования решения задачи

1.2.3. Устойчивость решения

Глава 2. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного

типа со степенным вырождением

§ 2.1. Постановка задачи. Единственность решения

§ 2.2. Существование решения

§ 2.3. Устойчивость решения

Библиографический список

й

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача Дирихле для нагруженных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области»

Введение

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их важными практическими приложениями.

Простейшим уравнением смешанного эллиптико-гиперболического типа на плоскости является уравнение

У^хх ~Ь tLyy = О,

для которого известной краевой задачей является задача Трикоми. Она впервые была решена самим Ф. Трикоми [67] в 20-е годы XX века. Результаты, полученные Ф. Трикоми, были развиты С. Геллерстедтом [85] для уравнения

У2т+1ихх + иуу = 0, т е N U {0}.

Затем Ф. И. Франкль [70] впервые обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газовой динамике. И. Н. Векуа [13] указал на важность проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака.

А. В. Бицадзе [6] впервые сформулировал принцип экстремума задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева М. А.

иХх + sgny • иуу = 0. (1)

Позднее он был установлен для других уравнений смешанного типа и других краевых задач.

Дальнейшим развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались К.И. Вабенко [2], JI. Берс [4], A.B. Бицадзе [8, 10], В.Ф.Волкодавов [14], В.Н. Врагов [15, 16], Т.Д. Джураев [19], В.И. Жега-лов [20, 21], А.Н. Зарубин [23], Н.Ю. Капустин [27], Г.Д. Каратопраклиев [28], И.Л. Кароль [29], Ю.М. Крикунов [32], А.Г. Кузьмин [33], O.A. Ладыженская [34], Е.И. Моисеев [36], A.M. Нахушев [41], L. Nirenberg [42], Н.Б. Плещинский [43], С.П. Пулькин [44], O.A. Репин [46], К.Б. Сабитов [47], М.С. Салахитдинов [58], М.М. Смирнов [60], А.П. Солдатов [61, 62], Ф.И. Франкль [71, 72], P.C. Хайруллин [74], М.М. Хачев [76, 77], C.S. Morawetz

е

[90], M.N. Protter [91, 92] и многие другие. В работах этих авторов помимо задач Трикоми и Геллерстедта поставлены и исследованы новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Первые работы по нагруженным уравнениям были посвящены нагруженным интегральным уравнениям. Здесь отметим исследования A.Kneser [88], L.Lichtenstein [89], а также более поздние, W.Gibson [86], J.Groh [87] и других.

Нагруженные дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения рассматривали в своих работах Н.Н.Кочина [31], Нахушев A.M. [39]— [41], Кожанов А.И. [30], Пулькина J1.C. [45] и другие.

Работы А.М.Нахушева [39]—[41] и его учеников [И, 18, 19, 24, 25, 26] дали начало интенсивному и систематическому изучению краевых задач для уравнений вида

Ки ЕЕ 1м(х, у) + Ми(х, у) = /(ж, у) (2)

в области Q С I2, где L - дифференциальный оператор, a M - дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор, включающий операцию взятия следа от искомой функции и(х,у) на многообразиях из замыкания Q размерности строго меньше 2. В их работах исследовались вопросы существования и единственности решения уравнения (2) в классических областях О,, т.е. в областях, у которых гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник. Для примера рассмотрим работы [41], [26].

A.M. Нахушев [41, с. 165] рассмотрел нелокальную задачу для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

Lu= { ихх -Щ- А+и(х, 0) = 0, у > 0, \ ихх - иуу - А~и(х, 0) = 0, у < 0,

в области Q, ограниченной отрезками AC :x-\-y = Q,0<x<r/2] ВС : х - у = г, г/2 < х < г] AAq : х = 0, 0 < у < h ; ВВ0 : х = г, 0 < у < h] А0В0 :у = h, 0<x<r.

Задача. Найти регулярное в областях fi+ и решение и(х, у) уравнения (3) из класса C1(Q) П C(Q), удовлетворяющее условию

u{iy) = v?o(y), и(г 4- iy) = (рг(у), 0 < у < h,

и граничному условию на характеристике АС:

и [©о(а:)] = A~D^/2u{t) + ф(х), 0 < х < г,

где ipo(y) и <рг(у) - заданные непрерывные на сегменте [0, h] функции, а 9о(ж) = — г)/2, ф(х) - заданная функция из класса С2 (Тг) ,

Ir = {x : 0 < x < r} , DQx,2u(t) = f(x — t)u(t)dt. Получено условие одно-

o

значной разрешимости поставленной задачи. Само решение u(z) в области определяется как решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа, а в области - как решение u(z) первой краевой задачи для уравнения параболического типа.

В.М. Казиев [26] исследовал задачу Гурса для уравнения

к

иуу ~ IУ\Шихх 4- аз(х1 v)Dtxu 0] = 0, m = const > 0, у < 0,

¿=i

с данными на характеристиках

, „ ^ 2 , ч т+2 2 . . т+2

АС:£ = х----(-у) » =0, ВС:»7 = ® + ——(-у » -1,

т + 2 т + 2

выходящих из точки Здесь Л(0,0), 5(1,0), 0 <

О(х) < х, О(х) е С[0,1], < < ... < ai < 1. Доказал одно-

значную разрешимость поставленной задачи, где ос\ имеет специальный вид при т > 0.

К.Б. Сабитов [50] рассмотрел начально-граничную задачу для нагруженного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

Lu = Г Щ - ихх + Ci(t)u(x, 0) = 0, t > 0, \ utt - Uxx + c2(t)u(x, 0) = 0, t < 0,

в прямоугольной области D = {(я, t) \ 0 < х < 1, —а < t < /3}, где C\{t), С*2(£) - заданные непрерывные функции, а и /? - заданные положительные действительные числа, со следующими условиями:

t) е С1^) n C2(D-) П

£) = 0, (ж,i)GD+Ui)-;

u(0,t) = u(l,t) = 0, -ск < t < р;

и{х, —а) = ц>{х), 0 < х < 1,

здесь <р(х) - заданная достаточно гладкая функция, при этом <¿>(0) = <р(1) = 0, D+ = D П {t > 0}, = D П {t < 0}. Установлен критерий единственности решения. Само решение при некоторых ограничениях на функцию <р(х) и число а построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей однородной задачи на собственные значения.

Интерес к задаче Дирихле для уравнения смешанного типа возник после известных работ Ф.И. Франкля [70, 72], в которых впервые обращено

е

внимание на то, что ряд задач трансзвуковой динамики сводятся к этой задаче. Так, например, если рассматривать задачу перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах когда сверзвуковые волны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа.

В. Б. Шабат [82] исследовал задачу Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области у > —h, h > 0, и области, гиперболическая часть которой лежит целиком внутри характеристического треугольника, построенного на отрезке действительной оси [0,1].

На некорректность задачи Дирихле для уравнения (1) в смешанной области, гиперболическая часть 7 границы которой лежит в характеристическом треугольнике 0 <х + у<х — у< 1, впервые обратил внимание A.B. Бицадзе [7]. Причем некорректность задачи Дирихле не зависит от малости меры области, заключенной между 7 и у — 0.

Результат A.B. Бицадзе с необходимостью поставил вопрос поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной.

В работе J.R. Cannon [83] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области при определенных ограничениях на область гиперболичности.

A.M. Нахушев [38] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа первого рода в цилиндрической области.

Жегалов В.И. в своей работе [22] доказал однозначную разрешимость нелокальной задачи Дирихле для уравнения (1) в области D, где D_ -квадрат 0 < —у, х < 1, a D+ - односвязная область при у > 0, ограниченная простой дугой <т с концами в точках (0,0), (1,0) и интервалом I = (0,1) оси х.

В работах А.П. Солдатова [61, 62] доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в смешанной области, ограниченной при у > 0 и у < 0 соответственно гладкими дугами Г и 7 с общими концами в точках (0,0) и (0,1), при этом дуга 7 при у < 0 лежит внутри характеристического треугольника.

М.М. Хачев [77, 78] доказал соответствующие теоремы единственности и существования решения задач Дирихле для уравнения

Lu = sgny [a(x)uxx + b{x)ux + c(x)u] + uyy = 0 в прямоугольной области D = {(x, y)\ 0 < x < 1, —a < у < ß} , a, ß > 0,

в которой на числа а и ß наложены некоторые ограничения.

Р.И. Сохадзе [63, 64] для уравнения смешанного эллиптико- гиперболического типа

ихх + уиуу + buy = О,

где 0<6<1и6>1-не целое число, исследовал первую краевую задачу в прямоугольной области D = {(х,у)\ 0 < х < I, —а < у < ßj при определенных условиях на а и ß.

В работе К.Б. Сабитова [47] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа первого рода

{sgny)\y\muxx + иуу - b2(sgny)\y\mu = О, т > 0, b > 0,

в прямоугольной области D = {(гс, у) \ 0 < х < 1, —а < у < ß} , а, ß -заданные действительные числа. Методом спектрального анализа установлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье.

К.Б. Сабитовым и А.Х. Трегубовой (Сулеймановой) [48, 49, 66] для двух видов уравнений смешанного типа второго рода

ихх + {sgny)\y\muyy — b2u = 0, 0 < га < 2, 6 = const > 0,

Uxx + УЩу + CLUy — b2u = 0, a = const,

исследован вопрос о корректности постановки задачи Дирихле в зависимости от показателя степени т вырождения и коэффициента а.

В работе P.C. Хайруллина [75] установлен критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения

ихх + уиуу + аиу = 0

в прямоугольной области D — {(х,у) : 0 < х < 1, —а < у < ß} при отрицательных значениях параметра а < —1/2.

Также задача Дирихле для систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и уравнений более высоких порядков рассмотрена в работах P.C. Хайруллина [73], Е.А. Уткиной [68, 69].

Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений задачи Дирихле для нагруженных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа

Lu ее К(у)ихх + иуу - Ь2К{у)и + С(у)и(х, 0) = 0 (4)

в прямоугольной области D = {(х,у) \ 0 < х < 1, —а < у < ß} , где К (у) — sgny ■ \у\п, п > 0, 6>0, а > 0, ß > 0 - заданные действительные числа,

С{У) ~ \ с2(у), у< 0,

Ci(y)ii — 1)2, - заданные непрерывные функции.

Задача Дирихле. Найти в области D функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

и (х, у) е С1 ( D ) П С2 (£>+ U £>_) ; (5)

Lu{x,y) = 0, (ж,у)еЯ+и£>_; (6)

и (О, !/) = «(1, у) = 0, -а<у<Р; (7)

и {х, /3) = (р (ж), и (ж, —а) = ф (х), 0 < х < 1, (8)

где </? (ж) , ф (х) - заданные достаточно гладкие функции, при этом </? (0) = ^ (1) = ф (0) = ф (1) = 0, D+ = D П {у > 0} , = D П {y < 0} .

В § 1.1 первой главы исследуется задача Дирихле для уравнения (4) при тг = 0, 6 = 0, т.е. для уравнения Лаврентьева - Бицадзе

Lu = (sgn у)ихх + иуу + С(у)и(х, 0) = 0. (9)

Методом разделения переменных построены частные решения уравнения (9), которые имеют следующий вид: ик{х,у) = Xk(x)Yk(y), где

Хк(х) = \Z2sin7rfo;, к = 1,2,..., (10)

П (у) = i СквХкУ + dk6~XkV " ^^ У > (11)

кКУ) \akcos\ky + bksm\ky + j¡;C2k(y),y<0,

где ак, Ък, ск, dk — произвольные постоянные, у о

Cik{y) = J С i (í) sh [тгА: {у - t)]dt, C2fc(y) = J С2 (t) sin [тгА; (í - y)]dí.

0 2/

Используя частные решения (10) и (11), решение задачи (5), (7) — (9) построено в виде суммы ряда

+оо

и(х, у) = V2^uk (y)sinTrkx, (12)

к=1

здесь функции ик (у) определяются по формулам

„ ,,л = / ЛЙИ^ №) + « . » > 0.

«*IW S {к) _ -J^Bya (к), у< 0,

где

№ = \/2 J y (х) sin Trkxdx, фк = V~2 J ф (фш.кхЧх,

Адад (&) — — sinтгкаchтгку — shirky cosтгка+ [C\k (y) Sin ттка - С2к (-a) sh тгку], у > О,

Аур (к) = Clk {у) sh тгк(3 - С1к (/3) sh тгку + irk sh [тгА; (г/ - /?)], у > О,

Д-2,/31 (к) = sin тгку ch ттк(3 — sh ттк(3 cos тгку— 1

[Cub (/?) sin тгку + С2к (у) shTrkp], у < О,

Вуа{к) = C2A;(í/)sin7rfca + C2fc(-üí)sin7rA;?/ + 7rfcsin7r/c(a + i/), г/ < О, при условии, что при всех fe £ N

Ai (fc) = — sin тгka ch тгк/3 — sh тгk¡3 eos тгка+

[Cik (P) sin 7тка - C2k (-<*) shnkfí ф 0, (13)

здесь Ai (к), помимо переменной к, зависит также от а, /?, С\(у), С2(у) как от параметров.

Если Ai (к) = 0 при фиксированных к = р (Е N и некоторых а, (3, Ci (у), С2 (у), тогда однородная задача (5) — (8) для дифференциального уравнения (9) (где ip (х) = 0, ф (х) = 0) имеет нетривиальное решение

„ (х v] _ / (Р)^Р*. У > (14)

где ар ф 0 - произвольная постоянная.

Для нахождения нулей выражения Ai (р) относительно а представим его в следущем виде:

а = ízD!arcs.т^У0-СгА~а) + Ъ+Ц = f(a) „ £ „ (15)

ТГ р Ap{¡3) ттр р

где

Ар (/?) = ^[С1р (/?) - тгр ch тгр{3}2 + (тгр sh тгр(3)\

. 7rp sh тгр(3 > = arcsin^p

при условии, что

sh7Tр(3 • С2р(-а)

AM

< \С2р{-а), < 1 Р

Если С2р (—а) = 0, то из выражения (15) следует, что Ах (р) = 0 только в том случае, когда

тгр р 9

Если С2 (у) = С<2 = const О, ТО С2Р(—а) = С2 (1 — COS7rpQ;) /(тгр). Тогда Ai (р) = 0 только тогда, когда

а

(-D'

7Гр

arcsm

С2 sh 7грР п в.

+---п2 € N,

(тгр)' (/3) Р ТГР

здесь

= arcsin

(С2 - (тгр)2) sh 7гр/5

М2тр(/?)

Гр (/5) =

Cip (/з)

— ch 7гр(3

+

Пусть

тгр

Ci(y)\, \\С2\\ =

С2 sh ттр/3 (тгр)2

— sh ттрР

тах

-а<у<О

С2(у)

С\ 11= тах

О <у<Р

Для разрешимости нелинейного уравнения (15) достаточно потребовать, чтобы \/(а)\ < й < 1, т.е. при а < тт/{л/2\\С2\\) или р > к/(а\/2\\С2\\).

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.1. Если существует решение задачи (5), (7)— (9), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия (13) при всех к 6 N.

При доказательстве единственности решения используется только полнота системы функций {\Z2sin7rкх}к1 в пространстве 1/2[0,1] •

Поскольку а, (3 — любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение А\{к) может стать достаточно малым, то есть возникает проблема "малых знаменателей"[1, 47]. В связи с этим, для обоснования существования решения надо показать существование чисел а, (3 и функций (у), г = 1, 2, таких, что при достаточно больших к выражение Д^А;) отделено от нуля.

Лемма 1.1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = р -натуральное; 2) а — р/д ф д €Е М, (р, д) = 1,(д, 4) = 1, то существуют постоянные Со и ко £ М, такие, что при всех к > ко и любом фиксированном (3 > 0 справедлива оценка

|А1(Л)| > Сое*к0 > 0. (16)

Лемма 1.2. Если а является любым алгебраическим иррациональным числом степени 2 и нормы ЦС1Ц и ||С2|| достаточно малы, то существуют положительные постоянные Со и (Зо, такие, что при всех к £ N и (3 > (Зо справедлива оценка

Д1 (/с)|>е^.

к

(17)

Если при указанных в лемме 1.1 числах а выражение Ах (/) = 0 при к = I = к1,к2,...,кр < ко, где 1 < к\ < к2 < ... < кр, = 1 и р

— заданные натуральные числа, то для разрешимости задачи (5), (7) — (9) достаточно, чтобы выполнялись условия

<pi = ф1 = О, I = ki,k2:...:kp. (18)

В этом случае решение задачи (5), (7) — (9) определяется в виде ряда

/ ki-í кр-1 +оо \

u(x,y) = V2 Yl + Wfc (у) sin7гА;ж+

у к=1 k-kp-i+í к=кр+1J

+ ]ГЯМ(х,у), (19)

i

где щ(х,у) определяется по формуле (14), Н\ — произвольные постоянные, в сумме индекс I принимает значения к\, к2,..., кр, конечные

i

суммы в (19) следует считать нулями, если верхний предел меньше нижнего.

Теорема 1.2. Пусть функции (р(х),ф(х) £ С3[0,1], =

0) = <рЩ1) = ^)(1) = 0,г = 0,2, С\ (у) £ С [0, /3], С2(у) £ С [—а, 0] и выполнена оценка (16) при всех к > ко . Тогда если Ai (к) ^ 0 при всех к = 1, ко, то задача (5), (7)—(9) имеет единственное решение, которое определяется рядом (12); если А\ (к) = 0 при к = I = к\,к2, ...,кр < ко, то задача (5), (7)—(9) разрешима, когда выполнены условия (18) и решение в этом случае определяется рядом (19).

Теорема 1.3. Пусть функции (р(х),ф(х) £ С4[0,1] 7 </>^(0) = 0) = ^(0(1) = фЩц = о,i = 0,2, С\ (у) £ С [0,0], С2(у) £ С [—а, 0], нормы ||Ci|| и \\С2\\ достаточны малы и выполнена оценка (17). Тогда задача (5), (7)—(9) имеет единственное решение, которое определяется рядом (12).

При обосновании устойчивости построенного решения (12) используем следующие известные нормы:

Iи {х, у) \\ь2[0,1] = 11« (х, у) I\l2 = í J \и (ж, у) \2dx

1/2

,0

\и (х> У) llcp) = \и у)

n/wik= /¿k(fc)w

lo \ V2

2

dx

, /с£ N.

о k=° /

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.2 и Дх (к) ф О при к = 1, /¿о • Тогда для решения (12) задачи (5), (7) — (9) имеют место оценки:

\\и (х, у) \\ь2 < Мх {Ы\ь2 + \\Ф\\ь2),

IЫ(х,у) ||сру) < М2 (\\<р\\щ + MIh/i) ,

где постоянные Mi здесь и далее не зависят от <р (х) и ф (х).

Теорема 1.5. Пусть выполнены условия теоремы 1.3. Тогда для решения (12) задачи (5), (7) — (9) имеют место оценки:

\\и{х,у) \\ь2 < М3 (IMIwi + \\l/>\\Wi) , I\и(х,у) \\с(щ < М4 (\\if\\W2 + \\ф\\^) .

В § 1.2 исследуется задача (5) — (8) для уравнения (4) при п = О, которое можно привести к следующему виду:

Lu = ихх + sgny иуу - b2u (х, у) + С (у) и (ж, 0) = 0, (20)

в прямоугольной области D = {(х,у)| 0 < ж < 1, —о; < у < (3} , где 6 = const > 0.

Методом спектрального анализа построено решение задачи (5) — (8) для уравнения (20) в виде суммы ряда (12), где

X^faDyf} (к) + <рк&ау2 (&)] , У > 0, Фк&-у(32 (к) + X^ifkEay (fc)] , У < 0,

ик{у) = > ^к)

1

д2(*)

Х\ = b2 + (тгк)2,

Дат/2 {к) = sin Хка ch Хку + sh Хку cos Хка+

+Т- PiA (у)sin + ^Sfc (-л) sh Afcy], у > 0,

Afc

Dyp (к) = Cik (у) sh А*/? - C7ljfc (/?) sh A^j/ + Ал sh [A* (/? - y)], 1/ > 0, Д—у/32 (&) = - sin ch Ak(3 + sh Ak(3 cos Aky+

[C2k (У) sh Xkf3 - Cik ((3) sin Xky], у < 0,

Eay = Xk sin A* (a + y) + C2k (y) sin Xka 4- C2k (-a) sin Xky, у < 0, у о

Cia (2/) = J Ci (i) sh [At (f - j/)]di, C2fc (j/) = J C2 (t) sin [A* (2/ -

Фк, Фк — коэффициенты разложения функций (р(х) и ф(х) по системе sin ivkx}, , при условии, что при всех к £ N

Д2 (к) = sin Хка ch Хкр + sh ХкР cos A¿cH-

+Т [°ik W sin Хка + С2к (-a) sh Хф] ф 0. лк

(22)

Если нарушено условие (22) при некоторых а, Р, Ь, С*1 (у), С2(у) и & = р £ К, то однородная задача (5), (7), (8), (20) (где (р (х) = 0, ф (х) = 0) имеет нетривиальное решение

ир (х, у)

Дт/2 {р) sin 7трх, У > 0,

Еау(р) S1T1 7грх, у< 0,

(23)

Лр sin Хра

где ар ^ 0 — произвольная постоянная.

Для нахождения нулей выражения Д2 (р) относительно а представим его в следущем виде:

а = tip. arcsin shAf^(ra) = Mn 6 N' (24>

Лр Api\p\pj An Лт

хр ,vp

где

КР (J3) =

ch Хр(3 +

Cip (Р)

An

, г,2 х о ■ shAРР

+ sh АРр, 7р = arcsin .

(Р)

Выражение Д2 (р) = 0 в следующих случаях:

1) если С2р (—а) = 0, то

тгп 7» Лр Лр

2) если С2 {у) = С2 = const ^ 0, то С2р (—а) = C2(cosApa — 1)/Ар, тогда Д2 (р) = 0 только тогда, когда |С2| < Хр и

(-ir

о: = —:-arcsm

Аг

. С2 sh Хрр un Bp

+ ---v1, n £ N,

XjTp (P) Xp Аг

здесь

. (C2 + A*) sh ^ = arcsin ,

Гр (P) =

+ ch APP

+

C2 sh Ap/3

A^

+ sh XPP

3) для разрешимости нелинейного уравнения (24) достаточно потребовать, чтобы производная \f'(a)\ < d < 1. Последнее выполнено, когда

а < 7г/(ал/2||С2||) или р > 7г/(ал/2||С2||) •

Теорема 2.1. Если существует решение задачи (5), (7), (8), (20), то оно единственно только тогда, когда выполнено условие (22) при всех keN.

В представлении (21) функции щ(у) в заменателе находится выражение Д2 (к), которое при некоторых значениях данных задачи обращается в нуль. В связи с этим необходимо ответить на вопрос при каких а, (5, b и функций Ci (у), г = 1, 2, выражение А2(к) отделено от нуля.

Лемма 2.1. Если выполнено одно из следущих условий: 1) а = р -натуральное; 2) а = p/q,p,q G N, (p,q) — p/q ^ N, (g, 4) = 1, то существуют постоянные Со и ко G N, такие, что при всех к > ко и любых фиксированных b > 0 и (3 > 0 справедлива оценка

|Д2 (к) | > СовХк/3 > 0. (25)

Лемма 2.2. Если а является любым алгебраическим иррациональным числом степени п = 2, нормы ||Ci|| и ||С2|| достаточно малы, то существуют положительные постоянные Ьо и Cq , вообще говоря, зависящие от а, ||Ci||, ||С2||, такие, что при всех k G N и b < Ьо справедлива оценка

|Д2(/с)| >еА^. (26)

Если при указанных в лемме 2.1 числах а выражение Д2 (I) = 0 при k = I — ki, к2,кр < к0: где 1 < ki < к2 < ... < кр: ki,i = 1 ,р, и р — заданные натуральные числа, то для разрешимости задачи (5), (7), (8), (20) достаточно, чтобы выполнялись условия

4>i = ipi = 0, / = h,k2, ...,кр. (27)

В этом случае решение задачи (5), (7), (8), (20) определяется в виде ряда

/ki-l kp-l +оо \

u(x,y) = V2 1^+...+ XI + S J Uk (у) 5Ш7гкх-\-\к=1 к=кр-1+1 k=kp+l J

+ X Н1Щ (х, у), (28)

i

где щ{х,у) определяется по формуле (23), Щ — произвольные постоянные, в сумме индекс I принимает значения к2,..., кр, конечные сум/

мы в (28) следует считать нулями, если верхний предел меньше нижнего.

Теорема 2.2. Пусть функции ср(х),ф(х) £ С3[0,1], —

ф®(0) = = 1) = 0,г = 0,2, Ci(y) € С [0,/5], С2 Ы Е

С [—а, 0] и выполнена оценка (25) при всех к > ко . Тогда если Д2 (к) ф 0 при всех к = то задача (5), (7), (8), (20) имеет единствен-

ное решение, которое определяется рядом (12); если Д2 (к) = 0 при к = кр < ко, то задача (5), (7), (8), (20) разрешима, когда вы-

полнены условия (27) и решение в этом случае определяется рядом (28).

Теорема 2.3. Пусть функции <р(х),ф(х) £ С4[0,1], —

^>(0) = ^>(1) = 1) = 0, г = 0,2, Сг(у) 6 С [0, /?], С2 (у) е С [—а, 0], нормы ||Ci|| и \\С2\\ достаточны малы и выполнена оценка (26) при всех А; € N. Тогда задача (5), (7), (8), (20) имеет единственное решение, которое определяется рядом (12).

При обосновании устойчивости построенного решения (12) задачи (5), (7), (8), (20) установлены утверждения, аналогичные теоремам 1.4 и 1.5, но только с другими постоянными.

Во второй главе рассматривается само уравнение смешанного типа (4) в прямоугольной области D — {(ж,г/)| 0 < х < 1, —а < у < (3} и изучена задача Дирихле (5) —(8). Методом разделения переменных построены частные решения уравнения (4): щ(х,у) = Xk(x)Yk(y), где Хк(х) определяется по формулам (10), а функции (у) имеют вид

ak^/yl± (.РкУq) + Ькл/уК± (ркУя) + bklkCik (у), у> 0, Ук (У) = { ckyf=yJ¿_ (Pk(~y)q) + dkl/^уУл. СPk(~y)q) + (29)

и ¿q 2q

+dklkC2k (у), У < 0,

где ak, bk, Ck, dk — произвольные постоянные, q = (2 + n)/2, pk = лУб2 + {irk)2/q, Ia.{z) и K±(z) — соответственно модифицированные

2 q 2 q

функции Бесселя первого и третьего рода, J±(z) и Y±(z) — функции

2q 2q

Бесселя первого и второго рода соответсвенно, 7к = 2"»

Cik (у) = Vy Ci Сt) Vi i± (pktq) (pkyq) - K± (pktq) n (Рку<1)

I 2 q 2 q 2 q 2 q

dt,

x

c2k (y) = V^yJ C2 (t) yf—t x

(Pk(-y)q) j± (Pk(-t)q) - J± (Pk(-y)q) (pk(-t)q)

¿q ¿q ¿q ¿q

dt.

Используя частные решения (10) и (29), решение задачи (5) — (8) найдено в виде суммы ряда (12), где функции ик (у) определяются по формулам

Щ (У)

[<ркАау3(к) + -фкРурШ Аз у > 0,

[щСау(к) + фкА-у/зь(к)] Ад \к), у < 0,

здесь

Лауз (к) = ^/ау! л СРкУд) У± (Рк®я) + (рка9) Кг {ркуч) +

2,

2 д

2д

2д

7Г

+7;у/УЧк1± (ркуя) С2к (-а) - А (ркая) Схк (у),

£ 29

РУр{к) = ^ {РкУ") 1х (ркП - Кх {;рф'1) 1± (РкУ4)

2<? 2q 2(7 2д

(р*у®) Си (/?) - л/^Л (р^9) Сиь (у),

+

Сау(/с) = ^у (р*а*) у (рл(-у)*) - (рл("У)9) Ух (р*а9)

2 Ч

2 9

29

29

+

+ 2 С2к (у) - (Рк(~У)9) С2к (-а),

Д-у/й (к) = (РкРч)У± (Pk(-y)qH^/Z^Jx (Рк(-у)4) (рк(Р) +

+ 2 ^^ (Р^) ^ (У) + Ч/=У7А^ Ы-у)9) Си (/?)

29

29

7Г

^ 1 (Рк(-у)я) = п

2(7

при условии, что при всех /с Е N

Л. Ы^)9) + ^ Ы-?/)9)

29 29

Аз (&) = л/^/х (рк&) У± (рка9) + у/^ф^ (р*с*?) Кх. {рфя) +

¿с/ 2 ¿(Ц ¿<.I

(рк/3*) С2к (-а) + у/йу^г. СРка9) с1к (/3) ^ 0. (30)

^ 29 29

Пусть при некоторых а, (5, С\(у), С2{у) и к = I Е N нарушено условие (30), тогда однородная задача (5) - (8) (где </?(:г) = 0, ф (х) = 0) имеет нетривиальное решение

щ(х,у) = { 1

СдаДО \ZaJi- Ы®9)

29

вттг/ж, у > 0, Бттг1х^ у < 0.

(31)

Установлены следующие утверждения.

Теорема 3.1. Если существует решение задачи (5) - (8), то оно единственно только тогда, когда выполнено условие (30) при всех к Е N.

Лемма 3.1 Выражение A3 (к) имеет счетное множество нулей относительно aq, где aq = ofljq, при любом фиксированном ß > О, Ъ > О, k £ N.

Лемма 3.2 Если aq = p/t, p,t е N, (p,t) = 1 и \ Ф § + s, где г - остаток от деления р на t, s Е No, то существуют положительные постоянные Cq и ко (ко € N), зависящие, вообще говоря, от а, ß, q, b, ||Cij|, \\C2W, такие, что при всех к > ко справедлива оценка

\VkÄ3(k)\ > Со = const > 0. (32)

Если при указанных в лемме 3.2 значениях aq выражение A3 (I) = О при k = I = ki, к2,..., кт, где 1 < к\ < к2 < ••• < кт < ко, к{,г = 1,т, и т — заданные натуральные числа, то для разрешимости задачи (5) - (8) достаточно, чтобы выполнялись условия

(р1 = ф1 = О, I = ki,k2,..., кт. (33)

В этом случае решение задачи (5) - (8) определяется в виде ряда

/ ki-l km—1 +00 \

и(х,у) = у/2 I Х+... + X + ) uk{y)sin7rkx+

yfc= 1 k=km-i+1 k=km+lJ

+ X (*> у)' (34)

I

где щ(х,у) определяется по формуле (31), Hi — произвольные постоянные, в сумме индекс I принимает значения к\, к2,..., кт , конечные сум-i

мы в (34) следует считать нулями, если верхний предел меньше нижнего.

Теорема 3.2. Пусть функции (р(х),ф(х) Е С4[0,1], </^(0) = ^(0(0) = ^(0(1) = ф0)(1) = о,г = 0,2, Ci(y) £ С[0, ß], С2(у) € С [—о;, 0] и выполнена оценка (32) при всех к > ко. Тогда если A3 (к) ф 0 при всех к = 1,ко, то задача (5) - (8) имеет единственное решение, которое определяется рядом (12); если A3 (/г) = 0 при k = I = ki,k2,..., кт < ко, то задача (5) - (8) разрешима, когда выполнены условия (33) и решение в этом случае определяется рядом (34).

Для обоснования устойчивости построенного решения (12) задачи (5) -(8) доказано следующее утверждение.

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.2 и A3 (к) Ф 0 при к = 1, ко. Тогда для решения (12) задачи (5) - (8) имеют место оценки:

I\и{х,у) |U2 < М5 (Мщ + ЦфЦщ),

I\и(х,у) \\сф < М6 (|М|Ж2 + \\Ф\^) ,

где постоянные М§ и М§ не зависят от (х) и ф (х).

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты.

1. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения задачи Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области. Установлен критерий единственности, решение построено в виде суммы ряда Фурье с обоснованием сходимости в классе регулярных решений, доказана устойчивость решения по граничным данным.

2. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения задачи Дирихле для нагруженного уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа со степенным вырождением в прямоугольной области. Установлен критерий единственности, решение построено в виде суммы ряда Фурье с обоснованием сходимости в классе регулярных решений, доказана устойчивость решения по граничным данным.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах по теории дифференциальных уравнений имени С.П. Пулькина при Поволжской государственной социально-гуманитарной академии и при Институте прикладных исследований Академии наук Республики Башкортостан (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов, 2010-2013 гг.), на семинарах кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор Л.С. Пулькина, 2010-2013 гг.), а также на следующих всероссийских и международных конференциях: 1. Седьмая школа молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики"(г. Нальчик, 25 - 30 июня 2010 г.) 2. Вторая международная конференция "Математическая физика и ее приложения"(г. Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 г.). 3. Девятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2010"(г. Казань, 1-6 октября 2010 г.). 4. Международная конференция, посвященная 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г. Петровского (г. Москва, 30 мая - 4 июня 2011 г.). 5. Всероссийская научная конференция с международным участием "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Стерлитамак, 27-30 июня 2011 г.). 6. Международная конференция "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел "(г. Белгород, 17-21 октября 2011 г.). 7. Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева "Обратные и некорректные задачи математической физики"(г. Новосибирск, 5-12 августа 2012 г.). 8. Международная

научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (г. Стерлитамак 26-30 июня 2013 г.). 9. XI Казанская международная летняя школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(г. Казань, 22-28 августа 2013 г.).

Глава 1

Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе

В этой главе для нагруженного уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с разрывными коэффициентами в прямоугольной области изучается задача Дирихле. Решение построено в виде суммы ряда по системам собственных функций соответствующей одномерной задачи на собственные значения. При обосновании сходимости ряда возникают малые знаменатели, затрудняющие его сходимость. Установлен критерий единственности и доказана устойчивость решения поставленной задачи по граничным данным функциям.

§ 1.1. Задача Дирихле для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе

1.1.1. Постановка задачи. Единственность решения

Рассмотрим нагруженное уравнение смешанного типа

Ьи = вдпу • ихх -\-иуу + С (у) и (х, 0) = 0 (1.1)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мелишева, Екатерина Петровна, 2013 год

Библиографический список

[1] Арнольд, В.И.: Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике / В.И. Арнольд // УМН.

- 163. - T.XVIII. - Вып. 6 (114). - С. 91 - 192.

[2] Бабенко, К.И.: О задаче Трикоми / К.И. Бабенко // ДАН СССР. -291(1). - С. 14- 19 (1986).

[3] Бакиевич, Н.И.: Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа, возникающие при изучении бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения /H.H. Бакиевич // Успехи матем. наук. - 15. Вып. 1(91). - С. 171 — 176 (1960).

[4] Берс, JL: Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / J1. Берс. - М.: ИЛ. - 1961. - 208 с.

[5] Бейтмен, Г.: Высшие трансцендентные функции. Т.2. / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. - М.: Наука. - 1966. - 296 с.

[6] Бицадзе, A.B.: О некоторых задачах смешанного типа / A.B. Бицадзе// Докл. АН СССР. - 70(4). - С. 167 - 170 (1950).

[7] Бицадзе, A.B.: Некорректность задачи Дирихле для уравнения смешанного типа / A.B. Бицадзе// Докл. АН СССР. - 122(2). - С. 561 -564 (1953).

[8] Бицадзе, A.B.: Уравнения смешанного типа /A.B. Бицадзе. - М.: Изд-во АН СССР. - 1959. - 164 с.

[9] Бицадзе, A.B.: О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // Докл. АН СССР. - 185(4).

- С. 739 - 740 (1969).

[10] Бицадзе, A.B.: Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе - М.: Наука. - 1981. - 448с.

11] Бородин, A.B.: Краевые задачи для нагруженных уравнений в частных производных / A.B. Бородин // Матем. сб. Орджиникидзе: ГУ. -С. 15- 23 (1976).

12] Бухштаб, A.A.: Теория чисел / A.A. Бухштаб. - М.: Просвещение. -1966. - 384с.

13] Векуа, И.Н.: Обобщенные аналитические функции / И.Н. Векуа - М.: Наука. - 1988. - 512 с.

14] Волкодавов, В.Ф.: Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис ... д.ф.-м.н. Казань: КГУ, 1969.

15] Врагов, В.Н.: К теории краевых задач для уравнений смешанного типа /В.Н. Врагов // Дифференциальные уравнения. - 13(6). - С. 1098

- 1105 (1977).

16] Врагов, В.Н.: Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики /В.Н. Врагов. - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т. -1983.

17] Гудерлей, Г.: Теория околозвуковых течений / Г. Гудерлей. - М.: ИЛ.

- 1960. - 421с.

18] Дженалиев, М.Т.: К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений / М.Т. Дженалиев. - Алмата. -1995. - 271с.

19] Джураев, Т.Д.: Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев. - Ташкент: Фан. - 1986.

- 240 с.

20] Жегалов, В.И.: Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та. - 122. -кн. 3. - С. 3 - 16 (1962).

21] Жегалов, В.И.: Задача Франкля со смещением / В.И. Жегалов // Известия вузов. Математика. - №9. - С. 11 - 20 (1979).

22] Жегалов, В.И.: Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассические уравнения матем. физики. Новосибирск, ИМ СО АН СССР. - С. 168 - 172 (1985).

[23] Зарубин, А.Н.: Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А.Н. Зарубин // Орен. гос. ун-т. - 1999. - 225 с.

[24] Казиев, В.М.: О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциалъного уравнения второго порядка / В.М. Казиев // Дифференциальные уравнения. - 14(1). - С. 181 - 184 (1978).

[25] Казиев, В.М.: Задача Трикоми для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе /В.М. Казиев // Дифференциальные уравнения. - 15(1). - С. 173 - 175 (1979).

[26] Казиев, В.М.: Задача Гурса для одного нагруженного интегро-дифференциалъного уравнения /В.М. Казиев // Дифференциальные уравнения. - 17(2). - С. 313 - 319 (1981).

[27] Капустин, Н.Ю.: Задача для параболо-гиперболических уравнений и соответствующие спектральные вопросы с параметром в граничных точках: автореферат ... д.ф.-м.н. М.: МГУ, 2012. - 29 с.

[28] Каратопраклиев, Г.Д.: Нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа / Г.Д. Каратопраклиев // Дифференциальные уравнения. - 23(1). - С. 78 - 84 (1987)

[29] Кароль, И.Л.: К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И.Л. Кароль // Матем. сборник.

- 38(5). - С. 261 - 283 (1955).

[30] Кожанов, А.И.: Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А.И. Кожанов // Вычислительная математика и математичкская физика. - 44(4). - С. 694 - 716 (2004).

[31] Кочина, H.H.: Вопросы регулирования уровня грунтовых вод при поливах / H.H. Кочина // Докл. АН СССР. - 213(1). - С. 51 -54 (1973).

[32] Крикунов, Ю.М.: К задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Ю.М. Крикунов // Известия вузов. Математика. - №2 (141).

- С.76 - 81 (1974).

[33] Кузьмин, А.Г.: Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения в газодинамике / А.Г. Кузьмин - Л.: Изд-во ЛГУ - 1990. -280 с.

[34] Ладыженская, O.A.: Об уравнениях смешанного типа / O.A. Ладыженская, Л. Ступялис // Вестник ЛГУ. Серия мат., мех. и астр. -19(4). - С.38 - 46 (1965).

[35] Мартемьянова, H.B..: Нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа: Дис ... к.ф.-м.н. Казань: КФУ, 2012. - 108 с.

[36] Моисеев, Е.И.: Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев - М.: Изд-во МГУ. - 1988. - 150 с.

[37] Нахушев, A.M.: О некоторых новых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев //Дифференциальные уравнения. - 5(1).-С. 44- 59 (1969).

[38] Нахушев, A.M.: Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области / A.M. Нахушев //Дифференциальные уравнения. - 6(1). - С. 190 - 191 (1970).

[39] Нахушев, A.M.: О задаче Дарбу для одного выролсдающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка / A.M. Нахушев //Дифференциальные уравнения. - 12(1). - С. 103 -108 (1976).

[40] Нахушев, A.M.: Задачи со смещением для уравнений в частных производных / A.M. Нахушев - М.: Наука. - 2006. - 287 с.

[41] Нахушев, A.M.: Нагруженные уравнения и их приложения / A.M. Нахушев - М.: Наука. - 2012. - 232 с.

[42] Nirenberg, L.: The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations, III: Functions of the eigenvalues of the Hessian / L. Nirenberg //Acta Mathematica. - 155(1). - C. 261 - 301 (1985).

[43] Плещинский, Н.Б.: К решению граничных задач для обобщенного уравнения Трикоми методом интегральных уравнений / Н.Б. Плещинский // Труды семинара по краевым задачам. КГУ. - Вып. 16. - С. 112 - 125 (1979).

[44] Пулькин, С.П.: Избранные труды / С.П. Пулькин - Самара. Универс групп. - 2007. - 264 с.

[45] Пулькина, Л.С.: Нелокальная задача для нагруженного гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Труды МИАН. - 236. - С. 298 -303 (2002).

[46] Репин, O.A.: Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типа и дробное интегродифференцирование: автореферат дисс. ... д.ф.-м.н. / O.A. Репин. - Минск, 1998. - 30с.

[47] Сабитов, К.Б.: Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Докл. РАН. - 413(1). - С. 23 - 26 (2007).

[48] Сабитов, К.Б.: Задача Дирихле для уравнений смешанного типа второго рода в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, А.Х. Сулеймано-ва // Известия вузов. Математика. - 4. - С. 45 - 53 (2007).

[49] Сабитов, К.Б.: Задача Дирихле для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, А.Х. Сулейманова // Известия вузов. Математика. -11. - С. 43 - 53 (2009).

[50] Сабитов, К.Б.: Начально-граничная задача для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа / К.Б. Сабитов // Докл. АМАН. Нальчик. - 11(1). - С. 66 - 73 (2009).

[51] Сабитов, К.Б.: Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Матем. заметки. - 87(6). - С. 907 - 918 (2010).

[52] Сабитов, К.Б.: Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа / К.Б. Сабитов, О.Г. Сидоренко // Дифференциальные уравнения. - 46(1). - С. 105 - 113 (2010).

[53] Сабитов, К.Б.: Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа / К.Б. Сабитов, Н.В. Мартемьянова // Известия Вузов. Математика. - №2. - С. 71 - 85 (2011).

[54] Сабитов, К.Б.: Обратная задача для уравнений эллиптико-гиперболического типа с нелокальным граничным условием / К.Б. Сабитов, Н.В. Мартемьянова // Сибирский математический журнал. - С. 68 - 78 (2013).

[55] Сабитов, К.Б.: Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.В. Вагапова // Дифференциальные уравнения. - 49(1). - 53(3). -С. 633 - 647 (2012).

[56] Сабитова, Ю.К.: Нелокальные начально-граничные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения / Ю.К. Сабитова // Известия Вузов. Математика. - №12 - С. 49 -58 (2009).

[57] Сабитова, Ю.К.: Критерий единственности решения нелокальной задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области / Ю.К. Сабитова // Дифференциальные уравнения. -46(8). - С. 1205 -1208 (2010).

[58 [59

[60 [61

[62

[63

[64

[65 [66

[67

Салахитдинов, М.С.: Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Салахитдинов - Ташкент: Фан., 1974. - 156 с.

Самарский, A.A.: О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / A.A. Самарский // Дифференциальные уравнения. -16(11). - С. 1925 - 1935 (1980).

Смирнов, М.М.: Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов - М.: Высшая школа. - 1985. - 304 с.

Солдатов, А.П.: Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I. Теоремы единственности / А.П. Солдатов // ДАН. -332(6). - С. 696 - 698 (1993).

Солдатов, А.П.: Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Вицадзе. II. Теорема существования / А.П. Солдатов // ДАН. -333(1). - С. 16 - 18 (1993).

Сохадзе, P.C.: Первая краевая задача для уравнения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения / P.C. Сохадзе // Дифференциальные уравнения. - 17(1).

- С. 150 - 156 (1981).

Сохадзе, P.C.: О первой краевой задаче для уравнения смешанного типа в прямоугольнике / P.C. Сохадзе // Дифференциальные уравнения.

- 19(1). - С. 127- 133 (1983).

Толстов, Г.П.: Ряды Фурье / Г.П. Толстов. - М.: Наука, - 1980. - 381 с.

Трегубова (Сулейманова), А.Х.: Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением: автореферат дисс. ... к.ф.-м.н. / А.Х. Трегубова (Сулейманова). Казань, 2009.

Трикоми, Ф.: О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа / Ф. Трикоми. — М.: ИЛ. - 1947. - 192 с.

Уткина, Е.А.: Задача Дирихле для одного трехмерного уравнения / Е.А. Уткина // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. - №2(76).

- С. 84 - 95 (2010).

[69] Уткина, Е.А.: Задача Дирихле для одного уравнения четвертого порядка / Е.А. Уткина // Дифференциальные уравнения. - 47(4). -С. 400- 404 (2011).

Франкль, Ф.И.: О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И Франкль // Изв. АН СССР. Серия математическая. - 9(2). - С. 121 - 142 (1945).

Франкль, Ф.И.: Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. - 20(2). - С. 196 - 202 (1956).

Франкль, Ф.И.: Избранные труды по газовой динамике/ Ф.И. Франкль. - М.: Наука. - 1973. - 703 с.

Хайруллин, P.C.: Задача Дирихле для одной системы уравнений второго порядка /P.C. Хайруллин // Известия вузов. Математика. - № 3. -С. 80 - 83 (1986).

Хайруллин, P.C.: К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода / P.C. Хайруллин // Сибирский математический журнал.

- 35(4). - С. 927 - 936 (1994).

Хайруллин, P.C.: К задаче Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода с сильным вырождением / P.C. Хайруллин // Дифференциальные уравнения. - 49(4). - С. 528 - 534 (2013).

Хачев, М.М.: Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике / М.М. Хачев / / Дифференциальные уравнения. -11(1).-С. 151

- 160 (1975).

Хачев, М.М.: Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области / М.М. Хачев.// Дифференциальные уравнения. - 14(1). - С. 136 - 139 (1978).

Хачев, М.М.: Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа / М.М. Хачев. — Нальчик. Изд."Эльбрус". - 1998. - 169с.

Хинчин, А.Я.: Цепные дроби / А.Я. Хинчин. — М.: Наука. - 1978. -112с.

Хубиев К.У.: Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа / К.У. Хубиев // Доклады АМАН. - 7(2). - С. 74 - 77 (2005).

[81] Чаплыгин, С.А.: О газовых струях / С.А. Чаплыгин. — M.-JI.: ГИТА.

- 1949. - 144с.

[82] Шабат Б.В.: Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа / Б.В. Шабат // ДАН. - 112(3). - С. 386 - 389 (1957).

[83] Cannon, J.R.: Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. Math, pura ed Appl. -62. - P.371 - 377 (1963).

[84] Cannon, J.R.: Determinantion of an unknown foreing function in a hyperbolic equation from overspecified data / J.R. Cannon, D.R. Dunninger // Annali de Mathematica pura ed Applicata. Serie Quarta

- tomo LXXXV. - P. 49 - 62 (1970).

[85] Gellerstedt, S.: Sur un problem aux limites pour une equation lineare aux dirivees partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat.

- Uppsala, 1935. - 92 p.

[86] Gibson, W.G.: Embedding Stieltjes-Valterra integral eguations in Stieitjes integral equations / W.G. Gibson // Trans. Amer. Math. Soc. - V. 227. -P. 263 - 277 (1977).

[87] Groh, J.: A nonlinear Valterra-Stieitjes integral equations and a Gronwall inequality in one dimension / J. Groh // Illinois J. Math. - V. 24. - P. 244- 263 (1980).

[88] Kneser, A.: // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. - T. 37. -P. 169 - 177 (1914).

[89] Lichtenstein, L.: Vorlesungen libereinide Massen nichtlinearer Integralgleichungen und Integraldifferentialgleichungen nebest Anwendungen. - Berlin: Springer, 1931. - 164 s.

[90] Moravetz, C.S.: Note on a maximum principle fnd a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation / C.S. Moravetz // Proc. Roy. Soc. -236(1204). - P. 141 - 144 (1956).

[91] Protter, M.N.: A boundary value problem for an equation of mixed type / M.N. Protter // Trans. Amer. Math. Soc. - 71. - P. 416 - 429 (1951).

[92] Protter, M.N.: New boundary value problems for the wave equation and equations of mixed type / M.N. Protter //J. Rational Mech. and Analisis.

- 3. - P. 435 - 446 (1954).

[93] Мелишева, Е.П.: Критерий единственности решения задачи Дирихле для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Е.П. Мелишева // Материалы Седьмой школы молодых учёных "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики", Нальчик-Хабез, 25-30 инюня 2010 г. - Нальчик. - С. 67 - 72 (2010).

[94] Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа / Е.П. Мелишева // Материалы второй Международной конференции "Математическая физика и ее приложения". - Самара: ООО "Книга". - С. 227 - 229 (2010).

[95] Мелишева, Е.П.: Критерий единственности решения краевой задачи для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Е.П. Мелишева // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции "Ло-баческие чтения - 2010"; Казань, 1-6 октября 2010г. - Казань: Казан, матем. об-во. - 40. - С. 225 - 229 (2010).

[96] Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа /Е.П. Мелишева // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. - №6(80). - С. 39 - 47 (2010).

[97] Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа /Е.П. Мелишева // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г. Петровского (XXIII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г. Петровского): Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ и ООО "ИНТУИТ.РУ". - С. 272 (2011).

[98] Мелишева, Е.П.: Критерий единственности решения задачи Дирихле для нагруженного вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области / Е.П. Мелишева // Дифференциальные уравнения и их приложения. Труды Всероссийской научной конференции с международным участием (27 - 30 июня 2011 г., г. Стерлитамак). - Уфа: Гилем. - С. 158 - 163 (2011).

[99] Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа со степенным вырождением на переходной линии / Е.П. Мелишева //Сб. материалов международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел"(Белгород, 17 - 21 октября 2011г.). - Белгород: ИПК НИУ "БелГУ", - С. 81 - 82 (2011).

[100] Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа в прямоугольной области / Е.П. Мелишева // Обратные и некорректные задачи математической физики. Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 5-12 августа 2012 г.). - Новосибирск: Сибирское научное издательство, - С. 398 (2012).

[101] Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Е.П. Мелишева // Известия Вузов. Математика. - №7. - С. 62 - 76 (2013).

[102] Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного вырождающегося эллиптико-гиперболического уравнения / Е.П. Мелишева // Труды Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". - Уфа: РИЦ БашГУ. - С. 189-195 (2013).

[103] Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа в прямоугольной области / Е.П. Мелишева // Материалы Одиннадцатой международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". - Казань: Казан, ун-т. - 46 - С. 301-302 (2013).

[104] Мелишева, Е.П.: Задача Дирихле для нагруженного вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области /Е.П. Мелишева // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. - №6 (107). -С. 40 - 53 (2013).