Нелинейные σ-модели и спонтанное нарушение суперсимметрии в моделях расширенных супергравитаций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Цокур, Виктор Анатольевич

• Цокур, Виктор Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1996

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Цокур, Виктор Анатольевич

Введение

I Спонтанное нарушение симметрии в N = 1 супергравитации

1. Модель с геометрией 811(1,п)/8и(п)<8)и(1)

1.1 „ Описание модели.

1.2 Исследование спектра масс.

2. Модель с геометрией 0(2,п)/0(п)®0(2)

2.1 Описание модели.

2.2 Исследование спектра масс.

II Модели N = 2 суцергравитации, основанные на несимметрических кватернионных многообразиях

3. Симметрии и лагранжианы

3.1 Классификация несимметрических кватернионных многообразий

3.2 ^-модель.

3.3 д)-модель.

3.4 У(р,0)-модель

3.5 У(р, д)-модель

4. Калибровочное взаимодействие

4.1 Векторные мультиплеты.

4.2 \¥(р, д)-модель.

4.3 У{р, д)-модель

III Модели N = 2 супергравитации с калибровочными группами Каца-Муди

5. Нарушение калибровочной симметрии Каца-Муди

6. N = 2 суперсимметричная модель

7. Модель N = 2 супергравитации

IV Дуальные версии и нарушение суперсимметрии

8. Спонтанное нарушение суперсимметрии в N — 3 супергравитации с материей

8.1 N = 3 супергравитация с векторными мультиплетами

8.2 Дуальная версия

8.3 Спонтанное нарушение суперсимметрии.

9. Спонтанное нарушение суперсимметрии в N = 4 супергравитации с материей

9.1 Обычная версия.

9.2 Дуальная версия.

9.3 Нарушение суперсимметрии.

10. Дуальные версии расширенных супергравитаций

10.1 N = 2 супергравитация.

10.2 'N = 3 супергравитация.

10.3 N = 4 супергравитация.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные σ-модели и спонтанное нарушение суперсимметрии в моделях расширенных супергравитаций»

Стандартная модель и суперсимметрия. В настоящее время общепринятой в физике высоких энергий является Стандартная Модель (СМ), основанная на калибровочной группе 5(7(3) (8) SU(2) <g> U(l). До сих пор нет никаких экспериментальных данных, прямо противоречащих этой модели. Ее характеризуют с одной стороны такие черты, как унитарность, перенормируемость, естественное объединение электромагнитных и слабых взаимодействий, а с другой то, что ее предсказания промежуточных векторных бозонов, трех поколений фермионов, были блестяще подтверждены экспериментально. Но имеется и ряд связанных с ней проблем. Это, в первую очередь, не обнаруженный до сих пор сектор Хиггса, проблема генерации поколений, большое число свободных параметров теории. В рамках СМ не удается также удовлетворительно разрешить проблему калибровочной иерархии (КИ), связанную с присутствием в теории фундаментальных скалярных частиц. Квадратично расходящиеся собственно-энергетические диаграммы после перенормировки дают вклад в квадрат масс скалярных частиц, пропорциональный, например, (Mpi/Mz)2 ~ 1034 - аспект проблемы КИ, связанный со стабильностью массовой шкалы СМ. Такие исключительно большие поправки к квадрату массы могут быть скомпенсированы лишь с помощью подстройки параметров перенормированной модели - аспект проблемы КИ, связанный с естественностью массовой шкалы СМ.

В настоящее время развивается ряд теорий, выходящих за рамки Стандартной Модели и призванных решить ее проблемы. Это теории техницвета и расширенного техницвета, модели, рассматривающие ком-позитность кварков. Одним из перспективных направлений являются теории, обобщающие Стандартную Модель на суперсимметричный случай. Ряд свойств таких моделей делает их привлекательными с точки зрения возможности решения указанных выше проблем. В частности, в теории с ненарушенной суперсимметрией радиационные поправки не дают вклада в массу Хиггса вследствие взаимного сокращения бозонных и фермион-ных петель. Улучшенное ультрафиолетовое поведение, решение технических аспектов проблемы калибровочной иерархии и сильной СР-иерархии дают широкие возможности для построения феноменологических суперсимметричных теорий.

Основное требование, которое налагается на любую суперсимметричную теорию, это необходимость спонтанного нарушения суперсимметрии. При этом суперпартнеры "стандартных" частиц ( кварков, леп-тонов, калибровочных бозонов и полей Хиггса ) в низкоэнергетической области ~ 0{1№0еУ) должны приобретать массы, превышающие массы их партнеров на величину порядка масштаба нарушения суперсимметрии. Этот масштаб расщепления дает вклад в радиационные поправки к массе скалярных частиц и не должен превышать ~ 0(1ТеУ) для того, чтобы аспект проблемы КИ, связанный со стабильностью массовой шкалы СМ, удовлетворительно разрешался. Это ограничение на величину расщепления масс частиц в супермультиплетах ведет в свою очередь к ограничению на массы суперчастиц сверху.

Ранние попытки построения суперсимметричных обобщений электрослабой и стандартной моделей рассмотрены в обзорах [1]. Оказалось, что спонтанного нарушения суперсимметрии не достаточно для получения реалистического спектра масс в таких моделях и требуется введение дополнительных несуперсимметричных членов. Как было показано в работах [2], суперсимметрия может быть нарушена явно и все равно не иметь квадратичных расходимостей. Члены, включение которых в лагранжиан удовлетворяет этому условию (так называемые мягко нарушающие суперсимметрию члены), имеют вид: т2гг, т2(г2 + г2), + т((Ш), (0.1) где 2 - скаляр из кирального, а О - спинор из векторного мультиплетов.

Основные черты моделей N = 1 супергравитации. Механизм появления таких членов стал ясен при исследовании моделей, основанных на супергравитации - локальной суперсимметрии. Попытки сделать суперсимметрию локальной с необходимостью приводят к включению в теорию полей со спинами 3/2 и 2 - гравитино и гравитона. При этом теория становится неперенормируемой, но масштабом обрезания является масса Планка, т.е. физические следствия при низких энергиях могут быть исследованы с помощью эффективного лагранжиана, не содержащего гравитацию. Для модели супергравитации со спонтанно нарушенной суперсимметрией формально устремляя гравитационную константу связи к —»• 0, можно получить эффективный низкоэнергетический лагранжиан, который как раз и будет содержать члены, мягко нарушающие суперсимметрию, которые в рамках глобальной суперсимметрии вводились "руками".

Тот факт, что в моделях супергравитации отпадает необходимость следить за перенормируемостью теории, открывает более широкие возможности для построения моделей, чем в глобальной суперсимметрии. Общий лагранжиан взаимодействия N=1 супергравитации с киральны-ми суперполями материи и векторными калибровочными суперполями получен в работах [3]. Как было показано, скалярные поля в общем случае описывают нелинейную сг-модель с геометрией, соответствующей Ке-леровому многообразию. Такая модель характеризуется Келеровым потенциалом г) - вещественной функцией скалярных полей, при этом потенциал скалярных полей имеет вид:

V = -е~с(3 - С^-1)^'), (0-2)

Ск = — Ск = — = /д з\ дгк' дгк дгкдг1'

Кроме Келерова потенциала, лагранжиан N = 1 супергравитации в общем случае содержит еще одну произвольную функцию скалярных полей из кирального мультиплета ~ функцию, стоящую при кинетическом члене векторных полей.

Анализ возможности спонтанного нарушения суперсимметрии в моделях супергравитации более сложен, чем в моделях с глобальной суперсимметрией. Необходимым проявлением спонтанного нарушения является то, что гравитино приобретает массу тп3/2 = е~С//2. Но достаточным условием это не является. Еще одно необходимое требование - отсутствие в модели космологической постоянной, т. е. нулевое значение минимума потенциала (о проблеме космологической постоянной см., например, [4]). В моделях со спонтанно нарушенной супергравитацией имеется проблема иерархии, связанная с вакуумной энергией. Как видно из формулы (0.2), естественный масштаб для значения вакуумного среднего потенциала скалярных полей после нарушения суперсимметрии это

V >~ 0{т\12М'р1) и необходимо объяснить, почему вместо этого

V > /МАР1 < Ю-120.

Добиться зануления потенциала в минимуме можно либо путем тонкой подстройки параметров теории, либо пытаясь наложить на теорию требование инвариантности относительно некоторой симметрии, приводящее к плоскому потенциалу (так называемые no-scale модели). Во втором случае, помимо естественного решения проблемы космологической постоянной, происходит еще и динамическое определение массовой шкалы - все малые массовые масштабы определяются динамически в терминах одного фундаментального - массы Планка М = Mpi/y/Sn. Скрытый сектор с плоским потенциалом был введен в работах [5]. Он описывает нелинейную сг-модель с геометрией SU( 1,1)/U(1). Соответствующий Ке-леров потенциал имеет вид: G(z, z) = — K2ln(z+z). В рамках N = 1 супергравитации параметр к остается произвольным, его не удается фиксировать исходя из соображений симметрии и для получения плоского потенциала приходится опять-таки "руками" полагать к1 — 3. Тем не менее, таким образом определенная симметрия модели сводит функциональный произвол к однопараметрическому, а значение параметра к фиксируется, если рассматривать N = 1 супергравитацию как низкоэнергетический предел моделей суперструн или расширенных супергравитаций. Возможности построения реалистических no-scale моделей исследованы в обзоре и.

Модели супергравитации содержат два сектора: скрытый сектор, ответственный за спонтанное нарушение суперсимметрии, и наблюдаемый сектор, содержащий поля, описываемые стандартной моделью и их суперпартнеры, а в случае теории великого объединения и соответствующие дополнительные частицы. Эти два сектора связаны только гравитационным взаимодействием. Рассматривая N=1 супергравитацию, как эффективную теорию, описывающую физику на энергиях ниже Mpi в соответствии с общей схемой:

L (N = 1 SUGRA) Е<ЛР1 L (N = 1 SUSY) + LSOft, (0-4) необходимо требовать выполнения следующих условий:

• суперсимметрия спонтанно нарушена и, при этом, космологическая постоянная равна нулю,

• определенные поля, связанные с этим нарушением, отщепляются (скрытый сектор),

• определенные поля становятся супертяжелыми ( суперпартнеры ),

• оставшиеся поля соответствуют наблюдаемым в низкоэнергетической теории.

Как было сказано в предыдущем параграфе, теоретические ограничения на массы суперчастиц сверху таковы, что открытие этих частиц ожидается после запуска новых коллайдеров на ТеУ-ные энергии. В связи с этим велик интерес к моделям, предсказывающим определенные свойства суперчастиц, допускающие проверку на эксперименте. К недавним работам на эту тему относятся [7] (минимальная суперсимметричная СМ), [8] (суперсимметричные модели Великого Объединения). Но во всех этих работах рассматривается суперпотенциал, в котором члены, мягко нарушающие суперсимметрию, вводятся "руками", без привлечения супергравитации. Поэтому актуальной задачей является исследование моделей N = 1 супергравитации и получение юкавских и массовых членов, позволяющих строить феноменологические модели с мягко нарушенной суперсимметрией. Вывод мягко нарушающих членов из супергравитации ведет к резкому сужению числа свободных параметров модели и к увеличению ее предсказательной силы.

Модели N = 1 супергравитации достаточно активно исследуются в последнее время (из последних работ на эту тему см. [9, 10]). В качестве геометрии скалярных полей обычно выбираются некоторые обобщения no-scale скрытого сектора, дающие возможность иметь плоские направления в потенциале модели, что решает проблему космологической постоянной и ведет к динамическому определению массовой шкалы. Как правило рассматривается конкретная модель с фиксированной калибровочной группой и исследуется как нарушение суперсимметрии, так и нарушение калибровочной симметрии, и получающийся спектр масс.

В своей работе [11] мы исследовали два класса моделей N = 1 супергравитации с различной геометрией скалярных полей. В первом случае часть скалярных полей параметризует Келерово многообразие вида SU(l,m)/SU(m) <g) /7(1), во втором - 0(2,ш)/0(ш) ® 0(2). Модели с ортогональной геометрией слабо исследованы в работах на эту тему и, как показано в нашей работе, именно такие модели обладают свойствами, делающими их привлекательными с точки зрения феноменологии. Кроме того, такой выбор нелинейных и- моделей обусловлен еще и тем, что аналогичные геометрии возникают в моделях с расширенными супергравитациями и, соответственно, как раз такие модели появляются при частичном супер-хиггс эффекте N > 1 —N = 1. Модель с ортогональной геометрией исследовалась в недавних работах [10] в связи с возможностью одновременного нарушения суперсимметрии и калибровочной симметрии.

Особенности моделей расширенных супергравитаций. Феноменологические модели, рассматриваемые в рамках N = 1 супергравитации, выглядят достаточно обещающе, но имеют и ряд неудовлетворительных черт:

• Во-первых, очевидная произвольность конструкции. В таких моделях совершенно произволен выбор калибровочной группы, Келеро-ва многообразия, вложения калибровочной группы в группу изоме трий Келерова многообразия, наконец, калибровочной кинетической функции и суперпотенциала, который нарушает суперсимметрию.

• Во-вторых, тот факт, что на уровне N = 1 супергравитации мы существенным образом привязаны к классической картине вследствие невозможности в эффективной, неперенормируемой теории контролировать квантовые поправки, как пертурбативные, так и непер-турбативные.

• Наконец, как было сказано ранее, в моделях N = 1 супергравитации не удается получить плоский потенциал с исчезающей классической вакуумной энергией как следствие симметрии модели, без подстройки параметров.

Есть надежда устранить отмеченные недостатки, рассматривая феноменологические модели в рамках расширенных супергравитаций. Такие модели изучены сравнительно слабо, что связано, во-первых, с отсутствием удобного формализма для описания теории с расширенной суперсимметрией и, во-вторых, с возникающими новыми проблемами с точки зрения феноменологии.

Первая проблема состоит в том, что модели с ненарушенной расширенной суперсимметрией являются вектороподобными и потому любая реалистическая модель должна допускать частичный супер-хиггс эффект, т. е. нарушение суперсимметрии N > 1 —» N = 1. При этом зеркальные фермионы должны отщепляться по массе от обычных фер-мионных полей. Условие допустимости частичного супер-хиггс эффекта является очень жестким требованием.

Вторая проблема касается механизма генерации масс фермионов. Сложность состоит в том, что юкавские члены, описывающие взаимодействие полей Хиггса с фермионами, как правило не появляются в моделях расширенных супергравитаций. А именно, построенные нами модели, основанные на несимметрических кватернионных многообразиях [24, 25], являются, насколько нам известно, единственными моделями, где после нарушения суперсимметрии появляются юкавские члены требуемого вида.

Нелинейные сг-модели в N = 2 супергравитации. Геометриче-. скал структура моделей, описывающих взаимодействие N = 2 супергравитации с материей значительно сложнее, чем в N = 1 случае, поскольку скалярные поля из N = 2 гипермультиплетов параметризуют ква-тернионные многообразия [12]. Модели, основанные на симметрических кватернионных многообразиях подробно изучены. Был сконструирован широкий класс no-scale моделей [13], в которых две суперсимметрии нарушены только с одним массовым масштабом и гравитино вырождены по массе. В то же время, реализация частичного супер-хиггс эффекта оказалась нетривиальной задачей [14]. В работе [15] был построен N = 2 скрытый сектор, содержащий поля чистой N — 2 супергравитации, один векторный и один гипермультиплет и допускающий спонтанное нарушение суперсимметрии с двумя произвольными масштабами (т.е. с возможностью нарушения N = 2 —> N = 1). Позже, в работах [16, 17] были исследованы обобщения этого скрытого сектора на случай произвольного числа мультйплетов материи и вычислены мягко нарушающие суперсимметрию члены. В отличие от случая N — 1 супергравитации, в таких моделях выбор геометрии однозначно фиксирует вид взаимодействия полей из гипермультиплетов с супергравитацией и космологическая постоянная исчезает вследствие выбора группы симметрии лагранжиана и калибровочного взаимодействия в скрытом секторе, а не в результате подгонки параметров модели.

Однако в таких моделях остается нерешенной вторая из указанных в предыдущем параграфе проблем, характерных для расширенных супергравитаций. А именно, не удается получить после спонтанного нарушения суперсимметрии членов, описывающих юкавское взаимодействие полей из гипермультиплетов. Этот результат, по-видимому, определяется геометрией соответствующих нелинейных сг-моделей. В связи с этим большой интерес вызывает исследование второго типа моделей, возможных в случае N = 2 супергравитации, где скалярные поля из гипер-мультиплетов параметризуют несимметрические кватернионные многообразия. Были основания предполагать, что требуемые юкавские связи появляются после спонтанного нарушения суперсимметрии в таких моделях. Классификация несимметрических кватернионных многообразий была дана в работе [18], позже свойства этих многообразий и особенно их симметрии исследовались в ряде работ [19, 20, 21, 22, 23].

В работах [24, 25] нам удалось дать полное построение моделей N = 2 супергравитации, основанных на несимметрических кватернионных многообразиях, и исследовать их свойства. В одном из двух возможных классов таких моделей действительно возникают юкавские связи требуемого вида. Кроме того, скрытый сектор в рассматриваемом случае совпадает с одним из трех упомянутых выше секторов, допускающих спонтанное нарушение суперсимметрии с двумя произвольными массовыми масштабами и плоским потенциалом.

Одновременное нарушение суперсимметрии и калибровочной симметрии. Одна из наиболее серьезных проблем, возникающих при исследовании феноменологических моделей супергравитации, - это проблема нарушения калибровочной симметрии в моделях со спонтанно нарушенной суперсимметрией. Как обсуждается в первом разделе части III ( см. [26] ), существуют два различных механизма нарушения неабелевой калибровочной симметрии. Это механизм Хиггса и нелинейные сг-модели. В первом случае в модели присутствуют помимо голдстоуновских полей поля Хиггса, приобретающие ненулевые вакуумные средние значения. Во втором случае [27] скалярные поля параметризуют некоторое многообразие и, делая локальной произвольную подгруппу группы изометрий этого многообразия, мы с необходимостью приходим к спонтанному нарушению соответствующей калибровочной симметрии.

Характерной особенностью всех суперсимметричных моделей, как с N = 1 суперсимметрией, так и с расширенной, является то, что скалярные поля, претендующие на роль полей Хиггса оказываются массивными (далее изначально безмассовые скалярные поля приобретают массу в результате нарушения суперсимметрии). Для нарушения калибровочной симметрии при этом используется механизм нарушения с помощью радиационных поправок, впервые рассмотренный в работах [28]. Квадрат массы Хиггса, положительный на древесном уровне, обращается в нуль после учета радиационных поправок, что индуцирует спонтанное нарушение калибровочной симметрии. При этом, радиационный механизм нарушения гарантирует, что квадрат масс заряженных и цветных частиц остается положительным.

Как показано в части II, скалярные поля, претендующие на роль полей Хиггса, в N = 2 супергравитации приобретают массы порядка масштаба нарушения Л7" = 2 —ТУ = 1, которые по величине могут значительно превышать массы полей Хиггса в N = 1 супергравитации. Например, в модели, рассмотренной в части II, предсказывается масштаб нарушения N = 2 N = I порядка 2 ~ 0(1О14С?еУ), что на много порядков больше, чем масштаб нарушения N = 1 суперсимметрии Мдг-1 ~ 0(1ТеУ). Может оказаться, что для таких массовых масштабов радиационный механизм нарушения калибровочной симметрии не будет работать, учитывая логарифмическую, а не квадратичную зависимость квадрата массы скалярных частиц от масштаба энергии.

Можно рассматривать второй механизм нарушения калибровочной симметрии используя тот факт, что в моделях супергравитации скалярные поля как правило описывают нелинейные сг-модели вида Ст/Я, где (7 - некоторая некомпактная группа и Н - ее максимальная компактная подгруппа. Если симметрию, соответствующую некоторой подгруппе группы С сделать локальной, то автоматически будут нарушены некомпактные симметрии, входящие в эту подгруппу, т.е. приобретут массы векторные поля, соответствующие некомпактным генераторам. Существуют примеры моделей супергравитации такого рода (см., например, [29] для N = 2 - случая), но, поскольку компактные симметрии остаются ненарушенными, то сложно рассчитывать на использование такого механизма нарушения в реалистической теории, тем более, что выбор возможных калибровочных групп в моделях супергравитации очень ограничен.

Таким образом, при использовании обеих схем нарушения в моделях супергравитации возникают трудности. Однако существует третья возможность связанная с бесконечномерными группами Каца-Муди. Такие группы естественным образом появляются при компактификации из высших размерностей, а также при попытках получить эффективную полевую теорию суперструн (см., например, [30]). В работе [31] мы продемонстрировали этот механизм нарушения калибровочной симметрии для N = 2 глобально-суперсимметричной модели и построили и исследовали модель N = 2 супергравитации с бесконечномерной калибровочной группой, с одновременно нарушенными калибровочной и суперсимметрией. Нарушение калибровочной симметрии в таких моделях определяется самой структурой бесконечномерной алгебры и удается описать массивные векторные поля не вводя поля Хиггса и не используя свойства нелинейных а-моделей. Исследования в работе [31] основывались не на геометрической интерпретации свойств модели, а велись в духе работ [32], в которых исследовались модели без суперсимметрии и глобально-суперсимметричные модели.

Дуальные версии ТУ = 3 и Л?" = 4 супергравитаций. Существенным отличием моделей N = 3 и N = 4 супергравитаций от рассмотренных выше является то, что очень высокая симметрия накладывает жесткие ограничения на вид возможного взаимодействия мультиплетов материи с супергравитацией. В частности, известна лишь одна нелинейная сг-модель, описывающая скалярные поля N = 3 супермультиплетов -517(3, т)/3и(т) ® 311(3) ®и( 1). Для N = 4 супергравитации соответствующая сг-модель имеет вид - [311(1,1)/11(1)] (8) [0(6, т)/0(6) ® 0(т)]. По-видимому, это единственные геометрии, возможные в таких теориях.

Кроме того, в случае N > 3 суперсимметрии не имеется аналогов N = 1 киральных мультиплетов и N = 2 гипермультиплетов, содержащих лишь поля спинов 0 и 1/2, в мультиплеты материи в таких теориях обязательно входят векторные поля. Это ведет к тому, что и спинорные, и скалярные поля преобразуются по присоединенному представлению калибровочной группы, что еще больше сужает возможности построения феноменологических моделей (но и существенно увеличивает их предсказательную силу).

Скалярные поля в моделях N = 3 и' N = 4 супергравитаций описывают нелинейные сг-модели вида С/Н, где 0 - некоторая некомпактная группа и Н - ее максимальная компактная подгруппа. Но, как было показано для случая N = 2 супергравитации в работе [33], вид взаимодействия мультиплетов материи с супергравитацией не фиксируется однозначно выбором геометрии модели и для данной геометрии скалярных полей существует целое семейство лагранжианов (так называемые дуальные версии) с различным взаимодействием векторных полей с супергравитацией. Из-за присутствия в модели векторных полей группа G изометрии многообразия, описываемого скалярными полями, не является группой глобальных симметрий лагранжиана. Реализация этой группы на векторных полях включает в себя преобразования дуальности, оставляющие инвариантными только уравнения движения, а не лагранжиан модели. Это ведет к тому, что лишь некоторая подгруппа группы G является группой глобальных симметрий лагранжиана и выбор вложения этой подгруппы в группу G однозначно фиксирует вид взаимодействия полей материи с супергравитацией. Возможность же данного вложения определяется дуальной версией исходной модели.

В случае N = 3 супергравитации группа G - это SU(ß, т) ив простейшей версии вследствие вещественности векторных полей группой симметрий лагранжиана является 0(3, т) [34, 35]. Эта модель хорошо изучена и известные результаты со ссылками на оригинальные статьи приведены в первом разделе части IV. В этой модели не удается получить спонтанное нарушение симметрии с возможностью частичного супер-хиггс эффекта N = 3-^N = liz исчезающей космологической постоянной. Скрытый сектор модели, обладающей такими свойствами, был получен в работе [34]. Скалярные поля скрытого сектора параметризуют многообразие вида SU(3,3)/SU(3) ® SU(ß) (g) U(l), но группой глобальных симметрий в отличие от скрытого сектора предыдущей модели (группа 0(3,3)) является GL(3, где Тз - девять трансляции. Такое вложение группы глобальных симметрий позволяет получить спонтанное нарушение суперсимметрии с тремя произвольными массовыми масштабами и естественным образом исчезающей космологической постоянной. В работе [36] нам удалось построить обобщение этого скрытого сектора на случай произвольного числа мультиплетов материи и исследовать спонтанное нарушение суперсимметрии в наблюдаемом секторе. В работе [37] построена модель, описывающая целое семейство лагранжианов с одинаковой геометрией скалярных полей (обобщение модели, рассмотренной в [33] для случая N = 2 супергравитации). Параметрический произвол построенной модели соответствует выбору дуальной версии и обе описанные выше версии содержатся в качестве частных случаев этой модели. Насколько нам известно, такая модель описывает наиболее общий вид взаимодействия мультиплетов материи с N = 3 супергравитацией.

В случае N = 4 супергравитации группой изометрий многообразия, описываемого скалярными полями, является SU(1,1) <g) 0(6, га). В простейшей модели группой симметрии скрытого сектора является 0( 1,1) <g) 0(6,6) [38]. Описание результатов и ссылки содержатся во втором разделе части IV. Нам известен лишь один случай [39], где удается в такой модели получить спонтанное нарушение суперсимметрии iV = 4—>iV = lc исчезающей космологической постоянной. Но, во-первых, получить плоский потенциал в этом случае удается лишь с помощью тонкой подстройки параметров и, во-вторых, отсутствует возможность нарушения оставшейся N = 1 суперсимметрии, что недопустимо для реалистической модели. В работе [40] построен скрытый сектор, допускающий спонтанное нарушение суперсимметрии с четырьмя произвольными массовыми масштабами и с естественным образом исчезающей космологической постоянной. Группой глобальных симметрий в этом случае является SU( 1,1) g) GL(4, R) (g) T15 (Г15 - пятнадцать трансляций) - подгруппа группы SU(1,1) (g)0(6,6). В работе [41] нами построено обобщение этого скрытого сектора на случай произвольного числа мультиплетов материи и рассмотрено нарушение суперсимметрии в наблюдаемом секторе. Такая же модель была построена позже исходя из N = 1 D = 10 суперструны [42]. В работе [37] нам удалось показать, что и в случае N = 4 супергравитации инвариантность уравнений движения относительно полной группы S?7(l,l) ® 0(6, га) ведет к существованию семейства лагранжианов с одинаковой геометрией скалярных полей, описывающих дуальные версии. Построенная модель содержит в качестве частных случаев все известные нам модели взаимодействия мультиплетов материи с N = 4 супергравитацией.

Диссертация имеет следующую структуру:

• В первой части рассматриваются модели N = 1 супергравитации, дается вывод мягко нарушающих суперсимметрию членов и исследуется спектр масс.

• Во второй части дается построение двух общих классов моделей N = 2 супергравитации с геометрией, соответствующей несимметрическим кватернионным многообразиям и исследуются свойства таких моделей.

• В третьей части исследуются модели N = 2 супергравитации с бесконечномерной калибровочной группой в связи с проблемой одновременного нарушения суперсимметрии и калибровочной симметрии.

• В четвертой части рассмотрены дуальные версии моделей N = 3 и N = 4 супергравитаций и исследованы возможности спонтанного нарушения суперсимметрии в таких моделях.

• В заключении приведены основные результаты.

• В Приложении А приведен вариант скрытого сектора для одной из моделей из части I. В Приложении Б даны точные выражения для генераторов группы ^ в мультиспинорном базисе, использованном в части II. В Приложении В приводится точный вид г- и Г-матриц из части III.

В работе используется представление 7-матриц Дирака, в котором они являются чисто мнимыми, и майорановские спиноры - вещественными. Следовательно, во всех выражениях со спинорами матрица 75 играет роль мнимой единицы, например ха^ — (%а + 75Уа)^ и т. д.

В работе систематически опускаются четырехфермионные члены в лагранжианах взаимодействия и члены, билинейные по фермионным полям, в законах суперпреобразований, не существенные для проблемы спонтанного нарушения суперсимметрии.

В работе используется общепринятая система единиц, в которой константа гравитационного взаимодействия к = 1.

Часть I

Спонтанное нарушение симметрии в N = 1 супергравитации

Постановка задачи. Пусть имеется суперсимметричная модель, содержащая сектор Хиггса (-г, Л), скалярные поля z ответственны за нарушение калибровочной симметрии, "физический" сектор {ф,х): ГДе спи~ норы х - поля материи, и калибровочный сектор Для получения реалистического спектра масс модели необходимо кроме спонтанного нарушения супер симметрии ввести мягко нарушающие члены - массовые члены для полей ф иО, а также суперпотенциал, содержащий юкавские члены так, чтобы на энергиях порядка Мцг восстанавливался спектр масс Стандартной Модели. Исследовать появление юкавских членов из супергравитации целесообразно в том случае, если имеется модель с конкретной калибровочной группой и механизмом спонтанного нарушения калибровочной симметрии, т.е. есть точный вид суперпотенциала.

В этой части исследуется общий случай без конкретизации калибровочной группы и, следовательно, изучается возможность получения в модели супергравитации расщепления масс полей в супермультиплетах на величину порядка Ms - масштаба нарушения суперсимметрии. Массы порядка Ms должны приобрести скалярные поля из " физического" сектора и спиноры из хиггсового и калибровочного секторов. Остальные поля на этом этапе должны остаться безмассовыми, т.к. они приобретают массу вследствие нарушения калибровочной симметрии либо через юкавские члены ( спиноры % ), либо через механизм Хиггса ( векторные поля V^ ), что в данной модели рассматриваться не будет.

Еще один аспект - необходимость следить за отсутствием космологической постоянной. Ограничимся поэтому моделями с плоским потенциалом. В качестве исходных моделей выберем два возможных обобщения no-scale скрытого сектора. Скалярные поля будут описывать нелинейные (Т-модели с геометриями SU(1, п)/SU(n)®U(l) и 50(2, n)/50(n)<g)50(2). При п=1 обе эти модели переходят в случай с геометрией SU(1,1)/U(l) ( вторая - с учетом 50(2,1) ~ SU(1,1)).

Таким образом, обе исследуемые в этом разделе модели имеют сходную общую структуру. Естественным образом выделяются три взаимодействующие между собой группы полей. Первый сектор включает в себя поля скрытого сектора, а также поля Хиггса и их фермионные суперпартнеры. Он содержит киральные мультиплеты (Аа, za). Скалярные поля этого сектора описывают нелинейную сг-модель с геометрией, в зависимости от модели, SU(l,n)/-SU(n) <g> £7(1) либо 0(2,n)/0(n) (g) 0(2). Следующий сектор включает в себя спиноры, соответствующие лептонам и кваркам, а также их скалярные суперпартнеры. Он содержит киральные мультиплеты (X°ij(fa)> скалярные поля которых имеют "минимальные" кинетические члены. В третий сектор входят N калибровочных векторных мультиплетов (VA. QA). Как будет показано ниже, массовые члены для спиноров Ü генерируются лишь в "неминимальном" случае, поэтому кинетические члены для векторных полей берутся в виде:

- - y,VA) + b.c. (0.5)

Поля из векторных мультиплетов преобразуются по присоединенному представлению некоторой калибровочной группы G. Функция f(z) для простоты выбрана синглетом относительно этой группы.

Считаем, что киральные мультиплеты из первого и второго секторов преобразуются по некоторым, вообще говоря различным, представлениям группы G с генераторами соответственно (ТА)аь и (ТА)а^. Генераторы считаем антиэрмитовыми, т.е. удовлетворяющими соотношению:

СТА)а\ = -Ъ(ТА)\ (0.6) и аналогично для (Гл)а@.

1. Модель с геометрией

SU(l,n)/SU(n)®U(l)

1.1 Описание модели

Чтобы описать соответствующую нелинейную а—модель, введем (п+1) киральный мультиплет (Aa,za), а = 1,2.п + 1 с индефинитной метрикой даъ — diag(—, + .+) и наложим следующие связи на скалярные поля:

Za2:a = -К2 (1.1) в системе, в которой гравитационная константа связи к=1). Вычисляя вариацию этой связи при суперпреобразованиях (формула (1.7) ниже) получаем следующие связи на спиноры: аЛа - 0. (1.2)

Рассматриваемая модель обладает локальной £7(1)-инвариантностью: комбинация Ац = при локальных преобразованиях -ГГбЛ = гГ5Л2а (1.3) преобразуется следующим образом: qъд^гA, (1.4) т.е. играет роль калибровочного поля. Соответствующая ковариантная производная, например, для поля 2 имеет вид: + ' (1.5) к

Соответствующие ?7(1)-заряды, согласованные с суперпреобразованиями, следующие: для полей 2 - (—<?), для полей Л - (д + 1), для гравитино и параметра суперпреобразований ту - (+1).

Полная модель взаимодействия всех трех секторов с ЛГ = 1 супергравитацией и между собой также должна удовлетворять требованию локальной ¿7(1)-инвариантности. Это требование приводит к значениям /7(1)-заряда для спиноров "минимального" сектора (-1) и для спиноров калибровочного сектора (+1).

Лагранжиан модели и соответствующие суперпреобразования имеют следующий вид:

-1/т/(.)(УДуД) - ^ЛУУД,^ - ¿хУГА^

-(АТгП) +

1 Л«9/

4 дг

У + + ^

О, - -ад/т/)(й7р75«) ^ (2Тг + фГ<р)'

1.6) 2^77, <5ема = г'(Фр7а?7), 5Л = -%Ьхт\, 5х = -гЪут),

ЬУ? = г(^т^), = ~

5Фх = (Ату), 6Ф2 = (Л7577), 1

Де/

Р2 = {ХЪ1)

V, (1.7) где г = Фг+ 75Ф2, имеют вид: р = ^1+75^2? а ковариантные производные полей а^Ь:

Я„Ла = (рц + Вц) Ла + УрЛ6Г6а, = в лвсувпс

УА = диУА - д„УА - оГА»иУ*У ии Р V V и и I гЛ

IV А сАВСт/Вт/С

1.8)

Здесь Вц = </?«)> а обозначает £7(1)-ковариантные производные, вид которых легко получить, учитывая соответствующие и{ 1)—заряды, указанные выше. Ковариантная производная для Ф/г имеет такой же вид, что и для г]. Из требования инвариантности лагранжиана (1.6) относительно преобразований (1.7) фиксируется соотношение между параметрами дик: д/с2 = —4. При доказательстве инвариантности полезно следующее соотношение: 1

Т>/1,Т>„]г} = ~(Т>^Т>ух - Т>„гТ>цг)г). к

1.9)

Суперпотенциал модели, вообще говоря, может зависеть от скалярных полей из киральных мультиплетов обоих секторов, то есть как от г, так и от ср. Для простоты ограничимся частным случаем, предполагая зависимость лишь от полей г. Дополнительные члены к лагранжиану (1.6) и законам преобразования (1.7) при этом имеют вид: т —

1 - - до -до 2 тд9 1

8 Ф ит ^ ц

1.10)

Л =

2—+ 5(ф

1.11) где = ехр(^\ф\2), а функция д(г) удовлетворяет условию, следующему из ^(^-инвариантности модели: дд к'2 , 2 г-г- = —0(2) — —0(2). дг 2 д ^ у

1.12)

Отсюда легко получить соотношение, которое полезно при доказательстве инвариантности полного лагранжиана (1.6), (1-Ю) относительно суперпреобразований (1.7), (1.11): д2д дгадгь к Ч

- 1 дд дга'

1.13)

Все основные формулы получены. Следующий этап - поиск плоских направлений в минимуме потенциала модели и исследование спектра масс. Используя произвол в функциях и д(г) можно попытаться добиться необходимого расщепления масс полей в супермультиплетах.

Выпишем отдельно потенциал модели:

V =

3 + -\дд

ПМ2)

1.14)

Чтобы проанализировать, возможны ли в данной модели плоские направления в минимуме потенциала, необходимо перейти к конкретному виду функции д(г). Простейшим выражением для д(г)1 удовлетворяющим условию (1.12), является функция вида: д(г) = (Ма2а)~2//9, где Ма - вещественный вектор. Потенциал в этом случае принимает вид:

V = м - (з + £

М2)-2/^2(М2) + 8 ?М2|(Мг)-2^1|2^2(|И2) - ^(гТг + фГр)2. (1.15.)

Видно, что минимум потенциала имеет плоские направления и космологическая постоянная отсутствует при выполнении следующих условий: д = Л маМа = 0, < ср >= 0, < гТг >= 0. (1.16) О

С учетом первых двух условий потенциал (1.15) принимает вид:

К = í-(фч>)\(Mzr^\2F\Ы') - ¿(Я-* + (1.17)

Полученный потенциал положительно определен, имеет в минимуме плоские направления, связанные с полями г и его вакуумное среднее равно нулю.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Цокур, Виктор Анатольевич

Заключение

Результаты настоящей работы состоят в следующем:

1. Построены и исследованы модели N — 1 супергравитации с геометрией скалярных полей 311(1, т)/3и(т) 0 11(1) и 50(2, га)/50(т) ® 50(2). Показано, что в случае ортогональной геометрии после нарушения суперсимметрии генерируется необходимый спектр масс и мягко нарушающий члены.

2. Построены и исследованы модели N — 2 супергравитации, в которых скалярные поля из гипермультиплетов параметризуют несимметрические кватернионные многообразия. Показано, что для одного из двух классов таких моделей нарушение суперсимметрии ведет к появлению юкавских членов, отсутствующих во всех рассматривавшихся ранее моделях расширенных супергравитаций и существенных для генерации масс фермионов.

3. Построены и исследованы модели N = 2 супергравитации с бесконечномерной калибровочной группой. Используя специфические свойства алгебр Каца-Муди удалось получить одновременное нарушение суперсимметрии и калибровочной симметрии в таких моделях.

4. Для N = 3 ж N = 4 супергравитаций построены семейства лагранжианов, описывающие дуальные версии известных моделей и содержащие в качестве частных случаев все исследованные в литературе модели. Изучены дуальные версии, допускающие частичный супер-хиггс эффект с естественным образом исчезающей космологической постоянной, и продемонстрирована связь между выбором дуальной версии и возможностью спонтанного нарушения суперсимметрии.

В диссертацию вошли следующие работы из списка литературы: [11, 24, 25, 31, 36, 37, 41].

В заключение мне приятно выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю Ю. М. Зиновьеву, в соавторстве с которым получены практически все результаты диссертационной работы и чью помощь при написании этой работы трудно переоценить. Я очень благодарен также А. П. Самохину и В. А. Петрову за большую поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Цокур, Виктор Анатольевич, 1996 год

1. H. P. Nilles, Phys. Rep. CI 10 (1984) 1; H. E. Haber and G. L. Kane, Phys. Rep. C117 (1985) 75.

2. Girardello, M. T. Grisaru,M/d. Phys. B194 (1982) 65; S. Dimopoulos, H. Georgi,Mid. Phys. B193 (1981) 150.

3. E. Cremmer, B. Julia, P. van Nieuwenhuizen, S. Ferrara, and L. Girardello, Phys. Lett. 79B (1987) 231;

4. E. Cremmer, S. Ferrara, L. Girardello, and A. van Proeyen, Phys. Lett. 116B (1982) 219. :

5. S. Weinberg, Rev. Mod. Phys. 61 (1989) 1.

6. E. Cremmer, S. Ferrara, C. Kounnas, and D. V. Nanopoulos, Phys. Lett. 133B (1983) 61;

7. N. P. Chang, S. Ouvry, and X. Wu, Phys. Rev. Lett. 51 (1983) 327. A. B. Lahanas and D. V. Nanopoulos,Prys. Rep. C145 (1987) 1.

8. A. Dabelstein, Nucl. Phys. B456 (1995) 25; E. G. Floratos and G. K. Leontaris, Nucl. Phys B452 (1995) 471; J. Guasdi R. A. Jimenez and J. Sola, Phys. Lett. B360 (1995) 47.7 ) *) J \ /

9. B. C. Allanach and S. F. King, Nucl. Phys. B456 (1995) 57; R. Barbieri, G. Dvali, A. Strumia, Z. Berezhiani, and L. Hall, Nucl. Phys B432 (1994) 49.

10. C. Kounnas, I. Pavel, and F. Zwirner, Phys. Lett. B335 (1994) 403;

11. S. Kelley, J. L. Lopez, D. V. Nanopoulos, and A. Zichichi, Mod. Phys. Lett. A10 (1995) 1787;

12. C. Kounnas, I. Pavel, G. Ridolfi, and F. Zwirner, hep-ph/9502318; G. Leontaris and N. Tracas, Phys. Lett. B351 (1995) 487; S. Kelley, and S. Rawal, hep-ph/9510392.

13. A. Brignole and F. Zwirner, Phys. Lett. B342 (1995) 117;

14. A. Brignole, F. Feruglio, and F. Zwirner, Phys. Lett. B356 (1995) 500.

15. B. A. IioKyp, Zd. (fiu3. 57 (1994) 939.

16. J. Bagger and E. Witten, Nucl. Phys. B222 (1983) 1;

17. N. J. Hitchin, A. Karlhede, U. Lindstrom, and M. Rocek, Comm. Math. Phys. 108 (1987) 535;

18. K. Galicki, Comm. Math. Phys. 108 (1987) 117.

19. B. de Wit, P. G. Lauwers, and A. van Proeyen, Nucl. Phys. B255 (1985) 569;

20. E. Cremmer, C. Kounnas, A. van Proeyen, J. P. Derendinger, S. Ferrara, B. de Wit, and L. Girardello, Nucl. Phys. B250 (1985) 385; H. Itoyama, L. McLerran, T. R. Taylor, and J. J. van der Bij, Nucl. Phys. B279 (1987) 380.

21. S. Cecotti, L. Girardello, and M. Porrati, Nucl. Phys. B268 (1986) 295.

22. Ю. M. Зиновьев, Яд. физ. 46 (1987) 943.

23. Ю. М. Зиновьев, Яд. физ. 46 (1987) 1240.

24. Yu. М. Zinoviev, Int. J. of Mod. Phys. A7 (1992) 7515.

25. Д. В. Алексеевский, Изв. АН СССР 39 (1975) 315.

26. S. Cecotti, Com. Math. Phys. 124 (1989) 23.

27. B. de Wit and A. van Proeyen, Phys. Lett. 252B (1990) 221.

28. B. de Wit, F. Vanderseypen, and A. van Proeyen, Nucl. Phys. B400 (1993) 463.

29. B. de Wit and A. van Proeyen, Int. J. Mod. Phys. D3 (1994) 31. B. de Wit and A. van Proeyen, hep-th/9505097.

30. V. A. Tsokur and Yu. M. Zinoviev, IHEP preprint 96-22 (Protvino, 1996).

31. V. A. Tsokur and Yu. M. Zinoviev, IHEP preprint 96- 23 (Protvino, 1996).

32. Yu. M. Zinoviev, IHEP preprint 83-91 (Serpukhov, 1983). L. D. Faddeev and A. A. Slavnov, Teor. Mat. Fiz 8 (1971) 297.14