Низкоэнергетическое эффективное действие в моделях N=2 гипермультиплетена и N=3 калибровочного суперполя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Самсонов, Игорь Борисович

• Самсонов, Игорь Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Самсонов, Игорь Борисович

Введение

1 Метод гармонического суперпространства для N = 2 суперсимметричных моделей

1.1 Гармоническое суперпространство.

1.2 Гармонические ^-функции и гармонические распределения

1.3 Аналитическое подпространство, аналитические суперполя

1.4 Безмассовые гипермультиплеты

1.5 Формулировка модели N = 2 супер Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве.

2 Низкоэнергетическое эффективное действие модели гипер-мультиплета в во внешнем калибровочном суперполе

2.1 Голоморфное эффективное действие в моделях q- и ш-гипер-мультиплетов во внешнем калибровочном суперполе группы

U( 1).

2.2 Голоморфное эффективное действие в моделях q- и си-гипер-мультиплетов во внешнем калибровочном суперполе произвольной калибровочной группы.

2.3 Голоморфные эффективные потенциалы гипермультиплетов с калибровочной группой SU(п)

2.4 Голоморфные эффективные потенциалы для калибровочной группы SO{n).

2.5 Sp(n) калибровочная группа

3 N = 2 Суперсимметричные теории и некоммутативная геометрия

3.1 Введение некоммутативного умножения в теории поля

3.2 Формулировка классических действий некоммутативных N =

2 суперсимметричных моделей.

3.2.1 Некоммутативный д-гипермультиплет.

3.2.2 Некоммутативный векторный мультиплет

3.2.3 Взаимодействие гипермультиплета с векторным суперполем

3.3 Примеры квантовых вычислений в некоммутативных N = 2 суперсимметричных моделях в гармоническом суперпространстве

3.3.1 Модель некоммутативного ^-гипермультиплета

3.3.2 Векторное суперполе.

3.3.3 Гипермультиплет во внешнем калибровочном суперполе

3.4 Голоморфное эффективное действие некоммутативного д-ги-пермультиплета во внешнем калибровочном суперполе

3.4.1 Абелев гипермультиплет.

3.4.2 Неабелев гипермультиплет

4 Низкоэнергетическое эффективное действие в JV = 3 суперкалибровочной теории

4.1 Формулировка теории N = 3 супер Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве.

4.2 Масштабно-инвариантный N = 3 суперсимметричный эффективный функционал.

4.3 Компонентная структура эффективного действия.

4.4 Эффективные уравнения движения.

4.5 Симметрии эффективного действия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Низкоэнергетическое эффективное действие в моделях N=2 гипермультиплетена и N=3 калибровочного суперполя»

Суперсимметрия - это специфическая симметрия полевых теорий, которая переводит бозонные и фермионные поля друг в друга, делая их равноправными для описания с точки зрения суперсимметричных действий (см., например, [1]-[4]). В этом смысле использование принципов суперсимметрии позволяет достичь единого описания как бозонных так и фермионных систем. Поэтому очевидно, что суперсимметрия должна рассматриваться как элемент любой теории, претендующей на роль объединенной теории фундаментальных взаимодействий.

Современное изучение суперсимметричных полевых теорий главным образом стимулируется достижениями в теории суперструн. В низкоэнергетическом'пределе эффективное действие струнной теории воспроизводит классическое действие теории супергравитации, которое обычно записывается в 10 или 11-мерном пространстве (см.,например, [5, 6]). Очевидно, что с помощью компактификации шести измерений можно из 10-мерной теории получить различные четырехмерные полевые теории. Оказывается, все суперсимметричные полевые теории воспроизводятся естественным образом в результате такой процедуры из моделей супергравитации при подходящем способе компактификации (о связи теории струн и супергравитации с суперсимметричными полевыми моделями см., например, книги [5, 6], а также обзоры [7, 8, 9]).

Наиболее хорошо изученным примером такой взаимосвязи между теорией суперструн и суперсимметричными полевыми теориями является так называемое AdS/CFT-соответствие [10, 11], согласно которому устанавливается связь между теорией IIB суперструны, компактифицированной на пространство AdS$ х где AdS$ - пятимерное пространство анти Де-ситтера и S5 - пятимерная сфера, и N = 4 суперсимметричной теорией поля (обзоры по теме AdS/CFT-соответствия даны, например, в работах [8, 9]). В частности, в рамках этого соответствия было обнаружено, что потенциал взаимодействия D3-6paH (протяженных объектов, являющихся решениями классических уравнений IIB-супергравитации), описываемый действием Борна-Инфельда [12], совпадает с низкоэнергетическим эффективным действием в N — 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU(n) (для больших п), спонтанно нарушенной до максимальной абелевой подгруппы [16, 17,18, 47]. Таким образом, нахождение низкоэнергетического эффективного действия в N — 4 суперкалибровочной модели оказалось очень важным для изучения взаимосвязи между квантовой теорией поля и теорией струн и стало существенным шагом в понимании этих теорий.

В настоящее время активно изучаются и другие подходы (см.,. например, [9, 19]), в которых эффективные действия в теориях с N = 2,1,0 t суперсимметрией могут быть редуцированы из теории суперструн (однако такие примеры менее тривиальны). В этой связи получение точных ответов для низкоэнергетических эффективных действий в суперсимметричных полевых теориях является очень актуальной проблемой, поскольку каждый точный результат в теории поля является новым основанием для проверки теории струн.

Проблема построения квантовой теории и в частности нахождения эффективного действия для суперсимметричных моделей является одной из основных задач в этой области. По определению, эффективное действие является производящим функционалом для одночастично-неприводимых связных диаграмм Фейнмана (см.,например, [3]), оно содержит практически полную информацию о квантовой структуре теории. Часто оказывается, что суперсимметрия способствует нахождению точных ответов для эффективного действия, так как она является дополнительной симметрией теории, которая не должна разрушаться и при квантовании, а любая дополнительная симметрия лишь ограничивает возможную структуру эффективного действия. Другими словами, требование суперсимметричной инвариантности сильно ограничивает возможный вид функционала низкоэнергетического действия, а в некоторых случаях даже позволяет получить его точно. Например известно, что требование суперсимметрии в сочетании с требованием масштабной инвариантности позволяет получить низкоэнергетическое эффективное действия в модели Л/* = 4 супер Янга-Миллса с точностью до произвольного числового коэффициента [16]. Для модели N — 2 супер Янга-Миллса голоморфное эффективное действие может быть найдено точно на основе анализа свойств суперсимметрии и дуальности этой теории, причем с учетом как пертурбативных так и неперту рба-тивных вкладов. Этот результат был впервые получен в известных работах Сайберга и Виттена [22] и стал крупным достижением в области расширенных суперсимметричных теорий, поскольку он показывает на сколько ) может быть продуктивным использование свойства суперсимметрии (о теории Сайберга-Виттена см., например, обзоры [23, 24, 25]).

В ряде случаев для описания суперсимметирчных теорий удобно использовать суперполевую формулировку [1, 2, 3]. Любая суперсимметричная теория обязательно содержит не одно физическое поле, а целый набор (мультиплет) полей, как бозонной так и фермионной статистики, которые связаны между собой преобразованиями суперсимметрии. В рамках суперполевой формулировки такой мультиплет полей объединяется в одно суперполе, которое имеет тензорный закон преобразования относительно суперсимметрии (точнее супергруппы Пуанкаре). При этом действия суперсимметричных моделей могут быть записаны в виде функционалов от этих суперполей в соответствующих суперпространствах. Важно отметить, что суперполевая формулировка дает существенное преимущество при пер-турбативном суперполевом квантовании суперсимметричных теорий. Например, вычисление одной суперполевой фейнмановской диаграммы может соответствовать целому набору диаграмм для компонентных полей, что успешно применяется для изучения структуры расходимостей и перенормировки таких теорий, для доказательства теорем о неперенормируемости и вычисления вкладов в эффективное действие. В частности, в теориях с Л/* = 1 суперсимметрией методы пертурбативного квантования и структура эффективного действия в настоящий момент изучены достаточно хорошо (см., например, монографии [1, 3]). Изучение пертурбативных аспектов моделей с расширенной суперсимметрией возможно либо на основе N = 1 суперполевого подхода, либо с использованием метода гармонического суперпространства, который обеспечивает явную суперполевую формулировку для моделей cAf=2nJ\f = 3 суперсимметрией. Остановимся на идее данного метода более подробно, поскольку настоящая работа существенно основывается на его использовании.

Метод гармонического суперпространства был впервые введен в основополагающих работах [26, 27, 28, 29, 30] для построения явной суперполевой формулировки N = 2 и Л/* = 3 суперсимметричных моделей. К необходимости использования этого метода приводят следующие обстоятельства. Расширенное суперпространство снабжено, помимо бозонных координат хм на пространстве Минковского, также и антикоммутирующими (грассмано-выми) переменными вга,в^, где индекс г принимает значения от 1 до ЛЛ Если теперь рассмотреть произвольное суперполе на таком суперпространстве и изучить его компонентный состав, то можно увидеть (см., например, [2]), что такое суперполе будет содержать избыточное число компонентных полей помимо минимально необходимого набора, соответствующего неприводимому представлению суперсимметрии. Поэтому такие суперполя всегда будут реализовывать приводимые представления суперсимметрии и, чтобы их можно было использовать для построения действий, необходимо накладывать на такие поля суперполевые связи, уничтожающие лишние компонентные поля (см. работы [38, 39, 40], или монографию [2]).

Квантование таких теорий сталкивается с известными трудностями. Метод гармонического суперпространства предлагает эффективное разрешение этих связей таким образом, что все действия формулируются в терминах несвязанных (не подчиненных связям) суперполей с сохранением явной суперсимметрии. Гармоническое суперпространство получается из обычного суперпространства добавлением вспомогательных "гармонических" переменных, которые принадлежат фактор-пространству вида SU(2)/U( 1) для N = 2 суперсимметрии или SU(3)/U(1) х U( 1) для случая N = 3 (см., например, монографию [44]). Затем в таком расширенном суперпространстве выделяется инвариантное относительно суперсимметрии подпространство с меньшим числом грассмановых переменных, которые обычно называют "аналитическим" подпространством. В результате, суперполя на таком суперпространстве обладают явной суперсимметрией, но содержат меньшее число компонентных полей, что позволяет эффективно разрешить упомянутые выше суперполевые связи. Данная процедура аналогична рассмотрению киральных подпространств, играющих ключевую роль в N = 1 суперсимметричных теориях. Это позволяет развить методы суперполевого пертурбативного квантования [27, 28], сохраняющие явную суперсимметрию на всех этапах вычислений. В частности, на основе гармонического суперпространства для N = 2 суперсимметричных моделей гипермуль-типлета и векторного суперполя был построен метод фонового поля [45], который затем успешно применялся для изучения различных вкладов в низкоэнергетическое эффективное действие N = 2,4 суперкалибровочных теорий [46, 47] и для доказательства теоремы о неперенормируемости [48]. Техника пертурбативных вычислений в гармоническом суперпространстве была также успешно применена для суперполевого вывода голоморфного потенциала модели гипермультиплета [49, 50] и Af = 2 векторного мультиI плета [54], который был впервые получен Сайбергом [64] путем интегрирования С/(1)д-анамалии (о Л/* = 2 суперполевом вычислении голоморфного потенциалу в теории гипермультиплета и неголоморфного эффективного действия в теории N = 4 супер Янга-Миллса см., например, обзорную статью [53]).

Отметим еще одно важное направление в изучении суперсимметричных полевых теорий, которое получило активное развитие в последнее время. Это направление связано с введением некоммутативной геометрии в теории поля и изучением квантовых свойств некоммутативных полевых теорий. Идея заключается в том, чтобы при первичном квантовании (до построения классического полевого действия) подчинить пространственные координаты хм нетривиальным коммутационным соотношениям в аналогии с тем, как координаты и импульсы в квантовой механике имеют нетривиальные перестановочные соотношения (в качестве обзоров по этому вопросу см. работы [68, 69]). Для полевых теорий это эффективно приводит к тому, что обычное умножение полей необходимо заменить на так называемое i

-умножение, которое является ассоциативным, но некоммутативным [70]. Мотивацией к рассмотрению таких теорий является предположение, что на очень малых расстояниях возможно нарушение свойств пространственно-временных координат, которое можно учесть с помощью введения нетривиальных коммутационных соотношений операторов координат в квантовой механике. Основанием для такой гипотезы является наблюдение, что при подобной деформации пространственных переменных на малых масштабах можно частично решить проблему расходящихся импульсных интегралов, возникающих в квантовой теории поля, поскольку на малых масштабах (или, что тоже самое, при больших импульсах), некоммутативность начинает играть существенную роль и может являться эффективным регуля-ризатором расходящихся квантовых диаграмм (см., например, обзорную работу [71]). Следует отметить, что в последние годы эта идея получила некоторое новое развитие, связанное с тем, что было осознано, что некоммутативные полевые теории получаются естественным образом в низкоэнергетическом пределе теории струн, рассмотренной на фоне постоянного .В-поля 1 [72, 73]. Особый интерес с этой точки зрения представляют суперсимметричные полевые модели, поскольку именно они имеют тесную связь со струнными теориями и оказывается возможным сравнить результаты квантовых вычислений в таких моделях с соответствующими результатами в теории струн. Однако, изучение квантовых свойств некоммутативных полевых теорий актуально также с чисто полевой точки зрения, поскольку такие модели являются примером нелокальных теорий, в которых сохраняется причинность и унитарность и поэтому для них можно строить квантовую теорию обычными методами квантовой теории поля. В частности, методы пертурбативного квантования и некоторые квантовые вычисления для моделей скалярного и векторного поля были впервые проведены в работах [75]-[81], квантование N = 1 суперсимметричных моделей скалярного и векторного мультиплета было произведено в работах [82]-[85], N = 2 t суперсимметричные модели обсуждались в [8б]-[90], и N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса интенсивно изучалась в [91]-[94]. В качестве обзора на эту тему см. статью [71]. Основные итоги изучения некоммутативных теорий можно сформулировать следующим образом. Благодаря введению некоммутативности часть квантовых ультрафиолетовых рас-ходимостей изменяет "свое поведение некоторым специфическим образом так, что они выглядят как инфракрасные особенности у импульсных интегралов. Этот эффект получил название UV/IR-смешивания [75] и был обнаружен практически во всех некоммутативных полевых теориях, обладающих ультрафиолетовыми квантовыми расходимостями. Таким образом, первоначальная гипотеза о том, что введение некоммутативности в теории поля может быть связано с регуляризацией расходящихся импульсных интегралов частично оправдалась, но было также осознано, что эта проблема не может быть полностью решена на таком пути. Для теорий

1В-поле - это антисимметричный тензор второго ранга, известный как 2-форма Невье-Шварца в теории супергравитации [5]. без квантовых расходимостей, например для Л/* = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса такого эффекта, естественно, не возникает. Поэтому конечные некоммутативные теории являются хорошим примером для изучения другой важной проблемы некоммутативных моделей - проблемы наблюдаемых и сохранения калибровочной инвариантности в калибровочных теориях. Этот вопрос интенсивно изучался в работах [92, 94], где было показано, что эта проблема имеет решение в терминах некоммутативных петель Вильсона и тесно связана с преобразованием Сайберга-Виттена для некоммутативных теорий [73].

Данная диссертация посвящена изучению следующих задач, которые связаны с описанными выше проблемами в суперсимметричной теории поля и которые могут быть разрешены с использованием метода гармонического суперпространства:

1. Нахождение эффективного действия в модели гипермультиплета, взаимодействующего с калибровочным векторным суперполем для случая, когда гипермультиплет принадлежит произвольному представлению калибровочной группы, а векторное суперполе лежит в подалгебре Картана калибровочной алгебры.

2. Разработка методов пертурбативного суперполевого квантования на основе подхода гармонического суперпространства для некоммутативных N = 2 суперсимметричных моделей гипермультиплета и век

1 торного мультиплета. Вычисление низкоэнергетического эффективного действия модели некоммутативного гипермультиплета, взаимодействующего с векторным мультиплетом, для случая калибровочных групп U(l) и и(п).

3. Исследование структуры эффективного действия в модели N = 3 су-. персимметричной теории Янга-Миллса и нахождение симметрий этого действия.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. В первой главе дан подробный обзор метода гармонического суперпространства, поскольку этот подход лежит в основе пертурбативных вычислений, проводимых в модели гипермультиплета в двух последующих главах. Здесь вводится понятие гармонического суперпространства и рассматриваются гармонические распределения на нем. Затем приводится формулировка моделей гипермультиплетов и векторного суперполя в гармоническом суперпространстве и записываются правила Фейнмана для этих моделей.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Самсонов, Игорь Борисович

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [101]-[105].

В заключении я считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору И.Л. Бухбиндеру и доктору физико-математических наук Б.М. .Зупнику за руководство работой, многочисленные обсуждения, всестороннюю помощь в работе и сотрудничество. Я также признателен доктору физико-математических наук Е.А. Иванову за стимулирующие обсуждения и сотрудничество.

Заключение

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты.

1. Вычислено низкоэнергетическое (голоморфное) эффективное действие гипермультиплета взаимодействующего с векторным суперполем для случая, когда гипермультиплет находится в произвольном представлении любой полупростой калибровочной группы, а векторное суперполе лежит в подалгебре Картана соответствующей калибровочной алгебры. Показано, что голоморфное эффективное действие записывается в виде суммы по корням (весам) калибровочной алгебры от слагаемых, каждое из которых является голоморфным эффективным действием абелева гипермультиплета, взаимодействующего с векторным суперполем, лежащем в одномерном корневом (весовом) подпространстве калибровочной алгебры. Найдены голоморфные эффективные действия для моделей гипермультипле-тов в фундаментальном и присоединенном представлении калибровочных групп SU(n), SO(n), Sp(2n).

2. Построены модели некоммутативного гипермультиплета и некоммутативного N = 2 векторного суперполя в гармоническом суперпространстве. Получены правила Фейнмана для этих моделей и вычислены простейшие однопетлевые диаграммы Фейнмана. Каждая из таких диаграмм состоит из двух частей, которые называют "планарной" и "непланарной". Для пла-нарных вкладов этих диаграмм характерно, что они имеют такой же вид, как и диаграммы в соответствующих коммутативных теориях. В непланар-ных частях проявляется эффект UV/IR-смешивания, который заключается в том, что ультрафиолетовые расходимости переходят в инфракрасные особенности импульсных интегралов.

3. Исследована структура голоморфного эффективного действия модели некоммутативного гипермультиплета во внешнем векторном суперполе для случая абелевой и неабелевой калибровочной группы. Показано, что для калибровочной группы низкоэнергетическое эффективное действие гипермультиплета состоит из двух слагаемых, одно из которых отвечает за эффект UV/IR-смешивание, а второе является стандартным голоморфным эффективным действием абелева гипермультиплета (это справедливо в низкоэнергетическом приближении, когда мы пренебрегаем всеми производными суперполей). Для случая неабелевой калибровочной группы U(n) показано, что низкоэнергетическое эффективное действие также состоит из двух слагаемых, соответствующие С/( 1) и SU(п) подгруппам. Часть эффективного действия, соответствующая U( 1) подгруппе отвечает за UV/IR-смешивание, а в SU(n) слагаемом эффекта UV/IR-смешивания не наблюдается и ведущие вклады в эффективное действие соответствуют голоморфному потенциалу для коммутативного гипермультиплета во внешнем калибровочном суперполе группы SU(n).

4. Найден наиболее общий вид низкоэнергетического эффективного действия в Af = 3 суперсимметричной модели Янга-Миллса, сформулированной в Af = 3 гармоническом суперпространстве. Данное эффективное действие получено на основе анализа требований масштабной и R-инвариантности, которые являются следствием того, что данная модель является суперконформной теорией поля. Исследована компонентная структура такого эффективного действия и показано, что в компонентном составе всегда присутствует слагаемое вида f dAxFA/(j)A, которое является ведущим в низкоэнергетическом приближении. Получены эффективные уравнения движения, генерируемые низкоэнергетическим эффективным действием.

5. Получено представление Af — 3 суперконформной алгебры на суперполях в Af = 3 гармоническом суперпростр,анстве. Рассмотрено преобразование предложенного эффективного действия Af = 3 суперкалибровочной модели относительно Af = 3 суперконформной группы. Установлено, что данное эффективное действие остается инвариантным только относительно подгруппы М = 3 суперконформной группы, образованной преобразованиями дилатации, 75-симметрии и 5/7(3) подгруппы автоморфизмов, а преобразования специальных конформных бустов и дополнительных суперконформных суперсимметрий нарушают инвариантность данного эффективного действия. Это обусловливается тем, что данное эффективное действие существует только в кулоновой фазе теории, когда суперконформная группа нарушается за счет нетривиальных вакуумных средних значений скалярных полей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Самсонов, Игорь Борисович, 2003 год

1. Gates S.J., Grisaru M.T., Rocek M., Siegel W.- Superspace or One Thousand and One Lession in Supersymmetry.- Reading, Massachusets: Benjamin/Cummings, 1983.- 548 p.

2. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию.- М.: Мир, 1989,- 332 с.

3. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity.- Bristol and Philadelphia: IOP Publishing, 1995.- 640 p.

4. Весс Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация.- М.: Мир, 1986.- 184 с.

5. Грин М., Шварц Дж., Виттен Е. Теория суперструн.- Т. 1,2.- М.: Мир, 1991.

6. Каку М. Введение в теорию суперструн.- М.: Мир, 1999.- 624 с.

7. Taylor W. Lectures On D-Branes, Gauge Theory and M(atrices) // High Energy Physics and Cosmology: Summer School Lectures. Trieste 1997, 02 June 04 July.- P. 192-271; Preprint hep-th/9801182.

8. Petersen J.L. Introduction to the Maldacena Conjecture on AdS/CFT // Int. J. Mod. Phys. A.- 1999,- V. 14,- P. 3597-3672.

9. Maldaeena J. The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity. // Adv. Theor. Math. Phys.- 1998,- V. 2,- P. 231-252.

10. Gubser S., Klebanov I., Polyakov A. // Gauge Theory Correlators from Non-Critical String Theory.- Phys. Lett. В.- 1998.- V. 428.- P. 105-114.

11. Tseytlin A.A. Born-Infeld Action, Supersymmetry and String Theory. -Yuri Golfand memorial volume, ed. M. Shifman.- World Scientific.- 2000.-P. 417-452.

12. Sohnius M., West P. Conformal Invariance in N = 4 Supersymmetric Yang-Mills Theory // Phys. Lett. В.- 1981,- V. 100.- P. 245-257.

13. Grisaru M., Siegel W. Supergraphity. 2. Manifestly Covariant Rules and Higher Loop Finiteness // Nucl. Phys. В.- 1982,- V. 201.- P. 292-301.

14. Howe P., Stelle K., Townsend P. Miraculous Ultraviolet Cancellations in Supersymmetry Made Manifest // Nucl. Phys. В.- 1984,- V. 236.- P. 125138.

15. Dine M., Seiberg N. Comments on Higher Derivative Operators in Some SUSY Field Theories // Phys. Lett. В.- 1997,- V. 409.- P. 239-244.

16. Chepelev I., Tseytlin A.A. Long Distance Interactions of Branes: Correspondence Between Supergravity and Super Yang-Mills Descriptions // Nucl. Phys. В.- 1998.- V. 515.- P. 73-113.

17. Gonzalez-Rey F., Kulik В., Park I.Y., Rocek M. Selfdual Effective Action of Я = 4 Super Yang-Mills // Nucl. Phys. В.- 1999,- V. 544,- P. 218-242.

18. Bilal A., Chu C-S. D3 Brane(s) in AdSb x S5 and N = 4,2,1 SYM // Nucl. Phys. В.- 1999.- V. 547.- P. 179-200.

19. Dorey N., Khoze V.V., Mattis M.P., Slater M.J., Weir W.A. Instantons, Higher Derivative Terms, and Nonrenormalization Theoremsin Supersymmetric Gauge Theories // Phys. Lett. В.- 1997,- V. 408.- P. 213-221.

20. Bellisai D., Fucito F., Matone M., Travaglini G. Nonholomorphic Terms in Я = 2 SUSY Wilsonian Actions and RG Equation // Phys. Rev. D.-1997.- V. 56.- P. 5218-5232.

21. Seiberg N., Witten E. Electric-Magnetic Duality, Monopole Condensation, and Confinement in N = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory // Nucl. Phys. В.- 1994,- V. 426,- P. 19-52.

22. Bilal A. Duality mM = 2 SUSY SU(2) Yang-Mills Theory: a Pedagogical Introduction to the Work of Seiberg and Witten.- Cargese 1996, Quantum fields and quantum space time.- 1996.- P. 21-43.

23. Ketov S.V. Solitons, Monopoles and Duality: from Sine-Gordon to Seiberg-Witten // Fortsch. Phys.- 1997,- V. 45.- P. 237-292.

24. Alvarez-Gaume L., Hassan S.F. Introduction to S Duality in J\f = 2 Supersymmetric Gauge Theories: a Pedagogical Review of the Work of Seiberg and Witten // Fortsch. Phys.- 1997,- V. 45.- P. 159-236.

25. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrained M = 2 Matter, Yang-Mills and Supergravity Theories in Harmonic Superspace // Class. Quant. Grav.- 1984.- V. 1.- N 2,- P. 469498.

26. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic Superspace: Green Functions // Class. Quant. Grav. 1985.- V. 2.- N 3.-P. 601-616.

27. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic Superspace: Feynman Rules and Examples // Class. Quant. Grav. 1985.-V. 2,- N 3.- P. 617-630.

28. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Af = 3 Supersymmetric Gauge Theory // Phys. Lett. В.- 1985.- V. 151. P. 215218.

29. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrained Off-Shell Af = 3 Supersymmetric Yang-Mills Theory // Class. Quant. Grav.- 1985.- V. 2,- P. 155-171.

30. Гальперин А.С., Иванов E.A., Огиевецкий В.И. Суперпространства для Af — 3 суперсимметрии // Яд. Физ.- 1987.- Т. 46. Вып. 3(9).- С. 948-960.

31. Ferber A. Supertwistors and Conformal Supersymmetry // Nucl. Phys. В.- 1978.- V. 132,- P. 55-66.

32. Delduc F., McCabe J. The Quantization of Af = 3 Super-Yang-Mills off-shell in Harmonic Superspace // Class. Quant. Grav.- 1989.- V. 6.- P. 233-269.

33. Ivanov E.A., Zupnik B.M. Af = 3 Supersymmetric Born-Infeld Theory // Nucl. Phys. В.- 2001.- V. 618,- P. 3-20.

34. Zupnik B.M. The Action of the Supersymmetric Af = 2 Gauge Theory in Harmonic Superspace // Phys. Lett. В.- 1987.- V. 183.- P. 175-176.

35. Зупник Б.М. Решение связей суперкалибровочной теории в гармоническом SU(2)/U(1) суперпространстве. // Теор. Мат. Физ.- 1986.- Т. 69.- С. 207-213.

36. Зупник Б.М. Шестимерные суперкалибровочные теории в гармоническом суперпространстве. // Яд. Физ.- 1986.- Т. 44.- С. 794-802.

37. Grimm R., Sohnius М., Wess J. Extended Supersymmetry and Gauge Theories // Nucl. Phys. В.- 1978,- V. 133.- P. 275-291.

38. Breitejilohner P., Sohnius M.F. An Almost Simple Off-Shell Version of SU(2) Poincare Supergravity // Nucl. Phys. В.- 1981.- V. 178.- P. 151162.

39. Sohnius M.F. Bianchi Identities for Supersymmetric Gauge Theories // Nucl. Phys. В.- 1978.- V. 136,- P. 461-474.

40. Sohnius M.F. Superfields, Auxiliary Fields, and Tensor Calculus for N = 2 Extended Supergravity // Nucl. Phys. В.- 1980.- V. 165,- P. 483-495.

41. How P., Stelle K., Townsend P. The Relaxed Hypermultiplet: an Unconstrained M = 2 Superfield Theory // Nucl. Phys. В.- 1983,- V. 214.- P. 519-530.

42. Henningson M. Extended Superspace, Higher Derivatives and SL(2, Z) Duality // Nucl. Phys. В.- 1996,- V. 458,- P. 445-457.

43. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic Superspace,- Cambridge University Press, 2001.- 294 p.

44. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. The Background Field Method for N — 2 Super Yang-Mills Theories in Harmonic Superspace // Phys. Lett. В.- 1998.- V. 417,- N 1,2.- P. 6171.

45. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Comments on the Background Field Method in Harmonic Superspace: Nonholomorphic Corrections in Л/* = 4 SYM // Mod. Phys. Lett. A.- 1998,- V. 13,- P. 1623-1636.

46. Buchbinder E.I., Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Nonholomorphic Effective Potential in N = 4 SU(N) SYM // Phys. Lett. В.- 1999.- V. 446.- P. 216-223.

47. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. On the D=4, Я = 2 Nonrenormalization Theorem // Phys. Lett. В.- 1998.- V. 433.- P. 335345.

48. Buchbinder I.L., Buchbinder E.I., Ivanov E.A., Kuzenko S.M., Ovrut B.A. Effective Action of the Я = 2 Maxwell Multiplet in Harmonic Superspace // Phys. Lett. В.- 1997,- V. 412,- P. 309-319.

49. Buchbinder E.I., Buchbinder I.L., Ivanov E.A., Kuzenko S.M. Central Charge as the Origin of Holomorphic Effective Action in Я = 2 Gauge Theory // Mod. Phys. Lett. A.- 1998.- V. 13. P. 1071-1082.

50. Banin А.Т., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. Low-Energy Effective Action of Я = 2 Gauge Multiplet Induced by Hypermultiplet Matter // Nucl. Phys. В.- 2001,- V. 598,- P 371-399.

51. Banin А.Т., Buchbinder I.L., Pletnev N.G. On Low-Energy Effective Action in Я = 2 Super Yang-Mills Theories on Nonabelian Background // Phys. Rev. D.- 2002.- V. 66,- P. 045021-045021.

52. Бухбиндер Е.И., Оврут Б.А., Бухбиндер И.JI., Иванов Е.А., Кузенко С.М. Низкоэнергетическое эффективное дейтсвие в Я = 2 суперсимметричных теориях поля // Физика элементанных частиц и атомного ядра,- 2001,- Т. 32,- Вып. 5.- С. 1222-1290.

53. Eremin S., Ivanov Е. Holomorphic Effective Action of Я = 2 SYM Theory from Harmonic Superspace with Central Charges // Mod. Phys. Lett. A.-2000.- V. 15. P. 1859-1878.

54. Ivanov E., Ketov S, Zupnik B. Induced Hypermultiplet Selfinteraction // Nucl. Phys. В.- 1997,- V. 509,- N 1,- P. 53-82.

55. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. On the Off-Shell Massive Hypermultiplets // Class. Quant. Grav.- 1997,- V. 14,- N 2,- P. L157-L162.

56. Klemm A., Lerche W., Yankielowicz S., Theisen S. Simple Singularities and Af = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory // Phys. Lett. В.- 1995.-V. 344.- P. 169-175.

57. Klemm A., Lerche W., Theisen S. Nonperturbative Effective Actions of Af — 2 Supersymmetric Gauge Theories // Int. J. Mod. Phys. A.- 1996.-V. 11.- P. 1929-1974.

58. Argyres P.C., Ferrari A.E. The Vacuum Structure and Spectrum of Af = 2 Supersymmetric SU(N) Gauge Theory // Phys. Rev. Lett.- 1995,- V. 74.-P. 3931-3934.

59. Douglas M.R., Shenker S.H. Dynamics of SU(N) Supersymmetric Gauge Theory // Nucl. Phys. В.- 1995,- V. 447,- P. 271-296.

60. Danielsson U.H., Sundborg B. The Moduli Space and Monodromies of Af = 2 Supersymmetric SO{2R + 1) Yang-Mills Theory // Phys. Lett. В.- 1995.- V. 358.- P. 273-280.

61. Brandhuber A., Landsteiner K. On the Monodromies of Af = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory With Gauge Group SO(2N) // Phys. Lett. В.- 1995,- V. 358,- P. 73-80.

62. Hanany A. On the Quantum Moduli Space of Vacua Af = 2 Supersymmetric Gauge Theories // Nucl. Phys. В.- 1996.- V. 466.- P. 85-100.

63. Seiberg N. Supersymmetry and Nonperturbative Beta Functions // Phys. Lett. В.- 1988,- V. 206. P. 75-87.

64. Periwal V., von Unge R. Accelerating D-Branes // Phys. Lett. В.- 1998.-V. 430.- P. 71-76.

65. Gonzalez-Rey F., Rocek M. Nonholomorphic N = 2 Terms in J\f = 4 SYM: One Loop Calculation in N = 2 Superspace // Phys. Lett. B.-1998.- V. 434,- P. 303-311.

66. Gonzalez-Rey F., Kulik В., Park I.Y., Rocek M. Selfdual Effective Action of Я = 4 Superyang-Mills // Nucl. Phys. В.- 1999.- V. 544,- P. 218-242.

67. Connes A. A Short Survey of Noncommutative Geometry //J. Math. Phys.- 2000.- V. 41.- P. 3832-3866.

68. Landi G. An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries.- Springer-Verlag, 1997.- 186 p.

69. Moyal J.E. Quantum Mechanics as a Statistical Theory // Proc. Cambridge Phil. Soc.- 1949.- V. 45.- P. 99-105.

70. Szabo R.J. Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces // Phys. Rept.- 2003,- V. 378,- P. 207-299.

71. Douglas M.R., Hull C. D-branes and the Noncommutative Torus // JHEP.- 1998,- V. 9802,- P. 008-013.

72. Seiberg N., Witten E. String Theory and Noncommutative Geometry// JHEP.- 1999,- V. 9909,- P. 032-131.

73. Alvarez-Gaume L., Wadia S.R. Gauge Theory on a Quantum Phase Space // Phys. Lett. В.- 2001.- V. 501,- P. 319-325.

74. Minwalla S., Van Raamsdonk M., Seiberg N. Noncommutative Perturbative Dynamics // JHEP.- 2000,- V. 0002,- P. 020-032.

75. Van Raamsdonk M., Seiberg N. Comments on Noncommutative Perturbative Dynamics // JHEP.- V. 0003,- P. 035-055.

76. Aref'eva I.Ya., Belov D.M., Koshelev A.S. Two Loop Diagrams in Noncommutative ф\ Theory // Phys. Lett. В.- 2000.- V. 476. P. 431-436.

77. Aref'eva I.Ya., Belov D.M., Koshelev A.S. A Note on UV/IR for Noncommutative Complex Scalar Field.- Preprint hep-th/0001215.- 5 p.

78. Aref'eva I.Ya., Belov D.M., Koshelev A.S., Rytchkov O.A. UV/IR Mixing for Noncommutative Complex Scalar Field Theory. 2. (Interaction With Gauge Fields) // Nucl. Phys. Proc. Suppl.- 2001.- V. 102,- P. 11-17.

79. Aref'eva I.Ya., Belov D.M., Koshelev A.S., Rytchkov O.A. Renormalizability and UV/IR Mixing in Noncommutative Theories with Scalar Fields // Phys. Lett. В.- 2000.- V. 487.- P. 357-365.

80. Armoni A. Comments on Perturbative Dynamics of Non-Commutative Yang-Mills Theory // Nucl. Phys. В.- 2001.- V. 593,- P. 229-244.

81. Zanon D. Noncommutative Perturbation in Superspace // Phys. Lett. B.-2001,- V. 504. P. 101-108.

82. Zanon D. Noncommutative Я = 1, Я = 2 Super U(N) Yang-Mills: UV/IR Mixing and Effective Action Results at One Loop // Phys. Lett. В.- 2001,- V. 502,- P. 265-273.

83. Girotti И.О., Gomes M., Rivelles V.O., da Silva A.J. The Low-Energy Limit of the Noncommutative Wess-Zumino Model // JHEP.- 2002,- V. 0205,- P. 040-058.

84. Buchbinder I.L., Gomes M., Petrov A.Yu., Rivelles V.O. Superfield Effective Action in the Noncommutative Wess-Zumino Model // Phys. Lett. В.- 2001,- V. 517,- P. 191-202.

85. Bellisai D., Isidro J.M., Matone M. On the Structure of Noncommutative Я = 2 Super Yang-Mills Theory // JHEP.- 2000,- V. 0010.- P. 026-039.

86. Hollowood T.J., Khoze V.V., Travaglini G. Exact Results in Noncommutative Я = 2 Supeirsymmetric Gauge Theories // JHEP.-2001.- V. 0105.- P. 051-063.

87. Chu JC-S., Khoze V.V., Travaglini G. Dynamical Breaking of Supersymmetry in Noncommutative Gauge Theories // Phys. Lett. B.-2001,- V. 513. P. 200-206.

88. Khoze V.V., Travaglini G. Wilsonian Effective Action and the IR/UV Mixing in Noncommutative Gauge Theories // JHEP.- 2001.- V. 0101.-P. 026-041.

89. Ф 90. Armoni A., Minasian R., Theisen S. On Noncommutative Af = 2

90. Superyang-Mills // Phys. Lett. В.- 2001.- V. 513 .- P. 406-412.

91. Santambrogio A., Zanon D. One-Loop Four-Point function in Noncommutative Af = 4 Yang-Mills Theory // JHEP.- 2001.- V. 0101.-P. 024-038.

92. Pernici M., Santambrogio A., Zanon D. The One-Loop Effective Action of Noncommutative Af = 4 Super Yang-Mills Is Gauge Invariant // Phys.

93. Lett. В.- 2001.- V. 504,- P. 131-145.

94. Liu H., Michelson J. *-Trek: The One Loop Af = 4 Noncommutative SYM Action // Nucl. Phys. В.- 2001.- V. 614,- P. 279-304.

95. Liu H. *-Trek II: *n Operations, Open Wilson Lines and the Seiberg-Witten Map // Nucl. Phys. В.- 2001.- V. 614,- P. 305-329.

96. Seiberg N., Susskind L., Toumbas N. Space-Time Noncommutativity and » Causality // JHEP.- 2000,- V. 0006.- P. 044-058.

97. Gomis J., Mehen T. Space-Time Noncommutative Field Theories and Unitarity // Nucl. Phys. В.- 2000.- V. 591,- P. 265-276.

98. Ferrara S., Lledo M.A. Some Aspects of Deformations of Supersymmetric Field Theories // JHEP.- 2000,- V. 0005,- P. 008-020.

99. Klemm D., Penati S., Tamassia L. Non(anti)commutative superspace // ( Class. Quant. Grav.- 2003,- V. 20,- P. 2905-2916.

100. Наймарк М.А. Теория представлений групп.- М.: Наука, 1976.- 560 с.

101. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения.-М.: Мир, 1980.- Т. 2,- 395 с.

102. Buchbinder I.L., Samsonov I.В. On Holomorphic Effective Actions of Hypermultiplets Coupled to External Gauge Superfields // Mod. Phys. Lett. A.- 1999.- V. 14,- N 36,- P. 2537-2544.

103. Бухбиндер И.Л., Самсонов И.Б. О голоморфном эффективном действии в J\f = 2 D==4 суперкалибровочных теориях с различными калибровочными группами // Теор. Мат. Физ.-2000.- Т. 122,- N 3.- С. 444-455.

104. Buchbinder I.L., Samsonov I.В. Noncommutative N = 2 Supersymmetric Theories in Harmonic Superspace // Gravitation and Cosmology.- 2002.-V. 8.- N 1-2 (29/30).- P. 17-30.

105. Samsonov I.B. On Low-Energy Effective Action of Noncommutative Hypermultiplet Model // Mod. Phys. Lett. A.- 2001,- V. 16,- N. 40.-P. 2591-2603.

106. Samsonov I.B. On Superconformal Invariance of N = 3 Super-Yang-Mills Model // Gravitation and Cosmology.- 2003,- V. 9.- N 1 (33).- P. 87-90.