Эффективная классическая и квантовая динамика в полевых теориях с расширенной суперсимметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Самсонов, Игорь Борисович

• Самсонов, Игорь Борисович
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Самсонов, Игорь Борисович

Содержание

Введение

Глава 1. Квантование моделей суперчастиц вЛГ = Зи.Л/ =

гармонических суперпространствах

1.1. Частица в Л/" = 3 гармоническом суперпространстве

1.2. Квантование модели ЛУ = 3 суперчастицы без центрального заряда

1.3. Квантование модели N — 3 суперчастицы с центральным зарядом

1.4. Частица в Л/* = 4 гармоническом суперпространстве

1.5. Квантование модели массивной частицы в Л/" = 4 гармоническом суперпространстве с центральным зарядом

1.6. Квантование модели безмассовой частицы в Л/" = 4 гармоническом суперпространстве

1.7. Связи N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в и8р(4) гармоническом суперпространстве

1.8. Резюме

Глава 2. Низкоэнергетическое эффективное действие в N =

и N ~ 4 суперсимметричных теориях поля Янга-Миллса

2.1. Предварительные комментарии

2.2. Слагаемое Весса-Зумино-Виттена в эффективном действии

Л/" = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса

2.3. Эффективное действие в Л/* = 4 гармоническом суперпространстве

2.4. Эффективное действие в N = 2 гармоническом суперпространстве

2.5. Эффективное действие в Л/* = 4 бигармоническом суперпространстве

2.6. Эффективное действие в N = 3 гармоническом суперпространстве

2.7. Резюме

164

Глава 3. Проблема перенормируемости и эффективное действие в неантикоммутативных моделях с расширенной суперсимметрией

3.1. Киральные деформации Л/" = (1,1) суперсимметрии

3.2. Классические действия неантикоммутативных моделей вЛГ = (1,1) гармоническом суперпространстве

3.3. Компонентная структура Л/* = (1,0) неантикоммутативных абелевых моделей

3.4. Перенормируемость J\f — (1,0) неантикоммутативных абелевых моделей

3.5. Голоморфный потенциал в неантикоммутативной абелевой модели заряженного гипермультиплета

3.6. Заключительные замечания

Глава 4. Эффективные действия для калибровочных и кираль-ных суперполей в Л/" = 2, d = 3 суперпространстве

4.1. Представление суперконформной группы в N = 2, d = 3 суперпространстве

4.2. ЛГ = 2 суперсимметричное действие Гейзенберга-Эйлера

4.3. Низкоэнергетическое эффективное действие JV = 4 калибровочного суперполя

4.4. Метод фонового поля в N = 2, d — 3 суперпространстве

4.5. Однопетлевое эффективное действие вЛ/" = 4иЛ/" = 8 суперсимметричных теориях поля Янга-Миллса

4.6. N = 2 суперсимметричные теории поля Янга-Миллса с ки-ральными суперполями в бифундаментальном представлении

4.7. Двухпетлевое эффективное действие в трехмерной модели Весса-Зумино

4.8. Резюме

Глава 5. Альтернативная лагранжева формулировка модели самодуального тензорного поля в шестимерном пространстве

Минковского

5.1. Традиционное действие для киральных полей в шестимерном пространстве

5.2. Альтернативная нековариантная формулировка

5.3. Альтернативная ковариантная формулировка

5.4. Связь шестимерного тензорного поля с моделью Баггера-Лам-берта-Густавссона

5.5. Действие и уравнения движения для нелинейного кирального тензорного поля

5.6. Резюме

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффективная классическая и квантовая динамика в полевых теориях с расширенной суперсимметрией»

Введение

Современный прогресс в физике высоких энергий в значительной степени базируется на использовании методов квантовой теории поля для построения реалистичных моделей взаимодействия элементарных частиц. В настоящее время вся совокупность твердо установленных экспериментальных данных об элементарных частицах и процессах с их участием описывается в рамках Стандартной Модели, объединяющей на квантовом уровне электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия. В основе Стандартной Модели лежит квантовая теория калибровочных полей, представляющая собой предмет многих монографий (см. напр. [1-5]). Существенным элементом Стандартной Модели является хиггсовский бозон, описываемый скалярным полем и обеспечивающий спонтанное нарушение симметрии. Теоретическое предсказание хиггсовского бозона представляет собой вызов для экспериментальной физики элементарных частиц, поиски хиггсовского бозона запланированы как одна из важнейших целей исследований на Большом Адронном Коллайдере.

Успехи Стандартной Модели продемонстрировали плодотворность калибровочного принципа для объединения фундаментальных взаимодействий. Однако включение гравитации в эту схему не представляется возможным в силу ряда концептуальных физических проблем в области планковских энергий и неразработанности теоретических основ квантовой гравитации (см. напр. [6-8]). Тем не менее, построение объединенной теории всех фундаментальных взаимодействий является центральным направлением развития современной теоретической физики высоких энергий.

В настоящее время наиболее успешным кандидатом на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействий является теория суперструн [9,10]. В рамках этой теории действительно удается обойти проблемы непере-нормируемости общей теории относительности и сформулировать подходы к унификации всех взаимодействий, однако новых, существенно суперструнных предсказаний, допускающих непосредственную экспериментальную проверку сформулировать пока не удалось. Тем не менее, теория суперструн оказала и продолжает оказывать огромное влияние на развитие теоретической и математической физики. Здесь можно отметить значительный интерес к теории

поля в многомерных пространствах, теоретическое открытие специфических протяженных объектов таких как D-браны и М-браны, установление сети дуальности между казалось бы различными теориями в различных размерностях (см. напр. [10]).

Одним из наиболее важных достижений в теории струн является так называемое AdS/CFT соответствие [11-13], которое представляет собой определенного вида дуальность между моделями суперструн и суперсимметричными теориями поля (см. напр. [14] в качестве обзора). В своем первоначальном виде эта гипотеза представляет собой утверждение о том, что корреляционные функции составных калибровочно-инвариантных операторов в Af = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса однозначно связаны с корреляционными функциями в теории IIB супергравитации с определенными граничными условиями. Более конкретно, необходимо сравнивать аномальные размерности составных операторов в тхофтовском пределе со значениями энергий определенных конфигураций IIB суперструны на многообразии AdS$ х S5. Такое соответствие между корреляционными функциями, в этих теориях было проверено для множества различных примеров, и в настоящее время справедливость AdS/CFT-гипотезы не вызывает сомнений. Тем не менее, всестороннее изучение различных аспектов этой дуальности является важной темой многих современных исследований в теоретической физике высоких энергий (см. напр. [15] в качестве современного обзора).

AdS/CFT соответствие естественным образом распространяется и на другие квантовые аспекты JV = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. В частности, в работах [16, 17] было установлено, что амплитуды рассеяния в этой модели однозначно связаны с площадью струны в пространстве анти-Деситтера, прикрепленной к границе этого пространства. При этом, классическая струна, без учета квантовых поправок, дает значение амплитуды рассеяния при больших значениях калибровочной константы связи, когда теория поля находится вне пертурбативного режима. Получение аналогичных результатов для реалистичных моделей элементарных частиц, таких как квантовая хромодинамика, является важной задачей в современной физике высоких энергий.

Эффективное действие является одним из центральных объектов изуче-

ния в квантовой теории поля. По определению, это производящий функционал одночастично-неприводимых связных функций Грина. В теориях, где имеются как легкие (безмассовые) так и тяжелые (массивные) поля, имеет смысл говорить про низкоэнергетическое эффективное действие для легких полей, которое получается в результате интегрирования по всем тяжелым полям в функциональном интеграле. Очевидно, что такое эффективное действие должно хорошо описывать физику на определенных масштабах энергий, при которых тяжелые поля не наблюдаются как конечные или начальные состояния.

Для калибровочных теорий разбиение полей на массивные и безмассовые возникает естественным образом в результате механизма Хиггса. Например, для Л/" = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса механизм Хиггса был исследован в работе [18]. Очевидно, что для этой модели эффективное действие должно обладать рядом специфических свойств в силу богатых симметрий: оно не содержит квантовых расходимостей [19-21] и поэтому является суперконформно инвариантным. Оказывается, что суперконформная симметрия позволяет найти вид ведущих слагаемых в низкоэнергетическом эффективном действии не прибегая к пертурбативным вычислениям. Например, на основе анализа требования масштабной симметрии в работах [22, 23] был найден вид неголоморфного потенциала, который был получен позднее непосретственными квантовыми вычислениями [24-26]. N = 4 расширенная суперсимметрия может быть использована для нахождения вкладов в эффективное действие с суперполями гипермультиплетов [27, 28]. Слагаемые более высокого порядка по числу производных в эффективном действии М = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса изучались, например, в работах [29, 30]. Оказывается, все эти слагаемые имеют ясную интерпретацию на языке Б-бран в рамках АсШ/СРТ соответствия.

Согласно гипотезе Ас18/СРТ соответствия, низкоэнергетическое эффективное действие в N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса должно описывать динамику пробной БЗ браны, движущейся на фоне большого числа других БЗ бран [11, 31]. Это эквивалентно движению БЗ браны в пространстве вида Л<¿¿>5 х 55, поскольку такая геометрия индуцируется большим числом совпадающих БЗ бран. С точки зрения теории струн, описать

динамику БЗ браны на таком фоне не трудно: в бозонном секторе она определяется действием вида Дирака-Борна-Инфельда (см. [32] в качестве обзора). Это действие содержит все степени максвелловского поля напряженности, а также скалярные и спинорные поля, которые требуются для суперсимметрии. С другой стороны, вычисление низкоэнергетического эффективного действия в N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса представляет собой сложную задачу, которая обычно решается пертурбативно по отношению к различными параметрам теории (постоянная Планка и число производных поля). Следовательно, для развития суперсимметричной квантовой теории поля требуются методы, позволяющие находить эффективное действие, как пертурбативно, так и непертурбативно.

Использование суперпространства позволяет сократить и упростить многие вычисления при исследовании как классических, так и квантовых свойств суперсимметричных теорий поля. Хотя суперпространственные методы наиболее хорошо развиты для моделей с простой суперсимметрией [33, 34], имеются их различные обобщения для моделей теории поля с расширенной суперсимметрией. Мы будем касаться одного из таких обобщений, который принято называть подходом гармонического суперпространства [35-38].

Метод гармонического суперпространства был изначально предложен для изучения классических и квантовых свойств теорий поля о, N — 2 суперсимметрией, но был успешно расширен для формулировки классического действия N = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса [39, 40]. Имеются также различные версии N = 4 гармонических суперпространств [41-45], но, к сожалению, они не позволяют записать классическое действие Л/* = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в терминах неограниченных суперполей. Тем не менее, мы увидим, что некоторые из таких суперпространств оказываются чрезвычайно удобными для построения низкоэнергетического эффективного действия этой теории. Как мы покажем, наиболее удобны N — 4 гармонические суперпространства, которые используют и8р(4) либо 8и(2)х8и(2) гармонические переменные. Особенностью этих суперпространств является наличие незаряженных суперполевых напряженности, для которых эффективное действие принимает наиболее простой вид.

Обсудим некоторые аспекты N = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Она описывается классическим действием в Л/* = 3 гармоническом суперпространстве с использованием несвязанных калибровочных суперполей [39, 40], т.е. все суперсимметрии в этом действии реализованы явно и замыкаются вне массовой оболочки. Хорошо известно, что на массовой оболочке эта модель эквивалентна N — 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса [38]. Поэтому N = 3 суперсимметрия вне массовой оболочки является максимально возможной в Л/" = 4 суперкалибровочной теории. Можно ожидать, что использование N = 3 суперпространства должно приводить к наиболее сильным результатам при исследовании квантовых аспектов N — 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Тем не менее, проблема низкоэнергетического эффективного действия ЛА = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса до настоящего времени оставалась неизученной несмотря на то, что некоторые пути для квантовых вычислений в Л/" = 3 суперпространстве были намечены в [46]. Решение этой проблемы является одной из целей настоящей диссертационной работы.

Хотя Л/* = 3 и N = 4 суперсимметричные теории поля Янга-Миллса эквивалентны на массовой оболочке, вне массовой оболочки это может не выполняться. То есть, эти теории должны иметь одни и те же амплитуды рассеяния для физических полей, но вне массовой оболочки их эффективные действия могут отличаться. Как следствие, эти модели будут иметь разную связь с фоновой супергравитацией. Последнее очевидно уже из того, что мультиплеты N = 3 и N = 4 супергравитации различаются (см. напр. [47]).

Дуальность между N = 4 суперсимметричной теорией поля Янга-Милл-са и ПВ суперструной на многообразии вида 5 х Б5 является наиболее глубоко изученным, но не единственным примером АсШ/СРТ соответствия. В течение последних пяти лет активно развивается еще один пример этого соответствия, основанный на дуальности между моделью ПА суперструны на

о

многообразии вида АйБ^ х СР и трехмерными суперконформными теориями поля с N — 6 или Л/* = 8 расширенной суперсимметричной (см. [48] в качестве обзора). Классическое действие такой модели теории поля с N — 8 расширенной суперсимметрией было построено в серии работ Баггера, Ламберта и Густавссона [49-53], поэтому такую теорию часто называют аббревиатурой

БЛГ по первым буквам фамилий авторов. Удивительным свойством этой теории является использование новой математической конструкции, известной как три-алгебра. Такая три-алгебра является некоторым обобщением понятия обычной алгебры Ли, но является частным случаем гг-алгебры, которая была предложена в работе [54]. Впрочем, в последующих работах было установлено, что такая конструкция не является необходимой для записи классического действия модели БЛГ и все результаты могут быть переформулированы на языке обычных алгебр Ли [55, 56].

Модель Баггера-Ламберта-Густавссона представляет собой теорию поля Черна-Саймонса, взаимодействующего с полями материи специальным образом, так, что суперсимметрия расширяется до Л/" = 8 [49-52]. Было установлено, что требование максимально расширенной суперсимметрии накладывает сильные ограничения на вид лагранжиана теории: фиксируется не только представление калибровочной группы, но и сама калибровочная группа. Оказывается, что единственной компактной калибровочной группой Ли, совместной с Л/" = 8 суперсимметрией, является группа 80(4)~811(2)х8и(2), а поля материи находятся в бифундаментальном представлении [57-59]. Это вызывает определенные трудности при изучении АсШ/СРТ соответствия с этой теорией, поскольку известно, что оно хорошо применимо для случая, когда ранг калибровочной группы стремится к бесконечности. Это ограничение удается преодолеть за счет ослабления требования максимальной Л/" = 8 суперсимметрии до М = 6. В работах [56, 60] показывается, что при расширении калибровочной группы 811(2)х8и(2) в БЛГ теории до 8и(га)х8и(п) суперсимметрия снижается до N = 6, но сохраняются все важнейшие свойства, необходимые для исследования АсШ/СРТ соответствия. Такую суперконформную трехмерную теорию поля с N = 6 суперсимметрией будем обозначать аббревиатурой АБЖМ, по первым буквам фамилий авторов работы.

Теория АБЖМ играет такую же роль в рамках АсИЗ^/СРТз соответствия, как и N = 4, с2 — 4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса в хорошо изученном Ас185/СРТ4 примере. Поэтому квантовые аспекты этой теории вызывает большой интерес. В частности, корреляционные функции составных операторов исследовались в [61-67], а основные амплитуды рассеяния были вычислены в [68-71]. Однако постановка задачи о низкоэнергетическом

эффективном действии в этой теории вызывает некоторые трудности. Как правило, низкоэнергетическое эффективное действие является хорошо определенным объектом в кулоновой фазе, когда какие-либо из скалярных полей имеют нетривиальные вакуумые средние, а часть полей теории приобретают массы в результате эффекта Хиггса. В работах [72-74] было замечено, что для моделей вида БЛГ и АБЖМ механизм Хиггса действует по-другому: при наличие нетривиальных вакуумных средних у скаляров классические действия этих моделей приобретают вид несуперконформной N = 8, с/ = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, содержащей поправки к классическому действию с высшими производными. Таким образом, проблема о нахождении эффективного действия в АБЖМ и БЛГ теориях остается открытым вопросом. Это мотивирует вычисление эффективного действия в различных трехмерных суперсимметричных теориях поля Янга-Миллса с материей, которым посвящена одна из глав настоящей диссертационной работы.

Вопрос о нарушении суперсимметрии является одной из важных тем в области суперсимметричных моделей теории поля. Если предположить, что суперсимметрия имеет отношение к физике элементарных частиц, то очевидно, что должен существовать механизм нарушения суперсимметрии, поскольку среди наблюдаемых данных мы не обнаруживаем никаких экспериментальных подтверждений суперсимметрии на доступных масштабах энергий. Проблема заключается в том, что достаточно трудно построить реалистичную суперсимметричную модель, в которой был бы реализован механизм спонтанного нарушения суперсимметрии (см. монографию [75] для обзора таких моделей). Гораздо проще реализовать явное нарушение суперсимметрии, вводя в суперсимметричный лагранжиан нарушающие слагаемые контролируемым образом. Основная идея при таком нарушении суперсимметрии - сохранить наиболее привлекательные свойства исходной теории с ненарушенной суперсимметрией, такие как перенормируемость, но при этом иметь теорию с частично либо полностью нарушенной суперсимметрией.

Один из способов явного нарушения суперсимметрии был предложен в работах [76, 77], который обычно называют киральными деформациями суперсимметрии. Основная идея этого метода заключается в том, чтобы нарушить суперсимметрию наполовину, деформировав антикоммутационные свой-

ства половины грассмановых координат суперпространства. Было замечено, что модели теории поля с такими деформациями возникают в низкоэнергетическом пределе теории суперструн на специальном фоне и поэтому их свойства представляют определенный интерес, также как и теории без деформаций. Однако, нужно иметь ввиду, что подобные деформации осмысленны только для теорий поля в евклидовом пространстве т.к. они нарушают вещественность действия если их наивно использовать в пространстве Минковско-го.

Пусть вга, - грассмановы координаты в Л/* = 2 суперпространстве, т.е., г = 1,2. Киральные деформации для таких координат записываются в виде {0га,@р} — Р^р, гДе в правой части равенства стоит постоянный тензор параметров деформаций [78, 79]. В частном случае этот тензор может иметь только одну неприводимую компоненту, Р^ = где / - некоторый

синглетный параметр. Очевидно, что такая деформация нарушает N = 2 суперсимметрию, но сохраняет инвариантность относительно группы Лоренца и не нарушает группу автоморфизмов 811(2). Поэтому можно ожидать, что модели теории поля с такой деформацией N = 2 суперсимметрии обладают многими свойствами недеформированных теорий. В частности, представляет интерес вопрос о перенормируемости деформированных моделей гипермуль-типлета и калибровочного суперполя, а также вычисление эффективного действия для этих моделей. Одной из целей настоящей диссертационной работы является исследование последних двух проблем.

Обсудим некоторые свойства моделей теории поля в пространстве Мин-ковского размерности выше четырех. Конечно, такие теории поля мало интересны с феноменологической точки зрения, но для теории суперструн они должны быть также важны, как и обычные суперкалибровочные теории в пространствах с размерностью 3 или 4. Например, установлено, что максимально суперсимметричные теории поля Янга-Миллса в пространстве с размерностью с*, 2 < <г < 10, описывают низкоэнергетические степени свободы Бр бран, где р = 1 (см. напр. [10]). Однако при рассмотрении таких теорий в пространствах Минковского размерности выше 4 имеется известная проблема: они содержат константу связи д с отрицательной массовой размерностью и, следовательно, являются неперенормируемыми. Как следствие, их кван-

товые аспекты не могут быть изучены стандартными способами квантовой теории поля и их применение имеет ограниченный характер.

В теории суперструн имеется гипотеза [23, 80, 81], что в шестимерном пространстве Минковского может существовать некоторая суперконформная теория поля, которая должна быть полностью конечной и ее квантовые свойства должны играть такую же роль в Ас18/СРТ соответствии, как и обсуждаемые выше модель АБЖМ и Л/* = 4, (1 = 4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса. Эта теория должна соответствовать набору взаимодействующих М5 бран в теории суперструн, каждая из которых должна описываться N = (2,0) суперсимметричным тензорным мультиплетом в шестимерном пространстве Минковского. На массовой оболочке такой мультиплет содержит пять скалярных полей, четыре спинора одной киральности и тензорное калибровочное поле второго ранга, которое должно иметь самодуальную напряженность. Построение лагранжиана для набора взаимодействующих N = (2,0) супермультиплетов с неабелевым взаимодействием остается важной нерешенной проблемой в теории поля.

Заметим, что даже если ограничиться одним свободным N = (2,0) тензорным мультиплетом, то построение лагранжиана такой модели является достаточно нетривиальной задачей. Корнем всех проблем является наличие калибровочного антисимметричного тензорного поля второго ранга Втп с самодуальной напряженностью Нтпр. Условие самодуальности обычно записывают в виде Нтпр = Нтпр) где Нтпр = ^£тПрт'п'р'Нт'п'р'. Такое уравнение самодуальности для напряженности является дифференциальным уравнением первого порядка, что вызывает известные трудности при построении лагранжиана. Путь к решению этой проблемы был предложен в работах [82-88], где предлагалось пожертвовать явной лоренц-ковариантностью лагранжиана специальным образом, тк чтобы лоренц-инвариантнсоть восстанавливалась на уравнениях движения. Такая формулировка оказывается вполне удовлетворительной и в серии работ [89-99] было показано, что можно даже добиться лоренц-ковариантности лагранжиана за счет введения вспомогательных полей. Построенные в этих работах действия играют важное значение при изучении многих аспектов М5 бран, хотя они и не помогают решить проблему о построению лагранжиана с неабелевым взаимодействием.

В работах [84, 88], было предложено действие для самодуального тензорного поля в шестимерном пространстве Минковского, которое обладает явной инвариантностью лишь относительно подгруппы 80(5) группы Лоренца 80(1,5). Возникает вопрос, имеются ли другие формулировки этой модели, обладающие ковариантностью относительно других подгрупп группы Лоренца? Примеры таких теорий действительно были предложены в серии работ [100-102] и сейчас считается, что можно использовать формулировку с любой максимальной подгруппой группы Лоренца, т.е., 80(5), 80(1,1)х80(4), 80(1,2)х80(3) или 80(1,3)х80(2). Важно отметить, что группа 80(1,2)х80(3) является выделенной среди остальных поскольку известно, что соответствующая формулировка тесно связана с трехмерной теорией Баггера-Ламберта-Густавссона [103, 104], описывающей низкоэнергетические степени свободы М2 браны. Изучение такой связи является важной задачей поскольку она помогает лучше понять динамику М2 и М5 бран в теории суперструн.

Перечислим цели и задачи настоящего диссертационного исследования:

1. Построение лагранжианов моделей суперчастиц вЛ/' = ЗиЛ/"=:4 гармонических суперпространствах. Квантование этих моделей и классификация получающихся мультиплетов в данных гармонических суперпространствах.

2. Построение низкоэиергетических эффективных действий N = 3 и Л/* = 4 суперсимметричных теорий поля Янга-Миллса в гармонических суперпространствах.

3. Развитие методов вычисления низкоэнергетических эффективных действий различных трехмерных теорий поля в N = 2 суперпространстве.

4. Исследование свойств перенормируемости и структуры низкоэнергетического эффективного действия четырехмерных моделей гипермульти-плета и калибровочного суперполя при наличии синглетных неантиком-мутативных деформаций суперсимметрии.

5. Развитие новой лагранжевой формулировки для модели самодуального антисимметричного тензорного поля в шестимерном пространстве Мин-ковского и изучение связи такой формулировки с моделью М5 браны в теории суперструн.

Краткое содержание работы

В первой главе исследуются модели суперчастиц вЛ/" = ЗиЛ/" = 4 гармонических суперпространствах. Хорошо известно, что квантование моделей релятивистских суперчастиц в Л/* = 1 суперпространстве или в N = 2 гармоническом суперпространстве позволяет получить суперполевые реализации различных суперсимметричных мультиплетов с N = 1 или N = 2 суперсимметрией [105-113]. Целью первой главы настоящей диссертационной работы является построение суперполевых реализаций различных супермуль-типлетов вЛ/" = ЗиЛ/* = 4 гармонических суперпространствах при помощи первичного квантования моделей суперчастиц в этих суперпространствах. В последующей главе будет показано, что некоторые из этих реализаций оказываются чрезвычайно полезными при изучении структуры низкоэнергетических эффективных действий N = 3 и N = 4 суперсимметричных теорий поля Янга-Миллса.

В разделе 1.1 строится лагранжиан для моделей N = 3 суперчастиц, как со слагаемым центрального заряда, так и без него. Эти два случая рассматриваются отдельно, поскольку они используют различные типы гармонических переменных: 8и(3)-гармоники для модели без центрального заряда и 8и(2)-гармоники при наличие нетривиального центрального заряда. Такое различие обусловлено тем фактом, что слагаемое центрального заряда нарушает И-симметрию Л[ = 3 супералгебры до подгруппы 811(2) и, следовательно, Би(3) гармоники неприменимы. Для обоих случаев найдены и проклассифицированы все связи моделей и построены соответствующие гамильтонианы.

В разделе 1.2 рассматривается каноническое квантование модели N — 3 суперчастицы без центрального заряда. Строится гильбертово пространство состояний, элементами которого являются суперполя в Л/* = 3 гармоническом суперпространстве. Связи первого рода в модели суперчастицы накладыва-

ются в виде уравнений на вектор состояний в этом суперпространстве, а часть связей второго рода учитывается по методу Гупта-Блейлера. Показано, что это приводит к N = 3 суперполевым реализациям для калибровочного муль-типлета и мультиплета гравитино, которые описываются аналитическими и киральным М = 3 суперполями соответственно. Для каждого из этих муль-типлетов выписаны суперполевые связи и уравнения движения. Приведены компонентные разложения таких суперполей на массовой оболочке.

В разделе 1.3 проводится аналогичное квантование модели N = 3 суперчастицы с центральным зарядом в гармоническом суперпространстве. В результате квантования получается N = 3 суперполевая реализация для массивного векторного мультиплета, масса которого связана с центральным зарядом условием Богомольного-Прасаада-Зоммерфельда (БПЗ). Такой мульти-плет описывается кирально-аналитическим суперполем, для которого приводятся все связи и уравнения движения, а также выписывается компонентное разложение.

В разделе 1.4 сформулированы лагранжианы для моделей суперчастиц в N = 4 суперпространстве с иБр(4) гармоническими переменными. Такие гармонические переменные допускают рассмотрение моделей суперчастиц как с центральным зарядом, так и без него, поскольку слагаемое центрального заряда нарушает группу и (4) Я-симметринА/" = 4 супералгебры до 118р(4). Мы считаем, что масса частицы связана с центральным зарядом условием БПЗ, а безмассовый случай просто получается взятием предела нулевой массы. Как для массивной, так и для безмассовой модели суперчастиц проклассифицированы все связи и построены гамильтонианы.

Квантование модели массивной суперчастицы в Л/' = 4 гармоническом суперпространстве проводится в разделе 1.5, где строится гильбертово пространство состояний в виде суперполей в таком суперпространстве. При квантовании, связи в модели суперчастицы транслируются в суперполевые уравнения движения и связи для этих суперполей. Показано, что такие суперполя описывают N — 4 суперсимметричный массивный векторный мультиплет на массовой оболочке.

Квантование аналогичной безмассовой модели проводится в разделе 1.6, которое приводит к формулировкам в Л/" = 4 118р(4) гармоническом суперпро-

странстве для мультиплетов супергравитации, гравитино и Л/* = 4 калибровочного мультиплета. Показывается, что мультиплетЛ/" = 4 супергравитации описывается обычным киральным J\f = 4 суперполем, которое не зависит от гармонических переменных, а мультиплеты гравитино и калибровочного поля описываются аналитическими суперполями с определенными условиями аналитичности. Для всех этих суперполей выписаны все уравнения движения и суперполевые связи, а также приведены компонентные разложения на массовой оболочке. Новым интересным результатом является возможность описания N = 4 калибровочных супермультиплетов с помощью незаряженных аналитических суперполей, которые реализуют синглетные представления группы USp(4). Именно такие суперполя будут использоваться в следующей главе при изучении эффективного действия в Л/" = 4 суперсимметричной теории поля Яига-Миллса.

В разделе 1.7 первой главы показывается, что суперполевые уравнения движения и связи для N = 4 калибровочного супермультиплета, найденные в результате квантования модели суперчастицы, могут быть получены напрямую из известных ранее суперполевых связей Äf = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса [114-116] при введении гармонических переменных. Это показывает, что квантование моделей суперчастиц является альтернативным эквивалентным способом нахождения суперполевых уравнений движения и связей, который является очень удобным для моделей с расширенной суперсимметрией в гармонических суперпространствах.

В заключительном разделе резюмируются результаты первой главы, опубликованные в работах [117, 118].

Во второй главе исследуется структура низкоэнергетического эффективного действия в Ai = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Мы ограничиваемся рассмотрением части низкоэнергетического эффективного действия для безмассовых полей в кулоновой фазе теории, которые описываются слагаемыми не выше четвертого порядка в разложении по производным полей. Ранее были известны различные слагаемые такого типа, например, член Весса-Зумино-Виттена [119, 120] и слагаемое вида^4/Х4, содержащееся в т.н. неголоморфном потенциале [22, 23, 121]. Обобщенное описание этих слагаемых в JV = 2 гармоническом суперпространстве было построено

в работах [27, 28], где было найдено дополнение неголоморфного потенциала с помощью суперполей гипермультиплетов, совместное сМ = 4 суперсимметрией. Целью второй главы является построение явно N = 4 суперсимметричного описания для всех этих слагаемых в низкоэнергетическом эффективном действии суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Это достигается за счет использования подходящих N = 4 гармонических суперпространств и аналитических суперполей, введенных в первой главе. Кроме того, мы изучим структуру низкоэнергетического эффективного действия Л/" = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в Л/* = 3 гармоническом суперпространстве. Общие аспекты эффективных действий этих теорий обсуждаются в разделе 2.1.

В разделе 2.2 рассматривается структура слагаемого Весса-Зумино-Вит-тена для скалярных полей в эффективном действии Л/* = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Хорошо известно, что данное слагаемое описывается действием в пятимерном пространстве с явной 30(6) симметрией,

1 Г £авсвер ХА(1ХВ Л ¿Хс Л (IXо Л &ХЕ А (IXР , (1)

60тг2 У |Х|6"

где Хд, А — 1,..., 6 - скалярные поля и \Х\2 = Х^Хд. Однако в четырехмерной формулировке симметрия относительно группы 80(6) становится неявной. Ранее была известна лишь четырехмерная формулировка этого слагаемого, инвариантная относительно подгруппы 80(5) группы 80(6) Я-симметрии теории [119, 120, 122]. В данном разделе построены новые четырехмерные формулировки для слагаемого Весса-Зумино-Виттена, которые обладают явной инвариантностью относительно подгрупп 80(4)хЭ0(2) и 80(3)х80(3).

В разделе 2.3 исследуется структура низкоэнергетического эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в Л/* = 4 гармоническом суперпространстве с 118р(4) гармоническими переменными. Показывается, что требования явной суперсимметрии и масштабной инвариантности однозначно, с точностью до общего множителя, фиксируют вид низкоэнергетического эффективного действия,

Г ос [ с14хс180с1и 1п IV , (2)

где И7 - незаряженная аналитическая суперполевая напряженность в Л/" = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, а интегрирование проводится в соответствующем аналитическом подпространстве, в котором определена эта напряженность. Установлено, что такое простое выражение для низкоэнергетического эффективного действия содержит все известные ранее слагаемые в своем компонентном разложении, такие как -Р4/Х4 и член Весса-Зумино-Виттена. Последний получается в 80(5)-ковариантиом виде, поскольку данная группа локально изоморфна группе 118р(4).

В разделе 2.4 рассматривается формулировка низкоэнергетического эффективного действия Л/* = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в N — 2 гармоническом суперпространстве, введенная в [27]. Показывается, что в компонентном разложении этого действия содержится член Весса-Зумино-Виттена, который записывается в четырехмерном пространстве с явной симметрией относительно подгруппы 80(4)х80(2) группы 80(6).

В разделе 2.5 вводится новое N = 4 гармоническое суперпространство, основанное на 811 (2) х 811 (2) гармониках. Следуя работам [123-129], мы называем такое суперпространство бигармоническим. Приводятся решения связей Л/* = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в этом суперпространстве. Важной особенностью этого суперпространства является возможность использования незаряженных аналитических суперполей. В результате, показывается, что низкоэнергетическое эффективное действие с такими суперполевыми напряженностями имеет такой же вид (2), как и в 118р(4)-гармоничес-ком суперпространстве. Установлено, что в компонентном разложении такое эффективное действие содержит член Весса-Зумино-Виттена в 80(3)х80(3) ковариантном виде, поскольку эта группа локально изоморфна 811 (2)х 811(2).

В разделе 2.6 строится низкоэнергетическое эффективное действие N = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в N = 3 гармоническом суперпространстве. Для этого используются аналитические суперполевые напряженности IV12 и И/23> введенные в разделе 1.2 при квантовании модели безмассовой суперчастицы в Л/" = 3 гармоническом суперпространстве. Требования масштабной инвариантности и 75-симметрии однозначно фиксируют

вид низкоэнергетического эффективного действия,

} (_С С С\С1 \ с1 сг с?сг )

| (с'сг)й)12о>2з 1 ,

с3сх(сгсг + О12 С3 + Ш2зС1)\

Здесь сг = {(рг) и сг = {(рг) - вакуумные средние для скаляров, ш12 — IV12 — С3, с^2з = ^23 — с1 и ~ мера на аналитическом подпространстве Л/" = 3

гармонического суперпространства. Особенностью такого функционала является его явная зависимость от вакуумных средних для скаляров сг и сг. Тем не менее, доказывается, что эффективное действие не зависит от значений этих констант несмотря на их явное присутствие в построенном функционале. Эта ситуация аналогична формулировке модели исправленного тензорного муль-типлета в N = 2 гармоническом суперпространстве [130]. Рассмотрено компонентное разложение построенного эффективного действия и показано, что оно содержит слагаемые вида /^/Х4, Г6/Х8, а также член Весса-Зумино-Виттена.

В последнем разделе второй главы резюмируются полученные результаты, опубликованные в работах [44, 45, 131, 132].

В третьей главе рассматриваются четырехмерные теории поля с неан-тикоммутативными киральными синглетными деформациями N = (1,1) суперсимметрии. Такие деформации эффективно учитываются в суперполевых лагранжианах с помощью введения ^-умножения вместо обычного умножения для суперполей:

А ■ В -» А * В = Аер'В , Р8 = -*Я1а1г. (4)

Здесь (¿га - оператор суперзаряда, а I - параметр деформаций. Особенностью таких деформаций является тот факт, что они сохраняют Я-симметрию 811(2), частично нарушая Л/" = (1,1) суперсимметрию до N = (1, 0). Целью третьей главы является доказательство перенормируемости различных суперсимметричных моделей с такой деформацией и исследование структуры низкоэнергетического эффективного действия для некоторых из них.

В разделе 3.1 обсуждаются различные виды киральных деформаций в N — (1,1) евклидовом суперпространстве. Вводится операция ^-умножения

и рассматриваются ее свойства. В следующем разделе эта операция используется для построения классических действий моделей суперполя Янга-Миллса и гипермультиплета с неантикоммутативной синглетной деформацией суперсимметрии. Исследованию компонентной структуры этих действий посвящается раздел 3.3. В разделе 3.4 доказывается перенормируемость для введенных ранее моделей в абелевом случае. Для этого вычисляются все потенциально расходящиеся вклады в эффективные действия калибровочного суперполя и гипермультиплета:

ЗУМ 1 [л 6 Г 4 413пфдтфдтф

тлЬУМ _ / ,4 —у —у__. 4

А" тт2е ] (1+4/0)2 тг% 7 " (1 + 4/0)

" л 7 (1 + 4/0)2'

ЬурегпшШрк^: ф —> ф + ТТТ\2 ■

где фиф- скалярные поля, входящие в калибровочный мультиплет. Показывается, что они полностью устраняются с помощью простых переопределений полей вида

, . 2 /2Рф 12 4Рдгпфдтпф

2 /2П0 7Г%(1 +А1ф)'<

Отмечается интересная особенность: если для классических действий рассматриваемых моделей совершить преобразование Зайберга-Виттена, то расходящиеся вклады в эффективные действия полностью сокращаются и переопределение полей не требуется.

В разделе 3.5 вычисляется голоморфный эффективный потенциал в абе-левой модели заряженного гипермультиплета с киральными синглетными деформациями суперсимметрии. Оказывается, что он получается простой заменой обычного умножения суперполей на -¿-умножение в голоморфном потенциале недеформированной теории,

I Г А л IV

Гы = -32^2 / IV * IV * 1п* — . (7)

7Г

Деформации антиголоморфного потенциала, напротив, не сводятся к такой простой замене умножения суперполей и, более того, записываются в калиб-ровочно-инвариантном виде лишь в полном Л/* = (1,1) суперпространстве.

Исследована компонентная структура найденного эффективного действия в модели деформированного гипермультиплета и отмечены ведущие поправки по параметру деформаций к известным выражениям недеформированной теории.

В разделе 3.6 обсуждаются полученные в третьей главе результаты. Материал этой главы опубликован в работах [133-136].

Четвертая глава посвящается исследованию структуры эффективного действия в различных трехмерных моделях калибровочных полей и полей материи с расширенной суперсимметрией. В частности, рассматриваются модели А/" = 2, <1 = 3 кирального суперполя и Л/* = 4 гипермультиплета, минимально взаимодействующие с калибровочными суперполями, модели суперполя Янга-Миллса с Л/" = 2, Я = 4 и Л/" = 8 суперсимметрией, а также модель N = 2, й = 3 суперполя Янга-Миллса, взаимодействующего с четырьмя киральными суперполями в бифундаментальном представлении. Последняя интересна тем, что она тесно связана с динамикой Б2 и М2 бран [137, 138], которые активно изучались в рамках Ас^/СРТз соответствия. Для формулировки классических действий всех перечисленных моделей используется подход А/* = 2, (1 = 3 суперпространства, который аналогичен стандартному А/* = 1, с£ = 4 суперпространству [33, 34].

В разделе 4.1 рассматривается представление суперконформной группы на суперполях в А/* = 2, с1 — 3 суперпространстве. Строятся суперконформные инвариантны и выводится наиболее общая структура суперконформно-инвариантного действия для калибровочного суперполя:

Гдг=2 = ! <$хдАв{с1УС + с2С\пС + СЧ>2Н{£12)}. (8)

Здесь С\ и С2 - произвольные коэффициенты, V - калибровочное суперполе с напряженностями С, \Уа и Л - произвольная функция, а Ф и суперполевые объекты вида

Ф = 1пС, = (9)

В разделах 4.2 и 4.3 вычисляются однопетлевые эффективные действия в моделях А/* = 2 кирального суперполя и А/* = 4 гипермультиплета, взаимодействующих с внешними калибровочными суперполями. Полученные эф-

фективные действия выражаются через суперконформные инвариантны, построенные в разделе 4.1. Например, эффективное действие для Л/* = 2 калибровочного суперполя имеет вид (8), с коэффициентами ci = С2 = а функция Н определяется выражением

оо

1 f die* Aanh(ffl) \ .

О

В разделе 4.4 развивается метод фонового поля для вычисления эффективного действия bTV = 2, d = 3 суперпространстве. Этот метод применяется для вычисления однопетлевого эффективного действия ъМ = 2 суперсимметричной модели Янга-Миллса. Аналогичные вычисления для Л/" = 4 и J\f = 8 суперсимметричных теорий поля Янга-Миллса проведены в разделах 4.5 и 4.6. Отмечается, что ведущие члены в эффективном действии М = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса совпадают с классическим действием модели Гайотто-Виттена [139] в дуальном представлении [140],

J d3xd4e[Gln(G + VG2 + ФФ) - л/G2 + ФФ]. (11)

Здесь Ф - киральное суперполе, a G - N = 2 суперполевая напряженность, которые вместе образуют J\f — 4 калибровочный супермультиплет.

Л/* = 8 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса интересна тем, что классическое действие для нее получается размерной редукцией из действия Л/* = 4, d = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса. Эффективное действие для последней изучалось во второй главе, где было установлено, что ведущие члены в нем имеют чрезвычайно простую структуру при формулировке в подходящем гармоническом суперпространстве. В свою очередь, для трехмерной Af — 8 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, изучаемой в четвертой главе, также отмечается упрощение структуры однопетлевого эффективного действия благодаря сокращению ряда слагаемых, возникающих от вкладов суперполей материи и духов,

Г^ = ^Тгу1п(Ц, + Ф%). (12)

Здесь Trv означает функциональный след в пространстве вещественный су-

перполей, а Пу - калибровочно-ковариантный оператор Даламбера,

□у = + С2 + ИУаЭа - г]¥аТ)а .

а •

В разделе 4.6 исследуется эффективное действие в модели Л/" = 2 суперполя Янга-Миллса с калибровочной группой 8и(2)х 811(2), взаимодействующей с четырьмя киральными суперполями в бифундаментальном представлении. Сектор суперполей материи в этой теории имеет такую же структуру, как и в модели Баггера-Ламберта-Густавссона [49-53], но, в отличие от последней, калибровочные суперполя имеют Янг-Миллсовские, а не Черн-Сай-моновские кинетические члены. Поэтому такая модель описывает динамику не М2, а Б2 бран на некотором многообразии. Для найденного однопетлево-го эффективного действия в этой модели установлено, что масштабно-инвариантные слагаемые в нем совпадают с классическим действием абелевой теории Аарони-Бергмана-Жафериса-Малдасены в дуальном представлении, когда одно из калибровочных суперполей исключено из действия с помощью алгебраических уравнений движения,

Здесь С - N = 2 суперполевая напряженность, а - киральные суперполя, а — 1,2. Такой результат может быть проинтерпретирован как проявление связи между Б2 и М2 браной, когда последняя получается в пределе сильной связи системы Б2 бран вблизи конической сингулярности некоторого многообразия.

В разделе 4.7 исследуется двухпетлевое эффективное действие в трехмерной N = 2 суперсимметричной модели Весса-Зумино. Целью данного раздела является нахождение кэлерового эффективного потенциала и соответствующего скалярного потенциала. На основе непосредственных квантовых вычислений мы находим следующие выражения для этих потенциалов:

£АВЖ = 21Мв -с 1п(да_0-„)-^/с2 +

+С1п(С + у/с2 + Оа+Я+аЯ-ьЯь-) ■

(14)

(15)

Здесь Ф - киральное суперполе, а <р - комплексное скалярное поле. Аналогичные вычисления для четырехмерной модели Весса-Зумино проводились в работах [141-147]. В отличие от четырехмерного случая, эффективный скалярный потенциал (16) представляет собой логарифмическую поправку к полиному шестого, а не четвертого порядка, но качественно они имеют похожую структуру.

В последнем разделе четвертой главы резюмируются полученные результаты, опубликованные в работах [148-150].

В пятой главе развивается альтернативная лагранжева формулировка для модели самодуального тензорного поля в шестимерном пространстве Минковского. В разделе 5.1 приводится краткий обзор традиционной процедуры построения лагранжиана, которая основана на нарушении лоренц-ковариантности SO(l,5) до подгруппы SO(5) [82-87, 151]. В традиционном подходе лоренц-ковариантность может быть восстановлена за счет введения одного вспомогательного поля [97-99]. В разделе 5.2 строится альтернативный лагранжиан для антисимметричного тензорного поля, который основан на нарушении лоренц-ковариантности до подгруппы SO(l,2)xSO(3). Например, антисимметричное тензорное поле напряженности имеет следующие 80(1,2)х80(3)-компоненты

Fy,vp ~~* Fabc1 Fabci F^, -^¿¿¿j (17)

где о, b, с и а, 6, с - индексы векторных представлений групп SO(l,2) и SO(3) соответственно. Действие, приводящее к уравнениям самодуальности для этих полей, имеет простой вид

S = -\J d6x[Fabc(Fabd - Fahi) + \Fhhc{F^ - F^)], (18)

где Fah- = \z(1bc£¿¿¿4 Fbca} Fabc = | eahceahcFabc. В разделе 5.3 показывается, что ковариантность лагранжиана может быть восстановлена в соответствии со стандартной процедурой ПСТ, но, в отличие от стандартной формулировки, требуется введение не синглета, а триплета вспомогательных полей ar, г = 1,2,3,

S = y4J d"x[-F,vpF^ + + З^П?)] • (19)

Здесь Р^ = д^аг (драгдра8)~1 д^а* и П^ = — Р^ - матричные проекторы, построенные из вспомогательных полей. В выражении (19) использовано обозначение Т^ир = -£)1г/р — Р^р. Далее мы применяем построенный лагранжиан самодуального антисимметричного тензорного поля для введения взаимодействия с фоновой гравитацией и для суперсимметризации действия за счет добавления спинорных и скалярных полей N = (2, 0) тензорного мультипле-та.

Введение альтернативной лаграпжевой формулировки для модели антисимметричного тензорного поля, рассматренной в пятой главе, мотивировано тем, что она естетсвенным образом возникает при изучении модели Баг-гера-Ламберта-Густавссона [49-52] с калибровочной группой диффеоморфизмов, сохраняющих локальный объем некоторого трехмерного многообразия [100, 101, 103, 104]. В работах [100, 101] показывается, что теория БЛГ с такой калибровочной группой эффективно описывает некоторую шестимерную теорию поля, которая содержит низкоэнергетические степени свободы М5 бра-ны. В разделе 5.4 устанавливается связь между этими теория за пределом линейного приближения и показывается, что шестимерное действие действительно описывает одну М5 брану на фоне постоянного антисимметричного Сз-поля одиннадцатимерной супергравитации. Раздел 5.5 посвящается выводу нелинейных уравнений движения и тождеств Бьянки для случая, когда присутствует взаимодействие с таким постоянным Сз-полем.

В последнем разделе пятой главы резюмируются полученные результаты, опубликованные в работах [152, 153].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Самсонов, Игорь Борисович

Заключение

В заключении перечислим основные результаты диссертации.

1. Построены лагранжиан и гамильтониан для модели релятивистской суперчастицы в Л/* = 3 гармоническом суперпространстве. Проведено первичное квантование модели с учетом имеющихся связей. Показано, что квантование приводит к суперполевым реализациям в Л/" = 3 гармоническом суперпространстве для калибровочного мультиплета, мультиплета гравитино и массивного векторного мультиплета на массовой оболочке.

2. Введено новое Л/" = 4 гармоническое суперпространство, основанное на и8р(4)-гармонических переменных. Построены лагранжиан и гамильтониан модели суперчастицы в таком суперпространстве и проанализированы имеющиеся связи. В результате квантования такой модели суперчастицы получены суперполевые уравнения движения и связи для калибровочного мультиплета, мультиплета гравитино и супергравитации а также для массивного векторного мультиплета в и8р(4)-гармоническом суперпространстве.

3. Изучены решения связей N — 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в Л/* = 4 гармонических суперпространствах с 118р(4) и 811(2) х 811(2) гармоническими переменными. Показано, что для этих суперпространств существуют незаряженные суперполевые напряженности. С использованием таких суперполей построено низкоэнергетическое эффективное действие N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса и исследована его компонентная структура.

4. Изучены симметрии члена Весса-Зумино-Виттена для скалярных полей в четырехмерном пространстве. Показано, что действие Весса-Зумино-Виттена может быть записано в одном из трех видов, каждый из которых обладает явной симметрией относительно одной из максимальных неаномальных подгрупп группы 811(4), т.е., 80(5), 80(4)х80(2) либо 80(3)х80(3). Установлена взаимосвязь между этими тремя видами члена Весса-Зумино-Виттена и формулировками низкоэнергетического эффективного действия N = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в различных гармонических суперпространствах.

5. Получено низкоэнергетическое эффективное действие Л/" = 3 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в Л/" = 3 гармоническом суперпространстве в виде локального функционала, зависящего от суперполевых напряженностей и вакуумных средних для скаляров. Доказано, что эффективный лагранжиан является суперконфомно-инвариантным и не зависит от значений вакуумных средних скалярных полей. Исследована компонентная структура полученного эффективного действия и показано, что в бозонном секторе оно содержит слагаемые вида и Р6/Х8, а также член Весса-Зумино-Виттена.

6. Исследована квантовая структура моделей гипермультиплета и калибровочного суперполя с киральными синглетными деформациями в гармоническом суперпространстве. Доказана перенормируемость этих моделей в случае абелевой калибровочной группы. Вычислено низкоэнергетическое эффективное действие заряженного гипермультиплета во внешнем калибровочном суперполе при наличии таких деформаций и найдены ведущие поправки по параметру деформаций к стандартному голоморфному потенциалу для калибровочного суперполя.

7. Найдено представление суперконформной группы на суперполях в Л/* = 2, (1 = 3 суперпространстве. Построен набор квазипримарных суперполевых объектов, с использованием которых установлена общая структура супеконформного эффективного действия для N = 2, (I = 3 калибровочного суперполя. Вычислены низкоэнергетические эффективные действия в трехмерных моделях N = 2 кирального суперполя и гипермультиплета, минимально взаимодействующих с калибровочным суперполем и доказана их суперконформная инвариантность.

8. Развит метод фонового поля для вычисления эффективного действия суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в Л/* = 2, в, = 3 суперпространстве. Этот метод применен для нахождения низкоэнергетического эффективного действия в трехмерных моделях суперполя Янга-Миллса сМ = 2, N = 4 и N = 8 суперсимметрией. Вычислено эффективное действие в Л/" = 2 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса, взаимодействующей с двумя ги-пермультиплетами в бифундаментальном представлении и установлена связь масштабно-инвариантных слагаемых в полученном действии с классическим абелевым действием модели Аарони-Бергмана-Жафериса-Малдасены.

9. Предложена новая ковариантная формулировка для действия самодуального антисимметричного тензорного поля в шестимерном пространстве Минковского, основанная на триплете вспомогательных полей. Найдены суперсимметричные обобщения такой формулировки и изучена возможность включения фоновой гравитации. Показано, что построенное действие для антисимметричного тензорного поля описывает низкоэнергетические степени свободы М5 браны, взаимодействующей с фоновым постоянным антисимметричным С-полем одиннадцатимерной супергравитации.

Благодарности. Автор глубоко признателен научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору И.Л. Бухбиндеру за постоянное внимание, многолетнее сотрудничество и полезные советы в работе над диссертацией. Считаю своим приятным долгом выразить благодарность докторам физико-математических наук Б.М. Зупнику, Е.А. Иванову, О. Лех-тенфельду, Н.Г. Плетневу и Д.П. Сорокину за плодотворное сотрудничество.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Самсонов, Игорь Борисович, 2012 год

Литература

1. Вайнберг С. Квантовая теория поля. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. Т. 1,2.

2. Ициксок К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1984. Т. 1,2.

3. Райдер Л. Квантовая теория поля. Волгоград: Платон, 1998. С. 509.

4. Пескин М. Е., Шредер Д. В. Введение в квантовую теорию поля. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотичная динамика», 2001. С. 784.

5. Рубаков В. А. Классические калибровочные поля. М.: КомКнига, 2005. Т. 1,2.

6. Kiefer С. Quantum Gravity. Oxford, UK: Oxford Univ. Press, 2007. P. 361.

7. Polchinski J. Quantum gravity at the Planck length // International Journal of Modern Physics A. 1990. Vol. 14. P. 2633-2658.

8. Smolin L. Three roads to quantum gravity. London, UK: Weidenfeld & Nicolson, 2000. P. 231.

9. Грин M., Шварц Д., Виттен Э. Теория суперструн. М.: Мир, 1990. Т. 1. С. 518.

10. Becker К., Becker М., Schwarz J. Н. String theory and M-theory: A modern introduction. Cambridge, UK: Cambridge Univ. Press, 2007. P. 739.

11. Maldacena J. M. The large N limit of superconformal field theories and supergravity // Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 1998. Vol. 2. P. 231-252.

12. Gubser S. S., Klebanov I. R., Polyakov A. M. Gauge theory correlators from noncritical string theory // Physics Letters B. 1998. Vol. 428. P. 105-114.

13. Witten E. Anti-de Sitter space and holography // Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 1998. Vol. 2. P. 253-291.

14. Aharony O., Gubser S. S., Maldacena J. M., Ooguri H., Oz Y. Large N field theories, string theory and gravity // Physics Reports. 2000. Vol. 323. P. 183-386.

15. Beisert N., Ahn C., Alday L. F., Bajnok Z., Drummond J. M. et al. Review of AdS/CFT Integrability: An Overview // Letters in Mathematical Physics. 2012. Vol. 99. P. 3-32.

16. Alday L. F., Maldacena J. M. Gluon scattering amplitudes at strong coupling // Journal of High Energy Physics. 2007. Vol. 0706. P. 064(1-26).

17. Alday L. F., Maldacena J. Comments on gluon scattering amplitudes via AdS/CFT // Journal of High Energy Physics. 2007. Vol. 0711. P. 068(1-23).

18. Fayet P. Spontaneous generation of massive multiplets and central charges in extended supersymmetric theories // Nuclear Physics B. 1979. Vol. 149. P. 137-169.

19. Grisaru M. T., Rocek M., Siegel W. Zero value for Three-Loop(3 Function in N=4 Supersymmetric Yang-Mills Theory // Physical Revew Letters. 1980. Vol. 45. P. 1063-1066.

20. Grisaru M. T., Siegel W., Rocek M. Improved Methods for Supergraphs // Nuclear Physics B. 1979. Vol. 159. P. 429-450.

21. Grisaru M. T., Rocek M., Siegel W. Superloops 3, beta 0: A calculation in N=4 Yang-Mills theory // Nuclear Physics B. 1981. Vol. 183. P. 141-156.

22. Dine M., Seiberg N. Comments on higher derivative operators in some SUSY field theories // Physical Letters B. 1997. Vol. 409. P. 239-244.

23. Seiberg N. Notes on theories with 16 supercharges // Nuclear Physics Proceedings Supplements. 1998. Vol. 67. P. 158-171.

24. Periwal V., von Unge R. Accelerating D-branes // Physics Letters B. 1998. Vol. 430. P. 71-76.

25. Gonzalez-Rey F., Rocek M. Nonholomorphic N=2 terms in N=4 SYM: One loop calculation in N=2 superspace // Physics Letters B. 1998. Vol. 434. P. 303-311.

26. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Comments on the background field method in harmonic superspace: Nonholomorphic corrections in N=4 SYM // Modern Physics Letters A. 1998. Vol. 13. P. 1623-1636.

27. Buchbinder I. L., Ivanov E. A. Complete N=4 structure of low-energy effective action in N=4 super Yang-Mills theories // Physics Letters B. 2002. Vol. 524. P. 208-216.

28. Buchbinder I. L., Ivanov E. A., Petrov A. Y. Complete low-energy effective action in N=4 SYM: A direct N=2 supergraph calculation // Nuclear Physics B. 2003. Vol. 653. P. 64-84.

29. Kuzenko S. M. Self-dual effective action of N = 4 SYM revisited // Journal of High Energy Physics. 2005. Vol. 0503. P. 008(1-33).

30. Kuzenko S. M., McArthur I. N. Relaxed superselfduality and N=4 SYM at two loops // Nuclear Physics B. 2004. Vol. 697. P. 89-132.

31. Chepelev I., Tseytlin A. A. Long distance interactions of branes: Correspondence between supergravity and super Yang-Mills descriptions // Nuclear Physics B. 1998. Vol. 515. P. 73-113.

32. Tseytlin A. A. Born-Infeld action, supersymmetry and string theory // The many faces of the superworld / Ed. by M. Shifman. World Scientific Publishing, 2000. P. 417-452.

33. Gates S. J., Grisaru M. T., Rocek M., Siegel W. Superspace or one thousand and one lessons in supersymmetry. Reading, MA: Benjamin/Cummings, 1983. P. 548.

34. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Ideas and methods of supersymmetry and supergravity: Or a walk through superspace. Bristol, UK: IOP, 1998. P. 656.

35. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrained N=2 matter, Yang-Mills and supergravity theories in harmonic superspace // Classical and Quantum Gravity. 1984. Vol. 1. P. 469-498.

36. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic supergraphs. Green functions // Classical and Quantum Gravity. 1985. Vol. 2. P. 601-616.

37. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic supergraphs. Feynman rules and examples // Classical and Quantum Gravity. 1985. Vol. 2. P. 617-630.

38. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic Superspace. UK: Cambridge University Press, 2001. P. 306.

39. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. N=3 super-symmetric gauge theory // Physics Letters B. 1985. Vol. 151. P. 215-218.

40. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrained off-shell N=3 supersymmetric Yang-Mills theory // Classical and Quantum Gravity. 1985. Vol. 2. P. 155-166.

41. Hartwell G. G., Howe P. S. (N,p,q) harmonic superspace // International Journal of Modern Physics A. 1995. Vol. 10. P. 3901-3920.

42. Heslop P., Howe P. S. On harmonic superspaces and superconformal fields in four-dimensions // Classical and Quantum Gravity. 2000. Vol. 17. P. 3743-3768.

43. Andrianopoli L., Ferrara S., Sokatchev E., Zupnik B. Shortening of primary operators in N extended SCFT(4) and harmonic superspace analytici-ty // Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 2000. Vol. 4. P. 1149-1197.

44. Belyaev D. V., Samsonov I. B. Bi-harmonic superspace for N=4 d=4 super Yang-Mills // Journal of High Energy Physics. 2011. Vol. 1109. P. 056(1-21).

45. Belyaev D. V., Samsonov I. B. Wess-Zumino term in the N=4 SYM effective action revisited // Journal of High Energy Physics. 2011. Vol. 1104. P. 112(1-26).

46. Delduc F., McCabe J. The quantization of N—3 super-Yang-Mills off-shell in harmonic superspace // Classical and Quantum Gravity. 1989. Vol. 6. P. 233-254.

47. Весе Ю., Беггер Д. Суперсимметрия и супергравитация. М.: Мир, 1986. С. 184.

48. Klose Т. Review of AdS/CFT Integrability, Chapter IV.3: N=6 Chern-Si-mons and Strings on AdS4xCP3 // Letters in Mathematical Physics. 2012. Vol. 99. P. 401-423.

49. Bagger J., Lambert N. Modeling multiple M2's // Physical Review D. 2007. Vol. 75. P. 045020(1-7).

50. Bagger J., Lambert N. Gauge symmetry and supersymmetry of multiple M2-Branes // Physical Review D. 2008. Vol. 77. P. 065008(1-6).

51. Bagger J., Lambert N. Comments on multiple M2-branes // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 02. P. 105(1-15).

52. Gustavsson A. Algebraic structures on parallel M2-branes // Nuclear Physics B. 2009. Vol. 811. P. 66-76.

53. Gustavsson A. Selfdual strings and loop space Nahm equations // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 0804. P. 083(1-26).

54. Филиппов В. Т. Об n-лиевой алгебре якобианов // Сибирский математический журнал. 1998. Т. 39. С. 660-669.

55. Van Raamsdonk М. Comments on the Bagger-Lambert theory and multiple M2-branes // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 0805. P. 105(1-9).

56. Aharony O., Bergman O., Jafferis D. L., Maldacena J. N=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 0810. P. 091(1-38).

57. Bandres M. A., Lipstein A. E., Schwarz J. H. N=8 superconformal Chern-Si-mons theories // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 0805. P. 025(1-12).

58. Bandres M. A., Lipstein A. E., Schwarz J. H. Ghost-free superconformal action for multiple M2-branes // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 0807. P. 117(1-10).

59. Bandres M. A., Lipstein A. E., Schwarz J. H. Studies of the ABJM theory in a formulation with manifest SU(4) R-symmetry // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 0809. P. 027(1-17).

60. Benna M., Klebanov I., Klose T., Smedback M. Superconformal Chern-Si-mons theories and AdS(4)/CFT(3) correspondence // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 0809. P. 072(1-21).

61. Minahan J. A., Zarembo K. The Bethe ansatz for superconformal Chern-Si-mons // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 0809. P. 040(1-22).

62. Gaiotto D., Giombi S., Yin X. Spin chains in N=6 superconformal Chern-Si-mons-matter theory // Journal of High Energy Physics. 2009. Vol. 0904. P. 066(1-18).

63. Gromov N., Vieira P. The all loop AdS4/CFT3 Bethe ansatz // Journal of High Energy Physics. 2009. Vol. 0901. P. 016(1-27).

64. Bak D., Rey S.-J. Integrable spin chain in superconformal Chern-Simons theory // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 0810. P. 053(1-39).

65. Minahan J. A., Schulgin W., Zarembo K. Two loop integrability for Chern-Simons theories with N=6 supersymmetry // Journal of High Energy Physics. 2009. Vol. 0903. P. 057(1-25).

66. Zwiebel B. I. Two-loop integrability of planar N=6 superconformal Chern-Simons theory // Journal of Physics A. 2009. Vol. 42. P. 495402(1-45).

67. Bianchi M. S., Leoni M., Mauri A., Penati S., Ratti C. A., Santambrogio A. From correlators to Wilson loops in Chern-Simons matter theories // Journal of High Energy Physics. 2011. Vol. 1106. P. 118(1-27).

68. Agarwal A., Beisert N., McLoughlin T. Scattering in mass-deformed Af > 4 Chern-Simons models // Journal of High Energy Physics. 2009. Vol. 0906. P. 045(1-67).

69. Henn J. M., Plefka J., Wiegandt K. Light-like polygonal Wilson loops in 3d Chern-Simons and ABJM theory // Journal of High Energy Physics. 2010. Vol. 1008. P. 032(1-35).

70. Bianchi M. S., Leoni M., Mauri A., Penati S., Santambrogio A. Scattering amplitudes/Wilson loop duality In ABJM theory // Journal of High Energy Physics. 2012. Vol. 1201. P. 056(1-16).

71. Bianchi M. S., Leoni M., Mauri A., Penati S., Santambrogio A. Scattering in ABJ theories // Journal of High Energy Physics. 2011. Vol. 1112. P. 073(1-44).

72. Mukhi S., Papageorgakis C. M2 to D2 // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 0805. P. 085(1-15).

73. Gran U., Nilsson B. E. W., Petersson C. On relating multiple M2 and D2-branes // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 0810. P. 067(1-9).

74. Ho P.-M., Imamura Y., Matsuo Y. M2 to D2 revisited // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 0807. P. 003(1-17).

75. Terning J. Modern Supersymmetry: Dynamics and Duality. Oxford, UK: Oxford Univ. Press, 2006. P. 339.

76. Seiberg N. Noncommutative superspace, N=1/2 supersymmetry, field theory and string theory // Journal of High Energy Physics. 2003. Vol. 0306. P. 010(1-17).

77. Berkovits N., Seiberg N. Superstrings in graviphoton background and N=1/2 + 3/2 supersymmetry // Journal of High Energy Physics. 2003. Vol. 0307. P. 010(1-9).

78. Ivanov E., Lechtenfeld O., Zupnik B. Non-anticommutative deformation of N=(1,1) hypermultiplets // Nuclear Physics B. 2005. Vol. 707. P. 69-86.

79. Ferrara S., Ivanov E., Lechtenfeld O., Sokatchev E., Zupnik B. Non-anticommutative chiral singlet deformation of N=(1,1) gauge theory // Nuclear Physics B. 2005. Vol. 704. P. 154-180.

80. Strominger A. Open p-branes // Physics Letters B. 1996. Vol. 383. P. 44-47.

81. Witten E. Five-branes and M theory on an orbifold // Nuclear Physics B. 1996. Vol. 463. P. 383-397.

82. Deser S., Teitelboim C. Duality transformations of abelian and non-abelian gauge fields // Physical Review D. 1976. Vol. 13. P. 1592-1597.

83. Floreanini R., Jackiw R. Selfdual fields as charge density solitons // Physical Review Letters. 1987. Vol. 59. P. 1873-1876.

84. Henneaux M., Teitelboim C. Dynamics of chiral (selfdual) p forms // Physics Letters B. 1988. Vol. 206. P. 650-654.

85. Tseytlin A. A. Duality symmetric formulation of string world sheet dynamics // Physics Letters B. 1990. Vol. 242. P. 163-174.

86. Tseytlin A. A. Duality symmetric closed string theory and interacting chiral scalars // Nuclear Physics B. 1991. Vol. 350. P. 395-440.

87. Schwarz J. H., Sen A. Duality symmetric actions // Nuclear Physics B. 1994. Vol. 411. P. 35-63.

88. Perry M., Schwarz J. H. Interacting chiral gauge fields in six-dimensions and Born-Infeld theory // Nuclear Physics B. 1997. Vol. 489. P. 47-64.

89. McClain B., Yu F., Wu Y. S. Covariant quantization of chiral bosons and OSp(l,l|2) symmetry // Nuclear Physics B. 1990. Vol. 343. P. 689-704.

90. Wotzasek C. The Wess-Zumino term for chiral bosons // Physical Review Letters. 1991. Vol. 66. P. 129-132.

91. Martin I., Restuccia A. Duality symmetric actions and canonical quantization // Physics Letters B. 1994. Vol. 323. P. 311-315.

92. Bengtsson I., Kleppe A. On chiral p-forms // International Journal of Modern Physics A. 1997. Vol. 12. P. 3397-3412.

93. Berkovits N. Manifest electromagnetic duality in closed superstring field theory // Physics Letters B. 1996. Vol. 388. P. 743-752.

94. Berkovits N. Manifest electromagnetic duality in closed superstring field theory // Physics Letters B. 1996. Vol. 388. P. 743-752.

95. Berkovits N. Super Maxwell actions with manifest duality // Physics Letters B. 1997. Vol. 398. P. 79-82.

96. Siegel W. Manifest Lorentz Invariance Sometimes Requires Nonlinearity // Nuclear Physics B. 1984. Vol. 238. P. 307-316.

97. Pasti P., Sorokin D. P., Tonin M. Note on manifest Lorentz and general coordinate invariance in duality symmetric models // Physics Letters B. 1995. Vol. 352. P. 59-63.

98. Pasti P., Sorokin D. P., Tonin M. Duality symmetric actions with manifest space-time symmetries // Physical Review D. 1995. Vol. 52. P. 4277-4281.

99. Pasti P., Sorokin D. P., Tonin M. On Lorentz invariant actions for chiral p-forms // Physical Review D. 1997. Vol. 55. P. 6292-6298.

100. Ho P.-M., Matsuo Y. M5 from M2 // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 06. P. 105(1-16).

101. Ho P.-M., Imamura Y., Matsuo Y., Shiba S. M5-brane in three-form flux and multiple M2-branes // Journal of High Energy Physics. 2008. Vol. 08. P. 014(1-33).

102. Chen W.-M., Ho P.-M. Lagrangian formulations of self-dual gauge theories in diverse dimensions // Nuclear Physics B. 2010. Vol. 837. P. 1-21.

103. Bandos I. A., Townsend P. K. SDiff gauge theory and the M2 condensate // Journal of High Energy Physics. 2009. Vol. 02. P. 013(1-15).

104. Bandos I. A., Townsend P. K. Light-cone M5 and multiple M2-branes // Classical and Quantum Gravity. 2008. Vol. 25. P. 245003(1-25).

105. Brink L., Schwarz J. H. Quantum superspace // Physics Letters B. 1981. Vol. 100. P. 310-312.

106. de Azcarraga J. A., Lukierski J. Supersymmetric particles with internal symmetries and central charges // Physics Letters B. 1982. Vol. 113. P. 170-174.

107. de Azcarraga J. A., Lukierski J. Supersymmetric particles in N—2 superspace: phase space variables and hamiltonian dynamics // Physical Review D. 1983. Vol. 28. P. 1337-1345.

108. Frydryszak A., Lukierski J. N=2 massive matter multiplet from quantization of extended classical mechanics // Physics Letters B. 1982. Vol. 117. P. 51-54.

109. Lusanna L., Milewski B. N=2 super-Yang-Mills and supergravity constraints from coupling to a supersymmetric particle // Nuclear Physics B. 1984. Vol. 247. P. 396-420.

110. Uvarov D. V., Zheltukhin A. A. N=2 massive superparticle: The minimality principle and the к symmetry // Physical Review D. 2000. Vol. 61. P. 015004(1-12).

111. Uvarov D. V. N—2 supersymmetric Yang-Mills theory and the superparticle: Twistor transform and kappa symmetry // Modern Physics Letters A. 2003. Vol. 18. P. 1611-1624.

112. Акулов В. П., Бандос И. А., Сорокин Д. П. Частица в гармоническом

суперпространстве // Ядерная физика. 1988. Т. 47. С. 1136-1146.

113. Akulov V. P., Sorokin D. P., Bandos I. A. Particle mechanics in harmonic superspace // Modern Physics Letters A. 1988. Vol. 3. P. 1633-1645.

114. Grimm R., Sohnius M., Wess J. Extended supersymmetry and gauge theories // Nuclear Physics B. 1978. Vol. 133. P. 275-284.

115. Sohnius M. F. Bianchi identities for supersymmetric gauge theories // Nuclear Physics B. 1978. Vol. 136. P. 461-474.

116. Sohnius M. F. Supersymmetry and central charges // Nuclear Physics B. 1978. Vol. 138. P. 109-121.

117. Buchbinder I. L., Lechtenfeld 0., Samsonov I. B. N=4 superparticle and super-Yang-Mills theory in USp(4) harmonic superspace // Nuclear Physics B. 2008. Vol. 802. P. 208-246.

118. Buchbinder I. L., Samsonov I. B. N=3 superparticle model // Nuclear Physics B. 2008. Vol. 802. P. 180-207.

119. Tseytlin A. A., Zarembo K. Magnetic interactions of D-branes and Wess-Zu-mino terms in super Yang-Mills effective actions / / Physics Letters B. 2000. Vol. 474. P. 95-102.

120. Intriligator K. A. Anomaly matching and a Hopf-Wess-Zumino term in 6d, N=(2,0) field theories // Nuclear Physics B. 2000. Vol. 581. P. 257-273.

121. Henningson M. Extended superspace, higher derivatives and SL(2,Z) duality // Nucleal Physics B. 1996. Vol. 458. P. 445-455.

122. Braaten E., Curtright T. L., Zachos C. K. Torsion and geometrostasis in non-linear sigma models // Nuclear Physics B. 1985. Vol. 260. P. 630.

123. Ivanov E., Sutulin A. Sigma models in (4,4) harmonic superspace // Nuclear Physics B. 1994. Vol. 432. P. 246-280.

124. Ivanov E. A. On the harmonic superspace geometry of (4,4) supersymmetric sigma models with torsion // Physical Review D. 1996. Vol. 53. P. 2201-2219.

125. Ivanov E. A. Off-shell (4,4) supersymmetric sigma models with torsion as gauge theories in harmonic superspace // Physics Letters B. 1995. Vol. 356. P. 239-248.

126. Bellucci S., Ivanov E. N=(4,4), 2-D supergravity in SU(2)xSU(2) harmonic superspace // Nuclear Physics B. 2000. Vol. 587. P. 445-480.

127. Ivanov E., Sutulin A. Diversity of off-shell twisted (4,4) multiplets in SU(2)xSU(2) harmonic superspace // Physical Review D. 2004. Vol. 70. P. 045022(1-22).

128. Bellucci S., Ivanov E., Sutulin A. N=8 mechanics in SU(2)xSU(2) harmonic superspace // Nuclear Physics B. 2005. Vol. 722. P. 297-327.

129. Ivanov E., Niederle J. Bi-Harmonic Superspace for N=4 Mechanics // Physical Review D. 2009. Vol. 80. P. 065027(1-23).

130. Гальперин А., Иванов E., Огиевецкий В. Взаимодействия и преобразования дуальности тензорных N=2 мультиплетов // Ядерная физика. 1987. Т. 45. С. 245-257.

131. Buchbinder I. L., Ivanov Е. A., Samsonov I. В., Zupnik В. М. Scale invariant low-energy effective action in N=3 SYM theory // Nuclear Physics B. 2004. Vol. 689. P. 91-107.

132. Buchbinder I. L., Ivanov E. A., Samsonov I. В., Zupnik В. M. Superconformal N=3 SYM low-energy effective action // Journal of High Energy Physics. 2012. Vol. 1201. P. 001(1-30).

133. Buchbinder I. L., Ivanov E. A., Lechtenfeld O., Samsonov I. В., Zupnik В. M. Gauge theory in deformed N=(1,1) superspace // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2008. Т. 39, № 5. С. 1467-1541.

134. Samsonov I. В. On renormalizability of non-anticommutative N=(1,0) theories with singlet deformation // Czechoslovak Journal of Physics. 2006. Vol. 56, no. 10/11. P. 1281-1286.

135. Buchbinder I. L., Lechtenfeld О., Samsonov I. В. Vector-multiplet effective action in the non-anticommutative charged hypermultiplet model // Nuclear Physics В. 2006. Vol. 758. P. 185-203.

136. Buchbinder I. L., Ivanov E. A., Lechtenfeld O., Samsonov I. В., Zupnik В. M. Renormalizability of non-anticommutative N=(1,1) theories with singlet deformation // Nuclear Physics B. 2006. Vol. 740. P. 358-385.

137. Klebanov I. R., Torri G. M2-branes and AdS/CFT // International Journal of Modern Physics A. 2010. Vol. 25. P. 332-350.

138. Aganagic M. A stringy origin of M2 brane Chern-Simons theories // Nuclear Physics B. 2010. Vol. 835. P. 1-28.

139. Gaiotto D., Witten E. Janus configurations, Chern-Simons couplings, and the theta-angle in N=4 super Yang-Mills theory // Journal of High Energy Physics. 2010. Vol. 1006. P. 097.

140. Koh E., Lee S., Lee S. Topological Chern-Simons sigma model // Journal of High Energy Physics. 2009. Vol. 0909. P. 122(1-29).

141. Buchbinder I. L., Kuzenko S., Yarevskaya Z. Supersymmetric effective potential: Superfield approach // Nuclear Physics B. 1994. Vol. 411. P. 665-692.

142. Pickering A., West P. C. The one-loop effective superpotential and nonholo-morphicity // Physics Letters B. 1996. Vol. 383. P. 54-62.

143. Grisaru M. T., Rocek M., von Unge R. Effective Kahler potentials // Physics Letters B. 1996. Vol. 383. P. 415-421.

144. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M., Petrov A. Y. Superfield chiral effective potential // Physics Letters B. 1994. Vol. 321. P. 372-377.

145. Бухбиндер И. JI., Кузенко С. M., Петров А. Ю. Суперполевой эффективный потенциал в двухпетлевом приближении // Ядерная физика. 1996. Т. 59. С. 157-162.

146. Buchbinder I. L., Petrov A. Y. Holomorphic effective potential in general chiral superfield model // Physics Letters B. 1999. Vol. 461. P. 209-217.

147. Бухбиндер И. JI., Петров А. Ю. Суперполевой эффективный потенциал в обобщенной модели кирального суперполя // Ядерная физика. 2000. Т. 63. С. 1745-1758.

148. Buchbinder I. L., Pletnev N. G., Samsonov I. В. Low-energy effective actions in three-dimensional extended SYM theories // Journal of High Energy Physics. 2011. Vol. 1101. P. 121(1-38).

149. Buchbinder I. L., Pletnev N. G., Samsonov I. B. Effective action of three-dimensional extended supersymmetric matter on gauge superfield background // Journal of High Energy Physics. 2010. Vol. 1004. P. 124(1-27).

150. Buchbinder I. L., Merzlikin B. S., Samsonov I. B. Two-loop effective potentials in general N=2, d=3 chiral superfield model // Nuclear Physics B. 2012. Vol. 860. P. 87-114.

151. Zwanziger D. Local Lagrangian quantum field theory of electric and magnetic charges // Physical Review D. 1971. Vol. 3. P. 880-891.

152. Pasti P., Samsonov I., Sorokin D., Tonin M. Bagger-Lambert-Gustavsson-mo-tivated Lagrangian formulation for the chiral two-form gauge field in D=6 and M5-branes // Physical Review D. 2009. Vol. 80. P. 086008(1-16).

153. Pasti P., Samsonov I., Sorokin D., Tonin M. BLG and M5 // Письма в ЭЧАЯ. 2011. Т. 8, № 3. С. 355-368.

154. Casalbuoni R. The classical mechanics for Bose-Fermi systems // Nuovo Cimento A. 1976. Vol. 33. P. 389-431.

155. Волков Д. В., Пашнев А. И. О суперсимметричном лагранжиане для частиц в собственном времени // Теоретическая и математическая физика. 1980. Т. 44, № 3. С. 321-326.

156. Howe P. S., Stelle K. S., Townsend P. K. The relaxed hypermultiplet: An unconstrained N=2 superfield theory // Nuclear Physics B. 1983. Vol. 214. P. 519-531.

157. Бухбиндер E. И., Оврут Б. А., Бухбиндер И. JI., Иванов Е. А., Кузен-ко С. М. Низкоэнергетическое эффективное действие в N=2 суперсимметричных теориях поля // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2001. Т. 32, № 5. С. 1221-1290.

158. Ferrara S., Savoy С. A., Zumino В. General massive multiplets in extended supersymmetry // Physics Letters B. 1981. Vol. 100. P. 393-398.

159. Zumino B. Normal forms of complex matrices // Journal of Mathematical Physics. 1962. Vol. 3. P. 1055-1058.

160. Siegel W. Hidden local supersymmetry in the supersymmetric particle action // Physics Letters B. 1983. Vol. 128. P. 397-399.

161. Sorokin D. P., Tkach V. I., Volkov D. V. Superparticles, twistors and Siegel symmetry // Modern Physics Letters A. 1989. Vol. 4. P. 901-908.

162. Sorokin D. P. Superbranes and superembeddings // Physics Reports. 2000. Vol. 329. P. 1-101.

163. Sokatchev E. Light cone harmonic superspace and its applications // Physics Letters B. 1986. Vol. 169. P. 209-214.

164. Delduc F., Galperin A., Sokatchev E. Lorentz harmonic (super)fields and (super)particles // Nuclear Physics B. 1992. Vol. 368. P. 143-174.

165. Бандос И. А. Суперчастица в лоренцевом гармоническом суперпространстве // Ядерная физика. 1990. Т. 51. С. 1429-1444.

166. Ivanov Е., Kalitzin S., Nguyen А. V., Ogievetsky V. Harmonic superspaces of extended supersymmetry. The calculus of harmonic variables // Journal of Physics A. 1985. Vol. 18. P. 3433-3444.

167. Ferrara S., Sokatchev E. Superconformai interpretation of BPS states in AdS geometries // International Journal of Theoretical Physics. 2001. Vol. 40. P. 935-984.

168. Wess J., Zumino B. Consequences of anomalous Ward identities // Physics Letters B. 1971. Vol. 37. P. 95-97.

169. Witten E. Global aspects of current algebra // Nuclear Physics B. 1983. Vol. 223. P. 422-432.

170. 't Hooft G. Naturalness, chiral symmetry, and spontaneous chiral symmetry breaking // NATO Advanced Study Institute, Series B, Physics. 1980. Vol. 59. P. 135.

171. Sohnius M. F., West P. C. Conformai invariance in N=4 supersymmetric Yang-Mills theory // Physics Letters B. 1981. Vol. 100. P. 245-250.

172. Freedman D. Z., Mathur S. D., Matusis A., Rastelli L. Correlation functions in the CFTrf/AdSd+i correspondence // Nuclear Physics B. 1999. Vol. 546. P. 96-118.

173. Chalmers G., Nastase H., Schalm K., Siebelink R. R current correlators in N=4 super Yang-Mills theory from anti-de Sitter supergravity // Nuclear Physics B. 1999. Vol. 540. P. 247-270.

174. Seiberg N. Supersymmetry and non-perturbative beta functions // Physics Letters B. 1988. Vol. 206. P. 75-80.

175. Slansky R. Group theory for unified model building // Physics Reptorts. 1981. Vol. 79. P. 1-128.

176. Ramond P. Group theory: A physicist's survey. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2010. P. 320.

177. D'Hoker E., Weinberg S. General effective actions // Physical Review D. 1994. Vol. 50. P. 6050-6053.

178. Abanov A. G., Wiegmann P. B. Theta terms in nonlinear sigma models // Nuclear Physics B. 2000. Vol. 570. P. 685-698.

179. Alvarez-Gaume L., Ginsparg P. H. The structure of gauge and gravitational anomalies // Annals of Physics. 1985. Vol. 161. P. 423-490.

180. de Wit В., Grisaru M. Т., Rocek M. Nonholomorphic corrections to the one loop N=2 superYang-Mills action // Physics Letters B. 1996. Vol. 374. P. 297-303.

181. Argyres P. C., Awad A. M., Braun G. A., Esposito F. P. Higher derivative terms in N=2 supersymmetric effective actions // Journal of High Energy Physics. 2003. Vol. 0307. P. 060(1-32).

182. Гальперин А. С., Иванов E. А., Огиевецкий В. И. Суперпространства для N=3 суперсимметрии // Ядерная физика. 1987. Т. 46. С. 543-556.

183. Zupnik В. М. The action of the supersymmetric N=2 gauge theory in harmonic superspace // Physics Letters B. 1987. Vol. 183. P. 175-176.

184. Ivanov E. A., Zupnik В. M. N=3 supersymmetric Born-Infeld theory // Nuclear Physics B. 2001. Vol. 618. P. 3-20.

185. Keski-Vakkuri E., Kraus P. Born-Infeld actions from matrix theory // Nuclear Physics B. 1998. Vol. 518. P. 212-236.

186. de Alwis S. P. Matrix models and string world sheet duality // Physics Letters B. 1998. Vol. 423. P. 59-63.

187. Balasubramanian V., Gopakumar R., Larsen F. Gauge theory, geometry and the large N limit // Nuclear Physics B. 1998. Vol. 526. P. 415-431.

188. Ivanov E., Lechtenfeld O., Zupnik B. Nilpotent deformations of N=2 superspace // Journal of High Energy Physics. 2004. Vol. 0402. P. 012(1-16).

189. Seiberg N., Witten E. String theory and noncommutative geometry // Journal of High Energy Physics. 1999. Vol. 9909. P. 032(1-93).

190. Гальперин А., Иванов Е., Огиевецкий В., Сокачев Э. Гармоническое суперпространство - ключ к N=2 суперсимметричным теориям // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 40, № 4. С. 155-158.

191. Jack I., Jones D. R. T., Worthy L. A. One-loop renormalisation of N=1/2 su-persymmetric gauge theory // Physics Letters B. 2005. Vol. 611. P. 199-206.

192. Jack I., Jones D. R. T., Worthy L. A. One-loop renormalisation of general N=1/2 supersymmetric gauge theory // Physical Review D. 2005. Vol. 72. P. 065002(1-13).

193. Buchbinder I. L., Buchbinder E. I., Ivanov E. A., Kuzenko S. M., Ovrut B. A. Effective action of the N=2 Maxwell multiplet in harmonic superspace // Physics Letters B. 1997. Vol. 412. P. 309-319.

194. Buchbinder E. I., Buchbinder I. L., Ivanov E. A., Kuzenko S. M. Central charge as the origin of holomorphic effective action in N=2 gauge theory // Modern Physics Letters A. 1998. Vol. 13. P. 1071-1082.

195. Dine M., Seiberg N. Comments on higher derivative operators in some SUSY field theories // Physics Letters B. 1997. Vol. 409. P. 239-244.

196. Lowe D. A., von Unge R. Constraints on higher derivative operators in maximally supersymmetric gauge theory // Journal of High Energy Physics. 1998. Vol. 9811. P. 014(1-6).

197. Dragon N., Kuzenko S. M. The Higgs mechanism in N=2 superspace // Nuclear Physics B. 1997. Vol. 508. P. 229-244.

198. Kuzenko S. M., McArthur I. N. Effective action of N=4 super Yang-Mills: N=2 superspace approach // Physics Letters B. 2001. Vol. 506. P. 140-146.

199. Kuzenko S. M., McArthur I. N. Hypermultiplet effective action: N = 2 superspace approach // Physics Letters B. 2001. Vol. 513. P. 213-222.

200. Buchbinder I. L., Buchbinder E. I., Kuzenko S. M., Ovrut B. A. The background field method for N=2 superYang-Mills theories in harmonic superspace // Physics Letters B. 1998. Vol. 417. P. 61-71.

201. Buchbinder E. I., Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Nonholomorphic effective potential in N=4 SU(n) SYM // Physics Letters B. 1999. Vol. 446. P. 216-223.

202. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M., Tseytlin A. A. On low-energy effective actions in N=2, N=4 superconformal theories in four-dimensions // Physical Review D. 2000. Vol. 62. P. 045001(1-9).

203. Hitchin N. J., Karlhede A., Lindstrom U., Rocek M. Hyperkahler metrics and supersymmetry // Communications in Mathematical Physics. 1987. Vol. 108. P. 535-589.

204. Зупник В. M., Пак Д. Г. Суперполевая формулировка простейших трехмерных калибровочных теорий и конформных супергравитаций // Теоретическая и математическая физика. 1988. Т. 77, № 1. С. 97-106.

205. Zupnik В. М., Рак D. G. Topologically massive gauge theories in superspace // Russian Physics Journal. 1988. Vol. 31. P. 962-965.

206. Gates J., S. James, Nishino H. Remarks on the N=2 supersymmetric Chern-Simons theories // Physics Letters B. 1992. Vol. 281. P. 72-80.

207. Park J.-H. Superconformal symmetry in three-dimensions // Journal of Mathematical Physics. 2000. Vol. 41. P. 7129-7161.

208. Osborn H. N=1 superconformal symmetry in four-dimensional quantum field theory // Annals of Physics. 1999. Vol. 272. P. 243-294.

209. Park J.-H. N=1 superconformal symmetry in four-dimensions // International Journal of Modern Physics A. 1998. Vol. 13. P. 1743-1772.

210. Park J.-H. Superconformal symmetry and correlation functions // Nuclear Physics B. 1999. Vol. 559. P. 455-501.

211. Shizuya K.-i., Yasui Y. Construction of effective actions in superspace // Physical Review D. 1984. Vol. 29. P. 1160-1167.

212. Ohrndorf T. The effective Lagrangian of supersymmetric Yang-Mills theory // Physics Letters B. 1986. Vol. 176. P. 421-426.

213. McArthur I. N., Gargett T. D. A 'Gaussian' approach to computing super-symmetric effective actions // Nuclear Physics B. 1997. Vol. 497. P. 525-540.

214. Pletnev N. G., Banin A. T. Covariant technique of derivative expansion of one loop effective action // Physical Review D. 1999. Vol. 60. P. 105017(1-16).

215. Kuzenko S. M., McArthur I. N. Low-energy dynamics in N=2 super QED: Two loop approximation // Journal of High Energy Physics. 2003. Vol. 0310. P. 029(1-24).

216. Kuzenko S. M., Tyler S. J. Supersymmetric Euler-Heisenberg effective action: Two-loop results // Journal of High Energy Physics. 2007. Vol. 0705. P. 081(1-25).

217. Kuzenko S. M., McArthur I. N. On the background field method beyond one loop: A manifestly covariant derivative expansion in super Yang-Mills theories // Journal of High Energy Physics. 2003. Vol. 0305. P. 015(1-30).

218. Redlich A. N. Gauge noninvariance and parity violation of three-dimensional fermions // Physical Review Letters. 1984. Vol. 52. P. 18-21.

219. Redlich A. N. Parity violation and gauge noninvariance of the effective gauge field action in three-dimensions // Physical Review D. 1984. Vol. 29. P. 2366-2374.

220. Niemi A. J., Semenoff G. W. Axial anomaly induced fermion fractioniza-tion and effective gauge theory actions in odd dimensional space-times // Physical Review Letters. 1983. Vol. 51. P. 2077-2080.

221. Dunne G. V. Aspects of Chern-Simons theory. 1998. hep-th/9902115.

222. Aharony O., Hanany A., Intriligator K. A., Seiberg N., Strassler M. J. Aspects of N=2 supersymmetric gauge theories in three-dimensions // Nuclear Physics B. 1997. Vol. 499. P. 67-99.

223. Weisstein E. W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. USA: Chapman & Hall/CRC, 2003. P. 3242.

224. Buchbinder I. L., Ivanov E. A., Lechtenfeld O., Pletnev N. G., Sam-sonov I. B., Zupnik B. M. Quantum N=3, d=3 Chern-Simons matter theories in harmonic superspace // Journal of High Energy Physics. 2009. Vol. 0910. P. 075(1-38).

225. de Wit B., Rocek M. Improved tensor multiplets // Physics Letters B. 1982. Vol. 109. P. 439-443.

226. Lindstrom, U. and Rocek, M. Scalar-tensor duality and N=1,2 nonlinear cr-models // Nuclear Physics B. 1983. Vol. 222. P. 285-308.

227. Kuzenko S. M., Lindstrom U., von Unge R. New extended superconformal sigma models and quaternion Kahler manifolds // Journal of High Energy Physics. 2009. Vol. 0909. P. 119(1-31).

228. de Boer J., Hori K., Oz Y. Dynamics of N=2 supersymmetric gauge theories in three-dimensions // Nuclear Physics B. 1997. Vol. 500. P. 163-191.

229. de Boer J., Hori K., Oz Y., Yin Z. Branes and mirror symmetry in N=2 supersymmetric gauge theories in three-dimensions // Nuclear Physics B. 1997. Vol. 502. P. 107-124.

230. Banin A. T., Buchbinder I. L., Pletnev N. G. On low-energy effective action in N=2 super Yang-Mills theories on nonAbelian background / / Physical Review D. 2002. Vol. 66. P. 045021(1-13).

231. Ovrut B. A., Wess J. Supersymmetric R^ gauge and radiative symmetry breaking // Physical Review D. 1982. Vol. 25. P. 409-426.

232. de Boer J., Hori K., Ooguri H., Oz Y., Yin Z. Mirror symmetry in three-dimensional theories, SL(2,Z) and D-brane moduli spaces // Nuclear Physics B. 1997. Vol. 493. P. 148-176.

233. Seiberg N. IR dynamics on branes and space-time geometry // Physics Letters B. 1996. Vol. 384. P. 81-85.

234. Klebanov I. R., Witten E. Superconformal field theory on three-branes at a Calabi-Yau singularity // Nuclear Physics B. 1998. Vol. 536. P. 199-218.

235. West P. C. Quantum corrections in the supersymmetric effective superpotential and resulting modification of patterns of symmetry breaking // Physics Letters B. 1991. Vol. 261. P. 396-398.

236. Jack I., Jones D. R. T., West P. C. Not the no-renormalization theorem? // Physics Letters B. 1991. Vol. 258. P. 382-385.

237. Buchbinder I. L., Cvetic M., Petrov A. Y. Implications of decoupling effects for one loop corrected effective actions from superstring theory // Modern Physics Letters A. 2000. Vol. 15. P. 783-790.

238. Buchbinder I. L., Cvetic M., Petrov A. Y. One loop effective potential of N=1 supersymmetric theory and decoupling effects // Nuclear Physics B. 2000. Vol. 571. P. 358-418.

239. Brignole A. One loop Kahler potential in non renormalizable theories // Nuclear Physics B. 2000. Vol. 579. P. 101-116.

240. Nibbelink Groot S., Nyawelo T. S. Two-loop effective Kahler potential of (non-)renormalizable supersymmetric models // Journal of High Energy Physics. 2006. Vol. 0601. P. 034(1-30).

241. Lehum A. C. Dynamical generation of mass in the D=(2+l) Wess-Zumino model // Physical Revew D. 2008. Vol. 77. P. 067701(1-4).

242. Ferrari A. F., Gomes M., Lehum A. C., Nascimento J. R., Petrov A. Y., Silva E. O., da Silva A. J. On the superfield effective potential in three dimensions // Physics Letters B. 2009. Vol. 678. P. 500-503.

243. Lehum A. C. D=(2+l) O(N) Wess-Zumino model in a large N limit // Physical Revew D. 2011. Vol. 84. P. 107701(1-4).

244. Dirac P. A. M. Quantised singularities in the electromagnetic field // Proceedings of the Royal Society of London A. 1931. Vol. 133. P. 60-72.

245. Maznytsia A., Preitschopf C. R., Sorokin D. P. Duality of self-dual actions // Nuclear Physics B. 1999. Vol. 539. P. 438-452.

246. Miao Y.-G., Manvelyan R., Mueller-Kirsten H. J. W. Self-duality beyond chiral p-form actions // Physics Letters B. 2000. Vol. 482. P. 264-270.

247. Miao Y.-G., Muller-Kirsten H. J. W., Park D. K. Constructing doubly self-dual chiral p-form actions in D=2(p+1) spacetime dimensions // Nuclear Physics B. 2001. Vol. 612. P. 215-225.

248. Imbimbo C., Schwimmer A. The Lagrangian formulation of chiral scalars // Physics Letters B. 1987. Vol. 193. P. 455-458.

249. Hull C. M. Covariant quantization of chiral bosons and anomaly cancellation // Physics Letters B. 1988. Vol. 206. P. 234-240.

250. Labastida J. M. F., Pernici M. On the brst quantization of chiral bosons // Nuclear Physics B. 1988. Vol. 297. P. 557-582.

251. Mezincescu L., Nepomechie R. I. Critical dimensions for chiral bosons // Physical Review D. 1988. Vol. 37. P. 3067-3069.

252. Witten E. Five-brane effective action in M-theory // Journal of Geometry and Physics. 1997. Vol. 22. P. 103-133.

253. Witten E. Duality relations among topological effects in string theory // Journal of High Energy Physics. 2000. Vol. 05. P. 031(1-31).

254. Dolan L., Nappi C. R. A modular invariant partition function for the five-brane // Nuclear Physics B. 1998. Vol. 530. P. 683-700.

255. Van Den Broeck C., Van Hoof K. Batalin-Vilkovisky gauge-fixing of a chiral two-form in six dimensions // Classical and Quantum Gravity. 1999. Vol. 16. P. 4011-4021.

256. Lechner K. Self-dual tensors and gravitational anomalies in 4n+2 dimensions // Nuclear Physics B. 1999. Vol. 537. P. 361-380.

257. Lechner K., Marchetti P. A., Tonin M. Anomaly free effective action for the elementary M5-brane // Physics Letters B. 2002. Vol. 524. P. 199-207.

258. Bekaert X., Cucu S. Antifield BRST quantization of duality-symmetric Maxwell theory // Journal of High Energy Physics. 2001. Vol. 01. P. 015(1-19).

259. Del Cima O. M., Piguet O., Sarandy M. S. Finiteness of PST self-dual models // Nuclear Physics B. 2001. Vol. 600. P. 387-402.

260. Bastianelli F., Frolov S., Tseytlin A. A. Conformal anomaly of (2,0) tensor multiplet in six dimensions and AdS/CFT correspondence // Journal of High Energy Physics. 2000. Vol. 02. P. 013(1-21).

261. Berman D. S. M-theory branes and their interactions // Physics Reports. 2008. Vol. 456. P. 89-126.

262. Bonelli G., Tanzini A., Zabzine M. Topological branes, p-algebras and generalized Nahm equations // Physics Letters B. 2009. Vol. 672. P. 390-395.

263. Chu C.-S., Smith D. J. Towards the quantum geometry of the M5-brane in a constant C-field from multiple membranes // Journal of High Energy Physics. 2009. Vol. 04. P. 097(1-34).