Космологические эффекты в суперсимметричной полевой модели со скалярным полем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Брандышев Петр Евгеньевич

• Брандышев Петр Евгеньевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Брандышев Петр Евгеньевич

Введение

1 Суперсимметричные теории со скалярным полем

1.1 Развитие идеи суперсимметрии

1.2 Скалярные поля в теориях с глобальной суперсимметрией

1.3 Скалярное поле в теории с локальной N=1 суперсимметрией

1.4 Суперконформная группа

1.5 Конформная супергравитация

2 Космологические эффекты в конформных теориях супергравитации

2.1 Темная энергия в конформной теории супергравитации

2.2 Космологическая постоянная

2.3 Спонтанное нарушение конформной симметрии

2.4 Поля Хиггса в конформной теории супергравитации

2.5 Космологические решения и массы полей Хиггса

3 Скалярные поля в струнных полевых моделях

3.1 Космологическая модель, построенная на основе теории супергравитации с полями Хиггса и струнными модулями

3.2 Спектр масс

3.3 Соответствие модели данным реликтового излучения

3.4 Космологические решения в низкоэнергетической М-теории

3.5 Космологические решения в теории суперструн типа IIA

Заключение

Благодарности

Список литературы

Введение

После создания Эйнштейном [9] общей теории относительности (ОТО) в теоретической физике была сформулирована геометрическая парадигма, согласно которой развитие теории гравитации проводилось по пути усложнения структуры пространства-времени [10]. Согласно ОТО четырехмерное пространство-время обладает свойствами искривлённого пространства Римана.

Для решения проблем космологии предпринимались попытки обобщения ОТО путем усложнения геометрической структуры пространства-времени. Математиками Г. Вейлем, Э. Картаном, И. Схоутеном были исследованы более общие постримановы пространства с кручением и неметричностью. Т. Калуцей была выдвинута революционная идея, что пространство-время может иметь более четырех измерений [11]. Позднее пространство-время было наделено геометрической структурой суперпространства [12], где наряду с обычными коммутирующими координатами вводились антикоммутирующие суперкоординаты.

Идея суперпространства и подход Калуцы получили широкое распространение в теории супергравитации и теории суперструн. Как известно, преобразования суперсимметрии являются преобразованиями пространственной (не внутренней) симметрии и генерируют сдвиг в суперпространстве. Таким образом, концепцию суперсимметрии также можно рассматривать в рамках геометрической парадигмы.

Актуальность темы исследования

Как известно, на уровне сверхсильных взаимодействий физические явления демонстрируют масштабную инвариантность (скейлинг Бьеркена). Поэтому существование такой симметрии можно ожидать в начале рождения Вселенной, когда энеретический выход был огромный. В пользу гипотезы о масштабной инвариантности свидетелствуют исследования спектра первичных возмущений в ранней Вселенной - наличие так называемого плато Харрисона-Зельдовича [13], подтвержденного последними наблюдательными данными по изучению анизотропии реликтового излучения.

В силу этого для описания динамики полей в начале Вселенной Б.Н. Фроловым было предложено вместо группы Пуанкаре использовать группу Пуанкаре-Вейля [14,15,16]. В данной группе помимо преобразований группы

Пуанкаре также содержатся масштабные преобразования Вейля (дилатационные преобразования), генерирующие сжатия и растяжения пространства-времени. Следствием этой теории является предположение наличия геометризованного скалярного поля (дилатона), имеющего такой же фундаментальный геометрический смысл, как и метрический тензор. По своим математическим свойствам данное поле является скалярным полем с единичным конформным весом и совпадает со скалярным полем, введенным Дираком [17] и независимо Дезером [18].

На основе трактовки группы Пуанкаре-Вейля как локальной группы в работах Б.Н. Фролова и О.В. Бабуровой была развита калибровочная теория гравитации Вейля-Дирака [10],[14],[15],[16],[19], в которой скалярное поле Дирака определяет эффективную гравитационную постоянную, описывающую темную энергию. Одним из следствий данной теории гравитации является найденное для сверхранней стадии развития Вселенной решение в виде резкого экспоненциального спада эффективной космологической постоянной [10],[20],[21],[22],[23], предельное значение которой совпадает с ее современным значением, что позволяет обосновать ускоренное расширение Вселенной в современную эпоху. Данный результат мог бы решить проблему космологической постоянной [24],[25]. Эта проблема связана с тем, что значение энергии вакуума, вычисляемое в квантовой теории поля, на сто двадцать порядков больше наблюдаемого значения.

Одним из важных аспектов теории, развиваемой Б.Н. Фроловым и соавторами, является то, что действие теории содержит члены высших порядков по кривизне (см. также [26],[27]). Наиболее общий вид таких лагранжианов был исследован в работах [28],[29]. Также было показано [30], что скалярное поле Дирака в данной теории может иметь потенциал типа Хиггса и в результате спонтанного нарушения масштабной симметрии может приводить к возникновению масс у элементарных частиц по аналогии с механизмом Хиггса.

Известно, что суперсимметрия играет особую роль в современной теоретической физике. Теория струн до сих пор является одним из наиболее вероятных кандидатов на роль единой теории фундаментальных взаимодействий, позволяющей квантовать гравитацию. Таким образом, суперсимметрия представляет особый интерес, и в том числе теория супергравитации, которая является низкоэнергетическим пределом теории суперструн. В связи с этим имеет смысл рассмотреть суперсимметричное

обобщение группы Пуанкаре-Вейля (суперконформную группу) и построить суперсимметричную версию калибровочной теории Вейля-Дирака со скалярным полем Дирака, а также исследовать её космологические приложения.

Одной из важнейших задач теоретической физики является построение реалистической низкоэнергетической теории супергравитации, описывающей темную энергию и темную материю, а также согласующейся со стандартной моделью физики элементарных частиц. Построение такой теории можно начать с изучения различных способов компактификации многомерной теории суперструн и поиска подходящего вакуума, совместимого со стандартной моделью. Таких вакуумов слишком много и поэтому такой поиск представляется крайне трудоемкой задачей. Другой путь заключается в том, что сначала строится реалистическая четырехмерная теория супегравитации и исследуются свойства полученной модели, а затем ищется способ компактификации, позволяющий вложить данную модель в теорию суперструн в качестве низкоэнергетического приближения.

Преимуществом суперсимметричных теорий является то обстоятельство, что в результате спонтанного нарушения суперсимметрии всегда возникают массивные стабильные частицы, которые могут быть идеальными кандидатами на роль частиц темной материи.

Также в рамках теории супергравитации может быть предсказано существование массивных частиц, являющихся квантами инфлатонного поля, которое служит источником темной энергии. Как уже говорилось выше, проблема космологической постоянной связана, в частности, с большим вкладом нулевых колебаний квантовых полей в плотность энергии вакуума. Известно, что суперсимметрия позволяет устранить данную проблему (по крайней мере, частично). Дело в том, что в суперсимметричной теории число фермионов совпадает с числом бозонов, поэтому в сумме энергия нулевых колебаний оказывается равной нулю. При этом суперсимметрия позволяет рассматривать теорию гравитации с отличной от нуля космологической постоянной. Подобная суперсимметричная теория, допускающая наличие ненулевой космологической постоянной, была рассмотрена, например, в работе [31].

В данной диссертационной работе также рассмотрена теория супергравитации с полями Хиггса. Рассмотрение сектора Хиггса в контексте космологии продиктовано следующими соображениями. Дело в том, что

наиболее естественный способ получить проверяемые следствия из построенной космологической модели состоит в предсказании новых частиц. Например, чтобы объяснить природу тёмной энергии, необходимо рассматривать взаимодействие инфлатонного поля с уже известными полями, существующими в природе. Так как работа посвящена именно скалярным полям, разумно рассматривать именно поле Хиггса (единственное скалярное поле, обнаруженное экспериментально). В таком случае кванты инфлатонного поля могут рождаться при высоких энергиях и оказывать влияние на амплитуды процессов с участием бозонов Хиггса, что может быть проверено экспериментально. Указанные сведения являются обоснованием актуальности темы диссертационного исследования.

Цели и задачи исследования

Целью диссертационной работы является изучение суперсимметричных полевых моделей со скалярным полем и их применение в космологии (в особенности, для объяснения природы темной энергии). Для реализации обозначенной цели решаются следующие задачи:

1. Исследование конформной теории супергравитации, являющейся суперсимметричным обобщением теории скалярного поля Дирака, развитой Фроловым Б.Н.

2. Построение калибровочной теории супергравитации на основе суперконформной группы, являющейся суперсимметричным обобщением группы Пуанкаре-Вейля.

3. Построение действия конформной супергравитации, описывающего взаимодействие инфлатона с полями Хиггса.

4. Поиск космологических решений вакуумных уравнений в низкоэнергетической М-теории с квантовыми гравитационными поправками высших порядков по кривизне.

5. Исследование бозонного сектора низкоэнергетической теории суперструн типа II A.

Научная новизна

Научная новизна исследования заключается в том, что:

- Показано, что конформная теория супергравитации допускает наличие малой положительной космологической постоянной (следовательно, допускает возможность решения проблемы космологической постоянной).

- Показано, что в данной теории значение гравитационной константы Ньютона утсанавливается в результате спонтанного нарушения масштабной симметрии.

- Построена конформная теория супергравитации с полями Хиггса, описывающая спонтанное нарушение электрослабой симметрии в соответствии со стандартной моделью физики элементарных частиц.

- Получены уравнения движения для одиннадцатимерной теории супергравитации с кручением и мембранными поправками. Бозонный сектор одиннадцатимерной супергравитации совпадает с чистой гравитацией в пространстве Картана, то есть данная теория является примером теории гравитации в постримановом пространстве. В результате компактификации в данной теории возникает дилатонное скалярное поле, и данная теория сводится к некиральной D=10 N=2 теории супергравитации.

- Получен явный вид уравнений гравитационного поля в некиральной D=10 N=2 теории супергравитации с учётом струнных поправок.

Теоретическая значимость

Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в том, что построенные автором модели в дальнейшем могут быть использованы для описания процессов в сверхранней Вселенной, так как скалярное поле играет важную роль в описании первичных возмущений космического микроволнового излучения. В работе построена модель, которая не только согласуется со Стандартной моделью физики элементарных частиц, но и описывает современную стадию расширения Вселенной в соответсвии с данными наблюдений, поэтому дальнейшее развитие данной модели может пролить свет на природу темной энергии.

Практическая значимость

Практическая значимость результатов данного диссертационного исследования заключается в том, что рассматриваемая теория предсказывает

существование новых частиц, которые могут быть обнаружены на ускорителях будущего. В частности модель, рассматриваемая в данной диссертационной работе, предсказывает существование пяти массивных скалярных частиц.

Достоверность результатов исследования

Достоверность результатов, полученных в диссертации, основывается на корректности использованных методов современной дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и суперпространственного формализма. Результаты, полученные в диссертации, проверены с помощью компьютерной программы MAPLE.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Космологические эффекты в суперсимметричной полевой модели со скалярным полем»

Апробация работы

Апробация результатов исследования осуществлялась на конференциях [5],[6],[7],[8].

Публикации

Результаты диссертационной работы изложены в статьях [1],[2],[3],[4], опубликованных в журналах, включенных в перечень ВАК, а также в тезисах конференций [5],[6],[7],[8]. Работы [1],[2] опубликованы в международной системе цитирования Scopus.

Личный вклад автора

Личный вклад автора отражен в содержании диссертации и результатах, выносимых на защиту. Результаты получены автором совместно с научным руководителем, причем вклад автора был определяющим.

Структура и объём диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения и библиографии. Объем диссертации составляет 10 7 страниц. Список литературы включает 135 наименований. Теперь коротко охарактеризуем структуру и содержание диссертационной работы.

Раздел 1 носит обзорный характер. В данной главе изложены результаты, полученные другими авторами. Эти результаты были использованы автором диссертационной работы в других главах для получения оригинальных результатов.

Подраздел 1 посвящён истории открытия и развития идей суперсимметрии.

В подразделе 2 настоящей главы рассматриваются скалярные поля в теориях с глобальной суперсимметрией. Как известно, формализм скалярных суперполей в случае глобальной суперсимметрии легко обобщается на случай локальной суперсимметрии путем замены обычных производных на ковариантные производные. Также рассмотрены действия для скалярных и калибровочных полей, инвариантные оносительно глобальной суперсимметрии. Как известно, в суперсимметричных теориях (как локальных, так и глобальных) в качестве лагранжианов рассматриваются D и F члены скалярных суперполей, которые в результате преобразований суперсимметрии меняются на полную дивергенцию. Именно этот формализм используется для построения действий для полей Хиггса и калибровочных полей стандартной модели в следующих главах.

В подразделе 3 представлено действие для локально суперсимметричной теории (действие супергравитации Пуанкаре), описывающей взаимодействие скалярного поля с гравитационными полями (с гравитоном и полем гравитино).

В подразделе 4 описывается суперконформная алгебра, являющаяся суперсимметричным обобщением алгебры Пуанкаре -Вейля. Помимо преобразований группы Пуанкаре -Вейля суперконформная группа также содержит группу преобразований суперсимметрии в качестве подгруппы. Дело в том, что суперконформная группа широко используется для построения действий супергравитации, так как это более простой способ формулировки теории супергравитации. Симметрия более высокого порядка приводит к тому, что инварианты и преобразования имеют более простую форму, поэтому обычно сначала локально суперсимметричная теория формулируется на языке конформной супергравитации, а затем совершается переход к обычной супергравитации Пуанкаре путем фиксации лишних симметрий. Таким образом, конформная подгруппа обычно играет вспомогательную роль. Однако, конформная симметрия (например, симметрия относительно масштабных преобразований) также может рассматриваться в качестве реальной симметрии природы, о чем речь пойдет далее.

В подразделе 5 приводится наиболее общий вид действия конформной супергравитации, который в дальнейшем будет использован для построения космологических моделей на основе данной теории.

В разделе 2 обсуждаются космологические следствия конформной теории супергравитации со скалярными полями.

В подразделе 1 предложены две космологические модели конформной супергравитации с одним и с двумя скалярными полями, описывающие современную стадию инфляции.

В подразделе 2 построена модель конформной теории супергравитации с киральным суперполем с единичным конформным весом и заряженным относительно группы и(1). Данное поле является аналогом скалярного поля Дирака. Показано, что данная теория эквивалентна теории гравитации Эйнштейна-Гильберта с Л - членом, зависящим от константы самодействия скалярного поля, и описывает темную энергию с положительной постоянной плотностью.

В подразделе 3 рассмотрена модель конформной теории супергравитации с двумя киральными суперполями, имеющими единичный конформный вес. Данная теория построена на основе локальной суперконформной группы, являющейся суперсимметричным обобщением группы Пуанкаре-Вейля. Показано, что в данной модели гравитационная константа (или константа Ньютона) зависит от скалярных полей, поэтому значение гравитационной константы определяется в результате спонтанного нарушения конформной симметрии подобно тому, как массы полей в стандартной модели фиксируются в результате спонтанного нарушения электрослабой симметрии и зависят от полей Хиггса.

В подразделе 4 построена конформная теория супергравитации с полями Хиггса, описывающая спонтанное нарушение электрослабой симметрии. Теория формулируется таким образом, чтобы массы всех скалярных (бозоны Хиггса) и калибровочных полей ^ и Ъ бозонов), а также значения констант связи (например, константа слабого взаимодействия и электрический заряд), точно соответствовали стандартной модели физики элементарных частиц.

В подразделе 5 Найдены массы всех полей сектора Хиггса в построенной модели. Показано, что теория предсказывает существование пяти бозонов Хиггса. Самый легкий их них отождествляется со стандартным

бозоном Хиггса, открытым на БАК. Показано, что константы связи можно подобрать таким образом, чтобы четыре дополнительных скалярных бозона имели массы, которые на 15 порядков больше массы стандартного бозона Хиггса. Таким образом, модель не противоречит экспериментальным данным (массы дополнительных скалярных полей могут быть слишком велики, чтобы их кванты можно было обнаружить на БАК). Также показано, что в данной модели могут быть получены космологические решения с постоянной Хаббла, соответствующей данным наблюдений.

В разделе 3 рассматривается теория супергравитации, являющаяся низкоэнергетическим приближением теории струн.

В подразделе 1 рассмотрена струнно-инспирированная теория супергравитации с полями модулей и полями Хиггса.

В подразделе 2 рассмотрен спектр масс данной модели.

В подразделе 3 найдены космологические параметры реликтового излучения, предсказанные данной моделью.

В подразделе 4 получены космологические решения в одиннадцатимерной супергравитации с квантовыми поправками. Данная теория является низкоэнергетическим приближением M-теории.

В подразделе 5 получены космологические решения в теории суперструн типа IIA.

1 Суперсимметричные теории со скалярным полем 1.1 Развитие идеи суперсимметрии

Открытие суперсимметрии имеет непростую историю. Общеизвестно, что суперсимметрия связывает бозоны и фермионы. До сих пор все точные симметрии, имеющие отношение к эксперименту, связывали только поля с одинаковым спином. Впервые приближенные симметрии, объединяющие частицы разного спина, были обнаружены в нерелятивистской ядерной физике. Первым историческим примером такой симметрии, по -видимому, является вигнеровская суперсимметрия. Еще в 1937 году Вигнером [32] был предложен метод построения супермультиплетов на основе группы преобразований SU(4), использованный для приближенного описания структуры ядра. Затем Сакитой [33] и другими авторами была обнаружена подобная приближенная симметрия относительно преобразований группы Би(6), объединяющая мультиплеты с разным спином, в нерелятивистской кварковой теории. Например, скалярные и векторные мезоны предлагалось объединить в единый 35-плет, а барионы со спинами 1/2 и 3/2 в 56-плет. (Более подробно о предыстории суперсимметрии см. [34].) Симметрия относительно преобразований SU(6) в данной кварковой модели является следствием приближенной независимости взаимодействий от спина и аромата. Далее в работе Миядзавы [35] была предложена нерелятивистская модель, где бозонный 35-плет и фермионный 56-плет были связаны в один Би(9) супермультиплет. Однако попытки обобщить подобные теории, основанные на обычных группах Ли, на релятивистский случай так и не увенчались успехом. Впоследствии, Коулменом и Мандулой была доказана теорема, из которой следовало, что такое обобщение в принципе невозможно [36]. Тем не менее, как выяснилось позднее, данная теорема неприменима к градуированным алгебрам Ли, которые в отличие от обычных алгебр Ли определяются антикоммутационными (а не коммутационными) соотношениями. Градуированные алгебры Ли были исследованы в работе Березина и Каца [37].

Впервые суперсимметрия в четырехмерном пространстве-времени, согласованная с лоренц-инвариантностью, была открыта Гольфандом и Лихтманом в 1971 году [38]. В этом случае речь идет уже о суперсимметрии в современном понимании данного термина, то есть о группе суперсимметрии, являющейся обобщением группы Пуанкаре, которое заключается в том, что к обычным генераторам, удовлетворяющим

коммутационным соотношениям, добавляются фермионные генераторы, удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям и преобразующие бозонные поля в фермионные (и наоборот). Фермионные генераторы объединяются в майорановские спиноры. Число таких майорановских спиноров обычно обозначается буквой N. В простейших моделях вводится один такой спинорный генератор (N=1 суперсимметрия). Таким образом, каждой координате пространства-времени можно сопоставить одну компоненту этого майорановского спинора. При N>1 речь идет о теориях с расширенной суперсимметрией. Иногда майорановский спинор удобно разбить на два вейлевских спинора, тогда при N=1 получается два генератора преобразований суперсимметрии, являющихся вейлевскими спинорами. Такое разбиение имеет смысл только в пространствах с четной размерностью. Все генераторы, как фермионные, так и бозонные, образуют замкнутую градуированную алгебру суперсимметрии.

Затем Волковым и Акуловым в работах [39] и [40] была построена четырехмерная суперсимметричная теория поля со спонтанным нарушением суперсимметрии, где с голдстоуновским безмассовым фермионом отождествлялось нейтрино. В то время нейтрино считалось безмассовой частицей, поэтому казалось вполне разумным отождествить ее с безмассовым суперпартнером фотона.

В то же время суперсимметрия на двумерном мировом листе в теории струн была обнаружена Жерве и Сакитой [41]. К сожалению, работы советских авторов не были замечены, и в результате независимых исследований четырехмерная пространственно-временная суперсимметрия была заново переоткрыта Вессом и Зумино [42] спустя 4 года после пионерской работы Гольфанда и Лихтмана. Затем Весс и Зумино показали [43], что построенная ими теория не противоречит теореме Коулмена-Мандулы, так как генераторы группы преобразований суперсимметрии удовлетворяют антикоммутационным соотношениям.

Уникальность суперсимметрии состоит в том, что она удовлетворяет условию единственности. В работе [44] была доказана теорема, согласно которой алгебра суперсимметрии является единственной градуированной алгеброй Ли, совместимой с релятивистской квантовой теорией поля. Позднее было показано [45], что может быть построена теория струн, инвариантная как относительно двумерных преобразований суперсимметрии на мировой поверхности струны, так и относительно суперсимметричных преобразований в пространстве-времени.

Наиболее изящно суперсимметричные теории поля формулируются на языке суперпространства, в котором наряду с обычными коммутирующими (четными) координатами вводятся антикоммутирующие (нечетные) спинорные координаты, являюющиеся грассмановыми числами. Дело в том, что построение суперсимметричной теории на языке компонентных полей является достаточно трудоемкой задачей. Оказалось, что эта задача значительно упрощается, если поля, входящие в супермультиплет объединить в единое суперполе. Такой остроумный подход был предложен в работе [12]. Каждой координате пространства-времени сопоставляется одна (N=1) суперкоордината (или несколько в случае расширенной суперсимметрии, но далее для простоты мы будем всегда предполагать, что N=1 везде, где это не оговорено специально). Суперкоординаты, подобно генераторам суперсимметрии, объединяются в майорановский спинор (или два вейлевских), который в результате лоренцевских вращений (обычных трехмерных вращений и лоренцевских бустов) преобразуется согласно спинорному представлению группы Лоренца. Так как суперкоординаты антикоммутируют, любое произведение суперкоординат с повторяющимися индексами равно нулю, и следовательно, любое суперполе, являющееся произвольной функцией суперкоординат и обычных пространственно -временных координат, всегда может быть разложено в конечный ряд по суперкоординатам. Коэффициенты разложения при четных степенях являются бозонными (скалярными или векторными) полями, а при нечетных - фермионными (спинорными), и составляют единый супермультиплет. В суперкоординатном представлении преобразования суперсимметрии являются дифференциальными операторами, генерирующими сдвиг в суперпространстве. Спинорная суперкоордината при таких перобразованиях просто сдвигается на произвольный спинорный параметр преобразования. В указанных выше работах Весса и Зумино одна из полевых моделей содержит так называемый киральный супермультиплет, состоящий из одного спинорного и двух скалярных полей (физического и вспомогательного), во второй рассматривается векторный супермультиплет, включающий в себя помимо скалярного и спинорного полей также векторное поле. С помощью суперпространственного формализма все поля кирального супермультеплета объединяются в одно киральное скалярное суперполе, а поля векторного супермультиплета в одно действительное скалярные суперполе. Подобным образом можно построить суперполе тетрады (супертетраду) или киральное суперполе, которое в качестве компоненты низшей размерности содержит скаляр кривизны четырехмерного пространства-времени (супермультиплет Эйнштейна).

Понятно, что для построения реалистической суперсимметричной теории элементарных частиц и получения экспериментально проверяемых следствий из этой теории, необходимо было сформулировать суперсимметричное обобщение стандартной модели. Для этого необходимо разработать методы построения суперсимметричных калибровочных теорий. Сначала это было сделано для абелевых теорий. В работе [46] впервые было сформулировано суперсимметричное обобщение электродинамики (Супер КЭД). Затем были впервые получены суперсимметричные неабелевы калибровочные теории в работах [47] и [48] (суперсимметричные теории Янга-Миллса).

Для включения гравитации в суперсимметричную теорию поля необходимо рассматривать локальную суперсимметрию, то есть супергравитацию. На самом деле любая теория, инвариантная относительно локальных преобразований суперсимметрии, с необходимостью включает в себя гравитацию. Дело в том, что антикоммутатор двух генераторов преобразований суперсимметрии пропорционален генератору сдвига в четырехмерном пространстве-времени (оператору импульса). Таким образом, два локальных преобразования суперсимметрии приводят к общековариантному преобразованию, поэтому локальные преобразования суперсимметрии, условно говоря, появляются в результате взятия корня от общековариантных преобразований в том же смысле, в каком оператор уравнения Дирака является корнем оператора уравнения Клейна-Гордона.

Существует два способа формулироваки теории супергравитации. Первый способ (подход Весса-Зумино) был предложен в работах [49],[50],[51],[52]. В данном подходе предлагается рассматривать супергравитацию как теорию искривленного суперпространства. Для построения теории супергравитации используется супертетрадный формализм. Главными объектами теории являются супертетрада и связность, которые позволяют ввести в суперпространстве понятия кривизны и кручения. Действие для чистой супергравитации может быть представлено в виде интеграла по всему суперпространству от детерминанта супертетраты, то есть равно интегралу по элементу суперпространственного объема. Для взятия интеграла по нечетным суперкоординатам используется правило интегрирования по Березину. (Для более подробного изучения см. монографии [53], а также сборники статей [54], [55].) Второй подход, предложенный в работах [56],[57],[58],[59] заключается в следующем. Сначала формулируется линеаризованная теория супергравитации,

инвариантная относительно глобальных преобразований суперсимметрии, а затем с помощью метода Нетер строится локально суперсимметричная теория. (Данный подход подробно изложен в монографиях [60], [61].)

Разумеется, для того, чтобы суперсимметрия имела какое-то отношение к действительности, необходимо, чтобы она была нарушена, так как при низких энергиях (и даже при энергиях, достижимых на БАК) никакой суперсимметрии не наблюдается. Суперсимметрия оказывается спонтанно нарушенной, если вакуумные значения по крайней мере одного из вспомогательных полей ^ или D) не равны нулю. Потенциал в глобально суперсимметричной теории поля, как правило, суммой квадратов D и F членов (в общем случае является квадратичной формой), поэтому задача построения модели со спонтанным нарушением суперсимметрии сводится к поиску такого потенциала, который не имеет глобального минимума, равного нулю. В таком случае суперсимметрия с необходимостью будет спонтанно нарушена. Однако, в любом случае, суперсимметрия будет нарушена, если потенциал имеет хотябы один локальный минимум, не равный нулю. Это соответствует ложному вакууму. Теоретически ложный вакуум может существовать достаточно долго.

Механизм спонтанного нарушения суперсимметрии, являющийся обобщением механизма Хиггса, был предложен О'Райферти [62]. Наиболее естественным образом с точки зрения проблемы тонкой настройки данный механизм реализуется при введении R-симметрии. Суперсимметрия также может быть спонтанно нарушена за счет механизма Файе-Иллиопулоса [63]. Затем был предложен механизм нарушения суперсимметрии с помощью калибровочных полей [64]. (В качестве обзора см. [65].) В работе [66] было впервые показано, что нарушение суперсимметрии может быть вызвано гравитационными полями (см. обзор [67]). Суперсимметрия не может быть нарушена в видимом секторе стандартной модели в древесном приближении, так как в этом случае скалярные суперпартнеры кварков (скварки) получили бы слишком малые массы и должны были бы наблюдаться в экспериментах. В работе [68] была построена модель, где суперсимметрия нарушается с помощью гравитационных взаимодействий и полей скрытого сектора. Предполагается, что суперполя скрытого сектора включают в себя калибровочные поля некоторой группы и киральные суперполя. Калибровочные поля видимого сектора описываются группой ^, которая в качестве подгруппы включает в себя группу стандартной модели (3) х (2) х и (1) (или совпадает с ней). В данной модели все киральные

суперполя скрытого сектора нейтральны относительно (не участвуют в калибровочных взаимодействий видимого сектора), и ни одно киральное суперполе скрытого сектора не нейтрально относительно ^, и наоборот все поля видимого сектора нейтральны относительно О^, и ни одно из них не нейтрально относительно . В этом случае поля скрытого сектора слабо взаимодействуют с полями видимого сектора.

Другая модель, в которой суперсимметрия нарушается гравитацией и полями модулей, была построена в работах [69],[70]. Известно, что в теории суперструн пространство-время имеет 10 измерений. Из этих измерений только 4 должны быть наблюдаемыми. Эта проблема решается с помощью спонтанной компактификации дополнительных измерений. В результате редукции дополнительных измерений образуются внутренние компактные многообразия (обычно с характерным размером порядка планковской длины). Геометрия таких компактных пространств описывается различными параметрами (например, если бы компактное пространство являлось сферой, таким параметром мог бы служить радиус этой сферы). Естественно, данные параметры не обязаны быть постоянными и могут зависеть от точки четырехмерного пространства-времени, проявляя себя в качестве скалярных полей, которые и называются модулями. Суперсимметрия также может быть нарушена квантовыми аномалиями [71].

Как известно, на заре струнных исследований возникла проблема единства, когда оказалось, что существует не одна, а пять струнных моделей [72]. Однако позднее выяснилось, что все пять теорий связаны так называемыми дуальностями [73],[74]. Затем Виттеном было показано, что все десятимерные теории струн сводятся к одной одиннадцатимерной теории мембран (двумерных бран), которая была названа автором М-теорией [75]. Теория суперструн подробно изложена в известных монографиях [76],[77],[78]. Также квантовой теории струн посвящена монография [79]. Вводный курс теории струн доступно излагается в [80].

1.2 Скалярные поля в теориях с глобальной суперсимметрией

Для начала рассмотрим теории поля, инвариантные относительно глобальных преобразований суперсимметрии. Операторы алгебры суперсимметрии являются майорановскими спинорами и удовлетворяют антикоммутационному соотношению

{ва, ЯР} = 2(утС-хурд т.

где С - матрица зарядового сопряжения. Можно проверить, что такому антикоммутационному соотношению удовлетворяет оператор

д

е=(^-гтвдт), (1.2.1)

дв

где в - четырехкомпонентный майорановский спинор, составленный из антикоммутирующих координат суперпространства.

Произвольное скалярное суперполе Ф(х,в), зависящее от координат обычного пространства-времени и от суперкоординат ва, можно в разложить в ряд по ва. Так как суперкоординаты ва антикоммутируют и их всего четыре, в разложении появятся слагаемые только до четвертого порядка по ва (слагаемые более высоких порядков равны нулю). Таким образом, наиболее общее скалярное суперполе имеет вид

Ф( х, в) = С (х) - г(6у£( х)) -г- (ву5в) Н (х) -1 (вв) К (х) + + г- (ву5утв)Ут (х) - гфу5в)(вЯ +1 вут д £) - (1.2.2)

- 1(ву5в)2ф + ^ С).

Здесь £ и Я - четырехкомпонентные дираковские спиноры, С, Н, К, Б -комплексные скалярные (псевдоскалярные) поля, а у - векторное поле. Если суперполе Ф(х,в) действительно, то С,Н,К,у,Б тоже действительны, а £ и Я - майорановские спиноры. Коэффициенты разложения по суперкоординатам ва (поля С,£, Н, К,у ,Я, Б ) образуют представление группы суперсимметрии и называются компонентными полями. Обычно используется краткое обозначение

Ф = [С,£, Н, К,Уп,Я, Б] (1.2.3)

Суперполе Ф также часто называют векторным супермультиплетом, так как среди полей, входящих в супермультиплет (1.2.3), есть векторное поле у.

Рассмотрим скалярное суперполе 5, которое удовлетворяет условию

Я = Б = 0, Ут = дй£,

5 = [С,£, Н, К, д т^ ,0,0]. 18

А также введем новые обозначения для компонентных полей

С - А, ^--¡уу, Н --Ы, К --М, I - В.

Такое суперполе является киральным, так как может быть представлено в виде суммы левокирального и правокирального суперполей

Б - + ,

(1.2.4)

^ -ф + вуъ + в (^вР +1 вуъГпвдпф -

-1 (ву5втпд п¥ь ) -1 Фу5в?П ф,

_ _ 1 + у 1_ Б* -р + ву + в (-+У)вО + - ву5упвдпр

+1 (ву5в)(вупд т¥к) -1 (вув)2п р,

2 о

где у - дираковский четырехкомпонентный спинор

А + /В Л+Узч ^ М + Ы п 0

, УУ - Р -—2—, (1.2.5)

А -/В 1 -у5 М -¡Ы

р = , у-О= . (1.2.6)

Суперполе ^ () является левокиральным (правокиральным), так как содержит в квачестве компонентных полей только левые (правые) спиноры.

Если суперполе Б действительно Б - Б1, то ^ - 'г, р-ф", О - Р*, а поле у является майорановским спинором, который мы будем далее обозначать символом %. Суперполе обычно обозначается символом Е

^-Е- [ф, %, Р ]. Или в обозначениях (1.2.5-1.2.6)

Е-[А, В, Хь,М, Ы]. (1.2.7)

Суперполе Е иногда называют скалярным супермультиплетом (чтобы отличать его от векторного супермультиплета, заданного выражением (1.2.2)). Поля ф,хь и Р задают неприводимое представление группы суперсимметрии. Если поле Б действительно, то его обычно обозначают

символом У(Ъ), чтобы подчеркнуть, что это векторный супермультиплет, построенный из компонентных полей скалярного супермультиплета Ъ

У (Ъ) = Ъ+Ъ. (1.2.8)

У (Ъ) = [ А, -гу5£, - Ы, -М, д пБ, 0,0].

Очевидно, что произведение нескольких суперполей Ф = Ф1,Ф2,...Фи тоже является суперполем, компонентные поля которого зависят от компонентных полей сомножителейФ1,Ф2,...Фи. Таким образом, был получен удобный механизм построения супермультиплетов (тензорное исчисление). Обычно для скалярных супермультиплетов вводятся следующие обозначения

Ъ1 ХЪ2 = Ъ1Ъ 2,

Ъ ®Ъ2 = +Е2Е1], (1.2.9)

Ъ лЕ2 = Ъ 2-Ъ&].

Для того, чтобы найти законы преобразования суперсимметрии для компонентных полей, можно воспользоваться формулой

дв (а)Ф(х,в) = а0Ф( х,в), (1.2.10)

где £в - бесконечно малый параметр преобразования, который является майорановским спинором. Будем считать, что в выражении (1.2.10) оператор дв (ае) действует только на компонентные поля, а оператор ае е действует на

суперполе в соответствии с правилом (1.2.1). Тогда преобразование скалярного супермультиплета приобретает вид

- - 1 + у

а 0 Ъ = дд (а)ф + вде ((а)^) + в (—У)в(8е (а) Ю) +

+10у5утвдт (де (а)ф) -\(ву5в)вут дт (д0 (а)Хь) - (1.2.11)

1 - 9

--(ву5в)2П(дв (а)ф), 8

Подставляя (1.2.1) в левую часть (1.2.11) и приравнивая коэффициенты при равных степенях ва, получим

8й (е)ф-е%,

4(е)% - 2упекдпф + 2Реь, (1.2.12) (е)Р -еупдпХь.

Коэффициент разложения при 1в(1 + у5)в в выражении (1.2.4) (в данном

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Брандышев Петр Евгеньевич, 2021 год

Список литературы

[1] Brandyshev P.E. Spontaneous compactification of eleven-dimensional supergravity with higher-order corrections in the curvature // Theor. Math. Phys. No. 1, Vol. 188, 2016, P. 1099.

[2] Brandyshev P.E. Cosmological solutions in low-energy effective field theory for type IIA superstrings // Gravitation and Cosmology. No. 1, Vol. 23, 2017, P. 15-19.

[3] Брандышев П.Е., Фролов Б.Н. Космологическая инфляция в конформной теории супергравитации // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2018. № 3(24). С. 4-18.

[4] Брандышев П. Е., Фролов Б. Н. Инфлатон и поле Хиггса в конформной теории супергравитации // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2019. № 2(27). C. 4-14.

[5] Брандышев П.Е. Космологическая инфляция в M-теории // LIII Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники. Москва, РУДН, 15-19 мая 2017 г. - Материалы конференции. С. 107-109.

[6] Брандышев П.Е. Поле Хиггса и тёмная энергия в конформной теории супергравитации // LIV Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники. Москва, РУДН, 14-18 мая 2018 г. - Материалы конференции. С. 22-24.

[7] Брандышев П.Е., Фролов Б.Н. Скалярные поля в конформной теории супергравитации // LIV Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники. Москва, РУДН, 14-18 мая 2018 г. - Материалы конференции. С. 25-27.

[8] Brandyshev P.E. Higgs boson and Dark energy in conformal supergravity // XXI Intenational Meeting Physical Interpretations of Relativity Theory - 2019. Moscow. BMSTU. 01-05 July 2019. - Abstracts. P. 24.

[9] Эйнштейн А. Собрание сочинений. М.: Наука. 1965. Т. 1. 678 с. Т.2. 700 с.

[10] Бабурова О.В., Фролов Б.Н. Математические основы современной теории гравитации. М.: МПГУ, Издательство «Прометей», 2012. 128 с.

[11] Kaluza Th. On the Unification Problem in Physics // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. Math. and Phys. K. Vol 1. 1921. 966-972.

[12] Salam A., Strathdee J.A. Supergauge tranformations // Nucl. Phys. B. 1974. Vol. 76 P. 477-482.

[13] Сажин М.В. Анизотропия и поляризация реликтового излучения. Последние данные // Успехи физ. наук. 2004. Т. 174. № 2. С. 197-205.

[14] Babourova O.V., Frolov B.N., Zhukovsky V.Ch. Gauge Field Theory for Poincare Weyl Group // Phys. Rev. D . 2006. Vol. 74. P. 064012-1-12.

[15] Бабурова О.В., Жуковский В.Ч., Фролов Б.Н. Модель пространства -времени Вейля--Картана на основе калибровочного принципа // Теоретич. матем. физ. 2008. Т. 157. № 1. С. 64-78.

[16] Babourova O.V., Frolov B.N., Zhukovsky V.Ch. Theory of Gravitation on the Basis of the Poincare Weyl Gauge Group // Gravit. Cosmol. (Гравитация и космология). 2009. Vol. 15. № 1. P. 13-15.

[17] Dirac P.A.M. Long range forces and broken symmetries // Proc. Roy. Soc. (London). 1973. Vol. 333. P. 403-418.

[18] Deser S. Scale Invariance and Gravitational Coupling // Annals Phys. (USA). 1970. Vol. 59. P. 248-253.

[19] Babourova O.V., Frolov B.N. Dark energy, Dirac's scalar field and the cosmological constant problem. 2011. arXiv: 1112.4449 [gr-qc].

[20] Бабурова О.В., Липкин К.Н., Фролов Б.Н. Теория гравитации со скалярным полем Дирака и проблема космологической постоянной // Известия ВУЗов. Физика. 2012. Т. 55. № 7. С. 113-115.

[21] Бабурова О.В., Косткин К.Н., Фролов Б.Н. Проблема космологической постоянной в рамках конформной теории гравитации в пространстве Вейля -Картана // Известия ВУЗов. Физика. 2011. № 1. С. 111-112.

[22] Babourova O. V., Frolov B. N., Lipkin K. N. Theory of gravitation with scalar Dirac field in exterior form formalism and the cosmological constant problem // Gravit. Cosmol. 2012. Vol. 18. № 4. P. 225-231.

[23] Babourova O.V., Frolov B.N. Dark Energy as a Cosmological Consequence of Existence of the Dirac Scalar Field in Nature // Phys. Res. Int. 2015. Article ID 952181. P. 6.

[24] Weinberg S. The Cosmological Constant Problem // Rev. Mod. Phys. 1989. Vol. 61. P. 1-23.

[25] Li M., Li Xiao--Dong, Wang S., Wang Y. Dark Energy // Commun. Theor. Phys. 2011. Vol. 56. P. 525.

[26] Frolov B.N., Karbanovski V. The asymptotical solutions near the singular points for perfect fluid configurations in the conformal Poincare--gauge theory of gravitation // Phys. Lett. A 1992. Vol. 169. Iss. 1-2. P. 1-4.

[27] Frolov B.N. Generalized Conformal Invariance and The Gravitational Theory With Quadratic Lagrangians~// В сб.: 1993 Conference Program. Cornelius Lanczos Intern. Cent. Conf. (N. Carol State Univ. USA). Raleigh: Jane S. MaKimmon Center. 1993. P. 105.

[28] Babourova O.V. Frolov B.N. Zhukovsky V.Ch. Gauge field theory for Poincare-Weyl group // Phys. Rev. D. 2006. Vol. 74. P. 064012. arXiv:hep-th/0508088.

[29] Бабурова О.В., Королев В.Ф., Умярова И.А. Вариационный формализм для квадратичных лагранжианов в тетрадной теории гравитации // Известия высш. учебн. завед. Физика. 2006. Т 49. №5. С. 70-74.

[30] Frolov B.N. Generalized Conformal Invariance and The Gauge Theory of Gravity // В сб.: Gravity. Particles and Space-time. (Ed. P. Pronin and G. Sardanashvily). Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scintific 1996. P. 113-114.

[31] Аминова А.В., Люлинский М.Х. Эффект ненулевой космологической постоянной в супер-Пуанкаре-инвариантной вселенной // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2019. № 3(28). C. 11-19.

[32] Wigner E.P. On the Consequences of the Symmetry of the Nuclear Hamiltonian on the Spectroscopy of Nuclei // Phys. Rev. 1937 Vol. 51 P. 106-119.

[33] Sakita B. Supermultiplets of elementary particles // Phys. Rev. B. 1964. Vol. 136. P 1756-1760.

[34] Ramond P. SUSY: The Early Years (1966-1976) // The Eur. Phys. J. C. 2014. Vol. 74. P. 2698-2729.

[35] Miyazawa H. Baryon Number Changing Currents // Progr. Theoret. Phys. (Kyoto). 1966. Vol 36. №6. P. 1266-1276.

[36] Coleman S., Mandula J. All Possible Symmetries of the S Matrix // Phys. Rev. 1967 Vol. 159 P. 1251-1256.

[37] Березин Ф. А., Кац Г. И. Группы Ли с коммутирующими и антикоммутирующими параметрами // Матем. сб. 1970. Т. 82(124). № 3(7). С. 343-359.

[38] Гольфанд Ю.А., Лихтман Е.П. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности // Письма в ЖЭТФ, 1971, Т. 13. Вып. 7. С. 452-457.

[39] Volkov D.V., Akulov V.P. Is the Neutrino a Goldstone Particle? // Phys. Lett. B. 1973. Vol. 46. P. 109-110.

[40] Волков Д.В., Акулов В.П. Голдстоуновское поле со спином половина // ТМФ. 1974. Т.18. № 1. С. 39-50.

[41] Gervais J.L., Sakita B. Field Theory Interpretation of Supergauges in Dual Models // Nucl. Phys. B. 1971. Vol. 34. P. 632-639.

[42] Wess J., Zumino B. Supergauge transformations in four dimensions // Nucl. Phys. B. 1974. Vol. 70. P. 39-50.

[43] Wess J., Zumino B. A Lagrangian Model Invariant Under Supergauge Transformations // Nucl. Phys. B. 1974. Vol. 49. P. 52-54.

[44] Haag R., Lopuszanski J.T., Sohnius M. All Possible Generators of Supersymmetries of the s Matrix // Nucl. Phys. B. 1975. Vol. 88. P. 257-274.

[45] Gliozzi F., Scherk J., Olive D.I. Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model // Nucl. Phys. B. 1977. Vol. 122 P. 253-290.

[46] Wess J., Zumino B. Supergauge Invariant Extension of Quantum Electrodynamics // Nucl. Phys. B. 1974. Vol. 78. P. 1-13.

[47] Ferrara S., Zumino B. Supergauge Invariant Yang-Mills Theories // Nucl. Phys. B. 1974. Vol. 79. P. 413-421.

[48] Salam A., Strathdee J.A. Supersymmetry and Nonabelian Gauges // Phys. Lett. B. 1974. Vol. 51 P. 353-355.

[49] Nath P., Arnowitt R. Generalized Supergauge Symmetry as a New Framework for Unified Gauge Theories // Phys. Lett. B. 1975. Vol. 56 P. 177-180.

[50] Nath P., Arnowitt R. Superfield Densities and Action Principle in Curved Superspace // Phys. Lett. B. 1975. Vol. 56 P. 81-84.

[51] Wess J., Zumino B. Superspace Formulation of Supergravity // Phys. Lett. B.

1977. Vol. 66. № 4. P. 361-364.

[52] Wess J., Zumino B. Superfield Lagrangian for Supergravity // Phys. Lett. B.

1978. Vol. 74. № 1/2. P. 51-53.

[53] Весс Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация. М.: Мир. 1986. 184 с.

[54] Геометрические идеи в физике: Сб. статей. Пер. с англ. Под ред. Ю.И. Манина. М.: Мир. 1983. 240 с

[55] Введение в супергравитацию: Пер. с англ. Под ред. Феррары С. Тейлора Дж. М.: Мир. 1985. 304 с.

[56] Freedman D.Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S. Progress towards a theory of supergravity // Phys. Rev. D. 1976. Vol. 13. P. 3214-3218.

[57] Deser S., Zumino B. Consistent supergravity. // Phys. Lett. B. 1976. Vol. 62. P. 335-337.

[58] Ferrara S., Scherk J., van Nieuwenhuizen P. Locally Supersymmetric Maxwell-Einstein Theory // Phys. Rev. Lett. 1976. Vol. 37, P. 1035-1037.

[59] Ferrara S., Gliozzi F., Scherk J., van Nieuwenhuizen P. Matter Couplings in Supergravity Theory // Nucl. Phys. В. 1976. Vol. 117. P. 333-355.

[60] Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. М.: Мир. 1989. 328 с.

[61] Вайнберг C. Квантовая теория полей. Т. 3. Суперсимметрия. М.: Фазис. 2002. 458 с.

[62] O'Raifeartaigh L. Spontaneous Symmetry Breaking for Chiral Scalar Superfields // Nucl. Phys. B. 1975. Vol. 96. P. 331-352.

[63] Fayet P., Iliopoulos J. Spontaneously Broken Supergauge Symmetries and Goldstone Spinors // Phys. Lett. B. 1974. Vol. 51 P. 461-464.

[64] Dine M., Fischler W., Srednicki M. Supersymmetric technicolor // Nucl. Phys. B. 1981. Vol. 189. P. 575-593.

[65] Горбунов Д С, Дубовский С Л, Троицкий С. В. Калибровочный механизм передачи нарушения суперсимметрии // УФН. 1999. Т. 169. №7. 705-736.

[66] Nilles H.P. Dynamically broken supergravity and the hierarchy problem // Phys. Lett. 115B (1982) 193.

[67] Nilles H.P. Supersymmetry, supergravity and particle physics // Phys. Pept. 1984. Vol. 110. Issues 1-2. P. 1-162.

[68] Affleck I., Dine M., Seiberg N. Dynamical Supersymmetry Breaking in Four-Dimensions and Its Phenomenological Implications // Nucl. Phys. B. 1985. Vol. 256. P. 557-599.

[69] Kaplunovsky V.S. Louis J. Model independent analysis of soft terms in effective supergravity and in string theory // Phys. Lett. B. 1993. Vol. 306 P. 269275.

[70] Binetruy P., Gaillard М. К., Wu Yi-Yen. Modular invariant formulation of multi-gaugino and matter condensation // Nucl. Phys. B. 1997. Vol. 493. P. 27-55.

[71] Randall L., Sundrum R. Out of this world supersymmetry breaking // Nucl. Phys. B. 1999. Vol. 557. 79-118.

[72] Green M.B., Schwarz J.H. Superstring Field Theory // Nucl. Phys. B. 1984. Vol. 243. 475-536.

[73] Giveon A., Porrari M., Rabinovici E. Target Space Duality in String Theory // Phys. Rep. 1994. Vol. 244. 77-202.

[74] Hull C.M., Townsted P.K. Unity of superstrings dualites // Nucl. Phys. B. 1995. Vol. 438. 109-137.

[75] Witten E. Sring theory dynamics in various dimensions // Nucl. Phys. B. 1995. Vol. 443. 85-126.

[76] Грин М. Шварц Дж. Виттен Э. Теория суперструн. Т. 1. Введение. М.: Мир. 1990. 518 с.

[77] Грин М. Шварц Дж. Виттен Э. Теория суперструн. Т. 2. Петлевые амплитуды, аномалии и феноменология. М.: Мир. 1990. 656 с.

[78] Каку М. Введение в теорию суперструн. М.: Мир. 1999. 624 с.

[79] Кетов С.В. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние. 1990. 368 с.

[80] Цвибах Б. Начальный курс теории струн: Пер. с англ. Под ред. и с предисл. И. Я. Арефьевой, В. И. Санюка; Предисл. Д. Гросса. М.: Едиториал УРСС, 2011. 784 с.

[81] Kugo T., Uehara S. Improved superconformal gauge conditions in the N=1 supergravity Yang-Mills matter system // Nucl. Phys. 1983. Vol. 222. P. 125-138.

[82] Kugo T., Uehara S. Conformal and Poincare tensor calculi in N=1 supergravity // Nucl. Phys. 1983. Vol. 226. P. 49-92.

[83] Fradkin E.S., Tseytlin A.A. Conformal supergravity-// Phys.~Rept. 1985. Vol. 119. P. 233-362.

[84] Frolov B.N. Generalized conformal invariance and gauge theory of gravity // Gravity, Particles and Space-time /P. Pronin and G. Sardanashvily eds. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 1996. P. 113-144.

[85] Фролов Б. Н. Группа Пуанкаре-Вейля и теория гравитации Вейля-Дирака // Метафизика. 2017. № 4(26). С. 75-79.

[86] Hooft G. Local conformal symmetry in black holes, standard model, and quantum gravity // Proceedings of the MG14 Meeting on General Relativity. 2017. C15-07-12. P. 3-12.

[87] Горский А.С. Калибровочные теории как теории струн: первые результаты // УФН. 2005. Т. 175. № 11. С. 1145-1162.

[88] Троицкий С.В. Нерешенные проблемы физики элементарных частиц-// УФН. 2012. Т. 182. № 1. С. 77-103.

[89] Глинер Э.Б. Алгебаические свойства тензора энегии-импульса и вакуумноподобные состояния материи // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1965. Т. 49. С. 542-548.

[90] Глинер Э.Б. Раздувающаяся Вселенная и вакуумоподобное состояние физической среды // Успехи физических наук. 2002. Т. 45. С. 213-220.

[91] Brignole A., Luis E.I., Munoz C. Soft supersymmetry breaking terms from supergravity and superstring models // Adv. Ser. Direct. High Energy Phys. 1998. Vol. 18. P. 125-148.

[92] Kors B., Nath P. Hierarchically split supersymmetry with Fayet-Iliopoulos D-terms in string theory // Nucl. Phys. B. 2005. Vol. 711. P. 112-132.

[93] Antoniadis I., Ghilencea D.M., Knoops R. Gauged R-symmetry and its anomalies in 4D N=1 supergravity and phenomenological implications // JHEP. 2015. Vol. 1502. P. 166-189.

[94] Antoniadis I., Auttakit Chatrabhuti, Hiroshi Isono, Rob Knoops. A microscopic model for inflation from supersymmetry breaking // Eur. Phys. J. C. 2019. Vol. 79. No.7, P. 624-662.

[95] Ellis J., Nanopoulos D.V., Olive K.A., Sarunas Verner. A general classification of Starobinsky-like inflationary avatars of SU(2,1)/ SU(2) xU(1) no-scale supergravity // JHEP. 2019. Vol. 1903. P. 99-119.

[96] Ewan D.S. Inflation, supergravity and superstrings // Phys.Rev. D. 1995. Vol. 51. P. 6847-6853.

[97] Hayashi M.J., Watanabe T., Aizawa I., Koichi A. Dilatonic inflation and SUSY breaking in string inspired supergravity // Mod. Phys. Lett. A. 2003. Vol. 18. P. 2785-2794.

[98] Freedman D.Z., Van Proeyen A. Supergravity // Cambridge: Cambridge university press. 2012. 607 P.

[99] Higaki T., Kobayashi T., Seto O. D term inflation and nonperturbative Kahler potential of dilaton // JHEP. 2004. Vol. 0407. P. 35-47.

[100] Kaplunovsky V., Louis J. Field dependent gauge couplings in locally supersymmetric effective quantum field theories // Nucl. Phys. B. 1994. Vol. 422. P. 57-124.

[101] Арефьева И.Я., Волович И.В. Суперсимметрия: Теория Калуцы-Клейна, аномалии, суперструны // УФН Том 146. Вып. 4 Стр. 655-681. 1985.

[102] Duff M.J., Nilsson B.E.W., Pope C.N. Kaluza-Klein supergravity // Phys. Rept. 1986. Vol. 130. P. 1-142.

[103] Freund P.G.O., Rubin M.A. Dynamics of dimensional reduction // Phys. Lett. B 1980. Vol. 97. P. 233-235.

[104] Englert F. Spontaneous compactification of eleven-dimensional supergravity // Phys. Lett. B 1982. Vol. 119. P. 339-342.

[105] Cremmer E., Julia B., Scherk J. Supergravity theory in eleven-dimensions // Phys. Lett. B 1978. Vol. 76. P. 409.

[106] Bars I., MacDowell S.W. Gravity with extra gauge symmetry // Phys. Lett. B 1983. Vol. 129. P. 182-184.

[107] Gursey F., Tze C.H. Octonionic torsion on S(7) and Englert's compactification of D=11 supergravity // Phys. Lett. B 1983. Vol. 127. P. 191-196.

[108] Dundarer R., Gursey F., Tze C.H. Generalized vector products, duality and octonionic identities in D=8 geometry // J. Math. Phys. (N.Y.) 1984. Vol. 25. P. 1496.

[109] Loginov E.K. Spontaneous compactification and nonassociativity // Phys. Rev. D 2009. Vol. 80 P. 124009.

[110] Maldacena J., Nunez C. Supergravity description of field theories on curved manifolds and a no go theorem // Int. J. Mod. Phys. A 2001. Vol. 16. P. 822-855.

[111] Nobuyoshi O. Accelerating cosmologies and inflation from M/Superstring theories // International Journal of Modern Physics A 2005. Vol. 20. P. 1-40.

[112] Арефьева И.Я., Волович И.В., Драгович Б.Г. Спонтанная редукция в многомерных теориях супергравитации (d=10,11) с произвольной сигнатурой // ТМФ. 1987. Том 70. № 3. Стр. 422-431.

[113] Арефьева И.Я., Волович И.В. Многообразия постоянной отрицательной кривизны как вакуумные решения в теории Калуцы-Клейна и суперструнах // ТМФ. 1985. Том 64. № 2. Стр. 329-336.

[114] Townsend P.K. The eleven-dimensional supermembrane revisited // Phys. Lett. B 1995. Vol 350. P. 184.

[115] Witten E. String theory dynamics in various dimensions // Nucl. Phys. B 1995. Vol. 443. P. 85.

[116] Duff M.J. M-theory (The Theory formerly known as strings) // International Journal Of Modern Physics A 1996. Vol. 11 P. 5623.

[117] Schwarz J.H. Lectures on superstring and M-theory dualities // Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.) 1997. Vol. 55. P. 1-32.

[118] Townsend P.K. Brane Surgery // Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.) 1997. Vol. 58 P. 163.

[119] Bergshoeff E., Sezgin E., Townsend P.K. Supermembranes And Eleven-Dimensional Supergravity // Phys. Lett. B 1987. Vol. 189. P. 75.

[120] Russo J.G., Tseytlin A.A. One loop four graviton amplitude in eleven-dimensional supergravity // Nucl. Phys. B 1997. Vol. 508. P. 245.

[121] Green M.B., Vanhove P. D-instantons, strings and M-theory // Phys. Lett. B 1997. Vol. 408 P. 122.

[122] Green M.B., Vanhove P. One loop in eleven dimensions // Phys. Lett. B 1997. Vol. 409. P. 177.

[123] Kiritsis E., Pioline B. On R4 threshold corrections in $IIB$ string theory and (p,q) string instantons // Nucl. Phys. B 1997. Vol. 508. P. 509.

[124] Antoniadis I., Ferrara S., Minasian R., Narain K.S. R4 couplings in M and type II theories on Calabi-Yau spaces // Nucl. Phys. B 1997. Vol. 507. P. 571.

[125] Tseytlin A.A. R4- terms in 11 dimensions and conformal anomaly of (2,0) theory // Nucl. Phys. B 2000. Vol. 584 P. 233.

[126] Grimm T.W., Pugh T.G., Weibenbacher M. On M-theory fourfold vacua with higher curvature terms // Phys. Lett. B 2015. Vol. 743. P. 284-289.

[127] Grisaru M.T., Zanon D. Sigma-model superstring corrections to the EinsteinGilbert action // Phys. Lett. B 1986. Vol. 177. P. 347.

[128] Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter // Phys. Lett. B 1998. Vol. 429. P. 263.

[129] Antoniadis I., Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. New dimensions at a millimeter to a fermi and superstrings at a TeV // Phys. Lett. B 1998. Vol. 436. P. 257.

[130] Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. Phenomenology, Astrophysics and Cosmology of Theories with Sub-Millimeter Dimensions and TeV Scale Quantum Gravity // Phys. Rev. D 1999. Vol. 59 (8). P. 086004.

[131] Duff M.J., Howe P.S., Inami T., Stelle K.S. Superstrings in D= 10 from supermembranes in D= 11 // Phys. Lett. B 1987. Vol. 191 P. 70-74.

[132] Duff M.J. Eleven-dimensional origin of string/string duality: a one-loop test // Nucl. Phys. B 1995. Vol. 452 P. 261-282.

[133] Freedman D., Gibbons G., West P. Ten into four won't go // Phys. Lett. B 1983. Vol. 124. P. 491.

[134] Burinskii A. Weakness of gravity as illusion which hides true path to unification of gravity with particle physics // Int. J. Mod. Phys. D 2017. Vol. 26. № 12. P. 1743022-1-9.

[135] Рубаков В.А. Большие и бесконечные дополнительные измерения // УФН. 2001. Том 171. № 9, С. 913-938.