Расширенные суперсимметричные модели в бигармоническом суперпространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Сутулин, Антон Олегович

• Сутулин, Антон Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сутулин, Антон Олегович

Введение

1 Суперпространство в 2И

1.1 Двумерная супералгебра Пуанкаре.

1.1.1 Редукция N = 2, 41) супералгебры Пуанкаре к N = (4,4), 2В супералгебре Пуанкаре.

1.1.2 Фактор-пространство: общие методы.

1.1.3 Двумерное М = (4,4) суперпространство.

1.2 Бигармоническое суперпространство в 2В.

1.2.1 Центральный базис в бигармоническом суперпространстве.

1.2.2 Аналитическое суперпространство.

1.3 Суперконформная группа.

2 Суперсимметричные М = (4,4) сигма—модели в бигармоническом суперпространстве

2.1 Описание супермультиплетов N = (4,4) материи в бигармоническом суперпространстве.

• 2.1.1 Супермультиплет с твистом (¡га.

2.1.2 Другие супермультиплеты с твистом.

2.1.3 Тензорный мультиплет.

2.1.4 Нелинейный мультиплет.

2.2 Сигма-модельные действия для мультиплетов.

2.2.1 Общие действия для мультиплетов с твистом.

2.2.2 Общие действия для тензорного и нелинейного мультиплетов.

2.2.3 Суперконформные действия.

2.2.4 Массивные деформации общих и суперконформных действий

2.2.5 Дуальные действия.

Взаимодействие между разными типами мультиплетов с твистом

3.1 Описание с явной суперсимметрией.

3.1.1 Общие действия для разных мультиплетов с твистом

3.1.2 Взаимодействие самодуальных мультиплетов с твистом

3.2 Описание со скрытой суперсимметрией.

3.2.1 Связи в суперпространстве П/1»1!2-2).

3.2.2 Общее действие для мультиплета с твистом цга в

3.2.3 Действие для пары мультиплетов с твистом.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расширенные суперсимметричные модели в бигармоническом суперпространстве»

Суперсимметрия, как новый принцип симметрии в физике частиц, была открыта в работах Гольфанда и Лихтмана [1], Волкова и Акулова [2], [3], [4], Весса и Зумино [5], [6]. Главной особенностью этого нового принципа симметрии является объединение частиц разной статистики в обобщенные мультиплеты - супермультиплеты, что позволяет рассматривать суперсимметрию как симметрию между бозонными и фермионными полями. Подобное объединение означает следующее: существуют определенные преобразования, которые переводят бозонные поля в фермионные и наоборот, причем эти преобразования носят групповой характер. В свою очередь, это означает, что параметры соответствующих преобразований должны быть антикоммутирующими числами, т. е. принадлежать алгебре Грассмана. Кроме того, из свойства лоренц-инвариантности вытекает, что они также являются спинорными величинами. В математике объекты, обладающие групповыми свойствами, в которых в качестве параметров используются грассмановы числа, были уже известны [7, 8, 9], и носят теперь название супергрупп. Таким образом, преобразования суперсимметрии представляет собой пример супергруппы.

Простейшая суперсимметрия в четырехмерном пространстве-времени Минковского представляет собой Пуанкаре-суперсимметрию и образует супергруппу Пуанкаре. Ее супералгебра содержит наряду с генераторами группы Пуанкаре дополнительные спинорные генераторы фа , , которые преобразуются по неприводимым представлениям группы Лоренца (1/2, 0) и (0,1/2) и удовлетворяют антикоммутационному соотношению:

Эа,6а} = 2о?йРт, (В.1) где Рт - генератор трансляций.

Изучение моделей теории поля, обладающих А/" = 1 суперсимметрией, показало их улучшенные квантовые свойства, в частности, сокращение числа возможных расходимостей в модели Весса-Зумино [6, 10]. Отсутствие в этой модели квантовых поправок во всех порядках теории возмущений к таким величинам, как масса и заряд, составило основу содержания теорем о неперенормировках. Дальнейшее развитие феноменологического направления привело к построению суперсимметричных версий Стандартной Модели [11, 12, 13] и Моделей Великого объединения [14, 15, 16]. В моделях последнего типа становится возможным решение проблемы иерархии масс. В суперсимметричных моделях возникают новые частицы - суперпартнеры стандартных частиц, которые имеют одинаковые с ними квантовые числа (массу, заряд и т.п.), но противоположную статистику. С другой стороны, из алгебры суперсимметрии следует равенство масс частиц, входящих в один и тот же супермультиплет. Однако суперпартнеры с массами известных частиц не обнаружены. Это приводит к тому, что в реалистичной физической теории, обладающей суперсимметрией, суперсимметрия должна быть спонтанно нарушена при чем таким образом, чтобы сохранялись ее свойства перенормируемости. Несмотря на существование разных механизмов нарушения суперсимметрии [17, 18], вопрос об адекватном методе спонтанного нарушения пока не выяснен.

В теориях сМ = 1 суперсимметрией объединение внутренних симметрий и суперсимметрий носит структуру прямого произведения. В расширенных суперсимметриях становится возможным нетривиальное их объединение [4, 19, 20]. Для этого рассматривается обобщение соотношения (В.1):

С&,&у} = 2 (В.2) в котором на сшшорных генераторах реализуется некоторая группа внутренних симметрий. При этом входящие в супермультиплеты расширенной суперсимметрии частицы обладают разными изоспинами.

Важным свойством соотношений (В.1) (В.2) алгебры суперсимметрии является то, что локализация преобразований суперсдвигов приводит к локальным преобразованиям обычных координат, т.е. к общековариантной группе пространства-времени. Иными словами, в теории с локальной суперсимметрией естественным образом возникает супергравитация [21, 22]. В расширенных теориях супергравитации естественным образом возникают локальные преобразования группы внутренних симметрий, что приводит в конечном счете к объединению гравитационного взаимодействия с остальными типами взаимодействий.

Отметим, что одной из основных мотивировок введения расширенной суперсимметрии было желание выйти за пределы известной теоремы Коулмена - Мандулы [23], согласно которой объединение группы Пуанкаре и группы внутренней симметрии в классе групп Ли такое, что получающаяся при этом физическая теория была бы нетривиальной, невозможно. Обобщение понятия группы Ли до супергруппы Ли позволило объединить преобразования внутренней и пространственно-временной симметрий в теориях с расширенной суперсимметрией нетривиальным образом. В последствие была доказана теорема Хаага-Лопушанского-Сониуса [24], согласно которой алгебра расширенной суперсимметрии (В.2) является единственной возможной градуированной алгеброй Ли, совместной с принципами релятивистской квантовой теории поля.

Принцип суперсимметрии был распространен и на многомерные теории, из которых методами размерной редукции или компактификации типа Калуца-Клейна [25, 26, 27] возникают четырехмерные расширенные суперсимметричные теории Янга-Миллса и расширенные теории супергравитации. Размерность таких пространств определяется требованием, чтобы после редукции не возникали поля слишком высоких спинов (не выше спина 1 в теории Янга-Миллса, и не выше спина 2 в теории гравитации). Так, максимально расширенная суперсимметричная калибровочная теория может быть сформулирована в Л/" = 1, 10 - мерном пространстве-времени [28, 29], а максимально расширеннаяя супергравитация - в Л/* = 1, 11- мерном пространстве-времени [25, 30]. При редукции или компактификации к четырем измерениям им будут соответствовать Л/* — 4 теория Янга-Миллса иЛ/" = 8 супергравитация.

Использование идей суперсимметрии в случае одного измерения привели к возникновению суперсимметричной квантовой механике [31, 32, 33, 34, 35, 36]. В ее рамках становится более ясным понимание некоторых вопросов релятивистской теории. В частности, изучение вопроса о динамическом нарушении суперсимметрии непертурбативными эффектами [37, 38, 39, 40], привело к исследованиям нарушения суперсимметрии в четырехмерном случае инстантонами Янга-Миллса [41, 42, 43]. В расширенной суперсимметричной квантовой механике был обнаружен механизм частичного спонтанного нарушения суперсимметрии при включении в алгебру генераторов центральных зарядов [44, 45, 46].

Суперсимметрия составляет играет важную роль в двумерной теории поля. В первую очередь это связано с развитием струнных и суперструнных теорий. Так, было установлено, что любая конформно-инвариантная модель в двумерном пространстве-времени может рассматриваться как модель некоторой струны или суперструны в калибровке светового конуса или конформной калибровке [47]. Важный класс двумерных теорий составляют нелинейные сигма-модели. Они представляют собой системы, в которых сами бозонные поля выступают в качестве координат некоторого многообразия. Суперсимметричые обобщения таких моделей имеют глубокую связь с геометрией комплексных многообразий. Так, в случае 2й, N = (2, 2) сигма-модельной теории (или 4£), Л/* = 1) соответствует Кэ-лерово многообразие [48], а в случае 21), Л/" = (4,4) (или 41), Л/* = 2) -гипер-Кэлерово многообразие [49].

Исследование двумерных теорий поля привело к открытию более широкого класса двумерных нелинейных сигма-моделей, а именно, нелинейных сигма-моделей, которые включают обобщенный член Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ), или кручение[50, 51]. В последствие стали изучаться сигма-модели с кручением на групповых многообразиях - модели ВЗНВ типа [52]. Использование сигма-моделей подобного типа привело к созданию целого направления в теории струн и суперструн - так называемого сигма-модельного подхода [53, 54]. Как было показано, что суперобобщения ВЗНВ сигма-моделей описывают нетривиальные фоновые многообразия в теории суперструн, требующих конформной инвариантности [55]. Изучение суперсимметричных сигма-моделей дало основы для построения некоторых вполне интегрируемых систем, обладающих соответствующей суперсимметрией, в частности к N — 4 суперрасширению уравнения Лиу-вилля [56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63]. Было показано, что эти модели имеют также приложения к конформной теории поля и к индуцированной двумерной N = 4 супергравитации [64, 65].

Подходящим объектом для реализации группы Пуанкаре является пространство Минковского, которое параметризуется вещественными координатами хт:

114 = (хт), т = 0,1,2,3. (В.З)

Реализация генераторов этой группы в терминах дифференциальных операторов хорошо известна, а ее представлениями являются функции на К4 . Для того чтобы представить спинорные генераторы С}а, (5« алгебры су-персимметри как некоторые дифференциальные операторы, потребовалось введение концепции суперпространства [2, 3, 4, 66]. Суперпространство является обобщением обычного пространства Минковского за счет введения дополнительных антикоммутирующих координат. Простейшим примером суперпространства служит вещественное Л/* = 1 суперпространство: я4'4 = (хт, еа, ва) ■ (В.4)

Функции на суперпространстве называются суперполями. Их разложение по грассмановым переменным ввиду нильпотельтности последних всегда конечно, а коэффициентами этого разложения являются обычные поля, как физические, так и вспомогательные. Преобразования суперсимметрии реализуются в суперпространстве как сдвиги координат: дх = —г {£ - в аа6е ),

56° = еа, 59° = ^, (В.5) где еа , ё° - антикоммутирующие параметры суперсдвигов. Важное свойство суперполей состоит в том, что преобразования суперсимметрии замыкаются на них без использования уравнений движения. Таким образом, явная инвариантная формулировка суперсимметричных теорий вне массовой оболочки достигается в терминах суперполей.

Суперполя реализуют линейные представление алгебры суперсимметрии, которые в общем случае являются приводимыми. Неприводимые представления выделяются за счет наложения дополнительных условий на суперполе. В простейшем случае четырехмерной N = 1 суперсимметрии поля материи описываются киральным суперполем, которое есть комплексное суперполе Ф(ж, в, в), удовлетворяющее связи:

Д*Ф(ж,0,0) = 0. (В.6)

Эта связь, записанная в комплексном киральном суперпространстве:

С412 = (я? , 0а), (В.7) имеет простой смысл: она просто означает, что суперполе Ф(х,в,9) не зависит от соответствующей грассмановой координаты и является произвольным комплексным суперполем, определенным на С4'2. Этот простой пример показывает, что выбор адекватного суперпространства является существенным при описании неприводимых представлений алгебры суперсимметрии в терминах неограниченных суперполей. В случае N = 1 суперсимметрии таких суперпространств только два: вещественное К4'4 и киральное С4'2 суперпространства. Оба этих супериространства оказались важными для построения теорий с Л/* = 1 суперсимметрией, включая суперобобщение теории Янга-Миллса [67, 68, 69] и супергравитацию [70].

Нахождение адекватного суперпространства для теорий с расширенной суперсимметрией представляет собой сложную задачу. Прямым обобщением вещественного N = 1 суперпространства (В.4) является Л/* расширенное вещественное суперпространство:

К4"4ЛГ = (я:т,^Д). (В.8)

Подобным образом возникает и N расширенное киральное суперпространство:

В.9)

Оказывается, что описание расширенной Л/* = 2 суперсимметричной теории в рамках этих суперпространств (В.8) (В.9) (случай Л/" = 2) не может быть достигнуто на языке неограниченных суперполей, которые имеют не только разумную размерность, но и ясную и геометрическую интерпретацию.

Решение вопроса о существовании адекватного суперпространства для теорий с N = 2 суперсимметрией привело к открытию гармонического суперпространства [71]. Главной особенностью гармонического суперпространства является введение новых бозонных координат, называемых гармониками, в качестве независимых переменных, которые дополняют стандартный координатный набор (В.8) N = 2 суперпространства:

НК,4+218 = (хт , 9а1, в{ , и* , щ). (В. 10)

Гармоники ассоциируются с координатами двумерной сферы Э2, которая рассматривается как фактор-пространство группы внутренних автоморфизмов Би{2) по ее подгруппе II(1). Изучение структуры гармонического суперпространства показало существование в нем аналитическое подпространство :

АК4+214 = щ). (В.11) которое имеет вдвое меньший набор грассмановых координат и замкнуто относительно преобразований N = 2 суперсимметрии. Это позволило определить новый тип аналитичности - гармоническую грассманову аналитичность, которая обобщает понятие комплексной ананалитичности в обычном смысле или киральности в случае N = 1 суперсимметрии. Именно в аналитическом суперпространстве удается дать описание супермультиплета материи вне массовой оболочки (гипермультиплета Файе-Сониуса [73, 74]) в терминах неограниченного аналитического суперполя [71]. Это достигается благодаря тому, что общие гармонические суперполя с необходимостью содержат бесконечный набор вспомогательных полей, требуемых для вне массового описания теоремой "запрета" [75, 76]. Отметим также, что в подходе гармонического суперпространства было получено адекватное описание как N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса, так и Л/* = 2 теории супергравитации в четырех измерениях, а также выявлена тесная связь с геометрией комплесных многообразий гипер-Кэлерова и кватернион-Кэлерова типа.

Расширенные N = (4,4) суперсимметричные теории в двух измерениях рассматривались ранее в разных суперпространственных подходах, в частности, в Л/" = (2,2) суперпространстве [77], в стандартном [59] и проективном N = (4,4) суперпространствах [78, 79, 80, 81] В этих подходах использовались N — (2,2) киральные и киральные суперполя с твистом суперполя, а также обычные N = (4,4) суперполя. С другой стороны, учитывая значение гармонического суперпространства в четырехмерных расширенных суперсимметричных теориях, было бы важно иметь описание двумерных теорий с Л/" = (4,4) суперсимметрией на языке гармонических суперполей.

При описание двумерных суперсимметричных теорий, которые могут быть получены размерной редукцией из четырехмерных N — 2 теорий, стандартное гармоническое суперпространство является вполне адекватным. Возникающие при этом теории, в частности, общие нелинейные сигма-модели, описываются двумерным аналогом аналитического суперполя д+ и приводят к общим гипер-Кэлеровым сигма-моделям соответствующего бозонного многообразия. В теориях, получающихся таким способом, отсутствует ВЗНВ член, или член кручения. С другой стороны, двумерные теории, обладающие суперсимметрией, допускают нетривиальные члены кручения. Таким образом, стандартное гармоническое суперпространство не является подходящим для описания теорий этого типа - суперсимметричных нелинейных сигма-моделей с кручением.

Другой интересной задачей в суперсимметрии является построение расширенных версий суперсимметричной квантовой механики [31]. Изучение ее различных вариантов с М = 8 суперсимметией, основанных на муль-типлетах с конечным компонентным составом вне массовой оболочки [82], представляет собой сложную задачу и требует развития суперпространственных методов. Особенностью одномерных суперсимметричных теорий является достаточно широкая свобода в построении их суперконформных расширений, которые связаны с разными суперконформными группами в одномерии [83]. Симметрии этих моделей отражают некоторые особенности многомерных квантовых теорий поля. Обобщение суперконформной группы на группу общих суперковариантных преобразований ведет к возникновению конформной теории супергравитации в одном измерении. При ее взаимодействии с суперконформным или общековариантным обобщением понятия супермультиплета материи, который используется в качестве компенсатора конформных преобразований и их суперсимметричных аналогов, возникает одномерная общековариантная супергравитация. Многие свойства таких моделей оказываются аналогичными свойствами многомерных теорий супергравитации. Изучение реализаций этих групп, и построение соответствующих суперконформных действий как и построение различных версий расширенной супергравитации, также нуждаются в поиске новых суперпространств.

Эти рассуждения приводят к тому, что необходимо найти некоторое обобщение стандартного гармонического суперпространства, которое бы представляло собой наиболее адекватный объект для построения двумерных расширенных Л/* = (4,4) суперсимметричных теорий, включающих класс нелинейных сигма-моделей с кручением. Его построению и применению к описанию этого класса моделей и посвящена настоящая диссертация.

Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение и список литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Сутулин, Антон Олегович

Основные результаты опубликованы в статьях [173] - [179].

В заключении мне бы хотелось выразить свою глубокую признательность научному руководителю Евгению Алексеевичу Иванову за постановку задач и помощь, оказанную при выполнении данной работы. Я благодарен моим друзьям и коллегам С. О. Кривоносу, Б. М. Зупнику, М. М. Цулая и ушедшему от нас А. И. Пашневу за многочисленные обсуждения вопросов, объединенных одним словом- суперсилшетприя.

Я также выражаю слова благодарности в адрес руководства и сотрудников Лаборатории теоретической физики, чья поддержка всегда была одной из составляющих успешной работы.

Заключение

Основной целью проведенных в диссертации исследований было нахождение адекватного формализма для описания расширенных суперсимметричных теорий в двух и одном измерениях. Введение нового типа гармонического суперпространства позволило наиболее эффективно исследовать различные свойства расширенных суперсимметричных сигма-моделей с кручением, а также дать явно суперсимметричное описание для одного из супермультиплетов расширенной суперсимметричной квантовой механики.

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построено бигармоническое суперпространство для расширенной АГ = (4,4) суперсимметричной теории в двух измерениях и для Л/' = 8 суперсимметричной квантовой механики.

2. В рамках двумерного бигармонического супериространства.дано описание четырех разных типов Л/* = (4,4) супермультиплетов с твистом, а также тензорного и нелинейного супермультиплетов. Эти супер-мультиплеты представляются аналитическими супернолями, ограниченными гармоническими связями, и содержат конечный набор компо-нетных полей. Для всех супермультиплетов построены общие суперполевые сигма-модельные действия вне массовой оболочки, отвечающие нелинейным сигма-моделям с кручением, а также соответствующие инвариантные выражения для массовых членов.

3. Найдено новое описание Л/* = (4,4) суперсимметричных сигма-моделей с кручением в терминах пары неограниченных аналитических суперполей с бесконечным набором компонентных полей. Характерной особенностью этого описания является наличие калибровочной инвариантности, которая восстанавливает правильное число физических степеней свободы. Показано, что все суиермультиплеты с конечным набором компонентных полей допускают дуальное описание через неограниченные аналитические суперполя, и построены соответствующие ивариантные суперсимметричные действия в терминах неограниченных суперполей.

4. Получена реализация суперкоформной группы в двумерном бигармо-ническом суперпространстве и построены для всех изученных муль-типлетов как суперконформно-инвариантные действия, отвечающие сигма-моделям типа Весса-Зумино-Новикова-Виттена на групповых многообразиях 811(2) х /7(1), так и их массивные деформации, описывающие модели типа ВЗНВ-Лиувилля. Для всех суперконформных действий найдено посредством преобразования дуальности описание в терминах неограниченных аналитических суперполей.

5. Детально изучена возможность взаимодействия различных N = (4,4) мультиплетов с твистом и показано, что общие сигма-модельные действия, инвариантные относительно N = (4,4) суперсимметрии, включающие зависимость как от любой пары таких мультиплетов, так и от любого их числа, распадаются в сумму сигма-модельных действий для каждого мультиплета. Показано, что различные мультиплеты могут взаимодействовать только через смешанные массовые члены, которые возможны лишь для мультиплетов, принадлежащих самодуальным парам, и найдена наиболее общая форма скалярного потенциала на массовой оболочке для мультиплетов, входящих в самодуальную пару. Рассмотрение этого вопроса также дано в рамках стандартного N = (2, 2) суперпространства в терминах N = (2, 2) суперполей, обладающих скрытой Л/* = (2,2) суперсимметрией.

6. Дано описание (4,8,4) мультиплета N = 8 суперсимметричной квантовой механики в стандартном одномерном гармоническом суперпространстве в терминах N = 4 аналитических суперполей, ограниченных подходящими связями, на которых реализуется дополнительная скрытая А/* = 4 суперсимметрия. Построено Л/" = 8 инвариантное общее супернолевое действие, обладающее явной и скрытой Л/" = 4 суперсим-метриями, составляющими вместе Л/" = 8 суперсимметрию, а также получено наиболее общее выражение для потенциального члена типа Файе-Илиопулоса. Показано, что инвариантность действия относительно еще одрюй дополнительной суперсимметрии, делающей теорию 9 суперсимметричной, возможна только для случая свободного действия.

7. В одномерном бигармоническом суперпространстве дано явно N = 8 суперсимметричное описание (4,8,4) мультиплета в терминах ограниченного аналитического суперполя и получено наиболее общее суперполевое действие вне массовой оболочки для произвольного набора взаимодействующих (4,8,4) мультиплетов. Исходя из требования сохранения понятия аналитичности, найдено суперсимметричное расширение двумерной алгебры Гейзенберга 1т(2), которое содержит оператор цетрального заряда. Найдена единственная форма суперполевого действия, инвариантного относительно всех преобразований полученной супералгебры, за исключением масштабных преобразований, а также построено семейство масштабно-инвариантных действий. Основываясь на принципе сохранения грассмановой бигармонической аналитичности, сформулирована одномерная Л/* = 8 супергравитация в терминах аналитических супертетрад. Для ее усеченной версии, построены как суперполевые, так и компонентные действия для (4, 8,4) мультиплета, обладающие локальной N = 8 суперсимметрией. Показано, что эта конструкция допускает обобщение на случай произвольного набора взаимодействующих аналитических сунерполей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сутулин, Антон Олегович, 2005 год

1. Гольфанд Ю. А., Лихтман Е. П., Расширение алгебры генераторов Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности, Письма в ЖЭТФ., 1971, 13, стр. 452 - 455.

2. Волков Д. В., Акулов В. П., О возможном универсальной взаимодействии нейтрино, Письма в ЖЭТФ., 1972, 16, стр. 621 624.

3. Volkov D. V., Akulov V. P., Is the neitrino a Goldstone partiicle?, Phys.Lett. В., 1973, v. 46, pp. 109 110.

4. Волков Д. В., Акулов В. П., Голдстоуновские поля со спином половина, ТМФ., 1972, 18, стр. 39 г 50. .

5. Wess J., Zuiiiino В.,' Supergauge transformations in four dimensions, Nucl. Phys. В., 1974, v. 70, pp. 39 49.

6. VVess J., Zumino В., A Lagrangian Model Invariant under Gauge Transformations, Phys. Lett. В., 1974, v. 49, pp. 52 54.

7. Березин Ф. А., Метод вторичного квантования, M: Наука, 1965.

8. Березин Ф. А., Кад Г.И., Группы Ли с коммутирующими и антпком-мутирующими параметрами, Мат. сб., 1970, т. 82 (124), N 3 (7), стр. 343-356.

9. Березин Ф. А., Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными, М: МГУ, 1983.

10. Огиевецкий В. И., Мезинческу Л., Симметрии между бозонами и фермионами и супериоля, УФН., 1975, 117, стр. 637 684.

11. Nilles Н. P., Supersymmetry, supergravity and particle physics, Phys. Rep., 1984, v. 110, pp. 1 162.

12. Haber H. E., Kane G. L., The search for siipersymmetry: probing physics beyond the Standard Model, Phys. Rep., 1985, v. 117, pp. 75 451.

13. Barbieri R., Looking beyond the Standard model: the supersyinmetric option, Riv. Nuovo Cim., 1988, v. 11, pp. 1 45.

14. Ainaldi U., de Boer W., Fürstenau H., Comparison of grand unißed theories with electroweak and strong coupling constants measured at LEP, Phys. Lett. B., 1991, v. 260, pp. 447 455. .

15. Ellis J., Kelley S., Nanopoulos D. V., Probing the desert using gauge coupling unification, Phys. Lett. B., 1991, v. 260, pp. 131-137.

16. Giunti C., Kim C. W., Lee U. W., Running coupling constants and grand unilication models, Mod. Phys. Lett. A., 1991, v. 6, pp. 1745 1755.

17. Fayet P., Iliopoulos J., Spontaneously Broken Super gauge Symmetries and Goldstone Spinors, Phys. Lett. B, 1974, v. 51, pp. 461-464.

18. O'Raifeartaigh L., , Nucl. Phys. B., 1975, v. 96, p. 333.

19. Dondi P. H., Sohnius M., , Nucl. Phys. B., 1974, v. 81, p. 317.

20. Sal am A., Strathdee J., , Nucl. Phys. B., 1973, v. 74, p. 127.

21. Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Progress towards a theory of supergravity, Phys. Rev. D., 1976, v. 13, pp. 3214-3218.

22. Deser S., Zumino B., Consistent Supergravity, Phys. Lett. B., 1976, v. 62, pp. 335-338.

23. Coleman S., Mandula J., All Possible Symmetries of S Matrix, Phys. Rev., 1967, v. 159, pp. 1251 1256.

24. Haag R., Lopuszanski J., Sohnius M., All Possible Generators of Super-symmetries of the S-Mcitrix, Nucl. Phys. B., 1975, v. 88, pp. 257-274.

25. Cremmer E., Julia B., Scherk J., Supergravity theory in 11 dimensions, Phys. Lett. B., 1978, v. 76, pp. 409-??.

26. Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Hidden dimensions of space-time, Sei. Amer., 1985, v. 252, N 1, pp. 26-36.

27. Duff M., Nilsson В. E. W., Pope C. N., Kaluza- Klein supergravity, Phys. Rep., 1986, v. 130, N 1 pp. 1-142.

28. Brink L., Scherk J., Schwarz J. II., Supcrsymmetric Tung-Mills theory, Nucl. Phys. В., 1977, v. 121, pp. 77-??

29. Gliozzi F., Olive D., Scherk J., Supersyrnmetry, supergravity theories and the dual spinor model, Nucl. Phys. В., 1977, v. 122, pp. 253-??.

30. Cremmer E., Julia В., The 50(8) supergravity, ?? Nucl. Phys. В., 1979, v. 159, N 1, pp. 141-212.

31. Witten E., Dynamical Breaking of Supresymmetry, Nucl. Phys. В., 1981, v. 188, pp. 513 554.

32. Witten E., Constraints on Supersyrnmetry Breaking, Nucl. Phys. В.,1982, v. 202, pp. 253 316.

33. Claudson M., Halpern M. В., Supersymmetric Ground State Wave Functions, Nucl. Phys. В., 1985, v. 250, pp. 689 715.

34. Лкулов В. П., Пашнев A. PL, Суперсиммтеричная Квантовая Механика и Спонтанное Нарушение Суперсиммтерии на Квантовом Уровне, ТМФ, 1985, т. 65, стр. 84 92.

35. Cooper F., Freedman В., Aspects of Supersymmetric Quantum Mechanics, Ann. Phys., (N.Y), 1983, v. 146, pp. 262 288.

36. Ivanov E., Krivonos S., Leviant V., Geometric Superfield Approach to Superconformal Mechanics, J. Phys. A. Math. Gen., 1989, v. 22, pp. 4201- 4222.

37. Salomonson P., van Holten J. W., Ferminic Coordinates and Supersyrnmetry in Quantum Mechanics, Nucl. Phys. В., 1982, v. 196, pp. 509 -531.

38. Abbott R. В., Estimating Ground State Energies in Supersymmetric Quantum Mechanics: (1) Broken Case, Z. Phys. C., 1983, v. 20, pp. 213- 225.

39. Abbott R., Zakrzewski W. J., Estimating Ground State Energies in Supersymmetric Quantum Mechanics: (2) Unbroken Case, Z. Phys. C.,1983, v. 20, pp. 227 236.

40. Khare A., Maharana J., Supersymmetry Breaking in Quantum Mechanics, Z. Phys. C., 1984, v. 23, pp. 191 194.

41. В айн штейн А. И., Захаров В. И., Шифман М. А., Иистантоны против суперсимметрии, УФН, 1985, т. 140, стр. 683 707.

42. Affleck I., Dine M., Seiberg N., Dynamical Supersymmetry Breaking in Chiral Theories, Phys. Lett В., 1984, v. 137, pp. 187 193.

43. Affleck I., Dine M., Seiberg N., Calculable Nonperturbative Supersymmetry Breaking, Phys. Rev. Lett., 1984, v. 52, pp. 1677 1680.

44. Pashnev A. I., One-dimensional Supersymmetric Quantum Mechanics with N¿=2, Theor. Math. Phys., 1986, v. 69, pp. 311-315.

45. Curtright T. L., Geometrostasis and Torsion in Covariant Superstrings, Phys. Lett В., 1985, v. 161, pp. 91 95.

46. Zumino В., Supersummetry and Kahller Manifolds, Phys. Lett В., 1979, v. 87, pp. 203.

47. Alvarez-Gaume L., Freedman D. Z., Geometrical structure and the ultraviolet fîniteness in the supersymmetric sigma models, Comm. Math. Phys., 1981, v. 80, pp. 443- 451.

48. Wess J., Zumino В., Consequences of anomalous Ward identities, Phys.Lett В., 1971, v. 37, pp. 95- 97.

49. Witten E., Global aspects of current algebra, Nucl. Phys., 1983, v. 223, pp. 422- 432.

50. Witten E., Non-Abelian bosonization in two dimensions, Comm. Math. Phys., 1984, v. 92, pp. 455-472.

51. Hull С. M., Lectures on non-linear sigma models and strings, Cambridge, England, 1987, Preprint/DAMPT, pp. 1-102.

52. Tseytlin A. A., Sigma model approach to string theory, Intern. Л. Mod. Phys. A., 1989, v. 4, pp. 1257-1318.

53. Callan C., Harvey J., Strominger A., World Sheet Approach to Heterotic Instantons and Solitons, Nucl. Phys. В., 1991, v. 359, pp. 611-634.

54. Ivanov E., Krivonos S., N=4 Superliouville Equation, J. Phys. A: Math, and Gen., 1984, v. 17, L671.

55. E. A. Ivanov, S. O. Krivonos, N=4 Superextension of the Liouville Equation with Quqternionic Structure, Teor. Mat. Fiz., 1985, v. 63, pp. 230243. Theor. Math. Phys., 1985, v. 63, p. 477].

56. Ivanov E., S. O. Krivonos S., Leviant V. A new class of superconformal sigma models with Wess-Zumino action, Nucl. Phys. В., 1988, v. 304, p. 601.

57. Gorovoy O., Ivanov E., Superfield ¿ict.ions for N — 4 WZNW-Liouville systems, Nucl. Phys. В., 1992, v. 38, pp. 394-412.

58. Di Vecchia P., Ferrara S. Classical Solutions in Two-Dimensional Super-symmetric Field Theories, Nucl. Phys. В., 1977, v. 130, pp. 93-104.

59. Witten E., Supersymmetric Form of the Nonlinear а Model in Two Dimensions, Phys. Rev. D, 1977, v. 16, pp. 2991-2994.

60. Olshanetsky M. A., Supersymmetric Two-Dimensional Toda Lattice, Comm. Math. Phys., 1983, v. 88, pp. 63-76.

61. Савельев M. В. Интегрируемые супермногообразия и связанные .с ними нелинейные уравнения, ТМФ, 1984, т. 59, стр. 367-372.

62. Kounnas С., Porrati М., Rostand В. On N=4 Superliouville Theory, Phys. Lett. В., 1991, v. 258, pp. 61-69.

63. A. Sevrin, K. Thielemans, W. Troost Induced and Effective Gravity Theories in D=2, Nucl. Phys. В., 1993, v. 407, pp. 459-512.

64. Salain A., Strathdee J., Super-Gauge Tmnsformations, Nucl. Phys. В., 1974, v. 76, pp. 477-482.

65. Ivanov E. A., On the Geometric Meaning of the N = 1 Yung-Mills Prepotential, Phys. Lett. B., 1982, v. 117, pp. 59-63.

66. Ivanov E. A., Intrinsic Geometry of the N = 1 Supersymmetric Yang-Mills Theory, J. Phys. A., 1983, v. 16, pp. 2571-2586.

67. Rosly A. A., Geometry of N = 1 Yang-Mills Theory in Curved Superspace, J. Phys. A., 1982, v. 15, pp. 1663-1667.

68. Ogievetsky V. I., Sokatchev E. S., Structure of Supergravity Group, Phys. Lett. B., 1978, v. 79, pp. 222-224.

69. Galperin A., Ivanov E., Kalitzin S., V. Ogievetsky V., Sokatchev E., Unconstrained N = 2 Matter, Yang-Mills and Supergravity Theories in Harmonic Superspace, Class. Quant. Grav., 1984, v. 1, pp. 469-498.

70. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev, "Harmonic Superspace", Cambridge University Press, Cambridge 2001, p. 306.

71. Sohnius M. F., Supersymmetry and Central Charges, Nucl. Phys. B., J 1978, v. 138, pp. 109-121.

72. Sohnius M. F., Stelle K. S., West P. C., Representations of Extended Supersymmetry, In: "Supergravity and Superspace" Ed-rs S. Howking, M. Rocek, Cambr. Univ. Press, 1981, pp. 283-330.

73. Siegel W., Rocek M., On Off-Shell Supermultiplets, Phys. Lett. B.,1981, v. 105, pp. 278-279.

74. Rivelles V. O., Taylor J. G., No-Go Theorems for Higher Dimensional Supersymmetries and Supergravities, Phys. Lett. B., 1983, v. 121, pp. 37-42.

75. Gates S. J. Jr., Hull C., Rocek M., Twisted Multiplets and New. Super-symmetric Non-Linear sigma models, Nucl. Phys. B, 1984, v. 248, pp. 157-186.

76. Rocek M., Schoutens K., Sevrin A., Off-shell WZW in Extended Superspace, Phys. Lett. B., 1991, v. 265, pp. 303-306.

77. Rocek M., Ahn C., Schoutens K., Sevrin A., Superspace WZW models and black holes, IASSNS-HEP-91/69, ITP-SB-91-49, LBL-31325,UCB-PTH-91/50, Oct. 1991, Published in Trieste HEP CosmoL, 1991, pp. 9951006.

78. BuscherT., LindstrômU., Rocek M., New Supersymmetric Sigma Models with Wess-Zumino Terms, Phys. Lett. B., 1988, v. 202, p. 94.

79. U. Lindstrôm, I.T. Ivanov, M. Rocek, New N=4 superûelds and sigma models, Phys. Lett. B., 1994, v. 328, pp. 49-54.

80. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, O. Lechtenfeld, ABC of N=8, d=l supermultiplets, Nucl. Phys. B., 2004, v. 699, pp. 226-252.

81. A. Van Proeyen, Tools for supersymmetry, Lectures in the spring school in Calimanesti, Romania, April 1998, hep—th/9910030].

82. Delduc F., Sokatchev E., Superparticle with Extended world-line Super-symmetry, Class. Quant. Grav., 1992, v. 9, pp. 361-376.

83. S.J. Gates Jr., S.V. Ketov, 2D (4,4) Hypermultiplets I, Phys. Lett. B., 1998, v. 418, pp. 111-118.

84. S.J. Gates Jr., S.V. Ketov, 2D (4,4) Hypermultiplets. II: Field Theory and Origins of Dimlities, Phys. Lett. B., 1998, v. 418, pp. 119-124.

85. E. A. Ivanov, SU(2) x SU(2) Harmonic Seperspace and (4,4) Sigma Models, Nucl. Phys. A. (Proc. Suppl.), 1997, v. 52, pp. 354-356.

86. S.J. Gates Jr., L. Rana, Manifest (4,0) Supersymmetry, Sigma Models and The ADHM Instaton Construction, Phys. Lett. B., 1995, v. 345, pp. 233-241.

87. R. Dhanawittayapol, S. J. Gates, Jr., L. Rana, A Canticle on (4,0) Supergravity-Scalar Multiplet Systems for a "Cognoscente", Phys. Lett. B., 1996, v. 389, pp. 264-272.

88. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, Superspace Actions and Duality-Transformations for N=2 Tensor Multiplets, Yad. Fiz., 1987, v. 45, pp. 245-257.

89. Ph. Spindel, A. Sevrin, W. Troost, A. Van Proeyen, Complex Structures on Parallelized Group Manifolds and Supersyrnmetric Sigma Models, Phys. Lett. B., 1988, v. 206, p. 71.

90. Ph. Spindel, A. Sevrin, W. Troost, A. Van Proeyen, Extended Supersyrnmetric Sigma Models on Group Manifolds. 1. The Complex Structures, Nucl. Phys. B., 1988, v. 308, p. 662.

91. A. Sevrin, W. Troost, A. Van Proeyen, P. Spindel, Extended Supersyrnmetric Sigma Models on Group Manifolds. 2. Current Algebras, Nucl. Phys. B., 1988, v. 311, p. 465.

92. A. Sevrin, W. Troost, A. Van Proeyen, Superconformal algebras in two-dimensions with N=4, Phys. Lett. B., 1988, v. 208, p. 447.

93. M. Ademollo, L. Brink, A. D'Adda, R. D'Auria, E. Napolitano, S. Sciutto, E. Del Giudice, P. Di Vecchia, S. Ferrara, F. Gliozzi, R. Musto, R. Pet-torino, Dual String with U( 1) Color Symmetry, Nucl. Phys. B., 1976, v. Ill, pp. 77-110.

94. K. Schoutens, O(N) Extended Superconformai Field Theory in Superspace, Nucl. Phys. B., 1988, v. 295, p. 634.

95. E. A. Ivanov, S. O. Krivonos, V. M. Leviant, Quantum N=3N=4 Sii-perconformal WZW Sigma Models, Phys. Lett. B., 1989, v. 215, p. 689; Phys. Lett. B (Erratum)., 1989, v. 221, p. 432.

96. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev, Conformai Invariance in Harmonic Superspace, Quantum Field Theory and Quantum Statistics, ed C. Isham , 1986 (Bristol: Adam Hilger), pp. 233-248.

97. W. Siegel, Some Extended Supersyrnmetric Two-Dimensional Scalar Multiplets, Class. Quant. Grav., 1985, v. 2, L41.

98. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev, Gauged Field Geometry from Complex and Harmonic Analyticities. Hyperkahler Case, Ann. Phys., 1988, v. 185, p. 22.

99. F. Delduc, S. Kalitzin, E. Sokatchev, Geometry of Sigma Models with Heterotic Supersymmetry, Class. Quant. Grav., 1990, v. 7. pp. 1567-1582.2.