Нелинейные динамические явления в длинном джозефсоновском переходе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Яшкевич, Екатерина Александровна

• Яшкевич, Екатерина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Яшкевич, Екатерина Александровна

Введение.

Глава 1. Джозефсоновский переход.

Глава 2. Математическая модель длинного джозефсоновского перехода.

2.1. Математическая формулировка задачи в стационарном случае.

2.2. Математическая формулировка задачи в нестационарном случае.

2.3. Приближения, использованные при формулировке задачи.

Глава 3. Стационарные состояния длинного джозефсоновского перехода.

3.1. Множественность решений граничной задачи стационарного уравнения sin-Гордона.

3.2. Устойчивость решений: симметричные и несимметричные состояния.

3.3. Потенциал Гиббса: макроскопическое квантование и переходы между состояниями.

3.4. Макроскопическое квантование потока.

Глава 4. Нестационарные состояния длинного джозефсоновского перехода.

4.1. Бифуркации на параметрической плоскости Н0 - (3.

4.2. Сосуществование стационарных и нестационарных состояний в длинном джозефсоновском переходе.

4.3. Макроскопическое квантование потока в нестационарном случае

Глава 5. Эффект «бабочки Брэдбери» в длинном джозефсоновском переходе.

5.1. Релаксация в нелинейной системе.

5.2. Внезапные возмущения.

5.3. Эффект «бабочки Брэдбери».

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные динамические явления в длинном джозефсоновском переходе»

Актуальность проблемы.

Одним из самых ярких и практически важных явлений в физике сверхпроводимости являются эффекты Джозефсона, которые открыли новые горизонты для многочисленных применений сверхпроводимости: системы с джозефсоновскими контактами уже активно применяются в сверхпроводящей электронике. Джозефсоновский контакт может работать в качестве детектора или смесителя в высокочастотной электронике. С помощью джозефсоновских контактов был разработан первичный термометр для криогенной области, в которой резкие переходы в некоторых веществах используются для получения реперных (постоянных) точек температуры. Новая техника используется в компараторах тока, для измерений радиочастотной мощности и коэффициента поглощения, а также для измерений частоты. Она применяется также в фундаментальных исследованиях, таких, как измерение дробных зарядов атомных частиц и проверка теории относительности. На джозефсоновских переходах основаны сверхпроводящие квантовые интерферометры или сокращенно сквиды (SQUID). Их большие преимущества перед другими приборами для измерения магнитных полей - сверхвысокая чувствительность и возможность бесконтактных измерений. Это позволяет регистрировать очень слабые магнитные поля, связанные со слабыми электрическими токами, возникающими в живых организмах. Удается регистрировать магнитокардиограммы, магнитоэнцефалограммы и т.д. В геофизике с помощью сквид-магнетометров можно вести геологическую разведку с самолета или спутника, изучать извержения вулканов и предсказывать землятресения.

В настоящее время перед электроникой встает много задач, главными из которых являются увеличение интеграции и плотности размещения элементов, понижение энерговыделения, обеспечение простых архитектурных решений. Идея использования джозефсоновских переходов в качестве элементной базы компьютеров появилась уже довольно давно. Открывается возможность использования джозефсоновских структур в качестве элементов памяти и логики электронных вычислительных устройств, в которых информация передается и хранится в джозефсоновских структурах в виде квантов магнитного потока (флуксонов). Флуксоны удивительно устойчивы, их можно хранить, перемещать в нужном направлении и приводить во взаимодействие с электронными приборами, благодаря чему флуксон может служить битом в электронных системах обработки информации. Подобные операции можно проводить с исключительно высокими скоростями (сотни Гигагерц) и чрезвычайно малыми затратами энергии.

В последнее время широко обсуждается возможность квантовых вычислений, которые будут производиться с помощью двухуровневых квантовых систем - базовых элементов квантового компьютера. Такие двухуровневые системы называются кубитами (квантовыми битами), по аналогии с битами, которые используются в современных компьютерах. Эволюция по законам квантовой механики в системах кубитов может эмулировать процесс вычисления, причем эффективность подобного подхода принципиально превосходит классические способы вычислений. Структуры с джозефсоновскими контактами рассматриваются как одни из самых перспективных для реализации базового элемента таких компьютеров. Современная технология позволяет производить цепи из миллионов транзисторов и джозефсоновских контактов. Поэтому квантовый бит на основе таких элементов будет легко тиражировать для создания квантового компьютера из 100-1000-10000 элементов.

Флуксоны в длинных джозефсоновских переходах (ДЦП) дают возможность практического применения устройств, основанных на их проникновении и взаимодействии. Детальное изучение динамики джозефсоновских вихрей (флуксонов) является важной задачей для понимания движения магнитного потока и связанных с ним явлений, возникающих в сверхпроводниках. В связи с этим, электромагнитные свойства ДДП являются предметом интенсивных исследований последних четырех десятилетий.

ДДП являются ярким примером нелинейных систем, при помощи которых можно изучать на только такие нелинейные явления, как проникновение, движение и взаимодействие флуксонов, но и такого интересного и немаловажного явления, как динамический хаос. Благодаря динамической природе хаотических режимов и их чувствительности по отношению к малым возмущениям они допускают эффективное управление посредством внешнего контролируемого воздействия. Целью такого воздействия может быть реализация в системе периодического режима вместо хаоса или попадание в заданную область фазового пространства. Одно из возможных приложений хаоса состоит в использовании генерируемых динамическими системами хаотических сигналов в целях коммуникации. Благодаря хаотической природе сигнала открываются новые возможности кодирования информации, которая становится труднодоступной для перехвата.

Динамический хаос может быть использован в коммуникационных системах в качестве несущих информацию колебаний. Его с полным основанием можно назвать новым типом носителя информации для систем связи.

Флуксоны в ДДП могут совершать хаотическое движение. Компьютерные вычисления, выполненные Soerensen и подтвержденные в дальнейшем работами Yeh и Filatrella , доказали наличие динамического хаоса в ДДП в отсутствии случайной внешней силы. Иными словами, причиной нерегулярности и непредсказуемости является собственная динамика системы, а не влияние шумов и внешних возмущающих факторов. Такое явление является крайне нежелательным в электронных устройствах, т.к. динамический хаос может являться источником шума и ограничивать тем самым их чувствительность.

Цель работы заключалась в исследовании при помощи численного моделирования нелинейных явлений, возникающих в ДЦП.

Согласно с этим были поставлены следующие задачи:

1. Определение параметрических областей нестационарных состояний. Построение бифуркационной кривой, ограничивающую область в параметрической плоскости ток смещения - внешнее магнитное поле (fi-H0), внутри которой реализуются нестационарные (регулярные и хаотические) состояния ДЦП.

2. Исследование нестационарных состояний с точки зрения динамического хаоса.

3. Определение области динамического хаоса в пространстве параметров р-Н0 для переходов различной длины,

4. Детальное исследование влияния начального возмущения на асимптотические состояния ДЦП.

Научная новизна.

1. Впервые численно найдены области существования стационарных и нестационарных состояний для джозефсоновских переходов различной длины в пространстве параметров ток смещения - внешнее магнитное поле.

2. Впервые показано, что области существования стационарных и нестационарных состояний при определенных значениях Но и Р перекрываются, образуя области сосуществования стационарных и нестационарных состояний. Внутри областей сосуществования одновременно реализуются стационарные и нестационарные состояния ДЦП, что является особенностью нелинейных систем.

3. Впервые при помощи численного интегрирования найдены параметрические области, в которых может существовать динамический хаос.

4. Впервые исследовано влияние внезапных возмущений на эволюцию ДЦП, в частности показано, что на выбор системой конкретного асимптотического состояния влияет начальное возмущение, даже в -случае, когда оно мало и быстро затухает со временем. Такое поведение систем названо эффектом «бабочки Бредбери». 5. Впервые показано, что в случае ДДП происходит нарушение основного принципа теории возмущений, а именно, асимптотические состояния возмущенной систем должны совпадать с начальным состоянием. Это нарушение обусловлено эффектом «бабочки Бредбери». Научная и практическая значимость работы.

Научная значимость работы заключается в обнаружении эффекта «бабочки Бредбери», суть которого состоит в том, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения.

Практическую ценность полученные результаты могут иметь при разработке и создании джозефсоновских источников излучения, а также элементов компьютерной памяти и логики, основанных на совершенно новых принципах передачи и обработки данных с использованием джозефсоновских структур.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ.

В первой главе приведен обзор теоретических и экспериментальных работ, посвященных исследованию электромагнитных свойств и нелинейных явлений, возникающих в ДДП. В частности большое внимание уделено проблеме динамического хаоса, возникающего в джозефсоновских переходах в отсутствии случайной внешней силы. В конце обзора дана постановка задачи.

Во второй главе сформулирована математическая модель, описывающая динамику джозефсоновского перехода в стационарном и нестационарном случае. Описаны приближения, допущенные при формулировки задачи.

В третьей главе, в п.3.1 дана математическая формулировка задачи, отмечена проблема множественности решений граничной задачи стационарного уравнения sin-Гордона. В п.3.2 описано решение проблемы устойчивости стационарных состояний по отношению к малым возмущениям. В п.3.3. рассмотрена проблема устойчивости решений с термодинамической точки зрения. Показано, что устойчивыми будут являться те решения, которые соответствуют минимуму термодинамического потенциала Гиббса. В п.3.4 исследованы нестационарные состояния -хаотические и регулярные - с точки зрения квантования магнитного потока.

В четвертой главе, в п.4.1 при помощи численного интегрирования стационарной задачи sin-Гордона найдены области с определенным числом решений на параметрической плоскости J3 - Н0, В п. 4.2. построена бифуркационная кривая - линия, ограничивающая область существования стационарных состояний в длинном джозефсоновском переходе. Эта линия разбивает параметрическую плоскость fi-Ho на две области так, что выше кривой стационарных состояний системы нет, также построена бифуркационная кривая, представляющая собой нижнюю границу на параметрической плоскости /5-Н0 существования нестационарных состояний. Область, ограниченная двумя бифуркационными кривыми, является областью сосуществования стационарных и нестационарных состояний в ДДП. Используя определение показателя Ляпунова, были вычислены и построены области хаоса в пространстве параметров Р~Н0. В п.4.3 рассмотрены нестационарные состояния - регулярные и хаотические - с точки зрения квантования магнитного потока.

В пятой главе, в п.5.1 дано определение и аналитическое выражение времени релаксации в нелинейных системах. В п.5.2. дано определение внезапных возмущений и показаны виды возмущений, используемых при решении поставленной задачи. В п.5.3. описан эффект «бабочки Брэдбери», суть которого состоит в том, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения, даже в случае, когда начальное возмущение мало и быстро затухает со временем.

В заключении сформулированы основные выводы данной работы. Положения, выносимые на защиту.

1. Впервые обнаружено наличие областей в пространстве параметров ток смещения - внешнее магнитное поле {fi-IIo), в которых одновременно реализуются стационарные и нестационарные состояния ДЦП. Эти области были названы областями сосуществования.

2. Показано, что состояния динамического хаоса появляются сначала именно в области сосуществования, и при малых значениях длины перехода L в основном сосредоточены в этой области. При увеличении внешнего поля #<?, области хаоса выходят из области сосуществования, распространяясь в область нестационарных состояний.

3. Исследовано влияние внезапных возмущений на асимптотические состояния ДЦП. Показано, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения, даже в случае, когда начальное возмущение мало и быстро затухает со временем. Это поведение системы названо эффектом «бабочки Брэдбери» (the "Bradbury Butterfly" effect). Изменение вида начального возмущения влияет на выбор асимптотического состояния, но не изменяет характер процесса, проходящего в системе в целом.

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на международных конференциях: XXXIX Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, Россия, апрель 9-13, 2001; XL Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», тезисы доклада секции физика низких температур, фазовых переходов и магнетизма; Новосибирск, Россия, апрель, 2002; I Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам, Новосибирск, Россия, 15-16 октября, 2003; II Сибирский семинар по сверхпроводимости и смежным проблемам, Красноярск, 1 - 2 декабря, 2004; III Сибирский семинар по высокотемпературной сверхпроводимости и смежным проблемам, Омск, 20-21 сентября, 2005; Russia-Korea Seminar, Москва, 7-8 февраля, 2006.

Всего по теме диссертиции опубликовано 6 работ.

1. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Сосуществование стационарных и нестационарных состояний в длинных джозефсоновских переходах // Вестник Омского университета. - 2001. - в. 20. - №2. - стр. 22-24.

2. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Динамический хаос в длинных джозефсоновских переходах // Вестник Омского университета. - 2004. - в.ЗЗ. - №3.- стр. 63-64.

3. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Эволюция состояний длинного джозефсо-новского перехода при действии внезапного возмущения // Вестник Омского университета. - 2006. - в. 39. - № 1. - стр. 30-32.

4. Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Влияние начальных возмущений на асимптотические состояния длинного джозефсоновского перехода // Омский научный вестник. - 2006. - в. 39. - №5. - стр. 60-63.

5. Yugay K.N., Yashkevich Е.А. The Bradbury butterfly effect in long Jo-sephson junctions // www.springerlink.com/content/86g5860616h84153.

6. Yugay K.N., Yashkevich E.A., Kim J.U., Huh Y. Nonlinear phenomena and macroscopic quantization in long Josephson junctions // J. Korean Phys. Soc. -2005.- v.46. - №6.-pp. 1418-1424.

Личный вклад. В работах [1-5], выполненных в соавторстве с научным руководителем, личный вклад автора состоял в получении всех результатов, выносимых на защиту. В работе [6] личный вклад автора состоял в выполнении численных расчетов, участии в постановке задачи и в обсуждении полученных результатов.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Яшкевич, Екатерина Александровна

Основные результаты, полученные в ходе исследования нелинейных динамических явлений в ДДП, можно сформулировать следующим образом:

1. При помощи численного интегрирования уравнения sin-Гордон, в параметрической плоскости /3-Н0 была построена бифуркационная кривая - линия, ограничивающая область существования нестационарных состояний в длинном джозефсоновском переходе. Эта линия разбивает параметрическую плоскость /3-Н0 на две области так, что ниже данной бифуркационной кривой реализуются только стационарные состояния системы. Область, ограниченная бифуркационными кривыми, соответствующих областям существования стационарных и нестационарных состояний, является областью сосуществования стационарных и нестационарных состояний в ДДП. Внутри полученной области одновременно реализуются стационарные и нестационарные состояния, что характерно только для нелинейных систем, к которым относятся джозефсоновские переходы.

2. Исследованы свойства области сосуществования:

• было показано, что каждого конкретного перехода эта область своя, другими словами, она зависит от длины перехода L. С увеличением длины перехода L область сосуществования локализована в области < 1. При увеличении внешнего магнитного поля Но бифуркационные кривые сливаются, образуя одну кривую, разделяющую параметрическую область (З-Но на две области - стационарных и нестационарных состояний.

• при увеличении коэффициента диссипации у область сосуществования сужается, а в некоторых точках бифуркационные кривые, соответствующие нестационарным и стационарным состояниям, сливаются.

3. Используя определение показателя Ляпунова, были вычислены и построены области хаоса в пространстве параметров fi-Ho для переходов различной длины. Расчеты показывают, что состояния динамического хаоса появляются сначала именно в области сосуществования, образуя узкую полоску хаоса, прижимающуюся к нижней бифуркационной кривой, и при малых значениях длины перехода L в основном сосредоточены в этой области. При увеличении внешнего поля Н0, области хаоса выходят из области сосуществования, распространяясь в область нестационарных состояний.

4. Проведен детальный анализ влияния начального возмущения на поведение системы.

• Показано, что выбор системой конкретного асимптотического состояния определяется видом начального возмущения, даже в случае, когда начальное возмущение мало и быстро затухает со временем. Это поведение системы названо эффектом «бабочки Брэдбери» (the "Bradbury Butterfly" effect).

• Вид невозмущенного начального состояния не имеет существенного значения; выбором возмущения можно получить в общем случае все возможные виды асимптотических состояний.

• Изменение вида начального возмущения влияет на выбор асимптотического состояния, но не изменяет характер процесса, проходящего в системе в целом.

Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Югаю Климентию Николаевичу за внимание и интерес к работе.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Яшкевич, Екатерина Александровна, 2006 год

1. Anderson P.W., Rowell J.M. Probable observation of the Josephson superconducting tunnel effect // Phys. Rev. Lett. - 1963. - V. 10. - P.230.

2. Josephson B.D. Possible new effects in superconductive tunneling // Phys. Lett. 1962. - V. 1. - №7. - P. 251 -253.

3. Shapiro S. Josephson currents in superconducting tunneling: The effect of microwaves and other observations // Phys. Rev. Lett. 1963. - V.l 1. - P. 80.

4. Taylor B.N., Parker W.H., Langenberg D.N. On the use of the ac Josephson effect to maintain standards of electromotive force // Metrologia. 1967. -ЖЗ.-Р.89.

5. Fulton T.A., Dynes R.C. and Anderson W. The flux shuttle a Josephson junction shift register employing single flux quanta // Proc. of IEEE. -1973.-V. 161.-P. 28-35.

6. Zappe H.H. A single flux quantum Josephson junction memory cell // Appl. Phys. Lett. 1974. - V.25. - P. 424-426.

7. Shnirman A., Schon G., Hermon Z. Quantum manipulations of small Josephson junctions // Phys. Rev. Lett. 1997. - V.79. - P.2371

8. Averin D.V. Adiabatic quantum computation with Cooper pairs // Solid State Commun. 1998. - V. 105. - P.659.

9. Ioffe L.B., Geshkenbein V.B., Feigelman M.V., Fauchere A.L., Blatter G. Quiet sds Josephson junctions for quantum computing // Nature (London). -1999.-V.398.-P.679.

10. Makhlin Y., Schon G., Shnuptan A. Josephson junction qubits // Nature (London).- 1999. -№386.-P.305.

11. Mooij J.E., Orlando T.P. Josephson persistent current qubit // Science. -1999.-№285.-P. 1036.

12. Nakamura Y., Pashkin Y.A., Tsai J.S. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-Cooper-pair box // Nature (London). 1999. -№ 398.-P.786.

13. Benett C. Quantun information and computation // Phys. Today. 1995. -V.48. - № 10.-P. 24.

14. Barenco A. Quantum physics and computers // Contemp. Phys. 1996. -№ 37.-P. 375.

15. Aharonov D. Annual Reviews of Computational Physics. Singa-pore.:World Scientific, 1998.

16. DiVincenzo D. Quantum computation // Science. 1995. - № 270. - P. 255.

17. Бароне А., Патерно Дж. Эффекты Джозефсона. М.: Мир, 1984. - 639 с.

18. Pedersen N.F., Trullinger S.E., Zaharov V.E., Pokrovsky V.L. Solitons. -Amsterdam: Elsevier, 1986.

19. Парментье P., Лонгрен К., Скотт Э. Солитоны в действии. М.: Мир, 1981.

20. Gmnbech-Jensen N., Samuelsen M.R., Lomdahl P.S. Phys. Rev. B. 1991. - V.43. - №12. - P.799.

21. Ustinov A.V., Malomed B.A., and Thyssen N. Soliton trapping in a periodic potential: experiment // Phys. Lett. A. 1997. - V. 233. - P. 239-244.

22. Wallraff A., Koval Y., Levitchev M., Fistul M.V. J.Low Temp. Phys. -2000.-V.118.-P.543.

23. Scott A. Nonlinear science: Emergence and Dynamics of Coherent Structures. Oxford: Clarendon, 1999.

24. Kivshar Y.S., Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems // Rev. Mod. Phys. 1989. - V. 61. - P. 763-915.

25. Filatrella G., Malomed B.A. and Parmentier R.D. Threshold analysis of the inverse ac Josephson Effect // Phys. Lett. A. 1993. - V. 180. - P. 346-349.

26. Ustinov A.V. and Malomed B.A. Observation of progressive motion of ac-driven solitons // Phys. Rev. B. 2001. - V.64. - P. 020302.

27. Fistul M.V. and Ustinov A.V. Librations states of a nonlinear oscillator: Resonant escape of a pinned magnetic fluxon // Physical Review B. 2001. -V.63.-P. 024508.

28. FistuI M.V., Goldobin E. and Ustinov A.V. ac-induced damping of a fluxon in a long Josephson junction // Phys. Rev. B. 2001. - V. 64. - P. 092501.

29. Pedersen N.F. Advances in Superconductivity. New York: Plenum, 1982. P. 149.

30. Likharev K.K. Dynamics of Josephson Junctions and Circuits. Amsterdam: Gordon and Breach, 1986.

31. Scott A.C., Flora Y.F., Chu, Reible S.A. Magnetic-flux propagation on a Josephson transmission line // Journal of Applied Physics. 1976. - V. 47. -№7.-P. 3272-3286.

32. Matsuda A., Kawakami T. Fluxon Propagation on a Josephson Transmission Line // Phys. Rev. Lett. 1983. - V.51.-P. 694-697.

33. Koshelets V.P., Shitov S.V. Integrated Superconducting Receivers // Superconductor Science and Technology. 2000. - V. 13. - P. R53-R69.

34. Koshelets V.P. and Mygind J. Flux Flow Oscillators For Superconducting Integrated Submm Wave Receivers // Studies of High Temperature Superconductors, edited by A.V. Narlikar. NOVA Science Publishers. New York.- 2001. -V. 39. -P. 213-244.

35. Koshelets V.P., Shitov S.V., Filippenko L.V., Baryshev A.M., Golstein H., de Graauw Т., Luinge W., Schaeffer H., van de Stadt H. First Implementation of a Superconducting Integrated Receiver at 450 GHz // Appl. Phys. Lett.- 1996.-V. 68.-P. 1273.

36. Hechtfischer G., Walkenhorst W., Kunkel G. IEEE Trans Appl. Supercond.- 1997. V.7. -P.1051.

37. Ustinov A.V., Sakai S. Submillimeter-band high-power generation using muitilayered Josephson junctions // Appl. Phys. Lett. 1998. - V.73. - P. 686.

38. R. Kleiner R., Steinmeyer F., Kunkel G., and Miiller P. Intrinsic Josephson effects in Bi2Sr2CaCu208 single crystals // Phys. Rev. Lett. 1992. - V.68. -P. 2394-2397.

39. Kleiner R. and Miiller P. Intrinsic Josephson effects in high-rc superconductors // Phys. Rev. В. 1994. - V.49. - P. 1327-1341.

40. Goldobin E., Wallraff A., Thyssen N., UstinovA.V. Cherenkov radiation in coupled long Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1998. -V.57. - P. 130133.

41. Hechtfischer G., Kleiner R., Ustinov A.V., Miiller P. Non-Josephson Emission from Intrinsic Junctions in Ы^ггСаСщО^у. Cherenkov Radiation by Josephson Vortices//Phys. Rev. Lett. 1997.-V.79.-P. 1365-1368.

42. Ustinov A.V, Goldobin E., Hechtfischer G., Thyssen N., Wallraff A., Kleiner R., Miiller P. Cherenkov radiation from Josephson fluxons //Advances in Solid State Physics. 1999. - V.38 - P. 521-531.

43. Goldobin E., Wallraff A., Ustinov A.V. Cherenkov Radiation from Fluxon in a Stack of Coupled Long Josephson Junctions // J. Low Temp. Phys. -2000.-V. 119.-P. 589-614.

44. Goldobin E, Malomed B.A., Ustinov A.V. Bunching of fluxons by Cherenkov radiation in Josephson multilayers // Phys. Rev. B. 2000. - V.62. -P. 1414-1420.

45. Petraglia A., Ustinov A.V., Pedersen N.F. and Sakai S. Numerical Study of fluxon dynamics in a system of two stacked Josephson junctions // J. Appl. Phys. 1995. - V.77. - №3. - P. 1171.

46. Ustinov A.V., Kohlstedt H. and Heiden C. Possible phase-locking of vertically stacked Josephson flux-flow oscillators // Appl. Phys. Lett. 1994. -V.65.-P. 1457.

47. Sakai S., Bodin P. and Pedersen N.F. Fluxons in thin-film superconductor-insulator superlattices //J. Appl. Phys. 1993. - V.73. - P. 2411.

48. Grenbech-Jensen N., Samuelsen M.R., Lomdahl P.S. and Blackburn J.A. Bunched soliton states in weakly coupled sine-Gordon systems // Phys. Rev. 1990.-V.42.-P.3976.

49. Gronbech-Jensen N., Cai D., Bishop A.R., Lau W.C. and Lomdahl P.S. Bunched fluxons in coupled Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1994. -V.50.-P. 6352.

50. Gronbech-Jensen N., Blackburn J.A., Samuelsen M.R. Phase locking between Fiske and flux-flow modes in coupled sine-Gordon systems // Phys. Rev. B. 1996. - V. 53. - P. 12364-12372.

51. Ustinov A. V., Kohlstedt H., Heiden C. Possible phase locking of vertically stacked Josephson flux-flow oscillators // Applied Physics Letters. 1994. -V.65. - № 11. - P. 1457-1459.

52. Sakai S., Ustinov A.V., Kohlstedt H., Petraglia A. and Pedersen N.F. Theory and experiment on electromagnetic-wave-propagation velocities in stacked superconducting tunnel structures // Phys. Rev. B. 1994. -V. 50. -P. 12905-12914.

53. Carapella G., Costabile G. Appl. Phys. Lett. 1997. - V. 71. - P. 3409.

54. Scott A.C. and Petraglia A. Flux interactions on stacked Josephson junctions//Phys. Lett. A.-1996.-V. 211.- P. 161.

55. Petraglia A., Filatrella G., and Rotoli G. Self-field Effects in Josephson Junction Arrays // Phys. Rev. B. 1996. - V. 53. - P. 2732.

56. Carapella G., Costabile G., Petraglia A., Pedersen N.F. and Mygind J. Phase locked fluxon-antifluxon states in stacked Josephson junctions // Appl. Phys. Lett. 1996. - V. 69. - P. 1300.

57. Petraglia A., Pedersen N.F., Christiansen P.L. and Ustinov A.V. Comparative dynamics od 2D shorted arrays and continuous stacked Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1997. - V. 55. - P. 8490.

58. G. Carapella G. Fluxon-antifluxon state in stacked Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1999. - V. 59. - P. 1407-1416.

59. Monaco R., Pagano S., Costabile G. Phys. Lett.A. 1988. - V.131. -P. 122.

60. Ustinov A.V., Cirillo M., Larsen B.H., Oboznov V.A., Carelli P. and Rotoli G. Experimental and numerical study of dynamic regimes in a discrete sine-Gordon lattice// Phys. Rev. В. 1995.-V. 51.-P. 3081-3091.

61. Davidson A., Dueholm В., Kryger В., Pedersen N.F. Experimental Investigation of Trapped Sine-Gordon Solitons // Phys. Rev. Lett. 1985. - V.55. -P.2059.

62. Ustinov A.V., Doderer T, Huebener R.P., Pedersen N.F., Mayer В., Oboznov V.A. Dynamics of sine-Gordon solitons in the annular Josephson junction // Phys. Rev. Lett. 1992. - V.69. - P. 1815.

63. Tsuei C.C., Kirtley J.R. Pairing symmetry in cuprate superconductors // Rev. Mod. Phys. 2000. - V.72. - P. 969-1016.

64. Smilde H.J.H., Ariando, Blank D. H. A., Gerritsma G.J., Hilgenkamp H. and Rogalla H. i/-Wave-Induced Josephson Current Counterflow in

65. УВагСщОт/Nb Zigzag Junctions // Phys. Rev. Lett. 2002. - V. 88. - P. 057004-057008.

66. Goldobin E., Koelle D., Kleiner R. Semifluxons in long Josephson 0-p-junctions // Phys. Rev. B. 2002. - V. 66. - P. 100508(R).

67. Goldobin E., Koelle D., Kleiner R. Ground states and bias-current-induced rearrangement of semifluxons in 0-p long Josephson junctions // Phys. Rev. B. -2003. V. 67. - P. 224515.

68. Lazarides N. Critical current and fluxon dynamics in overdamped 0-я- Josephson junctions // Phys. Rev. B. 2004. - V. 69. - P. 212501-212504.

69. Buzdin A.,Koshelev A.E. Periodic alternating 0- and 7r-junction structures as realization of ф-Josephson junctions // Phys. Rev. B. 2003. - V. 67. -P. 220504(R).

70. Tsuei C.C. and Kirtley J.R. d-Wave pairing symmetry in cuprate superconductors fundamental implications and potential applications //Physica C. -2002.-V.367.-P.1-10.

71. Кулик И.О. ЖЭТФ. 1966. - №51. - С. 1952.

72. Scott A.C. Am. J. Phys. 1969. - V.37. - P.52.

73. Fulton T.A., Dyne R.C. Solid State Comm. 1973. - V.12. - P.57.

74. Kulik O.I., Yanson I.K. The Josephson Effect in Superconducting Tunneling Structures. Jerusalem: Keter Press, 1972.

75. Ustinov A.V. Solitons in Josephson junctions // Physica D. 1998. - V. 123.-P.315-329.

76. Fulton Т.A., Dyne R.C. Single vortex propagation in Josephson tunnel junctions // Solid State Comm. 1973. - V. 12. - P.57-61.

77. Yugay K.N., Blinov N.V., and Shirokov I.V. Asymptotic states in long Josephson junctions in an external magnetic field // Phys. Rev. B. 1994. -V.49. - №. 17. - P. 12036-12040.

78. Yugay K.N., Blinov N.V., and Shirokov I.V. Effect of memory and dynamical chaos in long Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1995. - V.51. -№.18.-P.12737-12741.

79. Yugay K.N., Blinov N.V., and Shirokov I.V. Bifurcations and a chaos strip of long Josephson junctions // Low Temp. Phys. 1999. - V.25. - №.7. -P.530.

80. Yugay K.N., Blinov N.V., and Shirokov I.V. Flux quantization in stationary and nonstationary states in long Josephson junctions // Low Temp. Phys -2000. V.26. - №. 11. - P. 1067.

81. Bishop A.R., Fesser K., Lomdahl P.S., Kerr W.C., Williams M.B., Trullin-ger S.E. Coherent Spatial Structure versus Time Chaos in a Perturbed Sine-Gordon System // Phys. Rev. Lett. 1983. - V.50. - P. 1095-1098.

82. Nozaki K. Stochastic Instability of Sine-Gordon Solitons // Phys. Rev. Lett.- 1982.-V.49.-P. 1883-1885.

83. Soerensen M.P., Arley N., Christiansen PL., Parmentier R.D., Skovgaard O. Intermittent Switching between Soliton Dynamic States in a Perturbed Sine-Gordon Model // Phys. Rev. Lett. 1983. - V. 51. - P. 1919-1922.

84. Yeh W.J., Symko O.G. and Zheng D.J. Chaos in long Josephson junctions without external rf driving force // Phys. Rev. B. 1990. - V. 42. - P. 4080-4087.

85. Rotoli G. and Filatrella G. Chaotic dynamics in the map model of fluxon propagation in long Josephson junctions // Phys. Lett. A. 1991. - V. 156. -P. 211.

86. FiIatrella G. and Rotoli G. Temporal chaos of soliton dynamics in the PDE model of long Josephson junctions // J. Phys. A. 1993. - V. 26. - P. 4937.

87. Salerno M. Suppression of phase-locking chaos in long Josephson junctions by biharmonic microwave fields // Phys. Rev. B. 1991. - V. 44. - P. - 2720-2726.

88. FilatreIla G, Rotoli G., and Salerno M. Suppression of Chaos by weak periodic signals // Phys. Lett. A. 1993. - V. 178. - P. 81.

89. Eriksen F.G. and Hansen J.B. Perturbed period-doubling bifurcation. II. Experiments on Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1990 - V.41. - P. 4189-4194.

90. Yao X., Wu J.Z. and Ting C. Onset of chaos in Josephson junctions with intermediate damping // Phys. Rev. B. 1990. - V. 42. - P. 244-250.

91. Soerensen M.P., Arley N., Christiansen P.L., Parmentier R.D., and Skov-gaard 0. Intermittent Switching between Soliton Dynamic States in a Perturbed Sine-Gordon Model // Phys. Rev. Lett. 1983. - V. 51. - P. 19191922.

92. Malomed B.A. Oscillations of a fluxon in a finite-length ac-biased Joseph-son junction // Phys. Rev. В. 1990. - V. 41. - P. 2037-2040.

93. Davidson A. and Santhanam P. Coulomb blockade and remnants of chaos in dissipative quantum tunnel junctions //Phys. Rev. B. 1992. - V. 46. - P. 3368-3373.

94. Kenfack A. and Kofane T.C. Chaos in rf-driven long Josephson junctions in the presence of an external field // Phys. Rev. B. 1995. - V. 52. - P. 10359-10363.

95. Smith T.I. Observation of persistent currents in a superconducting circuit containing a Josephson junction // Phys. Rev. Lett. 1965. - V.15. - P.460-462.

96. Josephson B.D. Supercurrents through barriers // Adv. Phys. 1965. -V.14.-P.419-451.

97. Andersen P.W. Josephson Effect and quantum coherence measurements in superconductors and superfluids // Progress in Low Temperature Physics. -1967.-V.5.

98. Owen C.S. and D.J. Scalapino Vortex structure and critical currents in Josephson junctions // Phys. Rev. 1967. - V. 164.

99. Lax P.D. Comm. Pure. Appl. Math. 1968. -V. 21.

100. Barone A., Esposito F., Magee C.J., Scott A.S., Riv. Nuovo Cimento. -1971.-V. l.-P. 227.

101. Абрикосов A.A. ЖЭТФ. 1957. -T.32. - C.1442.

102. Ю7.Коша А. Вариационное исчисление. M.: ВШ, 1983.

103. Ю8.Яшкевич Е.А., Югай К.Н. Сосуществование стационарных и нестационарных состояний в длинных джозефсоновских переходах // Вестник Омского университета. 2001. - В. 2. - №20. - С. 22-24.

104. Filatrella G., Pagano S., Parmentier R.D., Christiansen P.L., Soerensen M.P. and Granbech-Jensen N. On the switching between soliton dynamic states in long Josephson junctions // Phys. Lett. A. 1992. - V. 172. - P. 127.