Некоторые задачи динамики и устойчивости цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Панфилов, Иван Александрович

• Панфилов, Иван Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Панфилов, Иван Александрович

Перечень основных сокращений

Введение

1 Исследование колебаний тел с винтовой анизотропией на основе соотношений трехмерной теории упругости.

1.1 Основные соотношения трехмерной теории упругости для тел с винтовой анизотропией.

1.1.1 Механические и геометрические параметры материалов, используемые для численных расчетов.

1.2 Операторная форма записи основных соотношений и метод однородных решений для тел с винтовой анизотропией.

1.3 Длинноволновые низкочастотные колебания.

Прикладная теория продольно - крутильных колебаний.

1.4 Критические частоты и высокочастотные колебания.

2 Прикладные теории колебаний цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией.

2.1 Исследование колебаний цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией на основе гипотез

Кирхгофа - Лява.

2.1.1 Построение основных соотношений на основе гипотез

Кирхгофа - Лява.

2.1.2 Осесимметричные колебания и волны в цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией.

2.1.3 Изгибные колебания и волны цилиндрической оболочки с винтовой в анизотропией.

2.2 Исследование колебаний цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией на основе гипотез

Тимошенко - Рейсснера.

2.2.1 Построение основных соотношений па основе гипотез типа Тимошенко - Рейсснера.

2.2.2 Осесимметричные колебания и волны в цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией.

2.2.3 Изгибные колебания и волны цилиндрической оболочки с винтовой в анизотропией.

2.3 Оценка применимости прикладных теорий оболочек.

3 Задачи устойчивости для цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией.

3.1 Основные соотношения нелинейной теории оболочек с винтовой анизотропией.

3.2 О методе определения критических нагрузок и форм потери устойчивости.

3.3 Некоторые результаты численного анализа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи динамики и устойчивости цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией»

Область применения композитных материалов постоянно расширяется. Конструкции из полимерных композитов используются в качестве несущих элементов и деталей машин, водных и наземных транспортных средств, строительстве и медицине. Постепенное вытеснение полимерными композитами классических конструкционных материалов (древесины, сталей, металлических сплавов и обычных видов керамики) обусловлено сочетанием в них целого ряда практически важных качеств, таких как высокое значение деформативных и прочностных характеристик, химическая и коррозионная стойкость, а также широкий спектр электрофизических и тепловых свойств. Не менее важным преимуществом композитов является их высокая эффективность как материалов, производимых из дешевых видов сырья.

Подробное описание принципов создания композитных материалов, сведения о составе, структуре, технологических процессах получения, физико-механических свойствах, а также примеров использования КМ в современных конструкциях приведено в справочниках [1], [2].

Широкое распространение в настоящее время получили оболочки, состоящие из армирующих элементов высокой прочности и жесткости и из менее прочного и жесткого связующего, обеспечивающего монолитность композиции. В качестве армирующих волокон применяются стекло-, угле, боро- и органопластики, скрученные жгутами из 100 — 200 волокон или различного переплетения рис. 1. Одним из самых распространенных и совершенных процессов изготовления высокопрочных армированных обо

Рис. 4: Схема продольно-кольцевой (продольно-поперечной) намотки: 1-оправка; 2-вертлюг катушек продольных лент; 3-катушка продольной ленты; 4-катушка кольцевой ленты; 5-наматываемая оболочка теории упругости, имеющий исключительно важное значение для анализа гетерогенных сред, получен Эшелби [5]. Им был предложен прием вычисления энергии деформирования систем, содержащих включения. Вопросам связи эффективных свойств гетерогенных сред разных типов с характеристиками их компонентов посвящено огромное количество работ. Фундаментальными в этой области можно считать работы Р. Кристенсе-на и Б.Е. Победри. В [5], [6], в частности, показано, что для определения эффективных модулей композита с достаточной точностью можно использовать процедуру усреднения по объему.

Задачей теории упругости анизотропных оболочек, как и задачей теории оболочек вообще, является изучение прочности, колебаний и устойчивости. Важной особенностью полимерных композитов является возможность варьирования их механических свойств в широких пределах за счет изменения состава, концентрации и взаимного расположения армирующих волокон. Поэтому, в этом случае добавляется задача определения оптимальных характеристик композита. Для армированной оболочки такими характеристиками являются механические свойства компонентов, их концентрация и угол намотки армирующего волокна.

Первые исследования в области колебаний армированных оболочек датируются 60-мы годами прошлого века. Так, например, в работах [7], [8] на основе линейной теории пологих оболочек получены соотношения для определения собственных частот осесимметричных колебаний спирально-армированной и биспирально-армированной оболочки.

В [9] рассмотрены осесимметричные свободные колебания свободно опертой по торцам анизотропной круговой цилиндрической оболочки. Для ортотропиой оболочки (когда в каждой точке оболочки главное направление упругости составляет с главным геометрическим направлением угол а-рис. 5) в этой монографии была получена приближенная формула для определения собственных частот колебаний. Автором монографии замечено, что "изменяя лишь ориентацию материала в теле оболочки, мы можем существенно изменить динамические характеристики оболочки".

Рис. 5: Ортотропная оболочка

В последнее время интерес к исследованию колебаний армированных оболочек усилился в связи с открытием явления винтового движения крови в артериальных сосудах. Авторы этого открытия формулируют его следующим образом [10]: "Теоретически и экспериментально обнаружено неизвестное ранее универсальное явление образования закрученного потока биологических сред в транспортных каналах человека и животных на примере сердечно-сосудистой, пищеварительной и мочевыделитсльных систем., обусловленное возникновением за счет трения соответствующих этому движению двух составляющих касательных напряжении при взаимодействии среды с волной скручивания, возбуждаемой в стенке канала сокращением спирально-ориентированных мышечных и эластических элементов". Причины, приводящие к винтовому движению крови, могут быть различными. В частности, в [11] содержится обзор работ, в которых показывается, что на участках, где артериальный сосуд имеет кривизну, возникает крутильная по отношению к оси сосуда составляющая скорости. В артериях, непосредственно примыкающих к сердцу, причиной винтового движения может служить вихревое движение в самом сердце, которое возникает во время систолы в силу отсутствия геометрической симметрии желудочка и симметрии механических свойств стенки сердца.

Вопросам, касающимся причин такого явления посвящено ряд работ Ю.А. Устинова. Согласно описанию структуры стенок артериальных сосудов, приведенных в [11], Ю.А. Устинов предложил рассматривать их как композит, упругие свойства которого обладают винтовой анизотропией. В рамках гипотез Кирхгофа-Лява им были получены динамические уравнения для оболочки с винтовой анизотропией [12]- [15] и в рамках безмоментпой теории в [16]- [17] были исследованы особенности волновых процессов, порождаемые винтовой анизотропией стенки сосуда. В частности, показано, что при пульсовом движении крови вследствие винтовой анизотропии появляется крутильная составляющая скорости стенки сосуда, которая в силу условия прилипания создает винтовой характер движения частиц крови вблизи стенки, если даже такая компонента отсутствует на входе в сосуд.

Следующей, не менее важной задачей при проектировании армированных оболочек, является расчет на устойчивость, в частности, при внешнем гидростатическом давлении и осевом сжатии. Такие виды нагружения представляют собой большой практический интерес. Например, корпус летательного аппарата подвергается на участке разгона действию сжимающих усилий, передающихся от двигателя. Равномерно распределенное внешнее давление характерно для корпусов подводных лодок, оболочек авиационных двигателей, резервуаров в химической промышленности при увеличенном внешнем давлении.

Вопросам устойчивости армированных оболочек посвящено множество научных работ. Например, в [9], [18], [19] приведены результаты исследования устойчивости пологих спирально- и биспирально-армированных цилиндрических оболочек. В них, в частности, показано, что на величины критических нагрузок и формы потери устойчивости существенное влияние оказывает угол намотки армирующих волокон. В работе [20] исследуется влияние структурной анизотропии (влияние количества слоев намотки) на устойчивость спирально-армированной оболочки при осевом сжатии. Эти результаты получены интегрированием соответствующих уравнений прямыми методами (Бубнова-Галеркина, Трефтца) в предположении, что основное напряженное состояние оболочки до потери устойчивости является безмоментным.

Однако, в [21] показано, что такой подход во многих случаях приводит к значительным погрешностям при определении критических значений внешних нагрузок и, поэтому, при исследовании устойчивости следует рассматривать полную нелинейную постановку задачи. Следует отметить, что для оболочек с винтовой анизотропией в окрестности точки бифуркации помимо осесимметричной формы появляется несимметричная и за-критическое поведение оболочки, как правило, является неосесимметричным. Появление несимметричных форм потери устойчивости существенно усложняет задачу, поскольку изначально необходимо построить решение нелинейной осесимметричной задачи, которая, как правило, не имеет простых аналитических решений. Необходимо также заметить, что задача об определении точек ветвления в нелинейных задачах для тонкостенных конструкций является одной из немногих задач, которые не удается алгоритмизировать в рамках МКЭ. Проблема состоит в сложности представления производной от матрицы жесткости (производной Фреше) в окрестности глубокого нелинейного моментного напряженного состояния.

Цель настоящей диссертационной работы состоит в следующем:

1. исследование некоторых особенностей гармонических волн и колебаний, порождаемых винтовой анизотропией;

2. оценка применимости прикладных теорий, основанных на гипотезах Кирхгофа - Лява и гипотезах Тимошенко-Рейсснера;

3. разработка численно-аналитического метода определения критических значений внешнего гидростатического давления и осевого сжатия для армированной цилиндрической (непологой) оболочки с винтовой анизотропией.

Задачи решались численно-аналитически. Численные расчеты проводились в пакете математических вычислений Maple и в среде разработки Delphi. Проведено сравнение результатов, полученных на основе различных теорий.

Следует отметить, что при исследовании колебаний численные расчеты проводились для аорты собаки (спирально-армированной оболочки), а при исследовании устойчивости-для композита из стеклопластика (как спирально - , так и биспирально-армированной оболочки).

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Панфилов, Иван Александрович

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ и докладывались на XII, XIII, XIV Международных конференциях "Современные проблемы механики сплошной среды"(Ростов-на-Дону-2008, Ростов-на-Дону-2009, Ростов - на - Дону-Азов-2010), IV, V, VI Всероссийских школах-семинарах "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете"(пос. Дивноморское-2008, 2009, 2011), Международной научной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования"(Владикавказ 2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической п прикладной механики (Нижний Новгород-2011) и опубликованы в работах:

1. Панфилов И. А. Анализ собственных частот и форм цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Труды IV Всероссийской школы-семипара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-на-Дону: Изд. Терра Принт, 2008. С. 76-77.

2. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Отражение однородных волн от торца полубесконечной цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Труды XII международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону: Изд. ЦВВР,

2008. Т. 2. С. 152-156.

3. Панфилов И. А. Колебания и волны цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Труды V Всероссийской школы-семинара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-на-Дону: Изд. Терра Принт, 2009. С. 82-84.

4. Панфилов И. А. Собственные частоты и формы цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией с учетом усилий предварительного напряженного состояния // Сб. Трудов VII школы-семинара "Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика",

2009. С. 93-96.

5. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые динамические задачи для цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией на основе теории Тимошепко-Рейсснера // Труды XIII международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону: Изд. ЦВВР, 2009. Т. 2. С. 156-161.

6. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые динамические задачи для цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Актуальные проблемы механики. Естественные науки, 2009. С. 97-105.

7. Панфилов И. А. Длинноволновые низкочастотные колебания и волны в цилиндре с винтовой анизотропией // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов н/Д: ИПО ПИ ЮФУ, 2010. Т. XV. С. 56-59.

8. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Колебания и волны в цилиндре с винтовой анизотропией // Акустический журнал, 2010. Т. 56. № 6. С. 759-766.

9. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Критические частоты и высокочастотные колебания для тел с винтовой анизотропией // Труды XIV международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону: Изд. ЦВВР, 2010. Т. 1. С. 265-269.

10. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Исследование волновых процессов в цилиндре с винтовой анизотропией // Математический форум. Т. 4. Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям. - Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2010. С. 317-337.

11. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Исследование гармонических колебаний полого цилиндра с винтовой анизотропией на основе трехмерных уравнений теории упругости и анализ областей применимости некоторых прикладных теорий // Владикавказский математический журнал, 2011. Т. 13. Вып. 2. С. 35-44.

12. Гетман И. П., Карякин М. И., Мостипан Г. ОПанфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые задачи устойчивости оболочек со сложной геометрией и физико-механическими свойствами // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Актуальные проблемы механики. Естественные науки, 2011. № 4. С. 24-31.

Из них статьи [6, 8, 11, 12] опубликованы в журналах из "Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук", утвержденного ВАК РФ.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Панфилов, Иван Александрович, 2011 год

1. Васильев B.B. Механика конструкций из композитных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

2. Углеродные волокна и углекомпозиты: Пер. с англ./Под ред. Э. Фит-цера. М.: Мир, 1988. 336 с.

3. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость.М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 192 с.

4. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 415 с.

5. Cristensen R.M. Mechanics of Composite Matherials. N.Y.: Wiley, 1979. Кристенсен P. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. 334 с.

6. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд- во МГУ, 1984. 335 с.

7. Сабирова P.C. Собственные колебания анизотропной цилиндрической оболочки // Исслед. по теор. пластин и оболочек. Сб. 5. Изд-во Казанского ун-та. Казань, 1967. С. 424-432.

8. Гонткевич B.C. Собственные колебания ортотропных цилиндрических оболочек // Тр. конф. по теор. пластин и оболочек. Казанский гос. ун-т. Казань, 1961. С. 124-129.

9. Амбарцумяи С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 448 с.

10. Багаев С.H., Захаров В.А., Орлов В.А. О необходимости винтового движения крови // Российский журнал биомеханики. 2002. Т. 6. К2 4. С. 30-51.

11. T.J. Pedley Sc. D. The Fluid Mechanics Blood Vessels. Cambridge University Press Cambridge London New York Rochelle Melbourne Sydney 1980.

12. Т. Педли Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. M.: Мир, 1983. 400 с.

13. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М.: Наука, 2003. 128 с.

14. Устинов Ю.А. Некоторые задачи для тел с винтовой анизотропией // Успехи механики, октябрь-декабрь 2003 г. С. 37-62.

15. Устинов Ю.А. Решение задачи Сен-Венана для цилиндра с винтовой анизотропией // ПММ, 2003. Т.67. Вып. 1. С. 89-98.

16. Устинов Ю.А. Некоторые задачи для упругих тел с винтовой анизотропией // Успехи механики, 2005. Т .2. № 4 С. 37-65.

17. Устинов Ю.А. Модель винтового пульсового движения крови в артериальных сосудах // Докл. РАН, 2004. Т. 398. № 3. С.344-348.

18. Устинов Ю.А. Модель развития движения крови в артериальном сосуде во время систолы с учетом винтовой анизотропии его стенки // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2006. № 2. С. 1-9.

19. Нарусбсрг B.JI., Тетере Г.А., Устойчивость и оптимизация оболочек из композитов. Рига: Зипатне, 1988. 299 с.

20. Бабич Д.В., Кошевой И.К., Устойчивость композитных оболочек с малыми искривлениями образующей. Киев: ВИНИТИ, 1986. С. 1-15.

21. Лопатин А. В., Демин А. Н. Влияние структурной анизотропии на устойчивость композитной оболочки при осевом сжатии // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Решетнева, 2005. № 3. С. 62-65.

22. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 373 с.

23. Пуриня Б.А., Касьянов В.А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов. Рига: Знание, 1980. 260 с.

24. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону. Издательство Ростовского университета, 1993. 144 с.

25. Данфорд Н., Шварц Длс.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Мир, 1962. 96 с.

26. Гринченко В. Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. 283 с.

27. Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительпостии и квантовой механике. М.: Наука, 1972. 437 с.

28. Ворович И.И., Вабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1973. 320 с.

29. Гольденвейзер А.Н. Теория упругих тонких оболочек.М.: Наука, 1976. 512 с.

30. Микер Т., Мейтцлер А. Волноводные распространения в протяженных цилиндрах и пластинах. Физ. акустика под редакцией У. Мезона. М.: Мир, 1966. Т.1. С. 140-203.

31. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 495 с.

32. Волъмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 880 с.

33. Гетман И.П., Карякин М.И., Устинов Ю.А. Анализ нелинейного поведения круглых мембран с произвольным профилем по радиусу // ПММ, 2010. Т.74. Вып. 6. С. 919-929.