«Математическое моделирование распространения волн упругой деформации в трубах, взаимодействующих с жидкостью»

Тер-Акопянц  Георгий  Леонович

«Математическое моделирование распространения волн упругой деформации в трубах, взаимодействующих с жидкостью» тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Тер-Акопянц Георгий Леонович

Тер-Акопянц Георгий Леонович
кандидат наук
2015

Специальность ВАК РФ01.02.04

Количество страниц 147

Тер-Акопянц Георгий Леонович. «Математическое моделирование распространения волн упругой деформации в трубах, взаимодействующих с жидкостью»: дис. кандидат наук: 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела. ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет». 2015. 147 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Тер-Акопянц Георгий Леонович

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧКАХ БЕЗ ЖИДКОСТИ

1.1. Динамическое уравнение равновесия цилиндрической оболочки без жидкости по моментной теории. Дисперсионное уравнение

1.2. Применение упрощённых теорий оболочек для нахождения дисперсионных кривых. Дисперсионные уравнения, получающиеся по упрощенным теориям

1.3. Сопоставление дисперсионных кривых, полученных по упрощенным теориям, с дисперсионными кривыми по моментной теории

1.4. Модальные коэффициенты и их применение к исследованию типа преобладающих

перемещений распространяющейся волны

1. 5. Краткое содержание главы. Обсуждение полученных результатов. Выводы

Глава 2. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧКАХ, ЗАПОЛНЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ

2.1. Предварительные обсуждения

2.2. Динамическое уравнение равновесия и дисперсионное уравнение для изотропной оболочки, заполненной несжимаемой жидкостью

2.3. Аппроксимация жидкостной добавки в дисперсионное уравнение

2.4. Дисперсионное уравнение для изотропной оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью

2.5. Абсолютно жёсткий и абсолютно мягкий акустические волноводы

2.6. Методы решения дисперсионного уравнения

2.7. Дисперсионные кривые для абсолютно жёсткого и абсолютно мягкого цилиндрических волноводов с несжимаемой и сжимаемой жидкостью

2.8. Дисперсионные кривые для осесимметричных, изгибных и неосесимметричных колебаний изотропной оболочки с несжимаемой жидкостью

давления

2.13. Краткое содержание главы. Обсуждение полученных результатов. Выводы

82

Глава 3. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧКАХ

3.1. Дисперсионное уравнение для ортотропной оболочки по моментной теории

3.2. Дисперсионные кривые для осесимметричных, изгибных и неосесимметричных колебаний ортотропной оболочки без жидкости

3.3. Дисперсионные кривые для ортотропной оболочки с несжимаемой жидкостью

3.4. Дисперсионные кривые для ортотропной оболочки со сжимаемой жидкостью

3.5. Краткое содержание главы. Обсуждение полученных результатов. Выводы

Глава 4. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОБОЛОЧКАХ С ВИНТОВОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

4.1. Динамические уравнения равновесия в перемещениях для оболочки с винтовой анизотропией в винтовой системе координат. Дисперсионное уравнение. Дисперсионные кривые

4.2. Динамические уравнения равновесия в перемещениях для оболочки с винтовой анизотропией в повёрнутой системе координат. Дисперсионное уравнение. Дисперсионные кривые

4.3. Винтовые волны в оболочках с винтовой анизотропией

4.4. Краткое содержание главы. Обсуждение полученных результатов. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

141

ВВЕДЕНИЕ

Оболочечные конструкции широко применяются в современной технике. Сочетая малый вес с высокой прочностью, оболочки являются наиболее распространенными конструктивными элементами. Тонкостенные элементы типа оболочек используются в машиностроительных конструкциях, в транспортном и химическом машиностроении, в промышленном и гражданском строительстве, в авиационных, ракетных и судовых конструкциях. Среди всех видов оболочек, используемых человеком, наибольший интерес представляют цилиндрические оболочки, в которых удачно сочетаются простота, компактность и высокая технологичность. Круговые цилиндрические оболочки входят элементами в конструкции летательных аппаратов и двигателей, подводных и надводных средств передвижения, резервуаров и трубопроводов, сводчатых систем подводных и подземных тоннелей и хранилищ.

Математические основы расчета напряженно-деформированного состояния оболочек в статике, позволяющие обойтись без громоздкого аппарата трёхмерной теории упругости, появилась в начале ХХ века. Это было началом появления линейной теории оболочек. В её основу были положены линейные геометрические соотношения между деформациями и перемещениями и линейные физические соотношения между напряжениями и деформациями. В результате этого были получены дифференциальные уравнения равновесия. Однако линейная теория не могла дать ответ на ряд практических задач, в результате чего возникла потребность в геометрически нелинейной и физически нелинейной теории оболочек. Настоящая работа основывается на линейной теории.

Наибольшее развитие теории оболочек получили в середине ХХ века в работах В. 3. Власова [48], В. В. Новожилова [72], [73], А.Л. Гольденвейзера [50], Л.Г.Доннелла [56], Х.М.Муштари [69], А.П.Филина [88], А.В. Лейсса [14] и других отечественных и зарубежных авторов.

Статическая теория оболочек базировалась либо на гипотезах Кирхгофа-Лява, либо Тимошенко-Рейснера. Смысл гипотезы Кирхгофа-Лява (точнее гипотезы Кирхгофа для пластин, обобщенной Лявом на случай оболочек) [17] состоит в следующем: -прямолинейные волокна, нормальные к срединной поверхности оболочки до деформации, остаются после деформации прямолинейными и нормальными к изогнутой срединной поверхности, а их длина не меняется; нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с другими напряжениями. Альтернативой является гипотеза Тимошенко-Рейсснера [83], предполагающая, что прямолинейное и нормальное к срединной поверхности волокно до деформации перестаёт

быть нормальным к срединной поверхности после деформации. Эта гипотеза и основанные на ней уравнения в данной работе не используются.

Следующим этапом развития явилась динамическая теория оболочек. Исследование поведения оболочек в динамике можно условно подразделить на два глобальных направления. К первому относится широкий круг вопросов, связанный с деформацией, устойчивостью и разрушением оболочек под действием динамических нагрузок, включая нестационарные задачи, а ко второму, с которым связана настоящая работа, - исследование колебательных процессов в оболочках, в том числе распространение упругих волн.

В этой связи нельзя не упомянуть, что ещё Дж. В. Стретт (Лорд Рэлей) в конце Х1Х века [81], [82] рассматривал колебания струн, пластин, оболочек, используя для описания системы форму колебаний простейшего осциллятора. В прошлом столетии значительный вклад в динамическую теорию оболочек внесли В. Флюгге [92], В.В.Болотин [42], [44], [43], [45], [41], П.Е.Товстик [51], [67] и другие.

В обзоре [19] приводятся основные работы зарубежных авторов по распространению упругих волн в различных объектах, в том числе в цилиндрических оболочках, опубликованных до 1960 года. Обзор работ отечественных и зарубежных авторов до середины 60-х годов можно найти также в [71].

При рассмотрении колебательных процессов цилиндрических оболочек принципиальное значение имеет выбор подходящей модели. Первым аспектом является выбор интересующего типа колебаний: нелинейные или линейные, рассматриваемые в данной работе. Вторым важным моментом является ответ на вопрос, может ли быть оболочка рассмотрена как бесконечная или она имеет конечную длину, что сразу же усложняет задачу в связи с необходимостью удовлетворения граничным условиям на концах, (или на конце, если оболочка рассматривается, как полубесконечная). Третьим аспектом в выборе модели является установление возможности использования теорий тонких оболочек, что допускается, когда отношение толщины к срединному радиусу менее 0.05. В противном случае приходится использовать математический аппарат трёхмерной теории упругости. Для тонких оболочек следующим этапом становится выбор упрощающих гипотез Тимошенко-Рейсснера или Кирхгофа-Лява. В последнем случае альтернативу представляют безмоментная и моментная теории оболочек, а для моментной возможны также дополнительные упрощения: Доннелла-Муштари, Власова и другие. Традиционный путь исследования волновых процессов состоит в составлении динамических уравнений равновесия в перемещениях, получении дисперсионного уравнения, построении дисперсионных кривых, определении частот отсечки и возникновения распространяющихся волн, исследование характера распространяющихся волн с помощью модальных

коэффициентов, позволяющее выявить преобладающий тип перемещений в распространяющейся волне.

Весьма важное значение имеет теория Флюгге [5], основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява для тонких оболочек. На её основе могут быть получены соотношения между деформациями и перемещениями и изменениями кривизны срединной поверхности оболочки.

Отметим также, что в работе [30] проанализировано применение упрощенных балочных теорий Тимошенко к нахождению дисперсионных уравнений для изгибных волн в пластинах и балках в сопоставлении с линейной теорией упругости и упрощениями Эйлера-Бернулли.

Ряд работ связан с исследованием волновых процессов с помощью метода конечных элементов. [27], [18]. Исследованию распространения волн с помощью численных методов посвящены также работы [52] , [53] и другие.

Очень полезной для настоящей работы оказалась статья [16], посвященная методике нахождение модальных коэффициентов, как собственных векторов линейного оператора. Кроме того в этой работе подробно проанализированы различные ветви дисперсионных кривых для цилиндрической оболочки в различных режимах колебаний и типы волн, которые им соответствуют.

В работе [25] отмечается, что приближенные дисперсионные уравнения в осесимметричном, изгибном и неосесимметричном режимах, полученные с помощью теории пологих оболочек Власова, дают результаты, близкие к тем, которые получаются по общей теории оболочек Доннелла-Муштари, кроме низкочастотного изгибного режима. Эти результаты наблюдаются и в настоящей работе.

Определённый интерес представляют также работы [3] и [4], в которых приводятся дисперсионные уравнения для четырёх и для десяти различных упрощенных теорий оболочек соответственно, среди которых широко известны только три: Доннелла-Муштари, Тимошенко и Власова. Правда, дальнейшее исследование касается модальных коэффициентов для оболочек конечной длины, а дисперсионные кривые для различных теорий не рассматриваются.

В статье [8], предложен альтернативный метод дисперсионных кривых, который извлекает решение частотного уравнения в виде дисперсионных кривых из трехмерного изображения частотного уравнения.

Практические потребности вскоре привели к необходимости исследования динамики оболочек, заполненных жидкостью. В исследовании движения оболочек, содержащих жидкость, условно можно выделить следующие направления. Первое (с которым связана

настоящая работа): исследование свободных колебаний систем оболочка-жидкость. Второе: изучение вопросов устойчивости этих систем. Третье - нестационарные динамические процессы в таких системах. Четвертое: динамические задачи теории оболочек, контактирующих с жидкостью, в условиях воздействия каких либо физических полей (температурное, магнитное и т.д.). Сложность постановки и решения динамических задач для оболочки с жидкостью состоит в том, что приходится рассматривать двухкомпонентную систему, в которой движение жидкости и движение оболочки под действием гидродинамических сил взаимосвязаны. Взаимодействие между деформируемой оболочкой и жидкостью часто существенно зависят от деформации самой оболочки. Определение нагрузок, передаваемых оболочке со стороны жидкости, должно вестись одновременно с исследованием деформации самой оболочки. При этом движение оболочки описывается уравнениями теории упругости, а движение жидкости - уравнениями гидромеханики, а на границе раздела обычные граничные условия для оболочки заменяются условиями сопряжения. Немаловажным фактором, влияющим на усложнение задачи, является и выбор соответствующей модели жидкости: несжимаемая или сжимаемая, идеальная или вязкая. Определенная схематизация требуется и для выбора условий на границе контакта жидкости и оболочки. Если не принимать во внимание никаких упрощающих гипотез, то движение системы оболочка - жидкость будет описывается математически столь сложно, что поиск решения ее в общем случае будет весьма затруднительным. Исследование волновых процессов в оболочках с жидкостью подразумевает изучение вопроса, что, жидкость или оболочка, является причиной возникновения и передачи распространяющихся волн. Здесь, наряду с модальными коэффициентами, полезным оказывается анализ потоков энергии взаимодействующих элементов системы оболочка-жидкость и изменения поля давления в жидкости.

Динамические задачи теории оболочек, заполненных жидкостью или находящихся в жидкости, неизменно вызывали интерес многих учёных. Большой вклад в исследование этих вопросов внесли Авербух А.З., Вейцман Р.И. и Генкин М.Д. [35], Гузь А.Н. [ 54], Амензаде Р.Ю. [37], [40], Вольмир А.С.[ 49], Ильгамов М.А.[58], [59], [ 60], Перцев А.К. [68], [79], [61], Шмаков В.П. [57].

Так в работе [49] представлены общие зависимости, характеризующие собственные колебания бесконечно длинной тонкой круговой оболочки в случае, если внутри нее течет с некоторой заданной скоростью идеальная жидкость. Причем математическое описание строится на теории упругости, а далее вышедшей из нее, теории оболочек. Отдельные параграфы описывают: задачи динамики оболочек во взаимодействии с жидкостью; собственные колебания бесконечно длинной оболочки с идеальной жидкостью; различные

виды колебаний бесконечно длинной оболочки; упругая оболочка, заполненная жидкостью; оболочка конечной длины с протекающей жидкостью; колебания оболочки при наличии пульсаций в жидкости; трубопровод с подвижной массой.

Одним из направлений динамики изотропных и анизотропных цилиндрических оболочек с жидкостью и без жидкости является исследование распространение упругих волн, что собственно и является целью настоящей работы. В этой связи прежде всего отметим работы [28], [29], [31], [32], [33].

В исследовании [15] анализируется распространение осесимметричных волн в сжимаемой невязкой жидкости, содержащейся в цилиндрической, упругой оболочке. Обсуждается представленная графически зависимость фазовой скорости, как функции частоты, от четырех безразмерных параметров системы.

Весьма важное значение имеет работа [6]. В ней, по-видимому, впервые были получены дисперсионные кривые для цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью, и объяснено поведение отдельных ветвей дисперсионных кривых, установлено влияние относительной толщины оболочки и отношения плотностей оболочки и жидкости на распространение волн. Также там проанализировано распределение колебательной энергии в оболочке и в жидкости в зависимости от частоты.

Большое значение для исследования распространения волн в оболочках, взаимодействующих с жидкостью, имеют работы Г.В.Филиппенко. В работе [90 ]анализируются волновые процессы при осесимметричных , а в работе [91] при изгибных и неосесиметричных колебаниях оболочки, полностью погружённой в жидкость. На основе точного аналитического решения получены низко- и высокочастотные асимптоты дисперсионных кривых. Исследуется поведение потока энергии в окрестности точек квазипересечения дисперсионных кривых (уеегт§'а). Сравниваются потоки энергии при различных формах колебаний и составлящие потоков, передаваемых оболочкой и передаваемых жидкостью. В работе [89] кроме случая, когда жидкость находится снаружи оболочки, рассматривается ситуация, когда жидкость находится внутри оболочки.

В работах [7], [12], [13], [23], [24], [11] представлены в замкнутой форме выражения, характеризующие волновые числа для заполненных жидкостью цилиндрических оболочек, полученные с использованием асимптотических методов. Такая замкнутая форма разложения проясняет физическую сторону процесса, которая не вполне очевидна из численных методов.

В работах [21], [22] на основе теории Доннелла-Муштари в случаях осесимметричного и изгибного режимов колебаний найдены асимптотические разложения

для волновых чисел вблизи кольцевой частоты для пустых или заполненных жидкостью изотропных и ортотропных цилиндрических оболочек.

В статье [62] получено уравнение для нахождение собственных частот колебаний ортотропной цилиндрической оболочки, заполненной протекающей жидкостью, на основе уравнений движения среды, оболочки и жидкости и условий контакта. Исследовано влияние скорости жидкости и инерционных свойств среды на частоты собственных колебаний оболочки.

В статье [26] исследуется свободного распространения волн в бесконечной цилиндрической оболочке, заполненной жидкостью. Рассматриваются чисто вещественные и комплексные волновые числа и параметрические ограничения, в которых они могут быть определены и интерпретированы физически.

В работах [47], [74] исследуются колебания оболочек со сжимаемой жидкостью.

В статье [1] обсуждается существование различных типов кольцевых волн, преимущественно как оболочечного так и жидкостного происхождения, и поведение их дисперсионных кривых для бесконечной тонкой упругой круговой цилиндрической оболочки, погруженной в жидкость, и заполненной другой жидкостью.

Использование в промышленности и в различных областях техники современных материалов, характеризующихся анизотропными свойствами (в частности армирование трубопроводов), а также многослойных тонкостенных оболочек из композиционных материалов потребовало изучения динамических процессов в ортотропных и анизотропных оболочках, в том числе и заполненных жидкостью.

Теоретические предпосылки для исследования волновых процессов в анизотропных цилиндрических оболочках заложены в фундаментальной монографии С.А.Амбарцумяна [36], В ней, на основе общих уравнений теории упругости анизотропного тела в криволинейных координатах, получена общая теория анизотропных слоистых оболочек, рассмотрены симметрично нагруженные анизотропных оболочки вращения; анизотропные цилиндрические и пологие оболочки, а также новые теории анизотропных оболочек и пластин.

Важное значение для исследования статики и динамики анизотропных оболочек имеет монография С.Г.Лехницкого [65] по общей теории упругости анизотропного тела.

Отметим также работы Р.Ю.Амензаде [39], [38], [40]. В них отмечается, что ряд новых эффектов в оболочках, содержащих жидкость, не могут быть описаны теорией Кирхгофа (в частности, возникновение новых типов волн). Применённое линеаризованное описание осесимметричного волнового движения идеальной несжимаемой жидкости в многослойной бесконечной незакреплённой цилиндрической оболочке с учетом деформации сдвига

позволяет выявить новые механические эффекты и тем самым оценить влияния многослойности и сдвига на волновые характеристики. Вывод уравнений, построенных в предположении неоднородности физико-механических свойств материала оболочки по толщине либо ее многослойности, а также разработка уточненных теорий (по отношению к классической теории, построенной на базе гипотезы прямых нормалей Кирхгофа-Лява) обобщает и развивает известные работы такого типа.

Упомянём ряд работ, близких к тематике диссертации. В работе [55] с использованием системы уравнений, соответствующей классической теории ортотропных цилиндрических оболочек, получены дисперсионные уравнения и асимптотические формулы для нахождения собственных частот возможных типов колебаний. Указан путь, с помощью которого можно выделить различные типы колебаний. В статье [63] рассматриваются собственные радиальные колебания трёхслойной оболочки, состоящей из двух тонких несущих изотропных оболочек и находящейся между ними толстой оболочки. На границах контакта ставятся условия непрерывности перемещений. Тонкие слои рассматриваются на основе гипотезы Кирхгофа-Лява, а в заполнителе учитывается работа поперечного сдвига и обжатие по толщине, а для перемещений принят линейный закон изменения по радиальной координате. В работе [10] получено характеристическое уравнение для определения волновых чисел упругих волн в тонкой ортотропной цилиндрической оболочки с помощью динамической теории упругости. В статье [66] исследуется влияние ортотропии на распространение волн в цилиндрической оболочке заполненной несжимаемой жидкостью на основе теории Тимошенко и приводятся графические зависимости безразмерной фазовой скорости от безразмерной частоты. В работе [34] с помощью полуаналитического метода, основанного на уравнениях трёхмерной теории упругости, исследуются фазовые и групповые характеристики волн в цилиндрической слоистой композитной оболочке.

На современном этапе промышленных технологий весьма актуальным представляется исследование особенностей распространения волн в цилиндрических оболочках с винтовой анизотропией. Они создаются, как правило, путём спиральной намотки тонких высокопрочных армирующих нитей с одновременным покрытием поверхности полимерным материалом.

Большой вклад в решение задач распространения волн в цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией внесли И.А.Панфилов и Ю.А.Устинов. Основные результаты, касающиеся задачи Сен-Венана для цилиндра с винтовой анизотропией и соответствующие соотношения линейной теории упругости опубликованы в работах [85], [86], [87]. Особенности колебаний оболочки с винтовой анизотропией и распространения волн на основе теорий Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейсснера описаны в статьях [75], [76], [77].

Для случаев осесимметричных и изгибных колебаний [20] получены дисперсионные уравнения, найдены и проанализированы с качественной стороны их решения и проанализированы их решения. Показано, что винтовая анизотропия порождает связь между продольными и крутильными колебаниями, которая математически описывается амплитудными коэффициентами однородных волн. В работе [78] на основе трехмерной теории упругости исследованы особенности распространения гармонических волн в полом цилиндре с винтовой анизотропией. Для описания низкочастотных длинноволновых продольно-крутильных колебаний методами теории возмущений построена прикладная теория и получены некоторые оценки области ее применимости. Для анализа высокочастотных колебаний разработан и реализован численный метод определения критических частот и построения дисперсионных кривых.

Отметим также ряд других работ. Динамика толстостенной оболочки с винтовой ортотропией исследуется численными методами в статье [64]. В работе [70] численно исследуются осесимметричные волновые процессы в спирально армированной оболочке на основе теории тонких оболочек. В исследовании [2] рассматриваются свободные колебания многослойных цилиндрических оболочек, состоящих из нескольких ортотропных слоёв, причем направление ортотропии может как окружным и продольным, так и винтовым. В работе [46] представлены результаты нахождения частот свободных колебаний цилиндрической оболочки из стеклопластика при различных углах намотки нити по отношению к оси оболочки. Расчет частот свободных колебаний при граничных условиях Навье выполнен на основании метода Рэлея—Ритца при различных соотношениях геометрических размеров оболочки и упругих постоянных, зависящих от угла намотки. Полученные частоты при нулевом угле намотки сравниваются с экспериментальными и расчётными результатами для ортотропной оболочки. В статье [9] рассматривается волновое взаимодействие тонкой композитной оболочки и заполняющей её жидкости, анализируется влияние угла винтовой анизотропии на скорости распространения первой осесимметричной и второй продольной распространяющихся волн и величину окружной и осевой деформации. В работе [80] исследуются колебания упругой цилиндрической оболочки с биспиральным армированием, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью. На основе классических уравнений ортотропной оболочки получено дисперсионное уравнение совместных колебаний оболочка-жидкость. Для описания колебаний в низкочастотной области предложена приближенная одномерная модель. Произведен анализ дисперсионных кривых по оболочечной и приближенной моделям.

Перспективные пути исследования волновых процессов в оболочках с винтовой анизотропией могут, вероятно, основываться на рассмотрении винтовых волн. Исследование

распространения винтовых волн в изотропной цилиндрической оболочке предложено В.В.Тютекиным [84]. В этой работе исследование распространения винтовых волн в цилиндрической оболочке на основе гипотезы Кирхгофа-Лява сведено к исследованию распространения волн в эквивалентной пластине и получены дисперсионные кривые для различных углов наклона винтовой линии, а также продольные и поперечные перемещения оболочки.

Учитывая вышеизложенное, следует отметить, что исследование распространения упругих волн в изотропных и анизотропных оболочках, заполненных жидкостью, представляет собой актуальную задачу, результаты решения которой несомненно будут востребованными в инженерной практике различных технических отраслей.

Актуальность темы исследования:

В современных технических отраслях, связанных с транспортировкой жидкостей по трубопроводам, широкое применение получили армированные трубы, в том числе с винтовым армированием. Вопросы распространения упругих волн в таких анизотропных объектах являются недостаточно изученными. Передаваемая по трубопроводам различного назначения вибрация представляет собой угрозу для их прочности и надежности. Приведенный в диссертации анализ волноводных свойств в этих конструкциях будет способствовать решению актуальной задачи повышения их эксплуатационной надежности.

Объект исследования:

Объектом исследования являются тонкие упругие цилиндрические оболочки, изотропные, ортотропные и с винтовой анизотропией, заполненные несжимаемой и сжимаемой жидкостью в режиме свободных колебаний. Такие оболочки являются математической моделью реальной трубы с анизотропными упругими свойствами.

Предмет исследования:

Предметом исследования является установление характера и особенностей распространения волн упругой деформации в тонких цилиндрических оболочках, заполненных жидкостью, при наличии ортотропии и винтовой анизотропии.

Цель исследования:

Практической целью является снижение вибрации и шума, передаваемых по трубе на значительные расстояния, и предотвращение нежелательных резонансных эффектов, которые наблюдаются, когда частота внешнего источника колебания близка к частотам отсечки распространяющихся в оболочке с жидкостью волн в режиме свободных колебаний. Как показано в работе, эти частоты отсечки в ряде случаев можно изменить, используя трубы из ортотропного материала или с винтовой намоткой.

В теоретическом аспекте целью работы является исследование влияния параметров ортотропии и винтовой анизотропии на распространение упругих волн в анизотропных оболочках, заполненных жидкостью.

Основные задачи:

- обоснование предпочтительного применения моментной теории тонких оболочек или упрощенной теории Доннелла-Муштари-Власова к задачам исследования распространения волн упругой деформации;

- исследование распространения упругих волн в оболочках, заполненных несжимаемой и сжимаемой жидкостью на основе анализа дисперсионных кривых и модальных коэффициентов. Разработка методов обнаружения волн преимущественно жидкостного и преимущественно структурного происхождения. Анализ модальных коэффициентов в зонах сближения (квазипересечения) дисперсионных кривых;

- исследование распространения упругих волн в ортотропных оболочках без жидкости и заполненных несжимаемой и сжимаемой жидкостью. Установление влияние параметров ортотропии на дисперсионные кривые и частоты отсечки распространяющихся волн;

- исследование распространения упругих волн в оболочке с винтовой анизотропией без жидкости и со сжимаемой жидкостью. Анализ влияния угла намотки и упругих параметров на дисперсионные кривые и модальные коэффициенты.

Научная новизна исследования состоит:

- в обосновании целесообразности применения моментной теории оболочек для решения поставленной задачи, в результатах сопоставления некоторых упрощенных теорий тонких оболочек с моментной теорией применительно к исследованию дисперсионных кривых, в результате чего показано, что в данном случае предпочтение имеет упрощенная теория Доннелла-Муштари-Власова;

- в исследовании влияния несжимаемой и сжимаемой жидкости на распространение волн в изотропных оболочках, в результате чего было установлено, что влияние несжимаемой жидкости сводится к уменьшению частоты отсечки третьей распространяющейся волны, а сжимаемая жидкость приводит к появлению дополнительных распространяющихся волн жидкостно-структурного или жидкостного происхождения;

- в исследовании преобладающего типа перемещений в распространяющихся волнах с помощью модальных коэффициентов и в анализе поведения модальных коэффициентов в зонах сближения (квазипересечения) дисперсионных кривых для оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью;

- в исследовании влияния параметров ортотропии на распространение волн в ортотропной оболочке и обнаружении уменьшения частоты отсечки третьей распространяющейся волны с ростом отношения продольного модуля Юнга к окружному, и её увеличении в противном случае;

- в анализе совместного влияния ортотропии и жидкости на распространение волн;

- в классификации распространяющихся волн с точки зрения их происхождения (структурные, жидкостно-структурные или жидкостные) путём сопоставления дисперсионных кривых для ортотропной оболочки со сжимаемой жидкостью с дисперсионными кривыми для оболочки с несжимаемой жидкостью, для абсолютно жёсткого и абсолютно мягкого акустических волноводов и для изотропной оболочки со сжимаемой жидкостью;

- в выявлении особенностей распространения волн в оболочке с винтовой анизотропией без жидкости и со сжимаемой жидкостью, в установлении влияния винтовой анизотропии и угла намотки на частоты отсечки распространяющихся волн и определении направления закручивания продольной волны по окружной координате.

Личный вклад автора в получении результатов исследования.

Решение поставленных в диссертационной работе задач получено лично автором. Автор непосредственно провел исследования по всем основным проблемам, рассмотренным в диссертационной работе, что подтверждается наличием публикаций автора, включающих в себя основное содержание диссертации.

Достоверность результатов исследований.

Достоверность разработанных и предложенных автором математических моделей обеспечивается корректным применением математических выкладок к уравнениям теории упругости и гидромеханики, использованием надёжных и проверенных математических методов для нахождения решений дисперсионных уравнений и модальных коэффициентов. В расчётах использовался Mathcad - современный лицензионный пакет для математических расчётов. Используемые допущения и упрощения в постановке задачи являются обоснованными. Полученные результаты подтверждаются в частных случаях их совпадениями с известными результатами других авторов.

Теоретическое и практическое значение

Теоретическая значимость работы состоит в решении новой научной задачи о распространении упругих волн в анизотропной тонкой оболочке, заполненной жидкостью. На основе результатов её решения были получены определённые практические рекомендации, которые могут быть полезны при проектировании трубопроводов, включающие оптимальный выбор конструкционных материалов и угла армирующей

намотки с целью снижения нежелательных виброакустических эффектов. Разработанные модели и методы расширяют научные основы создания элементов трубопроводов из анизотропных материалов с точки зрения прогнозирования их волноводных свойств.

Публикации по теме диссертации

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертационной работы, опубликованы в 8 научных публикациях, из них 7 научных статей, 5 из которых без соавторов, 5 опубликованы в изданиях из Перечня ВАК на момент публикации, 3 из которых без соавторов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему ««Математическое моделирование распространения волн упругой деформации в трубах, взаимодействующих с жидкостью»»

Апробация работы

Результаты работы были доложены на научных семинарах кафедры прикладной и теоретической механики Санкт-Петербургского Государственного университета и кафедры сопротивления материалов Санкт-Петербургского Государственного морского технического университета. Частичные результаты работы докладывались на конференции "Maritime Technology Conference 29 May - 1 June 2012, Saint-Petersburg-Russia".

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы. Основной материал изложен на 147 страницах текста и содержит 103 рисунка и 4 таблицы. Список использованной литературы включает в себя 92 наименования.

В первой главе обоснована целесообразность применения моментной теории тонких оболочек для исследования волновых процессов в оболочках без жидкости. Проанализированы достоинства и недостатки некоторых упрощённых теорий.

Во второй главе рассматриваются волновые процессы в изотропных оболочках, заполненных несжимаемой и сжимаемой жидкостью. Излагается методика выявления волн преимущественно жидкостного и преимущественно структурного происхождения различными способами. Анализируются модальные коэффициенты, в том числе в зонах сближения (квазипересечения) дисперсионных кривых.

В третье главе исследуются волновые процессы для ортотропной оболочки без жидкости и с жидкостью.

Четвертая глава посвящена распространению упругих волн в оболочках с винтовой анизотропией без жидкости и с жидкостью.

Глава 1. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧКАХ БЕЗ ЖИДКОСТИ

1.1. Динамическое уравнение равновесия цилиндрической оболочки без жидкости по моментной теории. Дисперсионное уравнение

Рассматривается тонкая упругая бесконечная цилиндрическая оболочка с радиусом срединной поверхности Я толщины И. Будем использовать цилиндрические координаты {х, в, г} . Для исследования её напряженно-деформированного состояния свяжем с некоторой точкой срединной поверхности локальную систему координат {х, у, г}, направив ось 0х параллельно оси цилиндра, ось 0у - по касательной к срединной поверхности, ось о— -по внешней нормали к поверхности цилиндра и выделим бесконечно малый элемент цилиндрической оболочки {(х, х + йх), {в, в йв), (Я + г, Я + г + йг)} . Дифференциальные уравнения равновесия, записанные на основе гипотезы Кирхгофа-Лява по моментной теории оболочек, в статическом случае [88] имеют вид:

' 1 аь _ --1---=

ах я ав х

+1ан=_?>, (1.1)

я ав ах я2 ав я ах чв

а2М 2 а2и 1 а2м2 ыв

—^+--—г- —~ = ~Чп

^ ах2 я ахав я2 ав2 я п

где погонные усилия и моменты имеют следующий вид:

И/2 / \ И/2

X

Nх = | см 1 +— к jaxйг - осевое усилие,

-И/2 V Я) -И/2

И / 2

N = jaвёх - окружное усилие,

-И / 2

И/2 / \ И/2

X

Звх = | сгвх11 + —\йг и = йг - сдвиговые (тангенциальные) усилия,

вх| Я

-И/2 V Я у -И/2

И/2 / Л И/2

г

+ ■

Я

-И/2 V Я У -И/2

И/2

М1 = Мх = | 1 + — 1 й ~ й - продольный изгибающий момент,

м2 = ме = й - окружной изгибающий момент,

-И/2

И/2 Г \ И/2 И/2

+— |гйг к | а0„тйг и М „а = | с»гйг - крутящие моменты,

И/2 V я у -И/2 -И/2

Мвх = | Свх I 1 + — |й ~ \Свхй и Мхв = \Схвй - крутящие

н = Мвх = мхв;

{чх, Чв, Чп) - компоненты вектора внешней погонной нагрузки.

Теперь рассмотрим динамические уравнения равновесия оболочки. Принципиальное отличие состоит в появлении инерционных членов в правых частях уравнений равновесия.

дых 1 д8вв , а2их

х- +--— = -дх + рЪ- х

dx R дв dt2

1 dN в dSв 1 dM 1 dH , d 2uв

--+ -2 +--= -дв +ph—в , (1-2)

R de dx R2 de R dx 4в dt2

d2M 2 d2H 1 dM Ne , d2ur

—г1+--—^ —- = -qn + ph—T~

dx2 R dxdв R2 d в2 R n dt2

где (ux, ив, ur)- компоненты вектора перемещений, p - плотность материала оболочки.

Теперь получим динамические уравнения равновесия в перемещениях. С учётом предположения, что для тонкой оболочки радиальные напряжения равны нулю, обобщенный закон Гука запишется в виде:

E i \

--2 (sx +уев)

1 - v2

ав=-2 (V£x + £в), (1-3)

1 - v2

E

°xe -°вx -~л-sxe

1 + V

где E - модулю Юнга, v - коэффициент Пуассона.

Выражения для деформаций через перемещения имеет вид:

dux

Sx - -

dx

е - 1 дыв + щ в R d в R

1 f dun 1 du„ Л ^в* -"l — + -

2 ^ дх Я д в )

Тогда выражения для погонных усилий и моментов через перемещения примут вид:

ЕЪ (диг у див у Л

N =--I —х +--в- + — иг I,

х 1 -у2 I дх Я дв Я г )

n -

в ~ 1 2 1 -V

Eh f dw 1 dun 1

V—- +--- + — u

{ dx R дв R

S =S = Eh f du в | 1 dux Л Ehh f

в 2(1 + v)^ dx R дв j 12(1 + v)

1 du 1 due

r ■ + ■ в

v R2 дxдв R2 dx j

О _ P - Eh

S - So -

2 ^ 2(1 + v)

fdu± +1 <K} (1.5)

dx R дв j

М = -

ЕИ

3 { я2

1 12(1 -V2)

а иг V а иг V аив

к ах2 я2 ав2 я2 ав

ЕИ

М 2 =--т-л

2 12(1 -V2)

3 ( Я2 2

а и 1 а и 1 аив

V—Г + - г в

ч ах2 я 2 ав2 я 2 авУ

и = -

ЕИ

3 ^ 1 Д2

12(1 + V)

1 а и 1 и л

я ахав я ах

Перейдем к безразмерным координатам по формулам

* х * г ^ а 1 а а2 1 а2

х = —; г = — . При этом — =--, —- = —--- и так далее.

я я ах я ах * ах2 я2 ах *2

Знак «*» в дальнейших выкладках, касающихся безразмерных координат, опустим. Тогда система (1.2) примет вид:

ЕИ

г г

1 -V2

1 а2 1 -V 1 а2 ^ 1+V 1 а

я 2 ах2

+■

2 я2 ав2

V а

и +

х 2Я я авах в я2 ах

ив + иг

а2их

= -дх + рк—2г

аг2

ЕИ

г

1 -V2

1+V 1 а2

--7-их +

2 я2 авах х

V

+

2

V

1 а3

1 + 4-

И

2

12Я2

1 а2

+

И2 1 а

-1 (2-V)

я2 ав 12Я24 я2 ах2ав 12Я2 я2 ав3

я 2 ах2

3

1 +

И

2

12Я2

1 а2

я2 ав2

ив +

иг

У У

а2и

= -Яв + рИ—в в аг2

(16)

ЕИ

1 -V2

V а

--7-их +

я 2 ах х

1 а и\ л а3 и2 а3 ^

--7-+-7 (2 -V)—-;-+-7-г

я2 ав 12Я24 я2 ах2ав 12Я4 ав3

ив +

+

1

Я2 12Я

И2 ' 1

Я 2 Л -4

44

1 а4 1 а + 2 — —-—- +

4 У\ ^

я4 ах4 я2 ах2ав2 я2 ав

2 1/14

и

уУ У

; а 2иг

=-"п+рИ аи

Умножим обе части уравнений (1.6) на Я2 и разделим на

ЕИ

1 -V

2 '

Введем в рассмотрение параметр, связанный с относительной толщиной оболочки:

И2

а =

12 Я2 ' Тогда получим:

(1.7)

(а2 1 -V а2 Л

уах2 2 ав

1+V а2

их +--

х 2 авах

а_

ах

ив +V — иг = --

1 -V П2 1 -V2 2 а\ -Я 2дх +-Я 2р—-х

еи х е аг2

2

1 + у д2

--иг +

2 двдх х

1 -V

д2

д

2 (1 + 4а)д? + (1 + а)дв2

2

ив +

У

( д , ч д3 д3 ^

+--а(2 -V)—---а—-

дв У ' дх 2дв дв

1 -V2 п2 1 -V2 2 ди и. =--— Я Чв +-Я р-

Ек

Е

дг

2

д их +

дх

(

д

д3

д

+

-1 - а

V

Г д4

--+ а(2 -у)—.— + а- .

дв У ' дх 2дв двъ

3

ив +

+ 2-

д 4

+ -

д

4

чдХ4 дх2дв2 дв

иг =-'

1 У

Ек

,2 1 -V2 „2 д 2и„

Я2 Чп +

Е

Я 2р

дг2

Запишем систему (1.8) в матричной форме:

( ь-1 Ь-2 Ь-3 '

¿21 Ь22 Ь23

V ь31 Ь32 ь33 У

(и^ ив

V иГ У

1-у!я2

Ек

Г~ЧхЛ

Чв

V Чп у

1 -V2 „2

+--Я рЕ

д2 ( их ]

дг2 ив

V иг У

д2 1 -V д2

где =дХ2 + -Удв

ь = ь =1+У д2 ь12 = ь21 =

2 двдх

(1.8)

(1.9)

т т д

ь13 =- ь31 = .

дх

Ь77 = -—У (1 + 4а )-дт + (1 + а , 22 2 4 ' дх2 4 'дв2

т т д \ д3

Ь23 = -Ь32 = ТТ - а(2 - -

дв дх2дв

-а

Ь33 =-1 - а

'д ^ д + 2

4

,4 ^

■ + ■

Vдx4 дх 2дв2 дв4 у

д3

дв3

= -1 (д 2

-а чдх 2

-,2 ^

■ + ■

2

В отсутствии внешней нагрузки получаем, перенося правые части (1.9) налево, матричное уравнение, описывающее свободные колебания цилиндрической оболочки в виде

(1 о о У/иЛ

ь - ^ Я р-д!

Е дг2

о 1 о 0 0 1

У У

= 0.

(1.10)

V иг у

Колебания оболочки представляют собой наложение (сумму) различных типов колебаний, которые характеризуются определенным целым числом окружных волн т , которое называется окружным волновым числом. Так, при т = 0 колебания осесимметричные, при т = 1 - изгибные или балочные, при т = 2,3,... - колебания

2

и

в

неосесимметричные (высшие формы колебаний). Таким образом, вектор перемещений описывается соотношением вида

и =Х ит (х,0, г). (1.11)

т *

т

Для каждого фиксированного числа т будем, учитывая линейный характер динамических уравнений равновесия, искать решения системы (1.6) в виде:

Г их > Гитвкх-'ш со8(т0)Л

и0 = Утвкх-гш 81и(т0) , (112)

1 иг У Т¥твкх-Ш< со8(т0),

где о - приведённый параметр частоты, связанный с частотой О соотношением

о2 =1—— Я2рО2 , к = ЛЯ - приведённое осевое волновое число, Л - осевое волновое

Е

число, т - окружное волновое число (число окружных волн).

Выбор решения в виде (1.12) означает, что чисто мнимые значения к = к (о) характеризуют распространяющуюся волну, чисто вещественные (действительные) -затухающую волну, а полностью комплексные - неоднородную волну. В бесконечной оболочке всегда имеется две волны, распространяющиеся (затухающие) в противоположных направлениях. Положительному значению чисто мнимого осевого волнового числа к будет соответствовать волна, распространяющаяся в направлении оси 0х, а отрицательному значению чисто вещественного к - волна, затухающая в том же направлении без осцилляции по осевой координате. Для полностью комплексного к положительное значение мнимой части и отрицательное значение вещественной будет описывать волну, затухающую в направлении оси 0х с осцилляцией (неоднородную волну).

Подстановка в (1.10) решений в виде (1.12) для каждого фиксированного т = 0,1, 2,...

приводит, после деления первого и третьего уравнений на екх~'т ооъ(т0) , а второго уравнения на екх~'т 8т(т0) , к линейной однородной системе относительно неизвестных ит, ут, Жт . Эта система будет иметь нетривиальное (ненулевое) решение при условии

равенства нулю определителя её матрицы, что осуществляется при определённых значениях к = к (о). Таким образом, приравнивание к нулю определителя матрицы системы собственно и даёт дисперсионное уравнение. Оно имеет вид:

,2 1 -У 2 2 к--т + о

2 1 + У

2

-ук

1 + у 2

кт

Ук

кт

1 -У

■ (1 + 4а)к - (1 + а)т + о - т + а(2 - у)к т - ат

2

2 3

- т + а(2 - у)к т - ат

-1 -а(к2 -т2)2 + о2

= 0.(1.13)

V У

Приравнивая к нулю определитель этой матрицы, получаем дисперсионное уравнение вида в виде равенства нулю многочлена 8-й степени по к или многочлена 6 степени по о .

а^к8 + а6 (о)к6 + а4 (о)к4 + а2 (о)к2 + а0 (о) = 0 , о6 + 64 (к )о4 + Ь2 (к )о2 + Ь0(к) = 0.

(1.14)

(1.15)

1.2. Применение упрощённых теорий оболочек для нахождения дисперсионных кривых. Дисперсионные уравнения, получающиеся по упрощенным теориям

1.2.1. Безмоментная теория

При использовании безмоментной теории оболочек в уравнениях равновесия пренебрегают всеми моментами [88], и уравнения (1.1) принимают вид:

д# 1 д?

х0

дх Я 50

1 + д^

= -Чх + ри

Я д0 дх

= -Чв + Ри

ач

дг2

д2ив

Ыв , д2иг

--~ = -Чп + рИ—г

Я п дг2

Матрица оператора Ь в (1.9 -1.10) принимает вид:

Г д2 1 -у д2

+

дх

2

2 д0 2

2

1 + у д

2 дхд0 д_

х

1 + у д2 2 дхд0

1 -у д2 д2

■ + ■

у-

д_ х

-у-

2 дх д02

а

А д0

— -1 0

v у

Дисперсионное уравнение принимает вид:

ёй

2 1 -у 2 , 2

к2 -

-т + о

1 + у

кт

1 + у

2 - ук

кт

1 - у/2 2 2

-к -т +о

ук

-т

2

-т

-1 + ох

= 0.

(116)

(1.17)

(118)

2

Формально оно получается из дисперсионного уравнения по моментной теории, если в (1.13) положить а = 0.

Дисперсионное уравнение сводится к равенству нулю многочлена 4-й степени по к или 6-й степени по со .

а (с)к4+а (с)к2 + а С) = 0, (1.19)

с6 + Ь4 (к )с4 + Ь2 (к )с2 + Ь0(к) = 0. (1.20)

Дисперсионные кривые, полученные по безмоментной теории, представлены на рис.1.5-1.6. Видно, что неоднородные волны, которым соответствуют полностью комплексные дисперсионные кривые, безмоментная теория не позволяет выявить. Частоты отсечки затухающих и распространяющихся волн по безмоментной теории получаются такие же, как по моментной, кроме случая т = 2, когда частота отсечки первой затухающей и первой распространяющейся волн получается, по безмоментной теории, равной нулю.

1.2.2. Полумоментная теория

По этой теории в уравнениях динамического равновесия пренебрегают осевым изгибающим моментом Мх и крутящим моментом Н. При этом параметр кручения г также полагается равным нулю. Следовательно, в этом случае

Ек

' & —

Ек (дип 1 ди

5 = 5хв= 5вх = (1 + у)&хв = 2(1 + У^дх

+ ■

Я дв

(1.21)

Уравнения динамического равновесия для усилий и моментов принимают вид:

дМ 1 д5

+ ^^ = -Чх +Рк

дх Я дв 1 дМ д5 1 дМ,

ди

дг2

- + -

Я дв дх Я 2 дв

= -Чв+рк

д и

дг2

1 д М Ыв , д и

Я2 1М - Мв=-Чп +рк ди

(122)

Дисперсионное уравнение примет вид:

,2 1 -V 2 2

к--т +с

2 1+ У

2

-ук

кт

1+ У 2

кт

1 -V* 2 /1 \ 2 2 -к - (1 + а)т2 +с2

3

- т - ат

ук

2

- т + уак т - ат

2 2 4 2 -1 + аук т - ат +с

3

= 0.

(123)

где а =

к2

12 Я2

х

<

Дисперсионное уравнение сводится к равенству нулю многочлена 6-й степени по к или по о .

а6 (о)к6 + а4 (о)к4 + а (о)к2 + а0 (о) = 0 .

о6 + Ь4 (к )о4 + Ь2 (к )о2 + Ь0(к) = 0.

(124)

(125)

Полубезмоментная теория оболочек [88] подразумевает, что в рамках полумоментной теории полагают коэффициент Пуассона у = 0 . Дисперсионное уравнение сводится к равенству нулю многочлена 4-й степени по к или 6-й степени по о .

1.2.3. Упрощения Муштари

По предположению Муштари [69] и [88], считается, что если напряжения от моментов имеют равный или меньший порядок, чем напряжения от усилий, то величиной и0 в

соотношениях для изгибающих и крутящих моментов можно пренебречь. Таким образом, соотношения для них из (1.5) принимают вид:

ЕИ

3 ( Д2

М1 =—1-П

1 12(1 -у2)

д и уди

2

дх2

■ + ■

ЕИ

М 2 =--7-тЛ

2 12(1 -у2)

'3 ^ д2и

у-

дх

Я2 д02

1 д2цЛ

Я2 д0

2

(126)

У

н = -

ЕИ

? (

12(1 + у)

2 Л

1 д2ц Я дхд 0

Дисперсионное уравнение примет вид:

2 1 -у 2 , 2

к2 -

т + о 2

1 + у

кт

2 -ук

кт

1 -у 2

(1 + 2а)к2 - т2 + о:

-т

ук

2 3

- т + а(2 -у) к т - ат

4 2 2 4 2

-1 - ак + 2ак т - ат + о

= 0.

V У

(1.27)

Оно сводится к равенству нулю многочлена 8-й степени по к или 6-й степени по о .

1.2.4. Теория Доннелла-Муштари-Власова

2

Упрощения моментной теории, связанные с исследованиями Доннелла [56], Муштари [69] и Власова [48], нашли наибольшее распространение в современных работах по распространению волн в цилиндрических оболочках. При использовании этой теории в

матрице оператора Ь (см. (1.9)) величину а полагают равной нулю во всех элементах, кроме Ь33-

Дисперсионное уравнение принимает вид:

,2 1 -У 2 2

к--т + а

2 1 + У

1 + У 2

кт

2 -Ук

кт

1 -У 2 2 2

-к - т + а

2

Ук

-т

-1 -а(к2 -т2)2 + а2

= 0.

(1-28)

V у

Оно сводится к равенству нулю многочлена 8-й степени по к или 6-й степени по а

1.3. Сопоставление дисперсионных кривых, полученных по упрощенным теориям, с дисперсионными кривыми по моментной теории

В этом разделе приводятся найденные по различным теориям дисперсионные кривые для различных значений числа окружных волн т и обсуждается, какие волны (распространяющиеся, затухающие или неоднородные) и при каких частотах наблюдаются. При обсуждении количества волн будем учитывать только волны, распространяющиеся или затухающие в направлении оси 0х., то есть для которых 1т(к) > 0 и Яе(к) < 0 . В противоположном направлении распространяется или затухает точно такое же количество волн.

Расчёты, на основе которых получены дисперсионные кривые, приведенные в этом разделе, проводились для значений относительной толщины оболочки И/ Я = 0.025 и коэффициента Пуассона у = 0.3 . Для компактности на рисунках показаны только положительные значения вещественных и мнимых частей осевых волновых чисел.

1.3.1. Осесимметричные колебания (т=0)

Рисунки 1.1-1.2 позволяют при т=0 сопоставить дисперсионные кривые, полученные по различным упрощённым теориям, с дисперсионными кривыми, полученными по моментной теории. Видно, что безмоментная и полумоментная теории не позволяют найти полностью комплексные ветви и проследить взаимные переходы одних типов волн в другие. Вместо этого получаются дисперсионные кривые, уходящие в бесконечность или приходящие из бесконечности. Упрощения Муштари и теория Доннелла-Муштари-Власова дают очень хорошее совпадение с моментной теорией.

Рисунок 1.1. Сопоставление совпадающих дисперсионных кривых по безмоментной и полумоментной теориям (точечные тёмно-синие линии) в случае т=0 с дисперсионными кривыми по моментной теории (красные - полностью комплексные, голубые - чисто-вещественные или чисто мнимые).

10 1т<*)

8

б 4 2 0

1 1 * 1

т = 0 Я в

\ ] * г

- \ ; % • % • •

- • -

• ^^----- ------

0.5

1

ы

1.5

Рисунок 1.2. Сопоставление совпадающих дисперсионных кривых с упрощениями Муштари и по теории Доннелла-Муштари-Власова (точечные тёмно красные и тёмно-синие линии) в случае т=0 с дисперсионными кривыми по моментной теории (красные -полностью комплексные, голубые - чисто вещественные или чисто мнимые).

Изображенные на рис.1.1-1.2 дисперсионные кривые показывают, что в случае осесимметричных колебаний, начиная с с = 0, имеется две распространяющихся и одна неоднородная волна. Неоднородная волна при с = 1 переходит в затухающую и распространяющуюся волны.

1.3.2. Изгибные колебания (m=1)

Рисунки 1.3-1.4 позволяют при т=1 сопоставить дисперсионные кривые, полученные по различным упрощённым теориям, с дисперсионными кривыми, полученными по моментной теории. Видно, что как и в случае т=0, безмоментная и полумоментная теории не позволяют найти полностью комплексные ветви и проследить взаимные переходы одних типов волн в другие. Вместо этого получаются дисперсионные кривые, уходящие в бесконечность или приходящие из бесконечности. Упрощения Муштари и теория Доннелла-Муштари-Власова дают очень хорошее совпадение с моментной теорией. Однако, при малых частотах теория Доннелла-Муштари-Власова даёт небольшую полностью комплексную ветвь, которая не наблюдается по моментной теории (рис.1.9).

т = 1

»

• «

1 \

- \

ч

0.5 1 1.5 2

ш

Рисунок 1.3. Сопоставление совпадающих дисперсионных кривых по безмоментной и полумоментной теориям (точечные тёмно-синие линии) в случае т=1 с дисперсионными кривыми по моментной теории (красные - полностью комплексные, голубые - чисто-вещественные или чисто мнимые).

10

1 i * i

т = 1 f ш ж

- • W К

? -

0.5 1 1.5

ы

Рисунок 1.4. Сопоставление совпадающих дисперсионных кривых, полученных с упрощениями Муштари и по теории Доннелла-Муштари-Власова (точечные темно красные и тёмно-синие линии) в случае т=1 с дисперсионными кривыми по моментной теории (красные - полностью комплексные, голубые - чисто вещественные или чисто мнимые).

О 0.01 0.02 0 0.01 0.02

ы и

Рисунок 1.5. Отличия дисперсионных кривых, полученных по теории Доннелла-Муштари-Власова (точечные тёмно-красные и тёмно-синие линии) от дисперсионных кривых по моментной теории (голубые линии) в случае т=1 при малых частотах.

Изображенные на рис.1.3-1.5 дисперсионные кривые показывают, что в случае изгибных колебаний имеется одна затухающая волна, начинающаяся с с = 0, и переходящая в распространяющуюся при с = 0.61 и одна неоднородная волна, начинающиеся с со = 0, которая при с = 1 распадается на две затухающих, одна из которых, в свою очередь, превращается в распространяющуюся при с = 1.43.

1.3.3. Неосесимметричные колебания (т=2)

Рисунки 1.6-1.11 позволяют при т=2 сопоставить дисперсионные кривые, полученные по различным упрощённым теориям, с дисперсионными кривыми, полученными по моментной теории. Видно, что, как и в случаях т=0 и т=1 , безмоментная и полумоментная теории не позволяют найти полностью комплексные ветви и проследить взаимные переходы одних типов волн в другие. Вместо этого получаются дисперсионные кривые, уходящие в бесконечность или приходящие из бесконечности. Упрощения Муштари и теория Доннелла-Муштари-Власова дают очень хорошее совпадение с моментной теорией. Однако при малых частотах все рассмотренные упрощенные теории дают отличные от моментной теории результаты (рис.1.12-1.15). По безмоментной теории первая распространяющаяся волна начинается при с = 0, что не согласуется с моментной теорией

(рис.1.12). Полумоментная теория, хотя и не позволяет найти комплексные ветви, очень точно определяют частоту отсечки первой распространяющейся волны (рис.1.13). Упрощения Муштари и теория Доннелла-Муштари-Власова дают при малых частотах дисперсионные кривые, незначительно отличающиеся от моментной теории (рис.1.14 и 1.15).

Рисунок 1.6. Сопоставление совпадающих дисперсионных кривых по безмоментной и полумоментной теориям (точечные тёмно-синие линии) в случае m=2 с дисперсионными кривыми по моментной теории (красные - полностью комплексные, голубые - чисто-вещественные или чисто мнимые).

Рисунок 1.7. Сопоставление совпадающих дисперсионных кривых, полученных с упрощениями Муштари и по теории Доннелла-Муштари-Власова (точечные тёмно-красные и тёмно-синие линии) в случае m=2 с дисперсионными кривыми по моментной теории (красные - полностью комплексные, голубые - чисто вещественные или чисто мнимые).

Рисунок 1.8. Отличия дисперсионных кривых, полученных по безмоментной теории (точечные тёмно-синие линии) от дисперсионных кривых по моментной теории (красные и голубые линии) в случае m=2 при малых частотах.

Рисунок 1.9. Отличия дисперсионных кривых, полученных по полумоментной теории (точечные тёмно-синие линии) от дисперсионных кривых по моментной теории (красные и голубые линии) в случае m=2 при малых частотах.

Рисунок 1.10. Отличия дисперсионных кривых, полученных на основе упрощений Муштари (точечные тёмно-красные и тёмно-синие линии) от дисперсионных кривых по моментной теории (красные и голубые линии) в случае m=2 при малых частотах.

Рисунок 1.11. Отличия дисперсионных кривых, полученных по теории Доннелла-Муштари-Власова (точечные тёмно-красные и тёмно-синие линии) от дисперсионных кривых по моментной теории (красные и голубые линии) в случае m=2 при малых частотах.

Изображенные на рис. 1.6 - 1.11 дисперсионные кривые показывают, что в случае неосесимметричных колебаний имеются две неоднородные волны, начинающиеся с со = 0 . Первая из них (с меньшими по модулю значениями k) переходит в затухающую и распространяющуюся при с = 0.02 . Затухающая, в свою очередь, переходит в распространяющуюся при со = 1.20. Вторая неоднородная волна, начинающаяся с со = 0, при со = 1.10 распадается на две затухающих, одна из которых, в свою очередь, превращается в распространяющуюся при со = 2.25 .

Анализ рисунков 1.1-1.11 показывает, что безмоментная теория не позволяет определить комплексные ветви дисперсионных кривых, которые соответствуют неоднородным волнам, для всех рассмотренных т. Первая распространяющаяся волна (чисто мнимые к) по безмоментной теории всегда появляется при с = 0 , что согласуется с моментной только при т=0 и т=1. Из двух вещественных ветвей, на которые распадается комплексная при с> 1, безмоментная теория определяет только нижнюю. Полумоментная теория, как и безмоментная, не позволяет найти комплексные ветви и точки бифуркации, но точно определяет частоты отсечки распространяющихся волн. Упрощения Муштари и теория Доннелла-Муштари-Власова дают в рассмотренных диапазонах частот результаты, близкие к моментной теории. Исключение составляет случай т=1 при малых частотах, когда теория Доннелла-Муштари-Власова дает несуществующую по другим теориям комплексную ветвь, начинающуюся с с = 0, и заканчивающуюся при с = 0.005, и с этого значения, а не с нуля, появляются первые распространяющиеся и затухающие волны. На малых частотах при т=2 для нахождения частоты отсечки первой распространяющейся волны преимущество имеет полумоментная теория, результаты которой почти полностью совпадают с моментной. Упрощения Муштари и теория Доннелла-Муштари-Власова при этом дает на малых частотах незначительные отличия от моментной и полумоментной.

С физической точки зрения представляется достаточно очевидным, что безмоментная теория, при которой в уравнениях движения пренебрегают всеми моментами, не даёт реального значения частоты отсечки первой распространяющейся волны в режиме изгибных колебаний и неосесимметричных режимах, а применима только для осесимметричного (мембранного) режима т=0.

Вышеизложенное позволяет сделать вывод, что для определения частот отсечки на не слишком малых частотах (с> 0.07) можно использовать любую упрощенную теорию, ибо каждая из них позволяют точно определить частоты отсечки, что особенно важно для определения диапазона частот, в котором осевые волновые числа чисто мнимые, и соответственно имеется распространяющаяся волна. На малых частотах следует использовать только полумоментную или моментную теории. Следует иметь в виду, что по безмоментной и полумоментной теориям можно лишь косвенно судить о диапазонах частот, в которых имеют место неоднородные волны, ибо эти теории не позволяют найти полностью комплексные корни. Если эти сведения необходимы, то наилучшие результаты дают упрощения Муштари и теория Доннелла-Муштари-Власова.

1.4. Модальные коэффициенты и их применение к исследованию типа преобладающих

перемещений распространяющейся волны

Используемый здесь метод нахождения модальных коэффициентов [14] успешно работает для изотропной оболочке, но, как будет показано в главе 2, неприменим, когда значение амплитуды радиального перемещения Жт на некоторых частотах обращается в

ноль. Это наблюдается, когда оболочка заполнена сжимаемой жидкостью.

Для исследования вопроса, какие перемещения (осевые, радиальные или окружные) преобладают в той или иной распространяющейся волне, введем в рассмотрение осевой и окружной модальные коэффициенты, как отношения амплитуд осевых и окружных перемещений к амплитуде радиального перемещения.

и

ат

Ж '

' ' т

(1.29)

V

В = Вт Ж

(1.30)

В ряде случаев более удобным оказывается использование нормированных модальных коэффициентов:

а

норм _ ит

= Ж.

1

V

В норм _ ' т

Вт = Ж '

\2 \ |2 ит + -т + 1

I? I 12

ит + -т +1

(1.31)

(132)

Следующая система позволяет найти модальные коэффициенты из любой пары

уравнений:

(

,2 1 -У 2 2 к2--т +с2

2 1 + У

2

-ук

1 + у 2

кт

Ук

кт

1 -У

■ (1 + 4а)к - (1 + а)т +с - т + а(2 - у)к т - ат

2

2 3

- т + а(2 -у)к т - ат

-1 -а(к2 -т2)2 +с2

(и Л

-т

Ж

у'т

= 0.

(1.33)

При использовании первого и второго уравнений из (1.53) для нахождения модальных коэффициентов получаем:

2 1 — У 2 21 • ' к--т +с \ат +-ктВт =-ук

2

1+У 2

1 +У

кта +

1 -у

(1 + 4а)к2 -(1 + а)т2 +а2 =-(-т + а(2-у)к2т-атг)

1

2

При этом, если, например, > 1, то это означает, что осевые перемещения превалируют над радиальными, и волна преимущественно осевая, если же \ат\< 1 , то, наоборот, превалируют радиальные перемещения. Аналогичные утверждения имеют место и для ¡5т .

На рисунках 1.12-1.13 показаны модальные коэффициенты распространяющихся волн в зависимости от со для т=0 и т=1.

1.4.1. Случай осесимметричных колебаний (т=0)

В этом случае система для нахождения ит, Ут, Жт принимает вид: (к2 +с2 0 ук Y

0

-ук

1 У(1 + 4а )к2 +с2

2

0

- ак4 -1 + с2

Если к является корнем уравнения 1 у (1 + 4а)к2 +с2 = 0 , то получаем, что первая

распространяющаяся волна, которой соответствует изменяющаяся по линейному закону чисто мнимая дисперсионная кривая, является крутильной, то есть характеризуется только окружными перемещениями, а радиальные и осевые перемещения равны нулю. В этом случае система для амплитуд вектора перемещений принимает вид:

(и Л (0Л

т

V = 0

т

Ж у 0

(1.35)

(1.36)

(к2 +с2 0 ук Л (и Л т (0Л

0 0 0 V т = 0

-ук у 0 - ак4 -1 + с 2 Ж у 0 ,

Если же к является корнем уравнения ёй

(к2 +с2

ук

у -ук - ак4 -1 + с2 J

= 0 , то, наоборот,

окружные перемещения равны нулю, а распространяющаяся волна характеризуется только радиально-осевыми перемещениями. Модальные коэффициенты представлены на рисунке 1.18.

со

Рисунок 1.12. Слева - модальные коэффициенты 1т(а0) , справа - соответствующие

им по цвету дисперсионные кривые, характеризующие распространяющиеся волны (к -чисто мнимые) при т=0.

При т = 0 одна из двух распространяющихся волн, зарождающихся при с = 0 (красная дисперсионная кривая на правом рис.1.12), сначала характеризуется только осевыми перемещениями (график модального коэффициента приходит из бесконечности, что означает, что амплитуда радиальных перемещений равна нулю), затем, с ростом с , перемещения становятся радиально-осевыми, а далее преимущественно радиальными. Третья распространяющаяся волна (зелёная дисперсионная кривая на правом рис.1.12) зарождается, как чисто радиальная, затем, с ростом с , становится радиально-осевой, а далее преимущественно осевой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тер-Акопянц Георгий Леонович, 2015 год