Исследование устойчивости слоистых оболочек вращения из композитных материалов на основе обобщенной сдвиговой модели тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кошевой, Иван Кириллович

• Кошевой, Иван Кириллович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кошевой, Иван Кириллович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРИНЦИП ОДНОРОДНОСТИ НАПРЯЖЕННО-ДООРМИРОВАН-НОГО СОСТОЯНИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К ПОСТРОЕНИЮ УРАВНЕНИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ПО ТОЛЩИНЕ ОБОЛОЧЕК.

1.1. Исходные предпосылки.

1.2. Соотношения упругости для слоистых пластин

1.3. Уравнения равновесия и устойчивости неоднородных оболочек

ГЛАВА 2. ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ НЕЙТРАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ

2.1. Основные допущения

2.2. Кинематические и статические соотношения теории упругости.

2.3. Вариационный принцип Треффца

2.4. Вариационное уравнение устойчивости слоистых оболочек вращения

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ НАГРУЗОК ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ ПО ТОЛЩИНЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННЫХ СДВИГОВЫХ МОДЕЛЕЙ.

3.1. Алгоритм расчета критических значений нагрузок цилиндрических оболочек неоднородного строения по толщине, основанный на принципе однородности напряженно-деформированного состояния

3.2. Решение задачи устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки на основе вариационного принципа Треффца.

3.3. Сопоставление результатов расчета критических нагрузок для цилиндрических оболочек, полученных на основе трехмерной линеаризированной и уточненных теорий

3.4. Определение 1фитического давления для трехслойной сферической оболочки

3.5. Анализ результатов, полученных по прикладным уточненным и трехмерной линеаризированной теориям для сферических оболочек

ШВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С УЧЕТОМ ЭФФЕКТОВ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ ОСОБЕННОСТЯМИ МАТЕРИАЛА И КОНСТРУКТИВНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ ПО ТОЛЩИНЕ.

4.1. О зависимости критических значений нагрузок от параметров жесткости оболочки

4.2. Качество и степень влияния конструктивной неоднородности на устойчивость оболочек

4.3. Влияние структуры пакета сферической оболочки на критические значения равномерного внешнего давления.

4.4. Влияние технологических неоднородностей на устойчивость оболочек из композитных материалов.

4.5. Зависимости критических значений нагрузки от способа армирования композита.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование устойчивости слоистых оболочек вращения из композитных материалов на основе обобщенной сдвиговой модели»

Слоистые тонкостенные конструктивные элементы находят широкое применение в различных областях современной техники. Использование слоистых конструкций обусловлено возможностью уменьшить материалоемкость соответствующих систем при требуемой прочности, жесткости и устойчивости.

С появлением полимерных армированных материалов существенно расширились возможности для создания оптимальных многослойных конструкций с применением композитных материалов и широкого их внедрения в народное хозяйство.

Эффективность внедрения в народное хозяйство тонкостенных слоистых конструкций из современных конструкционных, в частности композитных материалов, в значительной мере зависит от экспериментальной и теоретической проработки вопросов, связанных с определением несущей способности таких конструкций.

Расчеты на прочность и устойчивость многослойных изделий из композитных материалов на основе уравнений трехмерной теории упругости представляют собой весьма сложную задачу. Поэтому возникает необходимость в построении эффективных теорий многослойных одномерных и двумерных механических систем, учитывающих специфику физико-механических свойств каждого слоя.

Существенный интерес с точки зрения требований практики расчета и проектирования многослойных конструкций представляет также анализ влияния структуры пакета, геометрических и механических параметров слоев, схем армирования и др. факторов на характеристики, определяющие несущую способность тонкостенных слоистых элементов конструкций.

В связи с этим разработка обоснованных методов расчета и изучение особенностей реакции на внешние воздействия неоднородных по толщине пластин и оболочек являются актуальными задачами механики деформируемого твердого тела. Подтверждением тому является включение подобных исследований в "План научных исследований АН УССР на I98I-I985 гг." (Том I "Естественные науки", шифры I.I0.2.9; I.10.2.12).

Как правило в процессе эксплуатации тонкостенные элементы конструкций исчерпывают несущую способность путем потери устойчивости. В первую очередь практической важностью исследований этого механического явления объясняется не^угасающий интерес к этой проблеме со стороны большого числа советских и зарубежных исследователей.

Вопросы устойчивости тонкостенных элементов конструкций из традиционных материалов обычно рассматривались на основе прикладных классических теорий, построенных на основе кинематических либо статических гипотез. Применение армированных материалов с их специфическими особенностями (существенная анизотропия деформативных свойств, низкая сдвиговая жесткость) потребовало всесторонне обоснованных методов расчета на устойчивость элементов конструкций из них.

В работах [б, 7. 32, 35, 58, 85, 92, 103]показано, что для реальных оболочечных конструкций из композитных материалов отношения модуля Юнга к модулю сдвига могут быть такими, что даже для инженерных расчетов отказ от классических гипотез становится необходимым. Один из путей уточнения классической теории оболочек связан с применением моделей, менее жестких, чем классические.

Первой моделью,выходящей за рамки классических гипотез, была сдвиговая модель С.П.Тимошенко [117] . Дальнейшее развитие уточненные теории однородных и неоднородных по толщине оболочек, учитывающие деформации поперечных сдвигов, получили в работах Л.Я.Айнолы, У.К.Нигула [ i] , С.А.Амбарцумяна [4-7 ](, В.В.Болотина [24-30 ] , Г.А.Ванина, Н.П.Семенюка [35, 97, 98] ,

A.Л.Гольденвейзера [42] , Э.И.Григолюка, П.П.Чулкова [46-51] , Я.М.Григоренко, А.Т.Василенко [36, 52] , В.И.Королева [66-67], Л.М.Куршина [73] , В.Н.Москаленко [74] , Ю.В.Немировского,

B.М.Самсонова, А.Н.Андреева [9, 10, 78, 79] , Ю.Н.Новичкова [80] , Б.Л.Пелеха [85 ] , А.П.Прусакова, Ю.К.Растеряева [88, 91] , Р.Б.Рикардса, Г.А.Тетерса [92] , А.Ф.Рябова [94-96] , А.0.Рассказова[89, 90] , Ю.М.Тарнопольского, А.В.Розе [Юз] , Л.П.Хорошуна [109] , Нагди [Пб] , Рейсснера [ 116 ] и др.

Развитию теории неоднородных по толщине оболочек, таким образом, предшествовали обширные и глубокие исследования по уточнению определяющих уравнений однородных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Этому обстоятельству в первую очередь обязана своими достижениями теория слоистых пластин и оболочек.

В настоящее время в исследованиях по устойчивости неоднородных по толщине пластин и оболочек сложилось несколько направлений.

Первое из них связано с применением для решения указанной задачи уравнений трехмерной теории упругости [16-23, 53-60, 63 J . Этот путь является наиболее предпочтительным с точки зрения точности учета эффектов, связанных с неоднородностью строения по толщине слоистых тел. Однако трудности математического характера, возникающие при решении конкретных задач, сдерживают широкое применение этого подхода в практике инженерных расчетов[92].

Ко второму направлению можно отнести исследования, основанные на моделях, построенных путем формулировки соответствующих кинематических либо статических гипотез для каждого слоя отдельной 9, 10, 46-52, 73, 88-91, 94] . Этот подход уступает первому в точности количественного описания эффектов, связанных с неоднородностью строения, однако он позволяет уловить качественные особенности явления потери устойчивости слоистых пластин и оболочек. Основным недостатком этого способа являются трудности технического характера, возникающие при численной реализации, вследствие зависимости порядка разрешающей системы дифференциальных уравнений от количества слоев в оболочках и пластинках.

Третье направление основано на замене неоднородных по толщине пластин и оболочек некоторой однородной моделью с приведенными (эффективными) жесткостями [4-7, 83, 84, 105-107]. Это достигается посредством введения некоторых упрощающих предположений относительно характера зависимости напряженно-деформированного состояния от вырожденной поперечной координаты, единых для всего пакета в целом. Этот путь решения задач устойчивости для слоистых пластин и оболочек наиболее прост в реализации, но он обладает недостатком в смысле точности количественного и качественного описания явления потери устойчивости. Область его применения ограничивается задачами общей потери устойчивости.

Наконец, работы, в которых для приведения трехмерной задачи теории упругости к двумерным вместо кинематических и статических гипотез используется предположение об однородности напряженно-деформированного состояния в достаточно малых областях пластины или оболочки, занимают отдельное место в теории неоднородных пластин и оболочек [109] .

Остановимся более подробно на основных работах указанных направлений теории неоднородных пластин и оболочек.

К первому направлению, как указывалось выше, относятся работы, выполненные в трехмерной постановке без привлечения каких-либо гипотез. Такой подход позволяет решать задачи механики полимерных армированных материалов и проводить расчет элементов конструкций из них, а также оценить погрешности и определить области применимости тех или иных допущений, применяемых в приближенных теориях слоистых оболочек, в зависимости от физико-механических характеристик композитных материалов. Применительно к исследованию устойчивости композитных материалов и элементов конструкций из них такой подход в последние годы разработан А.Н.Гузем, И.Ю.Бабичем [ 16, 17, 53-58 ] .

В указанных работах построены общие решения задач устойчивости трехмерных упругих тел при однородных докритичее-ких состояниях, изложены результаты исследований устойчивости пластин и оболочек, выполненных из материалов с малой сдви говой жесткостью. В монографиях [57, 58 ] , а также в работах [ 55 , 59 , 60 ] приведен графический материал, позволяющий получать значения критических нагрузок для различных геометрических параметров оболочек и механических характеристик материала, получены оценки и установлены области применимости прикладных теорий устойчивости.

В работе [21] на основе методики, разработанной А.Н.Гузем £57] исследована устойчивость трехмерной цилиндрической оболочки с ортотропными несущими слоями, прочно скрепленными с трансверсально изотропным заполнителем под действием осевого сжатия. Для несущих слоев используется гипотеза Кирхго-фа-Лява, а работа заполнителя описывается уравнениями трехмерной линеаризированной теории упругой устойчивости, позволяющей учесть докритическое состояние заполнителя. Рассматривалась осесимметричная форма потери устойчивости трехслойных оболочек. Показано, что применение уравнений линейной теории упругости для описания работы заполнителя и использование гипотезы ломаной линии для всего пакета слоев оболочки приводит к завышению значений критических нагрузок.

В статьях [18, 20, 22, 23, 63] рассмотрена устойчивость трехслойной сферической оболочки под действием равномерно распределенного внешнего давления. Несущие трансверсально изотропные слои оболочки рассматриваются в рамках гипотез типа С.П.Тимошенко, а к среднему трансверсально изотропному заполнителю применимы трехмерные уравнения упругой устойчивости. Показано, что применение гипотезы ломаной линии для всего пакета приводит к увеличению критического нагружения.

В основе построения двумерных уравнений прикладных теорий слоистых оболочек, относящихся ко второму направлению, лежит метод гипотез, применяемый для каждого слоя отдельно. Метод гипотез связан с некоторыми упрощающими предположениями относительно характера напряженно-деформированного состояния в элементе пластины или оболочки. Эти предположения формулируются, как правило, на основе физически наглядных представлений, имеющих модельный характер. В работах указанного направления существенным образом учитываются особенности поведения слоистых пластин и оболочек, обусловленные дискретностью их строения. При этом порядок системы уравнений зависит от числа слоев.

Основные соотношения теории пологих многослойных оболочек из линейно-вязко-упругого материала сформулированы Э.И.Григолюком и П.П.Чулковым [50] . Здесь для каждого слоя принимается гипотеза прямой линии, согласно которой поперечное сжатие материала слоев не учитывается; нормаль к исходной поверхности оболочки в процессе деформации поворачивается не искривляясь, но и не оставаясь перпендикулярной к деформиро-^ ванной исходной поверхности. В работе этих же авторов [49] получены нелинейные уравнения пологих слоистых анизотропных оболочек, находящихся под действием поперечной нагрузки и произвольного нагрева. Порядок чередования несущих слоев и заполнителя заранее не оговаривается. Переход от этой гипотезы к гипотезе Кирхгофа-Лява для какого-нибудь слоя происходит автоматически, если устремить его модули поперечного сдвига к бесконечности. Для оболочек симметричного строения по толщине и одинаковых граничных условий для симметрично расположенных слоев система 2S + 3 уравнений равновесия ( S - число слоев-заполнителей) существенно упрощается. Введение вспомогательной, необходимое число раз дифференцируемой функции

0С2 через которую могут быть выражены прогибы и сдвиги, позволяет свести задачу к определению функций усилий и перемещений из системы двух дифференциальных уравнений. Эти соотношения в основном были использованы при решении частных задач устойчивости при конечных прогибах оболочек и панелей, анализа данных и зависимости критической нагрузки и параметров волнообразования от геометрических и физических характеристик [48, 51] .

Закон ломаной линии по толщине пакета для смещений принят при исследовании устойчивости трехслойных цилиндрических оболочек с несущими слоями разной жесткости при осевом сжатии и внешнем давлении Ю.Ф.Крашаковым и А.Л.Рубиной [70] . Несимметричность структуры означает наличие разных толщин и разных упругих характеристик материалов несущих слоев. Расчеты показали, что наибольшие критические нагрузки могут получаться как при симметричной, так и при несимметричной структуре трехслойного пакета, в зависимости от соотношений между жесткостями несущих слоев и заполнителя. Эти результаты подтверждают выводы работы И.Я.Амиро и Н.Я.Прокопенко [8 ] .

В монографии Г.А.Ванина, Н.П.Семенюка, Р.Ф.Емельянова [ 35 ] на основании гипотезы ломаной линии изложена методика расчета критических нагрузок и форм потери устойчивости трехслойных цилиндрических оболочек при неосесимметричном внешнем давлении. Даны оценки неоднородности и моментности докритичес-кого состояния на величину критической нагрузки.

Важное место занимают исследования слоистых пластин и оболочек, основанные на применении предложенной В.В.Болотиным континуальной теории армированных сред [25, 29] . В работе[30] получены уравнения изгиба, устойчивости и колебаний для слоистых плит, составленных в произвольной последовательности из жестких и мягких слоев. При большом количестве слоев система кинематических параметров для каждого слоя заменяется .непрерывными функциями поперечной координаты. В результате задача сводится к трехмерным уравнениям для некоторой квазиоднородной анизотропной пластины или оболочки, эквивалентной в энергетическом смысле исходной.

Дальнейшее развитие теория слоистых сред получила в работах В.Н.Москаленко, Ю.Н.Новичкова, А.В.Петровского [74, 75, 80 , 87 ] , в которых она распространена на случай многослойных оболочек.

Применение теории слоистых сред [ 30] позволяет проводить достаточно полный анализ локальных эффектов в слоистых конструкциях при потере устойчивости. В [87] показано, что при анализе устойчивости сферических оболочек небольшой толщины f Ув) можно пренебрегать различием метрики слоев и полагать нормальное перемещение постоянным по толщине пакета слоев. При возрастании сдвиговой жесткости мягких слоев в нормальном к срединной поверхности направлении критические величины давления для толстостенных многослойных оболочек резко возрастают, а формы потери устойчивости становятся более быстро меняющимися. Последнее объясняется подкрепляющим действием мягких слоев. Для достаточно тонких оболочек %Sj прогибы всех жестких слоев при потере устойчивости практически одинаковы (общая форма потери устойчивости).

Ю.Н.Новичковым [80] рассмотрена задача о локальной устойчивости многослойной цилиндрической оболочки под действием продольных усилий. Для жестких слоев справедлива гипотеза Кирхгофа-Лява. Показано, что характер формы потери устойчивости существенно зависит от жесткости мягких слоев. Если жесткость мала, то форма выпучивания будет близка к форме потери устойчивости однослойной оболочки при осевом сжатии. При этом выпучивается только наружный слой. Дальнейшее увеличение жесткости мягких слоев приводит к тому, что 1фитической нагрузке будет соответствовать осесимметричная форма выпучивания. При небольших отличиях в жесткостях слоев оболочка начинает работать как монолитная. Форма выпучивания при этом снова не будет осесимметричной. На эту особенность волнообразования указано в работе О.В.Будрейко, В.И.Микишевой, С.Н.Сухинина [34] при исследовании на устойчивость при осевом сжатии трехслойной цилиндрической оболочки из ортотропных материалов.

В работе Я.М.Григоренко, А.Т.Василенко [52] приведены основные уравнения слоистых анизотропных оболочек с учетом неоднородности деформаций поперечного сдвига, обусловленной различием упругих свойств материала слоев. В основу данного подхода положено предположение о наличии в слоях оболочки локальных углов поворота, обусловленных поперечными сдвигами, и удовлетворении на поверхности контакта смежных слоев уеловиям непрерывности перемещений и напряжений. Это позволяет выразить перемещения и углы поворота всех слоев через соответствующие величины одного из них и таким образом получить уравнения, порядок которых не зависит от числа слоев.

Наряду с направлением, основанном на формулировке кинематических гипотез для каждого слоя отдельно, развиваются различные приближенные подходы, основанные на принятии гипотез для всего пакета слоев в целом. Такой путь получения уравнений берет начало от работ С.А.Амбарцумяна [4-7 ] . Условия совместности работ слоев без скольжения позволяют определить распределение тангенциальных перемещений по толщине всего многослойного пакета. Система дифференциальных уравнений, общий порядок которой не зависит от числа слоев, может быть получена как из условий равновесия элемента многослойной конструкции, так и с помощью вариационных принципов. Применительно к тонким анизотропным пластикам и оболочкам, предложенная С.А.Амбарцумяном теория позволяет рассматривать любой закон распределения касательных напряжений по толщине. Однако для большинства задач в качестве аппроксимирующей функции выбрана квадратичная парабола.

Распространение теории С.А.Амбарцумяна [б, 7] на случай многослойных пластин симметричной структуры дано Э.С.Остер-ником, Я.А.Баргом [83, 84] . Касательные напряжения в рассматриваемых задачах изгиба, устойчивости и колебаний многослойных пластин менялись по заданному закону вдоль оси .

Принятие гипотезы прямолинейного элемента для всего пакета в целом также, как и допущение о характере распределения поперечных касательных напряжений по толщине не дает возможности учитывать неоднородность деформаций поперечного сдвига, вызванную различием упругих свойств материала.

Более точному учету эффектов, обусловленных неоднородностью материала по толщине многослойных оболочек посвящены работы А.Ф.Рябова, А.0.Рассказова, А.П.Прусакова, Ю.К.Расте-ряева, Ю.В.Немировского, В.И.Самсонова [78, 79, 88-91, 94-9б].

А.Ф.Рябовым в качестве первого приближения полагается справедливой гипотеза недеформируемой нормали для всего пакета слоев. Затем из уравнений равновесия определяются величины поперечных нормальных и касательных напряжений, а из закона Гука - нормальные перемещения /С-го слоя. Таким образом найденные поперечные касательные и нормальные напряжения используются потом для построения второго приближения, в котором определяются деформации. В результате закон распределения тангенциальных перемещений по толщине каждого слоя оказывается нелинейным. Напряжения ( и =1,2) определяются из уравнений Гука для трехслойного напряженного состояния. Вариационным методом получена система дифференциальных уравнений десятого порядка, отличающаяся лишь членами в правой части от уравнений неоднородных оболочек, полученных на основе классической теории. Учет деформаций сдвига производится прИпомощи некоторой скалярной функции координат ос£ , , одинаковой для всех слоев. Учет сжимаемости слоя связан лишь с изменением их толщины за счет эффекта Пуассона. Подход к построению уравнений, сформулированный А.Ф.Рябовым, идейно близок к теории С.А.Амбарцумяна, однако в отличие от последней в нем учитываются поперечные нормальные напряжения и деформации.

В работах А.О.Рассказова предлагается вариант теории, основанный на статических гипотезах об изменении по толщине поперечных касательных и нормальных напряжений ( i = I, 2, 3) и на кинематической гипотезе об изменении поперечной деформации обжатия ёзъ , позволяющей учитывать эффекты по- ( перечного сдвига и обжатия в каждом из слоев.

Таким образом, имеется целый ряд вариантов теории многослойных оболочек, базирующихся на различных гипотезах. Преимущества и недостатки метода гипотез, как указано А.Л.Гольденвейзером [42] , весьма существенны и очевидны. Преимущества состоят в наглядности и относительной простоте рекомендаций; недостатки заключаются в невозможности повысить точность (без введения новых допущений) и в трудности получения оценки погрешности. Одним из недостатков метода гипотез является противоречивость некоторых гипотез. К явно противоречивым относится гипотеза о равенстве нулю поперечных нормальных напряжений и деформаций, принимаемая как в классической теории, так и в прикладных, учитывающих поперечный сдвиг.

В работе [Ю9] Л.П.Хорошуном предложен новый подход к построению теории многослойных оболочек, основанный на отказе от кинематических гипотез и замене их представлением об однородном в направлении тангенциальных координат напряженно-деформированном состоянии малого тонкостенного элемента. Этот подход непосредственно вытекает из принятых в механике сплошных сред представлений и способов описания, физически вполне нагляден и имеет модельный характер. При этом получение решений уточненных уравнений характеризуется меньшим объемом выкладок и вычислений, что облегчает их применение в многочисленных прикладных задачах.

Из приведенного выше обзора литературных источников следует, что в настоящее время существует достаточно много вариантов прикладных теорий слоистых пластин и оболочек, с большей или меньшей точностью описывающих особенности деформирования, связанные с неоднородностью строения пакета. При , построении прикладных теорий предпочтение отдается методу гипотез, при котором формулируются кинематические либо статические гипотезы для всего пакета оболочки в целом, т.е. неоднородная по толщине оболочка заменяется некоторой однородной, эквивалентной исходной оболочке в смысле приведенных жесткостей.

В литературе отсутствует обстоятельная информация по сравнению результатов, получаемых при решении задач устойчивости по различным прикладным и трехмерной теориям слоистых оболочек. Такое сравнение было бы полезно с точки зрения выработки рекомендаций по выбору наиболее эффективного варианта модели неоднородных оболочек с точки зрения решения задач устойчивости, а также позволило бы выяснить возможности в количественном и качественном описании прикладных уточненных теорий, представляющих второе и третье направления развития теории слоистых оболочек.

Основная масса исследований по теории слоистых оболочек относится к общим теоретическим построениям. Значительно меньшее количество работ посвящено решению конкретных задач по устойчивости слоистых оболочек; недостаточно полно выяснено качество и степень влияния различных факторов, связанных с неоднородностью строения (структура пакета, схемы армирования, механические характеристики слоев) оболочек на запас устойчивости рассматриваемых механических систем.

Проведенный анализ состояния рассматриваемого вопроса позволяет сформулировать цель настоящего исследования:

- разработка методики расчета устойчивости многослойных ортотропных цилиндрических и сферических оболочек на основе нового подхода построения теории слоистых оболочек, основанного на принципе однородности напряженно-деформированного состояния тонкостенного элемента произвольной по толщине структуры [109] ;

- построение методики расчета на устойчивость слоистых оболочек, учитывающей деформации сдвига в поперечном направлении для каждого слоя отдельно;

- выяснение на примерах решения конкретных задач для цилиндрических и сферических слоистых оболочек условий применимости указанных моделей неоднородных оболочек и их места в ряду других прикладных уточненных теорий слоистых оболочек применительно к решению задач устойчивости;

- исследование качества и степени влияния особенностей композитных материалов и конструктивной неоднородности по толщине на запас устойчивости оболочек.

Основным методом достижения поставленной цели является анализ решений конкретных задач, построенных на основе указанных моделей слоистых оболочек. Поскольку в диссертационной работе речь идет об оценке точности в описании потери устойчивости слоистых оболочек различными в идейном отношении моделями, то предметом исследования выбраны механические объекты, для которых представлялось возможным построение точных аналитических решений (цилиндрические и сферические оболочки) и тем самым сравнивать в чистом виде собственно погрешности механических моделей. Такой выбор объектов исследования оправдан и с точки зрения исследования влияния на устойчивость оболочек эффектов, обусловленных неоднородностью их строения.

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

В первой главе рассматривается общий принцип замыкания системы уравнений равновесия уточненной теории многослойных оболочек, основанной на замене кинематических гипотез представлением об однородном напряженно-деформированном состоя* нии тонкостенного элемента слоистой структуры, предложенный Л.П.Хорошуном [109] .

Во второй главе построена аналитическая модель слоистой оболочки из композитных материалов, учитывающая неоднородность деформаций поперечного сдвига, порожденной различием упругих свойств материала слоев. В основу данного подхода положено предположение о наличии в слоях оболочки локальных углов поворота, обусловленных поперечными сдвигами, и удовлетворении на поверхности контакта смежных слоев условиям непрерывности перемещений, что дает возможность выразить перемещения всех слоев через перемещения точек срединной поверхности. Для вывода дифференциальных уравнений нейтрального равновесия используется вариационный принцип Треффца, позволяющий разрешить вопрос об упрощениях, обеспечивающих заданный уровень точности при сведении трехмерной задачи к двумерной, а также получить дифференциальные уравнения и соответствующие им естественные граничные условия.

В третьей главе на основе двух моделей теории многослойных оболочек, использование которых продиктовано стремлением получить достоверную информацию о качестве и степени влияния неоднородности строения оболочек на устойчивость, а также необходимостью сравнительного анализа принципиально различающихся подходов описания реакции структурно неоднородных оболочек на внешнее воздействие, исследована упругая устойчивость безмоментного состояния трансверсально изотропных и слоистых ортотропных цилиндрических и сферических оболочек. В рассмотренных случаях осевого сжатия и внешнего поперечного равномерного давления получены критические значения нагрузок. Проведены сравнения результатов с соответствующими величинами, вычисленными на основе трехмерных линеаризированных уравнений при малых докритических деформациях, а также с результатами, полученными при помощи других вариантов уточненных теорий многослойных оболочек. Определены области применимости предложенных моделей в зависимости от геометрических параметров оболочек и механических характеристик материала.

Четвертая глава посвящена исследованию на основе указанных уточненных моделей устойчивости композитных цилиндрических и сферических оболочек с учетом эффектов, обусловленных особенностями материала и конструктивной неоднородности по толщине. На ряде конкретных примеров выявлена зависимость значений критических нагрузок для цилиндрических оболочек, находящихся под действием осевого сжатия и внешнего равномерного давления от характера ориентации главных осей ортотропии материала. Определено влияние податливости в поперечном направлении за счет эффекта Пуассона, а также учета сдвига в несущих слоях трехслойных оболочек на критические значения нагрузок. Изучен характер зависимости критических значений нагрузки от структуры пакета и механических характеристик двуслойных, трехслойных и пятислойных оболочек. Исследована зависимость критических нагрузок цилиндрических оболочек от способа армирования композита.

Новыми научными и практическими результатами, которые выносятся на защиту, являются:

- методики расчета критических значений нагрузки, построенные с использованием уточненных моделей неоднородных по толщине оболочек, основанных на принципе однородности напряженно-деформированного состояния и обобщенных кинематических гипотез типа сдвиговой модели С.П.Тимошенко для каждого слоя отдельно;

- результаты по определению областей применимости указанных моделей с точки зрения точности математического описания явления потери устойчивости слоистых оболочек в зависимости от геометрических и механических параметров составных элементов пакета оболочки;

- выявленные для наиболее часто используемых на практике многослойных оболочек (цилиндрическая, сферическая) степень и качество влияния на критические значения нагрузок различных эффектов, связанных с особенностями материала и структуры пакета оболочки.

Достоверность результатов и выводов, полученных в диссертации, обусловлена точностью аналитических решений и подтверждается согласованностью некоторых из полученных решений с известными в научной литературе точными решениями и решениями, найденными на основе других уточненных прикладных теорий.

Предложенные в работе методики позволяют решать широкий класс задач устойчивости оболочек вращения и могут быть использованы для расчета критических нагрузок слоистых оболочек, изготовленных из композитных материалов. Результаты исследования влияния эффектов, связанных с особенностями физико-механических характеристик материала и структурой пакета оболочки на запас устойчивости оболочек, могут быть использованы в практике проектирования слоистых оболочечных элементов конструкций при выборе рациональной структуры материала и пакета оболочки.

Результаты исследований вошли в отчеты Института механики АН УССР за 1980 год по теме "Исследование композитов сложной структуры и элементов конструкций из них" /№ г.р.77025611/, за 1982 год по теме "Задачи статики и динамики композитных тел и элементов конструкций слоистой структуры" /№ г.р. 80057931/.

Основные результаты диссертации изложены в работах [ II—15, 68, 112] , а ее содержание докладывалось на Республиканской научно-технической конференции "Повышение качества изделий, изготовленных из полимерных материалов" (Ивано-Франковск, 1977); I и П научно-технических конференциях "Совершенствование эксплуатации и ремонта корпусов судов" (Калининград, 1979; 1981); Научно-технической конференции "Применение композиционных материалов на основе полимеров в народном хозяйстве" (Гомель, 1980); 6-ом Советско-польском симпозиуме по неклассическим проблемам механики тонкостенных конструкций" (Киев, 1982); I Всесоюзной конференции "Механика неоднородных структур" (Львов, 1983).

В заключение автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Л.П.Хорошуну за постоянное внимание и помощь, оказанную при выполнении данной работы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кошевой, Иван Кириллович

Основные результаты проведенного исследования состоят в следующем:

1. На основе представления об однородном напряженно-деформированном состоянии тонкостенного неоднородного по толщине элемента без привлечения кинематических гипотез [109] получены уравнения устойчивости слоистых оболочек вращения. Составленные уравнения являются новой уточненной аналитической моделью теории устойчивости многослойных оболочек, учитывающей деформации сдвига в нормальных к срединной поверхности плоскостях и поперечное обжатие за счет эффекта Пуассона и, как показано в работе, отвечают требованиям относительной простоты и достаточной точности, предъявляемым к любой прикладной теории.

2. Посредством применения вариационного принципа Треф-фца[28] построена структурная модель слоистой оболочки, которая наряду с поворотом нормали при изгибе учитывает углы поворота нормальных элементов каждого слоя за счет сдвигов в плоскостях, нормальных к срединным поверхностям. Тем самым учитывается неоднородность деформации поперечного сдвига, вызванная различием упругих свойств материала слоев.

3. Проведено сравнение результатов расчета критических значений нагрузки для однородных цилиндрических и сферических оболочек, выполненных с применением предложенных уточненных моделей, с результатами решений на основе трехмерной линеаризированной теории Г17, 19, 20 ] . В результате сравнения установлены:

- область возможных значений относительных геометрических и упругих параметров, при которых различие сравниваемых решений не превосходит 5%-для цилиндрических трансверсально ( изотропных оболочек, находящихся под воздействием осевого сжатия и радиального внешнего давления, определяется соотношениями zkk*Q,0Z5 ; t/a<5 ; Et/crH00 (рис. 3.1, 3.2);

- удовлетворительная согласованность (различие в пределах 5-6%) решения, полученного с применением принципа однородности напряженно-деформированного состояния, с точным решением для сферических трансверсально изотропных оболочек с относительными значениями геометрических(^Чи * ) и упругих ( <с о,Ъ& ) параметров (табл. 3.1).

4. Выполнено сопоставление решений для слоистых оболочек, полученных с применением развитых в работе моделей, с решениями на основе трехмерной линеаризированной теории [ 18, 21] и других уточненных прикладных теорий неоднородных оболочек [47, 90, 97] . Показано, что:

- различные неклассические подходы к учету неоднородности строения пакета при исследовании устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки с относительными геометрическими [ < V/5 > < 8 ) и механическими /£(0) < SO ) параметрами в случаях осевого и радиального обжатия дают близкие результаты и с точки зрения исследования общей потери устойчивости являются эквивалентными. При исследовании потери устойчивости оболочек, находящихся под воздействием радиального давления, следует отдать предпочтение модели с применением принципа однородности напряженно-деформированного состояния, поскольку она дает более низкие значения критических нагрузок (рис. 3.5);

- для сферических оболочек с заполнителем, толщина которого сравнима с толщиной несущих слоев ( Ьо>/fa) * 5) результаты решений, полученных с использованием принципа однородности напряженно-деформированного состояния тонкостенного элемента и гипотезы ломаной линии для пакета [ 97 ] , по сравнению с решениями трехмерной линеаризированной теории завышены примерно на 30%. С увеличением толщины среднего слоя (. (>$) погрешность в определении значений критических нагрузок уменьшается и составляет около 10% (табл. 3.2).

5. Проанализировано влияние на критические значения нагрузок модулей Юнга в трех взаимно перпендикулярных направлениях и модулей сдвига в плоскостях, перпендикулярных к срединной поверхности оболочек. В результате численных расчетов установлены:

- слабая зависимость критических значений осевых сжимаX ющих усилий от поворота на угол -g главных осей ортотро-пии материала оболочки в области реальных значений коэффициента армирования [s = 25-г75%%) (табл. 4.1, рис. 4.1);

- незначительное 1 %) влияние податливости в нормальном к срединной поверхности направлении на критические значения нагрузок для композитных оболочек в широком диапазоне изменения относительной толщины zOJ -г 0}ol) (табл. 4.2);

- существенное влияние (более 20%) на расчетные значения критических нагрузок учета сдвиговых деформаций в несущих (жестких) слоях трехслойных цилиндрических оболочек с относительными геометрическими ( ~ > и механическими параметрами (0>/£0,2-Юъ) (рИс. 4.2, 4.3).

6. Проведены исследования характера и степени влияния конструктивной неоднородности на критические значения нагрузок для цилиндрических и сферических оболочек с чередующимися мягкими и жесткими слоями, в результате которых установлено, что:

- наиболее предпочтительным с точки зрения устойчивости является пакет с максимально возможным разнесением жестких слоев оболочки в пределах заданной общей толщины. Этот вывод согласуется с результатами исследований 8 ;

- для цилиндрических оболочек с несущими слоями из одинакового материала, находящихся под действием осевого сжатия,в зависимости от относительных значений упругих характеристик слоев и их толщин, значения критических нагрузок существенно зависят от структуры пакета (рис. 4.4);

- для трехслойных цилиндрических и сферических оболочек с одинаковыми механическими характеристиками несущих слоев, находящихся под воздействием внешнего давления, наибольший запас устойчивости обеспечивает симметричный относительно срединной поверхности пакет (рис. 4.7, 4.9);

- в случае пакета с. несущими слоями из материалов различной жесткости для оболочек средней длины с отношением слоев наружное расположение более жесткого слоя приводит к повышению 1фитических значений внешнего давления, а для длинных оболочек ( > 7 ) наблюдается нарушение этой тенденции (рис. 4.5);

7. Исследована зависимость критических значений нагрузки для цилиндрических оболочек от коэффициента армирования для композитов с пространственным армированием. При этом установлено, что при сохранении общего объемного содержания наполнителя хаотическая укладка его в плоскостях, эквидистантных срединной поверхности, дает более высокие критические значения радиального и осевого давлений при их раздельном и совместном действии по сравнению с различными вариантами пространственного армирования в тангенциальной и нормальных к срединной поверхности плоскостях, т.к. ориентация армирующих волокон композита под некоторыми углами к осевому направлению системы приводит к увеличению жесткости на сдвиг.

3 А К Л Ю Ч Е Н И Е

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кошевой, Иван Кириллович, 1984 год

1. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. - Изв. АН ЭССР, 1965, № 1. с. 363.

2. Александров А.Я., Куршин Л.М. Многослойные пластинки и оболочки. В кн.: Тр. УП Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок (Днепропетровск, 1969). - М.: Наука,1970, с. 714-721.

3. Алтухер Г.М. Об учете поворота поверхностей нагрузки при потере устойчивости тонких оболочек. Прикл. механика, 1974, 10, № 6, с. Ill—114.

4. Амбарцумян С.А. Еще одна уточненная теория анизотропных оболочек. Механика полимеров, 1970, № 5, с. 884-896.

5. Амбарцумян С.А. Некоторые вопросы развития теории анизотропных слоистых оболочек. Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ.-мат. наук, 1964, 17, № 3, с. 29-53.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. -М.: Наука, 1974, 446 с.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин (прочность, устойчивость и колебания).- М.: Наука, 1967, 268 с.

8. Амиро И.Я., Прокопенко Н.Я., Устойчивость многослойной цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буд1вельник,1971, вып. 15, с. 46-54.

9. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек. Изв. АН СССР, Мех. твердого тела, 1977, № 5, с. 87-95.

10. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Устойчивость упругих слоистых армированных оболочек. Механика композит, материалов, 1979, № I, с. 86-95.

11. Бабич Д.В., Кошевой И.К. Собственные колебания и устойчивость трехслойных оболочек из композиционных материалов. Прикл. механика, 1978, 14, № 7, с. 49-54.

12. Бабич Д.В., Кошевой И.К. Устойчивость композитной цилиндрической оболочки с различными схемами армирования. Прикл. механика, 1981, 17, № 5, с. 133-136.

13. Бабич Д.В., Кошевой И.К., Мартынова Н.Я. Устойчивость трехслойных оболочек из композитных материалов. В кн.: Повышение качества изделий, изготовляемых из полимерных материалов (Ивано-Франковск, дек. 1977): тез. докл. Киев: УкрНИИНТИ, 1977, с. 21.

14. Бабич Д.В., Кошевой И.К., Шпакова С.Г. Об учете неоднородных свойств материала в задачах упругого равновесия и устойчивости оболочек. В кн.: Механика неоднородных структур (Львов, сент. 1983): тез. докл. Киев: Наук, думка, 1983, с. 16-17.

15. Бабич И.Ю. Об устойчивости равновесия ортотропной цилиндрической оболочки. В кн.: Тр. УП Всесогоз. конф. по теории оболочек и пластинок (Днепропетровск, 1969), М.: Наука, 1970, с. 76-79.

16. Бабич И.Ю., Гузь А.Н. Устойчивость трансверсально изотропной цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Meханика полимеров, 1969, № 6, с. 1064-1068.

17. Бабич И.Ю., Гузь А.Н., Дериглазов Л.В. Исследование устойчивости трехслойных сферических оболочек. Прикл. механика, 1983, 19, № 7, с. 19-23.

18. Бабич И.Ю., Гузь А.Н., Чернушенко И.И., Шульга Н.А. Об оценке точности теорий устойчивости цилиндрических оболочек при внешнем давлении. Прикл. механика, 1974, 10,с. 16-21.

19. Бабич И.Ю., Дериглазов Л.В. Об устойчивости сферической трансверсально изотропной оболочки. Докл. АН УССР, Сер. А, 1979, № 10, с. 805-808.

20. Бабич И.Ю., Дериглазов Л.В. Об устойчивости трехслойных анизотропных цилиндрических оболочек. Докл. АН УССР. Сер. А, 1982, № 2, с. 26-29.

21. Бабич 1.Ю., Дериглазов Л.В. Ст1йк1сть тринарово1 сферич-но1 оболонки. Доп. АН УРСР. Сер. А, 1982, № 8, с. 3133.

22. Бабич И.Ю., Дериглазов Л.В., Чернушенко И.И. О влиянии свойств материала сферической оболочки на величину критической нагрузки. Механика композит, материалов, 1980,2, с. 281-185.

23. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. - 339 с.

24. Болотин В.В. Об изгибе плит, состоящих из большого числа слоев. Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и маш., 1964, № I, с. 61-66.

25. Болотин В.В. Об оценке погрешности уравнений в прикладной теории упругости. В кн.: Строительная механика. - М.: Стройиздат, 1966, с. 297-302.

26. Болотин В.В. Об уравнениях теории устойчивости тонких упт ругих оболочек. Инж. журнал. Механика твердого тела, 1967, № 4, с. II7-I23.

27. Болотин В.В. О сведении трехмерных задач теории упругой устойчивости к одномерным и двумерным задачам. В кн.: Проблемы устойчивости в строит, механ. - М.: Стройиздат, 1965, с. 166-179.

28. Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред. Механика полимеров, 1965, № 2, с. 27-37.

29. Болотин В.В. Прочность, устойчивость и колебания многослойных пластин. В кн.: Расчеты на прочность. М., 1965, вып. II, с. 31-63.

30. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

31. Будрейко О.В., Микишева В.И., Сухинин С.Н. К расчету на устойчивость при осевом сжатии трехслойных цилиндрических оболочек из ортотропного материала. М., 1976.8 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 660-76.

32. Ванин Г.А., Семенюк Н.П., Емельянов Р.Ф. Устойчивость обр-лочек из армированных материалов. Киев: Наук, думка, 1978. - 211 с.

33. Василенко А.Т., Голуб Г.П., Григоренко Я.М. Определение напряженного состояния многослойных ортотропных оболочек переменной жесткости в уточненной постановке. Прикл. механика, 1976, 12, № 2, с. 40-47.

34. Васильев В.В. Исследование краевого эффекта в цилиндрической оболочке из стеклопластика. Инж. журнал, 1965, № I, с. 143-154.

35. Васильев В.В. К теории ортотропных слоистых цилиндрических оболочек. Механика полимеров, 1968, № I, с. 136-144.

36. Васильев В.В., Назаренко В.Г. Вариант теории толстых, многослойных цилиндрических оболочек. Механика полимеров, 1974, № 6, с. I071-1078.

37. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. - 984 с.

38. Ворович И.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек. -В кн.: Тр. У1 Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин (Баку, 1966), М.: Наука, 1966, с. 896-903.

39. Гольденвейзер А.Л. Методы обоснования и уточнения теории оболочек. Прикл. матем. и механика, 1968, т. 32, № 4, с. 684-695.

40. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем. Изв. АН СССР, Отдел техн. наук, 1957, № I, с. 77-84.

41. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек. Прикл. механика, 1972; 8, № 6, с. 5-17.

42. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. Механика твердых деформируемых тел. Итоги науки и техники, М.: ВИНИТИ, 1973, - т. 5, 272 с.

43. Григолюк Э.И., Чулков П.П. К общей теории трехслойных оболочек большого прогиба. Докл. АН СССР, 1963, т. 150, № 5, с. I0I2-I0I4.

44. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Критические нагрузки трехслойных цилиндрических и конических оболочек. Новосибирск: Зал.-Сиб. кн. изд-во, 1966. - 223 с.

45. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения пологих многослойных оболочек регулярного строения. Мех. тверт-дого тела. Инж. ж., 1967, № I, с. 163-169.

46. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения тонких упругих слоистых анизотропных пологих оболочек с жестким заполнителем. Изв. АН СССР. Механика, 1965, № 5, с. 6880.

47. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Теория вязкоупругих многослойных оболочек с жесткими заполнителями при конечных прогибах. Журн. прикл. мех. и техн. физ., 1964, № 5,с. I09-II7.

48. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. - 172 с.

49. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Об учете неоднородных деформаций поперечного сдвига по толщине в слоистых оболочках. Прикл. механика, 1977, 13, № 10, с. 36-42.

50. Гузь А.Н. Общие решения трехмерных линеаризированных уравнений теории упругой устойчивости. Докл. АН УССР. Сер. А, 1967, № I, с. 56-60.

51. Гузь А.Н. О решении трехмерных задач устойчивости трансверсально изотропных тел. Докл. АН УССР. Сер. А, 1968, № 8, с. 747-749.

52. Гузь А.Н. О точности гипотезы Кирхгофа-Лява при определении критических сил в теории упругой устойчивости. Докл. АН СССР, 1968, т. 179, № 3, с. 552-554.

53. Гузь А.Н. Устойчивость ортотропных тел. Прикл. механика, 1967, 3, № 5, с. 40-51.

54. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. -Киев: Наукова думка, 1971. 276 с.

55. Гузь А.Н., Бабич И.Ю. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек. Киев: Вища школа, 1980. -168 с.

56. Гузь А.Н., Пелех Б.Л., Бабич И.Ю., Тетере Г.А. Об области применимости прикладных теорий в задачах устойчивости стержней и пластинок с низкой сдвиговой жесткостью в случае одноосного сжатия. Механика полимеров, 1969, № 6, с. II24-II26.

57. Гурский Н.Г., Яковлев Г.А. Экспериментально-аналитический метод определения неоднородности приведенных термоупругих характеристик стеклопластиков. Прикл. механика, 1969, 5, № 12, с. 24-27.

58. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. - 664 с.

59. Дериглазов JI.В. Устойчивость сферической оболочки с пустотелым заполнителем. Прикл. механика, 1982, 18, № 10,с. II7-II8.

60. Кильчевский Н.А. Анализ различных методов приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным и исследование постановки краевых задач теории оболочек. В кн.: Теория пластин и оболочек (Тр. П Всесоюз. конф.), Киев: 1962, с. 58-69.

61. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек, т. I, Киев: Изд-во АН УССР, 1963. - 354 с.

62. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М.: Машиностроение, 1965. - 272 с.

63. Королев В.И. Упруго-пластические деформации оболочек. -М.: Машиностроение, 1971. 304 с.

64. Кошевой И.К. Об устойчивости неоднородных сферических оболочек. Прикл. механика, 1982, 18, № 10, с. 39-44.

65. Кравчук B.C. 0 влиянии модуля сдвига на критические напряжения стеклопластиковых цилиндрических оболочек, нагруженных осевой сжимающей силой. Прикл. механика, 1969, 5, № 9, с. 129-133.

66. Крашаков Ю.Ф., Рубина А.Л. Устойчивость трехслойных композитных оболочек с несущими слоями разной жесткости при осевом сжатии и внешнем давлении. Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. ХШ, № 4, с. 99-109.

67. Крегер А.Ф., Мелбардис Ю.Г. Определение деформативности пространственно армированных композитов методом осреднетг ния жесткостей. Механика полимеров, 1978, № I, с. 3-8.

68. Крегер А.Ф., Тетере Г.А. Оптимизация структуры пространственно армированных композитов в задачах устойчивости.- Механика композит, материалов, 1979, № I, с. 79-85. 4

69. Куршин Л.М. Уравнения трехслойных непологих и пологих оболочек. В кн.: Расчеты элементов авиационных конструкций, 1965, вып. 3, с. 106-157.

70. Москаленко В.Н. Основные уравнения теории оболочек из слоистых материалов. Сб. докл. н.-т. конф. по итогам н.-и. работ за 1964-1965 гг., МЭИ, Секция энергомаш. Подсекц. дин. и прочн. машин. - М.: Изд-во МЭИ, 1965, с. 43-62.

71. Москаленко В.Н., Новичков Ю.Н. Уравнения толстых многослойных оболочек регулярного строения. Сб. докл. н.-т. конф. по итогам н.-и. работ за 1966-1967 гг., МЭИ, Секция энергомаш. Подсекция дин. и прочн. машин. - М.: Изд-во МЭИ, 1967, с. 60-79.

72. Мысык Д.А., Шакимов Л.А. Исследование устойчивости трехслойных ортотропных цилиндрических оболочек при осевом сжатии. Прикл. механика, 1977, 13, № 12, с. 58-62.

73. Нарусберг В.Л^, Рикардс Р.Б. Влияние поперечного сдвига на устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки с упругим заполнителем при осевом сжатии. Механика полимеров, 1973, № 2, с. 267-273.

74. Немировский Ю.В. Устойчивость и выпучивание конструктивно анизотропных и неоднородных оболочек и пластин. Механика твердых деформируемых тел. М.: ВИНИТИ, 1976. - т. 9, 156 с.

75. Немировский Ю.В., Самсонов В.И. Устойчивость упругих и вязко-упругих армированных оболочек и пластин с учетом деформаций поперечного сдвига. Механика полимеров, 1976, № 4, с. 671-680.

76. Новичков Ю.Н. Нелинейная теория и устойчивость толстыхмногослойных оболочек. Прикл. мат. и мех., 1973, 37, вып. 3, с. 532-543.

77. Новичков Ю.Н., Синицын Е.Н. Поверхностное выпучивание слоистой среды. Механика полимеров, 1973, № 4, с. 648654.

78. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М. - Л. Гостехиздат, 1948. - 211 с.

79. Остерник Э.С. Аназотропные слоистые пластины средней площины. Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1967, 20, № 5, с. 48-56.

80. Остерник Э.С., Барг Я.А. Инженерный метод расчета многослойных анизотропных пластин. В кн.: Тр. 1У Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин (Ереван, 1962), Ереван: Изд-во АН Арм. ССР, 1964, с. 758-763.

81. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наук, думка, 1973. - 248 с.

82. Петровский А.В. Об устойчивости сферической оболочки из слоистого композиционного материала. Механика полимеров, 1976, № 3, с. 459-464.

83. Прусаков А.П., Растеряев Ю.К. Изгиб, устойчивость и колебания многослойных пластин несимметричного строения.

84. В кн.: Тр УП Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок (Днепропетровск, 1969), М.: Наука, 1970, с. 518-523.

85. Рассказов А.О. К теории многослойных ортотропных пологих оболочек. Прикл. механика, 1976, I2, № II, с. 50-56.

86. Рассказов А.О. Об устойчивости многослойных ортотропных оболочек. Прикл. механика, 1978, 14, № 2, с. 62-66.

87. Растеряев Ю.К., Прусаков А.П. Поперечный изгиб многослойных пластин несимметричного строения. Изв. вузов. Авиационная техника, 1970, № 4, с. 49-56.

88. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. Рига: Зинатне, 1974. - 310 с.

89. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А., Цыпинас И.К. Синтез оптимальных цилиндрических оболочек из армированных пластиков при внешнем давлении и осевом сжатии. Механика полимеров, 1972, № 2, с. 301-309.

90. Рябов А.Ф. Основные уравнения теории многослойных оболочек с учетом деформации поперечного сдвига. Сопротивл. матер, и теория сооруж. Киев: Буд1вельник, 1965, вы. 3, с. 17-27.

91. Рябов А.Ф. Розрахунок багатошарових оболонок. Ки1в: Буд1вельник, 1968. - 100 е.

92. Рябов А.Ф. Устойчивость многослойной цилиндрической оболочки при продольном сжатии. Сопротивл. матер, и теория сооруж. Киев: Буд1вельник, 1965, вып. 2, с. 36-43.

93. Савиченко А.А., Семенюк Н.П. Об устойчивости и рациональном проектировании неоднородных сферических оболочек. -Прикл. механика, 1980, 16, № 6, с. 53-57.

94. Семенюк Н.П. Об уравнениях геометрически нелинейной теории оболочек типа Тимошенко. Прикл. механика, 1978, 14,№ 2, с . 128-132.

95. Синицын Е.Н. Устойчивость упругих и вязко-упругих цилиндрических оболочек из армированного материала. В кн.:

96. Тр. УП Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок (Днепропетровск, 1969), 1979, Наука, с. 557-561.

97. Спиро В.Е. Простейший вариант геометрически нелинейной теории ортотропных оболочек вращения, учитывающий поперечный сдвиг, и область его применения. В кн.: Проблемы строительной механики корабля. Л.: Судостроение, 1973, с. 223-242.

98. Тамуж В.П., Тетере Г.А. Проблемы механики композитных материалов. Механика композит, материалов, 1979, № I, с. 34-45.

99. Тарнопольский Ю.М. Современные тенденции развития волокнистых композитов. Механика полимеров, 1973, № 3,с. 541-552.

100. Тарнопольский Ю.М., Розе А.В. Особенности расчета деталей из армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1969. -274 с.

101. Терегулов А.Г. К теории многослойных анизотропных оболочек. Исследования по теории пластин и оболочек, 1970, вып. 6-7, с. 762-767.

102. Томашевский В.Т. К общей нелинейной теории устойчивости анизотропных оболочек и пластин. В кн.: Тр. У1 Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин (Баку, 1966), М.: Наука, с. 753-761.

103. Томашевский В.Т. 0 влиянии поперечных сдвигов и напряженного состояния на устойчивость анизотропного цилиндра. Прикл. механика, 1966, 2, № 4, с. 7-16.

104. Томашевский В.Т. Осесимметричная деформация толстого кругового цилиндра из стеклопластика, подкрепленного ребрами жесткости. Механика полимеров, 1966, № I, с. I08-II5.

105. Ульяшина А.Н. Напряженно-деформированное состояние op- t тотропных многослойных оболочек. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1983, № I, с. 155-166.

106. Хорошун Л.П. О построении уравнений слоистых пластин и оболочек. Прикл. механика, 1978, 14, № 10, с. 3-21.

107. Хорошун Л.П., Козлов С.В. Об уточнении основных соотношений одной обобщенной сдвиговой модели неоднородных оболочек. Прикл. механика, 1982, т. 18, № 6, с. 42-49.

108. Хорошун Л.П., Кошевой И.К. Устойчивость ортотропных оболочек неоднородного строения по толщине. Прикл. механика, 1980, 16, № 5, с. 36-44.

109. Хорошун Л.П., Маслов Б.П. Эффективные характеристики материалов, пространственно армированных короткими волокнами. Механика композит, материалов, 1979, № I, с. 3-9.

110. Чепига В.Е. Линеаризированные уравнения устойчивости толстых многослойных оболочек. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1971, № 2, с. 33-41.115. rtofllicU P.M. On tke theory of ikin еШм. Qtwt Appt. Math,., ik, i957?k, p. 369-580.

111. Rei^sfier E. Stress strain retaiions In ike theory of tkiru shatL.-1 Meubk. a Pty*., 2£f l*50,p. 90-95.

112. TiMockemeo S.p On. tKe correction- for sfte<w Of tfie. dufferefrtiat ec^aticn, far inotuiver&e vc£r<Uu>ru<> pm-ynaHc &urs.-Phjfb>b. Maj., Щ, 1921, p. 50-51.