Напряженное состояние упругих оболочек вращения из композиционных материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Левин, Владимир Дмитриевич

• Левин, Владимир Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Левин, Владимир Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ОСРВДНЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И УПРУГИХ

СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА.

§1.1. Сведение задачи теории упругости неоднородного тела к задаче теории упругости для модельного однородного тела.

§ 1.2. Решение ЗАДАЧИ I

§ 1.3. Физические компоненты эффективных и упругих модулей для оболочек вращения с одной плоскостью симметрии упругих свойств

Глава 2. ПОСТРОЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ

ТЕОРИЙ ОБОЛОЧЕК.

§ 2.1. Построение соотношений общей линейной теории оболочек

§ 2.2. Классическая постановка и решение осесимметричной задачи оболочек вращения

§ 2.3. Постановка задачи для цилиндрической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью.

§ 2.4. Неоднородная цилиндрическая оболочка в осевом и окружном направлениях

Глава 3. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ РАВНОВЕСИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПОД ВНУТРЕННИМ ДАВЛЕНИЕМ.

§ 3.1. Исследование напряжений в составной оболочке вращения, образованной методом намотки

§ 3.2. Цилиндрическая оболочка, образованная намоткой.

§ 3.3. Влияние дефекта на напряженно-деформированное состояние многослойной цилиндрической оболочки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Напряженное состояние упругих оболочек вращения из композиционных материалов»

В настоящее время в технике и строительстве все более широкое применение находят многослойные тонкостенные конструкции типа оболочек и в частности оболочки, образованные намоткой. Преимущество таких конструкций состоит в том, что они обладают большей удельной прочностью (прочность на единицу массы) и что их можно создавать с наперед заданными свойствами.

Параметры, определяющие свойства таких конструкций, как правило, определяются теоретически. И, следовательно, теоретические методы, используемые при этом, должны быть достаточно точными, а параметры, получаемые посредством их - отвечать действительности. Отсюда возникает необходимость разработки более точных методов расчета и предсказания упругих свойств таких конструкций.

Наиболее сложными для расчета являются оболочки, образованные намоткой. Сложность состоит в неоднородности упругих свойств как по толщине, так и в направлении армированных слоев. Для таких структур пока не удалось получить точных эффективных модулей упругости, поэтому их рассчитывают как многослойные оболочки, в которых армированные слои рассматриваются как жесткие с приведенными упругими свойствами, которые определяются либо экспериментально, либо теоретически. Другой способ заключается в рассмотрении оболочки как системы нитей.

Можно выделить два основных направления построения моделей теории многослойных оболочек. Е первому направлению можно отнести теории, основанные на введении кинематических и статических гипотез для каждого отдельного слоя. При таком подходе число уравнений зависит от числа слоев, поэтому разрешающая система уравнений имеет высокий порядок. Как указано в [14] , такие теории являются более точными и способны описывать локальные эффекты (концентрацию напряжений,местную потерю устойчивости и др.)* Но их большая точность может быть сведена на нет из-за принятия дополнительных упрощающих допущений при решении задач (равенство коэффициентов Пуассона для жестких и мягких слоев, равенство нулю коэффициента Пуассона и др.).

Это направление развивалось В.В.Болотиным и Ю.Н.Бовичковым [3], Э.И.Григолюком и П.П.Чулковым [12], [13], Я.М.Григоренко и А.Т.Василенко [16], В.Н.Москаленко и Ю.Н.Новичковым [27], Ф.Чао и Дж.Ахенбахом [48} Т.-М.Сюй, Т.-С.Ван [49], Дж.Као [50].

В [12], [13] вводится гипотеза ломаной линии для тангенциальных перемещений и принимается равенство прогибов всех слоев прогибу поверхности приведения. В результате задача сводится к решению 2S +3 уравнений относительно 2S поперечных углов сдвига и трех компонент вектора перемещений точек поверхности приведения; 5 *" число слоев. Предполагается, что коэффициент Пуассона одинаков для всех слоев.

В [27] на основе предположений о том, что для жестких слоев справедлива гипотеза недеформируемой нормали, а для мягких слоев существенной является только трансверсальная деформация, перемещения и деформации каждого мягкого слоя выражены через перемещения окаймляющих его мягких слоев. Из вариационного принципа Лаг-ранжа получены ЗЛ уравнений равновесия относительно ЗН компонент векторов перемещений срединных поверхностей жестких слоев; И - число жестких слоев. В [3] эта теория обобщается введением более общих гипотез.

В [16] показано, что теории, основанные на введении гипотез для каждого слоя в отдельности и не учитывающие поперечную деформацию, эквивалентны, в некотором смысле, теориям, основанным на введении гипотез для всего пакета слоев в целом. Показано, что если каждый слой имеет свой угол сдвига, но выражающийся через угол сдвига срединного слоя, то разрешающая система уравнений не зависит от числа слоев и имеет десятый порядок'.

В 48 для армирующего и связующего слоев принимается гипотеза прямой линии и учитывается их поперечная сжимаемость. Компоненты векторов перемещений, описывающих поведение срединных поверхностей, заменяются непрерывными функциями по толщине. Углы поворота нормалей к срединным поверхностям слоев заменяются одними непрерывными функциями в жестких слоях и другими - в мягких слоях. Применяя принцип Гамильтона, получено шесть уравнений равновесия в перемещениях относительно девяти функций. Причем, между компонентами вектора перемещений и углами поворота имеются три дифференциальных зависимости, используя которые, можно перейти к шести уравнениям относительно шести неизвестных функций. Толщины слоев предполагаются такими, что возможна замена разностных соотношений дифференциальными.

В [49] для каждого слоя в отдельности принимается гипотеза о распределении касательных напряжений в форме уточненной теории I . Из условия равенства нулю поперечной деформации определяются "плоские" модули упругости. Распределение тангенциальных перемещений по толщине получено интегрированием в пределах каждого слоя соотношений Коши для поперечных сдвигов. В итоге для каждого слоя получено по пять уравнений равновесия аналогичных [I] • В [50] разрешающая система уравнений получена вариационным методом. Предполагается, что в армирующих слоях действуют мембранные напряжения, а в связующих - поперечные касательные напряжения. Оболочка считается тонкой, а коэффициент Пуассона- одинаковым для всех армирующих слоев.

Ко второму направлению можно отнести теории, в которых число уравнений разрешающей системы не зависит от числа слоев. Эти теории основаны на сведении задачи теории упругости неоднородного тела к соответствующей задаче для однородного тела с некоторыми приведенными упругими свойствами (модельное тело). Здесь точность расчетов может быть повышена за счет более точного определения приведенных упругих свойств и введения более точных гипотез относительно распределения перемещений по толщине оболочки. Во всех известных здесь подходах приведенные модули являются следствием тех или иных гипотез, принимаемых при сведении трехмерной задачи теории упругости к двумерной - теории оболочек.

Среди всего многообразия подходов в этом направлении можно назвать работы С.А.Амбарцумяна [I] , А.Т.Василенко, Г.П.Голуба и Я.М.Григоренко [4] , В.В.Васильева и В.Г.Назаренко [7] , Я.М.Гри-горенко [15], В.И.Королева [21], Б.Л.Пелеха [Зб], Л.П.Хорошуна [43], Л.П.Хорошуна и С.В.Козлова [44], А.Н. Уяьяпшной [41], Дж.Азара [47], Л.Либреску [51], П.Нагди [52].

Первоначально шли по пути распространения классической теории и теории с конечной сдвиговой жесткостью на многослойные оболочки. Это достигается введением гипотезы недеформируемой нормали или гипотезы прямой линии для всего пакета слоев в целом. Такой подход развивался в работах [I] , [4] , [15] , [21], [36], [7],[47], [51], [52] • Для этого подхода характерным является то, что получаемая разрешающая система уравнений имеет такой же порядок, что и разрешающая система соответствующей теории однородных анизотропных оболочек. А так же то, что если пренебречь изменением метрики по толщине, то при нечетном числе слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности, влияние изгибной и тангенциальной деформаций разделяется, а для произвольного числа слоев не разделяется.

Гипотеза прямой линии для всего пакета слоев не отражает специфики строения оболочки. Освобождаясь от этого недостатка в [43], [44] , предложена модель, свободная от кинематических гипотез и основанная на представлении об однородном напряженном состоянии в плоскости слоев тонкостенного элемента. Здесь для оболочек с ор-тотропными слоями (оси ортотропии совпадают с ортогональной гауссовой системой координат) получены уточненные приведенные жесткости с учетом кривизны тонкостенного элемента. Получены определяющие соотношения, которые позволяют после решения задачи для модельной оболочки найти "микронапряжения11. Следует отметить, что если при построении соотношений не учитывались касательные напряжения, то полученные соотношения аналогичны соотношениям классической теории. Если же учитывались, то полученные соотношения имеют более общий вид, чем соотношения типичные для гипотезы прямой линии.

В работе [41], пренебрегая изменением метрики по толщине во всех соотношениях теории упругости и эффектом Пуассона в поперечном направлении, получена кинематическая модель более общая чем модель Тимошенко. Согласно этой модели, тангенциальные перемещения выражаются через перемещения и поперечные напряжения некоторой поверхности приведения, а нормальные перемещения - через прогиб и нормальное поперечное напряжение. В выражении для перемещений находит отражение слоистость оболочки. В результате получена система шести уравнений шестнадцатого порядка относительно шести неизвестных функций.

В [7]для толстых цилиндрических оболочек построен итерационный процесс, позволяющий учесть трансверсальную деформацию, определяемую из предыдущего приближения. Начальное приближение соответствует гипотезе Кирхгофа-Лява для всего пакета слоев в делом. Предполагается, что материал ортотропный и эффектом Пуассона в поперечном направлении можно пренебречь,

К учитывающим специфику строения оболочек образованных методом намотки, относятся работы А.Н.Елпатьевского и В.В.Васильева [17], И.Ф.Образцова, В.В.Васильева и В.А.Бунакова[29], Э.В.Ра-мана [37], С.Б.Черевацкого [46]

В [17] рассматривается цилиндрическая оболочка, образованная перекрестной намоткой. На основе предположений о безмоментности напряженного состояния и равенстве нулю коэффициента Пуассона в армированных слоях, постоянстве касательных напряжений в прослойках и малости толщины армированных слоев, получены дифференциальные уравнения равновесия двух семейств для армированных слоев. Кроме этого предполагается несжимаемость оболочки в поперечном направлении.

В [37] принимается гипотеза прямой линии для всегр пакета слоев в целом. Получаемые при этом приведенные жесткости являются функциями длины меридиана, поскольку лента образует с меридианом различные углы в различных его точках."

Когда предел прочности хрупкого связующего значительно ниже предела прочности волокна, то разрушение связующего происходит значительно раньше исчерпания несущей способности волокон [6] . Учитывая это, была предложена модель оболочки в виде системы нитей. Такая модель использовалась в работах [29], [46] .

В [29] данная модель принималась для изучения вопросов оптимального армирования оболочек вращения.

Данная диссертационная работа посвящена построению соотношений теории оболочек из композиционных материалов и решению некоторых практических и модельных задач. Диссертация состоит из трех глав»

В первой главе осуществляется осреднение соотношений теории упругости и упругих модулей трехмерного тела. В § I.I, используя известный метод осреднения Н.С.Бахвалова [2], развитый Б.Е.Побед-рей [30] применительно к композитам с криволинейной анизотропией, задача о равновесии криволинейно-анизотропного неоднородного тела в напряжениях сведена к двум рекуррентным последовательностям задач (ЗАДАЧА I и ЗАДАЧА НЕЗАДАЧА I состоит в решении рекуррентной последовательности уравнений теории упругости неоднородного тела на ячейке квазипериодичности относительно "локальных" функций (аналог компонент вектора перемещений) и в определении осредненных упругих свойств композита.

ЗАДАЧА П состоит в решении рекуррентной последовательности задач анизотропного тела в напряжениях, упругие свойства которого определяются эффективными модулями.

В § 1.2 приводится решение ЗАДАЧИ I для композитов с произвольной криволинейной анизотропией, имеющих периодичность упругих свойств по одной из трех координат. Из полученных выражений следует, что некоторые "локальные" функции, эффективные и упругие модули зависят от кривизны введенной криволинейной системы координат.

В § 1.3 получены выражения "локальных" функций, эффективных и упругих модулей для слоистых оболочек вращения с моноклинной симметрией упругих свойств. В оболочках, образованных намоткой, армированный слой рассматривается как слоистый композит с изотропными слоями. Для определения эффективных и упругих модулей которого используются соотношения, полученные в [32] . Затем эти модули используются при осреднении упругих свойств многослойной оболочки, в которой упругие свойства жестких слоев определяются ос-редненными модулями армированных слоев. Отмечено, что выражения упругих модулей обеспечивают непрерывность поперечных напряжений между слоями и послойных напряжений между волокном и связующем в армированном слое. Сравниваются упругие модули трехмерного тела с модулями, используемыми в классической теории многослойных оболочек [I]

Вторая глава посвящена построению соотношений общей линейной теории оболочек и некоторых частных случаев в рамках как гипотез Кирхгофа-Лява, так и гипотез Тимошенко, принимаемых для модельного тела. В § 2.1 введением указанных гипотез, рекуррентная последовательность трехмерных задач теории упругости сведена к аналогичной последовательности двумерных задач теории оболочек. Показано, что если для осредненного поля перемещений принимается гипотеза Кирьгофа-Лява, то для действительного поля перемещений это означает принятие этой же гипотезы для всего пакета слоев в целом. Если же принимается гипотеза Тимошенко, то для действительного поля перемещений это соответствует гипотезе ломаной линии.

В § 2.2 рассматриваются тонкие оболочки вращения под действием осесимметричных нагрузок.' В рамках гипотез Кирхгофа-Лява задача о равновесии известным методом [I] решена в квадратурах на каждом приближении.

В § 2.3 в рамках гипотез Тимошенко приводится постановка задачи для цилиндрической оболочки при действии осесимметричных нагрузок.

§ 2.4 может быть рассмотрен независимо от предыдущих. Здесь рассмотрена задача о равновесии цилиндрической оболочки, неоднородной по осевому и окружному направлениям и однородной по толщине.' К уравнениям равновесия теории оболочек в форме Доннела*-Муш-тари-Власова применяется этот же метод осреднения. Задача для неоднородной оболочки сведена к двум рекуррентным последовательностям задач, аналогичным рассмотренным выше." Получены явные формулы для осредненных жесткостей, когда имеется периодичность упругих свойств только по осевой координате, а период состоит из изотропных "колец", К данному классу задач могут быть отнесены и оболочки с периодически изменяющейся толщиной.

Третья глава посвящена решению задач на основе постановок, сделанных во второй главе. Рассмотрены задача о равновесии оболочек вращения под действием постоянного внутреннего давления.

В § 3.1 рассмотрена оболочка, образованная намоткой в виде кокона. Оболочка состоит из цилиндрической части и двух полусфер с отверстиями, расположенными на оси оболочки. Предполагается, что волокна образуют с меридианом один и тот же угол во всех его точках, В качестве граничных условий принимается жесткое защемление краев. При этом края: а) неподвижны в осевом направлении, б) свободны. Приведены графики для напряжений в меридианальном и окружном направлениях, вдоль и поперек волокон.

В § 3.2 рассмотрена цилиндрическая оболочка, образованная намоткой. Полученные результаты, сравниваются с результатами других авторов.1

В § 3.3 исследуется влияние дефекта на напряженно-деформированное состояние многослойной цилиндрической оболочки в классической постановке. Исследовано влияние различных размеров дефекта. Приведены значения напряжений, полученных для такой же однородной изотропной оболочки.

Диссертация заканчивается кратким заключением.

Методика и результаты содержащиеся в работе, могут быть непосредственно использованы при расчетах многослойных оболочек и оболочек, образованных намоткой.

Изложенные в диссертации результаты докладывались на 5 Зимней школе по МСС (институт MGG Уральского научного центра АН СССР, Пермь, 1983 г.); на научно-исследовательском семинаре по механике твердого деформируемого тела (руководитель семинара чл.-корр. АН СССР, профессор Э.И.Григолюк); на аспирантском семинаре кафедры теории упругости МГУ (руководители семинара чл.-корр, АН СССР, профессор А.А.Ильюшин, профессор В.С.Ленский); на семинаре по механике композиционных материалов (руководитель семинара профессор Б.Е.Победря) и опубликованы в работах [22], [23], [34] • В работе [34], написанной в соавторстве с Б.Е.Победрей, Б.Е.Победре принадлежит идея применения метода малого параметра. В.Д«Левину принадлежит постановка и решение задачи.

Считаю своим долгом выразить свою глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Борису Ефимовичу Победре за постоянное внимание и помощь в работе.*

- 13

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Левин, Владимир Дмитриевич

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему:

1. Статическая задача теории упругости в напряжениях для неоднородного тела с криволинейной анизотропией методом осреднения дифференциальных уравнений в частных производных с быстро ос-цилирующими коэффициентами сведена к двум рекуррентным последовательностям задач.

Первая последовательность состоит в решении периодических задач теории упругости для неоднородного тела на ячейке квазипериодичности для определения, так называемых, локальных функций, описывающих напряжения в компонентах композита и позволяющих находить эффективные модули.

Вторая последовательность задач состоит в решении задач теории упругости в напряжениях для однородного (модельного) тела с эффективными модулями.

Составлена программа для вычисления эффективных модулей и, так называемых, модулей нулевого и первого приближений для многослойных оболочек вращения, образованных намоткой.

2. Рекуррентная последовательность задач теории упругости для модельного тела введением гипотез теории оболочек (гипотез Кирхгофа-Лява и Тимошенко) сведена к рекуррентной последовательности задач теории оболочек.' Решением задачи в нулевом приближении этой последовательности является решение для соответствующей однородной анизотропной оболочки, позволяющее находить "микронапряжения".

Показано, что применение гипотезы Кирхгофа-Лява к модельному телу, равносильно применению этой же гипотезы к неоднороднону телу для всего пакета слоев в целом, а применение к модельному телу гипотезы Тимошенко, равносильно применению гипотезы ломаной линии ко всему пакету.

На основе полученных общих соотношений теории оболочек, дана постановка осесимметричных задач для тонких оболочек вращения. 3. Описано применение метода осреднения к уравнениям равновесия в форме Доннела-Муштари-Власова для цилиндрической оболочки с периодической неоднородностью.

Получены эффективные характеристики оболочки с механическими свойствами, обладающими периодичностью по одной из криволинейных координат. Дано решение для оболочки бесконечной длины, находящейся под действием постоянного внутреннего давления.

Решены некоторые конкретные задачи. Получено хорошее совпадение найденного решения для составной оболочки, образованной намоткой в виде кокона, с экспериментальными данными.

Исследован краевой эффект в полубесконечной оболочке с защемленным краем при различных углах намотки и отношений толщин прослойки и армированного слоя.

Получено, что зависимость от угла намотки отношения максимального прогиба, соответствующего гипотезе Тимошенко, к прогибу безмоментной оболочки увеличивается с уменьшением отношения толщины прослойки к толщине армированного слоя.

- 90

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Левин, Владимир Дмитриевич, 1984 год

1.' Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек, -М.: Наука, 1976, 512 с,

2. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами, -Докл. АН СССР, 1975, т.221, № 3, с.516-519.

3. Болотин В.В.,, Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980, 375 с.

4. Василенко А,Т., Голуб Г.П., Григоренко Я.М. Определение напряженного состояния многослойных ортотропных оболочек переменной жесткости в уточненной постановке. Прикл. механика, 1976, т.12, № 2, с.

5. Василенко А.Т., Голуб Г.П. Определение напряженного состояния анизотропных оболочек вращения с учетом поперечных сдвигов. Прикл. механика, 1983, т.19, № 9, с.21-26.

6. Васильев В.В., Елпатьевский А.Н. Исследование напряженного состояния цилиндрической оболочки, навитой из стекловолокна. Механика полимеров, 1967, № 5, с.

7. Васильев В.В., Назаренко В.Г. Вариант теории толстых многослойных цилиндрических оболочек. Механика полимеров, 1974, № 6, с.1071-1078.

8. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982, 288 с.

9. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. -М.-Л.: Гостехиздат, 1949, 784 с.

10. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. М.: Наука, 1976, 416 с.

11. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. 41,: Наука, 1976, 512 с.

12. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения тонких упругих слоистых анизотропных пологиъ оболочек с жестким заполнителем. Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 5, с.68-80.

13. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения пологих многослойных оболочек регулярного строения. Инженерный журнал, МТТ, 1967, № I, с.

14. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек. Прикл. механика, 1972, т.8, № 6, с.3-17.

15. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1973, 228 с.

16. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Об учете неоднородности деформации поперечного сдвига по толщине слоистых оболочек. -Прикл. механика, 1978, т.13, № 10, с.36-42.

17. Елпатьевский А.Н., Васильев В.В. Исследование напряженного состояния цилиндрической оболочки, навитой из стекловолокна. Инженерный журнал, 1965, т.5, вып.1, с.129-142.

18. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моек.унта, 1978, 287 с.

19. Композиционные материалы /Под ред. Л. Браутмана и Р.Крока. -М.: Мир, 1978. т.2, 564 с.

20. Композиционные материалы /Под ред. Л.Браутмана и Р.Крока. -М.: Машиностроение, 1978, т.7, 300 с.

21. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М.: Машиностроение, 1965, 272 с.

22. Левин В.Д. О статических задачах упругих оболочек из компо- 92 зиционных материалов. МГУ, М.: 1983, 25 с. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ 7 июля 1983 г. 1 3094-83, Деп)

23. Левин В.Д. Равновесие цилиндрической оболочки, составленной из колец, Вестн. Моек.ун-та, сер. I, матем. механ., 1984, № 3, с.

24. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977, 416 с.

25. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970, 936 с.

26. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: Гос-техиздат, 1947, 252 с.

27. Москаленко В.Н., Новичков Ю.Н. Изгиб толстых многослойных оболочек. Инженерный журнал, МТТ, 1968, № 3, с.

28. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962, 431 с.

29. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1977, 144 с.

30. Победря Б.Е. О численном решении задач механики деформируемого твердого неоднородного тела. Вестн.Моск. ун-та, сер. матем. механ., 1983, № 4, с.

31. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: 1974,207,с.

32. Победря Б.Е., Горбачев В.И. О статических задачах упругих композитов. Вестн. Моск.ун-та, сер. матем. механ., 1977, № 5, c.IOI-IIO.

33. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981, 344 с.

34. Победря Б.Е., Левин В.Д. Влияние дефекта на напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки. Вестн.- 93

35. Моск.ун-та, сер, матем. механ., 1980, № 4, с.57-61.

36. Победря Б.Е. О решении задач термовязкоупругости с неоднородным полем температур. В кн. Упругость и неупругость, вып. I, М.: 197I, с.172-201.

37. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев.: Наукова думка, 1973, 248 с.

38. Раман Э.В. Нелинейные уравнения статики стеклопластиковых оболочек вращения с учетом деформации поперечного сдвига. -Тр. МВТУ, 1976, № 206, с.

39. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композиционных материалов. Рига.: Зинатне, 1974, 310 с.

40. Рикардс Р.Б. Уравнения неразрывности деформаций в теории оболочек типа Тимошенко. Механика полимеров, 1973, № I, с.105-109.

41. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.-М.: Наука, 1966, 636 с.

42. Ульяшина А.Н. Напряженно-деформированное состояние ортотроп-ной многослойной ойолочки. Изв. АН СССР, МТТ, 1983, № I, с.

43. Филиппов А.Ф. Сб. задач по дифференциальным уравнениям. ~М.: Наука, 1979, 128 с.

44. Хорошун Л.П. О построении уравнений слоистыз пластин и оболочек. Прикл. механика, 1978, т.14, № 10, с.3-21.

45. Хорошун Л.П., Козлов С.В, Об уточнении основных соотношений одной обобщенной сдвиговой модели неоднородных оболочек. -Прикл. механика, 1982, т.18, № 6, с.42-49.45.* Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. JL: Изд-во ЛГУ, 1962, 4.1, 247 с.

46. Черевацкий С.Б. Об основных уравнениях равновесия нитевых оболочек. Казань.: йзд-во Казан, ун-та, 1970, вып.6-7,с.738-762.

47. Azocr 7.7. CenftccH-Li 4or MotHii&^tr^Sotviof-VicA (jfUyiduSAW '{9?0)v<?(.l№l,f>157-iss.48.r Chou F.Ht) АЫт4<ке<и ХД T-ttlol Еуиа^отiluL Mevk&hLwl &eJ\ctirior o{ Layr<ct С;г-<и<Ыг Ctjli^dm: hhЬА 49?0 , P.W4S- <tksi.1. Hsu WoiVLf г TrS. Я TUcrf

48. H&cftdi P.M. Piaq Ifint-tobtMj Ти*г*«* Ы E&tiibity смлс( Us Afp-tiuiitP* h> Skdt Tktsrf. y. app-Cycrf M-toMibic*; v.31t /> 6k7~ 6s J.