Некоторые обратные задачи дифракции звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор наук Скобельцын Сергей Алексеевич

• Скобельцын Сергей Алексеевич
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Скобельцын Сергей Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ УПРУГИХ ТЕЛ

ПО РАССЕЯННОМУ АКУСТИЧЕСКОМУ ПОЛЮ

1.1 Обзор литературы

1.2 Модели распространения и взаимодействия звуковых и упругих волн

1.2.1 Уравнения волновых полей в жидкости

1.2.2 Уравнения волновых процессов в упругой среде

1.2.3 Постановка задач о рассеянии звуковых волн упругими телами

1.3 О постановке обратных задач дифракции звука

Глава 2 ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЗВУКА НА УПРУГИХ

НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛАХ

2.1 Прохождение звуковых волн через неоднородный анизотропный плоский слой

2.2 Дифракция звуковых волн на неоднородных анизотропных телах цилиндрической, сферической и эллипсоидальной формы

2.2.1 Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем

2.2.2 Дифракция плоской звуковой волны на конечном упругом цилиндре с неоднородным покрытием

2.2.3 Рассеяние плоской звуковой волны радиально-неоднородным трансверсально-изотропным сферическим слоем с жидкостью внутри

2.2.4 Дифракция звука на упругом трехосном эллипсоиде с неоднородным покрытием

2.3 Дифракция звука на упругих телах с непрерывно-неоднородными покрытиями

в присутствии подстилающей поверхности

2.3.1 Рассеяние звука упругим эллиптическим цилиндром с неоднородным покрытием вблизи границы жидкости и упругого полупространства

2.3.2 Дифракция плоской звуковой волны на упругом эллипсоиде с неоднородным покрытием в полупространстве с идеальной поверхностью

Глава 3 КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

ПАРАМЕТРОВ УПРУГИХ ТЕЛ ПО РАССЕЯНИЮ ЗВУКА

3.1 Определение параметров неоднородного плоского упругого слоя по известному

рассеянному акустическому полю

3.1.1 Определение законов неоднородности плоского трансверсально-изотроп-ного упругого слоя, находящегося в жидкости, по прохождению звука

3.1.2 Определение положения границы раздела двухслойной упругой пластины

по отражению звука

3.1.3 Определение законов неоднородности анизотропного покрытия упругого полупространства по отражению звука

3.2 Идентификация параметров неоднородных цилиндрических упругих препятствий по рассеянию звука

3.2.1 Идентификация плотности материала упругого цилиндра по рассеянному акустическому полю

3.2.2 Определения параметров трансверсально-изотропного материала в покрытии упругого цилиндра по отражению плоской звуковой волны

3.2.3 Определение положения эллиптической полости в упругом цилиндре по отражению звука

3.3 Определение параметров трехмерных упругих тел

3.3.1 Определение положения полости в упругом шаре по рассеянному звуковому полю

3.3.2 Определение геометрических параметров конечного цилиндра, расположенного у границы полупространства, по рассеянному звуку

3.3.3 Идентификация параметров трансверсально-изотропного покрытия упругого шара по отраженному звуку

3.3.4 Определение направления оси упругой симметрии анизотропного шара по рассеянному звуковому полю

Глава 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНОВ НЕОДНОРОДНОСТИ УПРУГИХ

ТЕЛ С ТРЕБУЕМЫМИ ЗВУКООТРАЖАЮЩИМИ СВОЙСТВАМИ

4.1 Определение законов неоднородности плоского упругого слоя с заданными звукоотражающими свойствами

4.2 Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами

4.3 Определение свойств покрытия конечной упругой пластины с полостью, обеспечивающих заданные параметры отражения звука

4.4 Определение законов неоднородности кругового полого цилиндра, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении

4.5 Определение механических параметров неоднородного покрытия некругового полого упругого цилиндра, обеспечивающих заданные звукоотражающие свойства

4.6 Моделирование неоднородного покрытия упругого шара с требуемыми звукоот-ражающими свойствами

4.7 Определение параметров покрытия упругого эллипсоида вблизи идеальной

поверхности, минимизирующих рассеяние звука в заданном угловом сегменте

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые обратные задачи дифракции звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Исследование дифракции звуковых волн на неоднородных и анизотропных упругих телах различной геометрической формы имеет важное теоретическое и практическое значение. В частности это связано с все более широким применением современных функционально-градиентных и композитных материалов. При решении практических задач гидроакустики, геофизики, дефектоскопии, биомеханики, медицинской диагностики широко используются эффекты рассеяния звуковых волн.

Реальные тела почти всегда являются неоднородными, а часто оказываются еще и анизотропными. Поэтому построение и анализ решений прямых и обратных задач рассеяния звуковых волн неоднородными и анизотропными телами является актуальной проблемой.

Обратные задачи приводят к малоисследованным математическим проблемам, требующим новых подходов и методов решения. В настоящее время накоплен определенный опыт решения обратных задач механики. Решен ряд задач по реконструкции неоднородных упругих свойств непрерывно-слоистых сред. Необходимо отметить большой вклад в теорию обратных задач Ватульяна А.О., Немировского Ю.В., Нестерова С.А., Романова В.Г., Соловьева А.Н., Янковского А.П., Ammari H., Audoin B., Bonnet M., Bui H.D., Constantinescu A., Han X., Guzina В.В., Liu G.R., Perton M. и др.

Необходимость решения обратных задач теории дифракции звуковых волн возникают при определении неизвестных свойств рассеивателя (геометрических параметров, свойств материала). Известен ряд работ по решению обратных задач дифракции звука для упругих тел (Буров В.А., Ворович И.И., Горюнов А.А., Ринкевич А.Б., Сасковец А.В., Смородин-ский Я.Г., Beilina L., Hanneman R., Klibanov M.V., Langenberg K.J., Liu G.R., Marklein R., Zhang D.). При этом теория обратных задач дифракции звуковых волн на упругих телах с учетом их неоднородности и анизотропии до сих пор не разработана.

Целью работы является разработка теоретических положений, позволяющих определять свойства материала и геометрические характеристики неоднородных анизотропных тел на основе анализа рассеяния ими звуковых волн.

Для достижения этой цели необходимо:

— разработать новые подходы и методы, позволяющие ставить и решать прямые задачи дифракции звуковых волн на анизотропных и неоднородных телах;

— используя предложенные методы постановки прямых задач, разработать теоретические положения, позволяющие ставить и решать обратные задачи дифракции звуковых волн на анизотропных и неоднородных телах;

— провести верификацию разработанных положений на основе решения представительного набора прямых и обратных задач дифракции звуковых волн на анизотропных и неоднородных телах.

Научная новизна работы заключается в следующем:

— предложен подход к решению задач о рассеянии звука неоднородными анизотропными упругими телами канонической формы со слоистой неоднородностью;

— на основе МКЭ разработан метод решения задач дифракции звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах сложной формы с законами неоднородности и анизотропии общего вида;

— решены новые прямые задачи о рассеянии гармонических звуковых волн неоднородными анизотропными упругими телами различной конфигурации;

— выявлены особенности влияния неоднородности и анизотропии упругого материала тела на его акустические свойства;

— предложена вариационная формулировка и разработаны алгоритмы решения обратной задачи о нахождении параметров неоднородного анизотропного упругого тела по рассеянному звуковому полю на основе разработанных методов решения прямых задач дифракции;

— решен ряд задач идентификации геометрических параметров и параметров материала неоднородного анизотропного упругого тела по известному рассеянному акустическому полю;

— выполнена вариационная формулировка и предложены алгоритмы поиска параметров анизотропного неоднородного упругого тела, обеспечивающих требуемые характеристики рассеяния звуковых волн;

— решен ряд обратных задач об определении параметров неоднородного анизотропного упругого тела, обеспечивающих требуемые характеристики рассеяния звуковых волн.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертационной работы являются вкладом в теорию обратных задач дифракции звука на неоднородных и анизотропных упругих телах.

Результаты работы могут быть использованы в гидроакустике при звуковой эхолокации объектов; в дефектоскопии для разработки методов неразрушающего контроля; в медицине при разработке методов ультразвуковой диагностики; в архитектурной акустике; для проектирования промышленных материалов и конструкций с требуемыми звукоотражающи-ми свойствами.

Методы исследования. В диссертационной работе используются аналитические и численные методы исследования.

Решение прямых задач дифракции звука на упругих телах получены в рамках линейной теории упругости и гидродинамики идеальной сжимаемой жидкости.

Аналитическое описание волновых полей получено на основе метода разделения переменных с использованием разложений по волновым функциям.

Решение краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при определении поля смещений в неоднородном анизотропном упругом теле,

находится модифицированным методом пристрелки или дифференциальной ортогональной прогонки.

При решении некоторых задач волновые поля как в жидкости, так и в упругой среде находятся методом конечных элементов. При этом конечно-элементная постановка осуществляется на основе метода Галеркина. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности выполняется методом Ш-факторизации.

Решение обратных задач приводится к нелинейной задаче математического программирования. Поиск условного экстремума целевой функции со многими переменными выполняется методами случайного поиска, покоординатного спуска, Хука-Дживса, генетического алгоритма.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математически корректной постановкой задач; применением апробированных математических методов; проведением расчетов на ЭВМ с контролируемой точностью; подтверждается совпадением с известными результатами для частных и предельных случаев.

На защиту выносятся следующие положения:

— подход к решению задач о рассеянии звука неоднородными анизотропными упругими телами со слоистой неоднородностью;

— метод решения задач дифракции звуковых волн в неограниченном пространстве на неоднородных анизотропных упругими телах с неоднородностью и анизотропией общего вида на основе метода конечных элементов;

— аналитические и численные решения прямых задач дифракции гармонических звуковых волн на плоских, цилиндрических, сферических и эллипсоидальных неоднородных и анизотропных упругих телах;

— решение обратных коэффициентных задач об идентификации параметров упругих тел по известному рассеянному акустическому полю;

— решение обратных задач об определении законов неоднородности упругих тел с оптимальными звукоотражающими свойствами;

— результаты численных исследований решений прямых и задач дифракции звуковых волн неоднородными анизотропными упругими телами.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались:

— на 9 Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н. Новгород, Нижегородский гос. ун-т, 2006);

— на Международных научных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, Тульский гос. ун-т, 2000-2014);

— на II Всероссийской акустической конференции, совмещенной с XXX сессией Российского акустического общества (Н. Новгород, ИПФ РАН, 2017);

— на II Всероссийской научно-технической конференции "Механика и математическое моделирование в технике" (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017);

— на Международных научно-технических конференциях " Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" (Воронеж, Воронежский гос. ун-т, 2017, 2018);

— на 8-й Всероссийской научной конференции с международным участием "Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред" им. И.Ф. Образцова и Ю.Г. Яновского (Москва, ИПРИМ РАН, 2018);

— на XXV международном симпозиуме им. А.Г. Горшкова "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, Вятичи, МАИ, НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, НИИ механики ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2019);

— на семинаре лаборатории механики прочности и разрушения материалов и конструкций Института проблем механики РАН (Москва, ИПМех РАН, 2019);

— на семинаре кафедры теории упругости Южного федерального университета (Ростов, ЮФУ, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, 2019);

— на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Тульского гос. ун-та (Тула, 2001-2019);

— на семинарах по механике деформируемого твердого тела Тульского гос. ун-та им. Л.А. Толоконникова (Тула, 2016-2019).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 53 работы, в том числе 10 статей в изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science, Scopus; 11 научных статей в изданиях, рекомендуемых ВАК Минобрнауки РФ; 2 монографии. Получены 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

На различных этапах работа поддерживалась грантами РФФИ (проекты 06-01-00701, 09-01-97504, 11-01-97509, 12-01-00655, 13-01-97514, 16-41-710083), Минобрнауки России (государственное задание № 1.1333.2014/К), Российского научного фонда (проект № 18-11-00199).

Личный вклад. Модели раздела 1.3 и решения задач, представленные в разделах 2.2.4, 2.3, 4.1, 3.1, 3.2.1, 3.2.2, 3.3.3, 3.3.4, 4.3, 4.5, 4.7 получены автором. Модели и решения задач, представленные в разделах 2.1, 2.2.1, 2.2.3, изложены на основе совместных работ с Толоконниковым Л.А. Личный вклад автора в эти работы - постановка задач, получение аналитических решений, построении алгоритмов численного решения, проведение численные исследований и анализ результатов. В разделах 4.2, 4.4, 4.6 представлены результаты, опубликованные в совместных работах с Толоконниковым Л.А. и Лариным Н.В. Автор участвовал в постановке задач, разработке алгоритмов решения и проведении анализа полученных результатов вычислительных экспериментов. При написании разделов 2.2.2, 2.2.3, 3.2.3-3.3.2 использованы результаты, полученные в работах, написанных совместно

с Ивановым В.И. и Пешковым Н.Ю. Личный вклад автора в эти работы - постановка задач, аналитико-численное решение задач, проведение численных исследований и анализ результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Работа содержит 317 страниц, включая 251 рисунок и 22 таблицы. Список литературы содержит 357 наименований.

Глава 1 состоит из трех разделов. В разделе 1.1 представлен обзор литературы по проблеме решения обратных задач дифракции звука на неоднородных и анизотропных упругих телах. В обзоре отмечены существенные результаты, полученные многими авторами при решении прямых и обратных задач дифракции звуковых и упругих волн на упругих телах. В разделе 1.2 приводятся математические модели распространения звуковых волн в идеальной жидкости и упругих волн в неоднородных анизотропных телах. В разделе 1.3 приведены математические постановки двух типов обратных задач. При решении обратной задачи ищется приближенное значение некоторых величин которые рассчитываются по рассеянному акустическому полю и определяют свойства препятствия. В общем случае решение обратной задачи получается на основании многократного решения прямой задачи при заданных: падающей волне, геометрических параметрах и параметрах неоднородности тела. Формулируются два типа обратных задач. В качестве искомых значений выступают параметры неоднородности тела ^ и/или геометрические параметры тела. В задачах первого типа частично известным (во множестве точек наблюдения) считается рассеянное акустическое поле при некоторых параметрах падающей волны. По рассеянному полю и известным параметрам ищутся оценки неизвестных параметров упругого препятствия. В обратных задачах второго типа вводится функционал, характеризующий интенсивность рассеянного поля в области наблюдения. Путем выбора параметров рассеивателя решается задача получения максимального или минимального значение функционала.

В главе 2 представлено решение прямых задач дифракции звука на упругих неоднородных и анизотропных телах. Изложены решения задач о прохождении звуковых волн через неоднородный анизотропный плоский слой, задач дифракции звуковых волн на неоднородных анизотропных телах цилиндрической, сферической и эллипсоидальной формы в свободном пространстве, задач о дифракция звука на упругих телах с непрерывно-неоднородными покрытиями в присутствии подстилающей поверхности.

В главе 3 представлено решение коэффициентных задач идентификации параметров упругих тел по рассеянию звука. Изложено решение прямых задач дифракции звука на упругих эллиптическом цилиндре и трехосном эллипсоиде с неоднородными покрытиями в присутствии подстилающей поверхности. Изучено влияние границы раздела сред на рассеяние звука. Предложена вариационная формулировка и разработаны алгоритмы решения обратной задачи о нахождении параметров неоднородного анизотропного упругого тела. Построен функционал, характеризующий отклонение теоретических (расчетных) значений акустических характеристик рассеянного поля от измеренных в некоторой области. Предложен

алгоритм минимизации построенной невязки. Предложена технология имитационного моделирования для оценки точности решения обратных коэффициентных задач на основе серии вычислительных экспериментов со случайными значениями ошибок измерения рассеянного поля в точках наблюдения. Построено выборочное распределение плотности вероятности ошибки определения искомых параметров.

В главе 4 рассмотрены задачи об определении законов неоднородности упругих тел с требуемыми звукоотражающими свойствами. Проведено моделирование неоднородных покрытий упругих пластин (конечной и бесконечной), некругового цилиндра, шара и эллипсоида, обеспечивающих оптимальные звукоотражающие свойства. Получены аналитические выражения для законов, описывающих механические параметры покрытия.

Глава 1 ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ УПРУГИХ ТЕЛ ПО РАССЕЯННОМУ АКУСТИЧЕСКОМУ ПОЛЮ

1.1 Обзор литературы

Решение задач о рассеяния звуковых волн имеет как теоретическое так и практическое значение. В теоретическом плане подобные решения позволяют глубже понять особенности распространения звуковых волн в неоднородных средах, их взаимодействия с телами сложной формы выполненных из различных материалов.

В практическом плане решения задач дифракции звука на различных телах и в различных средах могут быть использованы для разработки технологий прикладных областей, в которых существенное значение имеют акустические эффекты. В одних случаях эти эффекты надо минимизировать (борьба с производственным и бытовым шумом), в других надо максимизировать (ультразвуковые методы обработки материалов), в третьих надо добиться баланса в сохранении/усилении и подавлении определенных частот звуковых колебаний (акустика помещений), в четвертых - извлекать информационную составляющую из них. Анализ звуковых полей составляет основу инструментария в акустических методах гидро и аэроакустики; исследований в биологии и медицине; неразрушающего контроля и диагностики объектов; ультразвуковой дефектоскопии; обследовании и испытании материалов, конструкций и сооружений; архитектурной и строительной акустики; проектирования электронных устройств на основе пъезоэлектрических эффектов.

Большая часть приложений акустических методов основана на решении так называемых обратных задач, когда по параметрам излучаемого или отраженного звукового поля судят о параметрах объекта или среды.

Теория обратных задач математической физики активно начала развиваться в середине прошлого века. Основы теории и практики исследования обратных задач математической физики заложены и развиты в фундаментальных работах выдающихся ученых современности - А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина, А.А. Самарского, А.С. Алексеева, М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, В.А. Амбарцумяна, Г. Борга, И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана, М.Г. Крейна и др. В фундаментальных работ академика А.Н. Тихонова были разработаны основы современной теории решения обратных задач, выявлены их особенности как некорректных задач, введено понятие и подходы к регуляризации процесса решения [203-208].

Фундаментальные результаты в исследованиях обратных задач для системы уравнений Максвелла, гиперболических систем первого порядка, многомерных обратных задач для гиперболических уравнений и уравнений теории упругости, а также численным методам их решения были получены В.Г. Романовым [90, 133, 134, 136-138], С.И. Кабанихи-ным [74-76, 133], В.Г. Яхно [89, 253, 316], Ю.Е. Аниконовым [13, 257, 258] и др.

Теория обратных задач математической физики существенно развивается представителями ряда отечественных математических школ, в том числе Московской, основанной

А.Н. Тихоновым и Сибирской, основанной М.М. Лаврентьевым и В.Г. Романовым: С.А. Аникиным, Ю.Е. Аниконовым, Г.В. Алексеев, А.В. Баевым, А.С. Барашковым, М.И. Белишевым, А.С. Благовещенским, А.Л. Бухгеймом, П.Н. Вабишевичем, А.О. Ватульяном, В.М. Волковым, Д.И. Глушковой, А.М. Денисовым, В.И. Дмитриевым, Н.Б. Ильинским, С.И. Кабани-хиным, А.Л. Карчевским, В.С. Корниловым, М.М. Лаврентьевым, А.И. Прилепко, А.Г. Рам-мом, В.Г. Синько, Б.Ф. Тазюковым, А.М. Федотовым, В.А. Чевердой, В.Г. Чередниченко, Е.И. Шифриным, М.А. Шишлениным, В.Г. Яхно и др.

В качестве характерной для акустики обратной задачи выступает задача восстановления причинных показателей по информации о физических полях. Нарушение естественной причинно-следственной связи, имеющее место в постановке обратной задачи, может привести к ее математической некорректности, чаще всего неустойчивости решения. Поэтому обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач.

В привязке к искомым функциям выделяют следующие типы обратных задач идентификации физических процессов для уравнений в частных производных [45, 142]: ретроспективные - установление предыстории некоторого состояния процесса; граничные - восстановление граничных условий или содержащихся в них параметров; коэффициентные -определение коэффициентов уравнений; геометрические - нахождение геометрических характеристик контура области или координат точек внутри нее. Многие из таких задач могут рассматриваться как коэффициентные, поскольку в математической постановке большая часть искомых параметров представляются неизвестными функциями (коэффициентами в них), входящими либо в решаемые уравнения, либо в граничные или начальные условия.

Основные подходы к решению обратных задач при дифракции звуковых волн и их особенности сформулированы в работах Д. Колтона (D. Colton) и Р. Кресса (R. Kress) [83, 276-279]. В них рассмотрено применение классических методов теории потенциала и интегральных уравнений к задачам теории дифракции акустических и электромагнитных волн на ограниченных телах, расположенных в однородном пространстве.

В монографии Горюнова А.А., Сасковца А.В. [60] представлены обзор решений и оригинальные решения обратных задач рассеяния и излучения в акустике. Освещены известные подходы, постановки и методы решений акустических обратных задач, приведены основные результаты, полученные к моменту выхода работы. Проведен анализ методов определения количественных характеристик рассеивающих неоднородностей, основанных на наблюдениях рассеяния падающего на них акустического поля. Представлены результаты численного моделирования решений некоторых обратных задач.

Известен ряд работ по решению обратных задач дифракции звука для упругих тел авторов Буров В.А., Ворович И.И., Горюнов А.А., Ринкевич А.Б., Сасковец А.В., Смородинский Я.Г., Beilina L., Hanneman R., Klibanov M.V., Langenberg K.J., Liu G.R., Marklein R., Zhang D. и др.

В частности, в работе [273] Бурова В.А. и соавторов исследовались обратные задачи рассеяния звука поверхностной неоднородностью. В работе [274] исследуется решение дву-

мерной задачи рассеяния на основе функционально-аналитических методов. В работе [38] рассматривается задача акустической томография океана при использовании нестандартного представления рефракционных неоднородностей. Работы [8, 9] посвящены решению трехмерной обратной задачи акустического рассеяния на основе алгоритма Новикова-Хенкина и модифицированного алгоритма Новикова. В статье [33] предлагается построение оценок максимального правдоподобия в корреляционной акустической термотомографии. Работа [37] посвящена проблемам численного и физического моделирование процесса томографии на основе акустических нелинейных эффектов третьего порядка. В [32] обсуждается моделирование точного решения обратной задачи акустического рассеяния функциональными методами. Анализ единственности и устойчивости решения обратной задачи акустического рассеяния проводится в [34]. В книге [35, 36] рассматриваются обратные волновые задачи и их прикладные аспекты, связанные с современным состоянием исследований в области линейной и нелинейной акустической томографии, а также акустической термотомографии.

В работах Воровича И.И. исследовались как методы решения обратных задач теории упругости, так и обратные задачи акустики. В частности в работах [56, 356] исследовались задачи восстановление образа дефекта по рассеянному полю в акустическом приближении. В них при решении геометрической обратной задачи предлагается идентификация полостей по диаграмме направленности. В рамках научной школы механики деформируемого твердого тела, основанной академиком Воровичем И.И., обратные задачи акустики, теории упругости и электроупругости решают А.О. Ватульян, М.А. Сумбатян, Н.В. Боев и др.

В работе Горюнова А.А. [302] рассматривается решение задачи восстановления отражающей неоднородности методом среднего. Статья [301] посвящена вопросу использования матричной функции Грина при решении задач акустической интроскопии.

Физические основы и методы акустического контроля, приложения на основе решения обратных задач рассеяния звука рассматриваются в работах Ринкевича А.Б., Смородинско-го Я.Г. и соавторов. В работе [335] представлены результаты определения групповой скорости ультразвуковых волн в трансверсально-изотропной упругой среде. В статье [334] представлен анализ ультразвуковых полей и дефектоскопии в монокристаллах алюминия на основе лазерной методики. Работа [330] посвящена использованию вейвлетов для анализа ультразвуковых полей, обнаруженных лазерным интерферометром. Рассматривается порядок применения такой обработки при дефектоскопии и локализации в монокристалле алюминия. В статье [325] обсуждаются вопросы настройки и калибровки оборудования с использованием образцов с цилиндрическим сверлением при ультразвуковой дефектоскопии.

Решение обратных задач акустического рассеяния строится на основе известных решений прямых задач дифракции звука. В настоящее время известно большое количество работ, посвященных исследованию рассеяния звуковых волн упругими телами. Однако большинство работ выполнено в предположении, что упругие тела имеют каноническую форму поверхности (плоскости и полуплоскости, круговые и эллиптические цилиндры, сферы и сфероиды), а рассеиватели в виде упругих толстостенных оболочек рассматривались

как однородные и изотропные. Большая часть исследований в области математической теории распространения звуковых и упругих волн посвящена изучению и анализу процессов, происходящих в физически однородных и изотропных средах.

Отражение звука плоскими упругими телам, сплошными упругими цилиндрами и шарами, а также оболочками исследовалась во многих работах. В [281, 282, 287, 289] рассмотрено рассеяние плоских звуковых волн круговыми цилиндрами и сферами. Рассмотрению дифракции звука на бесконечной тонкой цилиндрической оболочке посвящена работа [104]. В [105] рассматривается задача о рассеянии плоской звуковой волны упругим безграничным цилиндром кругового сечения. Экспериментально исследовано рассеяние звука латунными, алюминиевыми и стальными цилиндрами в воде. Установлено, что при некоторых углах падения звуковой волны на ограниченный упругий цилиндр возникает сильное рассеяние в направлении, противоположном направлению падающей волны (так называемое незеркальное отражение). Прохождение звуковой волны через упругую цилиндрическую оболочку рассматривалось в работе [250]. Рассеянию цилиндрической звуковой волны сплошным упругим цилиндром посвящена работа [320]. Отражение плоской звуковой волны от полой сферы, находящейся в воздухе, рассмотрено в [311]. Рассчитана зависимость интенсивности отраженной волны в дали от облучаемой сферы от частоты для тонкой алюминиевой сферической оболочки и полиэтиленовых оболочек различной толщины. Результаты расчетов показывают, что интенсивность отраженной волны в широком диапазоне частот существенно зависит от отношения толщины оболочки и ее внешнему радиусу и от упругих свойств материала оболочки.

В [59] изучено рассеяние плоской звуковой волны, падающей на тонкую упругую сферическую оболочку, находящуюся в бесконечном пространстве, заполненном жидкость. Центр оболочки фиксирован неподвижно. В [112] с помощью метода Ватсона исследуется рассеянное акустическое поле давления при дифракции плоской волны на упругой сферической оболочке. Определены вклады отдельных мод в полный эхо-сигнал в дальней зоне поля. Исследованию рассеяния плоской акустической волны упругой сферической оболочкой с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций посвящена работа [281]. В [17] рассмотрены резонансные явления в акустическом поле вокруг бесконечно длинного цилиндрического тела при падении на него акустической волны и показано, что по характеристикам отраженного от цилиндра акустического поля можно судить как о размерах цилиндра, так и о материале, образующем его. Исследование акустической волны, рассеянной от упругой сферической оболочки при падении на оболочку сферической синусоидальной акустической волны представлено в [111]. Вычисляется эхо от сферической оболочки по различным теориям оболочек и проводится сравнение результатов с соответствующими, подсчитанными по трехмерной теории упругости согласно. Показывается, что в задачах о рассеянии акустической волны тонкими оболочками при невысоких частотах применение теории оболочек оправдано. В [52] рассмотрена задача дифракции нестационарной плоской звуковой волны на полой упругой сфере. При решении задачи используется интегральное преобразование Лапласа по времени.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Скобельцын Сергей Алексеевич, 2020 год

Список литературы

1. Авдеев И.С., Скобельцын С.А. Дифракция плоской упругой волны на неоднородном шаре // Изв. ТулГУ. Сер. Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология. 2006. Вып. 3. С. 138-149.

2. Айзерман М.А. Класическая механика. М.: Наука, 1980. 368 с.

3. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М.: Наука, 1969. 352 с.

4. Акопьян В.А., Бычков А.А., Рожков Е.В., Соловьев А.Н., Шевцов С.Н. К определению эффективных свойств полимеркомпозитного материала на основе гармонического и модального анализа // Мех. композ. матер. и констр. 2008. Т. 14. № 1. С. 35-48.

5. Акустика в задачах. / А.Н. Бархатов, Н.В. Горская, А.А. Горюнов и др.; Под ред. С.Н. Гурбатова, О.В. Руденко. М.: Физматлит, 2009. 336 с.

6. Алексеев Г.В., Романов В.Г. Класс нерассеивающих объектов для уравнений акустики анизотропной среды // Сибирские электр. матем. известия. 2011. № 8 С. 37-С.43.

7. Алексеев Г.В., Романов В.Г. Об одном классе нерассеивающих акустических оболочек для модели анизотропной акустики // Сиб. журн. индустр. матем. 2011. Т. 14. № 2. С. 15-20.

8. Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния. Модифицированный алгоритм Новикова // Акуст. журн. 2008. Т. 54. № 3. С. 469-482.

9. Алексеенко Н.В., Буров В.А., Румянцева О.Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния на основе алгоритма Новикова-Хенкина // Акуст. журн. 2005. Т. 51. № 4. С. 437-446.

10. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1971. 288 с.

11. Андебура В.А. Силецкий С.М. Рассеяние звука эллиптическим цилиндром со смешанными граничными условиями // Акуст. журн. 1973. Т. 19. № 6. С. 897-901.

12. Андронов И.В. Дифракция на эллиптическом цилиндре с сильно вытянутым сечением // Акуст. журн. 2014. Т. 60. № 3. С. 219-226.

13. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука (Сиб.отд.). 1978. 118 с.

14. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. СПб.: БХВ-Петербург. 2005. 1104 с.

15. Апельцын В.Ф. Метод неортогональных рядов и гипотеза Рэлея в теории дифракции // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25. № 3. С. 329-347.

16. Арушанян О.В., Залеткин С.Ф. Решение линейной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом ортогональной прогонки С.К. Годунова // Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2. С. 41-48.

17. Бабкин В.П., Фадеева Л.М. Модельные эксперименты по аттестации шаровых мишеней // Труды Акуст. Института. 1971. Вып. 17. С. 80-98.

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2011. 640 с.

Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акуст. журн. 1986. Т. 32. Вып. 6. С. 762-766.

Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1973. 297 с.

Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. М.: ГИФМЛ, 1959. 620 с. Бобровницкий Ю.И., Морозов К.Д., Томилина Т.М. Периодическая поверхностная структура с экстремальными акустическими свойствами // Акуст. журн. 2010. Т. 56. № 2. С. 147-151.

Бобровницкий Ю.И. Научные основы акустического стелса // Доклады Академии наук. 2012. Т. 442. № 1. С. 41-44.

Бобровницкий Ю.И. Нерассеивающее покрытие для цилиндра // Акуст. журн. 2008. Т. 54. № 6. С. 879-889.

Бобровницкий Ю.И. Теория новых поглощающих и нерассеивающих покрытий повышенной эффективности // Акуст. журн. 2007. Т. 53. № 5. С. 613-624. Бобровницкий Ю.И., Томилина Т.М. Поглощение звука и метаматериалы (обзор) // Акуст. журн. 2018. Т. 64. № 5. С. 517-525.

Боев Н.В., Ватульян А.О., Сумбатян М.А. Восстановление контура препятствий по характеристикам рассеянного акустического поля в коротковолновой области // Акуст. журнал. 1997. Т. 43, № 4. С. 458-462. О.А..раГ'.

Боев Н.В., Сумбатян М.А. Обратная задача коротковолновой дифракции для невыпуклых осесимметричных препятствий // Акуст. журнал. 1999. 45, вып. 2, С. 164-168. Бочарова О.В., Ватульян А.О. О реконструкции плотности и модуля Юнга для неоднородного стержня // Акуст. журн. 2009. Т. 55. № 3. С. 275-282. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред: В приложении к теории волн. М.: Наука, 1982. 335 с.

Буров В.А., Вечерин С.Н., Морозов С.А., Румянцева О.Д. Моделирование точного решения обратной задачи акустического рассеяния функциональными методами // Акуст. журн. 2010. Т. 56. № 4. С. 516-536.

Буров В.А., Касаткина Е.Е., Марьин А.О., Румянцева О.Д. Оценки максимального правдоподобия в корреляционной акустической термотомографии // Акуст. журн. 2007. Т. 53. № 4. С. 580-596.

Буров В.А., Румянцева О.Д. Единственность и устойчивость решения обратной задачи акустического рассеяния // Акуст. журн. 2003. Т. 49. № 5. С. 590-603.

35.

36

37.

38.

39

40

41.

42

43

44

45

46

47

48

49

50

Буров В.А., Румянцева О.Д. Обратные волновые задачи акустической томографии: Обратные задачи акустического рассеяния Ч. 2. М.: УРСС, 2019. 760 с. Буров В.А., Румянцева О.Д. Обратные волновые задачи акустической томографии: Обратные задачи излучения в акустике Ч. 1. М.: УРСС, 2018. 384 с. Буров В.А., Шмелев А.А. Численное и физическое моделирование процесса томографии на основе акустических нелинейных эффектов третьего порядка // Акуст. журн. 2009. Т. 55. № 4-5. С. 466-480.

Буров В.А., Попов А.Ю., Сергеев С.Н., Шуруп А.С. Акустическая томография океана при использовании нестандартного представления рефракционных неоднородностей // Акуст. журн. 2005. Т. 51. № 5. С. 602-613.

Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 549 с.

Ватульян А.О. К теории обратных коэффициентных задач в линейной механике деформируемого тела // ПММ. 2010. Т. 74. № 6. С. 911-918.

Ватульян А.О. Коэффициентные обратные задачи механики. - М.: Физматлит, 2019. 272 с.

Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об обратных коэффициентных задачах для функционально-градиентных материалов / В сб. Математический форум Сер. "Итоги науки. Юг России" 2015. С. 48-58.

Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об одном подходе к восстановлению неоднородных свойств термоупругих тел // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. 2012. № 4 (170). С. 25-29.

Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об особенностях идентификации неоднородных свойств термоупругих тел // Экологический вестн. научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2011. № 1. С. 29-36.

Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. - М.: Физматлит, 2007. 224 с.

Ватульян А.О., Сатуновский П.С. Об определении упругих модулей при анализе колебаний неоднородного слоя // Доклады РАН. 2007. Т. 414. № 1. С. 36-38. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. О реконструкции плоских трещин в анизотропном упругом теле // ПММ. 2005. Т. 69. № 3. С. 533-542.

Ватульян А.О., Углич П.С. Реконструкция неоднородных характеристик поперечно-неоднородного слоя при антиплоских колебаниях // ПМТФ. 2014. Т. 55. № 3. С. 146-153.

Ватульян А.О., Юров В.О. Исследование дисперсионных свойств неоднородного пьезоэлектрического волновода при наличии затухания Акуст. журнал. 2017. 63, № 4. С. 339-348.

Ватульян А.О., Явруян О.В., Богачев И.В. Идентификация неоднородных свойств ортотропного упругого слоя // Акуст. журн. 2013. Т. 59. № 6. С. 752-758.

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

Ватульян А.О., Явруян О.В., Богачев И.В. Идентификация упругих характеристик неоднородного по толщине слоя // Акуст. журн. 2011. Т. 57. № 6. С. 723-730. Векслер Н.Д. Дифракция плоской звуковой волны на полой упругой сфере // Акуст. журн. 1975. Т. 21. Вып. 5. С. 321-335.

Векслер Н.Д., Корсунский В.М., Рыбак С.А. Рассеяния плоской наклонно падающей волны круговой цилиндрической оболочкой // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 1. С. 12-16.

Вернигора Г.Д., Еремеев В.А., Соловьев А.Н. Определение эффективных свойств композиционных материалов на основе конечно-элементного моделирования в АСЕЬАК // Вестн. РостГУ. 2011. № 1 (41). С. 9-12.

Ворович И.И., Сумбатян М.А. Восстановление образа дефекта по рассеянному волновому полю в акустическом приближении // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1990. № 6, С. 79-84.

Ворович И.И., Сумбатян М.А. Восстановление образа дефекта по рассеянному полю в акустическом приближении // Изв. АН СССР: МТТ. 1990. № 6. С. 79-84. 1. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509 с. Гнатовский И.И. Рассеяние плоской звуковой волны на тонкой упругой сферической оболочке // Прикладная акустика и вибрационная техника. Киев, 1968. С. 23-28. Горюнов А.Л., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ,

1989. 152 с.

Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных толстостенных оболочек. Киев: Вища шк., 1985. 190 с.

Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев: Наук. думка, 1972. 256 с.

Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наук. думка, 1978. 308 с.

Дыхта В.В., Кунец Я.И., Поддубняк А.П. Осесимметричное рассеяние звуковых импульсов упругой сферической оболочкой с отверстием // Механика твердого тела.

1990. № 4. С. 141-148.

Ерофеенко В.Т. Теоремы сложения. М.: Наука и техника, 1989. 255 с. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 544 с. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М.:ИЛ, 1950. 456 с.

Иванов В.И., Королев А.Н., Скобельцын С.А. Моделирование периодических решений краевых задач для неограниченных областей с помощью МКЭ в БЕМЬАБ // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2007. Вып. 1. С. 132-138.

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 179-192.

Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование решений задач акустики с использованием МКЭ // Изв. ТулГУ. Естественные науки. Вып. 2. Тула: ТулГУ, 2008. С. 132-145. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника. 1968. 584 с.

Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: МГУ, 1990. 310 с. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.

Кабанихин С.И., Карчевский А.Л. Оптимизационный алгоритм решения задачи Коши для эллиптического уравнения // Докл. РАН. 1998. Т. 359. № 4. С. 445-447. Кабанихин С.И. Методы решения обратных динамических задач для гиперболических уравнений / Условно-коректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука (Сиб.отд.). 1992. С. 109-123.

Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. 457 с.

Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физмат-гиз, 1962. 708 с.

Клещев А.А. Дифракция звука от точечного источника на упругой цилиндрической оболочке // Акуст. журн. 2004. Т. 50. № 1. С.86-89.

Клещев А.А. Рассеяние звука сфероидальными телами, находящимися у границы раздела сред // Акуст. журн. 1977. Т. 23, Вып. 3. С. 404-410.

Клещев А.А. Рассеяние звука упругой сжатой сфероидальной оболочкой // Акуст. журн. 1975. Т. 21. № 6. С. 938-940.

Ковалев В.А. Асимптотический подход в задачах рассеяния акустических волн упругими оболочками // Вестник Самарского гос. ун-та. 2006. № 9. С. 42-54. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акуст. журн. 1987. Т. 33. Вып. 6. С. 1060-1063.

Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М. Мир. 1987. 311 с.

Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. 832 с.

Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

Крылов В.В. Основы излучения и рассеяния звука. М.:Изд-во Моск. ун-та, 1989. 118 с. Кулько В.Ф., Михнова М.С. Резонансные явления, возникающие при падении акустических волн на шар // Отбор и передача информации (Киев). 1979. № 58. С. 128-132. Кюркчан А.Г. Границы применимости представлений Рэлея и Зоммерфельда в трехмерных задачах дифракции волн // Радиотехн. и электрон. 1983. № 7. С. 1275-1284.

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104.

105

Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука (Сиб. отд.). 1982. 88 с.

Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика. М.: Физматлит, 2001. 736 с.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VII, Теория упругости. М.: Физматлит, 2003. 260 с.

Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Дифракция звука на решетке неоднородных и анизотропных цилиндрических оболочек в плоском волноводе // Матер. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 212-215.

Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами // ПММ. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 480-488.

Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 54-62.

Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Определение законов неоднородности плоского упругого слоя с заданными звукоотражающими свойствами // Акуст. журн. 2015. Т. 61. № 5. С. 552-558.

Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.

Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // ПММ. 2006. Т. 70. № 4. С. 650-659.

Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // ПММ. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз. 1963. 358 с. Лейко А.Г., Омельченко А.В. Дифракция плоской звуковой волны на акустически жестких эллиптических цилиндрах // Акуст. журн. 1976. Т. 22. № 1. С. 171-173. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.:Наука, 1977. 415 с. Лонкевич М.П. Прохождение звука через слой трансверсально-изотропного материала конечной толщины // Акуст. журн. 1971. Т. 17. Вып. 1. С. 85-92.

Лямшев Л.М. Дифракция звука на бесконечной тонкой цилиндрической оболочке // Акуст. журн. 1958. Т. 4. Вып. 2. С. 161-167.

Лямшев Л.М. Рассеяние звука упругими цилиндрами // Акуст. журн. 1959. Т. 5. Вып. 1. С. 58-63.

106

107

108.

109

110.

111

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120.

121

Марневская Л.А. К дифракции звуковой волны на шаре с неконцентрическим шаровым включением // Акуст. журн. 1972. Т. 18. Вып. 1. С. 571-578.

Медведский А.Л. Задача о дифракции нестационарных упругих волн на неоднородной трансверсально изотропной сфере // Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Т. 14. № 3. С. 473-489.

Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Дифракция плоских нестационарных упругих волн на неоднородном трансверсально изотропном цилиндре // Материалы XVIII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. Т. 2. М.: ООО "ТР-принт", 2012. С. 53.

Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974. 319 с. Метсавээр Я.А., Векслер Н.Д., Стулов А.С. Дифракция акустических импульсов на упругих телах. М.:Наука, 1979. 240 с.

Метсавээр Я.А., О применении теории оболочек в задачах рассеяния акустических волн от сферических оболочек в жидкой среде // Известия Академии наук Эстонской ССР. 1971. Т. 15. № 3. С. 321-328.

Метсавээр Я.А. О рассеянии волн упругими сферическими оболочками в акустической среде // Известия Академии наук Эстонской ССР. 1970. Т. 19., № 4. С. 415-422. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых и жидких средах. Л.: Наука, 1984. 202 с.

Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. Киев: Наук. думка, 1989. 272 с.

Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. М.: Изд. иностр. лит., 1960. 886 с.

Немировский Ю.В., Янковский А.П. Определение оптимальных параметров тонких жестких покрытий пластин // Изв. ВУЗов. Порошковая металлургия и функциональные покрытия. 2008. № 3. С. 46-51.

Немировский Ю.В., Янковский А.П. Определение эффективных термомеханических характеристик однонаправлено армированного гибридного композита в рамках несимметричной теории упругости Мех. композ. матер. и констр. 2009. Т. 15. № 3. С. 383-394. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Определение эффективных физико-механических характеристик гибридных композитов, перекрестно армированных трансверсально-изотропными волокнами, и сопоставление расчетных характеристик с экспериментальными данными // Мех. композ. матер. и констр. 2007. Т. 13. № 1. С. 3-32. Нестеров С.А. Проблемы идентификации неоднородных свойств термоупругой среды // Вестн. Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4-4. С. 1657-1659.

Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130

131

132

133

134.

135

136

137

138.

139

140.

141

142.

Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

Плахов Д.Д., Саволайнен Г.Я. Дифракция сферической звуковой волны на упругой сферической оболочке // Акуст. журн. 1975. Т. 21. Вып. 5. С. 789-796. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. 263 с. Полежаев В.И., Простомолотов А.И., Федосеев А.И. Метод конечных элементов в механике вязкой жидкости // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Механика жидкости и газа. 1987. Т. 21. С. 3-92.

Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Расчет коэффициента отражения звуковых волн от твердых слоисто-неоднородных сред // Акуст. журн. 1986. Т. 32. Вып. 2. С. 212-218. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния. М.: Мир, 1994. 326 с. Рамм А.Г. Обратная задача рассеяния. М.: Мир, 1994. 360 с.

Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

Родионова Г.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн упругим эллиптическим цилиндром, помещенным в вязкую жидкость. Деп. в ВИНИТИ. 1988. № 8296-В88. 15 с. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

Романов В.Г. Вопросы корректности задачи определения скорости звука // Сибирский матем. журн. 1989. Т. 30. № 4. С. 125-134.

Романов В.Г., Кабанихин С.И., Пухначева Т.П. К теории обратных задач электродинамики // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266. № 5. С. 1070-1073.

Романов В.Г. О задаче определения структуры слоистой среды и формы импульсного источника // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48. № 4. С. 867-881. Романов В.Г. Обратная задача дифракции для уравнений акустики // Доклады АН. 2010. Т. 431. № 3. С. 319-321.

Романов В.Г. Обратная задача для уравнений упругости при неизвестной форме импульсного источника // Доклады Академии наук. 2007. Т. 417. № 6. С. 746-752. Романов В.Г. Теоремы единственности в обратных задачах для некоторых уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321. № 2. С. 254-257. Романов В.Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научн. мир, 2005. 296 с. Романов В.Г., Чиркунов Ю.А. Нерассеивающие акустические объекты в анизотропной среде специального вида // Доклады АН. 2013. Т. 448. № 4. С. 396-398. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. М.: Горячая линия - Телеком. 2013. 384 с. Салиев А.А., Тарлаковский Д.В., Шукуров А.М. Распространение нестационарных волн от сферической полости в акустическом слое // ПММ. 2008. Т. 72. № 4. С. 580-587. Самарский А.А, Вабишевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Издательство ЛКИ, 2009. 480 с.

143.

144.

145.

146.

147.

148.

149.

150.

151

152.

153.

154.

155.

156.

Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528 с. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1984. 560 с. Скобельцын С.А. Алгоритм определения параметров неоднородности термоупругого сферического слоя по отраженной звуковой волне // Матер. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 202-205.

Скобельцын С.А., Гаев А.В. Рассеяние звука упругим шаром со сфероидальной полостью // Вестн. ТулГУ. Серия: Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2011. Вып. 1. С. 96-103.

Скобельцын С.А. Дифракция звука полым упругим сфероидом с внешним неоднородным покрытием // Матер. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 404-410. Скобельцын С.А. Задача о рассеянии упругих цилиндрических волн неоднородным цилиндром // Изв. ТулГУ. Сер. Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология. 2006. Вып. 3. С. 126-138.

Скобельцын С.А., Иванов В.И., Моделирование задачи идентификации положения полости в упругом препятствии по рассеянному звуковому полю // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 74-86.

Скобельцын С.А., Иванов В.И. О модели рассеяния звука цилиндрическим телом с полостями на основе метода конечных элементов // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 69-83.

Скобельцын С.А. Идентификация параметров анизотропного покрытия упругого шара по отраженному звуку // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2016. Вып. 11. Ч. 2. С. 144-156.

Скобельцын С.А. Идентификация плотности материала упругого цилиндра по рассеянному акустическому полю // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 158-169. Скобельцын С.А. Идентификация размера и положения полости в упругом шаре по отражению звуковой волны // Сб. трудов Междунар. научно-технической конф. "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" Воронеж: "Научно-исследовательские публикации". 2017. С. 1255-1262.

Скобельцын С.А., Королев А.Н. Использование МКЭ для решения задачи о рассеянии звука ограниченной неоднородной анизотропной термоупругой пластиной // Вестник ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2007.Т. 13, вып. 2. С. 172-182. Скобельцын С.А., Королев А.Н. Метод конечных элементов в задаче о рассеянии плоской упругой волны неоднородным цилиндром // Изв. ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11. Вып. 5. С. 187-200.

Скобельцын С.А., Королев А.Н. Особенности конечно-элементной формулировки задач о рассеянии звука // Матер. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: ТулГУ, 2007. С. 205-207.

157. Скобельцын С.А., Ларин Н.В. Дифракция звука на цилиндре, имеющем произвольное многосвязное сечение // Вестн. ТулГУ. Серия: Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2012. Вып. 1. С. 30-35.

158. Скобельцын С.А., Ларин Н.В. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неконцентрической эллиптической полостью // Вестн. ТулГУ. Серия: Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2011. Вып. 1. С. 38-48.

159. Скобельцын С.А. Минимизация рассеяния звука сфероидом вблизи идеальной поверхности выбором параметров внешнего слоя // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 421-437.

160. Скобельцын С.А. О вариационной постановке задачи идентификации материала упругого цилиндра по характеристикам отражения звуковых волн // Матер. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. С. 186-189.

161. Скобельцын С.А. О порядке решения задачи дифракции звука упругим телом с полостью с использованием МКЭ // Вестн. ТулГУ. Серия: Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2012. Вып. 1. С. 51-58.

162. Скобельцын С.А. Определение направления оси упругой симметрии анизотропного шара по рассеянному звуковому полю // Сб. трудов II Всероссийской акустической конференции, совмещенной с XXX сессией Российского акустического общества. Н. Новгород: ИПФ РАН, 2017. С. 1699-1705.

163. Скобельцын С.А. Определение параметров неоднородного покрытия упругого цилиндра с полостью для обеспечения заданных звукоотражающих свойств // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2017. № 7. С. 163-175.

164. Скобельцын С.А. Определение параметров неоднородности анизотропного упругого слоя по прохождению звука // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2016. Вып. 7. Ч. 2. С. 246-257.

165. Скобельцын С.А. Определение параметров неоднородности покрытия эллиптического цилиндра по рассеянию звука в присутствии упругого полупространства // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 290-302.

166. Скобельцын С.А. Определение параметров неоднородности сферического упругого слоя по характеристикам рассеяния звуковых волн // Тез. докладов 9 Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Н. Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2006. С. 194.

167. Скобельцын С.А. Определение параметров неоднородности упругого слоя по характеристике отражения плоской звуковой волны // Тез. докл. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: ТулГУ. 2005. С. 211-215.

168. Скобельцын С.А. Определение параметров неоднородности цилиндрического упругого слоя по характеристикам рассеяния звуковой волны // Матер. междунар. научн. конф.

"Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С. 194-195.

169. Скобельцын С.А. Определение положения границы разделения двухслойной упругой пластины по отражению звука // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 122-130.

170. Скобельцын С.А. Определение свойств неоднородного покрытия упругого цилиндра с полостью для обеспечения требуемых параметров отражения звука // Сб. трудов II Всеросс. научно-технической конф. "Механика и математическое моделирование в технике". М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2017. С. 71-76.

171. Скобельцын С.А. Оценка свойств покрытия конечной упругой пластины с полостью, обеспечивающих заданные параметры отражения звука // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2017. № 7. С. 83-92.

172. Скобельцын С.А., Пешков Н.Ю. Дифракция звука в полупространстве на конечном упругом цилиндре с неоднородным покрытием // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2018. Вып. 7. С. 158-174.

173. Скобельцын С.А., Пешков Н.Ю. Определение геометрических параметров конечного цилиндра, расположенного у границы полупространства, по рассеянному звуку // Сб. трудов Междунар. научно-технической конф. "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" Воронеж: "Научно-исследовательские публикации". 2018. С. 1263-1269.

174. Скобельцын С.А., Пешков Н.Ю. Определение геометрических параметров полости упругого цилиндра по рассеянному акустическому полю // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2018. Вып. 8. С. 148-159.

175. Скобельцын С.А., Пешков Н.Ю. Определение положения эллиптической полости в упругом цилиндре по отражению звука // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2018. Вып. 1. С. 109-121.

176. Скобельцын С.А., Пешков Н.Ю. Рассеяние звука неоднородным упругим эллиптическим цилиндром в акустическом полупространстве // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2018. Вып. 7. С. 183-200.

177. Скобельцын С.А. Подход к решению задач о рассеянии упругих волн с использованием МКЭ // Тез. докл. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: ТулГУ, 2004. С. 135-136.

178. Скобельцын С.А. Программа определения параметров анизотропного материала упругого цилиндра по отражению плоской звуковой волны. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2017612053, 14.02.2017. 1 с.

179. Скобельцын С.А. Программа определения толщины упругого покрытия полупространства по отражению гармонической плоской звуковой волны. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019662933, 07.10.2019. 1 с.

180. Скобельцын С.А. Программа расчета коэффициента линейной неоднородности плотности упругого слоя по отражению монохроматической плоской звуковой волны. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015663467, 18.12.2015. 1 с.

181. Скобельцын С.А. Рассеяние звуковых волн конечной упругой криволинейной пластиной с неоднородным покрытием и полостью // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 93-101.

182. Скобельцын С.А. Рассеяние звуковых волн упругим эллипсоидом с неоднородным покрытием в полупространстве с идеальной поверхностью // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, вып. 1. С. 220-237.

183. Скобельцын С.А. Решение задач акустики с использованием метода конечных элементов / Тула: Изд-во ТулГУ, 2018. 224 с.

184. Скобельцын С.А. Решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим цилиндром с помощью МКЭ // Матер. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. С. 298-300.

185. Скобельцын С.А., Родионова Г.А. Рассеяние звука вращающейся жидкой сферой // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 2. С. 197-202.

186. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде с неоднородным покрытием в присутствии подстилающей поверхности // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 64-75.

187. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Задача о рассеянии цилиндрической упругой волны полостью с неоднородным анизотропным внешним слоем // Изв. ТулГУ Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т. 5. Вып. 2. С. 201-204.

188. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. О дифракции звука на упругом сфероиде с непрерывно-неоднородным покрытием // Матер. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 457-464.

189. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Об отражении и преломлении плоских упругих волн радиально-неоднородным анизотропным цилиндрическим слоем // Тез. докл. Всероссийской научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. С. 193.

190. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Об отражении и преломлении плоских упругих волн слоисто-неоднородной анизотропной сферической оболочкой // Тез. докл. Всероссийской научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. С. 194.

191. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Определение параметров неоднородности анизотропного покрытия упругого полупространства по отражению звука // Тез. докл. 8-й Всероссийской научной конф. с международным участием "Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред". М.: ИПРИМ РАН, 2018. С. 58.

192

193

194.

195

196.

197

198.

199.

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Прохождение звуковых волн через трансверсаль-но-изотропный неоднородный плоский слой // Акуст. журн. 1990. Т. 36. № 4. С. 740-744. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звука неоднородным трансверсально-изотропным сферическим слоем // Акуст. журнал. 1995. Т. 41. № 6. С. 917-923. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн в вязкой жидкости неоднородной анизотропной оболочкой с произвольной кривизной поверхности // Изв. ТулГУ Сер. Математика. Механика. Информатика. 1995. Т. 1. Вып. 2. С. 135-143. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изо-тропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.

Скобельцын С.А., Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. Об одном подходе к решению задач рассеяния звука на упругих телах с произвольно расположенными полостями // Матер. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. С. 194-197.

Скобельцын С.А., Федотов И.С., Титова А.С. Дифракция звука на упругом шаре с неоднородным покрытием и полостью в полупространстве // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, вып. 4. С. 177-193.

Скучик Е. Основы акустики. Т. 1. М.: Мир, 1976. 520 с.

Скучик Е. Основы акустики. Т. 2. М.: Мир, 1976. 542 с.

Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. 2. М.: Наука, 1969. 672 с.

Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовица М., Стигана И. М.:

Наука, 1979. 832 с.

Тимохов А.В., Федоров В.В., Сухарев А.Г. Курс методов оптимизации. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2005. 368 с.

Тихонов А., Леонов А., Ягола А. Нелинейные некорректные задачи. Москва: Наука, 1995. 398 с.

Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 256 с.

Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады АН СССР. 1963. 153. № 1. С. 49-52.

Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады АН СССР. 1963. 151. № 3. С. 501-504.

Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39. № 5. С. 195-198.

Тихонов А.Н. Теорема единственности для уравнения теплопроводности // Мат. сборник. 1935. Т. 42. № 2. С. 199-216.

Толоконников Л.А. Дифракция звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 154-163.

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.

Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде с неконцентрической сфероидальной полостью // Матер. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. С. 214-217.

Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 169-176.

Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом эллиптическом цилиндре в вязкой среде // Прикладные задачи механики и газодинамики. Тула: ТулГУ, 1997. С. 167-172.

Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансвер-сально-изотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 9-11.

Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругой сфере с неоднородным покрытием // ПММ. 2015. Т. 79. Вып. 5. С. 663-673. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208.

Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 232 с.

Толоконников Л.А., Ларин Н.В., Скобельцын С.А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами // ПМТФ. 2017. № 4. С. 189-199.

Толоконников Л.А., Ларин Н.В., Скобельцын С.А. Моделирование неоднородного покрытия упругого шара с требуемыми звукоотражающими свойствами // Математическое моделирование. 2017. Т. 29. № 11. С. 89-98.

Толоконников Л.А., Лобанов А.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 176-191. Толоконников Л.А., Лобанов А.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре с полостью // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. З. С. 126-136.

Толоконников Л.А., Лобанов А.В. О рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругом сфероидом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.З. С. 119-125. Толоконников Л.А., Логвинова А.Л. Дифракция плоской звуковой волны на двух неоднородных упругих цилиндрах с жесткими включениями // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 54-66.

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

Толоконников Л.А. О дифракции звука на упругом эллиптическом цилиндре с решеткой цилиндрических полостей эллиптического сечения // Матер. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула, 17-21 сентября 2012 г. - Тула: ТулГУ. 2012. С. 235-236.

Толоконников Л.А. О рассеянии плоской звуковой волны упругим эллиптическим цилиндром с несколькими полостями // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 157-164.

Толоконников Л.А. Определение акустического поля, рассеянного упругим сфероидом с несколькими сферическими полостями // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 73-80.

Толоконников Л.А. Отражение и преломление плоской звуковой волны анизотропным неоднородным слоем // ПМТФ. 1999. Т. 40. № 5. С. 179-184.

Толоконников Л.А. Прохождение звука через неоднородный анизотропный слой, граничащий с вязкими жидкостями // ПММ. 1998. Т. 62. № 6. С. 1029-1035. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265-274.

Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // ПММ. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519-526.

Толоконников Л.А. Рассеяние цилиндрических и сферических звуковых волн упругим сфероидом с произвольно расположенной полостью // Вестн. ТулГУ. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 17. Вып. 1. С. 78-84.

Толоконников Л.А. Резонансное рассеяние звука трансверсально-изотропной цилиндрической оболочкой // Изв. ТулГУ. Сер. Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология. 2006. Вып. 3. С. 106-114.

Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2009. Вып. 1-2. С. 3-10.

Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 151-160.

Толоконников Л.А., Романов А.Г. Распространение звука в волноводе в присутствии неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 161-176.

Толоконников Л.А., Садомов А.А. О дифракции звука на неоднородной трансверсаль-но-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12. Вып. 5. С. 208-216.

Толоконников Л.А., Скобельцын С.А. Дифракция звуковых волн на неоднородных и анизотропных телах / Тула: Изд-во ТулГУ. 2004. 200 с.

238.

239.

240.

241.

242.

243.

244.

245.

246.

247.

248

249

250

251

252

253

254

Толоконников Л.А., Скобельцын С.А., Ларин Н.В. О методе решения задач дифракции звуковых волн на упругих телах с неоднородными покрытиями // Матер. междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 477-480.

Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 114-122.

Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. О дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 11-17.

Толоконников Л.А., Юдачев В.В., О прохождении плоской звуковой волны через плоский упругий слой с неоднородным покрытием / Матер. междунар. научн. конф. "Совр. пробл. математики, механики, информатики". Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 477-480.

Толоконников Л.А., Юдачев В.В. Отражение и преломление плоской звуковой волны упругим плоским слоем с неоднородным покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 219-226.

Тютекин В.В. Импедансный метод расчета характеристик упругих неоднородных ра-диально-слоистых цилиндрических тел // Акуст. журн. 1983. Т. 29. Вып. 4. С. 529-536. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах М.: Наука, 1965. 388 с. Фламмер К. Таблицы волновых сфероидальных функций. М.: ВЦ АН СССР, 1962. 140 с.

Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение. 1972. 348 с. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение. 1989. 304 с. Шендеров Е.Л. Импедансы колебаний трансверсально-изотропного сферического слоя // Акуст. журн. 1985. Т. 31. № 5. С. 644-694.

Шендеров Е.Л. Прохождение звука через трансверсально-изотропную пластину // Акуст. журн. 1984. Т. 30. Вып. 1. С. 122-129.

Шендеров Е.Л. Прохождение звуковой волны через упругую цилиндрическую оболочку // Акуст. журн. 1963. Т. 9. Вып. 2. С. 222-230.

Шульга Н.А., Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л. Свободные неосесимметричные колебания толстостенного трансверсально-изотропного полого шара // Прикл. механика. 1988. Т. 24, № 5. С. 12-17.